高中数学必修2(人教A版)第四章圆与方程4.3知识点总结含同步练习及答案
描述：
高中数学必修2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第四章 圆与方程 4.3 空间直角坐标系
一、学习任务
了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；了解空间中两点间的距离公式，并会
简单应用．
二、知识清单
空间直角坐标系
三、知识讲解
1.空间直角坐标系
空间直角坐标系
以空间一点 为原点，建立三条两两垂直的数轴：轴，轴，轴，这时我们说建立了一个空间
直角坐标系，其中点叫做坐标原点，轴，轴，轴叫做坐标轴，通过每两个坐标
轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面．
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向
轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
设点为空间的一个定点，过点分别作垂直于轴、轴、轴的平面，依次交轴、
轴、轴于点，和．设点，和在轴、轴、轴上的坐标分别是，
和，那么点就对应唯一确定的有序实数组．这样，空间一点的坐标可以用有
序实数组来表示，有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记
作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标．
空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，任意一点与原点间的距离．
空间中点，之间的距离
．
Oxyz
Oxyz O x y z
xOy yOz zOx
x y
z
M M x y z x
y z P Q R P Q R x y z x
y z M (x,y,z) M
(x,y,z) (x,y,z) M
M(x,y,z) x M y M z M
OxyzP(x,y,z)|OP|=
++
x2y2z
2
−−−−−−−−−−
√
(,,)P1x1y1z1(,,)
P
2x2y2z2
||=
P1P2(−+(−+(−
x1x2)2y1y2)2z1z2)
2
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
√
例题：四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学kuailexue.com）有下列叙述：
①在空间直角坐标系中，在 轴上的点的坐标一定是 ；
②在空间直角坐标系中，在 平面上点的坐标一定可写成 ；
③在空间直角坐标系中，在 轴上的点的坐标可记为 ；
④在空间直角坐标系中，在 平面上的点的坐标可写为 ．
其中正确叙述的个数是（ ）
A． B． C． D．
解：C．
Ox(0,b,0)
yOz(0,b,c)
Oz(0,0,c)
xOz(a,0,c)
1234
在空间直角坐标系中，点 关于坐标原点对称的点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
解：D．
关于原点对称的点，其 轴、 轴和 轴都变为原坐标的相反数．
P(3,4,5)
P
′
(−3,4,5)(−3,−4,5)(3,−4,−5)(−3,−4,−5)
xyz
如下图所示，在四棱锥 中，四边形 为正方形， ，且
， 为 中点．建立适当的坐标系，求 、、、、、 的坐标．
解：如下图所示，以 为坐标原点，、、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立
空间直角坐标系．
由 可知 、、、、、 的坐标分别为 、、
、、、．
P−ABCDABCDPA⊥面 ABCD
PA=AB=2EPDABCDPE
AABADAPxyz
PA=AB=2ABCDPEA(0,0,0)B(2,0,0)
C(2,2,0)D(0,2,0)P(0,0,2)E(0,1,1)
答案：
1. 已知 ， ，则线段 中点的坐标为
A．B．C．D．
A
M(2,2,5)N(0,−2,3)MN()
(1,0,4)(2,0,4)(1,2,4)(1,0,5)
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答案：
2. 已知点 ，且该点在三个坐标平面 平面、 平面、 平面上的射影的坐标依
次为 、 、 ，则
A．B．
C．D．以上结论都不对
A
P(−1,3,−4)yOzzOxxOy
(,,)x1y1z1(,,)x2y2z2(,,)x3y3z3()
++=0x1y2z3++=0
x
2y3z1
++=0
x
3y1z2
答案：
解析：
3. 设 ，则点 的集合为
A．垂直于 平面的一条直线B．平行于 平面的一条直线
C．垂直于 轴的一个平面D．平行于 轴的一个平面
A
点 的集合就是面 和 的交线．
y∈RP(1,y,2)()
xOzxOz
yy
Px=1z=2
答案：
4. 一束光线自点 发出，被 平面反射到达点 被吸收，那么光所走的距离是
A．B．C．D．
D
P(1,1,1)xOyQ(3,3,6)
()
37−−√47−−√33−−√57−−√
高中数学人教版_必修2_第四章_圆与方程_412圆的一般方程(有答案)
高中数学人教版必修2 第四章圆与方程 4.1.2圆的一般方程一、单选题1. 圆的圆心和半径分别为()A. B. C. D.2. 若方程表示圆，则实数的取值范围是()A. B. C. D.3. 方程x2+y2+4x−2y+5＝0表示的曲线是()A.两直线B.圆C.一点D.不表示任何曲线4. 如果方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0(D2+E2−4F>0)所表示的曲线关于y＝x对称，则必有()A.D＝EB.D＝FC.F＝ED.D＝E＝F5. 两圆x2+y2−4x+6y＝0和x2+y2−6x＝0的圆心连线方程为( )A.x+y+3＝0B.2x−y−5＝0C.3x−y−9＝0D.4x−3y+7＝06. 若圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴切于原点，则( )A.D＝0，E＝0，F≠0B.F＝0，D≠0，E≠0C.D＝0，F＝0，E≠0D.E＝0，F＝0，D≠07. 若圆x2+y2−2ax+3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x+ay+b＝0一定不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限参考答案与试题解析高中数学人教版必修2 第四章圆与方程 4.1.2圆的一般方程一、单选题1.【答案】C【考点】二次函数的应用函数的最值及其几何意义勾股定理【解析】√42+(−6)2+12=4.故选C．由圆的一般方程可知圆心坐标为(−2,3)半径r=12【解答】此题暂无解答2.【答案】A【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域圆的标准方程二次函数的应用【解析】二元二次方程表示圆的充要条件是D2++2−4F>>，由此得出k的取值范围．详解：二元二次方程表示圆的充要条件是D2+E2−4F>0⇒16+4−20k>0，所以(k∈(−∞,1)．故选A．【解答】此题暂无解答3.【答案】C【考点】曲线与方程直线与圆的位置关系圆的一般方程【解析】原方程变形为(x+2)2+(y−1)2=0，所以方程表示的曲线是一个点(−2,1)，故选C．【解答】此题暂无解答4.【答案】A【考点】圆的一般方程直线与圆的位置关系关于点、直线对称的圆的方程【解析】由题知圆心(−D2,−E2)在直线y=x二，即−E2=−D2.D=E．故选A．【解答】此题暂无解答5.【答案】C【考点】圆的一般方程直线与圆的位置关系圆的切线方程【解析】两圆的圆心分别为(2,−3),(3.0)，直线方程为y=3(x−3)，即3x−y−9=0，故选C．【解答】此题暂无解答6.【答案】C【考点】圆的一般方程圆的标准方程直线与圆的位置关系【解析】点(0,0)在圆上，代入圆的方程可得F=0．因为圆x2+y2+D加+5y+F=0与x轴切于原点，所以圆心的横坐标为0，即−D2=0，D=0．由1D2+[2−4F>0，可得E2> 0，∴E≠0，故选C．【解答】此题暂无解答7.【答案】D【考点】圆的一般方程直线与圆的位置关系直线和圆的方程的应用【解析】圆x2+y2−2ax+3by=0的圆心为(a,−32b)，则a<0,b>0．直线y=−1ax−ba，其斜率k=−1a >0，在y轴上的截距为−ba>0，所以直线不经过第四象限，故选D．【解答】此题暂无解答。
