中子输运方程SP2方法的并行计算1

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中子输运方程特征线解法及嵌入式组件均匀化方法的研究

中子输运方程特征线解法及嵌入式组件均匀化方法的研究目前一代轻水堆堆芯物理分析理论和数值计算方法形成于上个世纪七十年代末。

受限于当时计算机的硬件条件,理论上存在近似和不足的现行堆芯物理分析方法已难以满足当今日益复杂的堆芯设计需求。

因此,近些年国际上广泛地开展了下一代(第三代)轻水堆堆芯数值计算理论和方法(Next Generation Methods, NGM)的研究。

归纳起来,现有NGM研究的主要思路是完全抛弃组件均匀化和堆芯扩散计算而直接进行Pin-by-Pin的三维全堆输运计算,这样势必会造成对多年积累的堆芯物理分析方法、经验、程序等资源的浪费。

为此,本文提出了一套全新的NGM方案,目标是将组件输运计算产生等效均匀化参数的过程嵌入三维扩散计算中。

本文通过改进输运计算方法、组件均匀化方法和等效均匀化参数产生方法,满足未来复杂堆芯物理计算精度与速度的要求。

本文的主要工作集中于中子输运方程特征线解法的研究、程序PEACH的研制以及嵌入式组件均匀化方法的可行性分析。

首先,本文基于特征线法研制了NGM的输运计算工具PEACH程序。

程序PEACH的几何处理,采用了以组件为模块产生特征线的方法(Assembly Modular Ray Tracing, AMRT)。

这种特征线的产生方法既具备计算速度快和节省存储量的优点,又可以比较充分地考虑组件内子区的任意性。

程序PEACH的特征线跟踪计算方法,分别采用了平源近似的步特征线法、菱形差分的特征线法和线性源近似的特征线法。

本文在探讨后两种数值计算模型时,提出了相关负中子角通量和负中子源的处理方法,并通过OECD/NEA C5G7-MOX 2D 等基准题的数值检验,证明线性源近似的特征线法在相同精度的前提下占用更少的系统内存和计算时间。

程序PEACH中运用了由多群粗网有限差分(Coarse Mesh Finite Difference, CMFD)与少群粗网有限差分组合而成的两重粗网有限差分加速方法,并建立了指数函数插值表,呈现出良好的加速效果。

以栅元为模块进行特征线跟踪的中子输运方程解法

以栅元为模块进行特征线跟踪的中子输运方程解法
汤春桃;张少泓
【期刊名称】《核动力工程》
【年(卷),期】2009(0)4
【摘要】为解决复杂几何条件下中子输运方程的求解问题,分析了特征线法理论模型,探讨了以栅元为模块的高效特征线产生方法,以及与之相关的空间角度离散和边界条件处理问题。

采用自行研制的特征线法数值计算软件——PEACH,对经济合作组织核能机构(OECD/NEA)UO2和MOX燃料混合装载的7群(C5G7MOX)基准问题的数值进行了检验。

结果表明,无论是计算keff还是棒功率分布该方法都具有很高的精度。

【总页数】5页(P32-36)
【关键词】特征线法;跟踪;中子输运方程
【作者】汤春桃;张少泓
【作者单位】上海交通大学核科学与工程学院
【正文语种】中文
【中图分类】TL329.2
【相关文献】
1.采用栅元重组CMFD加速技术的六边形几何模块化特征线方法及程序验证 [J], 韩宇;蒋校丰
2.基于非均匀射线追踪的栅元模块化特征线方法研究 [J], 彭良辉;陈笑松;陈耀东;
刚直
3.基于 OpenMP 的中子输运方程特征线法并行计算研究 [J], 于锐;赵强
4.线性源近似的中子输运方程特征线解法 [J], 汤春桃
5.基于AutoCAD二次开发实现中子输运方程特征线法求解 [J], 陈其昌;吴宏春;曹良志
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第三章中子扩散理论

