运筹学第10章 动态规划
分析得知：从D1和D2到E的最短路径唯一。
管 理 运 筹 学
3
第三阶段：有三个始点C1，C2，C3，终点有D1，D2，对始点 和终点进行分析和讨论分别求C1，C2，C3到D1，D2 的最短路 径问题：
表10-2 阶段3
本阶段始点 （状态）
C1 C2 C3
本阶段各终点（决策）
D1 8+10=18 7+10=17 1+10=11 D2 6+6=12 5+6=11 6+6=12
k 1
( sk 1 )}
k 1, 2,, n
以上式子称为动态规划最优指标的递推方程，是动态规划的基本 方程。 终端条件：为了使以上的递推方程有递推的起点，必须要设定最 优指标的终端条件，一般最后一个状态n+1下最优指标fn+1(sn+1) = 0。
管 理 运 筹 学
11
三、最优化原理 作为整个过程的最优策略具有如下性质： 不管在此最优策略上的某个状态以前的状 态和决策如何，对该状态来说，以后的所有决 策必定构成最优子策略。就是说，最优策略的 任意子策略都是最优的。
管
理
运
筹
学
15
表10－6
s3
x3
0 1
r3 ( s3 , x3 )
2 3 4 5
f 3 ( s3 ) x*3
0
0
－
－
－
－
－
0
0
1 2
3
－ －
－
4 －
－
－ 6
－
－ －
11
－ －
－
－ －
－
4 6
11
1 2
3
4 5
－ －
－ －
－ －
管 理 运
－ － －
筹 学
12 － 12 12 12
4 5
16
其中 x*3 表示取3子过程上最优指标值 f 3 ( s3 )时的 x3 决策，例如在表10-6中可知当s3 =4时，有 r3 (4,4) 12; 有 * f 3 (4) 12, 此时 x 3 4 ，即当 s3 4 时，此时取 x3 4 （把4台设备分配给第3厂）是最优决策，此时阶段指标值 （盈利）为12，最优3子过程最优指标值也为12。 第二阶段： 当把 s2 (s2 0,1,2,3,4,5) 台设备分配给第2工厂和第3工 厂时，则对每个s 2 值，有一种最优分配方案，使最大盈利 即最优2子过程最优指标函数值为 f 2 ( s2 ) max[r2 ( s2 , x2 ) f 3 ( s3 )]
一、基本概念： 1、阶段k：表示决策顺序的离散的量，阶段可以按时间或空间划 分。 2、状态sk：能确定地表示决策过程当前特征的量。状态可以是数 量，也可以是字符，数量状态可以是连续的，也可以是离散的。
3、决策xk：从某一状态向下一状态过渡时所做的选择。决策是所 在状态的函数，记为xk(sk)。
决策允许集合Dk(sk)：在状态sk下，允许采取决策的全体。
也就是s3 x3 时，第3阶段的指标值（即第3厂的盈利）
为最大，即
max r3 ( s3 , x3 ) r3 ( s3 , s3 )
x3
由于第3阶段是最后的阶段，故有
f 3 ( s3 ) max r3 ( s3 , x3 ) r3 ( s3 , s3 ).
x3
其中 x3可取值为0,1,2,3,4,5。其数值计算见表10－6。
过程指标函数Vk,n(sk, xk, xk+1,…, xn)：从状态sk出发，选择决策xk,
xk+1, …, xn所产生的过程指标。动态规划要求过程指标具有可分离 性，即 Vk,n(sk, xk, xk+1, …, xn) = rk(sk, xk)+Vk+1(sk+1, xk+1, …, xn)
称指标具有可加性，或 Vk,n(sk, xk, xk+1, …, xn) = rk(sk, xk)×Vk+1(sk+1,
11＋4
11＋0
21
2
运
筹
学
18
其中在 s2 4 的这一行里， 当 x2 1 时， 当 x2 2 时，可知
r2 ( s2 , x2 ) f 3 ( s2 x2 ) r2 (4,1) f 3 (4 1) r2 (4,1) f 3 (3) 5 11 16
x2
管
理
运
筹
学
17
因为 s3 s2 x2,上式也可写成
x2
f 2 ( s2 ) max r2 ( s2 , x2 ) f 3 ( s2 x2 )
表10－7
其数值计算如表10－7所示。
s2
0 1 2
x2
0 1 － 2
r2 ( s2 , x2 ) f 3 ( s3 x2 )
本阶段最优终点 到E的最短距离 （最优决策)
12 11 11 D2 D2 D1
分析得知：如果经过C1，则最短路为C1-D2-E； 如果经过C2，则最短路为C2-D2-E； 如果经过C3，则最短路为C3-D1-E。
管
理
运
筹
学
4
第二阶段：有4个始点B1,B2,B3,B4，终点有C1,C2,C3。对始点和终点进行分 析和讨论分别求B1,B2,B3,B4到C1,C2,C3 的最短路径问题：
2
讨论：
1、以上求从A到E的最短路径问题，可以转化为四个性质完全相
同，但规模较小的子问题，即分别从Di 、Ci、Bi、A到E的最短路 径问题。
从最短路上每一点到终点的部分道路,也一定是从该点到终点的最短路.
