天津市南开中学2015届高三数学(理)统练21(扫描版)
天津市南开中学高三数学统练4 理
天津市南开中学2015届高三数学统练4 理一、选择题（共12个小题. 每小题5分，共60分）1. 若函数3)(x x f =，则])2(['-f =（ ）A. 8-B.12C. 0D. 12. 曲线1323+-=x x y 在点)1,1(-处的切线斜率为（ ） A. 3 B. 3- C. 4- D. 4 3. 下列求导运算正确的是（ ）A.211)1(x x x +='+ B. 2ln 1)(log 2x x =' C. x x x x sin 2)cos (2-=' D. e x x 3log 3)3(='4. 已知函数1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则实数a 的取值范围（ ）A.21<<-aB.63<<-aC.63>-<a a 或D.21>-<a a 或5. 曲线01=--x y x 上一点)47,4(-P 处的切线方程是（ ）A.08165=++y xB.08165=+-y xC.08165=-+y xD.08165=--y x6. 函数52)(24+-=x x x f 在区间上的最大值与最小值分别是（ ） A.5，4 B.13，4 C.68，4 D.68，57. 若曲线4()f x x x =-在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的坐标为（ ）A.（1，3）B.（1-，3） C .（1，0） D.（－1，0）8. 已知()3231fx ax x =-+，若()f x 存在唯一零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是（ ）A.(),2-∞- B. ()1,+∞ C. ()2,+∞ D. (),1-∞-9. 已知()()()()ln 1ln 1,1,1fx x x x =+--∈-.现有下列命题：①()()f x f x -=-；②()2221x f f x x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭；③()2f x x≥.其中的所有正确命题的序号是（ ）A. ①②③B. ②③C. ①③D. ①② 10. 函数()()ln fx x x ax =-有两个极值点1x 和2x ()12x x <，则（ ）A.()10fx >，()212fx >-B. ()10f x <，()212fx <- C.()212fx >-，()212f x <-D. ()10fx <，()212fx >-11. 设函数()3232t h x tx t=-，若有且仅有一个实数0x ，使得对任意正数t ，()()700t h x h x …恒成立，则0x 等于（ ）12. 已知函数()32fx x ax bx c =+++，且()()()01233f f f <-=-=-…，则（ ）A. 3c …B. 36c <?C. 69c <?D. 9c >二、填空题（共6个小题. 每小题5分，共30分）13. 曲线423+-=x x y 在()3,1处切线的倾斜角为 . 14. x x y sin 2=，则='y _____ .15. 曲线x x x y -+-=21ln 2在点M （1，0）处的切线方程是___________.16. 直线12y x b =+是曲线ln y x =的一条切线，则b 的值为___ _.17. 过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a 的值为 .18. 当[]2,1x ∈-时，不等式32430ax x x -++…恒成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题（共有4个题，每题15分）19. 在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。
天津市南开中学高三数学统练7 理
天津市南开中学2015届高三数学统练7 理一、选择题（共12个小题. 每小题5分，共60分）已知()3log 31xy ax=++是偶函数，21x y b e =+-为奇函数，则a b +=（ ）．A ．1-B ．0C ．12 D ．1设233()4a =，342()3b =，4323log c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）．A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b c a >>若方程111()()042x x a -++=有正数解，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．01a <<B ．30a -<<C ．20a -<<D ．10a -<<设12M a a =+-(23)a <<，2121log ()16N x =+，则,M N 的大小关系为（ ）．A. M N <B. M N >C. M N =D. 不能确定若函数2()()af x x a x =+∈R ，则下列结论正确的是（ ）．A ．a ∀∈R ，()f x 在(0,)+∞上是增函数 21B ．a ∃∈R ，()f x 是偶函数育C ．a ∀∈R ，()f x 在(0,)+∞上是减函数D ．a ∃∈R ，()f x 是奇函数已知(),,0x y ∈-∞，且1x y +=-，则1xy xy +有 （ ）．A ． 最大值174B ．最小值174C ．最小值174-D ．最大值174-若()224ln f x x x x=--则()0f x '>的解集为（ ）． A ．()0,+∞ B. ()()1,02,-+∞∪ C.()2,+∞ D. ()1,0-若函数x x x f ln 2)(2-=在其定义域内的一个子区间()1,1k k -+内不是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ）．A.),1[+∞B.)2,23[C.[)1,2 D.31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是（ ）． A ． （0, B ．（1, C ．D ．（已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且0)1(=f ，()f x '是)(x f 的导函数，当0x >时总有()()xf x f x '<成立，则不等式0)(>x f 的解集为（ ）．A ．{}|11x x x <->或B ．{}|101x x x <-<<或C ．{}|1001x x x -<<<<或 D ．{}|101x x x -<<>或已知函数()f x 的图像与函数1()2h x x x =++的图像关于点()0,1A 对称，若()()ag x f x x =+，且()g x 在区间(]0,2上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．[)3,+∞B ．[)2,+∞ C ．(]0,3D ．(]0,2设()f x 的定义域为D ，若()f x 满足下面两个条件，则称()f x 为闭函数：()1()f x 在D 内是单调函数；()2存在[],a b D⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为[],a b 。
天津市南开中学2015届高三数学(理)统练18
一、选择题（共8小题，每题5分）1.如果抛物线2y ax =的准线是直线1x =，那么实数a 的值为（ ）A ．1-2B ．1-4C ．-4D ．-2 2. 设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )．A.45B ． 5C ． 25D ．53. 设双曲线以椭圆221259x y +=长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为 ( ). A.2± B.43±C.12±D.34± 4.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ,若12AB BC =，则双曲线的离心率是 ( )A B C D 5.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （ ）A.(1,2]B.(1,2)C.[2,)+∞D.(2,)+∞6. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ,过F 且斜率为的直线交C 于,A B 两点，若4AF FB =,则C 的离心率为( )A ．65 B. 75 C. 58 D. 957. 已知点()1,2A ,过点()5,2-的直线与抛物线24y x =交于另外两点,B C ,则ABC ∆是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定8. 点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且|||PA AB =，则称点P 为“点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”二、填空题（共8道小题，每题5分）9.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ．10.设双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F ．过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为 ．11.