J z (r ) J z (r ) J z (r )
s (r )
3 z
J z (r ) 叫做z方向的中子流密度或净中子流密度，若dA的取向
与x轴垂直，沿着x方向穿过dA平面单位面积净中子数Jx为
J x (r )
s ( r )
3 x
同样，沿着y方向穿过dA平面单位面积净中子数Jy为
推导中并没有考虑中子源的贡献，中子流密度的贡献只是来自中子与介质核的散射碰撞在强中子源两三个平均自由程的区域内，斐克定律不适用。
3.2 非增殖介质内中子扩散方程的解
稳态单能的中子扩散方程
D2 (r ) a (r ) S (r ) 0
无源情况下，即除中子源所在的位置以外的无源区域,扩散方程有以下形式: 1 D (r ) 2 2 2 2 L ( r ) 0 (r ) (r ) 0 或 k2 L2
第三章中子扩散理论
中子在介质中的输运过程中的运动状态由位置矢量r(x,y,z), 能量 E, 和运动方向Ω表示。 Ω通过极角θ 和方位角φ 来表示
dS r 2 sin dd d 2 sin dd 2 r r
中子角密度函数n(r,E, Ω)定义：方向 Ω的表示在r处单位体积内和能量为E的单位能量间隔内，运动方向为 Ω的单位立体角内的中子数目。中子角通量密度定义为: ( r, E, ) n( r , E, )v( E ) 对中子角密度和中子角通量密度积分便可得到与运动方向无关的标量中子密度和标量中子通量密度
4

tr d
6 dx
0
d dx
x 0
30 2tr
应用输运理论和扩散理论的外推距离求得的扩散方程的解

基于特征线方法的三维中子输运程序(Ⅰ)——边界条件的插值处理

的方法来解决空间问题和角度问题，采用这种方
收稿日期：２０ — １９０－７
而且对方程（）２积分可以得到射线线段ｋ上的平均角通量：
ｌ２
核动力工程
ＶＩ３．．．００ｂ．１Ｎｏ２２ｌ
十（）（）（）：Ｑ式中，（）１
特征线方法在处理三维中子输运问题的反射边界条件时存在空间问题和角度问题，然而过去的研究主要集中于二维问题的边界条件处理，：如ＲｃａｄＳｎｈｚ等人系统地研究了精确处理二维ｉｒａｃｅｈ问题边界条件的方法【，但是精确处理边界条件６】的方法对求积组选取及射线布置均有限制，这种
摘要：特征线方法在处理三维中子输运问题的反射边界条件时存在空间问题和角度问题，本文提出了采用平面插值和球面插值方法来分别处理这两个问题，插值方法不仅可以有效解决空间问题和角度问题，而且三维特征线方法在采用插值方法处理边界条件后对离散求积组和射线布置没有要求。
ｏ
法后，三维特征线方法对离散求积组和射线布置没有要求。
２特征线方法简介
特征线方法是在空间离散角的直线上求解中子输运方程，这些直线可以认为是中子的飞行路线，在这些直线上，中子输运方程变为全微分的形式。假设几何区域被分成小网格，而且每一个网格只含一种材料，网格内部通量和源是不随空间变化的，也就是说使用平源近似。在方向上，输运方程为：

蒙特卡洛方法在中子输运中的应用

《中子输运理论与数值方法》课程作业——蒙特卡洛方法目录1. 前言 (3)2. 蒙特卡洛方法概述 (3)2.1 蒙特卡洛方法的基本思想 (4)2.2 蒙特卡洛方法的收敛性、误差 (4)2.2.1 蒙特卡洛方法的收敛性 (4)2.2.2 蒙特卡洛方法的误差 (5)2.3 蒙特卡洛方法的特点 (6)2.4 蒙特卡洛方法的主要应用范围 (7)3. 随机数 (7)3.1 线性乘同余方法 (9)3.2 伪随机数序列的均匀性和独立性 (9)3.2.1 伪随机数的均匀性 (9)3.2.2 伪随机数的独立性 (10)4. 蒙特卡洛方法在粒子输运上的应用 (10)4.1 屏蔽问题模型 (10)4.2 直接模拟方法 (11)4.2.1 状态参数与状态序列 (11)4.2.2 模拟运动过程 (12)4.2.3 记录结果 (15)4.3 蒙特卡洛方法的效率 (16)5. 蒙特卡洛方法应用程序—MCNP (17)5.1 MCNP简述 (17)5.2 MCNP误差的估计 (18)5.3 MCNP效率因素 (19)6. 结论 (19)参考文献 (20)1.前言半个多世纪以来，由于科学技术的发展和电子计算机的发明，蒙特卡洛(Monte Carlo)方法作为一种独立的方法被提出来，并首先在核武器的试验与研制中得到了应用。