第四阶段：两个始点D1和D2，终点只有一个；
表10-1
阶段4
本阶段始点 （状态） D1 D2 本阶段各终点（决策） E 10 6 10 6 到E的最短距离 本阶段最优终点 （最优决策) E E
xk+1, …, xn)称指标具有可乘性。
管
理
运
筹
学
9
二、基本方程： 最优指标函数fk(sk)：从状态sk出发，对所有的策略Pk,n，过程指
标Vk,n的最优值，即
f k (sk )
opt
xk Dk ( s k )
{ k , n ( s k , P , n )} V k
管
理
运
筹
学
10
对于可加性指标函数，上式可以写为
C3
6+11=17 2+11=13 3+11=14 1+11=12
分析得知：如果经过B1，则走B1-C2-D2-E； 如果经过B2，则走B2-C3-D1-E； 如果经过B3，则走B3-C3-D1-E； 如果经过B4，则走B4-C3-D1-E。
管 理 运 筹 学
5
第一阶段：只有1个始点A，终点有B1,B2,B3,B4 。对始点和终 点进行分析和讨论分别求A到B1,B2,B3,B4的最短路径问题：
2 3 4 5
f1 ( x) x*1
0,2
0 21
3＋16 7 14
9+10
12+5
13+0 21
然后按计算表格的顺序推算，可知最优分配方案有两个： * * 1.由于 x 1 0 ，根据 s2 s1 x 1 5 0 5 ，查表10－7可 知 x*2 2，再由s3 s2 x*2 5 2 3，求得 x*3 s3 3。即分配 给甲厂0台，乙厂2台，丙厂3台。 2.由于 x*1 2 ，根据 s2 s1 x*1 5 2 3 ，查表10－7可
管 理 运 筹 学
20
知 x*2 2 ，再由s3 s2 x*2 3 2 1 ,求得 x*3 s3 1 ，
3
7 9 12
5
10 11 11
4
6 11 12
5
13
11 表10-5
管 理 运 筹 学
12
13
解：将问题按工厂分为三个阶段，甲、乙、丙三个厂分 别编号为1、2、3厂。设 sk= 分配给第k个厂至第3个厂的设备台数（k=1、2、 3）。-即第k阶段剩余的可分配设备 xk=分配给第k个厂设备台数。 已知s1=5, 并有
表10-4 阶段1 本阶段始 点(状态) A 本阶段各终点（决策） B1 B2 B3 3+14=17 B4 2+12=14 到E的最 短距离 12 本阶段最优终 点(最优决策) C2
4+12=16 3+13=16
最后，可以得到：从A到E的最短路径为A B4 C3 D1 E
管
理
运
筹
学
6
以上计算过程及结果，可用图2表示，可以看到，以上方法不仅 得到了从A到D的最短路径，同时，也得到了从图中任一点到E的最 短路径。
s2 T1 (s1 , x1 ) s1 x1 s3 T2 ( s2 , x2 ) s2 x2
从s k 与xk 的定义，可知
以下我们从第三阶段开始计算。
管 理 运 筹 学
14
s3 x3
第三阶段: 显然将 s3 ( s3 0,1,2,3,4,5)台设备都分配给第3工厂时，
管
理
运
筹
学
12
§3
一、资源分配问题
动态规划的应用(1)
例2. 某公司拟将某种设备5台，分配给所属的甲、乙、丙三个工
厂。各工厂获得此设备后，预测可创造的利润如表10-5所示，问这
5台设备应如何分配给这3个工厂，使得所创造的总利润为最大？
盈利
工厂 设备台数 0 甲 厂 0 乙 厂 0 丙 厂 0
1
运筹学教案动态规划
运筹学教案动态规划一、教学目标1. 了解动态规划的基本概念及其在运筹学中的应用。
2. 掌握动态规划的基本原理和方法，能够解决实际问题。
3. 学会使用动态规划解决最优化问题，提高解决问题的效率。
二、教学内容1. 动态规划的基本概念动态规划的定义动态规划与分治法的区别2. 动态规划的基本原理最优解的性质状态转移方程边界条件3. 动态规划的方法递推法迭代法表格法4. 动态规划的应用背包问题最长公共子序列最短路径问题三、教学方法1. 讲授法：讲解动态规划的基本概念、原理和方法。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用动态规划解决问题。
3. 编程实践法：让学生动手编写代码，加深对动态规划方法的理解。
四、教学准备1. 教材：《运筹学导论》或相关教材。
2. 课件：动态规划的基本概念、原理、方法及应用案例。
3. 编程环境：为学生提供编程实践的平台，如Python、C++等。
