2020高中数学A版新教材必修1学案导学案 第二章 章末复习课
3＋ 3 6
3＋ 3 2
xy
的最小值是 2 3＋4.
答案 2 3＋4
要点三 恒成立问题
对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及解法有以下几种
(1)变更主元法：
根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元.
(2)分离参数法：
将参数分离转化为求解最值问题.
(3)数形结合法：
利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化.
D 成立，因为 c<a，所以 a－c>0，所以 ac(a－c)<0.
答案 C
(2)解 因为－2<b<－1，所以 1<－b<2.
又因为 2<a<3，所以 2<－ab<6，所以－6<ab<－2.
因为－2<b<－1，所以 1<b2<4.
因为 2<a<3，所以1<1<1，所以1<b2<2.
3a2
3a
【训练 1】 已知 a>0，b>0，且 a≠b，比较a2＋b2与 a＋b 的大小. ba
[网络构建]
章末复习课
[核心归纳]
1.不等式的性质
(1)a>b b<a；
(2)a>b，b>c a>c；
(3)a>b a＋c>b＋c；
(4)a>b，c>0 ac>bc；
(5)a>b，c<0 ac<bc；
(6)a>b，c>d a＋c>b＋d；
(7)a>b>0，c>d>0 ac>bd；
(8)a>b>0，n∈N，n≥2 an>bn；
的一次函数为
y＝(x－3)a＋x2－6x＋9.
因为 y>0，当－1≤a≤1 时恒成立，所以
(1)若 x＝3，则 y＝0，不符合题意，应舍去.
(2)若 x≠3，则由一次函数的图象，
x2－7x＋12>0， 可得
x2－5x＋6>0，
解得 x<2 或 x>4.
所以 x 的取值范围是{x|x<2 或 x>4}.
1<0 1－ 5<x<1＋ 5.
2
2
|1－ 5<x<1＋ 5
∴x 的取值范围为 x 2
2.
法二 设关于 m 的函数 y＝mx2－mx－6＋m＝(x2－x＋1)m－6.
由题意知 y<0 对 1≤m≤3 恒成立.
∵x2－x＋1>0，∴y 是关于 m 的一次函数，且在 1≤m≤3 上随 x 的增大而增大，
的解集
没有实根 R
要点一 不等关系与不等式
不等关系与不等式是高考重点考查的内容之一，在试题中多以选择题或填空题的
形式考查，有时也渗透到解答题中，主要考查不等式的性质及运用.
【例 1】 (1)如果 a，b，c 满足 c<b<a 且 ac<0，那么下列选项中不一定成立的
是( )
A.ab>ac
B.c(b－a)>0
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0) 的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0) 有两个不等的实根 有两个相等的实根
的根
(x1<x2)
ax2 ＋ bx ＋ c>0(a>0) 的解集
{x|x<x1 或 x>x2}
(x1＝x2) {x|x≠x1}
ax2 ＋ bx ＋ c<0(a>0)
{x|x1<x<x2}
解
因为
a2＋b2 ba
－(a＋b)＝a2－b＋b2－a
b
a
＝a2－b2＋b2－a2
b
a
1b ab
＝（a－b）2（a＋b）， ab
因为 a>0，b>0，且 a≠b，
所以(a－b)2>0，a＋b>0，ab>0，
所以
a2＋b2 ba
－(a＋b)>0，即a2＋b2>a＋b.
∴y<0 对 1≤m≤3 恒成立等价于 y 的最大值小于 0，
即(x2－x＋1)·3－6<0 x2－x－1<0 1－ 5<x<1＋ 5，
2
2
|1－ 5<x<1＋ 5
∴x 的取值范围为 x 2
2.
【训练 3】 求使不等式 x2＋(a－6)x＋9－3a>0，－1≤a≤1 恒成立的 x 的取值
范围.
解 将原不等式整理为形式上是关于 a 的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9>0.设关于 a
C.cb2<ab2
D.ac(a－c)<0
(2)已知 2<a<3，－2<b<－1，求 ab，b2的取值范围. a
(1)解析 因为 c<a，且 ac<0，所以 c<0，a>0.
A 成立，因为 c<b，所以 ac<ab，即 ab>ac.
B 成立，因为 b<a，b－a<0，所以 c(b－a)>0.
C 不一定成立，当 b＝0 时，cb2<ab2 不成立.
【例 3】 已知函数 y＝mx2－mx－6＋m，若对于 1≤m≤3，y<0 恒成立，求实数
x 的取值范围.
解 法一 y<0 mx2－mx－6＋m<0 (x2－x＋1)m－6<0.
∵1≤m≤3，
∴x2－x＋1< 6 恒成立，只需 x2－x＋1 小于 6 的最小值，即 x2－x＋1<6 x2－x－
m
m
3
ba
要点二 基本不等式的应用
基本不等式： ab≤a＋b(a>0，b>0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不 2
等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基
本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，
基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现.
【例 2】 设 a>0，b>0，2a＋b＝1，则1＋2的最小值为________. ab
解析 ∵a>0，b>0，且 2a＋b＝1，
∴1＋2＝
1＋2 ab
(2a＋b)
ab
＝4＋b＋4a≥4＋2 b·4a＝8，
ab
ab
2a＋b＝1，
a＝1， 4
当且仅当 b＝4a， ab
即 b＝1 时等号成立. 2
∴1＋2的最小值为 8. ab
nn (9)a>b>0，n∈N，n≥2 a> b.
2.基本不等式求最大(小)值问题
利用基本不等式求最大(小)值问题要注意“一正，二定，三相等”.常常需要对
代数式进行通分、分解等变形，构造和为定值或积为定值的模型.
3.一元二次不等式
一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0(<0)(其中 a>0)的解集.
Δ＝b2－4ac
答案 8
【训练 2】 已知 x>0，y>0，且 x＋3y＝1，则x＋y的最小值是________. xy
解析 x>0，y>0，且 x＋3y＝1.
x＋y＝（x＋y）（x＋3y）＝x2＋3y2＋4xy＝x2＋3y2＋4≥2 x2·3y2＋4＝2 3＋4.当
xy
xy
xy
xy
xy
且仅当 x＝ 3y，x＋3y＝1，即 y＝ 1 ＝3－ 3，x＝ 3 ＝ 3－1时取等号.x＋y
2020高中数学A版新教材必修1学案导学案 第二章 章末复习课
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3.一元二次不等式 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(<0)(其中a>0)的解集.
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要点一 不等关系与不等式 不等关系与不等式是高考重点考查的内容之一，在试题中多以选择题或填空题的 形式考查，有时也渗透到解答题中，主要考查不等式的性质及运用.
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【例3】 已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y<0恒成立，求实数x的取 值范围.