蒙特卡洛方法是一种计算方法，但与一般数值计算方法有很大区别。

它是以概率统计理论为基础的一种方法。

由于蒙特卡洛方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问题，因而该方法的应用领域日趋广泛。

蒙特卡洛模拟计算是解决中子在介质中输运较为成熟、有效的方法，对于原子能、辐射防护、剂量学和辐射生物物理学等研究领域实际问题的计算，都可以利用蒙特卡洛方法予以实现。

粒子输运过程可以用玻耳兹曼方程加以描述，然而，以此基础上发展起来的近似数值方法如扩散近似法、离散坐标方法在处理截面与能量相关以及散射各向异性介质、复杂几何条件问题时碰到了较大困难。

基于特征线方法的三维中子输运程序(Ⅱ)——数值验证

精度略高；相对于角度一次插值，角度二次插值得到的计算结果的精度有大幅提高。角度二次插值能够大幅提高计算精度的原因是：Ｓ或者６ｓｌ离散求积组中的角度数目仍然较少；由于二次插值的代数精度高于一次插值的代数精度，因此角度二次插值后得到的计算结果，其精度有较大提高。当选用８离散求积组时，求积组中的角度数目较多，采用一次插值即可达到很好的计算精度。空间二次插值计算精度提高较小的原因是：射线之间的间距较小，一次插值已达到很好的计算精度，采用二次插值后精度提高有限。
Ｆｇ４Ｓｈｍａｉａｒｍｆｇｌｒｅｒｈｄｏｉ．ｃｅｔＤｉｇａｏＲｅｕａｔｅｒｎｃＴａ
图５正四面体基准题的ｅｒｈｄｏｉ．ｓｏｆｕａｉｎｏＲｅｕａＴｔａｅｒｎｉｒ
第３卷第２期１
２Ｏ１０
核动力工程
ＮｕｃｅｒＰｏｒＥｎｇｎｅｉｇｌａｗｅｉｅｒｎ
Ｖ．．３．Ｎ０２０１１．Ａｐ．２０ｒ１０
年４月
文章编号：０５．９６２１）２０１．５２８０２（０００．０６０
摘要：介绍了开发的三维中子输运特征线方法程序ＴＭ。使用数值实例对ＴＭ的准确性进行了验证，ＣＣ
同时比较了不同插值阶数、离散角度数目和网格大小对计算结果的影响。结果表明，三维特征线方法程序ＴＭＣ能够求解任意几何形状及反射边界条件的中子输运问题，计算结果具有较高的精度。关键词：输运方程；特征线方法；反射边界条件；插值；基准题

