概论论与数理统计作业

《概率论与数理统计》作业

第1章 概率论的基本概念

§1 .1 随机试验及随机事件

1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；

(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ；

2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= .

(2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ；

B ：两次出现同一面，则= ；

C ：至少有一次出现正面，则C= .

§1 .2 随机事件的运算

1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件：

(1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： .

(3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： .

(5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： .

2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则

（1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ，

（4）B A ?= ，（5）B A = 。

§1 .3 概率的定义和性质

1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则

(1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= .

2. 已知,

3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = .

§1 .4 古典概型

1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,

(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.

2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.

§1 .5 条件概率与乘法公式

1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。

2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式

1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个

签，说明两人抽“中‘的概率相同。

2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中随

机地取一个球，求取到红球的概率。

§1 .7 贝叶斯公式

1． 某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求（1）

该厂产品能出厂的概率，（2）任取一出厂产品, 求未经调试的概率。

2． 将两信息分别编码为A 和B 传递出去，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，

B 被误收作A 的概率为0.01，信息A 与信息B 传递的频繁程度为3 : 2，若接收站收到的信息是A ，问原发信息是A 的概率是多少？

§1 .8 随机事件的独立性

1. 电路如图，其中A,B,C,D 为开关。设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为p,求L 与R 为通路（用T 表示）的概率。

A B

L R

C D

2. 甲，乙,丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5和0.6，是否命中，相

互独立， 求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。

第1章作业答案

§1 .1 1：（1）},,,,,,,{TTT TTH THT HTT THH HTH HHT HHH S =；

（2）}3,2,

1,0{=S 2：（1）}6,5,4,3{}5,3,1{==B A ；

（2）{=A 正正，正反{},=B 正正，反反{},=C 正正，正反，反正}。

§1 .2 1： (1) ABC ；(2) C AB ；(3) C B A ；(4)C B A ??；(5) BC AC AB ??；

(6) C B C A B A ?? 或 C B A C B A C B A C B A +++；

2： (1)}41:{<<=?x x B A ；(2)}32:{≤≤=x x AB ；

(3)}43:{<<=x x B A ；

（4）10:{≤≤=?x x B A 或}52≤≤x ；（5）}41:{<<=x x B A 。

§1 .3 1： (1) )(AB P =0.3, (2))(B A P = 0.2, (3) )(B A P ? = 0.7. 2：

)(B A P )=0.4. §1 .4 1：(1)103082228/C C C ,(2)(103082228922181022/C C C C C C ）（++,(3)1-(1030922181022/C C C C ）+.

2： 3344/P .

§1 .5 1：. 2/6； 2： 1/4。

§1 .6 1： 设A 表示第一人“中”，则 P(A) = 2/10

设B 表示第二人“中”，则 P(B) = P(A)P(B|A) + P(A )P(B|A ) =10

29210891102=?+? 两人抽“中‘的概率相同, 与先后次序无关。

2： 随机地取一盒，则每一盒取到的概率都是0.5，所求概率为：

p = 0.5 × 0.4 + 0.5 × 0.5 = 0.45

§1 .7 1：（1）94% （2）70/94； 2： 0.993；

§1 .8. 1： 用A,B,C,D 表示开关闭合，于是 T = AB ∪CD,

从而，由概率的性质及A,B,C,D 的相互独立性

P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD)

= P(A)P(B) + P(C)P(D) – P(A)P(B)P(C)P(D)

424222p p p p p -=-+=

2： (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38；

(2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.

第2章 随机变量及其分布

§2.1 随机变量的概念，离散型随机变量

1 一盒中有编号为1，2，3，4，5的五个球，从中随机地取3个，用X 表示取出的3个球 中的最大号码., 试写出X 的分布律.

2 某射手有5发子弹，每次命中率是0.4，一次接一次地射击，直到命中为止或子弹用尽为止，用X 表示射击的次数, 试写出X 的分布律。

§2.2 10-分布和泊松分布

1 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X 是服从λ=4的泊松分布，求

(1)每分钟恰有1次呼叫的概率；(2)每分钟只少有1次呼叫的概率；

(3)每分钟最多有1次呼叫的概率；

2 设随机变量X 有分布律： X 2

3 , Y ～π(X), 试求：

p 0.4 0.6

（1）P(X=2,Y ≤2)； (2)P(Y ≤2)； (3) 已知 Y ≤2, 求X=2 的概率。

§2.3 贝努里分布

1 一办公室内有5台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6，计算

机是否被使用相互独立，问在同一时刻

(1) 恰有2台计算机被使用的概率是多少？

(2) 至少有3台计算机被使用的概率是多少？

(3) 至多有3台计算机被使用的概率是多少？

(4) 至少有1台计算机被使用的概率是多少？

2 设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9 ？

§2.4 随机变量的分布函数

1设随机变量X 的分布函数是： F(x) = ??

???≥<≤--<11115.010x x x

（1）求 P(X ≤0 )； P ()10≤

2 设随机变量X 的分布函数是：F(x) = ?????≤>+0001x x x Ax , 求（1）常数A, (2) P

()21≤

§2.5 连续型随机变量

1 设连续型随机变量X 的密度函数为：???<<=他

其010)(x kx x f （1）求常数k 的值；（2）求X 的分布函数F(x)，画出F(x) 的图形，

（3）用二种方法计算 P(- 0.5

2 设连续型随机变量0≥x 的分布函数为：F(x) = ??

