浙江大学数学建模排队论经典
多通道等待制系统算法原理
λ ρ= µ
损失概率P损 0; ＝ 系统的相对通过能力Q = 1 − P损 = 1; 系统的绝对通过能力A = λQ = λ ; 系统内排队顾客的平均 数L队 = L队
ρ n +1
n.n!
P0
1 (1 −
ρ
n
； )2
顾客的平均排队时间W队 ＝
占用服务员的平均数K = ρ ;
案例4的解决
单通道混合制模型
设排队系统为单通道。顾客到达时，系统内已 有n个顾客排队。这时顾客以ε的概率参加排 队。当n=0时，没有不耐烦的顾客，因为当时 系统闲着，顾客一到，立即接受服务。 案例5 某公用电话，每分钟平均有0.4个顾客 到达。平均通话时间为4分钟，顾客按最简单 到达，服务时间服从指数分布。通过观察，当 电话机前已经有两个人等待打电话，有大约5 ％的顾客自动离去，成为不耐发的顾客。求系 统的效率指标。
排队论
制作人： 张慧增 办公室电话：88284309 办公室：理四302
本讲义共讨论5个模型
损失制排队模型 等待制排队模型 混合制排队模型－排队位置有限 单通道混合制－排队时间有限 闭合式系统
排队现象、为什么研究它？
排队现象：顾客到商店去买东西，病人到医院去看病， 汽车去加油站加油，旅客到车站购票； 当要求服务的对象的数量超过服务机构的容量就会出 现排队现象； 排队现象由于顾客到达人数和服务时间的随机性而不 可避免； 当增加服务设施能减少排队现象，但这样势必增加投 资且可能出现因供大于求而使设施经常闲置、导致浪 费； 研究排队问题，就是要把排队的时间控制到一定的程 度内，在服务质量的提高和成本的降低之间取得平衡， 找到最适当的解。
ρn
P0 ;
ρn
n!
P0 )；
K 通道占用率 η = , n 表示服务员的个数。 n
案例1的解决
多通道损失制系统
设系统内有1个服务员，顾客来到服务系 统时如果服务员正在忙，顾客不能立即 得到服务，则顾客离去。 案例2：某电话总机有1条中继线，平均 每分钟有0.8次呼唤。如果每次通话时间 平均为1.5分钟，试求：绝对通过能力、 相对通过能力、损失概率，并比较实际 通过能力与最大通过能力。
λ
；
系统内顾客的平均数L系 = L队 + ρ
单通道等待制系统算法原理
λ ρ= µ ρ2 系统内排队顾客的平均数L队 = ； 1− ρ
顾客的平均排队时间W队＝ L队
λ
＝； 1Βιβλιοθήκη λ（ − ρ） L系ρ2系统内顾客的平均数L系 = L队 + ρ； 顾客在系统中平均逗留时间W系 ＝
λ
。
案例3
某临时架设的公路简便桥，桥上不容许 同时有两辆汽车通过。若汽车到达流为 泊松流，其强度为λ＝2.1辆/分钟。通 过时间为指数分布，平均每辆的通过时 间为0.4分钟，试求系统的效率指标。
排队过程的一般模型
顾 客 顾客源 到 来 则 构 服 对列 规 机 务 务 服
对列
排队系统的组成
输入过程 排队规则与服务规则 服务机构
输入过程
输入过程是说明顾客按照怎样的规律到达系统， 分为三个方面： 顾客总体数：有限与无限； 顾客到达的方式：单个或者成批； 顾客（单个或者成批）相继到达的间隔时间： 确定型或者随机型的。本讲义只研究最简单的 排队模型，即顾客流的到达服从泊松分布，为 最简单流。
等待制排队模型
多通道等待制模型 单通道等待制模型 实例计算 软件操作
等待制模型
多通道等待制模型：设本系统顾客到达流为泊松流， 其强度为λ。系统内有n个服务员，服务员具有相同服 务时间服从指数分布，其强度为μ。当顾客到达时， 如果服务员忙着，顾客排队等待服务，一直等到有服 务员为他服务为止。 单通道等待制模型：设本系统顾客到达流为泊松流， 其强度为λ。系统内有1个服务员，服务员具有相同服 务时间服从指数分布，其强度为μ。当顾客到达时， 如果服务员忙着，顾客排队等待服务，一直等到有服 务员为他服务为止。
排队规则与服务规则
排队规则：损失制、等待制和混合制3种； 对于等待制和混合制，服务台为顾客进行 服务所采用的规则通常有：
先到先服务 后到先服务 随机服务 有优先权的服务
服务机构
分为3方面来描述： 服务台的数量及结构形式：
数量上来讲:服务台有单台和多台之分； 结构形式上看，服务台有(a)单队－单服务 台式，（b）多队－多服务并列式，（c）单 队－多服务台并列式，（d）单队－多服务 台串列式（e）多服务混合式；
多通道损失制系统算法原理
P0 = 1
m=0
∑
n
ρm
m!
