广东省广州市第二中学2020-2021学年高一上学期期末数学试卷
2020-2021学年广东省广州二中高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．设集合A＝{1，4，x}，B＝{1，x2}且A∪B＝{1，4，x}，则满足条件的实数x的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．已知p：﹣2＜x＜2，q：﹣1＜x＜2，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．命题“∀x≥0，x3+x≥0”的否定是（）A．∀x＜0，x3+x＜0B．∀x＜0，x3+x≥0C．∃x≥0，x3+x＜0D．∃x≥0，x3+x≥04．设a＝log54，b＝（log53）2，c＝log45，则（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c5．已知sin（α﹣π）＝﹣，α∈（，），则cosα＝（）A．B．C．D．6．已知a＞0，b＞0，若不等式恒成立，则m的最大值等于（）A．10B．9C．8D．77．函数y＝tan x+sin x﹣|tan x﹣sin x|在区间内的图象是（）A．B．C．D．8．已知，，则cos2α＝（）A．B．C．D．二、多项选择题（共4小题）.9．下列说法中错误的是（）A．幂函数的图象不经过第四象限B．y＝x0的图象是一条直线C．若函数的定义域为{x|x＞2}，则它的值域为D．若函数y＝x2的值域为是{y|0≤y≤4}，则它的定义域一定是{x|﹣2≤x≤2}10．满足不等式sin x≥cos x，x∈[0，2π]的x的值可以是（）A．B．C．D．11．若函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法中错误的有（）A．若f（a）f（b）＞0，则不存在实数c∈[a，b]，使得f（c）＝0B．若f（a）f（b）＜0，则存在且只存在一个实数c∈[a，b]，使得f（c）＝0C．若f（a）f（b）＞0，则可能存在实数c∈[a，b]，使得f（c）＝0D．若f（a）f（b）＜0，则可能不存在实数c∈[a，b]，使得f（c）＝012．已知函数，为函数f（x）零点，直线为函数f（x）的对称轴，且f（x）在上单调，则ω不可能等于（）A．11B．9C．8D．6三、填空题（共4小题）.13．已知函数f（x）＝为R上的奇函数，则n的值为．14．已知x＜3，则的最大值为．15．函数y＝﹣sin2x﹣4cos x+6的值域是．16．已知λ∈R，函数f（x）＝，当λ＝2时，不等式f（x）＜0的解集是．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是．四、解答题（70分）17．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T﹣T a＝（T0﹣T a）•，其中T a表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20min，那么降温到35℃时，需要多长时间？18．已知函数f（x）＝ax2﹣4ax+b（a＞0）在区间[0，1]上有最大值1和最小值﹣2．（1）求a，b的值；（2）若在区间[﹣1，1]上，不等式f（x）＞﹣x+m恒成立，求实数m的取值范围．19．已知函数f（x）＝log a（a＞0，且a≠1）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并求函数的单调区间．20．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若函数，求函数g（x）的单调增区间．21．已知函数f（x）＝cos2x+sin x•cos x，其中x∈R．（1）求使f（x）≥的x的取值范围；（2）若函数g（x）＝，且对任意的0≤x1＜x2≤t，恒有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2）成立，求实数t的最大值．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．设集合A＝{1，4，x}，B＝{1，x2}且A∪B＝{1，4，x}，则满足条件的实数x的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：∵A＝{1，4，x}，∴x≠1，x≠4且x2≠1，得x≠±1且x≠4∵A∪B＝{1，4，x}，∴x2＝x或x2＝4，解之得x＝0或x＝±2满足条件的实数x有0，2，﹣2共3个故选：C．2．已知p：﹣2＜x＜2，q：﹣1＜x＜2，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：已知p：﹣2＜x＜2，q：﹣1＜x＜2；∴q⇒p；但p推不出q，∴p是q的必要非充分条件，故选：B．3．命题“∀x≥0，x3+x≥0”的否定是（）A．∀x＜0，x3+x＜0B．∀x＜0，x3+x≥0C．∃x≥0，x3+x＜0D．