数列极限数学归纳法

数列、极限、数学归纳法

考试内容

数列．等差数列及其通项公式．等差数列前n 项和公式．等比数列及其通项公式．等比数列前n 项和公式． 数列的极限及其四则运算． 数学归纳法及其应用． 考试要求

（1）理解数列的有关概念．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项． （2）理解等差数列的概念．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能够运用这些知识解决一些问题． （3）理解等比数列的概念．掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能够运用这些知识解决一些问题．

（4）了解数列极限的意义．掌握极限的四则运算法则，会求公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n 项和的极限． （5）了解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单的问题． 复习建议

本讲内容包括数列、极限与数学归纳法三个部分 1．数列的知识要点：

（1）理解数列的定义、表示法、数列的分类．理解数列是特殊的函数，数列是定义在自然数集N （或它的有限子集｛1，2，3，…，n ，…｝）上的函数f （n ），当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值：f （1），f （2），f （3），…，f （n ），…．数列的图象是由一群孤立的点构成的．

（2）对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式；③一个数列还可以用递推公式来表示；④在数列｛a n ｝中，前n 项和S n 与通项公式a n 的关系，是本章内

容一个重点，要认真掌握之．即a n ＝⎩⎨

⎧≥-=-)

2()1(1

1

n S S n S n n ．特别要注意的是，若a 1 适合由a n ＝S n －S n －1（n ≥2）可得到的

表达式，则a n 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．

2．等差数列的知识要点：

（1）掌握等差数列定义a n ＋1－a n ＝d （常数）（n N ），这是证明一个数列是等差数列的依据，要防止仅由前若干项，如a 3－a 2＝a 2－a 1＝d （常数）就说｛a n ｝是等差数列这样的错误，判断一个数列是否是等差数列．还可由a n ＋a n ＋2＝2 a n ＋1 即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n 来判断．

（2）等差数列的通项为a n ＝a 1＋（n －1）d ．可整理成a n ＝a n ＋（a 1－d ），当d ≠0时，a n 是关于n 的一次式，它的图象是一条直线上，那么n 为自然数的点的集合．

（3）对于A 是a 、b 的等差中项，可以表示成2 A ＝a ＋b ．

（4）等差数列的前n 项和公式S n ＝

21n a a +·n －na 1＋2

)

1(-n n d ，可以整理成 S n ＝

2

d n 2

＋n d a )2(1-．当d ≠0时是n 的一个常数项为0的二次式．

3．等比数列的知识要点：（可类比等差数列学习） （1）掌握等比数列定义

n

n a a 1+＝q （常数）（n N ），同样是证明一个数列是等比数列的依据．也可由a n ·a n ＋2＝2

1+n a 来判断． （2）等比数列的通项公式为a n ＝a 1·q n －1

．

（3）对于G 是a 、b 的等差中项，则G 2

＝ab ，G ＝±ab ．

（4）特别要注意等比数列前n 项和公式应分为q ＝1与q ≠1两类． 当q ＝1时，S n ＝na 1．

当q ≠1时，S n ＝q q a n --⋅1)1(1，S n ＝q

q

a a n -⋅-11．

（5）对于数列求和．主要掌握以下几种方法：

① 直接运用公式求和法；② 折项分组求和法；③ 倒序相加求和法；④ 错项相减求和法；⑤ 折项相消求和法． 4．数列极限知识要点：

（1）应掌握数列极限的定义：对于数列｛a n ｝，如果存在一个常数A ，无论预先指定多么小的正数，都能在数列找到一项a n ，使得n ＞N 时，|a n －A |＜

恒成立，则∞

→n lim a n ＝A ，会用此定义证明简单数列的极限．

（2）应掌握极限的运算法则．如果∞

→n lim a n ＝A ，∞

→n lim b n ＝B ，那么

∞

→n lim (a n ±b n )＝A ±B ；

∞

→n lim (a n b n )＝A ·B ；

∞

→n lim

n n b a ＝B

A

（B ≠0）． （3）当|q |＜1时，无穷等比数列多项和S ＝∞

→n lim S n ＝

q

a -11

． 5．数学归纳法知识要点：

应理解数学归纳法是一种递推方法，它称两个步骤进行．第一步是递推的基础，第二步是递推的根据．二步缺一不可．关键是第二步推证必须合理使用归纳假设．

应重点掌握猜证法，猜想是用不完全归纳法得出结论，再用数学归纳法给予证明，形成一个完整的创造过程．

数列极限数学归纳法综合练习题

一、选择题

（1）设2a ＝3，2b ＝6，2c

＝12，则数列a ，b ，c （ ）

A ．是等差数列而非等比数列

B ．是等比数列而非等差数列

C ．既是等差数列又等比数列

D ．既不是等差数列也不是等比数列

（2）等比数列{a n }，首项a 1＝1，公比q ≠1．若其中a 1，a 2，a 3依次是某等差数列的第1，2，5项，则它的公比q ＝（ ） A ．2 B ．3 C ．－3 D ．－2 （3）{a n }是等差数列，则下列关系式中正确的是（ ）

A ．a 3·a 6≥a 4·a 5

B ．a 3·a 6＞a 4·a 5

C ．a 3·a 6≤a 4·a 5

D ．a 3·a 6＜a 4·a 5

（4）一个等比数列共有3n 项，公比q ≠1，它的前n 项的和记为S ，第二个n 项的和记为P ，第三个n 项的和记为Q ，则S ，P ，Q 间的关系是（ ）

A ．P ＝SQ

B ．2P ＝S ＋Q

C ．P 2

＝SQ D ．P ＝S ＋Q

（5）在3和9之间插入两个数a ，b ，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则|a ＋b |的最小值是（ ）

A ．

4

45

B ．6

C ．2

D ．0

（6）∞→n lim

M a a n n

=+-+1

11，当a ＞1时，M 的值是P ，当0＜a ＜1时，M 的值为Q ，则P ＋Q 的值是（ ） A ．1＋

a

1

B ．1－

a

1

C ．1＋a

D ．1－a