设集合(){}()()2229,4,,4A x y yx B x y x a y ⎧⎫===-+=⎨⎬⎩⎭,当a 在R 上变动时, A B⋂所含元素个数组成的集合是 .12.在平面直角坐标系xoy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 ．13.以知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为14.设O 为坐标原点，1F ,2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足1260F PF ∠=，||OP =,则该双曲线的渐近线方程为 .三、解答题15.已知定点()10C -，及椭圆2235x y +=，过点C 的动直线与椭圆相交于A 、B 两点. （Ⅰ）若线段AB 中点的横坐标是12-，求直线AB 的方程； （Ⅱ）在x 轴上是否存在点M ，使MA MB ⋅为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.16. 已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点(2,3)A ，且点(2,0)F 为其右焦点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.17．已知抛物线)0(22>=p px y ．过动点(),0M a 且斜率为1的直线l 与该抛物线 交于不同的两点,A B ,2AB p ≤．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求NAB ∆面积的最大值．18.设0b >，椭圆方程为222212x y b b+=，抛物线方程为28()x y b =-．如图所示，过点(02)F b +，作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点1F ．（Ⅰ）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； （Ⅱ）设A B ，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得ABP △为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．19.已知()()2222251:2,:244M x y N x y ++=-+=,动圆P 与,M N 均外切. （Ⅰ）求动圆的圆心P 的轨迹C 的方程;（Ⅱ）延长PN 与曲线C 交于另一点Q ,求PQ 的最小值;20.抛物线C 的方程为)0(2<=a ax y ，过抛物线C 上一点P(x 0,y 0)(x 0≠0)作斜率为k 1,k 2的两条直线分别交抛物线C 于A(x 1, y 1),B(x 2,y 2)两点(P,A,B 三点互不相同)，且满足)10(012-≠≠=+λλλ且k k .（Ⅰ）求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线AB 上一点M ，满足MA BM λ=，证明线段PM 的中点在y 轴上； (Ⅲ)当λ=1时，若点P 的坐标为（1，-1），求∠PAB 为钝角时点A 的纵坐标1y 的取值范围.天津南开中学2015届高三数学统练18（理科·圆锥曲线）一、选择题（共8小题，每题5分）1.如果抛物线2y ax =的准线是直线1x =，那么实数a 的值为（ ）A ．1-2B ．1-4C ．-4D ．-2 2. 设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )．A.45B ． 5C ． 25D ．53. 设双曲线以椭圆221259x y +=长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为 ( ). A.2± B.43±C.12±D.34± 4.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ,若12AB BC =，则双曲线的离心率是 ( )A B C D 5.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （ ）A.(1,2]B.(1,2)C.[2,)+∞D.(2,)+∞6. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ,过F 且斜率为的直线交C 于,A B 两点，若4AF FB =,则C 的离心率为( )A ．65 B. 75 C. 58 D. 957. 已知点()1,2A ,过点()5,2-的直线与抛物线24y x =交于另外两点,B C ,则ABC ∆是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定8. 点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且|||PA AB =，则称点P 为“点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”二、填空题（共6道小题，每题5分）9.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ．10.设双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F ．过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为 ．11.设集合(){}()()2229,4,,4A x y yx B x y x a y ⎧⎫===-+=⎨⎬⎩⎭,当a 在R 上变动时, A B⋂所含元素个数组成的集合是 .12.在平面直角坐标系xoy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 ．13.以知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为14.设O 为坐标原点，1F ,2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足1260F PF ∠=，||OP =,则该双曲线的渐近线方程为 .三、解答题15.已知定点()10C -，及椭圆2235x y +=，过点C 的动直线与椭圆相交于A 、B 两点. （Ⅰ）若线段AB 中点的横坐标是12-，求直线AB 的方程； （Ⅱ）在x 轴上是否存在点M ，使MA MB ⋅为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.16. 已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点(2,3)A ，且点(2,0)F 为其右焦点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.17．已知抛物线)0(22>=p px y ．过动点(),0M a 且斜率为1的直线l 与该抛物线 交于不同的两点,A B ,2AB p ≤．图 （Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求NAB ∆面积的最大值．18.设0b >，椭圆方程为222212x y b b+=，抛物线方程为28()x y b =-．如图所示，过点(02)F b +，作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点1F ．（Ⅰ）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； （Ⅱ）设A B ，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得ABP △为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．19.已知()()2222251:2,:244M x y N x y ++=-+=,动圆P 与,M N 均外切. （Ⅰ）求动圆的圆心P 的轨迹C 的方程;（Ⅱ）延长PN 与曲线C 交于另一点Q ,求PQ 的最小值;20.抛物线C 的方程为)0(2<=a ax y ，过抛物线C 上一点P(x 0,y 0)(x 0≠0)作斜率为k 1,k 2的两条直线分别交抛物线C 于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点(P,A,B 三点互不相同)，且满足)10(012-≠≠=+λλλ且k k .（Ⅰ）求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线AB 上一点M ，满足λ=，证明线段PM 的中点在y 轴上； (Ⅲ)当λ=1时，若点P 的坐标为（1，-1），求∠PAB 为钝角时点A 的纵坐标1y 的取值范围.天津南开中学2015届高三数学统练18答案一、选择题 BDCC CACA二、填空题 9. 3 10.321511.{}0,1,2 12. 13.9 14.y = 三、解答题16. 