人教A版高中数学必修2《第四章 圆与方程 4.3空间直角坐标系 4.3.2 空间两点间的距离公式》_12
空间两点间的距离公式一．教材分析本节课为高中必修二第二章第三节第三课时的内容，它是在学生已经学过的平面直角坐标系的基础上的推广。
距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，点又是确定线、面的几何要素之一，所以本节课对学习点线面的距离公式的推导和进一步学习。
二．教学目标【知识与能力目标】理解空间内两点间的距离公式的推导过程，掌握两点间距离公式及其简单应用，会用坐标法证明一些简单的几何问题。
【过程与方法目标】通过推导公式发现，由特殊到一般，由空间到平面，由未知到已知的基本解题思想，培养学生观察发现、分析归纳等基本数学思维能力。
【情感态度价值观目标】培养学生思维的严密性和条理性，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学生学习兴趣。
三．教学重难点【教学重点】空间两点间的距离公式和它的简单应用。
【教学难点】空间两点间的距离公式的推导。
四．教学过程（一）导入部分我们知道，数轴上两点的距离是两点的坐标之差的绝对值，即d＝|x1－x2|；平面直角坐标系中，两点的距离是（）（），同学们想一下，在空间直角坐标系中，如果已知两点的坐标，如何求它们之间的距离呢？（二）研探新知，建构概念1、电子白板投影出上面实例。
2、教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。
（1）长方体的对角线及其长的计算公式①连接长方体两个顶点A ，C ′的线段AC ′称为长方体的对角线。
(如图)②如果长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，那么对角线长 .注意：（①）就推导过程而言，其应用了把空间长度向平面长度转化的思想，即通过构造辅助平面，将空间问题降维到平面中处理。
(②)就公式而言，该公式可概括为：长方体的对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。
（2）两点间的距离公式空间两点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)间的距离（ ） （ ） （ ）注意：①空间中两点间的距离公式是数轴上和平面上两点间距离公式的进一步推广。
人教A版高中数学必修2《第四章 圆与方程 4.3空间直角坐标系 4.3.2 空间两点间的距离公式》_9
4.3.2 空间两点间的距离公式[学习目标] 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.2.掌握空间两点间的距离公式.1.空间直角坐标系(1)空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x 轴、y 轴、z 轴，这样就建立了一个空间直角坐标系Oxyz .②相关概念：点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面.(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.2.空间一点的坐标空间一点M 的坐标可以用有序实数组(x ，y ，z )来表示，有序实数组(x ，y ，z )叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M (x ，y ，z ).其中x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标.知识点二 空间两点间的距离1.空间两点间的距离公式(1)在空间中，点P (x ，y ，z )到坐标原点O 的距离|OP |＝x 2＋y 2＋z 2.(2)在空间中，P 1(x 1，y 1，z 1)与P 2(x 2，y 2，z 2)的距离|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2.2.空间中的中点坐标公式在空间直角坐标系中，若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则线段AB 的中点坐标是⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22.题型一 求空间中点的坐标例1 如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 在线段BC 1上，且|BM |＝2|MC 1|，N 是线段D 1M 的中点，求点M ，N 的坐标.解 如图，过点M 作MM 1⊥BC 于点M 1，连接DM 1，取DM 1的中点N 1，连接NN 1.由|BM |＝2|MC1|，知|MM 1|＝23|CC 1|＝23， |M 1C |＝13|BC |＝13. 因为M 1M ∥DD 1，所以M 1M 与z 轴平行，点M 1与点M 的横坐标、纵坐标相同，点M 的竖坐标为23，所以M ⎝⎛⎭⎫13，1，23. 由N 1为DM 1的中点，知N 1⎝⎛⎭⎫16，12，0.因为N 1N 与z 轴平行，且|N 1N |＝|M 1M |＋|DD 1|2＝56， 所以N ⎝⎛⎭⎫16，12，56.反思与感悟 建立空间直角坐标系的技巧(1)建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；②充分利用几何图形的对称性.(2)求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标. 跟踪训练1 如图所示，在单位正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，M 是B 1B 的中点，N 是CC 1的中点，AP ＝2P A 1，Q 是OA 反向延长线上的一点，且OA ＝2OQ ，求点B ，C ，A 1，O 1，B 1，C 1，M ，N ，P ，Q 的坐标.解 由于点B 在xOy 平面内，竖坐标为0，∴B 点坐标为(1,1,0).C 点在y 轴上且OC ＝1，横坐标、竖坐标均为0，∴C 点坐标为(0,1,0)，A 1点在xOz 平面内，纵坐标为0，∴A 1点的坐标为(1,0,1)，O 1点在z 轴上，且OO 1＝1，∴O 1点的坐标为(0,0,1).B 1点所在平面A 1B 1C 1O 1与xOy 平面平行，竖坐标为1，∴B 1点的坐标为(1,1,1).C 1点在yOz 平面内，横坐标为0，纵坐标为1，∴C 1点的坐标为(0,1,1).同理得M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫1，1，12. N 点为CC 1的中点，∴其横坐标为0，竖坐标为12， ∴N 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，1，12. 同理可得P 点坐标为⎝⎛⎭⎫1，0，23， Q 点坐标为(－12，0,0). 题型二 求空间中对称点的坐标例2 在空间直角坐标系中，点P (－2,1,4).(1)求点P 关于x 轴的对称点的坐标；(2)求点P 关于xOy 平面的对称点的坐标；(3)求点P 关于点M (2，－1，－4)的对称点的坐标.