高三第一轮复习三角函数解三角形练习题含答案

第四章三角函数、解三角形第1讲任意角、弧度制及任意角的三角函数一、选择题1．sin 2cos 3tan 4的值( )．A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在解析∵sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0，∴sin 2cos 3tan 4＜0.答案 A2．已知点P(sin 5π4，cos3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ是第________象限角．( )A．一 B．二C．三 D．四解析因P点坐标为(－22，－22)，∴P在第三象限．答案 C3．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm，则扇形的面积为 ()．A．40π cm2B．80π cm2C．40cm2D．80cm2解析72°＝2π5，∴S扇形＝12αR2＝12³2π5³202＝80π(cm2)．答案 B4．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是( )． A ．1B ．2C ．3D ．4解析由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当θ＝π，cos θ＝－1<0时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．答案 A5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝( )．A ．－8B ．8C ．－4D ．4解析根据题意sin θ＝－255<0及P (4，y )是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角．再由三角函数的定义得，y 42＋y2＝－255，又∵y <0，∴y ＝－8(合题意)，y ＝8(舍去)．综上知y ＝－8. 答案 A6．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12解析设α＝∠POQ ，由三角函数定义可知，Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos α，y ＝sin α，∴x ＝－12，y ＝32，∴Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.答案 A 二、填空题7．若β的终边所在直线经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π4，sin 3π4，则sin β＝________， tan β＝________.解析因为β的终边所在直线经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π4，sin 3π4，所以β的终边所在直线为y ＝－x ，则β在第二或第四象限．所以sin β＝22或－22，tan β＝－1.答案22或－22－1 8．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第______象限．解析 ∵点P (tan α，cos α)在第三象限，∴tan α＜0，cos α＜0. ∴角α在第二象限．答案二9．设扇形的周长为8 cm ，面积为 4 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________．解析由题意得S ＝12(8－2r )r ＝4，整理得r 2－4r ＋4＝0，解得r ＝2.又l ＝4，故|α|＝lr ＝2(rad)．答案 210．函数y ＝2cos x －1的定义域为________．解析∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边的范围(如图阴影所示)．∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )三、解答题11． (1)写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中适合不等式－360°≤α<720°的元素α写出来： ①60°；②－21°.(2)试写出终边在直线y ＝－3x 上的角的集合S ，并把S 中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．解 (1)①S ＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z }，其中适合不等式－360°≤α<720°的元素α为－300°，60°，420°；②S ＝{α|α＝－21°＋k ·360°，k ∈Z }，其中适合不等式－360°≤α<720°的元素α为－21°，339°，699°.(2)终边在y ＝－3x 上的角的集合是S ＝{α|α＝k ·360°＋120°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·360°＋300°，k ∈Z }＝{α|α＝k ·180°＋120°，k ∈Z }，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°. 12．(1)确定tan －3cos8²tan5的符号；(2)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝m (0<m <1)，试判断式子sin α－cos α的符号．解析 (1)∵－3,5,8分别是第三、第四、第二象限角， ∴tan(－3)>0，tan5<0，cos8<0，∴原式大于0. (2)若0<α<π2，则如图所示，在单位圆中，OM ＝cos α，MP ＝sin α， ∴sin α＋cos α＝MP ＋OM >OP ＝1. 若α＝π2，则sin α＋cos α＝1.由已知0<m <1，故α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.于是有sin α－cos α>0.13．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .解设圆的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎨⎧r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝lr ＝2.如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1 rad. ∴AH ＝1·sin 1＝sin 1 (cm)，∴AB ＝2sin 1 (cm)． 14．如图所示，A ，B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限，C 是圆与x 轴正半轴的交点，A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，△AOB 为正三角形． (1)求sin ∠COA ；(2)求cos ∠COB .解 (1)根据三角函数定义可知sin ∠COA ＝45. (2)∵△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°，又sin ∠COA ＝45，cos ∠COA ＝35， ∴cos ∠COB ＝cos(∠COA ＋60°) ＝cos ∠COA cos 60°－sin ∠COA sin 60° ＝35·12－45·32＝3－4310.第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式一、选择题1． cos ⎝⎛⎭⎪⎫－20π3＝( ) A.12 B.32 C ．－12 D ．－32解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－20π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π＋2π3＝cos 2π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π3＝－cos π3＝－12，故选C. 答案 C 2．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝( )．A ．－43B.54C ．－34D.45解析由于tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45.答案 D3．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )．A ．－34B.34C ．－43D.43解析由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，得tan α＋1tan α－1＝12，所以tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34.答案 B4．已知f (cos x )＝cos 3x ，则f (sin 30°)的值为( )． A ．0 B ．1 C ．－1 D.32解析 ∵f (cos x )＝cos 3x ，∴f (sin 30°)＝f (cos 60°)＝cos 180°＝－1. 答案 C5．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( )． A ．1＋ 5 B ．1－ 5 C ．1± 5 D ．－1－ 5解析由题意知：sin θ＋cos θ＝－m2，sin θcos θ＝m4，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m24＝1＋m2，解得：m＝1±5，又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－ 5.答案 B6．若S n＝sin π7＋sin2π7＋…＋sinnπ7(n∈N*)，则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是()．A．16 B．72 C．86 D．100解析由sin π7＝－sin8π7，sin2π7＝－sin9π7，…，sin6π7＝－sin13π7，sin7π7＝sin 14π7＝0，所以S13＝S14＝0.同理S27＝S28＝S41＝S42＝S55＝S56＝S69＝S70＝S83＝S84＝S97＝S98＝0，共14个，所以在S1，S2，…，S100中，其余各项均大于0，个数是100－14＝86(个)．故选C.答案 C二、填空题7．已知cosα＝－513，且α是第二象限的角，则tan(2π－α)＝________.解析由α是第二象限的角，得sinα＝1－cos2α＝1213，tanα＝sinαcosα＝－125，则tan(2π－α)＝－tanα＝125.答案12 58．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan2α＋sin α1＋1tan2α＝________.解析原式＝cos α1＋sin2αcos2α＋sin α1＋cos2αsin2α＝cos α1cos 2α＋sin α 1sin 2α＝cos α1－cos α＋sin α1sin α＝0. 答案 09．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值为________．解析依题意得sin α－cos α＝12，又(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，即(sin α＋cos α)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝2，故(sin α＋cos α)2＝74；又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，因此有sin α＋cos α＝72，所以cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－142. 答案－14210． f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4(a ，b ，α，β均为非零实数)，若f (2 012)＝6，则f (2 013)＝________.解析 f (2 012)＝a sin(2 012π＋α)＋b cos(2 012π＋β)＋4＝a sin α＋b cos β＋4＝6，∴a sin α＋b cos β＝2，∴f (2 013)＝a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝2. 答案 2 三、解答题 11．已知1＋tan π＋α1＋tan 2π－α＝3＋22，求cos 2(π－α)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α²cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋2sin 2(α－π)的值．解析由已知得1＋tan α1－tan α＝3＋22，∴tan α＝2＋224＋22＝1＋22＋2＝22.∴cos 2(π－α)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋2sin 2(α－π) ＝cos 2α＋(－cos α)(－sin α)＋2sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2α ＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1＋tan α＋2tan 2α1＋tan 2α＝1＋22＋11＋12＝4＋23.12．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin 2α. 解法一由sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，得tan α＝2.(1)原式＝tan α－45tan α＋2＝2－45³2＋2＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝85.法二由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5³2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85. 13．是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解假设存在角α，β满足条件，则由已知条件可得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β，3cos α＝2cos β.①②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2.∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＝±π4. 当α＝π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式成立；当α＝－π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去．∴存在α＝π4，β＝π6满足条件． 14．已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，求α的大小．解 (1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z .所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |x ≠π8＋k π2，k ∈Z ，f (x )的最小正周期为π2.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)，整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0.因此(cos α－sin α)2＝12，即sin 2α＝12.由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，得2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.所以2α＝π6，即α＝π12.第3讲三角函数的图象与性质一、选择题1．函数f (x )＝2sin x cos x 是( )． A ．最小正周期为2 π的奇函数 B ．最小正周期为2 π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数解析 f (x )＝2sin x cos x ＝sin 2x .∴f (x )是最小正周期为π的奇函数．答案 C2．已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为( )．A ．0B.π6C.π4D.π3解析据已知可得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋θ＋π3，若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，又由于θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意．答案 B3．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )．A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析 ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤1，∴－3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤2.∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为2－ 3. 答案 A4．函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x 的最小正周期为( )． A ．2π B.3π2C ．π D.π2解析依题意，得f (x )＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.故最小正周期为2π. 答案 A5．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )． A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54 解析 (数形结合法)y ＝sin 2x ＋sin x －1，令sin x ＝t ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈[－1,1]，画出函数图像如图所示，从图像可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1可得y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1.答案 C6．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )．A.π4B.π3C.π2D.3π4解析由题意可知函数f (x )的周期T ＝2³⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π，故ω＝1，∴f (x )＝sin(x＋φ)，令x ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，将x ＝π4代入可得φ＝k π＋π4(k ∈Z )，∵0<φ<π，∴φ＝π4. 答案 A 二、填空题7．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值为________．解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32.答案 328．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2x 2＋x2x 2＋cos x 的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.解析 (构造法)根据分子和分母同次的特点，把分子展开，得到部分分式，f (x )＝1＋x ＋sin x2x 2＋cos x ，f (x )－1为奇函数，则m －1＝－(M －1)，所以M ＋m ＝2. 答案 29．已知函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，则f (x )的值域是________．解析 f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x | ＝⎩⎨⎧cos x (sin x ≥cos x )，sin x (sin x <cos x ).画出函数f (x )的图象，可得函数的最小值为－1，最大值为22，故值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，2210．下列命题中：①α＝2k π＋π3(k ∈Z )是tan α＝3的充分不必要条件；②函数f (x )＝|2cos x －1|的最小正周期是π；③在△ABC 中，若cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 为钝角三角形； ④若a ＋b ＝0，则函数y ＝a sin x －b cos x 的图象的一条对称轴方程为x ＝π4. 其中是真命题的序号为________．解析 ①∵α＝2k π＋π3(k ∈Z )⇒tan α＝3，而tan α＝3⇒/ α＝2k π＋π3(k ∈Z )，∴①正确． ②∵f (x ＋π)＝|2cos(x ＋π)－1|＝|－2cos x －1|＝|2cos x ＋1|≠f (x )，∴②错误．③∵cos A cos B >sin A sin B ，∴cos A cos B －sin A sin B >0，即cos(A ＋B )>0，∵0<A ＋B <π，∴0<A ＋B <π2， ∴C 为钝角，∴③正确． ④∵a ＋b ＝0，∴b ＝－a ，y ＝a sin x －b cos x ＝a sin x ＋a cos x ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴x ＝π4是它的一条对称轴，∴④正确．答案 ①③④ 三、解答题11. 已知函数f (x )＝2sin x cos x －2sin 2x ＋1. (1)求函数f (x )的最小正周期及值域； (2)求f (x )的单调递增区间．解 (1)f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则函数f (x )的最小正周期是π，函数f (x )的值域是[]－2，2. (2)依题意得2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z)，即f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z)． 12．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称轴； (2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域．解 (1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.∴最小正周期T ＝2π2＝π，由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．∴函数图象的对称轴为x ＝k π2＋π3(k ∈Z )． (2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π6，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1.即函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.13．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ，g (x )＝12sin 2x －14.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值的x 的集合．解 (1)∵f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x －32sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 8－3－3cos 2x 8＝12cos 2x －14，∴f (x )的最小正周期为2π2＝π. (2)由(1)知h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos 2x －12sin 2x ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π－π8(k ∈Z )时，h (x )取得最大值22.故h (x )取得最大值时，对应的x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π－π8，k ∈Z. 14．已知a ＞0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )＞0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，又∵a >0，∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得a ＝2，b ＝－5，∴f (x )＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )＞0，得g (x )＞1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1＞1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＞12，∴2k π＋π6＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6＜2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π＜x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z . 综上，g (x )的递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6(k ∈Z )；递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3(k ∈Z )．第4讲函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质一、选择题1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 D ．关于直线x ＝π3对称解析由已知，ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0，所以函数图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0中心对称，故选A.答案 A 2.要得到函数cos(21)y x =+的图像，只要将函数cos 2y x =的图像（） A. 向左平移1个单位 B. 向右平移1个单位C. 向左平移12 个单位 D.向右平移 12个单位解析因为1cos(21)cos(2()2y x x =+=+,所以将cos 2y x =向左平移12个单位,故选C. 答案 C3. 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到的图象对应的函数解析式为( )．A ．y ＝sin 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6解析由所给图象知A ＝1，34T ＝11π12－π6＝3π4，T ＝π，所以ω＝2πT ＝2，由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2³π6＋φ＝1，|φ|<π2得π3＋φ＝π2，解得φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移π6个单位后得到的图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，故选D. 答案 D4．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值为( )．A.π6B.π3C.π4 D.π12解析将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移φ个单位，得到函数y ＝sin 2(x ＋φ)＝sin(2x ＋2φ)的图象，由题意得2φ＝π2＋k π(k ∈Z )，故φ的最小值为π4. 答案 C5．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为( )．A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π60t －π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t －π3解析由题意可得，函数的初相位是π6，排除B ，D.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2πω＝60，所以|ω|＝π30，即ω＝－π30，故选C.答案 C6．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图像如图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安解析由函数图像知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100.∴T ＝150＝2πω，∴ω＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．又∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫1300，10在图像上， ∴10＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫100π³1300＋φ ∴π3＋φ＝π2，∴φ＝π6， ∴I ＝10sin⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6. 当t ＝1100时，I ＝10sin⎝ ⎛⎭⎪⎫100π³1100＋π6＝－5. 答案 A二、填空题7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图像上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，则ω＝________.解析由已知两相邻最高点和最低点的距离为22，而f (x )max －f (x )min ＝2，由勾股定理可得T 2＝ 22 2－22＝2，∴T ＝4，∴ω＝2πT ＝π2.答案π28．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．解析 ∵f (x )与g (x )的图象的对称轴完全相同，∴f (x )与g (x )的最小正周期相等，∵ω＞0，∴ω＝2，∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6，∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，∴－32≤3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤3，即f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，39．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，5π8是f (x )的一个单调递增区间，则φ的值为________．解析令π2＋2k π≤2x ＋φ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，k ＝0时，有π4－φ2≤x ≤3π4－φ2，此时函数单调递增，若⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，5π8是f (x )的一个单调递增区间，则必有⎩⎪⎨⎪⎧π4－φ2≤π8，3π4－φ2≥5π8，解得⎩⎪⎨⎪⎧φ≥π4，φ≤π4，故φ＝π4.答案 π410．在函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的一个周期内，当x ＝π9时有最大值12，当x ＝4π9时有最小值－12，若φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则函数解析式f (x )＝________.解析首先易知A ＝12，由于x ＝π9时f (x )有最大值12，当x ＝4π9时f (x )有最小值－12，所以T ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4π9－π9³2＝2π3，ω＝3.又12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3³π9＋φ＝12，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，解得φ＝π6，故f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6.答案12sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6三、解答题11．已知函数f (x )＝3sin2x ＋2cos 2x .(1)将f (x )的图像向右平移π12个单位长度，再将周期扩大一倍，得到函数g (x )的图像，求g (x )的解析式；(2)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间．解 (1)依题意f (x )＝3sin2x ＋2²cos2x ＋12＝3sin2x ＋cos2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，将f (x )的图像向右平移π12个单位长度，得到函数f 1(x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π6＋1＝2sin2x ＋1的图像，该函数的周期为π，若将其周期变为2π，则得g (x )＝2sin x ＋1.(2)函数f (x )的最小正周期为T ＝π，当2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)时，函数单调递增，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)， ∴函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z)．12．已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A2cos 2x )(A ＞0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6. (1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域．解 (1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A2cos 2x ＝A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因为A ＞0，由题意知A ＝6. (2)由(1)知f (x )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位后得到 y ＝6sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3的图象．因此g (x )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24，所以4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6，故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域为[－3,6]．13．已知函数f (x )＝23sin x 2＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋sin x＝3cos x ＋sin x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)∵将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象， ∴g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin[⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3] ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，g (x )取得最大值2.当x ＋π6＝7π6，即x ＝π时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－12，g (x )取得最小值－1.14．设函数f (x )＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)设函数g (x )对任意x ∈R ，有g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝g (x )，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )．求g (x )在区间[－π，0]上的解析式．解 (1)f (x )＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin 2x＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x cos π4－sin 2x sin π4＋1－cos 2x 2＝12－12sin 2x ，故f (x )的最小正周期为π.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )＝12sin 2x ，故 ①当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0时，x ＋π2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.由于对任意x ∈R ，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝g (x )，从而g (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝12sin(π＋2x )＝－12sin 2x .②当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π，－π2时，x ＋π∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2.从而g (x )＝g (x ＋π)＝12sin[2(x ＋π)]＝12sin 2x . 综合①、②得g (x )在[－π，0]上的解析式为g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12sin 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π，－π2，－12sin 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0.第5讲两角和与差的正弦、余弦和正切一、选择题1. 已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α等于( )A.12 B ．－12 C.22 D ．－22解析由cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α得(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝22(cos α＋sin α) 由α为锐角知cos α＋sin α≠0. ∴cos α－sin α＝22，平方得1－sin 2α＝12. ∴sin 2α＝12.答案 A2．若1＋cos 2αsin 2α＝12，则tan 2α等于( )．A.54B ．－54C.43 D ．－43解析 1＋cos 2αsin 2α＝2cos 2α2sin αcos α＝cos αsin α＝12， ∴tan α＝2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43，故选D. 答案 D 3．已知α，β都是锐角，若sin α＝55，sin β＝1010，则α＋β＝ ( )．A.π4B.3π4C.π4和3π4D ．－π4和－3π4解析由α，β都为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝255，cos β＝1－sin 2β＝31010.所以cos(α＋β)＝cos α²cos β－sin α²sin β＝22，所以α＋β＝π4. 答案 A4．已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π4，则sin θ－cos θ的值为 ( )．A.23B ．－23C.13D ．－13解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝169，∴sin 2θ＝79，又0<θ<π4，∴sin θ<cos θ.∴sin θ－cos θ＝－(sin θ－cos θ)2＝－1－sin 2θ＝－23. 答案 B5．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为( )． A ．1B.110 C ．1或110D ．1或10解析 tan(α＋β)＝1⇒tan α＋tan β1－tan αtan β＝lg (10a )＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－lg (10a )·lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1⇒lg 2a ＋lg a ＝0，所以lg a ＝0或lg a ＝－1，即a ＝1或110. 答案 C6．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( )．A ．－235 B.236 C ．－45 D.45解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435⇒32sin α＋32cos α＝435⇒sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45.答案 C 二、填空题7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos α＝________.解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝223.故cos α＝cos [⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4]＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4 ＝13³22＋223³22＝4＋26. 答案4＋268．设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________．解析 ∵α为锐角且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，∴α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4 ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1＝2³35³45－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2³⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝12225－7250＝17250.答案172509．函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________．解析 ∵f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴f (x )min ＝1－ 2. 答案 1－ 210．方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >2)的两根为tan A ，tan B ，且A ，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则A ＋B ＝________.解析由题意知tan A ＋tan B ＝－3a <－6，tan A ·tan B ＝3a ＋1>7，∴tan A <0，tan B <0， tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－3a1－(3a ＋1)＝1.∵A ，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴A ，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0， ∴A ＋B ∈(－π，0)，∴A ＋B ＝－3π4. 答案－3π4 三、解答题11．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2cos 2x －1，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值．解 (1)f (x )＝sin 2x ·cos π3＋cos 2x ·sin π3＋sin 2x ·cos π3－cos 2x ·sin π3＋cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π8上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上是减函数．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，故函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1.12．已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.(1)求sin 2α和tan 2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．解 (1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin 2α＝95，∴sin 2α＝45.又2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos 2α＝1－sin 22α＝35，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43.(2)∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝45，于是sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2425.又sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－cos 2β，∴cos 2β＝－2425，又2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin 2β＝725，又cos 2α＝1＋cos 2α2＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4， ∴cos α＝255，sin α＝55.∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β ＝255³⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－55³725＝－11525. 13．函数f (x )＝6cos 2ωx2＋ 3sin ωx －3(ω＞0)在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B 、C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形． (1)求ω的值及函数f (x )的值域；(2)若f (x 0)＝8 35，且x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，求f (x 0＋1)的值．解 (1)由已知可得，f (x )＝3cos ωx ＋ 3sin ωx ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，又正三角形ABC 的高为23，从而BC ＝4，所以函数f (x )的周期T ＝4³2＝8，即2πω＝8，ω＝π4. 函数f (x )的值域为[－23，23]． (2)因为f (x 0)＝835，由(1)有f (x 0)＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝835，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝45.由x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，知πx 04＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35. 故f (x 0＋1)＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π4＋π3＝23sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＋π4 ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3sin π4 ＝23³⎝ ⎛⎭⎪⎫45³22＋35³22＝765.14．(1)①证明两角和的余弦公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； ②由C (α＋β)推导两角和的正弦公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(2)已知cos α＝－45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，tan β＝－13，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos(α＋β)．解 (1)证明 ①如图，在直角坐标系xOy 内作单位圆O ，并作出角α，β与－β，使角α的始边为Ox 轴非负半轴，交⊙O 于点P 1，终边交⊙O 于点P 2；角β的始边为OP 2，终边交⊙O 于点P 3，角－β的始边为OP 1，终边交⊙O 于点P 4.则P 1(1,0)，P 2(cos α，sin α)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P 4(cos(－β)，sin(－β))．由P 1P 3＝P 2P 4及两点间的距离公式，得[cos(α＋β)－1]2＋sin 2(α＋β)＝[cos(－β)－cos α]2＋[sin(－β)－sin α]2，展开并整理，得2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)．∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.②由①易得，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α. sin(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－ α＋β＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos(－β)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin(－β)＝sin αcos β＋cos αsin β.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. (2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，cos α＝－45，∴sin α＝－35.∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan β＝－13，∴cos β＝－31010，sin β＝1010. cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45³⎝⎛⎭⎪⎫－31010－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35³1010＝31010.第6讲正弦定理和余弦定理一、选择题1．在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，BC ＝2，那么A 等于( )． A ．135° B ．105° C ．45° D ．75°解析由正弦定理知BCsin A＝ABsin C，即2sin A＝3sin 60°，所以sin A＝22，又由题知，BC＜AB，∴A＝45°.答案 C2．已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小为( )．A．60° B．90° C．120° D．150°解析由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得(a＋b)2－c2＝ab，∴c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2ab cos C，∴cos C＝－12，∴C＝120°.答案 C3．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝3，则S△ABC＝()．A. 2B. 3C.32D．2解析∵A，B，C成等差数列，∴A＋C＝2B，∴B＝60°.又a＝1，b＝3，∴asin A＝bsin B，∴sin A＝a sin Bb＝32³13＝12，∴A＝30°，∴C＝90°.∴S△ABC ＝12³1³3＝32.答案 C4．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()．A.32 B.332 C.3＋62 D.3＋394解析设AB＝c，BC边上的高为h.由余弦定理，得AC2＝c2＋BC2－2BC·c cos 60°，即7＝c2＋4－4c cos 60°，即c2－2c－3＝0，∴c＝3(负值舍去)．又h＝c·sin 60°＝3³32＝332，故选B.答案 B5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝λ，b＝3λ(λ>0)，A＝45°，则满足此条件的三角形个数是( )A．0 B．1C．2 D．无数个解析直接根据正弦定理可得asin A＝bsin B，可得sin B＝b sin Aa＝3λsin 45°λ＝62>1，没有意义，故满足条件的三角形的个数为0.答案 A6．已知△ABC的面积为32，AC＝3，∠ABC＝π3，则△ABC的周长等于()．A．3＋ 3 B．3 3C．2＋ 3 D.33 2解析由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，即a2＋c2－ac＝3.又△ABC的面积为12ac sinπ3＝32，即ac＝2，所以a2＋c2＋2ac＝9，所以a＋c＝3，即a＋c＋b＝3＋3，故选A.答案 A二、填空题7．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，点D在BC边上，∠ADC＝45°，则AD的长度等于________．解析在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝23，∴cos C＝32，∴sin C＝12；在△ADC中，由正弦定理得，ADsin C＝ACsin∠ADC，∴AD＝2sin 45°³12＝ 2.答案 28．已知△ABC的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．解析依题意得，△ABC的三边长分别为a，2a,2a(a>0)，则最大边2a所对的角的余弦值为：a2＋(2a)2－(2a)22a·2a＝－24.答案－2 49．在Rt△ABC中，C＝90°，且A，B，C所对的边a，b，c满足a＋b＝cx，则实数x的取值范围是________．解析x＝a＋bc＝sin A＋sin Bsin C＝sin A＋cos A＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫A＋π4.又A∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π4<A＋π4<3π4，∴22<sin⎝⎛⎭⎪⎫A＋π4≤1，即x∈(1，2]．答案(1，2]10．若AB＝2，AC＝2BC，则S△ABC的最大值________．解析(数形结合法)因为AB＝2(定长)，可以令AB所在的直线为x轴，其中垂线为y轴建立直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0)，设C(x，y)，由AC＝2 BC，得 x＋1 2＋y2＝ 2 x－1 2＋y2，化简得(x－3)2＋y2＝8，即C在以(3,0)为圆心，22为半径的圆上运动，所以S△ABC＝12²|AB|²|y C|＝|y C|≤22，故答案为2 2.答案2 2三、解答题11．叙述并证明余弦定理．解余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝c2＋a2－2ca cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C，法一如图(1)，图(1)a2＝BC→²BC→＝(AC→－AB→)²(AC→－AB→)＝AC→2－2AC→²AB→＋AB→2＝AC→2－2|AC→|²|AB→|cos A＋AB→2＝b2－2bc cos A＋c2，即a2＝b2＋c2－2bc cos A.同理可证b2＝c2＋a2－2ca cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C.法二图(2)已知△ABC中A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x 轴建立直角坐标系，如图(2)则C(b cos A，b sin A)，B(c,0)，∴a2＝|BC|2＝(b cos A－c)2＋(b sin A)2＝b2cos2A－2bc cos A＋c2＋b2sin2A＝b2＋c2－2bc cos A.同理可证b2＝c2＋a2－2ca cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C.12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A＝23，sin B＝5cos C.(1)求tan C的值；(2)若a＝2，求△ABC的面积．解(1)因为0＜A＜π，cos A＝2 3，得sin A＝1－cos2A＝5 3.又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C . 所以tan C ＝ 5.(2)由tan C ＝5，得sin C ＝56，cos C ＝16. 于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝ 2及正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝ 3. 设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ac sin B ＝52.13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点(a ，b )在直线x (sin A －sin B )＋y sin B ＝c sin C 上． (1)求角C 的值；(2)若a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，求△ABC 的面积．解 (1)由题意得a (sin A －sin B )＋b sin B ＝c sin C ，由正弦定理，得a (a －b )＋b 2＝c 2，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，结合0<C <π，得C ＝π3.(2)由a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，得(a －3)2＋(b －3)2＝0，从而得a ＝b ＝3，所以△ABC 的面积S ＝12³32³sin π3＝934.14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a .(1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝ 2，求△ABC 的面积．。