已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点(2,3)A ，且点(2,0)F 为其右焦点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.16. （Ⅰ）依题意，可设椭圆C 的方程为()222210,0x y a b a b+=>>，且可知左焦点为()2,0F -，从而有228c a AF AF =⎧⎨'=+=⎩，解得24c a =⎧⎨=⎩， 又222a b c =+，所以212b =，故椭圆C 的方程为2211612x y +=. （Ⅱ）假设存在符合题意的直线l ，其方程为32y x t =+，由223211612y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2233120x tx t ++-=，因为直线l 与椭圆有公共点，所以有223t)-43(t -12)0∆=⨯≥（，解得t -≤≤OA 与l 的距离4，从而t=±由于±[-，所以符合题意的直线l 不存在.17．已知抛物线)0(22>=p px y ．过动点(),0M a 且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点,A B ,2AB p ≤．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求NAB ∆面积的最大值．17．（Ⅰ）直线l 的方程为a x y -=，将px y a x y 22=-=代入，得 0)(222=++-a x p a x ． 设直线l 与抛物线两个不同交点的坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+>-+.),(2,04)(42212122a x x p a x x a p a 又a x y a x y -=-=2211,，∴221221)()(||y y x x AB -+-= ]4)[(221221x x x x -+=)2(8a p p +=． ∵0)2(8,2||0>+≤<a p p p AB ，∴ p a p p 2)2(80≤+<． 解得 42pa p -≤<-．（Ⅱ）设AB 的垂直平分线交AB 于点Q ，令坐标为),(33y x ，则由中点坐标公式，得p a x x x +=+=2213， p a x a x y y y =-+-=+=2)()(221213． ∴ 22222)0()(||p p a p a QM =-+-+=． 又 MNQ ∆为等腰直角三角形， ∴ p QM QN 2||||==，∴||||21QN AB S NAB ⋅=∆||22AB p =p p 222⋅≤22p =即NAB ∆面积最大值为22p18.设0b >，椭圆方程为222212x y b b+=，抛物线方程为28()x y b =-．如图所示，过点(02)F b +，作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点1F ．（Ⅰ）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； （Ⅱ）设A B ，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得ABP △为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．图18.解. （Ⅰ）由28()x y b =-得218y x b =+， 当2y b =+得4x =±，∴G 点的坐标为(4,2)b +，1'4y x =，4'|1x y ==，过点G 的切线方程为 (2)4y b x -+=-即2y x b =+-， 令0y =得2x b =-，1F ∴点的坐标为(2,0)b -，由椭圆方程得1F 点的坐标为(,0)b ， 2b b ∴-=即1b =，即椭圆和抛物线的 方程分别为2212xy +=和28(1)x y =-. （Ⅱ）过A 作x 轴的垂线与抛物线只有一个交点P ,∴以PAB ∠为直角的Rt ABP ∆只有一个，同理以PBA ∠为直角的Rt ABP ∆只有一个.若以APB ∠为直角，设P 点坐标为21(,1)8xx +，A 、B两点的坐标分别为(0)和0)，22112,1,2,188PA x x PB x x ⎛⎫⎛⎫=----=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎭222421152(1)108644PA PB x x x x =-++=+-=.令2t x =则21510644t t +-=,由韦达定理 ,该方程有正负各一根. 所以关于2x 的二次方程有一大于零的解，因此x 有两解，即以APB ∠为直角的Rt ABP ∆有两个,因此抛物线上存在四个点使得ABP ∆为直角三角形.19.已知()()2222251:2,:244M x y N x y ++=-+=,动圆P 与,M N 均外切. （Ⅰ）求动圆的圆心P 的轨迹C 的方程;（Ⅱ）延长PN 与曲线C 交于另一点Q ,求PQ 的最小值;由N 是焦点,则112222P Q PQ PN NQ x x ⎛⎫⎛⎫=+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()22244212121633P Q k x x k k ⎛⎫⎛⎫+-=-=+> ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,故PQ 的最小值为6.20.解：（Ⅰ）由抛物线C 的方程2ax y =（0<a ）得，焦点坐标为)41,0(a ，准线方程为ay 41-=． （Ⅱ）证明：设直线PA 的方程为)(010x x k y y -=-，直线PB 的方程为)(020x x k y y -=-．点),(00y x P 和点),(11y x A 的坐标是方程组 0102()y y k x x y ax-=-⎧⎪⎨=⎪⎩①②的解．将②式代入①式得000112=-+-y x k x k ax ，于是a k x x 101=+，故011x ak x -= ③ 又点),(00y x P 和点),(22y x B 的坐标是方程组0202()y y k x x y ax -=-⎧⎪⎨=⎪⎩④ ⑤的解．将⑤式代入④式得000222=-+-y x k x k ax ．于是220k x x a +=，故220k x x a=-．由已知得，12k k λ-=，则012x k a x --=λ． ⑥设点M 的坐标为),(M M y x ，由BM MA λ=，则λλ++=112x x x M ． 将③式和⑥式代入上式得0001x x x x M -=+--=λλ，即00=+x x M ． ∴线段PM 的中点在y 轴上． (Ⅲ)因为点)1,1(-P 在抛物线2ax y =上，所以1-=a ，抛物线方程为2x y -=．由③式知111--=k x ，代入2x y -=得211)1(+-=k y ．将1=λ代入⑥式得211x k =-，代入2x y -=得221(1)y k =--．因此，直线PA 、PB 分别与抛物线C 的交点A 、B 的坐标为2111(1,21)A k k k -----，2111(1,21)B k k k --+-．于是2111(2,2)AP k k k =++，11(2,4)AB k k =，则有 2111111112(2)4(2)2(2)(21)AP AB k k k k k k k k ⋅=+++=++．因P A B ∠为钝角且P 、A 、B三点互不相同，故必有0AP AB ⋅<．求得1k 的取值范围是12k <-或1102k -<<．又点A 的纵坐标1y 满足211(1)y k =-+，故当12k <-时，11y <-；当1102k -<<时，1114y -<<-．即11(,1)(1,)4y ∈-∞---.。
天津市南开中学高三数学统练6 向量 文
天津市南开中学 2015 届高三数学统练 6 向量 文选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符 合题目要求的．1. 平面上有三点 A、B、C 坐标分别为（1，3）、（7，y）、（2，2），若 ACB 90 ，则 y （ ）A. 9B. 8C. 7D. 62. a (2,4) , b (1,2),c (2,3) ，则 (a b) (a c) （ ）A. 10B. 14C. 10D. 143.已知两个单位向量ar、r b的夹角为1350,且arr b 1 ,则 的取值范围是() 0, 2A. 2,0B.C. ,0 2, , 2 2, D.4.已知arr 3, 2 , b 1, 0，向量 arr b与arr 2b垂直，则实数的值为()1 A. 71 B. 71 C. 61 D. 65.平面向量arr 与b的夹角为 600，ar(2, 0)，r b1arr 2b则()A. 3B. 2 3C. 4D.12 6.设r ar 、b、r c是单位向量，且arr b0，则 arcrr bcr的最小值为 ()A. 2B. 2 2C. 1D.1 2r 7.设非零向量 ar 、br 、c满足 |r a||r b||r cr |, ar br c，则向量 arr 与向量 b的夹角为()（A）1500(B）1200（C） 600（D） 3008.设向量ar ,r b满足：|ar|3,r b4，arr b0．以ar,r b,arr b的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 ( )A． 3B． 4C． 5D． 6uuur uuur uuur uuur uuur uuur 9.设 D、E、F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点，且 DC 2BD, CE 2EA, AF 2FB,uuur uuur uuur uuur则 AD BE CF 与 BC ()A.反向平行B.同向平行C.互相垂直 D.既不平行也不垂直-1-10.已知arr 1, b6,arr (bar )2，则向量ar与向量r b的夹角是（） A． 6 B． 4 C． 3 D． 211 .已知向量 arr (1, 2) ， b (2, 3) ．若向量 cr满足 (crar )/r /b， cr(arr b)，则cr（）(7 , 7)( 7 , 7)A． 