五、教学过程1. 引入：通过一个实际问题，引出动态规划的概念。
2. 讲解：讲解动态规划的基本原理和方法。
3. 案例分析：分析实际问题，展示动态规划的应用。
4. 编程实践：让学生动手解决实际问题，巩固动态规划方法。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调动态规划的关键要点。
6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂讲解：评估学生对动态规划基本概念、原理和方法的理解程度。
2. 案例分析：评估学生运用动态规划解决实际问题的能力。
3. 编程实践：评估学生动手实现动态规划算法的能力。
4. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的掌握情况。
七、教学拓展1. 研究动态规划与其他优化方法的联系与区别。
2. 探讨动态规划在运筹学其他领域的应用，如库存管理、生产计划等。
3. 了解动态规划在、数据挖掘等领域的应用。
八、教学反思1. 反思本节课的教学内容、方法和过程，确保符合教学目标。
2. 考虑学生的反馈，调整教学方法和节奏，提高教学效果。
3. 探讨如何将动态规划与其他运筹学方法相结合，提高解决问题的综合能力。
运筹学动态规划PPT
动态决策问题的特点： 系统所处的状态和时刻是进行决策的重要因素； 即在系统发展的不同时刻（或阶段）根据系统 所处的状态，不断地做出决策； 找到不同时刻的最优决策以及整个过程的最优策略。
多阶段决策问题： 是动态决策问题的一种特殊形式； 在多阶段决策过程中,系统的动态过程可以按照时间 进程分为状态相互联系而又相互区别的各个阶段； 每个阶段都要进行决策,目的是使整个过程的决策 达到最优效果。
3 2 A 4 B2 B1 2 3 1 3 1
C1 C2 4 3
1 D
C3
最短路线为
A→B1→C1 →D
3 1
解：整个计算过程分三个阶段，从最后一个阶段开始。
第一阶段（C →D）： C 有三条路线到终点D 。
显然有 f1 (C1 ) = 1 ； f1(C2 ) = 3 ； f1 (C3 ) = 4
3
2 A 4 B2 B1 2 1 3
C1
C2 4 C3 3
1 D
3 1
第二阶段（B →C）： B 到C 有六条路线。
4、确定状态转移方程
根据k 阶段状态变量和决策变量，写出k+1阶段状态变 量，状态转移方程应当具有递推关系。
5、确定阶段指标函数和最优指标函数，建立动态规 划基本方程
阶段指标函数是指第k 阶段的收益，最优指标函数是 指从第k 阶段状态出发到第n 阶段末所获得收益的最优 值，最后写出动态规划基本方程。 以上五步是建立动态规划数学模型的一般步骤。由于动 态规划模型与线性规划模型不同，动态规划模型没有统一 的模式，建模时必须根据具体问题具体分析，只有通过不 断实践总结，才能较好掌握建模方法与技巧。
2、在多阶段决策过程中，动态规划方法是既把当前 一段和未来一段分开，又把当前效益和未来效益结合 起来考虑的一种最优化方法。因此，每段决策的选取 是从全局来考虑的，与该段的最优选择答案一般是不 同的. 3、在求整个问题的最优策略时，由于初始状态是 已知的，而每段的决策都是该段状态的函数，故最优 策略所经过的各段状态便可逐段变换得到，从而确定 了最优路线。 最优化原理：作为整个过程的最优策略具有这样的 性质：无论过去的状态和决策如何，相对于前面的决 策所形成的状态而言，余下的决策序列必然构成最优 子策略。”也就是说，一个最优策略的子策略也是最 优的。
管理运筹学：第10章 动态规划
5－
r3(s3, x3)
1
2
3
4
5 f3(s3) x*3
－－ －－－ 0 0
4 － －－－ 4 1
－ 6－ －－ 6 2
－ － 11 － － 11 3
－ － － 12 － 12 4
－ － － － 12 12 5
管理运筹学
15
§3 动态规划的应用(1)
其中
x
* 3
表示取3子过程上最优指标值f3(s3)时的 x3
区别，也可知这时 x2的最优决策为1或2。
管理运筹学
18
§3 动态规划的应用(1)
第一阶段：
把 s1(s1 5) 台设备分配给第1，第2，第3厂时，最大
盈数利值为计算f1(见5) 表m1xa10x－[r1(85, x1) f1(5 x1)],其中 x1可取值0,1,2,3,4,5.