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2024届高三数学一轮复习--三角函数与解三角形第3练两角和与差的正弦、余弦和正切公式(解析版)

【详解】因为
cos
4
5 ，所以 5
2 cos 2
2 sin 2
5 ，平方后可得 5
1 cos2 sin2 sin cos 1 ，整理得 1 1 sin 2 1 ，所以 sin 2 3 .
2
5
22
5
5
故选：D.
2．B
【分析】运用两角和与差的正弦公式和同角的商数关系，计算即可得到所求值
6
，则
tan
（
）
A． 3
B． 2 3
C． 6
D． 6 3
3．（2023·全国·高三专题练习）若
1 1
tan tan
π 4 π 4
1 2
，则
cos
2
的值为（
）
A．- 3 5
B． 3 5
C． 4 5
D． 4 5
4．（2023
秋·江苏泰州·高三泰州中学校考开学考试）已知
cos
12
【详解】因为
sin
3
sin
6
，所以
1 2
sin
3 cos 2
3 sin 1 cos ，
2
2
所以 3 1 cos 3 1 sin ，所以 tan 3 1 2 3 . 3 1
故选：B
3．A
【分析】由已知可得
tan
π 4
1 3
，进而求出
四个命题：
甲： tan 1 ；
2 乙： tan tan 7 : 3 ；
丙：
sin cos
5 4
；
丁： tan tan tan tan 5 : 3 .
如果其中只有一个假命题，则该命题是（）
A．甲