解 (1)由于点P 关于x 轴对称后，它在x 轴的分量不变，在y 轴、z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P 1(－2，－1，－4).(2)由于点P 关于xOy 平面对称后，它在x 轴、y 轴的分量不变，在z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P 2(－2,1，－4).(3)设对称点为P 3(x ，y ，z )，则点M 为线段PP 3的中点，由中点坐标公式，可得x ＝2×2－(－2)＝6，y ＝2×(－1)－1＝－3，z ＝2×(－4)－4＝－12，所以P 3(6，－3，－12).反思与感悟 任意一点P (x ，y ，z )，关于原点对称的点是P 1(－x ，－y ，－z )；关于x 轴(横轴)对称的点是P 2(x ，－y ，－z )；关于y 轴(纵轴)对称的点是P 3(－x ，y ，－z )；关于z 轴(竖轴)对称的点是P 4(－x ，－y ，z )；关于xOy 平面对称的点是P 5(x ，y ，－z )；关于yOz 平面对称的点是P 6(－x ，y ，z )；关于xOz 平面对称的点是P 7(x ，－y ，z ).求对称点的问题可以用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的口诀来记忆. 跟踪训练2 求点A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 及x 轴的对称点的坐标.解 如图所示，过点A 作AM ⊥坐标平面xOy 交平面于点M ，并延长到点C ，使AM ＝CM ，则点A 与点C 关于坐标平面xOy 对称，且点C (1,2,1).过点A 作AN ⊥x 轴于点N 并延长到点B ，使AN ＝NB ，则点A 与B 关于x 轴对称且点B (1，－2,1).∴点A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 对称的点为C (1,2,1)；点A (1,2，－1)关于x 轴对称的点为B (1，－2,1).(本题也可直接利用点关于坐标面、坐标轴对称的规律写出)题型三 空间中两点之间的距离例3 已知△ABC 的三个顶点A (1,5,2)，B (2,3,4)，C (3,1,5).(1)求△ABC 中最短边的边长；(2)求AC 边上中线的长度.解 (1)由空间两点间距离公式得|AB |＝(1－2)2＋(5－3)2＋(2－4)2＝3， |BC |＝ (2－3)2＋(3－1)2＋(4－5)2＝6，|AC |＝(1－3)2＋(5－1)2＋(2－5)2＝29，∴△ABC 中最短边是|BC |，其长度为 6.(2)由中点坐标公式得，AC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫2，3，72. ∴AC 边上中线的长度为 (2－2)2＋(3－3)2＋⎝⎛⎭⎫4－722＝12. 反思与感悟 解决空间中的距离问题就是把点的坐标代入距离公式计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是解题的关键.跟踪训练3 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为面A 1B 1C 1D 1的中心，求证：AP ⊥B 1P . 证明 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .设棱长为1，则A (1,0,0)，B 1(1,1,1)，P ⎝⎛⎭⎫12，12，1.由空间两点间的距离公式，得|AP |＝(1－12)2＋(0－12)2＋(0－1)2＝62， |B 1P |＝⎝⎛⎭⎫1－122＋⎝⎛⎭⎫1－122＋(1－1)2＝22， |AB 1|＝(1－1)2＋(0－1)2＋(0－1)2＝ 2.所以|AP |2＋|B 1P |2＝|AB 1|2，所以AP ⊥B 1P .转化思想例4 已知正方形ABCD 和正方形ABEF 的边长都是1，并且平面ABCD ⊥平面ABEF ，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动.若|CM |＝|BN |＝a (0＜a ＜2).(1)求MN 的长度；(2)当a 为何值时，MN 的长度最短.分析 因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，且交线为AB ，BE ⊥AB ，所以BE ⊥平面ABCD ，所以BA ，BC ，BE 两两垂直.因此可以通过建立空间直角坐标系，先利用空间两点间的距离公式把|MN |表示为参数a 的函数，再利用函数求最值.解 取B 为坐标原点，BA ，BE ，BC 所在直线分别为x 轴、y 轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为|BC |＝1，|CM |＝a ，点M 在坐标平面xBz 内，且在正方形ABCD的对角线上，所以M ⎝⎛⎭⎫22a ，0，1－22a . 因为点N 在坐标平面xBy 内，且在正方形ABEF 的对角线上，|BN |＝a ，所以N ⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，0. (1)由空间两点间的距离公式，得|MN |＝⎝⎛⎭⎫22a －22a 2＋⎝⎛⎭⎫0－22a 2＋⎝⎛⎭⎫1－22a －02＝a 2－2a ＋1，即MN 的长度为a 2－2a ＋1.(2)由(1)，得|MN |＝a 2－2a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －222＋12. 当a ＝22(满足0＜a ＜2)时， ⎝⎛⎭⎫a －222＋12取得最小值，即MN 的长度最短，最短为22. 解后反思 由于图形中出现了两两垂直的三条直线，因此可建立空间直角坐标系，把几何问题转化为代数问题求解.利用空间两点间的距离公式求得MN 的长度，并利用二次函数求MN 长度的最小值.建系选取位置错误例5 已知在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有的棱长都是1，且侧棱AA 1⊥底面ABC ，建立适当的坐标系，并写出各顶点的坐标.分析 由于所有棱长都是1，则△ABC 是等边三角形，而AA 1垂直于底面，因此可选取适当位置建系.解 如图，取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，可得BO ⊥AC ，分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.因为三棱柱各棱长均为1，所以|OA |＝|OC |＝|O 1C 1|＝|O 1A 1|＝12，|OB |＝32. 因为点A ，B ，C 均在坐标轴上，所以A ⎝⎛⎭⎫0，－12，0，B ⎝⎛⎭⎫32，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，12，0. 又因为点A 1，C 1，在yOz 平面内，所以A 1(0，－12，1)，C 1(0，12，1). 又因为点B 1在xOy 平面内的射影为点B ，且|BB 1|＝1，所以B 1⎝⎛⎭⎫32，0，1. 所以各顶点的坐标分别为A ⎝⎛⎭⎫0，－12，0，B ⎝⎛⎭⎫32，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，12，0，A 1⎝⎛⎭⎫0，－12，1，B 1⎝⎛⎭⎫32，0，1，C 1⎝⎛⎭⎫0，12，1. 解后反思 在此题中易出现以点A 作为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立坐标系，由于∠BAC ≠90°，故这种建系的方法是错误的.建系时应该选取从一点出发的三条两两垂直的直线作为坐标轴.。
新人教A版必修2高中数学第四章圆与方程章末归纳整合