解 法一 y<0mx2－mx－6＋m<0(x2－x＋1)m－6<0. ∵1≤m≤3，
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法二 设关于m的函数y＝mx2－mx－6＋m＝(x2－x＋1)m－6. 由题意知y<0对1≤m≤3恒成立. ∵x2－x＋1>0，∴y是关于m的一次函数，且在1≤m≤3上随x的增大而增大， ∴y<0对1≤m≤3恒成立等价于y的最大值小于0，
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(2)解 因为－2<b<－1，所以1<－b<2. 又因为2<a<3，所以2<－ab<6，所以－6<ab<－2. 因为－2<b<－1，所以1<b2<4.
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因为a>0，b>0，且a≠b， 所以(a－b)2>0，a＋b>0，ab>0，
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人教A版高中数学选择性必修第一册第二章_章末复习课1_课件
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3.已知A(2,4)与B(3,3)关于直线l对称，则直线l的方程为_x－__y_＋__1_＝__0__. 解析 由题意知，直线l即为AB的垂直平分线， ∴kl·kAB＝－1，得kl＝1， AB 的中点坐标为(52，72)， ∴直线 l 的方程为 y－72＝x－25， 即x－y＋1＝0.
4.设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0 (a∈R). (1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程； 解 当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零， ∴a＝2，方程即为3x＋y＝0. 当直线不经过原点时，截距存在且均不为0. ∴aa－ ＋21＝a－2，即 a＋1＝1. ∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0. 综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
代入l的方程后，得3x3－y3－17＝0.
即l3的方程为3x－y－17＝0.
反思与感悟
(1)中心对称 ①两点关于点对称：设P1(x1，y1)，P(a，b)，则P1(x1，y1)关于P(a，b)对称 的点为P2(2a－x1 ，2b－y1)，即P为线段P1P2的中点. ②两直线关于点对称：设直线l1，l2关于点P对称，这时其中一条直线上任 一点关于点P对称的点在另外一条直线上，必有l1∥l2，且P到l1、l2的距离 相等. (2)轴对称 两点关于直线对称：设P1，P2关于直线l对称，则直线P1P2与l垂直，且 P1P2的中点在l上.
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2.已知直线l经过2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点，则点A(5,0)到l的距离 的最大值为__1_0_____. 解析 解方程组2x－x＋2yy－＝50＝，0， 得xy＝＝21，， ∴直线l过点(2,1). 由题意得，当l与点A和交点连线垂直时，点A到l的距离为最大， 最大值为 5－22＋0－12＝ 10.
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)章末复习提升课课件新人教A版必修1
定成立的是( )
A．3c>3b
B．3c>3a
C．3c＋3a>2
D．3c＋3a<2
【解析】 (1)由题意 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象过(3，1)点，
可解得 a＝3.选项 A 中，y＝3－x＝13x，显然图象错误；选项 B
中，y＝x3，由幂函数图象可知正确；选项 C 中，y＝(－x)3＝
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
章末复习提升课
指数与对数的运算
求下列各式的值： (1)287－23－3 e·e23＋ （2－e）2＋10lg 2； (2)lg25＋lg2×lg 500－12lg215－log29×log32.
【解】 (1)287－23－3 e·e23＋ （2－e）2＋10lg 2 ＝233－23－e13·e23＋(e－2)＋2 ＝23－2－e＋e－2＋2＝322＝94. (2)lg25＋lg 2×lg 500－12lg215－log29×log32 ＝lg25＋lg 2×lg 5＋2lg 2－lg15－log39 ＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋2lg 2－lg 2＋1－2 ＝lg 5＋lg 2－1＝1－1＝0.
解析：当 x＝－1 时，y＝a0－2＝－1，所以该定点的坐标是(－1， －1)． 答案：(－1，－1)
2．已知 lg a＋lg b＝0，则函数 f(x)＝ax 与函数 g(x)＝－logbx 的 图象可能是________(填序号)．
解析：因为 lg a＋lg b＝lg(ab)＝0， 所以 ab＝1，即 b＝1a， 则 f(x)＝ax，g(x)＝logax. 当 a>1 时，在各自的定义域内，f(x)是增函数，g(x)是增函数， 所以②正确；0<a<1 时，在各自的定义域内，f(x)是减函数，g(x) 是减函数，所以①③④都不正确．
人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第二章 本章 总结提升
本章总结提升
内
容
索
引
01
网络构建归纳整合
02
专题突破素养提升
网络构建归纳整合
专题突破素养提升
专题一
基本不等式及应用
基本不等式
+
≤(a>0,b>0)是高考热点,主要考查实数比较大小、不等式
2
证明以及求最值问题,特别是求最值问题往往与实际问题相结合,同时在基
本不等式的使用条件上设置一些问题,实际上是考查学生恒等变形的技巧,
(1)解不等式(a-2)x2-x-t2+t<0;
(2)关于x的不等式ax2+bx+3≥0的解集为R时,求b的取值范围.
解(1)由题意知1-a<0,且-3和1是关于x的方程(1-a)x2-4x+6=0的两个根,
1- < 0,
∴
4
1-
6
1-
= -2, 解得 a=3.
= -3,
不等式(a-2)x2-x-t2+t<0可化为x2-x-t2+t<0,即(x-t)[x-(1-t)]<0,
10 800
所以 f(x)=560+48x+ ≥560+2
48 × 10 800=2
10 800
000,当且仅当 48x= ,
即 x=15 时,等号成立.
因此,当x=15时,f(x)取最小值f(15)=2 000,
即为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为15层.