∃x≥0，x3+x≥0解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x≥0，x3+x＜0，故选：C．4．设a＝log54，b＝（log53）2，c＝log45，则（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c解：∵a＝log54＜log55＝1，b＝（log53）2＜（log55）2，c＝log45＞log44＝1，∴c最大，排除A、B；又因为a、b∈（0，1），所以a＞b，故选：D．5．已知sin（α﹣π）＝﹣，α∈（，），则cosα＝（）A．B．C．D．解：因为sin（α﹣π）＝﹣sinα＝﹣，可得sinα＝，又因为α∈（，），所以cosα＝﹣＝﹣．故选：A．6．已知a＞0，b＞0，若不等式恒成立，则m的最大值等于（）A．10B．9C．8D．7解：∵a＞0，b＞0，∴+≥⇔m≤+＝5++，由a＞0，b＞0得，+≥2＝4（当且仅当a＝b时取“＝”）．∴5++≥9．∴m≤9．故选：B．7．函数y＝tan x+sin x﹣|tan x﹣sin x|在区间内的图象是（）A．B．C．D．解：函数，分段画出函数图象如D图示，故选：D．8．已知，，则cos2α＝（）A．B．C．D．解：因为，所以﹣＜β﹣α＜0，π＜α+β＜，又，所以sin（β﹣α）＝﹣＝﹣，cos（β+α）＝﹣＝﹣；所以cos2α＝cos[（β+α）﹣（β﹣α）]＝cos（β+α）cos（β﹣α）+sin（β+α）sin（β﹣α）＝×（﹣）+（﹣）×（﹣）＝﹣．故选：D．二、多项选择题（共4小题）.9．下列说法中错误的是（）A．幂函数的图象不经过第四象限B．y＝x0的图象是一条直线C．若函数的定义域为{x|x＞2}，则它的值域为D．若函数y＝x2的值域为是{y|0≤y≤4}，则它的定义域一定是{x|﹣2≤x≤2}解：对于A，由幂函数的图象知，它不经过第四象限，所以A对；对于B，因为当x＝0时，x0无意，即在x＝0无定义，所以B错；对于C，函数的定义域为{x|x＞2}，则它的值域为{y|0＜y＜}，不是，所以C错；对于D，定义域不一定是{x|﹣2≤x≤2}，如{x|0≤x≤2}，所以D错．故选：BCD．10．满足不等式sin x≥cos x，x∈[0，2π]的x的值可以是（）A．B．C．D．解：由三角函数的图象知，当sin x≥cos x，x∈[0，2π]时，≤x≤，故B，C，D都可以，故选：BCD．11．若函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法中错误的有（）A．若f（a）f（b）＞0，则不存在实数c∈[a，b]，使得f（c）＝0B．若f（a）f（b）＜0，则存在且只存在一个实数c∈[a，b]，使得f（c）＝0C．若f（a）f（b）＞0，则可能存在实数c∈[a，b]，使得f（c）＝0D．若f（a）f（b）＜0，则可能不存在实数c∈[a，b]，使得f（c）＝0解：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是f（x）＝0的根．根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．所以，若f（a）•f（b）＞0，则不存在实数c∈[a，b]，使得f（c）＝0，不正确，可能有零点．如图，有两个零点，所以A不正确．若f（a）•f（b）＜0，则只存在一个实数c∈[a，b]，使得f（c）＝0，可能由多个零点．如图，所以B不正确；若f（a）•f（b）＞0，则有可能存在实数c∈[a，b]，使得f（c）＝0，如图：，有两个零点，所以C正确；若f（a）•f（b）＜0，一定存在实数c∈[a，b]，使得f（c）＝0，如图：所以D错误；故选：ABD．12．已知函数，为函数f（x）零点，直线为函数f（x）的对称轴，且f（x）在上单调，则ω不可能等于（）A．11B．9C．8D．6解：∵函数，为函数f（x）零点，直线为函数f（x）的对称轴，且f（x）在上单调，∴ω×（﹣）+φ＝kπ，k∈Z①，ω×+φ＝nπ+，n∈Z②，×≥﹣③．由①②可得ω＝2（n﹣k）+1，故ω为正奇数．由③可得，ω≤12，当ω＝11时，﹣+φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ＝﹣，此时f（x）在上不单调，不满足题意；当ω＝9时，﹣+φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ＝，此时f（x）在上单调，满足题意；故ω的最大值为9，则ω不可能等于11，6，8，故选：ACD．三、填空题（共4小题）.13．已知函数f（x）＝为R上的奇函数，则n的值为2．解：∵函数f（x）＝为R上的奇函数，∴f（0）＝0，即f（0）＝＝0，解得n＝2，故答案为：2．14．已知x＜3，则的最大值为﹣1．解：∵x＜3，∴x﹣3＜0，∴+x＝+（x﹣3）+3≤﹣2+3＝﹣1，当且仅当＝x﹣3即x＝1时取等号，故f（x）的最大值为﹣1，故答案为：﹣1．15．函数y＝﹣sin2x﹣4cos x+6的值域是[2，10]．解：函数y＝﹣sin2x﹣4cos x+6＝﹣（1﹣cos2x）﹣4cos x+6＝cos2x﹣4cos x+5＝（cos x﹣2）2+1，再根据cos x∈[﹣1，1]，可得当cos x＝1时，函数取得最小值为2，当cos x＝﹣1时，函数取得最大值为10，故函数的值域为[2，10]，故答案为：[2，10]．