ρk , Pk = k!
λ P0 , ρ = µ
λ 表示单位时间的来服务 的顾客数； µ 表示单位时间内一个服 务台服务的顾客数；
n! 系统的相对通过能力 Q = 1 − P损 ; 系统的绝对通过能力 A = λ Q ; 占用服务员的平均数 K = ρ (1 − 损失概率 P损 ＝
案例3的解决
混合制排队模型
设系统中有n个服务员。顾客按最简单流来到 服务系统，其强度为λ。服务员相同的能力μ ，服务时间服从指数分布。系统内有m个位置 供顾客排队。当顾客到达时，系统满员，顾客 离去，令求服务。 案例4 某修理站只有一个修理组，在修理站内 最多只能停放3座机器，若需要修理机器超过3 座，则请到别的修理站去。设修理机器的到达 强度λ＝1座/天，并服从泊松流。修理时间为 指数分布，平均修理时间为1.25，试求系统的 效率指标。
服务方式：单个服务和成批服务； 服务时间：确定型和随机型；
排队系统的运行指标
判断服务系统运行优劣的主要数量指标有： 绝对通过能力： 相对通过能力： 系统损失概率： 队长 排队长 逗留时间 排队时间
排队系统的运行指标
绝对通过能力A，即单位时间内被服务顾客的数学期望； 相对通过能力Q，即被服务顾客的顾客数与请求服务顾客 的顾客数的比值； 系统损失概率P损，即服务系统满员的概率； 队长L系，即系统内顾客数的数学期望值； 排队长L队，系统内排队顾客数的数学期望值； 逗留时间W系,顾客在系统内逗留时间的数学期望值； 排队时间W队，系统内顾客排队等待服务时间的数学期望 。这里逗留时间等于排队时间加服务时间； Pn(t)表示在时刻t的系统状态为n（即系统中有n个顾客） 的概率。
案例5的解决
闭合式系统模型
多通道闭合式系统：顾客源为有限数n， 系统的最大状态为n，m为服务通道。这 类系统在生产中，如机器的维修和管理 问题中得到应用。 案例6 两个修理工人包干维修6台机器， 机器平均每月出故障2次，一个修理工人 修理一台机器平均须5天，求系统的指标 。
案例6的解决
多通道损失制系统算法原理
1 , P0 = 1+ ρ 损失概率P损 ＝
ρn
n!
P0 =
ρ
1+ ρ
;
1 系统的相对通过能力Q = 1 − P损 = ; 1+ ρ 系统的绝对通过能力A = λQ =
λ
1+ ρ
;
案例2的解决
中继线的最大通过能力为60µ＝ 60×0.667=40.02 中继线的实际通过能力为60A＝ 60×0.364=21.84
损失制排队模型
多通道损失制系统； 单通道损失制系统； 实例计算与软件操作。
多通道损失制系统
设系统内有n个服务员，顾客来到服务系 统时如果服务员正在忙，顾客不能立即 得到服务，则顾客离去。 案例1：某电话总机有3条中继线，平均 每分钟有0.8次呼唤。如果每次通话时间 平均为1.5分钟，试求：系统状态的极限 概率；绝对通过能力和相对通过能力； 损失概率和占用通道的平均数。
合集下载
数学建模.排队论共35页
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
Байду номын сангаас
数学建模.排队论
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
数模论文：最佳阵容
数学模型论文：最佳阵容问题组员：08数本一班朱春秋（2008031104）杨苗（2008031111）林英勇（2008031119）最佳阵容问题摘要在当今这个更注重团体比赛的时代，对团队出场阵容的安排是团队获胜的一个非常重要因素。