s1 x1 0
管理运筹学
5
§1 多阶段决策过程最优化问题举例
第二阶段：有4个始点B1,B2,B3,B4，终点有C1,C2,C3。对始点和终点进行分 析和讨论分别求B1,B2,B3,B4到C1,C2,C3 的最短路径问题：
表10-3
本阶段始点 （状态）
B1 B2 B3 B4
阶段2 本阶段各终点（决策）
C1 2+12=14 4+12=16 4+12=16 7+12=19
为最大，即
max x3
r3
(s3
,
x3
)
r3
(s3
,
s3
)
由于第3阶段是最后的阶段，故有
f3
(s3
)
max x3
r3
(s3
运筹学第10章动态规划
管 理 运 精品资料 筹 学
17
动态(dòngtài)规划要求过程指标满足递推关系 ，即
Vk (sk , xk , xk1, , xn ) Vk [v(sk , xk ),Vk1(sk1, xk1, , xn )]
管 理 运 精品资料 筹 学
20
动态(dòngtài)规划方法的基本思想
• 结合解决最短路线问题来介绍动态规划方法(fāngfǎ) 的基本思想。生活中的常识告诉我们, 最短路线有一 个重要特性: 如果由起点A 经过P 点和H 点而到达终 点G 是一条最短路线, 则由点P 出发经过H 点到达终 点G 的这条子路线, 对于从点P 出发到达终点的所有 可能选择的不同路线来说, 必定也是最短路线。
连和形式 (xíngshì)：
VK VK (sk , xk , xk1, , xn ) vk (sk , xk）＋VK (sk＋1, xk1, , xn )
n1
v j (s j , x j）Vn jk
最优指标函数是
f k (sk ) Opt {vk (sk , xk } f k1 (sk1 )}, k 1,2,, n
xk Dk ( sk )
管 理 运 精品资料 筹 学
18
连乘形式(xíngshì)(VvjK≠0)V：K (sk , xk , xk1, , xn )
vk (sk , xk ) VK (sk＋1, xk1, , xn )
n1
j =k
vj
(s j
,
xj
) Vn
最优指标函数是
fk (sk ) Opt {vk (sk , xk } fk1(sk1)}, k 1, 2, , n
第10章 动态规划
管理运筹学
7
缺点
①没有统一的处理方法，求解时要根据问题的 性质，结合多种数学技巧。因此实践经验及 创造性思维将起重要的引导作用；
②“维数障碍”，当变量个数太多时，由于计 算机内存和速度的限制导致问题无法解决。 有些问题由于涉及的函数没有理想的性质使 问题只能用动态规划描述，而不能用动态规 划方法求解。
盈利 工厂 设备台数
0 1 2
3 4 5
甲厂
0 3 7 9 12 13
乙厂
0 5 10 11 11 11
管理运筹学
29
第一阶段：只有1个始点A，终点有B1,B2,B3,B4 。对始点和终 点进行分析和讨论分别求A到B1,B2,B3,B4的最短路径问题：
表10-4
本阶段始 点(状态)
A
阶段1 本阶段各终点（决策）
B1
B2
B3
B4
4+12=16 3+13=16 3+14=17 2+12=14
到E的最 本阶段最优终 短距离 点(最优决策)
第四阶段：两个始点D1和D2，终点只有一个；
表10-1
阶段4
本阶段始点 本阶段各终点（决策） 到E的最短距离
（状态）
E
D1
10
10
D2