本 课 结 束
所以
1
1
0<<1,0<<1,所以
所以
4
人教统编部编版高中数学必修一A版第二章《一元二次函数、方程和不等式》全章节教案教学设计含章末综合复习
【新教材】人教统编版高中数学必修一A版第二章教案教学设计2.1《等式性质与不等式性质》教案教材分析：等式性质与不等式性质是高中数学的主要内容之一，在高中数学中占有重要地位，它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应，有着重要的实际意义.同时等式性质与不等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫.教学目标与核心素养：课程目标1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题．2. 进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小．3. 通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。
数学学科素养1.数学抽象：不等式的基本性质；2.逻辑推理：不等式的证明；3.数学运算：比较多项式的大小及重要不等式的应用；4.数据分析：多项式的取值范围，许将单项式的范围之一求出，然后相加或相乘.（将减法转化为加法，将除法转化为乘法）；5.数学建模：运用类比的思想有等式的基本性质猜测不等式的基本性质。
教学重难点：重点：掌握不等式性质及其应用．难点：不等式性质的应用．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
教学过程：一、情景导入在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、轻与重、不超过或不少于等.举例说明生活中的相等关系和不等关系.要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本37-42页，思考并完成以下问题 1.不等式的基本性质是？2.比较两个多项式（实数）大小的方法有哪些？3.重要不等式是？4.等式的基本性质？5.类比等式的基本性质猜测不等式的基本性质？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1、 两个实数比较大小的方法 作差法 {a −b >0⟺a >ba −b =0⟺a =b a −b <0⟺a <b作商法{ ab >1⟺a >b ab =1⟺a =b ab <1⟺a <b2.不等式的基本性质3.重要不等式四、典例分析、举一反三 题型一 不等式性质应用 例1 判断下列命题是否正确:(1)c a b c b a >⇒>>,( ) (2)22bc ac b a >⇒> ( ) (3)bd ac d c b a >⇒>>,( ) (4)b a cb c a >⇒>22 ( ) (5) 22b a b a >⇒> ( ) (6)22b a b a >⇒> ( ) (7) dbc ad c b a >⇒>>>>0,0 ( ) 【答案】（1）× （2） × （3）× （4）√ （5）× （6） √ （7 ）×解题技巧：（不等式性质应用）可用特殊值代入验证，也可用不等式的性质推证. 跟踪训练一1、用不等号“>”或“<”填空：（1）如果a>b ，c<d ，那么a-c ______ b-d ； （2）如果a>b>0，c<d<0，那么ac______bd ； （3）如果a>b>0，那么1a 2 ______1b 2 （4）如果a>b>c>0，那么ca _______ cb【答案】（1） > （2） < （3） < （4） < 题型二 比较大小例2 (1).比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小 (2).已知a >b >0,c >0,求ca >cb 。
新教材高中数学第2章一元二次函数方程和不等式章末复习课件新人教A版必修第一册
本课结束
答案
五、含变量的不等式恒成立问题 [典例 10] 对于满足 0≤p≤4 的一切实数，不等式 x2＋px＞4x＋p－3 恒成立，试求 x 的取值范围．
解 原不等式可化为 x2＋px－4x－p＋3＞0， 令 y＝x2＋px－4x－p＋3 ＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)． 由题设得4x2－x－4x1＋＋3x＞2－04px＝＋03＞，0p＝4， 解得 x＞3 或 x＜－1. 故 x 的取值范围是 x<－1 或 x>3.
解 ∵x>0，y>0，x2 与y22的和为定值，
∴x 1＋y2＝ x21＋y2＝
2x2·1＋2 y2≤
2
x2＋1＋2 y2 ·2
＝
2
x2＋y22＋12 ·2
＝
342，当且仅当 x2＝1＋2 y2，即 x＝ 23，y＝ 22时取等号，即 x 1＋y2的最大值为3 Nhomakorabea4
2 .
答案
[典例 4] 已知 x，y，z 为正数，且满足 xyz(x＋y＋z)＝1，求(x＋y)(y＋ z)的最小值．
2．利用基本不等式证明不等式 (1)充分利用条件是关键，要注意“1”的整体代换及几个“＝”必须保证 同时成立． (2)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质 就是从已知的不等式入手，借助不等式的性质和基本不等式，经过逐步的逻 辑推理，最后推得所证结论，其特征是“由因导果”． (3)证明不等式时要注意灵活变形，可以多次利用基本不等式的变形形 式．
解
2·
3a＋1≤
2＋3a＋1 2
＝3a＋ 2 3，
2· 3b＋1≤3b＋ 2 3，
2· 3c＋1
≤3c＋2 3.
以 上 三 式 相 加 ， 并 利 用 a ＋ b ＋ c ＝ 1 ， 得 2 ( 3a＋1 ＋ 3b＋1 ＋
高中数学必修1课堂学案配套课件第二章 章末复习课
目 的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有
开
关 单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法． (2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可 将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然 后利用该函数的单调性比较．
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
本 (3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即
章末复习课 本 课 栏 目 开 关
画一画·知识网络、结构更完善
本 课 栏 目 开 关
章末复习课
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
题型一 指数、对数的运算
1．指数、对数的运算应遵循的原则
本
课 栏
指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正
目 开
指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注
目 开
(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．
关
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
4
1
例 1 (1)化简
a 3 8a 3b
2
3 2 ÷(1－2
ba)×3 ab；
4b 3 23 ab a 3
本 课 栏
(2)计算：2log32－log3392＋log38－25log53.
目 开
单调性． 解 设 u＝x2＋6x＋17＝(x＋3)2＋8，
则当 x≤－3 时，其为减函数，
本
课 当 x>－3 时，其为增函数，
栏
目 又当 a>1 时，y＝au 是增函数，
开
关 当 0<a<1 时，y＝au 是减函数，
所以当 a>1 时，原函数 f(x)＝ax2＋6x＋17在(－∞，－3]上
高中数学人教版A版必修一学案：第二单元 章末复习课 Word版含答案
章末复习课网络构建核心归纳1．指数函数的图象和性质一般地，指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)的图象与性质如下表所示.数的范围，通常要用分类讨论思想．(2)a >1时，a 值越大，图象向上越靠近y 轴，递增速度越快；0<a <1时，a 值越小，图象向上越靠近y 轴，递减速度越快．(3)在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系：在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过令x ＝1时，y ＝a 去理解，如图．2．对数函数的图象和性质对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)与指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称．(如图)4．幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． (2)如果α>0，则幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上为增函数．(3)如果α<0，则幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 从原点趋向于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴．(4)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．要点一 指数、对数的运算指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．