高考数学(2021)易错题精选之三角函数

三角函数

一、选择题：

1．为了得到函数??? ??

-=62sin πx y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象

（ ）

A 向右平移

6π B 向右平移3π C 向左平移6π D 向左平移3

π

错误分析:审题不仔细,把目标函数搞错是此题最容易犯的错误. 答案: B

2．函数??? ?

?

?+=2tan tan 1sin x x x y 的最小正周期为 ( )

A π

B π2 C

2

π D 23π

错误分析:将函数解析式化为x y tan =后得到周期π=T ,而忽视了定义域的限制,导致出错. 答案: B

3．

曲线y=2sin(x+)4

πcos(x-4

π)和直线y=2

1在y 轴右侧的交点按

横坐标从小到大依次记为P 1、P 2、P 3……，则|P 2P 4|等于 （ ）

A ．π

B ．2π

C ．3π

D ．4π

正确答案：A 错因：学生对该解析式不能变形，化简为Asin(ωx+?)的形式，从而借助函数图象和函数的周期性求出|P 2P 4|。

4．下列四个函数y=tan2x ，y=cos2x ，y=sin4x ，y=cot(x+4

π

),其中以点(4

π,0)为中心对称的三角函数有（ ）个 A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

正确答案：D 错因：学生对三角函数图象的对称性和平移变换未能熟练掌握。

5．函数y=Asin(ωx+?)(ω>0,A ≠0)的图象与函数y=Acos(ωx+?)(ω>0, A ≠0)的图象在区间(x 0,x 0+ω

π

)上（ ）

A ．至少有两个交点

B ．至多有两个交点

C ．至多有一个交点

D ．至少有一个交点

正确答案：C 错因：学生不能采用取特殊值和数形结合的思想方法来解题。

6． 在?ABC 中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=3，则∠C 的大小应为

( )

A ．

6

π B ．

3

π C ．

6π或π6

5 D ．

3π或3

2π

正确答案：A 错因：学生求∠C 有两解后不代入检验。 7．已知tan α tan β是方程x 2+33x+4=0的两根，若α，β∈(-2

,2π

π)，则α+β=

（ ）

A ．

3

π

B ．

3π或-π3

2 C ．-3π

或π3

2

D ．-π3

2

正确答案：D 错因：学生不能准确限制角的范围。 8． 若，则对任意实数的取值为（ ）

A. 1

B. 区间（0，1）

C.

D. 不能确定

解一：设点

，则此点满足

解得或

即

选A

解二：用赋值法，

令

同样有

选A

说明：此题极易认为答案A最不可能，怎么能会与无关呢？其实这是我们忽略了一个隐含条件，导致了错选为C或D。

9．在中，，则的大小为（）

A. B. C. D.

解：由平方相加得

若

则

又

选A

说明：此题极易错选为

，条件

比较隐蔽，不易发现。这里提示

我们要注意对题目条件的挖掘。

10． ABC ?中,A 、B 、C 对应边分别为a 、b 、c .若x a =,2=b ,?=45B ,且此三角形有两解,则x 的取值范围为 ( )

A.)22,2(

B.22

C.),2(+∞

D. ]22,2( 正确答案：A

错因：不知利用数形结合寻找突破口。 11．已知函数 y=sin(ωx+Φ)与直线y ＝

2

1

的交点中距离最近的两点距离为3

π

，那么此函数的周期是（ ） A 3

π

B π

C 2π

D 4π

正确答案：B

错因：不会利用范围快速解题。 12．函数

]),0[)(26

sin(2ππ

∈-=x x y 为增函数的区间

是………………………… ( )

A. ]3

,

0[π

B. ]127,

12[π

π C. ]6

5,3[π

π D. ],6

5[

ππ

正确答案：C

错因：不注意内函数的单调性。

13．已知??

?

??∈ππβα,2,且0sin cos >+βα，这下列各式中成立的是

（ ）

A.πβα<+

B.23πβα>+

C.23πβα=+

D.2

3π

βα<+ 正确答案(D)