【解析】(1)设圆A的半径为r. 由于圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切， ∴r＝|－1＋54＋7|＝2 5. ∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
(2)设MN的中点为Q，连接AQ，则 AQ⊥MN.
∵|MN|＝2 19，∴|AQ|＝ 20－19＝1. ①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2 符合题意． ②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)， 即kx－y＋2k＝0. 则由|AQ|＝|－k－k22＋＋12k|＝1，得k＝34. 直线方程为3x－4y＋6＝0. 综上，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.
【例4】
已知实数x，y满足y＝－2x＋8且2≤x≤3，求
<k≤23.故选D.
【点评】解题的关键是从曲线的变化中找出不变的特征， 如本题恒过定点(3,4)，对变化的直线而言，常见的不变特征 为：①过定点；②斜率不变．
【变式训练3】 已知⊙O：x2＋y2＝4和⊙C：x2＋(y－8)2
＝4，直线y＝ 25x＋b与两圆均无交点，求实数b的取值范围．
【解析】如图所示，直线方程是 5 x－2y＋2b ＝0.
【解析】设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
பைடு நூலகம்
∵圆
x－32
2＋y2＝2在直线x＝－
1 2
的右侧且所求的圆与x轴
和直线x＝－12都相切，
∴a>－12.∴r＝a＋12，r＝|b|.
又圆心(a，b)在圆x－322＋y2＝2上， ∴a－322＋b2＝2.
r＝a＋12， ∴r＝|b|，
a－322＋b2＝2.
解得DE＝＝－－91，0， F＝39.
人教A高中数学必修二课时分层训练：第四章 圆与方程 42 422 423 含解析
第四章4．2直线、圆的位置关系4．2．2圆与圆的位置关系4．2．3直线与圆的方程的应用课时分层训练‖层级一‖……………………|学业水平达标|1．已知0＜r＜2＋1，则两圆x2＋y2＝r2与(x－1)2＋(y＋1)2＝2的位置关系是()A．外切B．相交C．外离D．内含解析：选B设圆(x－1)2＋(y＋1)2＝2的圆心为O′，则O′(1，－1)．圆x2＋y2＝r2的圆心O(0,0)，圆心距|OO′|＝12＋(－1)2＝2.显然有|r－2|＜2＜2＋r.所以两圆相交．2．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有() A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选B因为两圆的圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，所以内公切线的条数为2条．3．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则实数m等于()A．21 B．19C．9 D．－11解析：选C圆C2的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.又圆C1：x2＋y2＝1，∴|C1C2|＝5.又∵两圆外切，∴5＝1＋25－m，解得m＝9.4．一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距离地面的高度不得超过( )A ．1.4米B ．3.0米C ．3.6米D ．4.5米解析：选C 可画出示意图，如图所示，通过勾股定理解得OD ＝OC 2－CD 2＝3.6(米)，故选C.5．过点P (2,3)向圆C ：x 2＋y 2＝1作两条切线P A ，PB ，则弦AB 所在的直线方程为( )A ．2x －3y －1＝0B ．2x ＋3y －1＝0C ．3x ＋2y －1＝0D ．3x －2y －1＝0解析：选B 弦AB 可以看作是以PC 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝1的交线，而以PC 为直径的圆的方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝134.根据两圆的公共弦的求法，可得弦AB 所在的直线方程为：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－134－(x 2＋y 2－1)＝0，整理可得2x＋3y －1＝0，故选B.6．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则实数a ＝ .解析：由已知，两个圆的方程作差可以得到相应弦的直线方程为y ＝1a ，利用圆心(0,0)到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a 1＝22－(3)2＝1，解得a ＝1.答案：17．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A ，B 两点，则线段AB 的中垂线方程为 ．解析：AB 的中垂线即为圆C 1、圆C 2的连心线C 1C 2，又C 1(3,0)，C 2(0,3)，C 1C 2的方程为x ＋y －3＝0，即线段AB 的中垂线方程为x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝08．点P 在圆O ：x 2＋y 2＝1上运动，点Q 在圆C ：(x －3)2＋y 2＝1上运动，则|PQ |的最小值为 ．解析：如图所示．设连心线OC 与圆O 交于点P ′，与圆C 交于点Q ′，圆O 的半径为r 1，圆C 的半径为r 2，当点P 在P ′处，点Q 在Q ′处时|PQ |最小，最小值为|P ′Q ′|＝|OC |－r 1－r 2＝1.答案：19．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，求以圆C 1与圆C 2的公共弦为直径的圆的方程．解：由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为x －y ＝0. ∵圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝3，圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1， 圆心C 1(－2,0)，C 2(－1，－1)， ∴两圆连心线所在直线的方程为y －0－1－0＝x ＋2－1＋2，即x ＋y ＋2＝0.由⎩⎨⎧x －y ＝0，x ＋y ＋2＝0，得所求圆的圆心为(－1，－1)． 又圆心C 1(－2,0)到公共弦所在直线x －y ＝0的距离d ＝|－2－0|2＝2， ∴所求圆的半径r ＝(3)2－(2)2＝1， ∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1.10．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离．解：以O 为坐标原点，过OB ，OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1.因为点B (8,0)，C (0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆的切点处时，DE 为最短距离．此时DE 长的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1)km.‖层级二‖………………|应试能力达标|1．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析：选A 利用圆的几何性质，将题目转化为求两圆相交的公共弦所在直线的方程．