基于%._d二次开发实现中子输运方程特征线法求解

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蒙特卡罗中子输运程序的MPI／OpenMP混合并行研究

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｐａｒａｌｌｅｌｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｗｉｔｈｍｉｘｅｄｍｏｄｅｏｆｍｅｓｓａｇｅｓ — ｐａｓｓｉｎｇａｎｄｓｈａｒｅｄ —
ｍｅｍｏｒｙｈａｓｓｅｖｅｒａｌａｄｖａｎｔａｇｅｓｗｈｅｎｕｓｅｄｉｎＭｏｎｔｅＣａｒｌｏｎｅｕｔｒｏｎｔｒａｎｓｐｏｒｔｃｏｄｅ，ｓｕｃｈａｓｆｉｔｔｉｎｇｈａｒｄｗａｒｅｏｆｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ — ｓｈａｒｅｄｃｌｕｓｔｅｒｓ，ｅｃｏｎｏｍｉｚｉｎｇｍｅｍｏｒｙｄｅｍａｎｄｏｆ
ｔｈａｔｔｈｅｈｙｂｒｉｄｐａｒａｌｌｅｌｃｏｄｅｃａｎｒｅａｃｈｇｏｏｄｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｊｕｓｔａｓｐｕｒｅＭＰＩｐａｒａｌｌｅｌ
ＭｏｎｔｅＣａｒｌｏｔｒａｎｓｐｏｒｔ，ｉｍｐｒｏｖｉｎｇｐａｒａｌｌｅｌｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ，ａｎｄＳＯｏｎ．ＭＰＩ／ＯｐｅｎＭＰ
ｈｙｂｒｉｄｐａｒａｌｌｅｌｉｓｍｗａｓｉｍｐｌｅｍｅｎｔｅｄｂａｓｅｄｏｎａｏｎｅｄｉｍｅｎｓｉｏｎＭｏｎｔｅＣａｒｌｏｎｅｕｔｒｏｎ

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第七届反应堆数值计算与粒子拾运学术交流会中子输运方程ＳＰ：方法的并行计算１沈智军袁光伟沈隆钧目匕京应用物理与计体致学研究计算物理实脸室，周毓麟

北京１０００８８）

本文将研究中子输运方程ＳＰｚ通近方程的并行差分格式，证明了一般并行差分格式的稳定性，用数值例子检脸了一维和二维的并行格式，比较了格式的加速比，所使用的并行算法具有较好的可扩展性，并且与ｓ．方法相比，计算精度相近，但这

里给出的格式的计算ｔ少得多．羊滋１５１中子输运方程并行计算差分方法稳定性

１引言由于中子枪运方程的数值求解运算量惊人，加上当今大型并行计算机发展迅速，因

此，研究输运方程的并行计算方法是十分迫切的重要间题，已经得到广泛关注。在［２１中研究了标准的多群方法的并行化。在｛（３１中对求解离散纵标方程的源迭代和扩散模拟加速算法提出了空间区域分解法，其结果表明，直到子区域变得光学薄为止，空间分解对收故率影响不大。最近，文［［ｌ１中对非定常中子枪运方程研究了简化的Ｐ２（即ＳＰ２）方法，发现ＳＰ２方程对输运方程是强壮的高阶渐近逼近。在｛’］中对ＳＰ２方法提出了一类修改的Ｍａｃｓｈａｋ边界条件，并证明了所得到的ＳＰ２方程的定解间题是适定的，井构造了纯显式和纯隐式格式，证明了格式的收敛性。虽然纯隐式格式是无条件稳定的，但每一时间层需迭代求解，运算量大，尤其是在多维情形。而纯显式格式对时间步长大小有限制，如果时间步长大的话，解将出现振荡（见［’］）。因此需要研究并行差分方法．本文将对ＳＰ２方法提出一般的具有并行本性差分格式，证明其稳定性。这里构造并行差分格式以及稳定性证明的方法可参考文献［５１和｛６１。所讨论的ＳＰ２方程以及初边值条件见［（４１。数值试验结果表明所构造的并行差分方法具有较好的可扩展性，并且与５８方法相比，计算精度相近，但这里给出的格式的计算量少得多。由于数值例子的计算粒度较小，在四个处理器的倩形下，所得加速比并不十分理想，但在两个处理器的情形下，表明这里

的井行算法还是比较令人满意的。

２一般并行差分格式用点二ｉ二７△二（７＝０，１，－，Ｊ）剖分区间风Ｌ１，　Ｊ４ｘ＝Ｌ，记ｘ－ｚ＝ｘｏ，ｘＪ＋；二ｘ７，

｀，￥苏蔺而不￥（４１０９５２１｝．　．｝藕科学基金和大规模科学与工程计算的方法和理论资助项目３一５５数值计算方法月！１，

马砖二合〔几＋令＋：），△云为时间步长，Ｎ山二Ｔ，Ｊ和Ｎ是正整数。构造如下具有并行本性的差分格式些俨雌豁兰十、科

些了丛十菩噬愁烂十会竺遭影笠翌Ｊ二０工，…，Ｊ（１）

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十、、罗尹＝０，ｊ二。，：，…，了

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其中才气Ｑ（。，。勺，，拼二咧拱＋（，一ａ７）屹十、，其它记号类似定义。（３）假定．