错因:难以抓住三角函数的单调性。

14．函数的图象的一条对

称轴的方程是（）

正确答案A

错因：没能观察表达式的整体构造，盲目化简导致表达式变繁而无法继续化简。

15．ω是正实数，函数x x f ωsin 2)(=在]4

,3[π

π-上是增函数，那么（ ）

A ．2

3

0≤<ω B ．20≤<ω C ．7

24

0≤

<ω D ．2≥ω 正确答案A

错因：大部分学生无法从正面解决，即使解对也是利用的特殊值法。

16．在(0，2π)内，使cos x ＞sin x ＞tan x 的成立的x 的取值范围是 （ ）

A 、 (

43,

4π

π) B 、 (

23,45ππ) C 、（ππ2,23） D 、(4

7,23ππ) 正确答案：C

17．设()sin()4f x x π

=+，若在[]0,2x π∈上关于x 的方程()f x m =有两个

不等的实根12,x x ，则12x x +为 A 、

2π或52π B 、2

π C 、52π D 、不确定

正确答案：A

18．△ABC 中，已知cosA=

13

5，sinB=53

，则cosC 的值为（ ）

A 、6516

B 、6556

C 、6516或6556

D 、65

16-

答案：A

点评：易误选C 。忽略对题中隐含条件的挖掘。

19．在△ABC 中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C 的大小为（ ）

A 、

6π B 、65π C 、6π或65π D 、3

π或32π

答案：A

点评：易误选C ，忽略A+B 的范围。 20．设cos1000=k ，则tan800是（ ）

A 、k k 21-

B 、k k 21--

C 、k k 2

1-± D 、

2

1k

k -±

答案：B

点评：误选C ，忽略三角函数符号的选择。 21．已知角α的终边上一点的坐标为（3

2cos ,32sin π

π），则角α的最小值为（ ）。

A 、

65π B 、3

2π

C 、35π

D 、611π

正解：D

π

απαπα6

11

65,3332cos tan ==∴-==或，而

032sin

>π03

2cos <π

所以，角α的终边在第四象限，所以选D ，πα6

11

=

误解：παπα3

2

,32tan tan ==,选B

22．将函数x x f y sin )(=的图像向右移4π

个单位后，再作关于x 轴的对称

变换得到的函数x y 2sin 21-=的图像，则)(x f 可以是（ ）。

A 、x cos 2-

B 、x cos 2

C 、x sin 2-

D 、x sin 2 正解：B

x x y 2cos sin 212=-=,作关于x 轴的对称变换得x y 2cos -=,然后向

左平移

4

π

个单位得函数)4(2cos π+-=x y x x f x sin )(2sin ?== 可得

x x f cos 2)(=

误解：未想到逆推，或在某一步骤时未逆推，最终导致错解。

23． A ，B ，C 是?ABC 的三个内角，且B A tan ,tan 是方程01532=+-x x 的两个实数根，则?ABC 是（ ）

A 、钝角三角形

B 、锐角三角形

C 、等腰三角形

D 、等边三角形

正解：A

由韦达定理得：???

????

=

=+31tan tan 5

3tan tan B A B A

2

5

3

235

tan tan 1tan tan )tan(==-+=+∴B A B A B A

在ABC ?中，02

5)tan()](tan[tan <-

=+-=+-=B A B A C π C ∠∴是钝角，ABC ?∴是钝角三角形。

24．曲线θθθ

(sin cos ???==y x 为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是

（ ）。

A 、

2

1

B 、22

C 、1

D 、2

正解：D 。

θθsin cos +=d

由于???==θθ

sin cos y x 所表示的曲线是圆，又由其对称性，可考虑I ∈θ的

情况，即θθcos sin +=d

则??? ??

+=4sin 2πθd ∴2max =d

误解：计算错误所致。

25．在锐角⊿ABC 中，若1tan +=t A ，1tan -=t B ，则t 的取值范围为（ ）

A 、),2(+∞

B 、),1(+∞

C 、)2,1(

D 、)1,1(- 错解: B.

错因:只注意到,0tan ,0tan >>B A 而未注意C tan 也必须为正. 正解: A.