【例1】 (1)化简：a 43 －8a 13 b4b 23 ＋23ab ＋a 23 ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23b a ×3ab ； (2)求值：12lg 3249－43lg 8＋lg 245.解 (1)原式＝a 13 a －8bb 13 2＋2a 13 b 13 ＋a 132×a 13a 13 －2b 13×a 13 b 13＝a 13a －8b a －8b×a 13 ×a 13 b 13 ＝a 3b .(2)法一 12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝lg 427－lg 4＋lg 7 5＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫427×14×75 ＝lg 10＝12lg 10＝12.法二 原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43·32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5) ＝12lg 10＝12. 【训练1】 (1)化简：(8)－23 ×(3102)92 ÷105；(2)计算：2log 32－log 3329＋log 38－25log 53.解 (1)原式＝⎝⎛⎭⎫232 －23 ×⎝⎛⎭⎫1023 92 ÷1052 ＝2－1×103×10－52 ＝2－1×1012 ＝102.(2)原式＝log 34－log 3329＋log 38－5log 59＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫4×932×8－9＝－7. 要点二 指数函数、对数函数、幂函数的图象问题 函数图象的画法4解析 法一 当x ＝0时，y ＝0，故可排除选项A ，由1－x >0，得x <1，即函数的定义域为(－∞，1)，排除选项B ，又易知函数在其定义域上是减函数，故选C ．法二 函数y ＝2log 4(1－x )的图象可认为是由y ＝log 4x 的图象经过如下步骤变换得到的：(1)函数y ＝log 4x 的图象上所有点的横坐标不变．纵坐标变为原来的2倍，得到函数y ＝2log 4x 的图象；(2)把函数y ＝2log 4x 关于y 轴对称得到函数y ＝2log 4(－x )的图象；(3)把函数y ＝2log 4(－x )的图象向右平移1个单位，即可得到y ＝2log 4(1－x )的图象，故选C ．答案 C【训练2】在同一直角坐标系中，函数f(x)＝x a(x≥0)，g(x)＝log a x的图象可能是( )解析法一当a>1时，y＝x a与y＝log a x均为增函数，但y＝x a递增较快，排除C；当0<a<1时，y＝x a为增函数，y＝log a x为减函数，排除A．由于y＝x a递增较慢，所以选D．法二幂函数f(x)＝x a的图象不过(0,1)点，故A错；B项中由对数函数f(x)＝log a x的图象知0<a<1，而此时幂函数f(x)＝x a的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故B错；D对；C项中由对数函数f(x)＝log a x的图象知a>1，而此时幂函数f(x)＝x a的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C错．答案 D要点三大小比较问题数的大小比较常用方法：(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查数、指数函数、对数函数幂函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法．(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小．π，c＝π－2，则( )【例3】设a＝log2π，b＝log12A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>b>a解析因为π>2，所以a＝log2π>1，所以b＝log1π<0.因为π>1，所以0<π－2<1，即20<c<1，所以a>c>b.答案 C【训练3】 设a ＝log 123，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130.2，c ＝213 ，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c解析 a ＝log 123＜0,0＜b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130.2＜1，c ＝213 ＞1，故有a ＜b ＜c . 答案 A要点四 函数的定义域与值域 函数值域(最值)的求法(1)直观法：图象在y 轴上的“投影”的范围就是值域的范围． (2)配方法：适合二次函数．(3)反解法：有界量用y 来表示．如y ＝1－x 21＋x 2中，由x 2＝1－y 1＋y ≥0可求y 的范围，可得值域．(4)换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，特别注意新变量的范围． (5)单调性：特别适合于指、对数函数的复合函数． 【例4】 (1)函数f (x )＝1log 2x －的定义域为( ) A ．(－∞，2) B ．(2，＋∞) C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)(2)设0≤x ≤2，y ＝4x －12 －3·2x＋5，试求该函数的最值． (1)解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧log 2x －，x －2>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠3，x >2，所以函数f (x )的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．答案 C(2)解 令k ＝2x(0≤x ≤2)，∴1≤k ≤4.则y ＝22x －1－3·2x＋5＝12k 2－3k ＋5.又y ＝12(k －3)2＋12，k ∈[1,4]，∴y ＝12(k －3)2＋12，在k ∈[1,3]上是减函数，在k ∈[3,4]上是增函数，∴当k ＝3时，y min ＝12；当k ＝1时，y max ＝52.即函数的最大值为52，最小值为12.【训练4】 (1)若f (x )＝1log 0.5x ＋，则函数f (x )的定义域为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ B ．(0，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0(2)函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________．解析 (1)f (x )＝1log 0.5x ＋的定义域为：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，log 0.5x ＋，即⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x >－12，2x ＋1<1， 解得{x |－12<x <0}．故选C ．(2)由条件知⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x>0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，x ≠0，－1≤x ≤1⇒x ∈(0,1]．答案 (1)C (2)(0,1]。
新课标高中数学人教A版必修1第2章导学案
§2.1.1 指数与指数幂的运算（1）1. 了解指数函数模型背景及实用性、必要性；2. 了解根式的概念及表示方法；3. 理解根式的运算性质.一、课前准备（预习教材P48~ P50，找出疑惑之处）复习1：正方形面积公式为；正方体的体积公式为.复习2：（初中根式的概念）如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的，记作；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a 的，记作.二、新课导学※学习探究探究任务一：指数函数模型应用背景探究下面实例及问题，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数函数的必要性.实例1. 某市人口平均年增长率为1.25℅，1990年人口数为a万，则x年后人口数为多少万？实例 2. 给一张报纸，先实验最多可折多少次？你能超过8次吗？计算：若报纸长50cm，宽34cm，厚0.01mm，进行对折x次后，求对折后的面积与厚度？问题1：国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年GDP（国内生产总值）年平均增长率达7.3℅，则x年后GDP为2000年的多少倍？问题2：生物死亡后，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡t年后体内碳14的含量P与死亡时碳14关系为57301()2tP=. 探究该式意义？小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物变化、自然科学.探究任务二：根式的概念及运算考察：2(2)4±=，那么2±就叫4的；3327=，那么3就叫27的；4(3)81±=，那么3±就叫做81的.依此类推，若n x a=,，那么x叫做a的. 新知：一般地，若n x a=,那么x叫做a的n次方根( n th root )，其中1n>,n*∈N.例如：328=2=.反思：当n为奇数时, n次方根情况如何？33-,记：x=当n为偶数时，正数的n次方根情况？