十卜一叻一扫汗一举一

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格式中出现的参数。，口，７浦，刀，（均一致有界。当某些。，口等于。，即可得到并行格式。离散初值条件为

崎二功从＊＝劝易二０，夕＝Ｄ，１，…，Ｊ（’）离散边界条件为叻戮一妇”几势豁十告二儿（劝品＋２劝升）（５）其中几是给定的非负常数。类似地可构造两维５几方程初边值间题的具有并行本性的差分格式。

３差分格式的稳定性本节将证明并行格式（ｌ）一（５）对任意固定的备都是稳定的。用知孙此十、和知黔分别乘以方程（ｌ），（ｚ）和（ｓ）１将所得三式分别对ｊ求和，再将它们加起来，得忐力心王一、，、十态到（‘拼一‘冷命（‘群一心可叽＋、）

扩护笋＿话”十盯 “十全‘工Ｊ一古

３△公哈＋艺粤、扩寸屹十云馨（‘狱一‘城’心‘

十忿剧（‘黔一俨、・＊十（‘拼一‘冷叼＋（‘摄一心沁・蕙，一裂，尔、・念睿（，叮二碧）、艺。灯，扩叮吩铭第七属反应堆数值计界与粗子翰运学术报告二；Ｉ．，｝乙ｎ＋（｝ｗ０７４７ｊ＝０

注意到（Ｙ＇０＋１一０；　）Ｖ，Ｏｊ＝蠢（ＩＶ，ｏｉ　１１一｝，ＰＯｊ　１一｝，Ｐｎ０＋１一Ｖ＇Ｏｊ　１），

（０　．＋．ｊ１ｊｊ一‘＋）３ｊ＋ｏｋ．＂＋，６１，一－＋ＭＡｂｏｊ　，　）ＩｆｉＩｊ＋ｉ二（，Ｏ－，ｊ　＋、一，＃，－ｊ一尹凡＋　（０ｏｊ十，一吩）屹＋、十喇举ｎ＋１｝｝（｝ｌｉ＋；一０ｉｊ＋Ｉ）１Ｇｏ－ｊ卜－Ｒ；　（，ｋｎ＋１一Ｖ＇，ｊ－　ｉ　）＇ｈｏ　ｊ十ｎ｝　（＇｝ｏｊ＋ｌ｝一＇Ｐｏｉ＋１）＇０１　ｊ十＊一Ｑｉ　（，ｏ０１１一ｐｏｉ　）＇ｉｉｉ＋｝，　，一。｝：２　（１ｘ１２＋；。一），Ｖａ，　ｂ，并对所有出现的亡方向差商项，不等式

如ｍｏ　＊＇－ｓａ；，再应用Ｐｆ方程组（：）一（３）。于Ａ％出如下

众（１１ｏｎ　１１１１＋３１１＋Ｇｉｎ　１１１２＋５１１Ｇｚｎ　１１１，一（！。，；！。‘＋３１｝ｉｈ１１＋５１１Ｎ２ｎｎ１２：。（备）（１１４＂󰀀＋０：　ＩＩ，十“＇ｈｏｔｉ　１１１　＋３１０　ｉｎ　１１１，十５　１１０　ｓｅ　１１１，十“＋ｈｏｎｌ２十、１Ｙ１ｅ１１２十５１１０２ｈ１１２）．利用离散Ｇｒｏｎｗａｌｌ不等式，推出如下不等式成立０＜ｎ＜Ｎ｝１１　｝＇Ｏｈ　１２　＋　１１＋Ｌ１ｎ　１１２　＋　１Ｖ，：＂　１１２：Ｃ艺１ｐｎ＋０＂　１１２Ａｔ．（６）