2023年高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形7正弦定理余弦定理练习含解析

正弦定理、余弦定理考试要求 1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．知识梳理1．正弦定理与余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asin A＝b sin B ＝csin C＝2R a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(2)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ， a sin C ＝c sin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．常用结论在△ABC 中，常有以下结论： (1)∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (3)a >b ⇔A >B ⇔sin A >sin B ，cos A <cos B .(4)sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sinA ＋B2＝cosC2；cosA ＋B2＝sin C2. (5)三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B . 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( × ) (2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( √ )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( × ) (4)当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形．( × ) 教材改编题1．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 等于( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6答案 C解析因为在△ABC 中，设AB ＝c ＝5，AC ＝b ＝3，BC ＝a ＝7，所以由余弦定理得cos∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋25－4930＝－12，因为∠BAC 为△ABC 的内角，所以∠BAC ＝2π3.2．在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B ＝. 答案 45°解析由正弦定理知a sin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝42×3243＝22.又a >b ，则A >B ，所以B 为锐角，故B ＝45°.3．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，C ＝60°，则c ＝，△ABC 的面积＝. 答案7 332解析易知c ＝4＋9－2×2×3×12＝7，△ABC 的面积等于12×2×3×32＝332.题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1 (12分)(2021·新高考全国Ⅰ)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b 2＝ac ，点D 在边AC 上，BD ·sin∠ABC ＝a sin C . (1)证明：BD ＝b ;[切入点：角转化为边](2)若AD ＝2DC ，求cos∠ABC .[关键点：∠BDA 和∠BDC 互补]高考改编在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b sin C ＋a sin A ＝b sin B ＋c sin C . (1)求A ；(2)设D 是线段BC 的中点，若c ＝2，AD ＝13，求a . 解 (1)根据正弦定理，由b sin C ＋a sin A ＝b sin B ＋c sin C ，可得bc ＋a 2＝b 2＋c 2，即bc ＝b 2＋c 2－a 2，由余弦定理可得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为A 为三角形内角，所以A ＝π3.(2)因为D 是线段BC 的中点，c ＝2，AD ＝13，所以∠ADB ＋∠ADC ＝π，则cos∠ADB ＋cos∠ADC ＝0，所以AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＋AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC＝0，即13＋a 24－22213·a 2＋13＋a 24－b2213·a2＝0，整理得a 2＝2b 2－44，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋4－2b ，所以b 2＋4－2b ＝2b 2－44，解得b ＝6或b ＝－8(舍)，因此a 2＝2b 2－44＝28，所以a ＝27.思维升华解三角形问题的技巧(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．跟踪训练1 (2021·北京)已知在△ABC 中，c ＝2b cos B ，C ＝2π3.(1)求B 的大小；(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一确定，并求出BC 边上的中线的长度．①c ＝2b ；②周长为4＋23；③面积为S △ABC ＝334.解 (1)∵c ＝2b cos B ，则由正弦定理可得sin C ＝2sin B cos B ， ∴sin2B ＝sin2π3＝32，∵C ＝2π3， ∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，2B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3， ∴2B ＝π3，解得B ＝π6.(2)若选择①：由正弦定理结合(1)可得 c b ＝sin C sin B ＝3212＝3，与c ＝2b 矛盾，故这样的△ABC 不存在；若选择②：由(1)可得A ＝π6，设△ABC 的外接圆半径为R ，则由正弦定理可得a ＝b ＝2R sinπ6＝R ， c ＝2R sin2π3＝3R ，则周长为a ＋b ＋c ＝2R ＋3R ＝4＋23，解得R ＝2，则a ＝2，c ＝23，由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为232＋12－2×23×1×cosπ6＝7；若选择③：由(1)可得A ＝π6，即a ＝b ，则S △ABC ＝12ab sin C ＝12a 2×32＝334，解得a ＝3，则由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－2×b ×a 2×cos 2π3＝3＋34＋3×32＝212. 题型二正弦定理、余弦定理的简单应用命题点1 三角形形状判断例2 在△ABC 中，c －a 2c ＝sin 2 B 2(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形答案 A解析由cos B ＝1－2sin 2B2，得sin 2B 2＝1－cos B2，所以c －a 2c ＝1－cos B2，即cos B ＝ac.方法一由余弦定理得a 2＋c 2－b 22ac ＝ac，即a 2＋c 2－b 2＝2a 2，所以a 2＋b 2＝c 2.所以△ABC 为直角三角形，无法判断两直角边是否相等．方法二由正弦定理得cos B ＝sin Asin C ，又sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，所以cos B sin C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即sin B cos C ＝0，又sin B ≠0，所以cos C ＝0，又角C 为三角形的内角，所以C ＝π2，所以△ABC 为直角三角形，无法判断两直角边是否相等．延伸探究将“c －a 2c ＝sin 2 B 2”改为“sin A sin B ＝a c，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ”，试判断△ABC 的形状．解因为sin A sin B ＝ac ，所以a b ＝a c，所以b ＝c . 又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以△ABC 是等边三角形．思维升华判断三角形形状的两种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．命题点2 三角形的面积例3 (2022·沧州模拟)在①sin A ，sin C ，sin B 成等差数列；②a ∶b ∶c ＝4∶3∶2；③b cos A ＝1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a (sin A －sin B )＋b sinB ＝c sinC ，c ＝1，？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解因为a (sin A －sin B )＋b sin B ＝c sin C ，由正弦定理得a (a －b )＋b 2＝c 2，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.选择①：因为sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，所以sin A ＋sin B ＝2sin C ，即a ＋b ＝2c ＝2，由a 2＋b 2－c 2＝a 2＋b 2－1＝ab ，得(a ＋b )2－3ab ＝1，所以ab ＝1，故存在满足题意的△ABC ，S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×sin π3＝34. 选择②：因为a ∶b ∶c ＝4∶3∶2，所以A >B >C ＝π3，这与A ＋B ＋C ＝π矛盾，所以△ABC 不存在．选择③：因为b cos A ＝1，所以b ·b 2＋1－a 22b＝1，得b 2＝1＋a 2＝c 2＋a 2，所以B ＝π2，此时△ABC 存在．又C ＝π3，所以A ＝π6，所以a ＝1×tanπ6＝33，所以S △ABC ＝12ac ＝36.思维升华三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．命题点3 与平面几何有关的问题例4 如图，在平面四边形ABCD 中，已知A ＝π2，B ＝2π3，AB ＝6.在AB 边上取点E ，使得BE＝1，连接EC ，ED .若∠CED ＝2π3，EC ＝7.(1)求sin∠BCE 的值； (2)求CD 的长．解 (1)在△BEC 中，由正弦定理，知BE sin∠BCE ＝CEsin B.∵B ＝2π3，BE ＝1，CE ＝7，∴sin∠BCE ＝BE ·sin B CE ＝327＝2114. (2)∵∠CED ＝B ＝2π3，∴∠DEA ＝∠BCE ，∴cos∠DEA ＝1－sin 2∠DEA ＝1－sin 2∠BCE ＝1－328＝5714. ∵A ＝π2，∴△AED 为直角三角形，又AE ＝5，∴ED ＝AE cos∠DEA ＝55714＝27.在△CED 中，CD 2＝CE 2＋DE 2－2CE ·DE ·cos∠CED＝7＋28－2×7×27×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝49. ∴CD ＝7. 教师备选1．在△ABC 中，已知a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，则该三角形的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．钝角三角形答案 C解析 ∵a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又C ∈(0，π)， ∴C ＝π3，由2cos A sin B ＝sin C ，得cos A ＝sin C 2sin B ＝c 2b ＝c 2＋b 2－a22bc ，∴b 2＝a 2，即b ＝a ，又C ＝π3，故三角形为等边三角形．2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C －c cos(B ＋C )＝－b3cos A ＋B .(1)求tan C ；(2)若c ＝3，sin A sin B ＝1627，求△ABC 的面积．解 (1)∵a cos C －c cos(B ＋C ) ＝－b3cos A ＋B ，∴a cos C ＋c cos A ＝b3cos C.由正弦定理得sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin B3cos C ，∴sin(A ＋C )＝sin B3cos C ，即sin B ＝sin B3cos C ，又∵sin B ≠0， ∴cos C ＝13，∴sin C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223， tan C ＝sin Ccos C ＝2 2.(2)若c ＝3，由正弦定理asin A ＝bsin B ＝csin C，得asin A ＝b sin B ＝3223＝924，则a ＝924sin A ，b ＝924sin B ，则ab ＝924sin A ·924sin B ＝16216sin A sin B＝16216×1627＝6， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×223＝2 2.思维升华平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函数思想．跟踪训练 2 (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝ (2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形答案 D解析因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B＝2sin A cos A －sin B cos A ，所以sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B＝2sin A cos A －sin B cos A ，所以cos A (sin B －sin A )＝0，所以cos A ＝0或sin B ＝sin A ，所以A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，所以△ABC 为等腰或直角三角形．(2)(2022·郑州模拟)如图，在△ABC 中，AB ＝9，cos B ＝23，点D 在BC 边上，AD ＝7，∠ADB 为锐角．①求BD ；②若∠BAD ＝∠DAC ，求sin C 的值及CD 的长．解 ①在△ABD 中，由余弦定理得AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B ＝AD 2，整理得BD 2－12BD ＋32＝0，所以BD ＝8或BD ＝4.当BD ＝4时，cos∠ADB ＝16＋49－812×4×7＝－27，则∠ADB >π2，不符合题意，舍去；当BD ＝8时，cos∠ADB ＝64＋49－812×8×7＝27，则∠ADB <π2，符合题意，所以BD ＝8.②在△ABD 中，cos∠BAD ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD ＝92＋72－822×9×7＝1121，所以sin∠BAD ＝8521，又sin∠ADB ＝357，所以sin C ＝sin(∠ADB －∠CAD )＝sin(∠ADB －∠BAD )＝sin∠ADB cos∠BAD －cos∠ADB sin∠BAD＝357×1121－27×8521＝175147，在△ACD 中，由正弦定理得CD sin∠CAD ＝ADsin C ，即CD ＝ADsin C ·sin∠CAD ＝7175147×8521＝39217.课时精练1．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C 等于() A.π2 B.π3C.π4D.π6答案 C 解析根据题意及三角形的面积公式知12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝cos C ，所以在△ABC 中，C ＝π4. 2．(2022·北京西城区模拟)在△ABC 中，C ＝60°，a ＋2b ＝8，sin A ＝6sin B ，则c 等于( ) A.35 B.31 C ．6D ．5答案 B解析因为sin A ＝6sin B ，由正弦定理可得a ＝6b ，又a ＋2b ＝8，所以a ＝6，b ＝1，因为C ＝60°，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即c 2＝62＋12－2×1×6×12，解得c ＝31.3．(2022·济南质检)已知△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，a ＝4，cos2A ＝－725，则△ABC 外接圆半径为( ) A ．5B ．3C.52D.32答案 C解析因为cos2A ＝－725，所以1－2sin 2A ＝－725，解得sin A ＝±45，因为A ∈(0，π)，所以sin A ＝45，又a ＝4，所以2R ＝a sin A ＝445＝5，所以R ＝52. 4．(2022·河南九师联盟联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2b ，sin 2A －3sin 2B ＝12sin A sin C ，则角C 等于( ) A.π6B.π3C.π2D.2π3答案 B解析 ∵sin 2A －3sin 2B ＝12sin A sin C ，由正弦定理可得a 2－3b 2＝12ac ， ∵c ＝2b ，∴a 2－3b 2＝12a ·2b ＝ab ，由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2－3b 22ab ＝12， ∵0<C <π，∴C ＝π3. 5．(多选)(2022·山东多校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ,2b sin A ＝5a cos B ，AB ＝2，AC ＝26，D 为BC 的中点，E 为AC 上的点，且BE 为∠ABC 的平分线，下列结论正确的是( )A ．cos∠BAC ＝－66 B ．S △ABC ＝3 5 C ．BE ＝2D ．AD ＝ 5答案 AD解析由正弦定理可知2sin B sin A ＝5sin A cos B ，∵sin A ≠0，∴2sin B ＝5cos B .又sin 2B ＋cos 2B ＝1，∴sin B ＝53，cos B ＝23，在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，得BC ＝6.A 项，cos∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝4＋24－362×2×26＝－66；B 项，S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×2×6×53＝25；C 项，由角平分线性质可知AEEC ＝AB BC ＝13，∴AE ＝62.BE 2＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE cos A ＝4＋32－2×2×62×⎝ ⎛⎭⎪⎫－66＝152，∴BE ＝302；D 项，在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝4＋9－2×2×3×23＝5，∴AD ＝ 5.6．(多选)(2022·张家口质检)下列命题中，正确的是( )A ．在△ABC 中，A >B ，则sin A >sin BB ．在锐角△ABC 中，不等式sin A >cos B 恒成立C ．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 必是等腰直角三角形D ．在△ABC 中，若B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 必是等边三角形答案 ABD解析对于A ，由A >B ，可得a >b ，利用正弦定理可得sin A >sin B ，正确；对于B ，在锐角△ABC 中，A ，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∵A ＋B >π2， ∴π2>A >π2－B >0， ∴sin A >sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ， ∴不等式sin A >cos B 恒成立，正确；对于C ，在△ABC 中，由a cos A ＝b cos B ，利用正弦定理可得sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B ，∵A ，B ∈(0，π)，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2， ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形，∴是假命题，错误；对于D ，由于B ＝60°，b 2＝ac ，由余弦定理可得b 2＝ac ＝a 2＋c 2－ac ，可得(a －c )2＝0，解得a ＝c ，可得A ＝C ＝B ＝60°，故正确．7．(2022·潍坊质检)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且b ＝3，a －c ＝2，A ＝2π3.则△ABC 的面积为．答案 1534解析由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∵b ＝3，a －c ＝2，A ＝2π3， ∴(c ＋2)2＝32＋c 2－2×3c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，解得c ＝5，则△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝12×3×5×32＝1534. 8．(2021·全国乙卷)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为3，B ＝60°，a 2＋c 2＝3ac ，则b ＝.答案 2 2解析由题意得S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ＝3，则ac ＝4，所以a 2＋c 2＝3ac ＝3×4＝12，所以b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝12－2×4×12＝8，则b ＝22(负值舍去)．9．(2022·南平模拟)在①2c cos B ＝2a －b ，②△ABC 的面积为34(a 2＋b 2－c 2)，③cos 2A －cos 2C ＝sin 2B －sin A sin B ，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．(如果选择多个条件作答，则按所选的第一个条件给分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且．(1)求角C 的大小；(2)若c ＝2且4sin A sin B ＝3，求△ABC 的面积．解 (1)若选条件①2c cos B ＝2a －b ，则2c ·a 2＋c 2－b 22ac＝2a －b ，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，所以cos C ＝12，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3. 若选条件②△ABC 的面积为34(a 2＋b 2－c 2)，则34(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ，即sin C ＝3cos C ，所以tan C ＝3，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3. 若选条件③cos 2A －cos 2C ＝sin 2B －sin A sin B ，则(1－sin 2A )－(1－sin 2C )＝sin 2B －sin A sin B ，即sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝sin A sin B ，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，所以cos C ＝12，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3. (2)因为c ＝2，所以a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2sin π3＝43，所以sin A ＝34a ，sin B ＝34b ，又因为4sin A sin B ＝3，所以ab ＝4，△ABC 的面积为12ab sin C ＝ 3. 10．(2022·湘豫联盟联考)如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，AB ＝8，AD ＝7，点D 在BC 上，且cos∠ADC ＝17.(1)求BD ；(2)若cos∠CAD ＝32，求△ABC 的面积．解 (1)∵cos∠ADB ＝cos(π－∠ADC )＝－cos∠ADC ＝－17. 在△ABD 中，由余弦定理得82＝BD 2＋72－2·BD ·7·cos∠ADB ，解得BD ＝3或BD ＝－5(舍)．(2)由已知sin∠ADC ＝437，sin∠CAD ＝12， ∴sin C ＝sin(∠ADC ＋∠CAD )＝437×32＋17×12＝1314. 由正弦定理得CD ＝AD sin∠CAD sin C ＝7×121314＝4913， ∴BC ＝3＋4913＝8813，∴S △ABC ＝12×8×8813×32＝176313.11．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且4S ＝(a＋b )2－c 2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C 等于 ( ) A ．1B ．－22C.22D.32 答案 C解析因为S ＝12ab sin C ， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，所以2S ＝ab sin C ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .又4S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，所以2ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab .因为ab ≠0，所以sin C ＝cos C ＋1.因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，所以(cos C ＋1)2＋cos 2C ＝1，解得cos C ＝－1(舍去)或cos C ＝0，所以sin C ＝1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ＝22(sin C ＋cos C )＝22. 12．(2022·焦作模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 依次成等差数列，△ABC 的周长为15，且(sin A ＋sin B )2＋cos 2C ＝1＋sin A sin B ，则cos B 等于( )A.1314B.1114C.12D ．－12答案 B解析因为(sin A ＋sin B )2＋cos 2C＝1＋sin A sin B ，所以sin 2A ＋sin 2B ＋2sin A ·sin B ＋1－sin 2C＝1＋sin A ·sin B ，所以由正弦定理得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，又a ，b ，c 依次成等差数列，△ABC 的周长为15，即a ＋c ＝2b ，a ＋b ＋c ＝15，由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－c 2＝－ab ，a ＋c ＝2b ，a ＋b ＋c ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝5，c ＝7.cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32＋72－522×3×7＝1114. 13．(2022·开封模拟)在平面四边形ABCD 中，BC ⊥CD ，∠B ＝3π4，AB ＝32，AD ＝210，若AC ＝35，则CD 为．答案 1或5解析因为在△ABC 中，∠B ＝3π4，AB ＝32， AC ＝35，由正弦定理可得AC sin B ＝AB sin∠ACB，所以sin∠ACB ＝AB ·sin B AC ＝32×2235＝55，又BC ⊥CD ，所以∠ACB 与∠ACD 互余，因此cos∠ACD ＝sin∠ACB ＝55，在△ACD 中，AD ＝210，AC ＝35，由余弦定理可得cos∠ACD ＝55＝AC 2＋CD 2－AD 22AC ·CD ＝5＋CD 265CD，所以CD 2－6CD ＋5＝0，解得CD ＝1或CD ＝5.14．(2022·大连模拟)托勒密(Ptolemy)是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知凸四边形ABCD 的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC ，BD 是其两条对角线，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，AC ＝6，则四边形ABCD 的面积为．答案 9 3 解析在△ABD 中，设AB ＝a ，由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos∠BAD ＝3a 2，所以BD ＝3a ，由托勒密定理可得a (BC ＋CD )＝AC ·3a ，即BC ＋CD ＝3AC ，又∠ABD ＝∠ACD ＝30°，所以四边形ABCD 的面积 S ＝12BC ·AC sin30°＋12CD ·AC sin30°＝14(BC ＋CD )·AC ＝34AC 2＝9 3.15．(多选)中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2＋a 2－b 222(S 为三角形的面积，a ，b ，c 为三角形的三边)．现有△ABC 满足sin A ∶si n B ∶sin C ＝2∶3∶7，且△ABC 的面积S △ABC ＝63，则下列结论正确的是( )A ．△ABC 的周长为10＋27B ．△ABC 的三个内角满足A ＋B ＝2CC ．△ABC 的外接圆半径为4213D ．△ABC 的中线CD 的长为3 2答案 AB解析 A 项，设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，因为sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶7，所以由正弦定理可得a ∶b ∶c ＝2∶3∶7，设a ＝2t ，b ＝3t ，c ＝7t (t >0)，因为S △ABC ＝63，所以63＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t 2×4t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫7t 2＋4t 2－9t 222，解得t ＝2，则a ＝4，b ＝6，c ＝27，故△ABC 的周长为10＋27，A 正确；B 项，因为cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16＋36－282×4×6＝12，所以C ＝π3，A ＋B ＝π－π3＝2π3＝2C ，故B 正确；C 项，因为C ＝π3，所以sin C ＝32，由正弦定理得2R ＝c sin C ＝2732＝4213， R ＝2213， C 错误；D 项，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝16＋28－362×4×27＝714，在△BCD 中，BC ＝4，BD ＝7，由余弦定理得cos B ＝16＋7－CD 22×4×7＝714，解得CD ＝19，D 错误．16．(2021·新高考全国Ⅱ)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b ＝a ＋1，c ＝a ＋2.(1)若2sin C ＝3sin A ，求△ABC 的面积；(2)是否存在正整数a ，使得△ABC 为钝角三角形？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解 (1)因为2sin C ＝3sin A ，则2c ＝2(a ＋2)＝3a ，则a ＝4，故b ＝5，c ＝6，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝18，所以C 为锐角，则sin C ＝1－cos 2C ＝378，因此， S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×5×378＝1574. (2)显然c >b >a ，若△ABC 为钝角三角形，则C 为钝角，由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋a ＋12－a ＋222a a ＋1＝a 2－2a －32a a ＋1<0，则0<a <3，由三角形三边关系可得a ＋a ＋1>a ＋2，可得a >1，因为a ∈N *，故a ＝2.。