设点P (3,1)，圆心C (1,0)，又切点分别为A ，B ，则P ，A ，C ，B 四点共圆，且PC 为圆的直径，∴四边形P ACB 的外接圆圆心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，半径长为12(3－1)2＋(1－0)2＝52，∴此圆的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54 ①.又圆C ：(x －1)2＋y 2＝1 ②，①－②得2x ＋y －3＝0，此即为直线AB 的方程．2．若圆x 2＋y 2＝r 2与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0有公共点，则r 满足的条件是( )A ．r ＜5＋1B ．r ＞5＋1C ．|r －5|＜1D ．|r －5|≤1解析：选D 由x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0，得(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，圆心距(－1)2＋22＝ 5.∵两圆有公共点，∴|r －1|≤5≤r ＋1，∴5－1≤r ≤5＋1，即－1≤r －5≤1，∴|r －5|≤1.3．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于直线x －y ＋1＝0对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2＝5 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝5D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5解析：选D 由圆(x ＋2)2＋y 2＝5，可知其圆心为(－2,0)，半径为 5.设点(－2,0)关于直线x －y ＋1＝0对称的点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －0x ＋2＝－1，x －22－y ＋02＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，∴所求圆的圆心为(－1，－1)．又所求圆的半径为5，∴圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于直线x －y ＋1＝0对称的圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5.4．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是( )A ．5B ．1C ．35－5D ．35＋5解析：选C 圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0，即(x －4)2＋(y －2)2＝9，圆心为C 1(4,2)，半径长r 1＝3；圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4，圆心为C 2(－2，－1)，半径长r 2＝2，两圆相离，|PQ |的最小值为|C 1C 2|－(r 1＋r 2)＝35－5.5．若圆O ：x 2＋y 2＝5与圆O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长为 ．解析：连接OO 1，记AB 与OO 1的交点为C ，如图所示，在Rt △OO 1A 中，|OA |＝5，|O 1A |＝25， ∴|OO 1|＝5， ∴|AC |＝5×255＝2， ∴|AB |＝4. 答案：46．过两圆x 2＋y 2－2y －4＝0与x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0的交点，且圆心在直线l ：2x ＋4y －1＝0上的圆的方程是 ．解析：设圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＋λ(x 2＋y 2－2y －4)＝0，则(1＋λ)x 2－4x ＋(1＋λ)y 2＋(2－2λ)y －4λ＝0，把圆心⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21＋λ，λ－11＋λ代入l ：2x ＋4y －1＝0的方程，可得λ＝13，所以所求圆的方程为x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0.答案：x 2＋y 2－3x ＋y －1＝07．台风中心从A 地以每小时20 km 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险地区，城市B 在A 地正东40 km 处，B 城市处于危险区内的时间为 ．解析：如图所示，以A 为原点，正东和正北方向为x 轴、y 轴正方向，则B (40,0)．台风中心在直线y ＝x 上移动．则问题转化成以点B 为圆心，30 km 为半径的圆与直线y ＝x 相交的弦长就是B 处在危险区内台风中心走过的距离．则圆B 的方程为(x －40)2＋y 2＝302，直线y ＝x 被圆B 截得弦长为CD ＝2·302－⎝ ⎛⎭⎪⎫4022＝20(km)．故B 城市处于危险区的时间为t ＝2020＝1(h)． 答案：1 h8．已知圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心为O 2(2,1)． (1)若圆O 1与圆O 2外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 1与圆O 2交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程． 解：(1)设圆O 1、圆O 2的半径分别为r 1，r 2， ∵两圆外切，∴|O 1O 2|＝r 1＋r 2，∴r 2＝|O 1O 2|－r 1＝(0－2)2＋(－1－1)2－2 ＝2(2－1)，∴圆O 2的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝12－8 2.(2)由题意，设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 23，圆O 1，O 2的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程，为4x ＋4y ＋r 23－8＝0.∴圆心O 1(0，－1)到直线AB 的距离为|0－4＋r 23－8|42＋42＝4－⎝⎛⎭⎪⎫2222＝2，解得r 23＝4或20.∴圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.。
人教A版高中数学必修2《第四章 圆与方程 小结》_3
高考后期专题复习思维导图（一）课本习题1. 第123页练习题1：222230x y ax a +--+=表示圆则圆心是 半径是习题2：222+20x y ax b +-=表示的图形是2. 第119页例2ABC ∆的三个顶点坐标为()A 51， ()B -37， ()C -2， 8 求它的外接圆的方程。
（一）高考真题1（2015年全国Ⅰ）14.一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴上则该圆的标准方程为2.（2015年全国Ⅱ）过三点()A 1， 3()B 4， 2()C -1， 7的圆交y 轴于N M 、两点则MN =（ ）B 8 D 10一、直线与圆的位置关系（二）课本习题1.第127页例2 已知过点()M -3-， 3的直线l 被圆224210x y y ++-=截得的弦长为l 的方程2.第132页6.求圆心在直线30x y -=上与x 轴相切且被0x y -=截得的弦长为（二）高考真题1（2018年全国Ⅲ）6.直线20x y ++=分别与x 轴、y 轴相交于A B、两点，点P 在圆()2222x y -+=上。