根据参赛项目选拔人数和参赛选手成绩等诸多限制因素建立约束条件；根据题目问题可建立目标函数，在此基础上得到模型。
所以从本质上说，最佳阵容问题属于0-1规划问题。
最后运用Lingo数学软件对模型求解得到最优结果。
问题一：运用Excel软件，处理得出每个队员各单项得分最低情况（表1.1）和期望值情况（表1.3）。
在这些情况下，用Lingo数学软件对模型求解，找出相应的最佳阵容，求得每个选手的各单项得分按最悲观估算，最佳出场阵容团队得分为212.3；每个选手的各单项得分按最均值估算，最佳出场阵容团队得分为224.7。
问题二：在模型中加入一个变量后，计算结果复杂.根据问题一的结果，知道可以从每个选手各个单项得分最大分值着手，算得该前提下团队总分最大分值为236.5，所以选取236.2、236.3、236.4、236.5四个分值讨论.在模型的基础上加入总分分别等于这四个分值的约束条件，运用Lingo数学软件求出最佳阵容，分析知阵容八（表2.10）的分值最高且得分概率最大并得出了该团队夺冠前景，得分前景等相关问题的解。
关键词：最佳阵容、0-1规划、Lingo数学软件、最优解一问题重述有一场由四个项目（高低杠、平衡木、跳马、自由体操）组成的女子体操团体赛，赛程规定：每个队至多允许10 名运动员参赛，每一个项目可以有 6 名选手参加。
每个选手参赛的成绩评分从高到低依次为：10 ；9.9 ；9.8 ；… ；0.1 ；0 。
每个代表队的总分是参赛选手所得总分之和，总分最多的代表队为优胜者。
此外，还规定每个运动员只能参加全能比赛（四项全参加）与单项比赛这两类中的一类，参加单项比赛的每个运动员至多只能参加三项单项。
浙江大学数学建模排队论经典
等待制排队模型
多通道等待制模型 单通道等待制模型 实例计算 软件操作
等待制模型
多通道等待制模型:设本系统顾客到达流为泊松流, 其强度为λ.系统内有n个服务员,服务员具有相同服 务时间服从指数分布,其强度为μ.当顾客到达时, 如果服务员忙着,顾客排队等待服务,一直等到有服 务员为他服务为止. 单通道等待制模型:设本系统顾客到达流为泊松流, 其强度为λ.系统内有1个服务员,服务员具有相同服 务时间服从指数分布,其强度为μ.当顾客到达时, 如果服务员忙着,顾客排队等待服务,一直等到有服 务员为他服务为止.
排队规则与服务规则
排队规则:损失制,等待制和混合制3种; 对于等待制和混合制,服务台为顾客进行 服务所采用的规则通常有:
先到先服务 后到先服务 随机服务 有优先权的服务
服务机构
分为3方面来描述: 服务台的数量及结构形式:
数量上来讲:服务台有单台和多台之分; 结构形式上看,服务台有(a)单队-单服务 台式,(b)多队-多服务并列式,(c)单 队-多服务台并列式,(d)单队-多服务 台串列式(e)多服务混合式;
排队过程的一般模型
顾 客 顾客源 到 来 则 构 服 对列 规 机 务 务 服
对列
排队系统的组成
输入过程 排队规则与服务规则 服务机构
输入过程
输入过程是说明顾客按照怎样的规律到达系统, 分为三个方面: 顾客总体数:有限与无限; 顾客到达的方式:单个或者成批; 顾客(单个或者成批)相继到达的间隔时间: 确定型或者随机型的.本讲义只研究最简单的 排队模型,即顾客流的到达服从泊松分布,为 最简单流.
ρn
P0 ;
ρn
n!