2024届高三数学一轮复习-三角函数与解三角形第4练二倍角公式及应用(解析版)

B． cos A cos B
C． sin 2A sin 2B
D． cos 2A cos 2B
12．（2023·全国·高三专题练习）给出下列说法，其中正确的是（）
A．若 cos 1 ，则 cos 2 7
3
9
C．若 x 1 ，则 x 1 的最小值为 2
2
x
B．若 tan 2 4 ，则 tan 1
D． 5 或
5
5
）
D． 24 25
7．（2023·全国·高三专题练习）下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的是（）
A． f x cos2 x sin x cos x
B． f x 1 cos 2 x
2sin x cos x
C．
f
x
cos
x
π 3
cos
x
π 3
D．
f
x
sin
D
不
正确，
故选：BC.
10．AD
【分析】根据二倍角正弦公式、辅助角公式，结合正弦型函数的单调性、平移的性质、对称
性、换元法逐一判断即可.
【详解】 f (x) sin x cos x 1 sin 2x, g(x) sin x cos x 2 sin(x π ) ，
2
4
当
x
0,
π 4
时，
3 5 8
2
5 1 5 1．
16
4
故选：D．
2．B 【分析】根据三角恒等变换公式求解.
【详解】
sin
π 6
cos
3 sin 1 cos cos 3 ,
2
2
5
所以 3 sin 1 cos 3 ，

高考数学(文)大一轮复习检测：第三章三角函数、解三角形课时作业21 Word版含答案

课时作业21 三角函数的图象与性质l一、选择题1．下列函数中周期为π且为偶函数的是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x 为偶函数，且周期是π，所以选A .答案：A2．下列函数中，周期为π，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4上单调递增的函数是( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝－sin 2xD ．y ＝－cos 2x解析：由－π2＋2k π≤2x≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ，所以函数y ＝sin2x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4上单调递减，则函数y ＝－sin2x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4上单调递增，易知y ＝－sin2x 的周期为π，因此选C.答案：C3．(2017·湖南长沙模拟)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－12x ，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，2π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，2π解析：令z ＝π3－12x ，函数y ＝sin z 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ，由2k π＋π2≤π3－12x ≤2k π＋3π2，得4k π－7π3≤x ≤4k π－π3，k ∈Z ，而z ＝π3－12x 在R上单调递减，于是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－12x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－7π3，4k π－π3，k ∈Z ，而x∈[－2π，2π]，故其单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，2π，故选D.答案：D4．下列函数，有最小正周期的是( ) A ．y ＝sin|x | B ．y ＝cos|x | C ．y ＝tan|x |D ．y ＝(x 2＋1)0解析：A ：y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，不是周期函数；B ：y ＝cos|x |＝cos x ，最小正周期T ＝2π；C ：y ＝tan|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，x ≥0，－tan x ，x <0，不是周期函数；D ：y ＝(x 2＋1)0＝1，无最小正周期，故选B.答案：B5．已知函数y ＝sin(2x ＋φ)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3上单调递增，其中φ∈(π，2π)，则φ的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤76π，2π B.⎝⎛⎦⎥⎤π，116πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤76π，116πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫76π，2π 解析：由x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3，得2x ＋φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ，23π＋φ，又∵φ∈(π，2π)，∴π2＋φ>32π，23π＋φ≤52π，∴π<φ≤116π，故选B. 答案：B6．(2017·河北名校联考)若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω≠0)，且f (2＋x )＝f (2－x )，则|ω|的最小值为( )A.π12 B.π6 C.5π12D.5π6解析：由题意可得，函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω≠0)的图象关于直线x ＝2对称，∴2ω－π3＝π2＋k π，k ∈Z ，∴ω＝5π12＋k π2，k ∈Z ，∴|ω|min ＝π12.答案：A 二、填空题7．函数f (x )＝sin2x －4sin x ·cos 3x (x ∈R )的最小正周期为________．解析：f (x )＝sin2x －2sin2x cos 2x ＝sin2x (1－2cos 2x )＝－sin2x cos2x ＝－12sin4x ，故其最小正周期为2π4＝π2.答案：π28．(2017·东北沈阳四城市质检)函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间是______．解析：因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，即2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z .当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π69．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋4cos 2x 的最小值为________．解析：f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋4cos 2x ＝sin2x －cos2x ＋2(cos2x ＋1)＝sin2x ＋cos2x＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2，所以函数f (x )的最小值为2－ 2.答案：2－ 2 三、解答题10．已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．解：(1)由已知，有f (x )＝1－cos2x 2－1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos2x ＋32·sin2x －12cos2x ＝34sin2x －14cos2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由x ∈[－π3，π4]，知2x －π6∈[－56π，π3]，当－56π≤2x －π6≤－π2即－π3≤x ≤－π6时，f (x )是减函数；当－π2≤2x －π6≤π3即－π6≤x ≤π4时，f (x )是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 11．(2016·北京卷)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos2ωx (ω>0)的最小正周期为π.(Ⅰ)求ω的值；(Ⅱ)求f (x )的单调递增区间．解：(Ⅰ)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos2ωx＝sin2ωx ＋cos2ωx ＝2sin(2ωx ＋π4)，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω. 依题意，πω＝π，解得ω＝1.(Ⅱ)由(Ⅰ)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 函数y ＝sin x 的单调递增区间为 [2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )．由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为 [k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z )．1．(2016·浙江卷)函数y ＝sin x 2的图象是( )解析：由于函数y ＝sin x 2是一个偶函数，选项A 、C 的图象都关于原点对称，所以不正确；选项B 与选项D 的图象都关于y 轴对称，在选项B 中，当x ＝±π2时，函数y ＝sin x 2<1，显然不正确，当x ＝±π2时，y ＝sin x 2＝1，而 π2<π2，故选D. 答案：D2．(2016·浙江卷)设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关解析：由于f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ＝1－cos2x 2＋b sin x ＋c .当b ＝0时，f (x )的最小正周期为π；当b ≠0时，f (x )的最小正周期为2π.c 的变化会引起f (x )图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选B.答案：B3．(2016·天津卷)已知函数f (x )＝sin2ωx 2＋12sin ωx －12(ω>0)，x ∈R .若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫58，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，58 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，58 解析：f (x )＝12(1－cos ωx )＋12sin ωx －12＝12sin ωx －12cos ωx ＝22sin(ωx －π4)，当ω＝12时，f (x )＝22sin(12x －π4)，x ∈(π，2π)时，f (x )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，22，无零点，排除A ，B ；当ω＝316时，f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫316x －π4，x ∈(π，2π)时，0∈f (x )，有零点，排除C.故选D.答案：D4．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<2π3的最小正周期为π.(1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解：∵由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)，(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )． ∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，展开整理得sin2x cos φ＝0，由已知上式对∀x ∈R 都成立， ∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32.又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π，∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为 [k π－5π12，k π＋π12]，k ∈Z .。