6
6
分析得知：从D1和D2到E的最短路径唯一。
本阶段最优终点 （最优决策)
E E
管理运筹学
27
第三阶段：有三个始点C1，C2，C3，终点有D1，D2，对始点
和终点进行分析和讨论分别求C1，C2，C3到D1，D2 的最短路
运筹学教案动态规划
运筹学教案动态规划一、引言1.1 课程背景本课程旨在帮助学生掌握运筹学中的动态规划方法，培养学生解决实际问题的能力。
1.2 课程目标通过本课程的学习，学生将能够：（1）理解动态规划的基本概念和原理；（2）掌握动态规划解决问题的方法和步骤；（3）能够应用动态规划解决实际问题。
二、动态规划基本概念2.1 定义动态规划（Dynamic Programming，DP）是一种求解最优化问题的方法，它将复杂问题分解为简单子问题，并通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。
2.2 特点（1）最优子结构：问题的最优解包含其子问题的最优解；（2）重叠子问题：问题中含有重复子问题；（3）无后效性：一旦某个给定子问题的解确定了，就不会再改变；（4）子问题划分：问题可以分解为若干个子问题，且子问题之间是相互独立的。
三、动态规划解决问题步骤3.1 定义状态状态是指某一阶段问题的一个描述，可以用一组变量来表示。
3.2 建立状态转移方程状态转移方程是描述从一个状态到另一个状态的转换关系。
3.3 确定边界条件边界条件是指初始状态和最终状态的取值。
3.4 求解最优解根据状态转移方程和边界条件，求解最优解。
四、动态规划应用实例4.1 0-1背包问题问题描述：给定n个物品，每个物品有一个重量和一个价值，背包的最大容量为W，如何选择装入背包的物品，使得背包内物品的总价值最大。
4.2 最长公共子序列问题描述：给定两个序列，求它们的最长公共子序列。
4.3 最短路径问题问题描述：给定一个加权无向图，求从源点到其他各顶点的最短路径。
5.1 动态规划的基本概念和原理5.2 动态规划解决问题的步骤5.3 动态规划在实际问题中的应用教学方法：本课程采用讲授、案例分析、上机实践相结合的教学方法，帮助学生深入理解和掌握动态规划方法。
教学评估：课程结束后，通过课堂讨论、上机考试等方式对学生的学习情况进行评估。
六、动态规划算法设计6.1 动态规划算法框架介绍动态规划算法的基本框架，包括状态定义、状态转移方程、边界条件、计算顺序等。
10运筹学-动态规划
动态规划问题实例 动态规划的基本概念与原理 动态规划应用举例
引言
动态规划是解决多阶段决策过程最优化的一种方法。该方法 是由美国数学家贝尔曼（R. E. Bellman)等人在20世纪50年代 初提出的。并成功地解决了生产管理、工程技术等方面的许
多问题，从而建立了运筹学的一个新的分支，即动态规划。
式中opt 可根据题意取 max 或 min.
例如，例1的基本方程为：
f k ( sk ) min{d k ( sk , uk ) f k 1 ( sk 1 )} k 5,4,3,2,1 uk f 6 ( s6 ) 0
最优性原理：无论过去的状态和决策如何，从眼下直到最后 的诸决策必构成最优子策略。
（1）k=5 时，状态 S5 {E1 , E2} 最短路。
它们到F 点的距离即为
f 5 ( E1 ) 4,
f5 ( E2 ) 3;
* * u5 ( E1 ) F , u5 ( E2 ) F.