9 3 B． 3 9(7 , 7) C． 3 9( 7 , 7) D． 9 3 12.已知 ar、br 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 cr 满足 ar cr r bcr 0 ,则 cr的最大值是 ( )（A）1（B）2（C） 22 （D） 2二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分，把答案填在题中横线上．13.若平面向量 a ， b满足ab 1， a b 平行于 x 轴， br (2,1) ，则 a.14．设arr 、b、cr是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 ①arr bcrcrarr br 0arr barr b②③r bcrarcrarr b不与cr垂直④ 3arr 2b3arr 2b9ar24r b2中，是真命题的有.uuur 15.已知平面上三点 A、B、C 满足| AB |=3,uuuruuuruuur uuur uuur uuur uuur uuur| BC | =4, | CA |=5 ，则 AB BC BC CA CA AB的值等于________.16.在直角坐标系 xOy 中，已知点 A (0，1)和点 B ( 3，4)，若 点 C 在∠AOB 的平分线上且uuur OC2，则uuur OC__________uuuur CM1uuur CB2uuur CA17. 若 等 边 ABC 的 边 长 为 2 3 ， 平 面 内 一 点 M 满 足63 ,则uuur uuur MA MB ________.uuur uuur 18.给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ， 它们的夹角为120o .如图所示，点C在以Ouuuv 为圆心的圆弧 AB 上变动.若uuur uuur uuur OC xOA yOB, 其中 x, y R ,则 x y 的最大值是______.三、解答题：本大题共 5 小题，共 64 分.解答应写 出文字说明，证明过程或 演算步骤.-2-19．已知函数f(x)cos2x 2sin 2x 2sinx，（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）当x0 (0, ) 4且f(x0 )42 5时，求f(x0) 6 的值.r a(2cosx,tan(x))r b(20．已知向量2 2 4，2 sin( x 2 ), tan( x 42 )) 4 ，令f(x)rr ab.求函数 f (x) 的最大值，最小正周期，并写出 f (x) 在[0, ]上的单调区间.urrur r21．已知向量 m (sin A, cos A), n (cosB,sin B) , m n sin 2C 且 A，B，C 分别为△ABC 的三边 a, b, c 所对的角.（Ⅰ）求角 C 的大小；（Ⅱ）若 sin A, sin C, sin B 成等比数列, 且 uuur uuur CACB 18 , 求 c 的值.-3-22 ． 在 △ABC 中 ， sin2 A sin2 C sin2 B sin AsinC ， H 是 △ABC 的 垂 心 ， 且 满 足uuur uuurBH BC 6 ，试求出 △ABC 外接圆半径 R 的最小值．天津南开中学 2014 届高三数学统练 6 答案一.选择题 CBCABDBBACDC二.填空题(1,1) 或 (3,1)②④-25 10 5,310 5 -22解答题19解：由题设有 f (x) cos x sin x 2 sin(x π) 4（I）函数 f (x) 的最小正周期是T 2π.（II）由f(x0 )42 5得2sin( x0π) 442 5,即 sin(x0π) 44 5,因为x0(0, 4),所以x0π 4(π 4, 2).从而cos(x0π) 41sin2( x0π) 41 (4)2 3. 55于是f(x0) 62sin(x0π 4 6)2sin[(x0π 4) 6]-4-2[sin( x0π) cos 4 6cos( x0π ) sin 4 6]2(4 3 3 1) 4 6 3 2 .5 2 5210f (x) a b 2 2 cos x sin( x ) tan( x ) tan( x )20．解：2 2424 24 2 2 cos x (2 sin x 2cos x) 1tanx 2tanx 212 s inxcos x2 cos2x12 2 2 2 2 1 tan x 1 tan x222222 sin(x ) sin x cosx =4.所以 f (x)的最大值为2，最小正周期为2,f( x)在[0, 4][0,上单调增加， 4]上单调减少.urrur r21．解：（Ⅰ） ∵ m (sin A, cos A), n (cosB,sin B) , m n sin 2C ,∴sinAcosB+cosAsinB=sin2 C即 sinC=sin2C1 ∴ cosC= 2又 C 为三角形的内角，C ∴3（Ⅱ） ∵sinA,sinC,sinB 成等比数列， ∴ sin2C=sinAsinB∴ c2 abuuur uuur 又, CAgCB 18∴ abcosC 18∴ ab 36 故 c 2 =36∴ c =6cos B 122．解：由正弦定理及余弦 定理可得2 ，又根据数量积的uuur uuur uuur uuur2R b几何意义得 BH BC BA BC ，于是有 ac 12 ；由于 sin B ，求 R 的最小值等价于 求 b 的最小值．于是由 uuur uuurb2 a2 c2 2BA BC 2ac 12 12 ， a c 即 △ABC 为等边三 B角形时， bmin 2 3 ， Rmin 2 ．AH C-5-。
天津市南开中学2015届高三数学统练13 文
cos y xω=天津市南开中学2015届高三数学统练13 文说明：1．本试卷分第І卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.2．请将选择题的答案填涂在答题卡上，填空题、解答题答在答题纸上. 第І卷（选择题共40分）一．选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填涂在答题卡上!)i 是虚数单位，复数131ii --=（ ）A ．2i -B ．2i +C ．12i --D ．12i -+3()2x f x x =+的零点所在区间为( )A ．(0，1)B ．(-1，0)C ．(1，2)D ．(-2，-l)阅读如图的程序框图，若运行相应的程序,则输出的S 是（ ）A 21．B 39．C 81．D 102．若把函数sin y x ω=图象向左平移3π个单位，则与函数的图象重合，则ω的值可能是 （ ）A ．13B ．32C ．23D ．12设2log 3a =，4log 3b =，1.21()2c =，则它们的大小关系是（ ） A. b a c << B.b c a << C.c a b << D. a b c <<已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．()∞1，+ B ．()1，2C ．()21，1+D ．()22，1+已知A={||21|5x x -<}，B={2|540x x x -+<}，C=(1，3)，则“x A B ∈”是“x C ∈”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件已知函数1|1|,[2,0]()2(2),(0,)x x f x f x x -+∈-⎧=⎨-∈+∞⎩，若方程()f x x a =+在区间[2,4]-内有3个不等实根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{|20}a a -<< B ．{|20}a a -<< C ．{|20a a -<<或12}a << D ．{|20a a -<<或1}a = 第Ⅱ卷（非选择题共110分）二．填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题纸上!)实数x ，y 满足不等式组10,1220y y x y W x x y ≥⎧-⎪-≥=⎨+⎪--≤⎩若,则W 的范围是 _________．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是 . 已知{}n a 为等差数列，nS 为其前n 项和，*n N ∈，若32016,20,a S ==则10S 的值为_______.如图,已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且2,::4:2:1.DF CF AF FB BE ===若CE 与圆相切，则CE 的长为__________.已知1x >，1y >，且1ln 4x，14，ln y 成等比数列，则xy 的最小值是_______.已知点M 为等边三角形ABC 的中心,=2AB ,直线l 过点M 交边AB 于点P ，交边AC 于点Q ，则BQ CP ⋅的最大值为 .三、解答题：（本答题共6小题，15至18小题每题13分，19至20小题每题14分，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） （本小题满分13分)2013年春节，有超过20万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾驶摩托车沿321国道返乡过年，为保证他们的安全，交管部门在321国道沿线设立多个驾乘人员休息站，交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车，就进行省籍询问一次，询问结果如下图所示（Ⅰ）问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？