16．已知λ∈R，函数f（x）＝，当λ＝2时，不等式f（x）＜0的解集是{x|1＜x＜4}．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是（1，3]∪（4，+∞）．解：当λ＝2时函数f（x）＝，显然x≥2时，不等式x﹣4＜0的解集：{x|2≤x＜4}；x＜2时，不等式f（x）＜0化为：x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜2，综上，不等式的解集为：{x|1＜x＜4}．函数f（x）恰有2个零点，函数f（x）＝的草图如图：函数f（x）恰有2个零点，则1＜λ≤3或λ＞4．故答案为：{x|1＜x＜4}；（1，3]∪（4，+∞）．四、解答题（70分）17．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T﹣T a＝（T0﹣T a）•，其中T a表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20min，那么降温到35℃时，需要多长时间？解：由题意，40﹣24＝（88﹣24）•⇒h＝10则T﹣T a＝（T0﹣T a）•，将T0＝40，T a＝24，T＝35，代入T﹣T a＝（T0﹣Ta）•35﹣24＝（40﹣24）⇒t＝25，答：约需要25 min，可降温到35℃．18．已知函数f（x）＝ax2﹣4ax+b（a＞0）在区间[0，1]上有最大值1和最小值﹣2．（1）求a，b的值；（2）若在区间[﹣1，1]上，不等式f（x）＞﹣x+m恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）f（x）＝a（x2﹣4x）+b＝a（x﹣2）2+b﹣4a∵a＞0，∴函数图象开口向上，对称轴x＝2，∴f（x）在[0，1]递减；∴f（0）＝b＝1，且f（1）＝b﹣3a＝﹣2，∴a＝b＝1；（2）f（x）＞﹣x+m等价于x2﹣4x+1＞﹣x+m，即x2﹣3x+1﹣m＞0，要使此不等式在[﹣1，1]上恒成立，只需使函数g（x）＝x2﹣3x+1﹣m在[﹣1，1]上的最小值大于0即可．∵g（x）＝x2﹣3x+1﹣m在[﹣1，1]上单调递减，∴g（x）min＝g（1）＝﹣m﹣1，由﹣m﹣1＞0得，m＜﹣1．因此满足条件的实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）．19．已知函数f（x）＝log a（a＞0，且a≠1）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并求函数的单调区间．解：（1）∵f（x）＝log a（a＞0且a≠1），∴＞0，解得x＞1，或x＜﹣1，故函数f（x）的定义域（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），（2）∵f（﹣x）＝log a＝﹣log a＝﹣f（x），∴函数为奇函数，设＝u，则u＝1+，因为函数u在每一个区间上均为减函数，当a＞1是，函数y＝log a x为增函数，故函数f（x）为减函数，当0＜a＜1是，函数y＝log a x为减函数，故函数f（x）为增函数．20．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若函数，求函数g（x）的单调增区间．解：（1）函数＝2cos2（﹣x）﹣1＝cos2（﹣x）＝sin2x，所以函数f（x）的最小正周期为＝π．（2）＝sin2x﹣（2cos2x﹣1）﹣＝sin2x﹣cos2x﹣＝2sin（2x ﹣）﹣，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，所以函数g（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．21．已知函数f（x）＝cos2x+sin x•cos x，其中x∈R．（1）求使f（x）≥的x的取值范围；（2）若函数g（x）＝，且对任意的0≤x1＜x2≤t，恒有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2）成立，求实数t的最大值．解：（1）f（x）＝cos2x+sin x•cos x＝cos2x+sin2x＝sin（2x+），f（x）≥，即sin（2x+）≥，所以2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ≤x≤kπ+，k∈Z，即使f（x）≥的x的取值范围是[kπ，kπ+]，k∈Z．（2）令F（x）＝f（x）﹣g（x）＝sin（2x+）﹣sin（2x+）＝sin（2x+）﹣cos（2x+）＝sin2x，因为对任意的0≤x1＜x2≤t，恒有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2）成立，所以当x∈[0，t]时，F（x）＝sin2x为增函数，所以2t≤，解得t≤，所以实数t的最大值为．。