则ABP ∆的面积取值范围是（ ）[]A. 2,6 []B. 4,8C.D. ⎡⎣ 2（2018年全国Ⅱ）19设抛物线2C 4y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为()K K>0的直线l 与C 相交于A 、B 两点AB =8（1）求l 的方程（2）求过点A 、B 且与C 的准线相切的圆的方程。
3. （2016年全国Ⅰ）20.设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点()B 1， 0且与x 轴不重合，l 交于圆A 于C 、D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于E 。
（1）证明EA +EB 为定值，并写出E 点的轨迹方程（2）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M 、N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P 、Q 两点，求四边形MPNQ 的面积的取值范围。
人教A版高中数学必修二 第四章 圆与方程 4.3.2
3．侧棱垂直底面的三棱柱叫直三棱柱．已知直三棱柱 ABC－A1B1C1，底 面△ABC 中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱 AA1＝2，M，N 分别是 A1B1， A1A 的中点，求 MN 的长．
►Suffering is the most powerful teacher of life. 苦难是人生最伟大的老师。 ►For man is man and master of his fate. 人就是人，是自己命运的主人。 ►A man can't ride your back unless it is bent. 你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。
解析： (1)由于关于 x 轴对称的点的横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原 来的相反数，所以对称点为 P1(－2，－1，－4)．
(2)由于点 P 关于 xOy 平面对称后，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原 来的相反数，所以对称点为 P2(－2,1，－4)．
(3)设对称点为 P3(x，y，z)，则点 M 为线段 PP3 的中点， 由中点坐标公式， 可得 x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3， z＝2×(－4)－4＝－12. 所以 P3(6，－3，－12)．
(2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向__x_轴___的正方向，食指指向__y_轴___ 的正方向，如果中指指向__z_轴___的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
2．空间一点的坐标 空 间 一 点 M 的 坐 标 可 以 用 _有__序__实__数__组__(x_，__y_，__z_)_ 来 表 示 ， __有__序__实__数__组__(x_，__y_，__z_)__ 叫 作 点 M 在 此 空 间 直 角 坐 标 系 中 的 坐 标 ， 记 作 ___M_(_x_，__y_，__z_)__，其中__x__叫作点 M 的横坐标，__y__叫作点 M 的纵坐标，__z__ 叫作点 M 的竖坐标．
高中数学必修2(人教A版)第四章圆与方程4.1知识点总结含同步练习及答案
3−1 (x − 2)，即 x + 3y + 1 = 0． 2+4
⎧ x = 7, { 2x + 3y − 6 = 0, 得 ⎨ ⎩y = − 8 . x + 3y + 1 = 0, 3 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − 2 8 340 8 2 即圆心为 (7, − ) ，又半径为 r = √(7 − 3) + (− − 2) = √ ． 3 9 3
3a 2 3a2 2 a 2 − a + 1，由 − − a + 1 > 0 得 −2 < a < ． ) + ( y + a) 2 = − 4 4 3 2
2 ． 3
△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(−1, 5) 、B(−2, −2)、C (5, 5) ，求其外接圆方程． 解：设所求圆的方程为 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0，由题设得方程组 ⎧ ⎨ ⎩ ⎧ ⎨ ⎩
1 B．a < 13
1 C．|a| < 5
1 D．|a| < 13
）
由题意得 (5a + 1 − 1)2 + (12a)2 < 1，所以 |a| <
1 ． 13
已知点 (1, 1) 在圆 (x − a)2 + (y + a)2 = 4 的外部，则 a 的取值范围为______． 解：(−∞, −1) ∪ (1, +∞)． 由题意知 (1 − a)2 + (1 + a)2 > 4，所以 a > 1 或 a < −1 ． 判断下列方程是否表示圆，若是，化成标准方程． （1）x 2 + y 2 + 2x + 1 = 0； （2）x 2 + y 2 + 2ay − 1 = 0 ； （3）x 2 + y 2 + 20x + 121 = 0 ； （4）x 2 + y 2 + 2ax = 0． 解：（1）原方程可化为 (x + 1)2 + y 2 = 0，它表示点 (−1, 0) ，不表示圆． − − − − − （2）原方程可化为 x 2 + (y + a)2 = a2 + 1，它表示圆心在 (0, −a)，半径为 √a2 + 1 的圆， − − − − − 标准方程为 x 2 + (y + a)2 = (√a2 + 1)2 ． （3）原方程可化为 (x + 10)2 + y 2 = −21 < 0 ，此方程不表示任何曲线，故不表示圆． （4）原方程可化为 (x + a)2 + y 2 = a2 ． ①当 a = 0 时，方程表示点 (0, 0)，不表示圆； ②当 a ≠ 0 时，方程表示以 (−a, 0) 为圆心，以 |a| 为半径的圆，标准方程为 ( x + a) 2 + y 2 = a2 ． 若方程 x 2 + y 2 + ax + 2ay + 2a2 + a − 1 = 0 表示圆，则 a 的取值范围为______． 解：−2 < a < 配方得 (x +
人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第四章圆与方程4