（Ⅱ）用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5名，则四川籍的应抽取几名？（Ⅲ）在上述抽出的驾驶人员中任取2名，求至少有一名驾驶人员是广西籍的概率．（本小题满分13分)已知函数222263f (x )sin(x )cos(x )cos xππ=+-++．(I)求12f ()π的值；(Ⅱ)求f (x )的最大值及相应x 的值． (本小题满分13分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，E 为AD 的中点，M 是棱PC 的中点,2PA PD ==，112BC AD ==，3CD =.（Ⅰ）求证：PE ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求直线BM 与平面ABCD 所成角的正切值； （Ⅲ）求直线BM 与CD 所成角的余弦值. (本小题满分13分)设0),(),,(222211>+b x a y y x B y x A 是椭圆是椭圆)0(1),(),,(222211>>=b a y x B y x A 是椭圆上的两点，已知向量11(,)x y b a =m ，P ABC DE M22(,)x y b a =n ,若0=⋅n m 且椭圆的离心率,23=e 短轴长为2，O 为坐标原点.( 1)求椭圆的方程；（2）若直线AB 过椭圆的焦点F （0，c ），（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值； (本小题满分14分) 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*22()n n S a n N =-∈，数列{}n b 满足11b =，且12n n b b +=+.（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式，并求数列{}n n a b ⋅的前n 项的和nD ；（Ⅱ）设22*sin cos ()22n n n n n c a b n N ππ=⋅-⋅∈，求数列{}n c 的前2n 项的和2n T ．（本小题满分14分) 已知函数()()32 0f x ax bx cx d x a =+++∈≠R ,，2-是()f x 的一个零点，又()f x 在0x =处有极值，在区间()6,4--和()2,0-上是单调的，且在这两个区间上的单调性相反． （Ⅰ）求c的值； （Ⅱ）求ba 的取值范围；（Ⅲ）当3b a =时，求使(){}32A y y f x x ==-≤≤，，[]3,2A ⊆-成立的实数a 的取值范围．南开中学2015届高三文科数学统练13参考答案 一、选择题：二、填空题：（9）113W -≤≤（10）2π （11）110（12） （13）e （14）229-三、解答题：（本答题共6小题，15至18小题每题13分，19至20小题每题14分，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15 （I ）系统抽样 （II ）2名 （III ）16．H17.（1）∵PD PA =，E 为AD 的中点，AD PE ⊥∴又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =，⊂PE 平面PADPE ∴⊥平面ABCD -------4分（2）连接EC ，取EC 中点H ，连接HB MH , ∵M 是PC 的中点，H 是EC 的中点，MH ∴∥PE 由（1）知PE ⊥平面ABCD ，MH ∴⊥平面ABCDHB ∴是BM 在平面ABCD 内的射影 MBH ∠∴即为BM 与平面ABCD 所成角∵AD ∥BC ，AD BC 21=，E 为AD 的中点，090=∠ADC∴四边形BCDE 为矩形，∴121,2===EC HB EC ，又∵,2321==PE MH MHB ∆∴中，23tan ==∠HB MH MBH∴直线BM 与平面ABCD 所成角的正切值为23-------9分(3) 由（2）知CD ∥BE ∴直线BM 与CD 所成角即为直线BM 与BE 所成角连接ME ，MHE Rt ∆中，,27=ME MHB Rt ∆中，,27=BM 又3==CD BE MEB ∆∴中，7213272473472cos 222=⨯⨯-+=⋅-+=∠BE BM ME BE BM MBE∴直线BM 与CD 所成角的余弦值为721-------13分18. 解：（1）2 2.1,2,c 2c b b e a a a =====⇒==椭圆的方程为1422=+x y（2）由题意，设AB 的方程为3+=kx y222212122(4)10.................4 141. .................5 4y kx k x y x x x x x k ⎧=+⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩-+==+分分由已知0=⋅n m 得：1212121222212121(43(1)().................6 444x x y y x x kx kx b a k x x x x +=+++=++++分22413()0,444k k k +=-+==+解得19．解：（Ⅰ）当1=n ，21=a ； …………………………1分 当2≥n 时，1122n n n n n a S S a a --=-=- ，∴12n n a a -=， ……………2分∴{}n a 是等比数列，公比为2，首项12a =， ∴2nn a = ………3分由12n n b b +=+，得{}n b 是等差数列，公差为2. ……………………4分又首项11=b ，∴21n b n =- ………………………………5分∴(21)2nn n a b n ⋅=-⨯∴1231123252(23)2(21)2n nn D n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ①①×2得23412123252(23)2(21)2n n n D n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ②…6分①—②得：123112222222(21)2n n n D n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯………7分114(12)22(21)212n n n -+-=+⨯--⨯- ……8分12(32)6n n +=--， ……9分 1(23)26n n D n +=-+ ………10分（Ⅱ）2(21)nn c n ⎧=⎨--⎩ 为偶数为奇数n n ………11分 321222[37(41)]n n T n -=+++-+++-． ………13分2122223n n n+-=-- ………14分20 解：（Ⅰ）∵()32f x ax bx cx d=+++，()232f x ax bx c'=++，()f x 在0x =有极值，∴()00f '=即0c =，……………………3分（Ⅱ）()232f x ax bx'=+，由()()320f x x ax b '=+=，得0x =或23bx a =-，()f x 在区间()6,4--和()20-,上单调且单调性相反,2423b a -≤-≤-，故36b a ≤≤．…………………6分（Ⅲ）3b a =，且2-是()f x 的一个零点，()28120f a a d -=-++=，4d a =-，()3234f x ax ax a=+-，()()23632f x ax ax ax x '=+=+，由()0f x '=得0x =或2x =-，…………….8分（ⅰ）当0a >时所以 当0a >时，若32x -≤≤，则()416a f x a-≤≤，…………………10分（ⅱ）当0a <时所以 当0a <时， 若32x -≤≤，则()164a f x a≤≤-，…………………12分得0 16 2 4 3 a a a >⎧⎪≤⎨⎪-≥-⎩，，， 或0 16 3 4 2 a a a <⎧⎪≥-⎨⎪-≤⎩，，， 即108a <≤或3016a -≤<，故a 的取值范围是31,00,168⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦．…………………14分。
天津市南开中学2021届高三统练(二)数学试题 (含答案)
1
9.已知函数
f
(x)
=
x2 −1, x 1,
ln x x
,
x
1,
若关于
x
的方程 2[
f
( x)]2
+
2tf
(x)
+
t
−
1 2
=
0有
5
个不同的实数根,则实数
t 的取值范围是()
A. (1 − 1 , 1) 2 e2
B. (1 − 1 , 1) e 22
C. (1 − 1 , 3) 2 e2
D. (1 − 1 , 3) e 22
14. 直线 y=l 与曲线 y = x2 − | x | +a 有四个交点,则 a 的取值范围是_____.
15.
若关于 x 的函数
f (x) =
tx2
+
2
x + t2 x2 + t
+
sin
x
(t
t
0)的最大值为 M,最小值为 N,且 M
+N
=4,则实数 t 的
值为_____.
16. 已知 a∈R,函数 f (x) =| x + 4 − a | +a 在区间[1, 4]上的最大值是 5,则 a 的取值范围是______. x
(I )求角 C 的大小; ( II)求 sin A 的值;
(III)求: sin(2A + ) 的值. 4
2
19. (本小题满分 12 分)
已知函数. f (x) = x3 + k ln x(k R), f (x) 为 f(x)的导函数.