2020-2021学年广东省广州市番禺区仲元中学高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年广东省广州市番禺区仲元中学高一（上）期末数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）若集合A={x|x＞1}，B={x|x2-2x-3≤0}，则A∩B=（）A.（1，3]B.[1，3]C.[-1，1）D.[-1，+∞）2.（单选题，5分）函数f（x）= √1−x +log2（3x-1）的定义域为（）A. (13，1]B. (0，13)C. (−∞，13)D.（0，1]3.（单选题，5分）已知命题p：-1＜x＜2，q：|x|＜1，则p是q成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件4.（单选题，5分）设x，y为正数，则（x+y）（1x + 4y）的最小值为（）A.6B.9C.12D.155.（单选题，5分）如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）在一个周期内的图象，则其解析式是（）A.f（x）=3sin（x+ π3）B.f（x）=3sin（2x+ π3）C.f（x）=3sin（2x- π3）D.f（x）=3sin（2x+ π6）6.（单选题，5分）三个数a=log30.3，b=log32，c=12的大小顺序是（）A.a＜b＜cB.c＜a＜bC.a＜c＜bD.b＜c＜a7.（单选题，5分）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞），（x1≠x2），有f(x2)−f(x1)x2−x1＜0，且f（2）=0，则不等式xf（x）＜0的解集是（）A.（-2，2）B.（-2，0）∪（2，+∞）C.（-∞，-2）∪（0，2）D.（-∞，-2）∪（2，+∞）8.（单选题，5分）对于a，b∈R，定义运算“⊗”：a⊗b={a2−ab，a≤bb2−ab，a＞b，设f（x）=（2x-1）⊗（x-1），且关于x的方程f（x）=t（t∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A. (5−√34，1)B. (1，5+√34)C. (12，1)D.（1，2）9.（多选题，5分）下面选项中正确的有（）A.集合{1，2，3}的子集个数为7个B.“xy＞0”是“x＞0，y＞0”的充分不必要条件C.命题“∃x∈R，使得x2+x-1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x-1≥0”D.∃α，β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ成立10.（多选题，5分）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（）A.若a＞b，c＞d，则ac＞bdB.若a2+b2=1，则a+b≤√2C.若a＞b，c＞d，则a-d＞b-cD.若a＞0，则a+1a≥211.（多选题，5分）已知函数f（x）=sin（3x+φ）（- π2＜φ＜π2）的图象关于直线x= π4对称，则（）A.函数f（x+ π12）为奇函数B.函数f（x）在[ π12，π3]上单调递增C.若|f（x1）-f（x2）|=2，则|x1-x2|的最小值为π3D.函数f（x）的图象向右平移π4个单位长度得到函数y=-cos3x的图象12.（多选题，5分）函数f（x）= xx2+a的图象可能是（）A.B.C.D.13.（填空题，5分）cos225°=___ ．14.（填空题，5分）设函数f（x）= {4x−1，x≤0log2x，x＞0，则f（f（12））=___ ．15.（填空题，5分）已知sin（α−π12）= 13，则cos（α+17π12）=___ ．16.（填空题，5分）已知函数f（x）=-x2+2x+1，x∈[0，2]，函数g（x）=ax-1，x∈[-1，1]，对于任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[-1，1]，使得g（x2）≥f（x1）成立，则实数a的取值范围是___ ．17.（问答题，10分）（1）计算：8 23 +lg5+lg2-log216-e0；（2）已知tanα= 34，求2sin(π−α)+3cos(−α)3cos(π2−α)+sin(π2+α)的值．18.（问答题，12分）已知函数f(x)=x+1x．（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明；（2）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性并加以证明．19.（问答题，12分）已知函数f(x)=Asin(ωx+π)(A＞0，ω＞0)只能同时满足下列三个6条件中的两个：① 函数f（x）的最大值为2；② 函数f（x）的图像可由y=√2sin(x−π)的图像平移得到；4．③ 函数f（x）图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2（1）请写出这两个条件的序号，说明理由，并求出f（x）的解析式；（2）求不等式f（x）≥1的解集．)