2023年高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形5三角函数的图象与性质练习含解析

三角函数的图象与性质考试要求 1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上，正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的性质．知识梳理1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象定义域 R R ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π] ⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2递减区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π]对称中心 (k π，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0对称轴方程x ＝k π＋π2x ＝k π常用结论1．对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )．(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (2)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (3)y ＝sin|x |是偶函数．( √ )(4)若非零实数T 是函数f (x )的周期，则kT (k 是非零整数)也是函数f (x )的周期．( √ ) 教材改编题1．若函数y ＝2sin2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则( ) A ．T ＝π，A ＝1 B ．T ＝2π，A ＝1 C ．T ＝π，A ＝2 D ．T ＝2π，A ＝2答案 A2．函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠－π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠k π＋π6k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π6k ∈Z答案 D解析由2x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π6，k ∈Z . 3．函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递减区间是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z解析因为y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，令2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ，求得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，可得函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z .题型一三角函数的定义域和值域例1 (1)函数y ＝1tan x －1的定义域为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π，且x ≠π2＋k π，k ∈Z 解析要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z .故函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π，且x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1＋222，1解析设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x ·cos x ，sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1，t ∈[－2，2]．当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－1＋222.∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1＋222，1.教师备选1．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )解析要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .2．函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．答案 1解析由题意可得f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －322＋1. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0,1]． ∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )取最大值为1. 思维升华 (1)三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数的图象来求解．(2)三角函数值域的不同求法①把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域． ②把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域． ③利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．跟踪训练 1 (1)(2021·北京)函数f (x )＝cos x －cos2x ，试判断函数的奇偶性及最大值( )A ．奇函数，最大值为2B ．偶函数，最大值为2C ．奇函数，最大值为98D ．偶函数，最大值为98答案 D 解析由题意，f (－x )＝cos (－x )－cos (－2x )＝cos x －cos2x ＝f (x )，所以该函数为偶函数，又f (x )＝cos x －cos2x ＝－2cos 2x ＋cos x ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －142＋98，所以当cos x ＝14时，f (x )取最大值98.(2)函数y ＝lg(sin2x )＋9－x 2的定义域为________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 解析 ∵函数y ＝lg(sin2x )＋9－x 2，∴应满足⎩⎪⎨⎪⎧sin2x >0，9－x 2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k π<x <π2＋k π，－3≤x ≤3，其中k ∈Z ，∴－3≤x <－π2或0<x <π2，∴函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.题型二三角函数的周期性、奇偶性、对称性例2 (1)(2019·全国Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上单调递增的是( )A ．f (x )＝|cos2x |B ．f (x )＝|sin2x |C ．f (x )＝cos|x |D ．f (x )＝sin|x |答案 A解析 A 中，函数f (x )＝|cos2x |的周期为π2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，函数f (x )单调递增，故A 正确；B 中，函数f (x )＝|sin2x |的周期为π2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，函数f (x )单调递减，故B 不正确；C 中，函数f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，故C 不正确；D 中，f (x )＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，由正弦函数图象知，在x ≥0和x <0时，f (x )均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，故D 不正确．(2)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ＋1，φ∈(0，π)，且f (x )为偶函数，则φ＝________，f (x )图象的对称中心为________．答案5π6⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋k π2，1，k ∈Z 解析若f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ＋1为偶函数，则－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝5π6＋k π，k ∈Z ，又∵φ∈(0，π)， ∴φ＝5π6.∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋1＝3cos2x ＋1，由2x ＝π2＋k π，k ∈Z 得x ＝π4＋k π2，k ∈Z ，∴f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋k π2，1，k ∈Z .教师备选1．下列函数中，是周期函数的为( ) A ．y ＝sin|x | B ．y ＝cos|x | C ．y ＝tan|x | D ．y ＝(x －1)0答案 B解析 ∵cos|x |＝cos x ，∴y ＝cos|x |是周期函数．其余函数均不是周期函数． 2．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)，若f (x )为奇函数，则φ＝________.答案π3解析若f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ为奇函数，则－π3＋φ＝k π，k ∈Z ，即φ＝π3＋k π，k ∈Z ，又∵φ∈(0，π)， ∴φ＝π3.思维升华 (1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx 的形式．(2)周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为πω求解．跟踪训练2 (1)(2021·全国乙卷)函数f (x )＝sin x3＋cos x3最小正周期和最大值分别是( ) A ．3π和 2 B ．3π和2 C ．6π和 2 D ．6π和2答案 C解析因为函数f (x )＝sin x 3＋cos x3＝2⎝⎛⎭⎪⎫22sin x 3＋22cosx 3＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x 3cos π4＋cos x 3sin π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π4，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π13＝6π，最大值为 2.(2)已知f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)是定义域为R 的奇函数，且当x ＝3时，f (x )取得最小值－3，当ω取得最小正数时，f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2022)的值为( )A.32 B ．－6－3 3 C ．1 D ．－1答案 B解析 ∵f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)是定义域为R 的奇函数， ∴φ＝π2＋k π，k ∈Z ，则φ＝π2，则f (x )＝－A sin ωx .当x ＝3时，f (x )取得最小值－3，故A ＝3，sin3ω＝1， ∴3ω＝π2＋2k π，k ∈Z .∴ω的最小正数为π6，∴f (x )＝－3sin π6x ，∴f (x )的周期为12，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (12)＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2022) ＝168×0＋f (1)＋f (2)＋…＋f (6) ＝－6－3 3.(3)(2022·杭州模拟)设函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋34，则下列叙述正确的是( ) A ．f (x )的最小正周期为2π B ．f (x )的图象关于直线x ＝π12对称 C ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上的最小值为－54 D ．f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称答案 C解析对于A ，f (x )的最小正周期为2π2＝π，故A 错误；对于B ，∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12－π3＝－12≠±1，故B 错误；对于C ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32，∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋34∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，3＋34， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上的最小值为－54，故C 正确；对于D ，∵f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×2π3－π3＋34＝34，∴f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫2π3，34对称，故D 错误．题型三三角函数的单调性命题点1 求三角函数的单调区间例3 函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )解析 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所求函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．延伸探究 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3在[0，π]上的单调递减区间为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12和⎣⎢⎡⎦⎥⎤11π12，π解析令A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ，B ＝[0，π]，∴A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤11π12，π，∴f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12和⎣⎢⎡⎦⎥⎤11π12，π. 命题点2 根据单调性求参数例4 (1)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________. 答案 32解析 ∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点， ∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 单调递增；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 单调递减．由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，知π2ω＝π3，∴ω＝32.(2)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54解析由π2<x <π，ω>0，得ωπ2＋π4<ωx ＋π4<ωπ＋π4，因为y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥π2＋2k π，ωπ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z .又由4k ＋12－⎝⎛⎭⎪⎫2k ＋54≤0，k ∈Z ，且2k ＋54>0，k ∈Z ，解得k ＝0，所以ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54. 教师备选(2022·长沙模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．1 答案 B解析因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，所以2n ＋14·T ＝π2(n ∈N )，即2n ＋14·2πω＝π2(n ∈N )，所以ω＝2n ＋1(n ∈N )，即ω为正奇数．因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则5π36－π18＝π12≤T 2，即T ＝2πω≥π6，解得ω≤12.当ω＝11时，－11π4＋φ＝k π，k ∈Z ，因为|φ|≤π2，所以φ＝－π4，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x －π4. 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π18，5π36时，11x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13π36，46π36，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上不单调，不满足题意；当ω＝9时，－9π4＋φ＝k π，k ∈Z ，因为|φ|≤π2，所以φ＝π4，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋π4. 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π18，5π36时， 9x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，3π2，此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调递减，符合题意．故ω的最大值为9.思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．跟踪训练3 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)下列区间中，函数f (x )＝7sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πC.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2D.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π答案 A解析令－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋2k π≤x ≤2π3＋2k π，k ∈Z .取k＝0，则－π3≤x ≤2π3.因为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2是函数f (x )的单调递增区间．(2)(2022·济南模拟)已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3上单调递增，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，23 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2 答案 A解析当－π6<x <π3时，－πω6＋π3<ωx ＋π3<πω3＋π3，当x ＝0时，ωx ＋π3＝π3.因为函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧－πω6＋π3≥－π2，πω3＋π3≤π2，解得ω≤12，因为ω>0，所以ω的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.课时精练1．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π答案 D解析将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.2．函数f (x )＝2sin π2x －1的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋4k π，5π3＋4k π(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＋4k ，53＋4k (k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋4k π，5π6＋4k π(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16＋4k ，56＋4k (k ∈Z )答案 B解析由题意，得2sinπ2x －1≥0， π2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z )，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＋4k ，53＋4k (k ∈Z )． 3．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的非奇非偶函数D ．最小正周期为π的非奇非偶函数答案 D解析由题意可得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12－π2 ＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12， ∴f (x )＝12－12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6，故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，由函数奇偶性的定义易知，f (x )为非奇非偶函数．4．函数f (x )＝sin x ＋xcos x ＋x2在[－π，π]的图象大致为( )答案 D解析由f (－x )＝sin －x ＋－xcos －x ＋－x 2＝－sin x －xcos x ＋x2＝－f (x )，得f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ；又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1＋π2⎝ ⎛⎭⎪⎫π22＝4＋2ππ2>1， f (π)＝π－1＋π2>0，排除B ，C.5．(多选)关于函数f (x )＝sin2x －cos2x ，下列命题中为真命题的是( ) A ．函数y ＝f (x )的周期为πB ．直线x ＝π4是y ＝f (x )图象的一条对称轴C ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是y ＝f (x )图象的一个对称中心 D ．y ＝f (x )的最大值为 2 答案 ACD解析因为f (x )＝sin2x －cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，所以f (x )最大值为2，故D 为真命题．因为ω＝2，故T ＝2π2＝π，故A 为真命题；当x ＝π4时，2x －π4＝π4，终边不在y 轴上，故直线x ＝π4不是y ＝f (x )图象的一条对称轴，故B 为假命题；当x ＝π8时，2x －π4＝0，终边落在x 轴上，故点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是y ＝f (x )图象的一个对称中心，故C 为真命题． 6．(多选)(2022·广州市培正中学月考)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |，下列叙述正确的是( ) A ．f (x )是偶函数B ．f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增C ．f (x )的最大值为2D ．f (x )在[－π，π]上有4个零点答案 AC解析 f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )| ＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，f (x )是偶函数，A 正确；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，单调递减，B 错误；f (x )＝sin|x |＋|sin x |≤1＋1＝2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2，C 正确；在[－π，π]上，当－π<x <0时，f (x )＝sin(－x )＋(－sin x )＝－2sin x >0，当0<x <π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x >0，f (x )的零点只有π，0，－π共三个，D 错．7．写出一个周期为π的偶函数f (x )＝________.(答案不唯一) 答案 cos2x8．(2022·鞍山模拟)若在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内有两个不同的实数值满足等式cos2x ＋3sin2x ＝k ＋1，则实数k 的取值范围是________．答案 0≤k <1解析函数f (x )＝cos2x ＋3sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时， f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6单调递增；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2时，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6单调递减，f (0)＝2sin π6＝1， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π2＝2， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2sin 7π6＝－1，所以在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内有两个不同的实数值满足等式cos2x ＋3sin2x ＝k ＋1，则1≤k ＋1<2，所以0≤k <1.9．已知函数f (x )＝4sin ωx sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3－1(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω及f (x )的单调递增区间； (2)求f (x )图象的对称中心．解 (1)f (x )＝4sin ωx ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx ＋32cos ωx －1＝2sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx －1 ＝1－cos 2ωx ＋3sin 2ωx －1 ＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6.∵最小正周期为π， ∴2π2ω＝π， ∴ω＝1，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π(k ∈Z )．(2)令2x －π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，∴f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫π12＋k π2，0，k ∈Z .10．(2021·浙江)设函数f (x )＝sin x ＋cos x (x ∈R )．(1)求函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π22的最小正周期；(2)求函数y ＝f (x )f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值．解 (1)因为f (x )＝sin x ＋cos x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x －sin x ，所以y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π22＝(cos x －sin x )2＝1－sin2x .所以函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π22的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin x ，所以y ＝f (x )f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin x (sin x ＋cos x ) ＝2(sin x cos x ＋sin 2x ) ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2x －12cos2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋22. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以当2x －π4＝π2，即x ＝3π8时，函数y ＝f (x )f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取得最大值，且y max ＝1＋22.11．(多选)(2022·苏州模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，则( )A ．函数f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3是偶函数B ．x ＝－π6是函数f (x )的一个零点C ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12上单调递增 D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称答案 BCD解析对于A 选项，令g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3≠0，故函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3不是偶函数，A 错；对于B 选项，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝sin0＝0，故x ＝－π6是函数f (x )的一个零点，B 对；对于C 选项，当－5π12≤x ≤π12时，－π2≤2x ＋π3≤π2，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12上单调递增，C 对；对于D 选项，因为对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，解得x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，k ＝0时，x ＝π12，D 对．12．(多选)(2022·厦门模拟)已知函数f (x )＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6－cos2x ，则( )A ．f (x )的最大值为1＋32B ．f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫7π6，0对称C ．f (x )图象的对称轴方程为x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )D ．f (x )在[0,2π]上有4个零点答案 ACD解析 f (x )＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32－cos2x＝12＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos2x ＋32sin2x －cos2x ＝34sin2x －34cos2x ＋12 ＝32sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋12，则f (x )的最大值为1＋32，A 正确；易知f (x )图象的对称中心的纵坐标为12，B 错误；令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )，得x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )，此即f (x )图象的对称轴方程，C 正确；由f (x )＝32sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋12＝0，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＝－33，当x ∈[0,2π]时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，11π3，作出函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，11π3的图象，如图所示．所以方程sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＝－33在[0,2π]上有4个不同的实根，即f (x )在[0,2π]上有4个零点，D 正确．13．(2022·唐山模拟)已知sin x ＋cos y ＝14，则sin x －sin 2y 的最大值为______．答案 916解析 ∵sin x ＋cos y ＝14，sin x ∈[－1,1]， ∴sin x ＝14－cos y ∈[－1,1]， ∴cos y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，54，即cos y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，1， ∵sin x －sin 2y ＝14－cos y －(1－cos 2y ) ＝cos 2y －cos y －34＝⎝⎛⎭⎪⎫cos y －122－1，又cos y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，1，利用二次函数的性质知，当cos y ＝－34时， (sin x －sin 2y )max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－122－1＝916. 14．(2022·苏州八校联盟检测)已知f (x )＝sin x ＋cos x ，若y ＝f (x ＋θ)是偶函数，则cos θ＝________.答案 ±22解析因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f (x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋θ＋π4，又因为y ＝f (x ＋θ)是偶函数，所以θ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即θ＝π4＋k π，k ∈Z ，所以cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋k π＝±22.15．(多选)(2022·邯郸模拟)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4(ω>0)，已知f (x )在[0,2π]内有且仅有2个零点，则下列结论成立的有( ) A ．函数y ＝f (x )＋1在(0,2π)内没有零点B ．y ＝f (x )－1在(0,2π)内有且仅有1个零点C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3上单调递增D ．ω的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫58，98答案 BCD解析如图，由函数f (x )的草图可知，A 选项不正确，B 选项正确；若函数f (x )在[0,2π]内有且仅有2个零点，则5π4ω≤2π<9π4ω，得58≤ω<98，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3时，t ＝ωx －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，2π3ω－π4⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π2，此时函数单调递增，故CD 正确．16．已知f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－12.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若函数y ＝|f (x )|－m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π24，3π8上恰有两个零点x 1，x 2.①求m 的取值范围；②求sin(x 1＋x 2)的值．解 (1)f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－12 ＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π42＋22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2－12 ＝12－24cos 2x ＋24sin 2x ＋22cos 2x －12＝24sin 2x ＋24cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，结合正弦函数的图象与性质，可得当－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，即－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )时，函数单调递增， ∴函数y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )． (2)①令t ＝2x ＋π4，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π24，3π8时， t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π，12sin t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12， ∴y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12sin t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12(如图)．∴要使y ＝|f (x )|－m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π24，3π8上恰有两个零点，m 的取值范围为14<m <12或m ＝0. ②设t 1，t 2是函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12sin t －m 的两个零点⎝⎛⎭⎪⎫即t 1＝2x 1＋π4，t 2＝2x 2＋π4，由正弦函数图象性质可知t 1＋t 2＝π，即2x 1＋π4＋2x 2＋π4＝π. ∴x 1＋x 2＝π4，∴sin(x 1＋x 2)＝22.。