(I )当 k=6 时, (i) 求曲线 y= f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
天津市南开中学2015届高三数学(理)统练9
一、二、 选择题（共8个小题，每题5分）1.ω为实数，函数()2sin f x x ω=在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，那么（ ） .A 302ω<≤.B 02ω<≤.C 32ω≤.D 2ω≥2. 在钝角ABC 中，AB =1AC =，90B =，则ABC 的面积是（ ）.A .B .C 32.D 343. 函数sin 1tan tan2x y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为（ ） .A 2π.B π.C 2 π.D 3π4. 要得到函数cos 24x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需要将sin 2x y =的图象（ ）.A 向右平移2π个单位.B 向右平移4π个单位 .C 向左平移2π个单位.D 向左平移4π个单位 5.ABC 中,()cos2cos cos 1B B A C ++-=，则（ ）.A ,,a b c 成等比数列.B ,,a b c 成等差数列 .C a b c ==.D 以上均不对6. 关于x 的方程22cos cos cos02Cx x A B --=有一个根为1，则ABC 一定是（ ） .A 等腰三角形 .B 直角三角形 .C 锐角三角形 .D 钝角三角形7. 已知[]()()0,,sin cos x f x x π∈=的最大值为a ,最小值为b ,()()cos sin g x x =的最大值为c ,最小值为d ,则,,,a b c d 的大小关系为（ ）.A b d c a <<< .B d b c a <<< .C d c b a <<< .D b d a c <<<8. 方程sin 2cos xx =在[)0,2π上的解的个数是（ ）.A 1个.B 2个.C 3个.D 4个三、 填空题（共6个小题，每题5分）9.ABC 中，60A =，a =，b =B =__________10. ()sin sin cos y x x x =-02x π⎛⎫<< ⎪⎝⎭的值域是__________ 11. 若()sin 3sin 44f x a x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数，则a =__________ 12. ABC 中，120A =，5AB =，7BC =，则sin sin BC=__________ 13.ABC 中，10a =，9cot2AS =，则b c -= __________ 14. 函数sin cos y a x b x c =++的图象上有一个最低点11,16π⎛⎫⎪⎝⎭，现纵坐标不变，将横坐标缩小到原来的3π，再向左移1个单位得()y f x =的图像，且()3f x =的所有正根依次构成一个公差为3的等差数列，则()f x =__________三、解答题（共有6个题）15. 从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球（不放回），则实验结束（1）求第一次实验恰好摸到1个红球和1个白球的概率； （2）记实验次数为X ，求X 的分布列及方差()D X16. 已知3cos 45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 13ββ-=，其中344ππα<<，04πβ<<， 求()sin αβ+的值17. 四边形ABCD 中，1AD =，2CD =，AC（1）求cos CAD ∠；（2）若cos BAD ∠=，sin 6CBA ∠=，求BC 18. 已知函数213sin cos 22y x a x a =+--的最大值为1，求a19.ABC 中，cos a C b += （1）求A ；（2）若1a =21b -=，求B 20. 已知0a >，函数()()2ln 12xf x ax x =+-+ （1）讨论()f x 在区间()0,+∞上的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，且()()120f x f x +>，求a 的取值范围班级 姓名 学号 成绩天津南开中学2015届高三数学统练9（理科） 答题纸一、选择题二、填空题9._____________ 10.______________ 11._____________12.______________ 13._____________ 14.______________三、解答题15.16.17.18.1920. 1.解：2131cos cos 22y x a x a =-+--，令c o s t x =，则[]1,1t ∈-，问题转化为求a 的范围，使得函数()21122g t t at a =-+--221112422a t a a ⎛⎫=--+-- ⎪⎝⎭在[]1,1t ∈-上最大值为。
天津市南开中学2015届高三数学统练7 数列 文
天津市南开中学 2015 届高三数学统练 7 数列 文一、选择题等差数列{an}中， a1 1 ， a3 a5 14 ，其前 n 项和 Sn 100 ,则 n =（ ）A. 9B. 10C.11D. 12已知等差数列 an 中， a2 a5 a9 a12 60，那么其前 13 项和为（ ）A. 390B. 195C.180D. 120设 an是首项为 a1 ，公差为 1 的等差数列， Sn 为其前 n 项和，若 S1，S2，S4，成等比数列，则 a1 =（ ）11A. 2B. 2C. 2D. 2等差数列{an}的公差是 2，若 a2, a4, a8 成等比数列，则{an}的前 n 项和 Sn （ ）A. n(n 1)B. n(n 1)n(n 1) C. 2n(n 1) D. 2等差数列 an 中的前 12 项的和为 S12 354,其中奇数项之和 S奇 与偶数项之和 S偶 的比为2732 ,则 an的公差 d ().A. 10B. 30C. 5D. 15 设等差数列 an 的公差 d 不为 0， a1 9d ．若 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项，则 k （ ）A. 2B. 4C.6D. 8 已知数列 an 的通项公式为 an (1)n1(4n 3) , Sn 为其 n 项和,则 S15 S22 S31 的值为()A. 13B. 76C.46D. 76设等差数列{an}的公差为 d ，若数列{2a1an }为递减数列，则（ ）A. d 0B. d 0C. a1d 0D. a1d 0 数列anan 的通项公式为(2 3)n1(2 3)n11 ,则下列表述正确的是()A.最大项为 a1 ,最小项为 a3B.最大项为 a1 ,最小项不存在C.最大项不存在, 最小项为 a3D. 最大项为 a1 ,最小项为 a4 数列 anan1 满足 2an,0 an 2an 1,1 2 1; 2an 1 .若 a16 7,则 a20 的值为()6531A. 7B. 7二、填空题C. 7D. 7已知数列的通项 an 5n 2 ，则其前 n 项和 Sn ．数列 {an } 的前n项和为Snan，若1 n(n 1)，则S5=．等比数列{an}中,已知 a1 an 66, a2an1 128, Sn 126,则 n ___ .已知{an}等比数列, Sn 是它的前 n 项和, S10 2, S30 S10 12则 S60 S30 ___ .在等差数列 an 中，a1 7 ，公差为 d ，前 n 项和为 Sn ，当且仅当 n 8 时 Sn 取最大值，则 d的取值范围_________.已知{an}是等差数列, Sn 是{an}的前 n 项和,首项 a1 10 ,并且当 n 6 时, Sn 取得最小值,则公差 d 的取值范围是.等 比 数 列 an 的 前 n 项 和 为 Sn ， 已 知 S1 ， 2S2 ， 3S3 成 等 差 数 列 ， 则 an 的 公 比为．等 比 数 列 an 的 各 项 均 为 正 数 ， 且 a1a5 4 ， 则log2 a1 log2 a2 log2 a3 log2 a4 log2 a5 .三、解答题{an}成等差数列， S3 21， S6 24 ，求数列{| an |}的前 n 项和Tn .设 {an } 是等差数列， bn( 1 )an 2b1 b2，已知 b3218b1b2 b3，1 8 ，（1）求证：数列{bn}是等比数列；（2）求等差数列{an}的通项 an .天津南开中学 2015 届高三数学统练 7 参考答案三解答题19解：21 24 3a1 6a1 3d 1 5dda19 2n 5 时， an 0 n 6 时， an 0（1） n 5 Tn a1 an n2 10n（2） n 6 Tn | a1 | | an | a1 a2 a5 a6 an 25 (a6 an ) 25 25 (a1 a2 a5 a6 an ) 50 Sn n2 10n 50∴Tn n2 n2 10n(n 5) 10n 50(n 6)∴ an 2n 5 或 2n 3。
天津市南开中学高三数学统练10 理
- 1 - 天津市南开中学2015届高三数学统练10 理 一 选择题（共8个小题，每题5分）
1.在ABC中，,2ABC，则“3AC”是“B”的（ ） .A充分不必要条件 .B必要不充分条件 .C充要条件 .D既不充分也不必要条件
2.若向量2,3,6,1axby互相垂直，则42xy的最小值为（ ） .4A .22B .32C .42D
3.已知3sincos10cossin3s，则225sin8sincos11cos822222sin
（ ） 2.6A 2.6B 52.6C 52.6D
4.为了得到函数sin2yx的图象，可以将函数cos2yx的图象（ ） .A向右平移个单位长度 .B向右平移个单位长度
.C向左平移个单位长度 .D向左平移个单位长度
5.在四边形ABCD中，1,2,4,2ACBD，则该四边形的面积是（ ） .5A .25B .5C .10D