−1．20.（问答题，12分）已知函数f(x)=2cos2x−cos(2x+π2（1）求函数f（x）的最小正周期；)上的值域；（2）求f（x）在(0，π2得到函数g（x）的图象，若h（x）=g（x）-lnx，探究h（x）（3）将f（x）的图象向右平移π8)上是否存在零点．在(1，π221.（问答题，12分）参加劳动是学生成长的必要途径，每个孩子都要抓住日常生活中的劳动实践机会，自觉参与、自己动手，坚持不懈进行劳动，掌握必要的劳动技能．在劳动中接受锻炼、磨炼意志，培养正确的劳动价值观和良好的劳动品质．大家知道，用清水洗衣服，其上残留的污渍用水越多，洗掉的污渍量也越多，但是还有污渍残留在衣服上，在实验基础上现作如下假定：用x单位的水清洗1次后，衣服上残留的污渍与本次清洗前残留的污渍之比为函数．f(x)=22+x2（1）（ⅰ）试解释f（0）与f（1）的实际意义；（ⅱ）写出函数f（x）应该满足的条件或具有的性质（写出至少2条，不需要证明）；（2）现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后衣服上残留的污渍比较少？请说明理由．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=log a（x-2a）+log a（x-3a）（a＞0且a≠1）．（1）当a=12，求f（2）的值；（2）当a=12时，若方程f(x)=log12(p−x)在（3，4）上有解，求实数p的取值范围；（3）若f（x）≤1在[a+3，a+4]上恒成立，求实数a的值范围．2020-2021学年广东省广州市番禺区仲元中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）若集合A={x|x＞1}，B={x|x2-2x-3≤0}，则A∩B=（）A.（1，3]B.[1，3]C.[-1，1）D.[-1，+∞）【正确答案】：A【解析】：可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】：解：∵A={x|x＞1}，B={x|-1≤x≤3}，∴A∩B=（1，3]．故选：A．【点评】：本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.（单选题，5分）函数f（x）= √1−x +log2（3x-1）的定义域为（）A. (13，1]B. (0，13)C. (−∞，13)D.（0，1]【正确答案】：A【解析】：根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】：解：由题意可知{1−x≥03x−1＞0，解得13＜x≤1，∴函数f（x）的定义域为（13，1]，【点评】：本题考查了求函数定义域的问题，解题时应求出使函数有意义的自变量的取值范围，是基础题目．3.（单选题，5分）已知命题p：-1＜x＜2，q：|x|＜1，则p是q成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【正确答案】：B【解析】：直接利用不等式的解法和充分条件和必要条件的应用求出结果．【解答】：解：命题p：-1＜x＜2，q：|x|＜1，整理得：-1＜x＜1，则p是q成立的必要不充分条件．故选：B．【点评】：本题考查的知识要点：必要条件和充分条件，不等式的解法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．4.（单选题，5分）设x，y为正数，则（x+y）（1x + 4y）的最小值为（）A.6B.9C.12D.15【正确答案】：B【解析】：函数中含有整式和分式的乘积，展开出现和的部分，而积为定值，利用基本不等式求最值【解答】：解：x，y为正数，（x+y）（1x +4y）= 1+4+yx+4xy≥1+4+2 √yx×4xy=9当且仅当yx =4xy时取得“=”∴最小值为9【点评】：利用基本不等式求最值，需要满足的条件“一正，二定，三相等”5.（单选题，5分）如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）在一个周期内的图象，则其解析式是（）A.f（x）=3sin（x+ π3）B.f（x）=3sin（2x+ π3）C.f（x）=3sin（2x- π3）D.f（x）=3sin（2x+ π6）【正确答案】：B【解析】：根据图象求出周期和振幅，利用五点对应法求出φ的值即可得到结论．【解答】：解：由图象知A=3，函数的周期T= 5π6 -（- π6）=π，即2πω=π，即ω=2，则f（x）=3sin（2x+φ），由五点对应法得2×（- π6）+φ=0，即φ= π3，则f（x）=3sin（2x+ π3），故选：B．【点评】：本题主要考查三角函数解析式的求解，根据条件确定A，ω和φ的值是解决本题的关键．6.（单选题，5分）三个数a=log30.3，b=log32，c=12的大小顺序是（）B.c＜a＜bC.a＜c＜bD.b＜c＜a【正确答案】：C【解析】：结合指数与对数函数的单调性确定各数范围，即可比较大小．