26．已知

53

sin +-=

m m θ，5

24cos +-=

m m

θ（

πθπ

<<2

）

，则=θtan （C ）

A 、324--m m

B 、m m 243--±

C 、12

5

- D 、12543--或 错解：A

错因：忽略1cos sin 22=+θθ，而不解出m

正解：C

27．先将函数y=sin2x 的图象向右平移π

3个单位长度，再将所得图象作关于y 轴的对称变换，则所得函数图象对应的解析式为 （ ） A ．y=sin(－2x+π3 ) B ． y=sin(－2x －π

3) C ．y=sin(－2x+ 2π3 ) D ． y=sin(－2x －2π

3) 错解：B

错因：将函数y=sin2x 的图象向右平移π

3个单位长度时，写成了

)3

2sin(π

-=x y 正解：D

28．如果2

π

log |3π|log 212

1≥-

x ，那么x sin 的取值范围是（ ） A ．21[-

，]21 B ．21[-，]1 C ．21[-，21()21 ，]1 D ．2

1

[-，2

3

()23 ，]1 错解: D ．

错因:只注意到定义域3

π

≠x ,而忽视解集中包含3

2π=

x . 正解: B ．

29．函数x x y cos sin =的单调减区间是（ ） A 、]4

,4

[π

ππ

π+

-

k k （z k ∈） B 、)](43

,4[z k k k ∈++

πππ

π C 、)](2

2,4

2[z k k k ∈+

+π

ππ

π D 、)](2

,4

[z k k k ∈+

+

π

ππ

π

答案：D 错解：B

错因：没有考虑根号里的表达式非负。

30．已知y x y x sin cos ,2

1

cos sin 则=的取值范围是（ ） A 、]21,21[- B 、]21,23[- C 、]2

3

,21[- D 、]1,1[-

答案：A 设t y x y x t y x 2

1

)sin )(cos cos (sin ,sin cos ==则，可得sin2x sin2y=2t,

由2

1

211212sin 2sin ≤≤-∴≤≤t t y x 即。

错解：B 、C

错因：将t y x t y x y x +=+==2

1

)sin(sin cos 21cos sin 相加得与由

21

2312111)sin(1≤≤-≤+≤-≤+≤-t t y x 得得选B ，相减时选C ，没有考虑

上述两种情况均须满足。

31．在锐角?ABC 中，若C=2B ，则

b

c

的范围是（ ） A 、（0，2） B 、)2,2( C 、)3,2( D 、)3,1( 答案：C 错解：B

错因：没有精确角B 的范围

32．函数[]上交点的个数是，

的图象在和ππ22tan sin -+=x y x y （ ）

A 、3

B 、5

C 、7

D 、9 正确答案：B

错误原因：在画图时，0＜x ＜

2

π

时，x tan ＞x sin 意识性较差。 33．在△ABC 中，,1cos 3sin 4,6cos 4sin 3=+=+A B B A 则∠C 的大小为 （ ）

A 、30°

B 、150°

C 、30°或150°

D 、60°或150°

正确答案：A

错误原因：易选C ，无讨论意识，事实上如果C=150°则A=30°∴

21sin =

A ，∴

B A cos 4sin 3+＜2

11

＜6和题设矛盾 34．()的最小正周期为函数x x x x x f cos sin cos sin -++= （ ） A 、π2 B 、π C 、2π D 、4

π

正确答案：C

错误原因：利用周期函数的定义求周期，这往往是容易忽视的，本题直接

检验得()2,2ππ==??? ?

?

+T x f x f 故

35．的最小正周期为函数??? ?

?

?+=2tan tan 1sin x x x y （ ）

A 、π

B 、π2

C 、

2

π

D 、23π

正确答案：B

错误原因：忽视三角函数定义域对周期的影响。

36．已知奇函数()[]上为，

在01-x f 等调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（ ）

A 、f(cos α)＞ f(cos β)

B 、f(sin α)＞ f(sin β)

C 、f(sin α)＜f(cos β)

D 、f(sin α)＞ f(cos β) 正确答案：（C ）

错误原因：综合运用函数的有关性质的能力不强。

37．设()[]上为增函数，

，在＝函数43sin ,0ππωω->x x f 那么ω的取值范围为（ ）

A 、20≤>ω

B 、230≤>ω

C 、7240≤>ω

D 、2≥ω 正确答案：(B)

错误原因：对三角函数的周期和单调性之间的关系搞不清楚。

二填空题：

1．已知方程01342=+++a ax x （a 为大于1的常数）的两根为αtan ，

βtan ，

且α、∈β ??-2π,??

?

2π，则2tan βα+的值是_________________.

错误分析：忽略了隐含限制βαtan ,tan 是方程01342=+++a ax x 的两个负根，从而导致错误.

正确解法：1>a ∴a 4tan tan -=+βα0<，o a >+=?13tan tan βα

∴βαtan ,tan 是方程01342=+++a ax x 的两个负根

又??? ??-∈2,2,ππβα ???

??-∈∴0,2,πβα 即??? ??-∈+0,22πβα 由tan ()βα+=βαβαtan tan 1tan tan ?-+=()1314+--a a =34可得.22

tan

-=+β

α 答案: -2 .

2．已知αβαcos 4cos 4cos 522=+,则βα22cos cos +的取值范围是

_______________.错误分析:由

α

βαcos 4cos 4cos 522=+得

ααβ22cos 4

5

cos cos -=代入βα22cos cos +中,化为关于αcos 的二次函数在

[]1,1-上的范围,而忽视了αcos 的隐含限制,导致错误.

答案: ??

????2516,0.

略解: 由αβαcos 4cos 4cos 522=+得ααβ22cos 4

5

cos cos -= ()1

[]1,0cos 2∈β ??

?