P0 );
K 通道占用率 η = , n 表示服务员的个数. n
-数学建模排队论模型[精编文档]
![-数学建模排队论模型[精编文档]](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/52fd0ec7b1717fd5360cba1aa8114431b90d8e38.webp)
机器发生故障需要维修
顾客
工人 病人 敌机 机器
服务台
公共汽车 医生 高炮 修理工
排队系统队列除了有形的还有无形的。
在上述顾客-服务台组成的排队系统中，顾客到来 的时刻与服务台进行服务的时间一般来说是随不同 的时机与条件而变化的，往往预先无法确定。因此， 系统的状态是随机的，故而排队论也称随机服务系 统。
最简单流应 x(t) :t 具 0有以下特征称
(1)流具有平衡性
对任何 a 和0 0 t1 t,2 tn x(a ti ) x(a)
的分布只取决于 t1,t2,而,t与n 无关a。
(2)流具有无后效性
(1 i n)
对互不交接的时间区间序列 ai ,bi (1 i， n)
x(bi ) 是x(a一i ) 组相互独立的随机变量。
N
pn
， 1
n0
1
p0
N 1
(1
)
1 N1
1 1
N
n p0 1
n0
1
pn
N 1
(1
)
n
1 N1
1 1
系统的各项指标
N
L
N
npn
n0
2
(N 1) N1
1
1 N1
1 1
Lq
N
(n
n0
1) pn
N 2
N N 1
N N1
1 1 N1
1 1
N 1
排队论模型
排队论模型
一、排队论的基本概念 二、单通道等待制排队问题
（M／M／1排队系统） 三、多通道等待制排队问题
（M／M／c排队系统）
一、排队论的基本概念
（一）排队过程 1.排队系统
顾客
工人 病人 敌机 机器
服务台
公共汽车 医生 高炮 修理工
排队系统队列除了有形的还有无形的。
在上述顾客-服务台组成的排队系统中，顾客到来 的时刻与服务台进行服务的时间一般来说是随不同 的时机与条件而变化的，往往预先无法确定。因此， 系统的状态是随机的，故而排队论也称随机服务系 统。
最简单流应 x(t) :t 具 0有以下特征称
(1)流具有平衡性
对任何 a 和0 0 t1 t,2 tn x(a ti ) x(a)
的分布只取决于 t1,t2,而,t与n 无关a。
(2)流具有无后效性
(1 i n)
对互不交接的时间区间序列 ai ,bi (1 i， n)
x(bi ) 是x(a一i ) 组相互独立的随机变量。
N
pn
， 1
n0
1
p0
N 1
(1
)
1 N1
1 1
N
n p0 1
n0
1
pn
N 1
(1
)
n
1 N1
1 1
系统的各项指标
N
L
N
npn
n0
2
(N 1) N1
1
1 N1
1 1
Lq
N
(n
n0
1) pn
N 2
N N 1
N N1
1 1 N1
1 1
N 1
排队论模型
排队论模型
一、排队论的基本概念 二、单通道等待制排队问题
（M／M／1排队系统） 三、多通道等待制排队问题
（M／M／c排队系统）
一、排队论的基本概念
（一）排队过程 1.排队系统
数学建模.排队论讲解
P1
(m 1)
(m n 1) (m n)
P2
Pn 1
Pn
Pn 1
2
由状态转移图，可以建立系统概率平衡方程如下： P 1 mP 0, Pn 1 (m n 1)Pn 1 [(m n) ]Pn , 1 n m 1 Pm Pm 1 ,
E (T ) 1
n!
e
1.5 排队系统的常用分布
同样，对顾客服务时间常用的概率分布也是负指数分布， 概率密度为： t
f (t ) e
(t 0)
其中 表示单位时间内完成服务的顾客数，也称平均服务率． 3）爱尔朗分布：
(k ) k t k 1 kt 分布密度函数： f k (t ) (k 1)! e (t 0, k , 0)
N k k
模型的各数量指标参数如下： 1）系统里没有顾客的概率 1 1 N 1 P
0
1 1
1 1 N
2.2 系统容量有限的 M / M / 1/N / 模型
n P P0，n N 2）系统里有n个顾客的概率 n
3）在系统里的平均顾客数
3）服务时间的分布——在多数情况下，对每一个顾客的服务 时间是一随机变量，其概率分布有定长分布、负指数分布、 爱尔朗分布等.
1.3 排队系统的符号表示（Kendall符号）
根据不同的输入过程、排队规则和服务台数量，可以形成 不同的排队模型，为方便对模型的描述，通常采用如下的符 号形式：
X /Y / Z / A/ B /C
式中 表示平均到达率与平均服务率 之比，称为服务强度.