???≥<≤

(1)求X 的密度函数)(x f ，画出)(x f 的图形，(2)并用二种方法计算 P(X>0.5).

§2.6 均匀分布和指数分布

1设随机变量K 在区间 (0, 5) 上服从均匀分布, 求方程 42x + 4Kx + K + 2 = 0

有实根的概率。

2 假设打一次电话所用时间（单位：分）X 服从2.0=α的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：（1）超过10分钟的概率；（2）10分钟 到20分钟的概率。 §2.7 正态分布

1 随机变量X ～N (3, 4), (1) 求 P(22), P(X>3)；

(2) 确定c ，使得 P(X>c) = P(X

2 某产品的质量指标X 服从正态分布，μ=160，若要求P(120

§2.8

1设随机变量X 的分布律为；Y = 2X – 1, 求随机变量的分布律。

2设随机变量X 的密度函数为：???<<-=他其0

10)1(2)(x x x f ， 2X Y =；求随机变量Y 的密度函数。

3. 设随机变量X 服从（0， 1）上的均匀分布，X Y ln 2-= ，求随机变量Y 的密度函数。

第2章作业答案

§2.1 1：

2： X 1 2 3 4 5 p 0.4 0.6×0.4 0.6×0.6×0.4 0.6×0.6×0.6×0.4 0.6×0.6×0.6×0.6×1

§2.2 1： (1) P(X = 1) = P(X ≥1) – P(X ≥2) = 0.981684 – 0.908422 = 0.073262,

(2) P(X ≥1) = 0.981684,

(3) P(X ≤1) = 1 - P(X ≥2) = 1 – 0.908422 = 0.091578。 2：(1) 由乘法公式：

P(X=2,Y ≤2) = P(X=2) P(Y ≤2 | X=2)= 0.4× (22222---++e e e )= 22-e

（2）由全概率公式：P(Y ≤2) = P(X=2) P(Y ≤2 | X=2) + P(X=3) P(Y ≤2 | X=3)

= 0.4×52-e + 0.6×

3217-e = 0.27067 + 0.25391 = 0.52458 （3）由贝叶斯公式：P(X=2|Y ≤2)=516.052458

.027067.0)2()2,2(==≤≤=Y P Y X P §2.3 1： 设X 表示在同一时刻被使用的台数，则 X ～B(5, 0.6),

(1) P( X = 2 ) = 32254.06.0C (2) P(X ≥3 ) = 544523356.04.06.04.06.0++C C

(3) P(X ≤3 ) = 1 - 54456.04.06.0-C (4)P(X ≥1 ) = 1 - 54.0

2： 至少必须进行11次独立射击.

§2.4 1：（1）P(X ≤0 )=0.5； P ()10≤

(2) X 的分布律为：

2： (1) A = 1, (2) P ()21≤

§2.5 1：（1）2=k ，（2）??

???≥<≤<=111000)(2x x x

x x F ； （3）P(- 0.5

120)(5

.0005.05.05.0=+=???--xdx dx dx x f ； 或= F(0,5) – F(-0.5) = 4

1041=-。 2： （1）???<<=他其0

1/1)(e x x x f （2）2ln 1)2(-=>X P §2.6 1： 3/5 2： 422)2()1(----e e e

§2.7 1：(1) 0.5328, 0.9996, 0.6977, 0.5；(2) c = 3， 2：σ≤31.25。

§2.8 1：

2： ??

???<<-=他其010)1(1)(y y y y f Y ， 3： ?????≤>=-00021)(2/y y e y f y Y ；

第3章 多维随机变量

§3.1 二维离散型随机变量

1. 设盒子中有2个红球，2个白球，1个黑球，从中随机地取3个，用X 表示取到的红球

个数，用Y 表示取到的白球个数，写出 (X, Y) 的联合分布律及边缘分布律。

2. 设二维随机变量),(Y X

试根椐下列条件分别求a 和b 的值；

(1)6.0)1(==X P ；

(2)5.0)2|1(===Y X P ； (3)设)(x F 是Y 的分布函数，5.0)5.1(=F 。 §3.2 二维连续型随机变量

1. )(Y X 、的联合密度函数为：?