???∈∴54,0cos α

将（1）代入βα22cos cos +得βα22cos cos +=()12cos 41

2+--α∈??

????2516,0. 3．若()π,0∈A ,且137cos sin =

+A A ,则=-+A A A

A cos 7sin 15cos 4sin 5_______________. 错误分析:直接由13

7

cos sin =+A A ,及1cos sin 22=+A A 求A A cos ,sin 的值代

入求得两解,忽略隐含限制??

?

??∈ππ,2A 出错.

答案:

43

8. 4．函数的最大值为3，最小值为2，则

______，

_______。 解：若

则

1252

a b ?=??∴??=?? 若

则

说明：此题容易误认为，而漏掉一种情况。这里提醒我们考虑问题要

周全。

5．若Sin

532

=

α

cos 5

4

2-=α，则α角的终边在第_____象限。 正确答案：四 错误原因：注意角

2

α

的范围，从而限制α的范围。 6．在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，则2

tan 2tan 32tan 2

tan C A C A ++的值为_________.

正确答案：3

错因：看不出是两角和的正切公式的变形。

7．函数sin (sin cos )y x x x =+([0,])2

x π

∈的值域是 ．

正确答案：210,2??

+???

?

8．若函数cos y a x b =+的最大值是1，最小值是7-，则函数

cos sin y a x b x =+的最大值是 ．正确答案：5

9．定义运算b a *为:()(),???>≤=*b a b b a a b a 例如，121=*,则函数

f (x )=x x cos sin *的值域为

．正确答案：2

[1,

]2

- 10．若135sin =α，α是第二象限角，则2

tan α

=__________ 答案：5

点评：易忽略

2α的范围，由2

tan 12tan

2sin 2

αα

α+=

得2tan α=5或51。 11．设ω>0，函数f(x)=2sin ωx 在]4

,3[π

π-上为增函数，那么ω的取值

范围是_____

答案：0<ω≤3

2 点评：]2

,2[]4,3[π

ππω

πω-?-

12．在△ABC 中，已知a=5，b=4，cos(A －B)=32

31

，则cosC=__________

答案：8

1

点评：未能有效地运用条件构造三角形运用方程思想实施转化。 13．在ABC ?中，已知a ，b ，c 是角A 、B 、C 的对应边，则①若b a >，则

x B A x f ?-=)sin (sin )(在R 上是增函数；②若222)cos cos (A b B a b a +=-，则

?ABC 是?Rt ；③C C sin cos +的最小值为2-；④若B A 2cos cos =，则A=B ；⑤若2)tan 1)(tan 1(=++B A ，则π43

=+B A ，其中错误命题的序号是

_____。

正解：错误命题③⑤。

① 0sin sin ,sin sin >-∴>?>B A B A b a

上是增函数。在R )sin (sin )(x B A x f -=∴

②??+==-Rt ABC c b a c b a 是则,,222222。 ③,21)4

sin(),4

sin(2cos sin --=+

+

=+时最小值为当π

π

c c c c

显然2,0-<<得不到最小值πc 。 ④B A B A i B A ==>?=222cos 2cos

>ii πππ=+-=-=B A B A B A ,,222(舍) ，B A =∴。 ⑤B A B A B A B A tan tan tan tan 1,2tan tan tan tan 1+=?-=?+++

4

1)tan(1tan tan 1tan tan π

=+∴=+=?-+∴

B A B A B A B A ，，即

∴错误命题是③⑤。

误解：③④⑤中未考虑π<

14．已知)1(3tan m +=α，且βαββα,,0tan )tan ,(tan 3=++m 为锐角，则βα+的值为_____。

正解： 60，令,0=m 得,60 =α代入已知，可得

,0 =β 60=+∴βα

误解：通过计算求得,βα+计算错误.