例如：81的4次方根就是，记：.强调：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是00=.试试：4b a=，则a的4次方根为；3b a=，则a的3次方根为.新知根式（radical），这里n 叫做根指数（radical exponent），a叫做被开方数（radicand）.试试：计算2.反思：从特殊到一般，n结论：n a =. 当na ；当n 是(0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩.※ 典型例题例1求下类各式的值：（1）； （2）；（3； （4）a b <）.变式：计算或化简下列各式. （1（2推广：（a ≥0）.※ 动手试试练1.-练2.化简三、总结提升※ 学习小结1. n 次方根，根式的概念；2. 根式运算性质.※ 知识拓展1. 整数指数幂满足不等性质：若0a >，则0n a >.2. 正整数指数幂满足不等性质：① 若1a >，则1n a >；01n a <<. 其中n ∈N *.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1.）.A. 3B. －3C. ±3D. 81 2. 625的4次方根是（ ）.A. 5B. －5C. ±5D. 25 3.化简2是（ ）.A. b -B. bC. b ±D. 1b4.= .5. 计算：3=；1. 计算：（1 （2）2. 计算34a a -⨯和3(8)a +-，它们之间有什么关系？ 你能得到什么结论？3. 对比()n n nab a b =与()n n n a a b b=，你能把后者归入前者吗？§2.1.1 指数与指数幂的运算（2）1. 理解分数指数幂的概念；2. 掌握根式与分数指数幂的互化；3. 掌握有理数指数幂的运算.一、课前准备（预习教材P50~ P53，找出疑惑之处）复习1：一般地，若n x a=，则x叫做a的，其中1n>,n*∈N. 简记为：.像的式子就叫做，具有如下运算性质：n= ；= ；= .复习2：整数指数幂的运算性质.（1）m na a=g；（2）()m na=；（3）()nab=.二、新课导学※学习探究探究任务：分数指数幂引例：a>01025a a==，则类似可得=；23a==.新知：规定分数指数幂如下*(0,,,1)mna a m n N n=>∈>；*1(0,,,1)mnmna a m n N na-==>∈>.试试：（1）将下列根式写成分数指数幂形式：=；= ；= (0,)a m N*>∈.（2）求值：238；255；436-；52a-.反思：①0的正分数指数幂为；0的负分数指数幂为.②分数指数幂有什么运算性质？小结：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．指数幂的运算性质：（0,0,,a b r s Q>>∈）ra·r r sa a+=；()r s rsa a=；()r r sab a a=．※典型例题例1 求值：2327；4316-；33()5-；2325()49-.变式：化为根式.例2 用分数指数幂的形式表示下列各式(0)b>：（1）2b（2）3b；（3例3 计算（式中字母均正）：（1）211511336622(3)(8)(6)a b a b a b-÷-；（2）311684()m n.小结：例2，运算性质的运用；例3，单项式运算. 例4 计算：（13(0)a >；（2）312103652(2)()m n m n --÷- (,)m n N *∈； （3）÷小结：在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则.反思：①结论：无理指数幂.（结合教材P 53利用逼近的思想理解无理指数幂意义）② 无理数指数幂(0,)a a αα>是无理数是一个确定的实数．实数指数幂的运算性质如何？※ 动手试试练1.把85-⎝⎭化成分数指数幂.练2. 计算：（1（2三、总结提升※ 学习小结①分数指数幂的意义；②分数指数幂与根式的互化；③有理指数幂的运算性质.※ 知识拓展放射性元素衰变的数学模型为：0t m m e λ-=，其中t 表示经过的时间，0m 表示初始质量，衰减后的.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 若0a >，且,m n 为整数，则下列各式中正确的是（ ）.A. m mnna a a ÷= B. m n mn a a a ⋅=C. ()nm m n a a += D. 01n n a a -÷=2. 化简3225的结果是（ ）.A. 5B. 15C. 25D. 1253. 计算(122--⎡⎤⎢⎥⎣⎦的结果是（）.AB ． D ．4. 化简2327-= .5. 若102,104mn==，则3210m n -=.1. 化简下列各式：（1）3236()49； （2.2. 1⎛- ⎝.§2.1.1 指数与指数幂的运算（练习）1. 掌握n 次方根的求解；2. 会用分数指数幂表示根式；3. 掌握根式与分数指数幂的运算.一、课前准备 （复习教材P 48~ P 53，找出疑惑之处）复习1：什么叫做根式? 运算性质？像的式子就叫做 ，具有性质：n = ；= ；= .复习2：分数指数幂如何定义？运算性质？① m n a = ；mn a -= .其中*0,,,1a m n N n >∈>②r s a a =g ； ()r s a = ； ()sab = .复习3：填空.① n 为时，(0)||...........(0)x x x ≥⎧==⎨<⎩.② 求下列各式的值：=； =；= ；=； = ；=；= . 二、新课导学※ 典型例题例1 已知1122a a -+=3，求下列各式的值：（1）1a a -+； （2）22a a -+； （3）33221122a a a a ----． 补充：立方和差公式3322()()a b a b a ab b ±=±+m .小结：① 平方法；② 乘法公式；③根式的基本性质=（a ≥0）等.注意， a ≥0十分重要，无此条件则公式不成立.≠. 变式：已知11223a a--=，求：（1）1122a a -+； （2）3322a a --.例2从盛满1升纯酒精的容器中倒出13升，然后用水填满，再倒出13升，又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？变式：n 次后？小结：① 方法：摘要→审题；探究 → 结论； ② 解应用问题四步曲：审题→建模→解答→作答.※ 动手试试练1. 化简：11112244()()x y x y -÷-.练2. 已知x +x -1=3，求下列各式的值. （1）1122x x -+； （2）3322x x -+.练3. 已知12(),0x f x x x π=⋅>，的值.三、总结提升※ 学习小结1. 根式与分数指数幂的运算；2. 乘法公式的运用.※ 知识拓展1. 立方和差公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+；3322()()a b a b a ab b -=-++. 2. 完全立方公式：33223()33a b a a b ab b +=+++； 33223()33a b a a b ab b -=-+-.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. ）.A.B. C. 3 D. 7292.3(a >0)的值是（ ）.A. 1B. aC. 15aD. 1710a 3. 下列各式中成立的是（ ）.A ．1777()n n m m =B．C 34()x y =+ D ．4. 化简3225()4-= .5. 化简21151********()(3)()3a b a b a b -÷= .1. 已知32x a b --=+, .2.2n a =时, 实数a 和整数n 所应满足的条件.§2.1.2 指数函数及其性质（1）学习目标1. 了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；2. 理解指数函数的概念和意义；3. 能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质（单调性、特殊点）.学习过程一、课前准备（预习教材P 54~ P 57，找出疑惑之处） 复习1：零指数、负指数、分数指数幂怎样定义的？ （1）0a = ； （2）n a -= ；（3）m na = ；m na -= . 其中*0,,,1a m n N n >∈>复习2：有理指数幂的运算性质. （1）m n a a =g ；（2）()m n a = ； （3）()n ab = .二、新课导学※ 学习探究探究任务一：指数函数模型思想及指数函数概念 实例：A ．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x 次分裂得到y 个细胞，那么细胞个数y 与次数x 的函数关系式是什么？B ．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时间x 年为自变量，残留量y 的函数关系式是什么？讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？新知：一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域为R .反思：为什么规定a ＞0且a ≠1呢？否则会出现什么情况呢？试试：举出几个生活中有关指数模型的例子？探究任务二：指数函数的图象和性质引言：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？回顾： 研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质． 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．作图：在同一坐标系中画出下列函数图象：1()2x y =， 2x y =讨论：（1）函数2x y =与1()2x y =的图象有什么关系？如何由2x y =的图象画出1()2x y =的图象？