因此，巳经证明对任意固定的器，具有并行本性的差分格式（１）－（５）是稳定的．与一维间题类似，对二维和三维ＳＰ方程可构造具有并行本性的差分格式，并证明其稼定性。

４救值结果我们已经计算了一维平几何和二维Ｘ一Ｙ几何Ｓ乃方程并行格式的数值解。实际计算的一维并行格式是在差分格式（１）－（５）中取一个显式点，将区域分成两个不重亚的子区域。所计算的二维并行格式是将区域分成四块不重处的子区域，在子区域的交界线上显式计算。下面仅给出二维问题的计算结果，其中。：＝　１．０，　ｖ。二０．１，Ｑ＝　１．０，空间正方形区域的边长为１０。初始通量为０，区域左边和下边的边界条件为反射条件，右边和上边的边界条件是真空条件。３一５７数位计算方法闷

！｜！翎』．ＪＪ．『１，．１｜Ｊ飞１（２一一１

１１１１

时间步数２００２００２００４００２００２００２００时间步长０．０５０．１０．０３０．０３空间步数４　ＣＰＵ时间（ｓ）２　ＣＰＵ时间（ｓ）串行时间（ｓ）加速比（４　ＣＰＵ）加速比

ＣＰＵ１１巧石ｎ‘０甘ｎ曰３４ｎＪ介Ｊｌ』Ｊ９９９５６３０２４３蛇￣日甘，Ｊ月０．．占目』ｄ马」‘．１１，ｌｑ白，曰介」０．０５０．０３０．０４３．６６７．４８９．０５１５．１８１３．１２１５．９４２１．５１５．９５７．８４１５．５７１９．６９３７．１１３１．６２３４．７８４９．１９２．１４２．０８２．１７２．４４２．４１２．１８２．２８｝一１｛七口

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从表中可以看出，当空间步长固定，随着时间步长增加，加速比随之增加。其原因是，当时间步长增加时，求解的迭代次数增加引起计算规模增大。

参考文献１．　Ｕ．　Ｓｈｉｎ　ａｎｄ　Ｗ．　Ｆ．　Ｍｉｌｌｅｒ，　Ｊｒ．，　Ｔｈｅ　Ｔｉｍｅ－Ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ　Ｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄ几Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ：　Ａｓｙｍｐ｝ｔｏｔｉｃ　Ａｎａｌｙｓｅｓ　ａｎｄ　Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ，　Ｎｕｃｌ．　Ｓｃｉ．　Ｅｎｇ．，　１２８，　２７－４６，　１９９８．

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５．　Ｚｈｏｕ　Ｙｕ－ｌｉｎ，　Ｙｕａｎ　Ｇｕａｎｇ－ｗｅｉ；　Ｇｅｎｅｒａｌ　ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ　ｓｃｈｅｍｅｓ　ｗｉｔｈ　ｉｎｔｒｉｎｓｉｃ　ｐａｒａｌｌｅｌｉｓｍｆｏｒ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｐａｒａｂｏｌｉｃ　ｓｙｓｔｅｍｓ，　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ｉｎ　Ｃｈｉｎａ　（ｓｅｒ．　Ａ），　Ｖｏｌ．　４０，　Ｎｏ．　４，　３５７－３６５，１９９７．

６．　Ｚｈｏｕ　Ｙｕ－＂，　Ｓｈｅｎ　Ｌｏｎｇ　ｊｕｎ，　Ｙｕａｎ　Ｇｕａｎｇ－ｗｅｉ，　Ｓｏｍｅ　ｐｒａｃｔｉｃａｌ　ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ，　ｓｃｈｅｍｅｓ　ｗｉｔｈｉｎｔｒｉｎｓｉｃ　ｐａｒａｌｌｅｌｉｓｍ　ｆｏｒ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｐａｒａｂｏｌｉｃ　ｓｙｓｔｅｍｓ，　Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｊ．　Ｎｕｍｅｒ．　Ｍａｔｈ．　ａｎｄＡｐｐｌ．，　Ｖｏｌ．　１９，　Ｎｏ．　３，　４６－５７，　１９９７．

３一５８