2022届高三数学(理)一轮总复习练习-第三章三角函数、解三角形 3-6 Word版含答案

课时规范训练[A级基础演练]1．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2a sin B＝3b，则角A等于()A.π12 B.π6C.π4D．π3解析：选D.在△ABC中，利用正弦定理得2sin A sin B ＝3sin B，∴sin A＝3 2.又A为锐角，∴A＝π3.2．(2022·高考天津卷)在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝() A．1 B．2C．3 D．4解析：选A.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a＝3，c＝13，∠C＝120°，由余弦定理得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1，即AC＝1.3．在△ABC，已知∠A＝45°，AB＝2，BC＝2，则∠C等于()A．30°B．60°C．120°D．30°或150°解析：选A.在△ABC中，ABsin C＝BCsin A，∴2sin C＝2sin 45°，∴sin C＝12，又AB＜BC，∴∠C＜∠A，故∠C＝30°.4．一艘海轮从A处动身，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观看灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观看灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．102海里B．103海里C．203海里D．202海里解析：选A.如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，依据正弦定理得BCsin 30°＝ABsin 45°，解得BC＝102(海里)．5．(2022·高考山东卷)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝()A.3π4B．π3C.π4D．π6解析：选C.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝2b2－2b2cos A，所以2b2(1－sin A)＝2b2(1－cos A)，所以sin A＝cos A，即tan A＝1，又0＜A＜π，所以A＝π4.6．(2022·高考北京卷)在△ABC中，∠A＝2π3，a＝3c，则bc＝．解析：∵a＝3c，∴sin A＝3sin C，∵∠A＝2π3，∴sin A＝32，∴sin C＝12，又∠C必为锐角，∴∠C＝π6，∵∠A＋∠B＋∠C＝π，∴∠B＝π6，∴∠B＝∠C，∴b＝c，∴bc＝1.答案：17．在△ABC中，已知AB＝3，A＝120°，且△ABC的面积为1534，则BC边的长为．解析：由S△ABC＝1534得12×3×AC sin 120°＝1534，所以AC＝5，因此BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×12＝49，解得BC＝7.答案：78．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c－bc－a＝sin Asin C＋sin B，则B＝() A.π6B．π4C.π3 D ．3π4解析：选C.依据正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，得c －b c －a＝sin Asin C ＋sin B ＝a c ＋b，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，故B ＝π3，故选C.9．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，求cos B 的值．解：(1)证明：∵三角形的三边a ，b ，c 成等差数列， ∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)由题设有b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b ＝2a ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4sin 2A －B2＋4sin A sin B ＝22.(1)求角C 的大小；(2)已知b ＝4，△ABC 的面积为6，求边长c 的值．解：(1)由已知得2[1－cos(A －B )]＋4sin A sin B ＝2＋2，化简得－2cos A cos B ＋2sin A sin B 2，故cos(A ＋B )＝－22，所以A ＋B ＝3π4，从而C ＝π4. (2)由于S △ABC ＝12ab sin C ，由S △ABC ＝6，b ＝4，C ＝π4，得a ＝3 2.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c ＝10. [B 级力量突破]1．(2021·辽宁五校联考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝( )A.2π3 B ．π3 C.3π4D ．5π6解析：选A.由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b . 又由于b ＋c ＝2a ，所以a ＝53b ，c ＝73b ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53b 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫73b 22×53b ×b＝－12.由于C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.2．(2021·北京东城一模)在锐角△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，S △ABC ＝33，则BC ＝( ) A ．5 B ．13或37 C.37D ．13解析：选D.由S △ABC ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12×3×4×sin ∠BAC ＝33，得sin ∠BAC ＝32，由于△ABC 为锐角三角形，所以∠BAC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故∠BAC ＝π3，在△ABC 中，由余弦定理得，BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ＝42＋32－2×4×3×cos π3＝13.所以BC ＝13，故选D.3．(2021·厦门模拟)在不等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，假如sin 2(B ＋C )<sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2解析：选D.由题意得sin 2A <sin 2B ＋sin 2C ，再由正弦定理得a 2<b 2＋c 2，即b 2＋c 2－a 2>0. 则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0， ∵0<A <π，∴0<A <π2.又a 为最大边，∴A ＝A ，A >B ，A >C ，即3A >A ＋B ＋C ＝π，∴A >π3. 因此得角A 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.4．(2021·云南第一次检测)已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若cos B ＝45，a ＝10，△ABC 的面积为42，则b ＋asin A的值等于．解析：依题意可得sin B ＝35，又S △ABC ＝12ac sin B ＝42，则c ＝14.故b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝62，所以b ＋a sin A ＝b ＋bsin B ＝16 2.答案：16 25．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90海里．此时海盗船距观测站107海里，20分钟后测得海盗船距观测站20海里，再过分钟，海盗船即可到达商船．解析：如图，设开头时观测站、商船、海盗船分别位于A 、B 、C 处，20分钟后，海盗船到达D 处，在△ADC 中，AC ＝107，AD ＝20，CD ＝30，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD＝400＋900－7002×20×30＝12.∴∠ADC ＝60°，在△ABD 中由已知得∠ABD ＝30°. ∠BAD ＝60°－30°＝30°，∴BD ＝AD ＝20，2090×60＝403(分钟)．答案：4036．(2021·成都外国语学校模拟)已知函数f (x )＝23sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且角A 满足f (A )＝3＋1.若a ＝3，BC 边上的中线长为3，求△ABC 的面积S .解：(1)由题意知，f (x )＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x＝3()1＋sin 2x ＋cos 2x ＝3＋3sin 2x ＋cos 2x ＝3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得 k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z .(2)由f (A )＝3＋1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12，∴2A ＋π6＝π6或5π6，即A ＝0或π3. 又A 为△ABC 的内角，∴A ＝π3. 由A ＝π3，a ＝3.得|BC→|＝|AC →－AB →|＝a ＝3，① 又BC 边上的中线长为3，知|AB →＋AC →|＝6.②联立①②，解得AB →·AC→＝274，即|AB →|·|AC →|·cos π3＝274， ∴|AB →|·|AC →|＝272. ∴△ABC 的面积为S ＝12|AB →|·|AC →|·sin π3＝2738.。

高三一轮复习三角函数专题及答案解析

三角函数典型习题 1 ．设锐角ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，,2sin a b A =.(Ⅰ)求B 的大小;(Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围.2 ．在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ，，,22sin 2sin=++C B A . （I ）试判断△ABC 的形状;（II ）若△ABC 的周长为16,求面积的最大值.3 ．已知在ABC ∆中,A B >,且A tan 与B tan 是方程0652=+-x x 的两个根.(Ⅰ)(Ⅱ)4．在∆(1)求(2)若5（1（26(I)(II)若7(Ⅰ)(Ⅱ)当0,2x ∈⎢⎥⎣⎦时,求函数()f x 的最大值,并写出x 相应的取值.8．在ABC ∆中,已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ,向量(2sin ,m B =,2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,且//m n ｡(I)求锐角B 的大小;(II)如果2b =,求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值｡答案解析1【解析】:(Ⅰ)由2sin a b A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1sin 2B =, 由ABC ∆为锐角三角形得π6B =. (Ⅱ)cos sin cos sin AC A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭===22∴C II.163∴ (Ⅱ)∵由(Ⅰ)∵C 2∵tan 3A =,A 为三角形的内角,∴sin A = 由正弦定理得:sin sin AB BC C A= ∴BC ==8【解析】:(1) //m n ⇒ 2sinB(2cos 2B 2-1)=-3cos2B⇒2sinBcosB=-3cos2B ⇒ tan2B=- 3∵0<2B<π,∴2B=2π3,∴锐角B=π3(2)由tan2B =- 3 ⇒ B=π3或5π6①当B=π3时,已知b=2,由余弦定理,得: 4=a 2+c 2-ac≥2ac -ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)∵△∴△②4=a 2∴∵△∴△42sin (2)a 2+故S 5π12sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．又ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2633x -∴≤≤，即π212sin 233x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤≤，max min ()3()2f x f x ==，∴．（Ⅱ）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，14m <<∴，即m 的取值范围是(14)，． 6【解析】:(I)由已知得3sin 3sin 222A A a c b ⇒=⋅-+(II)而b 又S 所以7 =所以(Ⅱ)1-所以此时444428。