（2）根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个指数函数的性质. 变底数为3或13后呢？a >1 0<a <1 图 象性 质 (1)定义域：R (2)值域：（0，+∞） (3)过点（0，1），即x =0时，y =1(4)在 R 上是增函数 (4)在R 上是减函数※ 典型例题例1函数()xf x a =（0,1a a >≠且）的图象过点(2,)π，求(0)f ,(1)f -,(1)f 的值.小结：①确定指数函数重要要素是 ； ② 待定系数法.例2比较下列各组中两个值的大小：（1）0.60.52,2； （2）2 1.50.9,0.9-- ； （3）0.5 2.12.1,0.5 ； （4）231π-与.小结：利用单调性比大小；或间接利用中间数.※ 动手试试练1. 已知下列不等式，试比较m 、n 的大小：（1）22()()33m n >； （2） 1.1 1.1m n <.练2. 比较大小：（1）0.70.90.80.8,0.8, 1.2a b c ===； （2）01, 2.50.4,-0.22-, 1.62.5.三、总结提升※ 学习小结①指数函数模型应用思想；②指数函数概念；③指数函数的图象与性质；③单调法.※ 知识拓展因为(01)x y a a a =>≠，且的定义域是R ， 所以()(01)f x y a a a =>≠，且的定义域与()f x 的定义域相同. 而()(01)x y a a a ϕ=>≠，且的定义域，由()y t ϕ=的定义域确定.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，则a 的值为（ ）.A. 1B. 2C. 1或2D. 任意值 2. 函数f (x )=21x a -+ (a >0,a ≠1)的图象恒过定点（ ）.A. (0,1)B. (0,2)C. (2,1)D. (2,2) 3. 指数函数①()x f x m =，②()x g x n =满足不等式 01m n <<<，则它们的图象是（ ）.4. 比较大小：23( 2.5)- 45( 2.5)-.5. 函数1()19x y =-的定义域为 .课后作业1. 求函数y =1151x x--的定义域.2. 探究：在[m ，n ]上，()(01)x f x a a a =>≠且值域？§2.1.2 指数函数及其性质（2）1. 熟练掌握指数函数概念、图象、性质；2. 掌握指数型函数的定义域、值域，会判断其单调性；3. 培养数学应用意识.一、课前准备（预习教材P57~ P60，找出疑惑之处）复习1：指数函数的形式是，复习2：在同一坐标系中，作出函数图象的草图：2x y=,1()2xy=,5xy=,1()5xy=, 10xy=,1()10xy=.思考：指数函数的图象具有怎样的分布规律？二、新课导学※典型例题例1我国人口问题非常突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．（1）按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？（2）从2000年起到2020年我国人口将达到多少？小结：学会读题摘要；掌握从特殊到一般的归纳法. 试试：2007年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%, 经过x年后的总产值为原来的多少倍？多少年后产值能达到120亿？小结：指数函数增长模型.设原有量N，每次的增长率为p，则经过x次增长后的总量y=. 我们把形如xy ka= (,0,1)k R a a∈>≠且的函数称为指数型函数.例2 求下列函数的定义域、值域：（1）21xy=+; （2）y=; （3）110.4xy-=. 变式：单调性如何？小结：单调法、基本函数法、图象法、观察法.试试：求函数y=论其单调性.※ 动手试试练1. 求指数函数212x y +=的定义域和值域，并讨论其单调性.练2. 已知下列不等式，比较,m n 的大小. （1）33m n <； （2）0.60.6m n >； （3）(1)m n a a a >> ；（4） (01)m n a a a <<<.练3. 一片树林中现有木材30000 m 3，如果每年增长5%，经过x 年树林中有木材y m 3，写出x ，y 间的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000m 3.三、总结提升※ 学习小结1. 指数函数应用模型(,01)x y ka k R a a =∈>≠且；2. 定义域与值域；2. 单调性应用（比大小）.※ 知识拓展形如()(01)f x y a a a =>≠，且的函数值域的研究，先求得()f x 的值域，再根据t a 的单调性，列出简单的指数不等式，得出所求值域，注意不能忽视()0f x y a =>. 而形如()(01)x y a a a ϕ=>≠，且的函数值域的研究，易知0x a >，再结合函数()t ϕ进行研究. 在求值域的过程中，配合一些常用求值域的方法，例如观察法、单调性法、图象法等.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 如果函数y =a x (a >0,a ≠1)的图象与函数y =b x (b >0,b ≠1)的图象关于y 轴对称，则有（ ）. A. a >b B. a <bC. ab =1D. a 与b 无确定关系2. 函数f (x )=3－x －1的定义域、值域分别是（ ）. A. R ， R B. R ， (0,)+∞ C. R ，(1,)-+∞ D.以上都不对3. 设a 、b 均为大于零且不等于1的常数，则下列说法错误的是（ ）.A. y =a x 的图象与y =a －x 的图象关于y 轴对称B. 函数f (x )=a 1－x (a >1)在R 上递减 C. 若a 2>a 21-，则a >1 D. 若2x >1，则1x >4. 比较下列各组数的大小：122()5- 320.4-（）； 0.763（） 0.753-（）. 5. 在同一坐标系下，函数y =a x , y =b x , y =c x , y =d x 的图象如右图，则a 、b 、c 、d 、1之间从小到大的顺序是 .课后作业1. 已知函数f (x )=a －221x +(a ∈R )，求证：对任何a R ∈， f (x )为增函数.2. 求函数2121xxy-=+的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.§2.2.1 对数与对数运算（1）1. 理解对数的概念；2. 能够说明对数与指数的关系；3. 掌握对数式与指数式的相互转化.一、课前准备（预习教材P62~ P64，找出疑惑之处）复习1：庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭. （1）取4次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺？复习2：假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产是2002年的2倍？（只列式）二、新课导学※学习探究探究任务：对数的概念问题：截止到1999年底，我国人口约13亿. 如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么多少年后人口数可达到18亿，20亿，30亿？讨论：（1）问题具有怎样的共性？（2）已知底数和幂的值，求指数怎样求呢？例如：由1.01x m=，求x.新知：一般地，如果x a N=(0,1)a a>≠，那么数x 叫做以a为底N的对数（logarithm）.记作logax N=，其中a叫做对数的底数，N 叫做真数试试：将复习2及问题中的指数式化为对数式.新知：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并把常用对数10log N简记为lg N在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，并把自然对数logeN简记作ln N试试：分别说说lg5 、lg3.5、ln10、ln3的意义.反思：（1）指数与对数间的关系？0,1a a>≠时，x a N=⇔.（2）负数与零是否有对数？为什么？（3）log1a=，logaa=.※典型例题例1下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. （1）35125=；（2）712128-=；（3）327a=；（4）2100.01-=；（5）12log325=-；（6）lg0.001=3-；（7）ln100=4.606.变式：12log 32?= lg0.001=？小结：注意对数符号的书写，与真数才能构成整体. 例2求下列各式中x 的值：（1）642log 3x =； （2）log 86x =-；（3）lg 4x =； （4）3ln e x =.小结：应用指对互化求x .※ 动手试试练1. 求下列各式的值.（1）5log 25 ； （2）21log 16； （3）lg 10000.练2. 探究log ?n a a = log ?a N a =三、总结提升※ 学习小结①对数概念；②lg N 与ln N ；③指对互化；④如何求对数值※ 知识拓展对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔（Napier ，1550-1617年）男爵. 在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科. 可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间. 纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 若2log 3x =，则x =（）. A. 4B. 6C. 8D. 92. log = （ ）.A. 1B. －1C. 2D. －23. 对数式2log (5)a a b --=中，实数a 的取值范围是（ ）.A ．(,5)-∞B．(2,5)C ．