人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第四章圆与方程4学习目标 1.了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程.2.会应用空间两点的距离公式求空间中两点间的距离．知识点空间两点间的距离公式思考如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则其对角线AC1的长等于多少？答案.梳理(1)在空间直角坐标系Oxyz中，任意一点P(x，y，z)与原点间的距离|OP|＝.(2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22).类型一求空间两点间的距离例1 如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，|AN|＝2|CN|，|BM|＝2|MC′|，求|MN|的长．解建立如图所示空间直角坐标系，过M作MF垂直BC于F，连接NF，显然MF垂直于平面ABCD，所以MF⊥NF，因为|BM|＝2|MC′|，所以|BF|＝2|FC|.又|AN|＝2|CN|，所以NF∥AB，所以|NF|＝|FC|＝|AB|＝，同理|MF|＝|CC′|＝，因此，点N的坐标为，点M的坐标为，所以|MN|＝＝a.反思与感悟在平面直角坐标系中，我们学习了很多性质，但这些性质在空间直角坐标系中并不能全部都适用．如平面直角坐标系中的中点坐标公式，两点间距离公式可类比到三维空间中，而对直线方程及一些判定定理、性质则在三维空间中不适用．跟踪训练1 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．解以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，由中点坐标公式，可得D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，∴|DE|＝1－02＋1－12＋0－22)＝，|EF|＝0－12＋1－02＋2－02)＝.类型二求空间点的坐标例2 已知点A(4,5,6)，B(－5,0,10)，在z轴上有一点P，使|PA|＝|PB|，则点P的坐标为_____．答案(0,0,6)解析设P(0,0，z)，由|PA|＝|PB|，得解得z＝6.∴点P的坐标为(0,0,6)．引申探究1．若本例中已知条件不变，问能否在z轴上找一点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？解与例2的结论一样，P(0,0,6)．2．若本例中“在z轴上”改为“在y轴上”，其他条件不变，结论又如何？解设P(0，y,0)，由|PA|＝|PB|，得解得y＝－.∴点P的坐标为(0，－，0)．反思与感悟(1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标．(2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，则可以列出关于点的坐标的方程进行求解．跟踪训练2 设点P在x轴上，使它到点P1(0，，3)的距离是到点P2(0,1，－1)的距离的2倍，求点P的坐标．解因为P在x轴上，所以设P点坐标为(x,0,0)．因为|PP1|＝2|PP2|，所以x－02＋0－\r(2)2＋0－32)＝2x－02＋0－12＋0＋12)，所以x＝±1，所以点P的坐标为(1,0,0)或(－1,0,0)．类型三空间两点间距离公式的应用例3 已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M 在AC上移动，点N在BF上移动，若|CM|＝|BN|＝a(0＜a＜ )．(1)求|MN|的长；(2)当a为何值时，|MN|的长最小．解∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，∴BE⊥平面ABCD，∴AB、BC、BE两两垂直．过点M作MG⊥AB，MH⊥BC，垂足分别为G、H，连接NG，易证NG⊥AB.∵|CM|＝|BN|＝a，∴|CH|＝|MH|＝|BG|＝|GN|＝a，∴以B为原点，以BA、BE、BC所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则M，N.(1)|MN|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a －22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22a －02 ＝＝. (2)由(1)得当a ＝时，|MN|最短，最短为，这时M 、N 恰好为AC 、BF 的中点． 反思与感悟 距离是几何中的基本度量问题，无论是在几何问题中，还是在实际问题中，都会涉及距离的问题，它的命题方向往往有三个：(1)求空间任意两点间的距离；(2)判断几何图形的形状；(3)利用距离公式求最值．跟踪训练3 如图所示，正方体棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，点P 在正方体的体对角线AB 上，点Q 在正方体的棱CD 上．当点P 为体对角线AB 的中点，点Q 在棱CD 上运动时，求|PQ|的最小值．解 建立如图所示的空间直角坐标系，则P(，，)．∵Q 点在CD 上，∴设Q(0,1，z)，z∈[0,1]，∴|PQ|＝\f(1,2)－02＋\f(1,2)－12＋\f(1,2)－z2)＝\f(1,2)－z2)，∴当z ＝时，|PQ|min ＝.1．坐标原点到下列各点距离最大的点是( )A ．(1,1,1)B ．(1,2,2)C ．(2，－3,5)D ．(3,0,4)答案 C2．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝2，则实数x 的值是( )A ．－3或4B ．6或2C ．3或－4D ．6或－2 答案 D解析 由空间两点间的距离公式，得解得x ＝6或x ＝－2.3．已知三角形的三个顶点A(2，－1,4)，B(3,2，－6)，C(5,0,2)，则过A 点的中线长为( )A. B．2 C．11 D．311答案B解析∵BC的中点坐标为(4,1，－2)，∴过A点的中线长为4－22＋1＋12＋－2－42)＝2.4.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为( )A.aB.aC．a D.a答案B解析∵A′(a,0，a)，C(0，a,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，∴E点坐标为(，，)，F点坐标为(a，，0)，∴|EF|＝＝a.5．已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，则|AB|的最小值为________．答案36解析|AB|＝2a－12＋－7－a2＋－2＋52)＝a＋12＋54).当a＝－1时，|AB|的值最小，最小值为＝3.1．空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想．2．若已知两点坐标求距离，则直接代入公式即可．若已知两点间距离求参数或点的坐标时，应利用公式建立相应方程求解．课时作业一、选择题1．点A在z轴上，它到点(2，，1)的距离是，则A点的坐标为( )A．(0,0，－1) B．(0,1,1)C．(0,0,1) D．(0,0,13)答案C解析设A(0,0，c)，则2\r(2)2＋\r(5)2＋1－c2)＝，解得c＝1.所以点A 的坐标为(0,0,1)．2．设点B是点A(2，－3,5)关于xOy平面的对称点，则A，B两点的距离为( )A．10 B. C. D．38答案A解析∵点B是A(2，－3,5)关于xOy平面的对称点，∴点B的横坐标和纵坐标与点A相同，竖坐标相反，∴B(2，－3，－5)，∴AB的长度是5－(－5)＝10.故选A.3．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( )A. B. C. D.63答案A解析如图，不妨设B1点为定点．由题意知，|B1A|＝|B1C|＝|B1D|＝1.|OB1|＝＝＝ .4．已知△ABC的顶点坐标是A(3,1,1)，B(－5,2,1)，C(－，2,3)，则它在yOz平面上的射影图形的面积是( )A．4 B．3 C．2 D．1答案D解析△ABC的三个顶点A、B、C在yOz平面上的射影点的坐标分别为(0,1,1)、(0,2,1)、(0,2,3)，它在yOz平面上是一个直角三角形，容易求出它的面积为1.5．已知三点A(－1,0,1)，B(2,4,3)，C(5,8,5)，则( )A．三点构成等腰三角形B．三点构成直角三角形C．三点构成等腰直角三角形D．三点构不成三角形解析∵|AB|＝2＋12＋4－02＋3－12)＝，|AC|＝2，|BC|＝，∴|AB|＋|BC|＝|AC|，∴三点A，B，C共线，构不成三角形，故选D.6．