2023年高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形6函数y=Asinωx φ练习含解析

函数y＝A sin(ωx＋φ)考试要求 1.结合具体实例，了解y＝A sin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．知识梳理1．简谐运动的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ) (A>0，ω>0)，x≥0振幅周期频率相位初相A T＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ2.用“五点法”画y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点ωx＋φ0π2π3π22πx 0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωy＝A sin(ωx＋φ)0 A 0－A 0 3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径常用结论1．函数y＝A sin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．2．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx＋φ＝k π，k ∈Z 确定其横坐标．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)把y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 12x .( × )(2)将y ＝sin2x 的图象向右平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．( √ ) (3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0)的最大值为A ，最小值为－A .( × )(4)如果y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为T2.( √ )教材改编题1．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象，只要把y ＝sin3x 的图象( ) A ．向右平移π4个单位长度B ．向左平移π4个单位长度C ．向右平移π12个单位长度D ．向左平移π12个单位长度答案 C2．为了得到y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π8的图象，只需把y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8图象上的所有点的( ) A ．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变 B ．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 C ．纵坐标缩短到原来的13，横坐标不变D ．横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变答案 D3．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，A >0,0<φ<π，则这段曲线的函数解析式为__________________________．答案 y ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]解析从题图中可以看出，从6～14时的图象是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期，所以A ＝12×(30－10)＝10，b ＝12×(30＋10)＝20，又12×2πω＝14－6，所以ω＝π8.又π8×10＋φ＝2k π，k ∈Z ，0<φ<π，所以φ＝3π4，所以y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14].题型一函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例1 (1)(2021·全国乙卷)把函数y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象，则f (x )等于( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－7π12B ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π12C ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π12D ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π12 答案 B解析依题意，将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象向左平移π3个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f (x )的图象，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――→将其图象向左平移π3个单位长度y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12的图象―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――→所有点的横坐标扩大到原来的2倍f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π12的图象．(2)(2022·天津二中模拟)将函数y ＝sin2x 的图象向左平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤φ<π2个单位长度后，得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，则φ等于( )A.π12 B.π6 C.π3 D.5π3答案 C解析 y ＝sin2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2. 将函数y ＝sin2x 的图象向左平移φ个单位长度后，得到函数y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋φ－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ－π2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由题意知2φ－π2＝π6＋2k π(k ∈Z )，则φ＝π3＋k π(k ∈Z )，又0≤φ<π2，所以φ＝π3.教师备选1．要得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，可以把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π12个单位长度答案 D解析函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋π6 ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6，所以只需将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位长度就可以得到y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象．2．(2020·江苏)将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是________．答案 x ＝－5π24解析将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移π6个单位长度，所得图象的函数解析式为y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π12.令2x －π12＝k π＋π2，k ∈Z ，得对称轴的方程为x ＝k π2＋7π24，k ∈Z ，分析知当k ＝－1时，对称轴为直线x ＝－5π24，与y 轴最近．思维升华 (1)由y ＝sin ωx 的图象到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的变换：向左平移φω(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度．(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．跟踪训练 1 (1)(多选)(2020·天津改编)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.下列结论正确的是( )A ．f (x )的最小正周期为2πB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2是f (x )的最大值C ．把函数y ＝sin x 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y ＝f (x )的图象D ．把函数y ＝f (x )图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3的图象答案 AC解析 T ＝2π1＝2π，故A 正确．当x ＋π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝π6＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，故B 错误．y ＝sin x 的图象―――――――――――――――――――――――――――――→向左平移π3个单位长度y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，故C 正确．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3图象上所有点的――――――――――――――――――――――――――――――――――→横坐标伸长到原来的3倍纵坐标不变g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫13x ＋π3的图象，故D错误．(2)(2022·开封模拟)设ω>0，将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象与原图象重合，则ω的最小值为( ) A ．3B ．6C ．9D ．12 答案 D解析将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象与原图象重合，故π6为函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的周期，即2k πω＝π6(k ∈N *)，则ω＝12k (k ∈N *)，故当k ＝1时，ω取得最小值12.题型二由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 (1)(2022·安徽芜湖一中模拟)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的大致图象如图所示，将函数f (x )的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再向左平移π2个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2＋3k π，3k π(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π，3k π＋3π2(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π4＋3k π，－π4＋3k π(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋3k π，5π4＋3k π(k ∈Z ) 答案 C 解析依题意，⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝1，－A ＋b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，b ＝－1，故f (x )＝2cos(ωx ＋φ)－1，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－1，∴T 4＝π3－π12＝π4，故T ＝π＝2πω，则ω＝2；∴2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋φ－1＝1，故π6＋φ＝2k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，故φ＝－π6，∴f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1；将函数f (x )的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，得到y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －π6－1，再向左平移π2个单位长度，得到g (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3－π6－1＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π6－1，令－π＋2k π≤23x ＋π6≤2k π(k ∈Z )，故－7π4＋3k π≤x ≤－π4＋3k π(k ∈Z )，故函数g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π4＋3k π，－π4＋3k π(k ∈Z )．(2)(2021·全国甲卷)已知函数f (x )＝2cos (ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝______.答案－ 3解析由题意可得，34T ＝13π12－π3＝3π4，∴T ＝π，ω＝2πT＝2，当x ＝13π12时，ωx ＋φ＝2×13π12＋φ＝2k π，k ∈Z ，∴φ＝2k π－136π(k ∈Z )．令k ＝1可得φ＝－π6，据此有f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π2－π6＝2cos 5π6＝－ 3.教师备选1．(2022·天津中学月考)把函数f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π4个单位长度，得到函数g (x )的图象，已知函数g (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f (x )等于( )A ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3 B ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6C ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3答案 D解析先根据函数图象求函数g (x )＝A sin(ωx ＋φ)的解析式，由振幅可得A ＝1，显然T 4＝π3－π12＝π4，所以T ＝π，所以2πω＝π，所以ω＝2，所以g (x )＝sin(2x ＋φ)，再由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，由|φ|<π2可得φ＝－π6，所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，反向移动先向左平移π4个单位长度可得sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，再将横坐标伸长到原来的2倍可得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.2.已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG (点G 是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f (1)＝________.答案－ 3解析由题意得，A ＝3，T ＝4＝2πω，ω＝π2.又因为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数，所以φ＝π2＋k π，k ∈Z ，由0<φ<π，取k ＝0，则φ＝π2，所以f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π2，所以f (1)＝－ 3.思维升华确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A ，b .确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，b ＝M ＋m2.(2)求ω.确定函数的最小正周期T ，则ω＝2πT.(3)求φ，常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．跟踪训练2 (1)(2020·全国Ⅰ改编)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6在[－π，π]上的图象大致如图，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ＋π6B ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π6C ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x －π6D ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋π6答案 B解析由图象知π<T <2π，即π<2π|ω|<2π，所以1<|ω|<2.因为图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π9，0，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π9ω＋π6＝0，所以－4π9ω＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，所以ω＝－94k －34，k ∈Z .因为1<|ω|<2，故k ＝－1，得ω＝32，所以f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π6.(2)(2022·张家口市第一中学模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则ω＝________，为了得到偶函数y ＝g (x )的图象，至少要将函数y ＝f (x )的图象向右平移________个单位长度．答案π86 解析由图象可知，函数f (x )的最小正周期为T ＝2×[6－(－2)]＝16， ∴ω＝2π16＝π8，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 8＋φ，由于函数f (x )的图象过点(－2,0)且在x ＝－2附近单调递增， ∴－2×π8＋φ＝2k π(k ∈Z )，可得φ＝2k π＋π4(k ∈Z )，∵－π2<φ<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 8＋π4，假设将函数f (x )的图象向右平移t 个单位长度可得到偶函数g (x )的图象，且g (x )＝f (x －t )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8x －t ＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8x －πt 8＋π4，∴－πt 8＋π4＝π2＋k π(k ∈Z )，解得t ＝－2－8k (k ∈Z )，∵t >0，当k ＝－1时，t 取最小值6.题型三三角函数图象、性质的综合应用命题点1 图象与性质的综合应用例3 (2022·衡阳模拟)若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且其图象向左平移π6个单位长度后所得图象对应的函数g (x )为偶函数，则f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称 C ．关于直线x ＝－π6对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0对称答案 D解析依题意可得ω＝2ππ＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)，所以f (x )的图象向左平移π6个单位长度后所得图象对应的函数为g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，又函数g (x )为偶函数，所以π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，解得φ＝π6＋k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由2x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝π6＋k π2，k ∈Z ，所以f (x )图象的对称轴为x ＝π6＋k π2，k ∈Z ，排除A ，C ，由2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，得x ＝－π12＋k π2，k ∈Z ，则f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋k π2，0，k ∈Z ，排除B ，当k ＝1时，－π12＋π2＝5π12，故D 正确．命题点2 函数零点(方程根)问题例4 已知关于x 的方程2sin 2x －3sin2x ＋m －1＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是____________．答案 (－2，－1)解析方程2sin 2x －3sin2x ＋m －1＝0可转化为m ＝1－2sin 2x ＋3sin2x ＝cos2x ＋3sin2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.设2x ＋π6＝t ，则t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，13π6，∴题目条件可转化为m 2＝sin t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，13π6有两个不同的实数根．∴y ＝m 2和y ＝sin t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，13π6的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，m 2的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12，故m 的取值范围是(－2，－1)．延伸探究本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m 的取值范围是_____．答案 [－2,1)解析同例题知，m 2的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12， ∴－2≤m <1，∴m 的取值范围是[－2,1)．命题点3 三角函数模型例5 (多选)(2022·佛山一中月考)摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转t 分钟，当t ＝15时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法中，正确的为( )A ．摩天轮离地面最近的距离为4米B ．若旋转t 分钟后，游客距离地面的高度为h 米，则h ＝－60cosπ15t ＋68 C ．若在t 1，t 2时刻，游客距离地面的高度相等，则t 1＋t 2的最小值为30 D ．∃t 1，t 2∈[0,20]，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米答案 BC解析由题意知，摩天轮离地面最近的距离为128－120＝8(米)，故A 不正确；t 分钟后，转过的角度为π15t ，则h ＝60－60cosπ15t ＋8＝－60cos π15t ＋68，故B 正确； h ＝－60cosπ15t ＋68，周期为2ππ15＝30，由余弦型函数的性质可知，若t 1＋t 2取最小值，则t 1，t 2∈[0,30]，又高度相等，则t 1，t 2关于t ＝15对称，则t 1＋t 22＝15，则t 1＋t 2＝30，故C 正确；令0≤π15t ≤π，解得0≤t ≤15，令π≤π15t ≤2π，解得15≤t ≤30，则h 在t ∈[0,15]上单调递增，在t ∈[15,20]上单调递减，当t ＝15时，h max ＝128，当t ＝20时，h ＝－60cosπ15×20＋68＝98>90，所以h ＝90在t ∈[0,20]只有一个解，故D 不正确．教师备选(多选)(2022·福州模拟)如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O 距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计时，则( )A ．点P 第一次到达最高点需要20秒B ．当水轮转动155秒时，点P 距离水面2米C ．当水轮转动50秒时，点P 在水面下方，距离水面2米D ．点P 距离水面的高度h (米)与t (秒)的函数解析式为h ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t ＋π3＋2答案 ABC解析设点P 距离水面的高度h (米)和时间t (秒)的函数解析式为h ＝A sin(ωt ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧h max ＝A ＋B ＝6，h min＝－A ＋B ＝－2，T ＝2πω＝60，h 0＝A sin ω·0＋φ＋B ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝4，B ＝2，ω＝2πT ＝π30，φ＝－π6，故h ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π30t －π6＋2.故D 错误；对于A ，令h ＝6，即h ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π6＋2＝6，解得t ＝20，故A 正确；对于B ，令t ＝155，代入h ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π6＋2，解得h ＝2，故B 正确；对于C ，令t ＝50，代入h ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π6＋2，解得h ＝－2，故C 正确．思维升华 (1)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．跟踪训练3 (1)(多选)(2022·青岛模拟)已知函数f (x )＝cos2x cos φ－sin2x sin φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则下列说法正确的是( )A ．直线x ＝512π是函数f (x )的图象的一条对称轴B ．函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上单调递减C ．函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度可得到y ＝cos2x 的图象D ．函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－1答案 ABD解析 ∵f (x )＝cos2x cos φ－sin2x sin φ＝cos(2x ＋φ)的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，∴2×π6＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴φ＝π6＋k π，k ∈Z .∵0<φ<π2，∴φ＝π6.则f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∵f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×5π12＋π6＝cosπ＝－1，∴直线x ＝512π是函数f (x )的图象的一条对称轴，故A 正确；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，∴函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上单调递减，故B 正确；函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，故C 错误；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， ∴函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为cosπ＝－1，故D 正确．(2)(多选)(2022·西南大学附中模拟)水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点A (3，－33)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设点P 的坐标为(x ，y )，其纵坐标满足y ＝f (t )＝R sin(ωt ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫t ≥0，ω>0，|φ|<π2，则下列叙述正确的是( )A ．水斗作周期运动的初相为－π3B ．在水斗开始旋转的60秒(含)中，其高度不断增加C ．在水斗开始旋转的60秒(含)中，其最高点离平衡位置的纵向距离是3 3D ．当水斗旋转100秒时，其和初始点A 的距离为6 答案 AD解析对于A ，由A (3，－33)，知R ＝32＋－332＝6，T ＝120，所以ω＝2πT ＝π60；当t ＝0时，点P 在点A 位置，有－33＝6sin φ，解得sin φ＝－32，又|φ|<π2，所以φ＝－π3，故A 正确；对于B ，可知f (t )＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫π60t －π3，当t ∈(0,60]，π60t －π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π3，2π3，所以函数f (t )先增后减，故B 错误；对于C ，当t ∈(0,60]， π60t －π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π3，2π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π60t －π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，1，所以点P 到x 轴的距离的最大值为6，故C 错误；对于D ，当t ＝100时，π60t －π3＝4π3，P 的纵坐标为y ＝－33，横坐标为x ＝－3，所以|PA |＝|－3－3|＝6，故D 正确．课时精练1．函数f (x )＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的振幅、初相分别是( )A ．－2，π4B ．－2，－π4C ．2，π4D ．2，－π4答案 C解析振幅为2，当x ＝0时，φ＝π4，即初相为π4.2．将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝sin2x B ．g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4C ．g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D ．g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4 答案 C解析向右平移π4个单位长度后得，g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.3．(2022·苏州模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，将其图象向左平移π3个单位长度后对应的函数为偶函数，则f⎝ ⎛⎭⎪⎫π6等于( ) A ．－12B.32C ．1 D.12答案 D解析因为函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π，所以ω＝2ππ＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，图象向左平移π3个单位长度后所得函数为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋φ，因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋φ是偶函数，所以2π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，因为|φ|<π2，所以k ＝0，φ＝－π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6－π6＝sin π6＝12. 4．(2022·天津五十七中月考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，将f (x )的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍(纵坐标不变)，再把所得的图象沿x 轴向左平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的一个单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π3，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π8D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2答案 A解析根据函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象，可得A ＝1， 12·2πω＝2π3－π6， ∴ω＝2.结合“五点法”作图可得2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 将f (x )的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍(纵坐标不变)，可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图象．再把所得的图象沿x 轴向左平移π3个单位长度，得到函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3的图象．令2k π－π2≤12x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得4k π－5π3≤x ≤4k π＋π3，k ∈Z ，可得函数g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－5π3，4k π＋π3，k ∈Z ，令k ＝0，可得一个单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π3，π3. 5．(多选)如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数，给出下列函数中是“互为生成”函数的是( ) A ．f (x )＝sin x ＋cos x B ．f (x )＝2(sin x ＋cos x ) C ．f (x )＝sin x D ．f (x )＝2sin x ＋ 2 答案 AD解析 f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4与f (x )＝2sin x ＋2经过平移后能够重合． 6．(多选)(2022·深圳模拟)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为曲线E ，则下列结论中正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0是曲线E 的一个对称中心 B ．若x 1≠x 2，且f (x 1)＝f (x 2)＝0，则|x 1－x 2|的最小值为π2C ．将曲线y ＝sin2x 向右平移π3个单位长度，与曲线E 重合D ．将曲线y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，与曲线E 重合答案 BD解析函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为曲线E ，令x ＝－π12，求得f (x )＝－1，为最小值，故f (x )的图象关于直线x ＝－π12对称，故A 错误；若x 1≠x 2，且f (x 1)＝f (x 2)＝0，则|x 1－x 2|的最小值为T 2＝12×2π2＝π2，故B 正确；将曲线y ＝sin2x 向右平移π3个单位长度，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图象，故C 错误；将曲线y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，与曲线E 重合，故D 正确．7．(2022·北京丰台区模拟)将函数f (x )＝cos2x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象．若函数g (x )的图象关于原点对称，则φ的一个取值为________．(答案不唯一) 答案π4解析将函数f (x )＝cos2x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，可得g (x )＝cos(2x ＋2φ)，由函数g (x )的图象关于原点对称，可得g (0)＝cos2φ＝0，所以2φ＝π2＋k π，k ∈Z ，φ＝π4＋k π2，k ∈Z ，当k ＝0时，φ＝π4.8．(2022·济南模拟)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则为了得到曲线C 1，首先要把C 2上各点的横坐标变为原来的________倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右至少平移______个单位长度．(本题所填数字要求为正数) 答案 2π6解析 ∵曲线C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·12x ＋2π3－π6，∴先将曲线C 2上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·12x ＋2π3向右至少平移π6个单位长度．9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2的最小正周期是π，且当x ＝π6时，f (x )取得最大值2. (1)求f (x )的解析式；(2)作出f (x )在[0，π]上的图象(要列表)；(3)函数y ＝f (x )的图象可由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到？解 (1)因为函数f (x )的最小正周期是π，所以ω＝2. 又因为当x ＝π6时，f (x )取得最大值2，所以A ＝2，同时2×π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，因为－π2<φ<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)因为x ∈[0，π]，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，13π6.列表如下，2x ＋π6π6 π2 π 3π2 2π 13π6 x 0 π6 5π12 2π3 11π12 π f (x )12－21描点、连线得图象．(3)将y ＝sin x 的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，再将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，再将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6上所有点的纵坐标伸长2倍(横坐标不变)，得到f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．10．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，－12，n ＝(3cos x ，cos2x )，函数f (x )＝m ·n .(1)求函数f (x )的最大值及最小正周期； (2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域．解 (1) f (x )＝m ·n ＝3sin x cos x －12cos 2x＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以函数的最大值为1，最小正周期为T ＝2π|ω|＝2π2＝π. (2)由(1)得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位长度后得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．因此g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.11．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象如图，则f (x )的解析式和S ＝f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2020)＋f (2021)＋f (2022)＋f (2023)的值分别为( )A ．f (x )＝12sin2πx ＋1，S ＝2023B ．f (x )＝12sin2πx ＋1，S ＝202312C ．f (x )＝12sin π2x ＋1，S ＝202412D ．f (x )＝12sin π2x ＋1，S ＝2024答案 D解析由图象知⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝32，－A ＋b ＝12，又T ＝4，∴ω＝π2，b ＝1，A ＝12，∴f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ＋1. 由f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32得12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＋1＝32， ∴cos φ＝1.∴φ＝2k π，k ∈Z ，取k ＝0得φ＝0. ∴f (x )＝12sin π2x ＋1，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin0＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π2＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12sinπ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin3π2＋1＝4. 又2024＝4×506， ∴S ＝4×506＝2024.12．(多选)关于函数f (x )＝2cos 2x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2－1的描述正确的是( )A ．其图象可由y ＝2sin2x 的图象向左平移π8个单位长度得到B ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增C ．f (x )在[0，π]上有3个零点D ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最小值为－ 2 答案 AD解析 f (x )＝2cos 2x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2－1＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，对于A ，由y ＝2sin2x 的图象向左平移π8个单位长度，得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故选项A 正确；对于B ，令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π8上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，π2上单调递减，故选项B 不正确；对于C ，令f (x )＝0，得2x ＋π4＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π8，k ∈Z ，因为x ∈[]0，π，所以k ＝1，x ＝38π；k ＝2，x ＝78π，所以f (x )在[0，π]上有2个零点，故选项C 不正确；对于D ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，所以2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22，所以f (x )∈[]－2，1，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最小值为－2，故选项D 正确．13．(2022·上海市吴淞中学月考)定义运算⎪⎪⎪⎪a 1a 3 a 2a 4＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪31 sin ωx cos ωx (ω>0)的图象向左平移2π3个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则ω的最小值是________．答案 12解析 f (x )＝3cos ωx －sin ωx＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3，图象向左平移2π3个单位长度得，g (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋2πω3－π3， g (x )为奇函数，则2πω3－π3＝k π，k ∈Z ，解得ω＝12＋32k ，k ∈Z ，所以ω的最小值为12.14．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9000元，9月份价格最低，为5000元，则7月份的出厂价格为________元．答案 6000解析作出函数简图如图．三角函数模型为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意知A ＝12×(9000－5000)＝2000，B ＝12×(9000＋5000)＝7000， T ＝2×(9－3)＝12，∴ω＝2πT ＝π6.将(3,9000)看成函数图象的第二个特殊点，则有π6×3＋φ＝π2，∴φ＝0，故f (x )＝2000sinπ6x ＋7000(1≤x ≤12，x ∈N *)． ∴f (7)＝2000×sin7π6＋7000＝6000(元)．故7月份的出厂价格为6000元．15．(多选)将函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2(ω>0)的图象向右平移π2个单位长度后得到函数g (x )的图象，且g (0)＝－1，则下列说法正确的是( ) A ．g (x )为奇函数B ．g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝0C ．当ω＝5时，g (x )在(0，π)上有4个极值点D ．若g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π5上单调递增，则ω的最大值为5答案 BCD解析由题意得g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ2－π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ2.因为g (0)＝－1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫－ωπ2＝－1，所以ωπ2＝2k π＋π2，ω＝4k ＋1，k ∈N ，从而g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －2k π－π2＝－cos ωx ，显然为偶函数，故A 错误；g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－cos4k ＋1π2＝0，故B 正确；当ω＝5时，g (x )＝－cos5x ，令g (x )＝－cos5x ＝±1得 5x ＝k π，x ＝k π5，k ∈Z .因为0<x <π，所以x 的值为π5，2π5，3π5，4π5，即函数g (x )在(0，π)上有4个极值点，故C 正确；若函数g (x )＝－cos ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π5上单调递增，则πω5≤π，即0<ω≤5，故D 正确．16．(2022·深圳模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，其中A >0，ω>0,0<φ<π，函数f (x )图象上相邻的两个对称中心之间的距离为π4，且在x ＝π3处取到最小值－2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )的单调递增区间；(3)若关于x 的方程g (x )＝m ＋2在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，9π8上有两个不同的实根，求实数m 的取值范围．解 (1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，其中A >0，ω>0,0<φ<π，由题知函数f (x )的最小正周期为π2＝2πω，解得ω＝4，又函数f (x )在x ＝π3处取到最小值－2，则A ＝2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－2，即4π3＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z ，令k ＝0可得φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. (2)函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再向左平移π6个单位长度可得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π6＝2cos 2x ，令－π＋2k π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，解得－π2＋k π≤x ≤k π，k ∈Z ，∴g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋k π，k π(k ∈Z )． (3)∵方程g (x )＝m ＋2在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，9π8上有两个不同的实根，作出函数g (x )＝2cos 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，9π8的图象，由图可知－2<m＋2≤2或m＋2＝2，解得－4<m≤2－2或m＝0.∴m的取值范围为－4<m≤2－2或m＝0.31。