6.已知ABC为等边三角形，2AB，设点,PQ满足,1,APABAQACR，若32BQCP，则（ ） 1.2A
12.2B 110.2C 322.2D - 2 -
7.设两个向量222,cos,,sin2mabm，若2ab，则m的范围是（ ） .6,1A .4,8B .6,1C .1,6D
8.已知点M为ABC所在平面上的一点，且12012AMABmAC，其中m为实数，若点M落在ABC的外部，则m的取值范围是（ ）
.,0A
2011.,2012B 2011.,0,2012C 2011.0,2012D
二、填空题（共6个小题，每题5分） 9.设0，向量sin2,cos,cos,1ab，若//ab，则tan
2015年天津市南开区高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2015年天津市南开区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设i是虚数单位，则复数＝（）A．6+5i B．6﹣5i C．﹣6+5i D．﹣6﹣5i2．（5分）已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p是（）A．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0B．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0C．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0D．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜03．（5分）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）A．11B．12C．13D．144．（5分）如图所示的程序框图表示求算式“2×4×8×16×32×64”的值，则判断框内可以填入（）A．k＜132？B．k＜70？C．k＜64？D．k＜63？5．（5分）已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C 的方程为（）A．B．C．D．6．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝（）A．B．C．D．7．（5分）由曲线y＝x2，y＝围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．18．（5分）在△ABC中，若|+|＝|﹣|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC边的三等分点，则•＝（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上．9．（5分）若集合A＝{x|2x+1＞0}，B＝{x||x﹣1|＜2}，则A∩B＝．10．（5分）（x2﹣）6的展开式中x3的系数为．11．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．12．（5分）已知圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|＝．13．（5分）如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，过C的直线交直线AB于E，交过A点的切线于D，BC∥OD．若AD＝AB＝2，则EB＝．14．（5分）已知函数f（x）＝，若有三个不同的实数a，b，c，使得f（a）＝f（b）＝f（c），则a+b+c的取值范围为．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（13分）已知函数f（x）＝﹣sin（2x+）+6sin x cos x﹣2cos2x+1，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．16．（13分）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红．蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．（Ⅰ）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；（Ⅱ）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E（X）．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，P A＝AD ＝4，AB＝2．若M，N分别为棱PD，PC上的点，O为AC的中点，且AC＝2OM＝2ON．（Ⅰ）求证：平面ABM⊥平面PCD；（Ⅱ）求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值；（Ⅲ）求点N到平面ACM的距离．18．（13分）如图所示，椭圆C：+＝1（a＞b＞0），其中e＝，焦距为2，过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A、B，点B在AM之间．又点A，B的中点横坐标为，且＝λ．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求实数λ的值．19．（14分）在等比数列{a n}中，已知a1＝2，且a2，a1+a3，a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）设数列{a n2﹣a n}的前n项和为S n，记b n＝，求证：数列{b n}的前n项和T n＜．20．（14分）设函数f（x）＝lnx﹣﹣bx（Ⅰ）当a＝b＝时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）令F（x）＝f（x）+＜x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当a＝0，b＝﹣1时，方程f（x）＝mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．2015年天津市南开区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设i是虚数单位，则复数＝（）A．6+5i B．6﹣5i C．﹣6+5i D．﹣6﹣5i【解答】解：＝＝＝﹣6﹣5i．故选：D．2．（5分）已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p是（）A．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0B．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0C．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0D．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0【解答】解：命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0是一个全称命题，其否定是一个特称命题，故¬p：∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0．故选：C．3．（5分）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）A．11B．12C．13D．14【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．所以从481～720共240人中抽取＝12人．故选：B．4．（5分）如图所示的程序框图表示求算式“2×4×8×16×32×64”的值，则判断框内可以填入（）A．k＜132？B．k＜70？C．k＜64？D．k＜63？【解答】解：模拟执行程序框图，可得S＝1，K＝2，满足条件，S＝2，K＝4满足条件，S＝2×4，K＝8满足条件，S＝2×4×8，K＝16满足条件，S＝2×4×8×32，K＝32满足条件，S＝2×4×8×32×64，K＝64由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S＝2×4×8×32×64，结合选项可知，判断框内可以填入k＜70？故选：B．5．（5分）已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C 的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，∴a2+b2＝25，＝1，∴b＝，a＝2∴双曲线的方程为．故选：A．6．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝（）A．B．C．D．【解答】解：因为在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b＝5c，C ＝2B，所以8sin B＝5sin C＝5sin2B＝10sin B cos B，所以cos B＝，B为三角形内角，所以B∈（0，）．C．所以sin B＝＝．所以sin C＝sin2B＝2×＝，cos C＝＝．故选：A．7．（5分）由曲线y＝x2，y＝围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．1【解答】解：由曲线y＝x2，y＝，联立，因为x≥0，所以解得x＝0或x＝1所以曲线y＝x2与y＝所围成的图形的面积S＝∫01（﹣x2）dx＝﹣x3|01＝故选：B．8．（5分）在△ABC中，若|+|＝|﹣|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC边的三等分点，则•＝（）A．B．C．D．