2.1 标准的 M / M / 1 模型
数学建模港口问题-排队论
数学建模港⼝问题-排队论排队模型之港⼝系统本⽂通过排队论和蒙特卡洛⽅法解决了⽣产系统的效率问题，通过对⼯具到达时间和服务时间的计算机拟合，将基本模型确定在//1M M排队模型，通过对此基本模型的分析和改进，在概率论相关理论的基础之上使⽤计算机模拟仿真（蒙特卡洛法）对⽣产系统的整个运⾏过程进⾏模拟，得出最后的结论。
好。
关键词：问题提出：⼀个带有船只卸货设备的⼩港⼝，任何时间仅能为⼀艘船只卸货。
船只进港是为了卸货，响铃两艘船到达的时间间隔在15分钟到145分钟变化。
⼀艘船只卸货的时间有所卸货物的类型决定，在15分钟到90分钟之间变化。
那么，每艘船只在港⼝的平均时间和最长时间是多少？若⼀艘船只的等待时间是从到达到开始卸货的时间，每艘船只的平均等待时间和最长等待时间是多少？卸货设备空闲时间的百分⽐是多少？船只排队最长的长度是多少？问题分析：排队论：排队论(Queuing Theory) ，是研究系统随机聚散现象和随机服务系统⼯作过程的数学理论和⽅法，⼜称随机服务系统理论，为运筹学的⼀个分⽀。
本题研究的是⽣产系统的效率问题，可以将磨损的⼯具认为顾客，将打磨机当做服务系统。
【1】M M：较为经典的⼀种排队论模式，按照前⾯的Kendall记号定义，前//1⾯的M代表顾客(⼯具)到达时间服从泊松分布，后⾯的M则表⽰服务时间服从负指数分布，1为仅有⼀个打磨机。
蒙特卡洛⽅法：蒙特卡洛法蒙特卡洛(Monte Carlo)⽅法，或称计算机随机模拟⽅法，是⼀种基于“随机数”的计算⽅法。
这⼀⽅法源于美国在第⼀次世界⼤战进研制原⼦弹的“曼哈顿计划”。
该计划的主持⼈之⼀、数学家冯·诺伊曼⽤驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种⽅法，为它蒙上了⼀层神秘⾊彩。
（2）排队论研究的基本问题1.排队系统的统计推断:即判断⼀个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根据排队理论进⾏研究。
2.系统性态问题:即研究各种排队系统的概率规律性，主要研究队长分布、等待时间分布和忙期分布等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。
数学建模：第五章 排 队 论
17
令 T0 = 0 Tn ：第 n 个顾客到达时刻， Xn：第 n 个顾客与第 n-1 个顾客到达的时间间隔。 则有
T0 T1 Tn
X n Tn Tn1 , n 1,2,
18
一般假定 { Xn }是独立同分布的，并记其分布函数 为 A( t )。关于{ Xn }的分布，排队论中经常用到的 有以下两种： ➢定长分布（D）：顾客相继到达时间间隔为确定 的常数。
Wq(t)：时刻 t 到达系统的顾客在系统中的等待时间。
pn(t)：时刻 t ，系统中有 n 个顾客的概率。
44
pn(t)
过渡状态
平稳状态
t
45
上述指标一般都是和系统运行的时间有关的随机变量 ，求这些随机变量的瞬时分布一般都是很困难的。 相当一部分排队系统，在运行了一定时间后，都会趋 于一个平稳状态（或称平衡状态），平稳状态下这些 指标和系统所处的时刻无关。
19
➢Poisson流（M）：顾客相继到达时间间隔的密度 函数为：
e t
a(
2. 排队
损失制排队系统
有限排队
队长有限排队系统
排队
混合制排队系统 等待时间有限排队系统
逗留时间有限排队系统 无限排队（等待制排队系统）
21
（1）有限排队
有限排队：排队系统中的顾客数是有限的，即系统 的空间是有限的，当系统被占满时，后面再来的顾 客将不能进入排队系统。
顾客相继到达时间 单个服务台
间隔为负指数分布
顾客源无限
M / M / 1 / ∞ / ∞ / FCFS
服务时间为负指数
分布
系统容量为无限
先到先服务
39
X/Y/Z/A/B/C
省略后三位
令 T0 = 0 Tn ：第 n 个顾客到达时刻， Xn：第 n 个顾客与第 n-1 个顾客到达的时间间隔。 则有
T0 T1 Tn
X n Tn Tn1 , n 1,2,
18
一般假定 { Xn }是独立同分布的，并记其分布函数 为 A( t )。关于{ Xn }的分布，排队论中经常用到的 有以下两种： ➢定长分布（D）：顾客相继到达时间间隔为确定 的常数。
Wq(t)：时刻 t 到达系统的顾客在系统中的等待时间。
pn(t)：时刻 t ，系统中有 n 个顾客的概率。
44
pn(t)
过渡状态
平稳状态
t
45
上述指标一般都是和系统运行的时间有关的随机变量 ，求这些随机变量的瞬时分布一般都是很困难的。 相当一部分排队系统，在运行了一定时间后，都会趋 于一个平稳状态（或称平衡状态），平稳状态下这些 指标和系统所处的时刻无关。
19
➢Poisson流（M）：顾客相继到达时间间隔的密度 函数为：
e t
a(
2. 排队
损失制排队系统
有限排队
队长有限排队系统
排队
混合制排队系统 等待时间有限排队系统
逗留时间有限排队系统 无限排队（等待制排队系统）
21
（1）有限排队
有限排队：排队系统中的顾客数是有限的，即系统 的空间是有限的，当系统被占满时，后面再来的顾 客将不能进入排队系统。
顾客相继到达时间 单个服务台
间隔为负指数分布
顾客源无限
M / M / 1 / ∞ / ∞ / FCFS
服务时间为负指数
分布
系统容量为无限
先到先服务
39
X/Y/Z/A/B/C
省略后三位
数学建模-排队论
①模型特点
顾客总体为m个，每个顾客到达并经过服 务台后，任然回到原来总体，所以任然可 以到来。
②系统的稳态概率 Pn ；
1
P0 m m! ( )i
i0 (m i)!