2022届高三数学(理)一轮总复习练习-第三章三角函数、解三角形 3-2 Word版含答案

课时规范训练[A 级基础演练]1．已知α是其次象限角，sin α＝513，则cos α＝( ) A ．－1213 B ．－513 C.513D ．1213解析：选A.由于α为其次象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1213.2．已知sin(θ＋π)<0，cos (θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( ) A ．sin θ<0，cos θ>0 B ．sin θ>0，cos θ<0 C ．sin θ>0，cos θ>0D ．sin θ<0，cos θ<0解析：选B.∵sin (θ＋π)<0，∴－sin θ<0，sin θ>0. ∵cos(θ－π)>0，∴－cos θ>0，cos θ<0. 3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( )A ．－25 B ．－15 C.15D ．25解析：选C.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，故cos α＝15. 4．(2021·成都外国语学校月考)已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( )A.45 B ．－45 C.35D ．－35解析：选B.tan(α－π)＝34⇒tan α＝34. 又由于α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以α为第三象限的角，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝－45.5．已知f (α)＝sin （π－α）cos （2π－α）cos （－π－α）tan α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3的值为( )A.12 B ．－13 C ．－12D ．13 解析：选C.∵f (α)＝sin α·cos α－cos αtan α＝－cos α，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3 ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π＋π3＝－cos π3＝－12.6．若tan α＝2，则2sin 2α＋1sin 2α的值为( )A.53 B ．－134 C.135D ．134解析：选D.由于tan α＝2，所以2sin 2α＋1sin 2α＝3sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＝3tan 2α＋12tan α＝3×22＋12×2＝134.故选D. 7．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝．解析：由sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，两边平方得：1＋2sin θcos θ＝4(1－2sin θcos θ)，故sin θcos θ＝310，∴sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝sin θcos θ＝310.答案：3108．若cos (π－α)＝－13，则cos （2π－α）·sin （π＋α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan （3π－α）的值为．解析：由cos (π－α)＝－13，得cos α＝13. 则cos （2π－α）·sin （π＋α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan （3π－α）＝cos α·（－sin α）cos α·（－tan α）＝cos α＝13. 答案：139．化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos （π＋α）＋sin （π－α）·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin （π＋α）的值．解：原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α（－sin α）－sin α＝－sin α＋sin α＝0.10．若f (cos x )＝cos 2x ，求f (sin 15°)的值．解：f (sin 15°)＝f (cos 75°)＝cos 150°＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－32. [B 级力量突破]1．若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在( ) A ．第一象限 B ．其次象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.∵△ABC 是锐角三角形，则A ＋B >π2， ∴A >π2－B >0，B >π2－A >0， ∴sin A >sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ，sin B >sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝cos A ，∴cos B －sin A <0，sin B －cos A >0， ∴点P 在其次象限，选B.2．已知函数f (x )＝αsin (πx ＋α)＋b cos (πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 016)的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3D ．－3解析：选C.∵f (4)＝a sin (4π＋α)＋b cos (4π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 016)＝a sin (2 016π＋α)＋b cos (2 016π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，即f (2022)＝3.3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝14，则sin 2x 的值为( )A.1516 B ．916 C.78D ．±1516解析：选C.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝sin π4cos x －cos π4sin x ＝22cos x －22sin x ＝14，∴cos x －sin x ＝1422＝24，两边平方得cos 2x ＋sin 2x －2sin x cos x ＝1－sin 2x ＝18，∴sin 2x ＝78.4．(2021·新疆阿勒泰一模)已知α为其次象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝．解析：原式＝cos α sin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin α·sin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α1|cos α|＋sin α·1|sin α|，由于α是其次象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α1|cos α|＋sin α·1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0.答案：05．已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0(a ∈R )的两个根，求cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ的值．解：由已知原方程的判别式Δ≥0，即(－a )2－4a ≥0， ∴a ≥4或a ≤0.又⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝a sin θcos θ＝a ，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，则a 2－2a －1＝0，从而a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)，因此sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－ 2. ∴cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin 3θ＋cos 3θ ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ)＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.6．已知sin (3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α.解：由已知得sin α＝2cos α.(1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)由已知得tan α＝sin αcos α＝2，∴sin 2α＋sin 2α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan α1＋tan 2α＝22＋2×21＋22＝85.。

湘教版高考数学一轮总复习课后习题第五章三角函数、解三角形课时规范练23

课时规范练23《素养分级练》P307基础巩固组1.函数y=2cos 2x+π6的部分图象大致是( )答案:A解析:由y=2cos 2x+π6可知,函数的最大值为2,排除D;因为函数图象过点π6,0,排除B;又因为函数图象过点-π12,2,排除C,故选A.2.将函数y=sin 2x 的图象向右平移φ个单位长度后,得到函数y=cos 2x+π6的图象,则φ的值可以是 ( )A.π12B.π6C.π3D.2π3答案:D解析:y=cos2x+π6=sin2x+π6+π2=sin2x+2π3,将函数y=sin2x的图象向右平移φ个单位长度后,得到函数y=sin[2(x-φ)]=sin(2x-2φ)的图象,由题意可得2π3=2kπ-2φ(k∈Z),可得φ=kπ-π3(k∈Z),当k=1时,φ=2π3,故选D.3.(黑龙江大庆高三期末)某智能降噪耳机工作的原理是利用芯片生成与噪音的相位相反的声波,通过两者叠加抵消掉噪音,如图所示,若噪音的声波曲线的解析式为y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,0<φ<2π)的振幅为1,周期为2,初相为π2,则用来降噪的声波曲线的解析式是( )A.y=sin πxB.y=-cos πxC.y=-sin πxD.y=cos πx答案:B解析:由题意知,A=1,ω=π,φ=π2,噪音的声波曲线的解析式为y=sinπx+π2,而降噪声波曲线可以看成将噪音声波曲线向左平移半个周期得到的曲线,故降噪声波曲线的解析式为y=sinπx+π+π2=-cosπx,故选B.4.(四川内江高三模拟)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2,将函数f(x)的图象向左平移3π4个单位长度,得到函数g(x)的部分图象如图所示,则fπ3=( )A.12B.-12C.√32D.-√32答案:A解析:平移不改变振幅和周期,所以由图象可知A=1,2πω×34=π6--7π12=3π4,解得ω=2,函数f(x)的图象向左平移3π4个单位长度,得g(x)=cos 2x+3π4+φ.当x=π6时,2×π6+3π2+φ=3π2+2kπ,k∈Z,且|φ|<π2,得φ=-π3,所以f(x)=cos 2x-π3,fπ3=cos π3=12.故选A.5.(陕西咸阳高三二模)如图,A,B 是函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的图象与x 轴的两个交点,若|OB|-|OA|=4π3,则ω=( )A.1B.12C.2D.23答案:B解析:由图象可知,点(0,1)在函数图象上,所以2sinφ=1,因为|φ|<π2,所以φ=π6,f(x)=2sin ωx+π6.令2sin ωx+π6=0,解得ωx+π6=kπ,k∈Z,x=kπ-π6ω,k ∈Z,因为ω>0,所以当k=0时,解得x A =-π6ω,当k=1时,x B =5π6ω,所以|OB|-|OA|=5π6ω−π6ω=4π3,解得ω=12,故选B.6.(多选)(海南海口高三月考)将函数f(x)=√3cos ωx+π3-1的图象向左平移π4个单位长度得到函数g(x)的图象与f(x)图象重合,则ω的值可以为( ) A.-4 B.8 C.12 D.16答案:BD解析:由题意得g(x)=√3cos ωx+π4+π3-1=√3cos ωx+ωπ4+π3-1,由于函数g(x)的图象与f(x)图象重合,故ωπ4=2kπ(k∈Z),ω=8k(k∈Z).当k=1时,ω=8;当k=2时,ω=16.由于k 取整数,故ω=8k 不会取到-4或12.故选BD.7.(多选)(福建宁德高三期中)函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图所示,则( )A.ω=3B.函数f(x)在3π5,14π5上单调递增C.φ=6π5D.函数f(x)图象的对称轴为直线x=kπ3−π15(k ∈Z)答案:AD解析:由图象知函数的周期T=2×13π30−π10=2π3=2πω,解得ω=3,所以A 正确;由题图得3×π10+φ=2kπ+π2(k ∈Z),因为0≤φ<2π,所以φ=π5,所以C 错误;f(x)=cos 3x+π5,当2kπ≤3x+π5≤2kπ+π(k∈Z)时,函数f(x)单调递减,取k=1,得f(x)的一个单调递减区间为3π5,14π15,所以B 错误;函数f(x)图象的对称轴为直线3x+π5=kπ(k∈Z),即x=kπ3−π15(k ∈Z),所以D 正确.故选AD.8.设函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2在一个周期内的图象经过A-5π18,0,B -π9,-1,Cπ9,0,D2π9,1这四个点中的三个点,则φ= . 答案:-π6解析:因为-π9--5π18=122π9--π9=π6,所以f(x)在一个周期内的图象不可能经过点C,则T=π6×4=2πω,解得ω=3.因为f2π9=1,所以2π9×3+φ=π2+2kπ(k∈Z),φ=-π6+2kπ(k∈Z).又|φ|<π2,所以φ=-π6.9.(山东济南高三月考)已知函数f(x)=cos 2x+sin 2x-π2,将函数f(x)的图象先向右平移π12个单位长度,再向下平移1个单位长度得到函数g(x)的图象,则函数g(x)图象的对称轴为直线 . 答案:x=kπ2+π12(k ∈Z)解析:f(x)=cos 2x+sin 2x-π2=2cos 2x=1+cos2x,由题意可得g(x)=cos2x-π12=cos 2x-π6,令2x-π6=kπ(k∈Z),解得x=kπ2+π12(k ∈Z).综合提升组10.(山东东营高三期中)将函数y=asin x+bcos x 图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的12,然后将所得图象向左平移π6个单位长度,可得函数y=2cos 2x+π6的图象,则a+b=( )A.2B.0C.√3+1D.1-√3答案:C解析:先将y=2cos 2x+π6的图象向右平移π6个单位长度,得y=2cos 2x-π6+π6=2cos 2x-π6,然后纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,得y=2cosx-π6=2√32cosx+12sinx =sinx+√3cosx,故a=1,b=√3,所以a+b=1+√3,故选C.11.(多选)(河北保定高三模拟)已知P(1,2√3)是函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2图象的一个最高点,B,C 是与P 相邻的两个最低点.若△PBC 为等边三角形,则下列说法正确的是( ) A.A=2B.f(x)的最小正周期为8C.φ=π4D.将f(x)图象上所有点向右平移1个单位长度后得到g(x)的图象,(2,0)是g(x)图象的一个对称中心答案:BC解析:设BC 的中点为D,与P 相邻且函数f(x)的图象与x 轴的交点为E,F,即E,F 为函数f(x)图象的两个对称中心,连接PD,则由题意知A=2√3,故选项A 错误;易知|PD|=4√3,∠BPD=π6,所以|BD|=4,|PB|=|BC|=8,则f(x)的最小正周期为8,故选项B 正确;因为ω=2π8=π4,则π4×1+φ=π2+2kπ,k∈Z,又|φ|<π2,所以φ=π4,故选项C 正确;因为f(x)=2√3sin π4x+π4,则将f(x)图象上所有点向右平移1个单位长度后得到g(x)=2√3sin π4x 的图象,易知(2,0)不是g(x)图象的对称中心,故选项D 错误.故选BC.12.如图是一个半径为R 的水车,一个水斗从点A(1,-√3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时6秒.经过t 秒后,水斗旋转到P 点,设点P 的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)t≥0,ω>0,|φ|<π2.若当t ∈[0,m)时,函数f(t)恰有2个极大值,则m 的取值范围是 .答案:172,292解析:根据点A 的坐标(1,-√3)可得圆周的半径R=√1+3=2.又旋转一周用时6秒,即周期T=6,从而得ω=2πT=π3,∴f(t)=2sinπ3t+φ.又当t=0时,在函数图象上y=-√3,∴f(0)=2sin π3×0+φ=-√3,即sinφ=-√32. 又|φ|<π2,∴φ=-π3,∴f(t)=2sinπ3t-π3.根据三角函数的性质,f(t)在[0,m)内恰有两个极大值时,有5π2<π3m-π3≤9π2,解得172<m≤292.创新应用组13.(浙江金华高三月考)已知函数f(x)=cos 2x 图象向右平移π12个单位长度后得到g(x)的图象.若对于任意的,n],使得f(-n|的最小值为 . 答案:π3解析:函数f(x)=cos2x 图象向右平移π12个单位长度后得到g(x)=cos 2x-π6的图象.因为x 1∈-π3,π6,所以2x 1∈-2π3,π3,所以f(x 1)=cos2x 1∈-12,1.因为对于任意的,n],使得f(x 1)=g(x 2),所以g(-n|取最小值,只需函数g(x)在x ∈[m,n]上单调且值域为-12,1即可.由2kπ-2π3≤2x -π6≤2kπ(k∈Z)可得kπ-π4≤-n|的最小值为-π4−π12=π3.。

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