2
4
C1
8 3
5 4 5 3 4 8
* u5 ( E1 ) F ,
B1
D1 D2 D3
动态规划应用举例
例1 最短路线问题
2 4
C1
8 3
5 4
B1
D1 D2 D3
5 6
2 1
3
6
5 8 7 7
C2 C3
5
3 4 8
E1
3
4
A B2
F E2
3
C4
4
2
4
C1
8 3
5 4 5 3 4 8
B1
D1 D2 D3
5 6 2 1
《管理运筹学》第四版课后习题解析(下)
《管理运筹学》第四版课后习题解析（下）第9章目标规划1、解：设工厂生产A 产品1x 件，生产B 产品2x 件。
按照生产要求，建立如下目标规划模型。
112212121211122212min ()()s.t43452530555086100,,,0,1,2--+-+-+-++++-+=+-+==i i P d P d x x x x x x d d x x d d x x d d i ≤≤≥由管理运筹学软件求解得12121211.25,0,0,10, 6.25,0x x d d d d --++======由图解法或进一步计算可知，本题在求解结果未要求整数解的情况下，满意解有无穷多个，为线段(135/14,15/7)(1)(45/4,0),[0,1]ααα+-∈上的任一点。
2、解：设该公司生产A 型混凝土x 1吨，生产B 型混凝土x 2吨，按照要求建立如下的目标规划模型。
)5,,2,1(0,,0,014550.060.015550.040.030000100150100120275200.)()(min 2121215521442331222111215443322111Λ=≥≥≥≤+≤+=-++=-+=-+=-++=-++++++++-+-+-+-+-+----++-i d d x x x x x x d d x x d d x d d x d d x x d d x x ts d p d d p d p d d p i i 由管理运筹学软件求解得.0,0,20,0,0,0,0,35,40,0,120,120554433221121============+-+-+-+-+-d d d d d d d d d d x x3、解：设x 1,x 2分别表示购买两种基金的数量，按要求建立如下的目标规划模型。
,,01250543504.07.0100004525.min 2,122211121212211≥≥=-++=-++≤+++-+-+--+i i d d x x d d x x d d x x x x ts d p d p用管理运筹学软件求解得，0,0,0,818.206,091.159,636.113221121======+-+-d d d d x x所以，该人可以投资A 基金113.636份，投资B 基金159.091份。
运筹学答案_第_10_章__动态规划
用，第五年继续使用，总成本＝4500 元。
9．最优解为第一年购买的设备到第二、三、四年初各更新一组，用到第 5 年末， 其总收入为 17 万元。
10．最优解为第一批投产 3 台，如果无合格品，第二批再投产 3 台，如果仍全部 不合格，第三批投产 4 台。总研制费用最小为 796 元。
11．
月份
采购量
最优解：X1=4、X2＝0、X3＝4、X4＝3 即第一个月生产 4 台，第一个月生产 0 台，第一个月生产 4 台，第一个月生
产 3 台。
最优值：Z=252000 元 4、最优解：运送第一种产品 5 件
最优值：Z=500 元 5．最大利润 2790 万元。最优安排如下表：
年度
年初完好设备 高负荷工作设备 低负荷工作设备
数
数1Βιβλιοθήκη 1250125
2
100
0
100
3
80
0
80
4
64
64
0
5
32
32
0
6．最优解（0，200，300，100）或（200，100，200，100）或者（100，100， 300，100）或（200，200，0，200）。总利润最大增长额为 134 万。
7．在区 1 建 3 个分店，在区 2 建 2 个分店，不在区 3 建立分店。最大总利润 22。 8．最优解为：第一年继续使用，第二年继续使用，第三年更新，第四年继续使
第 10 章 动态规划
1、最优解：A―B2―C1―D1―E；A―B3―C1―D1―E；A―B3―C2―D2―E 最优值：13
2、最优解：项目 A：300 万元、项目 B：0 万元、项目 C：100 万元、
最优值：Z=71+49+70=190 万元 3、设每个月的产量是 Xi 百台（i=1、2、3、4）
运筹学动态规划
特别注意：动态规划是求解某类问题的一种 方法，是考察问题的一种途径，而不是一种算法 （如线性规划是一种算法）。
因而，动态规划没有标准的数学表达式和明 确定义的一组规则，而必须对具体问题进行具体 分析处理．
动态规划
8.1 多阶段决策过程及实例 8.2 动态规划的基本概念和
基本方程 8.3 动态规划的最优性定理 8.4 动态规划与静态规划关系
综述
动态规划是运筹学的一个分支，是解决多 阶段决策过程最优化问题的一种数学方法。
该方法是由美国数学家贝尔曼(R.Bellman)等 人在本世纪50年代初提出的。
他们针对多阶段决策问题的特点，把多阶段 决策问题变换为一系列互相联系单阶段问题，然 后逐个加以解决。
1
2
3
始点
5
B1
6 3
A
4 B2 4 6
2
5
B3 6
C1
1 2
2
C2 2
3
C3
3
4 终点
D1 2
D2 3
E
4
D3
2、状态
5
B1
6 3
A 4 B246
25
B3 6
C1
1 2
2
C2 2
C3 3 3
D1 2
D2 3 E 4
D3
各个阶段开始时所处的自然状况和客观条件称为
状态,描述了研究问题过程的状况(称不可控因素).
一些与时间没有关系的静态规划（如线性 规划，非线性规划）问题，只要人为地引进 “时间”因素，也可把它视为多阶段决策问题， 用动态规划方法去处理。