Pn
m! (m n)!
(
)n
P0
,1
n
m
③系统运行指标 a、 系统中平均顾客数（队长期望值）
Ls m (1 P0)
排队论
（Queueing Theory）
生活中处处可见的排队现象
商店、超市等收款处排队付款 车站、民航、港口等售票处依次购买车船票 各种生产系统、存储系统、运输系统等一系
列现象 大型网游登陆前的排队等等
基本概念
研究随机的排队服务模型的主要工具是 排队论，排队论又称为随机服务系统理 论，是研究由顾客、服务机构及其排队 现象所构成的一种排队系统理论。
PnP10
P1 0 Pn1 (
) Pn
0
n 1
(3)
这是关于 Pn 的差分方程，表明了各状态间的转移 关系，可以用下图表示：
0
1
n-1
n
n+1
由上式可得 Pn ( / )n P0 令 / 1（否则队列将
排至无限远），由概率性质知
Pn 1
n0
将
Pn
的关系带入，
P0
n
n0
1
P0 1
求 limPn(t) Pn，此时系统的状态概率分布不再随时间变化 n
（4）利用 Pn 求系统运行指标
①队长：系统中的顾客数，期望记为 Ls ②排队长：系统中排队等待覅物的顾客数，期望记为 Lq ③逗留时间：一个顾客在系统中的停留时间，期望记为 Ws ④等待时间：一个顾客在系统中排队等待的时间，期望记
数模排队论
如何考虑随机因素，设计合理方案，建立数学模 型，一方面提供服务的服务机构即公交公司的线
路设计合理，能够赢得顾客，获得利益；另一方 面被服务的顾客能够在被服务的过程中，排队等 候的时间最短，这都是上述问题要解决的，也是 排队论的主要研究内容.
二、排队论的基本知识
1.背景介绍
排队论是研究排队现象的理论和应用的学科，是 专门研究由于随机因素影响而产生的拥挤现象的科学. 20世纪初丹麦数学家、电气工程师爱尔朗把概率论应 用于电话通话问题，从而开创了这门应用数学科学. 20世纪30年代中期，费勒引进了生灭过程，排队论 才被数学界承认为一门重要的学科.20世纪40年代排 对论在运筹学这个新领域中成了一个重要的部分.20 世纪50年代初肯德尔对排对论作了系统的研究，他用
(iii) 顾客流的概率分布.或称相继顾客到达的时间 间隔的分布.这是求解排队系统有关运行指标问题 时，首先需要确定的指标.顾客流的概率分布一般 有定长分布、二项分布、泊松流(最简单流)、爱尔 朗分布等若干种. (2).排对规则 指服务台从队列中选取顾客进行 服务的顺序.一般可以分为损失制、等待制和混 合制等3大类. (i)损失制 指如果顾客到达排队系统时，所有 服务台都被先到的顾客占用，那么他们就自动 离开系统永不再来.
5分钟，车辆满载率不应超过120%，一般也不要
低于50%. 试根据这些材料和要求，为该线路设计一个 便于操作的全天（工作日）的公交车调度方案 包括两个起点站的发车时刻表；一共需要多少 辆车；这个方案以怎样的程度照顾到了乘客和 公交公司双方的利益；等等.