15．给出四个命题：①存在实数α，使1cos sin =αα；②存在实数α，使

23cos sin =+αα；③)225sin(x y -=π是偶函数；④8

π=x 是函数)4

52sin(π

+

=x y 的一条对称轴方程；⑤若βα,是第一象限角，且βα>，则βαsin sin >。其中所有的正确命题的序号是_____。

正解：③④

① 1cos sin ],2

1

,21[2sin 21cos sin =∴-∈=ααααα不成立。 ② ∴-∈-∈+=+],2,2[23

],2,2[)4sin(2cos sin πααα不

成立。

③ )225sin(

x y -=πx x 2cos )22

sin(=-=π

是偶函数，成立。 ④ 将8π=x 代入452π+x 得23π,∴8π

=x 是对称轴，成立。

⑤ 若 390=α，,,60βαβ>= 但βαsin sin <，不成立。 误解：①②没有对题目所给形式进行化简，直接计算，不易找出错误。

⑤没有注意到第一象限角的特点，可能会认为是)90,0( 的角，从而根据x y sin =做出了错误的判断。

16．函数|3

1

)32sin(|-+=π

x y 的最小正周期是 错解：

2

π 错因：与函数)3

2sin(|π

+=x y 的最小正周期的混淆。

正解：π 17．设

θ

θ

sin 1sin 1+-=tan θθsec -成立，则θ的取值范围是_______________

错解：]2

32,22[πππ

πθ++

∈k k 错因：由tan θθsec -0≥不考虑tan θθsec ,不存在的情况。 正解：)2

32,22(πππ

πθ++

∈k k 18．①函数x y tan =在它的定义域内是增函数。 ②若βα,是第一象限角，且βαβαtan tan ,>>则。 ③函数)sin(?ω+=x A y 一定是奇函数。 ④函数)3

2cos(π

+

=x y 的最小正周期为

2

π

。 上述四个命题中，正确的命题是 ④ 错解：①②

错因：忽视函数x y tan =是一个周期函数 正解：④ 19.函数f(x)=

x

x x

x cos sin 1cos sin ++的值域为______________。

错解：???

??

?---2122,2122

错因：令x x t cos sin +=后忽视1-≠t ,从而12

1

)(-≠-=

t t g 正解：???

?

?--????????---2122,11,2122

20．若2sin 2

α

βααβ2

22sin sin ,sin 3sin +=+则的取值范围是 错解：]2,4[-

错因：由)1(,1sin 3sin sin sin 2

22-+-=+ααβα其中1sin 1≤≤-α，得错误

结果；由1sin 2sin 3sin 022≤-=≤ααβ

得1sin =α或2

1

sin 0≤≤α结合（1）式得正确结果。 正解：[0 ,

4

5

]{}2? 21.关于函数))(3

2sin(4)(R x x x f ∈+=π

有下列命题，○

1y=f(x)图象关于直线6π

-

=x 对称 ○2 y=f(x)的表达式可改写为)6

2cos(4π

-=x y ○3 y=f(x)的图象

关于点)0,6

(π

-

对称 ○

4由21210)()(x x x f x f -==可得必是π的整数倍。其中正确命题的序号是 。

答案：○2○3 错解：○2○3○4

错因：忽视f(x) 的周期是π，相邻两零点的距离为

2

2π

=T 。 22．函数)sin(2x y -=的单调递增区间是 。

答案：)](23

2,22[z k k k ∈++

πππ

π 错解：)](21

2,22[z k k k ∈+-ππππ

错因：忽视这是一个复合函数。 23．()()，那么为常数，且已知C C 0tan tan tan 33

=++?=

+αβαπ

βα

=βtan 。

正确答案：()C +13

错误原因：两角和的正切公式使用比较呆板。

24． ()的值域，函数????

?

???????∈+=20cos sin sin πx x x x y 是 。

正确答案：???

??

?+2210，

错误原因：如何求三角函数的值域，方向性不明确

三、解答题：

1．已知定义在区间[-π，π32

] 上的函数y=f(x)的图象关于直线x= -6

π对称，当x ∈[-6

π，π32]时，函数f(x)=Asin(ωx+?)(A>0, ω>0,-2π

π

)，其图象如图所示。

(1)求函数y=f(x)在[-π，π3

2]的表达式；

(2)求方程f(x)=

2

2

的解。 解：(1)由图象知A=1，

T=4(

6

32π

π-)=2π，ω=12=T π 在x ∈[-6

π

，32π]时

将(6

π

，1)代入f(x)得 f(

6π)=sin(6π

+?)=1 ∵-2

π

π

∴?=

3

π ∴在[-

6

π

，32π]时

f(x)=sin(x+3

π) ∴y=f(x)关于直线x=-6

π

对称 ∴在[-π，-6

π

]时 f(x)=-sinx

综上f(x)=???

??

-+x x sin )3sin(π

]6

,[]32,6[πππ

π--∈-∈x x (2)f(x)=

22

在区间[-6

π，3

2π

]内 可得x 1=

12

5x x 2= -12

π ∵y=f(x)关于x= - 6

π对称 ∴x 3=-4π x 4= -4

3π ∴f(x)=

2

2

的解为x ∈{-43π,-4π,-12π,125π}

2． 求函数的相位和初相。

解：

原函数的相位为，初相为

说明：部分同学可能看不懂题目的意思，不知道什么是相位，而无从下手。应将所给函数式变形为的形式（注意必须是

正弦）。

3． 若，求的取值范围。

解：令

，则有