(2,)+∞D ． (2,3)(3,5)U 4.计算：1(3+=.5. 若log 1)1x =-，则x =________，若y =，则y =___________.1. 将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式.（1）53243=； （2）51232-=； （3）430a =（4）1() 1.032m =； （5）12log 164=-；（6）2log 1287=； （7）3log 27a =.2. 计算： （1）9log 27； （2）3log 243； （3）； （3）(2log (2； （4）625.§§2.2.1 对数与对数运算（2）1. 掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；2. 能较熟练地运用对数运算法则解决问题..一、课前准备 （预习教材P 64~ P 66，找出疑惑之处） 复习1： （1）对数定义：如果xa N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做 ，记作 .（2）指数式与对数式的互化：x a N =⇔ . 复习2：幂的运算性质. （1）m n a a =g ；（2）()m n a = ；（3）()n ab = .复习3：根据对数的定义及对数与指数的关系解答： （1）设log 2a m =，log 3a n =，求m n a +； （2）设log a M m =，log a N n =，试利用m 、n 表示log (a M ·)N ．二、新课导学※ 学习探究探究任务：对数运算性质及推导 问题：由p q p q a a a +=，如何探讨log a MN 和log a M 、log a N 之间的关系？问题：设log a M p =, log a N q =， 由对数的定义可得：M =p a ，N =a∴MN =p a q a =p q a +， ∴log a MN =p +q ，即得log a MN =log a M + log a N 根据上面的证明，能否得出以下式子？ 如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 ，则 （1）log ()log log a a a MN M N =+； （2）log log log a a a MM N N =-； （3） log log ()n a a M n M n R =∈.反思： 自然语言如何叙述三条性质？ 性质的证明思路？（运用转化思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式） ※ 典型例题 例1用log a x , log a y , log a z 表示下列各式：（1）2log a xyz ； （2）log a .例2计算： （1）5log 25； （2）0.4log 1； （3）852log (42)⨯； （4）探究：根据对数的定义推导换底公式log log log c a c bb a=（0a >，且1a ≠；0c >，且1c ≠；0b >）．试试：2000年人口数13亿，年平均增长率1℅，多少年后可以达到18亿？※ 动手试试练1. 设lg2a =,lg3b =，试用a 、b 表示5log 12.变式：已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求lg6、lg12..练2. 运用换底公式推导下列结论.（1）log log m n a a nb b m =；（2）1log log a bb a =.练3. 计算：（1）7lg142lg lg7lg183-+-；（2）lg 243lg9. 三、总结提升※ 学习小结①对数运算性质及推导；②运用对数运算性质；③换底公式.※ 知识拓展① 对数的换底公式log log log b a b NN a=； ② 对数的倒数公式1log log a b b a=. ③ 对数恒等式：log log n n a a N N =，log log m n a a nN N=，log log log 1a b c b c a =gg . ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列等式成立的是（ ） A ．222log (35)log 3log 5÷=-B ．222log (10)2log (10)-=-C ．222log (35)log 3log 5+=gD ．3322log (5)log 5-=-2. 如果lgx =lga +3lgb －5lgc ，那么（ ）.A ．x =a +3b －cB ．35abx c=C ．35ab x c= D ．x =a +b 3－c 33. 若()2lg 2lg lg y x x y -=+，那么（ ）. A ．y x = B ．2y x = C ．3y x = D ．4y x =4. 计算：（1）99log 3log 27+=；（2）2121log log 22+= .5. 计算：15lg 23= .1. 计算：（1；（2）2lg 2lg 2lg5lg5+⋅+.2. 设a 、b 、c 为正数，且346a b c ==，求证： 1112c a b -=.§2.2.1 对数与对数运算（3）1. 能较熟练地运用对数运算性质解决实践问题；2. 加强数学应用意识的训练，提高解决应用问题的能力.一、课前准备（预习教材P 66~ P 69，找出疑惑之处） 复习1：对数的运算性质及换底公式.如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 ，则 （1）log ()a MN = ；（2）log a MN= ；（3） log n a M = .换底公式log a b = .复习2：已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b ，用 a ，b 表示42log 56.复习3：1995年我国人口总数是12亿，如果人口的年自然增长率控制在1.25℅，问哪一年我国人口总数将超过14亿？ （用式子表示）二、新课导学※ 典型例题例1 20世纪30年代，查尔斯.里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大. 这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为：0lg lg M A A =-，其中A 是被测地震的最大振幅，0A 是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差）.（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001, 计算这次地震的震级（精确到0.1）；（2）5级地震给人的振感已比较明显，计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍？（精确到1）小结：读题摘要→寻找数量关系→利用对数计算.例2当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据些规律，人们获得了生物体碳14含量P 与生物死亡年数t 之间的关系．回答下列问题： （1）求生物死亡t 年后它机体内的碳14的含量P ，并用函数的观点来解释P 和t 之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？（2）已知一生物体内碳14的残留量为P ，试求该生物死亡的年数t ，并用函数的观点来解释P 和t 之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？ （3）长沙马王墓女尸出土时碳14的余含量约占原始量的76.7%，试推算古墓的年代？反思：① P 和t 之间的对应关系是一一对应；② P 关于t的指数函数(x P =，则t 关于P 的函数为 .※ 动手试试练1. 计算：（1）0.21log 35-； （2）4912log 3log 2log ⋅-练2. 我国的GDP 年平均增长率保持为7.3%，约多少年后我国的GDP 在2007年的基础上翻两番？ 三、总结提升※ 学习小结 1. 应用建模思想（审题→设未知数→建立x 与y 之间的关系→求解→验证）； 2. 用数学结果解释现象.※ 知识拓展在给定区间内，若函数()f x 的图象向上凸出，则函数()f x 在该区间上为凸函数，结合图象易得到1212()()()22x x f x f x f ++≥； 在给定区间内，若函数()f x 的图象向下凹进，则函数()f x 在该区间上为凹函数，结合图象易得到1212()()()x x f x f x f ++≤. ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1.25()a -（a ≠0）化简得结果是（ ）. A ．－a B ．a 2 C ．｜a ｜D ．a2. 若 log 7［log 3（log 2x ）］＝0，则12x =（ ）. A. 3 B. C. D.3. 已知35a b m ==，且112a b+=，则m 之值为（ ）.A ．15BC ．D ．225 4. 若3a ＝2，则log 38－2log 36用a 表示为 . 5. 已知lg20.3010=，lg1.07180.0301=，则lg2.5=；1102=．1. 化简：（1）222lg5lg8lg5lg20(lg2)3+++；（2）()()24525log 5+log 0.2log 2+log 0.5.2. 若()()lg lg2lg2lg lgx y x y x y-++=++，求x y的值．§2.2.2 对数函数及其性质（1）1. 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；2. 能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3. 通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法.