已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值为( )A．19 B．－ C. D.1914答案C解析∵|AB|＝x－12＋3－2x2＋3x－32)＝，∴当x＝－＝时，|AB|最小．7．一束光线自点P(1,1,1)发出，遇到平面xOy被反射，到达点Q(3,3,6)被吸收，那么光所走的路程是( )A. B. C. D.57答案D解析点P(1,1,1)关于平面xOy的对称点M的坐标为(1,1，－1)．一束光线自点P(1,1,1)发出，遇到平面xOy被反射，到达点Q(3,3,6)被吸收，那么光所走的路程是3－12＋3－12＋6＋12)＝.二、填空题8．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则点M的坐标为________．答案(0，－1,0)解析设点M的坐标为(0，y,0)，由|MA|＝|MB|，得(0－1)2＋(y－0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y＋3)2＋(0－1)2，整理得6y＋6＝0，∴y＝－1，即点M的坐标为(0，－1,0)．9．已知正方体的六个面中，不在同一平面的两点的坐标分别为A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)，则正方体的体积是________．解析|AB|＝－1－32＋2＋22＋－1－32)＝4.又因为A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)不在同一平面上，所以A，B两点间的距离即为正方体的体对角线长．设正方体的边长为a，则a＝4，即a＝4，所以正方体的体积为64.10．以原点为球心，5为半径的球面上的动点P的坐标为P(x，y，z)，则x，y，z满足的关系式为______________．答案x2＋y2＋z2＝25解析由空间两点间距离公式可得x2＋y2＋z2＝25.11.如图，在空间直角坐标系中，|BC|＝2，原点O是BC的中点，点A(，，0)，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，则三棱锥D－ABC的体积为__________．答案14解析因为∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，|BC|＝2.所以|BD|＝1，|CD|＝|BC|cos 30°＝，所以S△BCD＝×|BD|×|CD|＝.因为A(，，0)，即点A到BC的距离为，所以三棱锥D－ABC的体积为V＝××＝.三、解答题12．在空间直角坐标系Oxyz中，(1)在z轴上求一点P，使得它到点A(4,5,6)与到点B(－7,3,11)的距离相等；(2)已知点M到坐标原点的距离等于2，且它的坐标分量相等，求该点的坐标．解(1)设P点坐标为(0,0，c)，因为|PA|＝|PB|，所以c－62)＝c－112)，所以c＝，所以P点坐标为(0,0，)．(2)设M点坐标为(a，a，a)，由＝2.得a2＝4，所以a＝±2，所以M点坐标为(2,2,2)或(－2，－2，－2)．13．如图所示，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，P，Q分别是D′B，B′C的中点，求|PQ|.解以D为坐标原点，DA，DC，DD′所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，由题意得B(a，a,0)，D′(0,0，a)，所以P(，，)．又C(0，a,0)，B′(a，a，a)，所以Q(，a，)．所以|PQ|＝\f(a,2)－\f(a,2)2＋\f(a,2)－a2＋\f(a,2)－\f(a,2)2)＝.四、探究与拓展14．对于任意实数x，y，z，则＋x＋12＋y－22＋z－12)的最小值为________．答案6解析设P(x，y，z)，M(－1,2,1)，则＋x＋12＋y－22＋z－12)＝|PO|＋|PM|，由于x，y，z是任意实数，即点P是空间中任意一点，则|PO|＋|PM|≥|OM|＝＝，即所求的最小值为.15．在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，－3)．试问：(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|?(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解(1)假设在y轴上存在点M，满足|MA|＝|MB|.因为M在y轴上，所以可设M(0，y,0)．由|MA|＝|MB|，得＝，显然，此式对任意y∈R恒成立，即y轴上所有点都满足|MA|＝|MB|.(2)假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形．由(1)可知，y轴上任一点都有|MA|＝|MB|，所以只要|MA|＝|AB|就可以使得△MAB是等边三角形．因为|MA|＝3－02＋0－y2＋1－02)＝，|AB|＝1－32＋0－02＋－3－12)＝，所以＝，解得y＝±，故y轴上存在点M使△MAB是等边三角形，点M的坐标为(0，，0)或(0，－，0)．。
高中数学：第四章 圆与方程
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第四章 圆与方程
例 2 如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1：(x＋ 3)2＋(y－1)2＝4 和圆 C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.
(1)若直线 l 过点 A(4,0)，且被圆 C1 截得的弦长为 2 3，求 直线 l 的方程；
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第四章 圆与方程
(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直 的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截 得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件 的点P的坐标．
解 (1)由于直线 x＝4 与圆 C1 不相交， 所以直线 l 的斜率存 在．设直线 l 的方程为 y＝k(x－4)，圆 C1 的圆心到直线 l 的距离为 d，因为直线 l 被圆 C1 截得的弦长为 2 3，所以 d ＝ 22－ 32 ＝ 1. 由 点 到 直 线 的 距 离 公 式 得 d ＝
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第四章 圆与方程
(3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件 的特征来选择圆的方程．如果已知圆心或半径长，或圆心 到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过 某些点，通常可用圆的一般方程． 2．点与圆的位置关系 (1)点在圆上 ①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上． ②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上．
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第四章 圆与方程
跟踪演练 1 已知圆经过点 A(2，－1)，圆心在直线 2x＋y ＝0 上且与直线 x－y－1＝0 相切，求圆的方程．
解 法一 设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，