??<<<<+=他其010,10)(),(y x y x k y x f 求（1）常数k ；（2）P(X<1/2,Y<1/2)；(3) P(X+Y<1)；(4) P(X<1/2)。

2．)(Y X 、的联合密度函数为：???<<<<=他其0

0,10),(x y x kxy y x f 求（1）常数k ；（2）P(X+Y<1)；(3) P(X<1/2)。

§3.3 边缘密度函数

1. 设(X, Y) 的联合密度函数如下，分别求X 与Y 的边缘密度函数。

+∞

<<∞-+∞<<∞-++=y x y x y x f ,)1)(1(1

),(222π

2. 设(X, Y) 的联合密度函数如下，分别求X 与Y 的边缘密度函数。

???<<=-他

其00),(x y e y x f x

§3.4 随机变量的独立性

1. (X, Y) 的联合分布律如下，

试根椐下列条件分别求a 和b 的值；(1) 3/1)1(==Y P ；(2) 5.0)2|1(==>Y X P ； （3）已知X 与Y 相互独立。

2. (X,Y) 的联合密度函数如下，求常数c ，并讨论X 与Y 是否相互独立？

???<<<<=他其010,10),(2

y x cxy y x f

*§3.5 多个随机变量的函数的分布

*§3.6 几种特殊随机变量函数的分布

第3

§3.1 1： (1) a=0.1 b=0.3

§3.2 1：(1) k = 1；(2) P(X<1/2, Y<1/2) = 1/8；(3) P(X+Y<1) = 1/3；(4) P(X<1/2) = 3/8。

2：(1) k = 8；(2) P(X+Y<1) = 1/6；(3) P(X<1/2) = 1/16。

§3.3 1： +∞<<∞-+=++=?∞+∞-x x dy y x x f X )1(2)1)(1(1)(2222ππ；

+∞<<∞-+=++=?∞

+∞-y y dx y x y f Y )1(2

)1)(1(1)(2222ππ；

2： ???≤>=-000)(x x xe x f x

X ； ???≤>=-0

00)(y y e y f y Y ； §3.4 1： （1）a=1/6 b=7/18； (2) a=4/9 b=1/9；（3）a = 1/3, b = 2/9。

2： c = 6, X 与Y 相互独立。

第4章 随机变量的数字特征

§4.1 数学期望

1．盒中有5个球，其中2个红球，随机地取3个，用X 表示取到的红球的个数，则EX 是：

（A ）1； （B ）1.2； （C ）1.5； （D ）2.

2. 设X 有密度函数：??

???=083)(2x x f 他其42≤≤x , 求)1(),12(),(2X E X E X E -,并求X 大于数学期望)(X E 的概率。

3. 设二维随机变量),(Y X

已知65.0)(=XY E ，

则a 和b 的值是：

（A ）a=0.1, b=0.3； （B ）a=0.3, b=0.1； （C ）a=0.2, b=0.2； （D ）a=0.15, b=0.25。

4．设随机变量 (X, Y) 的联合密度函数如下：求)1(,,+XY E EY EX 。

??

?<<<<=他其

020,10),(y x xy y x f

§4.2 数学期望的性质

1．设X 有分布律： X 0 1 2 3 则)32(2

+-X X E 是：

p 0.1 0.2 0.3 0.4

（A ）1； （B ）2； （C ）3； （D ）4. 2. 设),(Y X 有?????<<=他其0

145),(2y x y y x f ，试验证 )()()(Y E X E XY E =，但X 与Y 不

相互独立。

§4.3 方差

1．丢一颗均匀的骰子，用X 表示点数，求DX EX ,.

2．X 有密度函数：???+=0

4/)1()(x x f 他其20≤≤x ，求 D(X). §4.4 常见的几种随机变量的期望与方差

1． 设)2(~πX ,)6.0,3(~B Y ,相互独立，则)2(),2(Y X D Y X E --的值分别是：

（A ）-1.6和4.88； （B ）-1和4； （C ）1.6和4.88； （D ）1.6和-4.88.

2. 设)3,4(~),,(~N Y b a U X ，X 与Y 有相同的期望和方差，求b a ,的值。

（A ） 0和8； （B ） 1和7； （C ） 2和6； （D ） 3和5. §4.5 协方差与相关系数

1．随机变量 (X,Y) 的联合分布律如下：试求协方差 ),(Y X Cov 和相关系数XY ρ，

2．设随机变量 (X, Y) 有联合密度函数如下：试求协方差 ),(Y X Cov 和相关系数XY ρ， ?

??<<<<+=他其010,10),(y x y x y x f §4.6 独立性与不相关性 矩

1．下列结论不正确的是（ ）

（A ）X 与Y 相互独立，则X 与Y 不相关；

（B ）X 与Y 相关，则X 与Y 不相互独立；

（C ）)()()(Y E X E XY E =，则X 与Y 相互独立；

（D ）)()(),(y f x f y x f Y X =，则X 与Y 不相关；

2．若 0),(=Y X COV ，则不正确的是（ ）

（A ）)()()(Y E X E XY E =；（B ）)()()(Y E X E Y X E +=+；

（C ）)()()(Y D X D XY D =；（D ）)()()(Y D X D Y X D +=+；

3．（Y X ,）有联合分布律如下，试分析X 与Y 的相关性和独立性。

4．)()()(Y E X E XY E =是X 与Y 不相关的（ ）

（A ）必要条件；（B ）充分条件：（C ）充要条件；（D ）既不必要，也不充分。

5. )()()(Y E X E XY E =是X 与Y 相互独立的（ ）

（A ） 必要条件；（B ）充分条件：（C ）充要条件；（D ）既不必要，也不充分。

6. 设随机变量 (X, Y) 有联合密度函数如下：试验证X 与Y 不相关，但不独立。

???<<=他其0

14/21),(22y x y x y x f 第4章作业答案