一、课前准备（预习教材P70~ P72，找出疑惑之处）复习1：画出2xy=、1()2xy=的图象，并以这两个函数为例，说说指数函数的性质.复习2：生物机体内碳14的“半衰期”为5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时，碳14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代.（列式）二、新课导学※学习探究探究任务一：对数函数的概念讨论：t与P的关系？（对每一个碳14的含量P的取值，通过对应关系logt P=，生物死亡年数t都有唯一的值与之对应，从而t是P的函数）新知：一般地，当a＞0且a≠1时，函数logay x=叫做对数函数(logarithmic function)，自变量是x；函数的定义域是（0，+∞）.反思：对数函数定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别，如：22logy x=，5log(5)y x=都不是对数函数，而只能称其为对数型函数；对数函数对底数的限制(0a>，且1)a≠．探究任务二：对数函数的图象和性质问题：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质．研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．试试：同一坐标系中画出下列对数函数的图象.2logy x=；0.5logy x=.反思：（(4)单调性：（2）图象具有怎样的分布规律？※ 典型例题例1求下列函数的定义域： （1）2log a y x =；（2）log (3)a y x =-；变式：求函数2log (3)y x =-的定义域.例2比较大小：（1）ln3.4,ln8.5； （2）0.30.3log 2.8,log 2.7； （3）log 5.1,log 5.9a a .小结：利用单调性比大小；注意格式规范.※ 动手试试练1. 求下列函数的定义域.（1）0.2log (6)y x =--； （2）32log 1y x =-.练2. 比较下列各题中两个数值的大小.（1）22log 3log 3.5和； （2）0.30.2log 4log 0.7和； （3）0.70.7log 1.6log 1.8和； （4）23log 3log 2和．三、总结提升※ 学习小结1. 对数函数的概念、图象和性质；2. 求定义域；3. 利用单调性比大小.※ 知识拓展对数函数凹凸性：函数()log ,(0,1)a f x x a a =>≠，12,x x 是任意两个正实数.当1a >时，1212()()()22f x f x x xf ++≤；当01a <<时，1212()()()22f x f x x xf ++≥.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 当a >1时，在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =的图象是（ ）.2. 函数22log (1)y x x =+≥的值域为（ ）. A. (2,)+∞ B. (,2)-∞ C. [)2,+∞ D. [)3,+∞3. 不等式的41log 2x >解集是（ ）. A. (2,)+∞ B. (0,2)B. 1(,)2+∞ D. 1(0,)24. 比大小： （1）log 67 log 7 6 ； （2）log 31.5 log 2 0.8.5. 函数(-1)log (3-)x y x =的定义域是 .课后作业1. 已知下列不等式，比较正数m 、n 的大小：（1）3log m ＜3log n ； （2）0.3log m ＞0.3log n ； （3）log a m ＞log a n (a ＞1)2. 求下列函数的定义域：（1）y =（2）y =§2.2.2 对数函数及其性质（2）1. 解对数函数在生产实际中的简单应用；2. 进一步理解对数函数的图象和性质；3. 学习反函数的概念,理解对数函数和指数函数互为反函数,能够在同一坐标上看出互为反函数的两个函数的图象性质.一、课前准备（预习教材P 72~ P 73，找出疑惑之处） 复习1：对数函数log (0,1)y x a a =>≠且图象和性质. 复习2：比较两个对数的大小. （1）10log 7与10log 12 ； （2）0.5log 0.7与0.5log 0.8.复习3：求函数的定义域.（1）311log 2y x=- ； （2）log (28)a y x =+.二、新课导学※ 学习探究探究任务：反函数问题：如何由2x y =求出x ？反思：函数2log x y =由2x y =解出，是把指数函数2x y =中的自变量与因变量对调位置而得出的. 习惯上我们通常用x 表示自变量，y 表示函数，即写为2log y x =.新知：当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数（inverse function ）例如：指数函数2x y =与对数函数2log y x =互为反函数.试试：在同一平面直角坐标系中，画出指数函数2x y =及其反函数2log y x =图象，发现什么性质？反思：（1）如果000(,)P x y 在函数2x y =的图象上，那么P 0关于直线y x =的对称点在函数2log y x =的图象上吗？为什么？（2）由上述过程可以得到结论：互为反函数的两个函数的图象关于 对称.※ 典型例题例1求下列函数的反函数：（1） 3x y =； （2）log (1)a y x =-.小结：求反函数的步骤（解x →习惯表示→定义域）变式：点(2,3)在函数log (1)a y x =-的反函数图象上，求实数a 的值.例2溶液酸碱度的测量问题：溶液酸碱度pH 的计算公式lg[]pH H +=-，其中[]H +表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.（1）分析溶液酸碱度与溶液中氢离子浓度之间的变化关系？（2）纯净水7[]10H +-=摩尔/升，计算其酸碱度.小结：抽象出对数函数模型，然后应用对数函数模型解决问题，这就是数学应用建模思想.※ 动手试试练1. 己知函数()xf x a k =-的图象过点（1，3）其反函数的图象过点（2，0），求()f x 的表达式.练2. 求下列函数的反函数. （1） y =(2)x (x ∈R )；x三、总结提升※ 学习小结① 函数模型应用思想；② 反函数概念.※ 知识拓展函数的概念重在对于某个范围（定义域）内的任意一个自变量x 的值，y 都有唯一的值和它对应. 对于一个单调函数，反之对应任意y 值，x 也都有惟一的值和它对应，从而单调函数才具有反函数. 反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域，即互为反函数的两个函数，定义 学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 函数0.5log y x =的反函数是（ ）. A. 0.5log y x =- B. 2log y x =C. 2x y =D. 1()2x y =2. 函数2xy =的反函数的单调性是（ ）. A. 在R 上单调递增 B. 在R 上单调递减C. 在(0,)+∞上单调递增D. 在(0,)+∞上单调递减3. 函数2(0)y x x =<的反函数是（ ）. A. (0)y x x =±> B. (0)y x x => C. (0)y x x =-> D. y x =±4. 函数x y a =的反函数的图象过点(9,2)，则a 的值为 .5. 右图是函数1log a y x =，2log a y x=3log a y x=，4log a y x =的图象，则底数之间的关系为 .课后作业1. 现有某种细胞100个，其中有占总数12的细胞每。
高中数学新教材同步必修第一册 第2章 章末复习课
五、通过构造数学模型解决生活中的问题
1.不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优 化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根据 题设条件构建数学模型是解题关键. 2.利用不等式解决实际应用问题，重点提升数学建模素养和数学运算 素养.
例5 某商品的成本价为80元/件，售价为100元/件，每天售出100件， 若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品的数量就增加 8 x成，要求售价不
跟踪训练1 若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为_{_a_－__b__|－__1_≤____ _a_－__b_≤___6_}_.
解析 ∵－1≤b≤2， ∴－2≤－b≤1， 又1≤a≤5， ∴－1≤a－b≤6.
二、利用基本不等式求最值
1.基本不等式： ab≤a＋2 b (a>0，b>0)是每年高考的热点，主要考查命 题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际 问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上 是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高 考中也经常出现. 2.熟练掌握基本不等式的应用，重点提升数学抽象和数学运算素养.
解 将y＝xa＋x2＋3看作关于a的一次函数， 当a∈[4,6]时，y≥0恒成立，只需在a＝4和a＝6时y≥0即可， 即xx22＋＋46xx＋＋33≥≥00，， 解得 x≤－3－ 6或 x≥－3＋ 6， 故 x 的取值范围是{x|x≤－3－ 6或 x≥－3＋ 6}.
反思感悟 解决不等式恒成立、能成立问题的方法 (1)利用一元二次不等式判别式与图形相结合. (2)分离参数法. (3)转化为最大(小)值问题.
a>0， ⇔Δ<0，
a<0， ax2 ＋ bx ＋ c<0(a≠0) 恒 成 立 ⇔ Δ<0， ax2 ＋ bx ＋ c≥0(a≠0) 恒 成 立