【解答】解：若|+|＝|﹣|，则＝，即有＝0，E，F为BC边的三等分点，则＝（+）•（+）＝（）•（）＝（+）•（+）＝++＝×（1+4）+0＝．故选：B．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上．9．（5分）若集合A＝{x|2x+1＞0}，B＝{x||x﹣1|＜2}，则A∩B＝（﹣，3）．【解答】解：由题意A＝{x|2x+1＞0}＝{x|x＞﹣}，B＝{x||x﹣1|＜2}＝{x|﹣1＜x＜3}，所以A∩B＝（﹣，3）故答案为（﹣，3）10．（5分）（x2﹣）6的展开式中x3的系数为﹣20．【解答】解：由＝，令12﹣3r＝3，得r＝3．∴（x2﹣）6的展开式中x3的系数为．故答案为：﹣20．11．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为30m3．【解答】解：由三视图可知几何体是组合体，下部是长方体，底面边长为3和4，高为2，上部是放倒的四棱柱，底面为直角梯形，底面直角边长为2和1，高为1，棱柱的高为4，所以几何体看作是放倒的棱柱，底面是6边形，几何体的体积为：（2×3+）×4＝30（m3）．故答案为：30．12．（5分）已知圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|＝．【解答】解：圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆的方程为：x2+y2＝4x，圆心为C（2，0），点P的极坐标为，所以P的直角坐标（2，2），所以|CP|＝＝2．故答案为：2．13．（5分）如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，过C的直线交直线AB于E，交过A点的切线于D，BC∥OD．若AD＝AB＝2，则EB＝．【解答】解：连接OC则∠DOA＝∠CBO＝∠BCO＝∠COD则△AOD≌△COD，则OC⊥CD，则CD是半圆O的切，设EB＝x，由BC∥OD得，△EBC∽△EDO∴，则EC＝2x，则（2x）2＝x•（x+2），则．故答案为：．14．（5分）已知函数f（x）＝，若有三个不同的实数a，b，c，使得f（a）＝f（b）＝f（c），则a+b+c的取值范围为（2π，2016π）．【解答】解：如图所示，当x∈[0，π]时，f（x）＝sin x．不妨设a＜b＜c，若满足f（a）＝f（b）＝f（c），则0＜a＜b＜π＜c＜2015π，a+b＝π，∴2π＜a+b+c＜2016π．∴a+b+c的取值范围为（2π，2016π）．故答案为：（2π，2016π）．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（13分）已知函数f（x）＝﹣sin（2x+）+6sin x cos x﹣2cos2x+1，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：（I）∵sin x cos x＝sin2x，cos2x＝（1+cos2x）∴f（x）＝﹣sin（2x+）+6sin x cos x﹣2cos2x+1＝﹣sin2x﹣cos2x+3sin2x﹣（1+cos2x）+1＝2sin2x﹣2cos2x＝2sin（2x﹣）因此，f（x）的最小正周期T＝＝π；（II）∵0≤x≤，∴﹣≤2x﹣≤∴当x＝0时，sin（2x﹣）取得最小值﹣；当x＝时，sin（2x﹣）取得最大值1由此可得，f（x）在区间上的最大值为f（）＝2；最小值为f（0）＝﹣2．16．（13分）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红．蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．（Ⅰ）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；（Ⅱ）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E（X）．【解答】解：设A i表示摸到i个红球，B j表示摸到j个蓝球，则A i（i＝0，1，2，3）与B j （j＝0，1）相互独立．（Ⅰ）恰好摸到1个红球的概率为P（A1）＝＝．…（4分）（Ⅱ）X的所有可能值为：0，10，50，200，P（X＝200）＝P（A3B1）＝P（A3）P（B1）＝，P（X＝50）＝P（A3B0）＝P（A3）P（B0）＝，P（X＝10）＝P（A2B1）＝P（A2）P（B1）＝，P（X＝0）＝1﹣．…（11分）所以X的分布列为所以X的数学期望E（X）＝0×+10×+50×+200×＝4．…（13分）17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，P A＝AD ＝4，AB＝2．若M，N分别为棱PD，PC上的点，O为AC的中点，且AC＝2OM＝2ON．（Ⅰ）求证：平面ABM⊥平面PCD；（Ⅱ）求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值；（Ⅲ）求点N到平面ACM的距离．【解答】（Ⅰ）证明：依题设知，AC＝2OM，则AM⊥MC．又因为P A⊥平面ABCD，则P A⊥CD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面P AD，则CD⊥AM，所以AM⊥平面PCD，所以平面ABM⊥平面PCD．…（4分）（Ⅱ）解：如图所示，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，4），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2）；设平面ACM的一个法向量＝（x，y，z），由⊥，⊥可得：，令z＝1，则＝（2，﹣1，1）．设所求角为α，则sinα＝||＝．…（9分）（Ⅲ）解：由条件可得，AN⊥NC．设＝λ＝（2λ，4λ，﹣4λ），则＝+＝（2λ，4λ，4﹣4λ），所以•＝（2λ，4λ，4﹣4λ）•（2，4，﹣4）＝36λ﹣16＝0解得λ＝，所以＝（，，），设点N到平面ACM距离为h，则h＝＝．…（13分）18．（13分）如图所示，椭圆C：+＝1（a＞b＞0），其中e＝，焦距为2，过点M （4，0）的直线l与椭圆C交于点A、B，点B在AM之间．又点A，B的中点横坐标为，且＝λ．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求实数λ的值．【解答】解：（I）由条件可知，c＝1，a＝2，故b2＝a2﹣c2＝3，椭圆的标准方程是．（II）由，可知A，B，M三点共线，设点A（x1，y1），点B（x2，y2）．若直线AB⊥x轴，则x1＝x2＝4，不合题意．当AB所在直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣4）．由消去y得，（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12＝0．①由①的判别式△＝322k4﹣4（4k2+3）（64k2﹣12）＝144（1﹣4k2）＞0，解得，，由，可得，即有．将代入方程①，得7x2﹣8x﹣8＝0，则x1＝，x2＝．又因为，，，所以，所以λ＝．19．（14分）在等比数列{a n}中，已知a1＝2，且a2，a1+a3，a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）设数列{a n2﹣a n}的前n项和为S n，记b n＝，求证：数列{b n}的前n项和T n＜．【解答】（Ⅰ）解：设等比数列的公比为q，由已知得：2（a1+a3）＝a2+a4，即2（a1+a1q2）＝a1q+a1q3，解得q＝2，又∵a1＝2，∴a n＝a1q n﹣1＝2n；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得：S n＝（a12+a22+a32+…+a n2）﹣（a1+a2+a32+…+a n）＝（4+42+43+…+4n）﹣（2+22+23+…+2n）＝﹣＝（2n﹣1）（2n+1﹣1），∴b n＝＝（﹣），∴T n＝（﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣）＝（1﹣）＜．20．（14分）设函数f（x）＝lnx﹣﹣bx（Ⅰ）当a＝b＝时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）令F（x）＝f（x）+＜x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当a＝0，b＝﹣1时，方程f（x）＝mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞）．（1分）当a＝b＝时，f（x）＝lnx﹣x2﹣x，f′（x）＝﹣x﹣＝．（2分）令f′（x）＝0，解得x＝1．当0＜x＜1时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增；当x＞1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减．（3分）所以函数f（x）的单调增区间（0，1），函数f（x）的单调减区间（1，+∞）．（4分）（Ⅱ）F（x）＝lnx+，x∈（0，3]，所以k＝F′（x0）＝≤，在x0∈（0，3]上恒成立，（6分）所以a≥（﹣x02+x0）max，x0∈（0，3]（7分）当x0＝1时，﹣x02+x0取得最大值．所以a≥．（9分）（Ⅲ）当a＝0，b＝﹣1时，f（x）＝lnx+x，因为方程f（x）＝mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，所以lnx+x＝mx有唯一实数解．∴，设g（x）＝，则g′（x）＝．令g′（x）＞0，得0＜x＜e；g′（x）＜0，得x＞e，∴g（x）在区间[1，e]上是增函数，在区间[e，e2]上是减函数，g（1）＝1，g（e2）＝1+＝1+，g（e）＝1+，所以m＝1+，或1≤m＜1+．。