2.问题分析：
对于第一个问题，关于公交车的调度方案，
(ii)服务方式. 这是指在某一时刻接受服务的顾客数， 它有单个服务和成批服务两种. (iii)服务时间的分布.在多数情况下，对每一个顾客的 服务时间是一随机变量.
数学建模方法与其应用医院排队论模型
⑧ MRI室忙期的平均长度.
解 平均到达率 = 6/8 = 0.75人/小时,平均服 务率 = 1人/小时,服务强度 = 0.75/1 = 0.75.
① MRI室没有拍摄患者的概率为
P0 = 1 - = 1 - 0.75 = 0.25.
即工作人员有25%的时间空闲.
② MRI室有2名等候患者的概率为
此外, 用 表示服务强度,其值为有效的平均到达率与平均 服务率 之比, 即 =/ .
M | M | 1 模型
M|M|1模型是输入过程为泊松输入,服务时间为负指数分 布并具有单服务台的等待制排队系统模型,这是最简单的排队系 统模型.
假定系统的患者源和容量都是无限的,患者单队排列,排队 规则是先到先服务.
因此,医院管理人员要考虑如何在这两者之间取得平衡,以便 提高服务质量,降低服务费用.
医院排队论,就是为了解决上述问题而发展起来的一门科学.它 是运筹学的重要分支之一.
在排队论中,患者和提供各种形式服务的服务机构组成一个排 队系统,称为随机服务系统.
这些系统可以是具体的,也可以是抽象的. 排队系统模型已广泛应用于各种管理系统.如手术管理、输液 管理、医疗服务、医技业务、分诊服务,等等.
排队系统的主要数量指标
评价和优化排队系统,需要通过一定的数量指标来反映. 建立排队系统模型的主要数量指标有三个：等待时间、忙期 与队长. ⑴ 等待时间 指患者从到达系统时起到开始接受服务时止这 一段时间. 显然患者希望等待时间越短越好.
用Wq 表示患者在系统中的平均等待时间.若考虑到服务时间, 则用Ws 表示患者在系统中的平均逗留时间(包括等待时间和服务 时间).
的； ③ 普通性：在同时间点上就诊或手术最多到达1个患者, 不
存在同时到达2个以上患者的情况； ④ 有限性：在有限的时间区间内只能到达有限个患者, 不可
解 平均到达率 = 6/8 = 0.75人/小时,平均服 务率 = 1人/小时,服务强度 = 0.75/1 = 0.75.
① MRI室没有拍摄患者的概率为
P0 = 1 - = 1 - 0.75 = 0.25.
即工作人员有25%的时间空闲.
② MRI室有2名等候患者的概率为
此外, 用 表示服务强度,其值为有效的平均到达率与平均 服务率 之比, 即 =/ .
M | M | 1 模型
M|M|1模型是输入过程为泊松输入,服务时间为负指数分 布并具有单服务台的等待制排队系统模型,这是最简单的排队系 统模型.
假定系统的患者源和容量都是无限的,患者单队排列,排队 规则是先到先服务.
因此,医院管理人员要考虑如何在这两者之间取得平衡,以便 提高服务质量,降低服务费用.
医院排队论,就是为了解决上述问题而发展起来的一门科学.它 是运筹学的重要分支之一.
在排队论中,患者和提供各种形式服务的服务机构组成一个排 队系统,称为随机服务系统.
这些系统可以是具体的,也可以是抽象的. 排队系统模型已广泛应用于各种管理系统.如手术管理、输液 管理、医疗服务、医技业务、分诊服务,等等.
排队系统的主要数量指标
评价和优化排队系统,需要通过一定的数量指标来反映. 建立排队系统模型的主要数量指标有三个：等待时间、忙期 与队长. ⑴ 等待时间 指患者从到达系统时起到开始接受服务时止这 一段时间. 显然患者希望等待时间越短越好.
用Wq 表示患者在系统中的平均等待时间.若考虑到服务时间, 则用Ws 表示患者在系统中的平均逗留时间(包括等待时间和服务 时间).
的； ③ 普通性：在同时间点上就诊或手术最多到达1个患者, 不
存在同时到达2个以上患者的情况； ④ 有限性：在有限的时间区间内只能到达有限个患者, 不可