【解答】：解：因为a=log30.3＜0，b=log32∈（12，1），c= 12，所以b＞c＞a．故选：C．【点评】：本题主要考查了指数与对数函数的单调性比较函数值大小，属于基础题．7.（单选题，5分）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞），（x1≠x2），有f(x2)−f(x1)x2−x1＜0，且f（2）=0，则不等式xf（x）＜0的解集是（）A.（-2，2）B.（-2，0）∪（2，+∞）C.（-∞，-2）∪（0，2）D.（-∞，-2）∪（2，+∞）【正确答案】：B【解析】：由题意可知f（x）在[0，+∞）上是减函数，再根据对称性和f（2）=0得出f（x）在各个区间的函数值符号，从而得出答案．【解答】：解：∵ f(x2)−f(x1)x2−x1＜0在∈[0，+∞）上恒成立，∴f（x）在[0，+∞）上是减函数，又f（2）=0，∴当x＞2时，f（x）＜0，当0≤x＜2时，f（x）＞0，又f（x）是偶函数，∴当x＜-2时，f（x）＜0，当-2＜x＜0时，f（x）＞0，∴xf（x）＜0的解为（-2，0）∪（2，+∞）．故选：B．【点评】：本题考查了函数单调性与奇偶性的性质，属于中档题．8.（单选题，5分）对于a ，b∈R ，定义运算“⊗”： a ⊗b ={a 2−ab ，a ≤b b 2−ab ，a ＞b，设f （x ）=（2x-1）⊗（x-1），且关于x 的方程f （x ）=t （t∈R ）恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围是（ ） A. (5−√34，1) B. (1，5+√34) C. (12，1) D.（1，2） 【正确答案】：A【解析】：根据所给的新定义，写出函数的分段形式的解析式，画出函数的图象，在图象上可以看出当直线与函数的图象有三个不同的交点时m 的取值，根据一元二次方程的根与系数之间的关系，写出两个根的积和第三个根，表示出三个根之和，并判断出函数的单调性，求出函数的值域，得到结果．【解答】：解：∵2x -1≤x -1时，有x≤0， ∴根据题意得f （x ）= {(2x −1)2−(2x −1)(x −1)，x ≤0(x −1)2−(2x −1)(x −1)，x ＞0，即f （x ）= {2x 2−x ，x ≤0−x 2+x ，x ＞0 ，画出函数的图象，如下图所示：从图象上观察当关于x 的方程为f （x ）=t （t∈R ）恰有三个互不相等的实数根时，t 的取值范围是（0， 14 ），当-x2+x=t时，有x1+x2=1，当2x2-x=t时，由于直线与抛物线的交点在y轴的左边，得到x3= 1−√1+8t4，∴x1+x2+x3=1+ 1−√1+8t4 = 5−√1+8t4，t∈（0，14），令y= 5−√1+8t4，t∈（0，14），则函数是减函数，又由t=0时，y=1，t= 14时，y= 5−√34，故x1+x2+x3的取值范围是(5−√34，1)，故选：A．【点评】：本题考查分段函数的图象，考查新定义问题，这种问题解决的关键是根据新定义写出符合条件的解析式，本题是一个综合问题，难度中档．9.（多选题，5分）下面选项中正确的有（）A.集合{1，2，3}的子集个数为7个B.“xy＞0”是“x＞0，y＞0”的充分不必要条件C.命题“∃x∈R，使得x2+x-1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x-1≥0”D.∃α，β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ成立【正确答案】：CD【解析】：选项A，元素个数为n个的集合的子集个数为2n；选项B，若xy＞0，则x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，再根据充分必要条件的概念可得解；选项C，根据存在命题的否定形式，即可得解；选项D，由两角和的正弦公式推出cosβ=1，cosα=1，显然存在α，β满足．【解答】：解：选项A，元素个数为3个的集合有23=8个子集，即A错误；选项B，若xy＞0，则x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，所以应是“必要不充分条件”，即B错误；选项C，命题“∃x∈R，使得x2+x-1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x-1≥0”，即C正确；选项D，因为sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，若sin（α+β）=sinα+sinβ成立，则cosβ=1，cosα=1，所以β=2k1π（k1∈Z），α=2k2π（k2∈Z），即D正确．故选：CD．【点评】：本题考查命题的真假判断，主要包含子集个数，充分必要条件，命题的否定，两角和的正弦公式等，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．10.（多选题，5分）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（）A.若a＞b，c＞d，则ac＞bdB.若a2+b2=1，则a+b≤√2C.若a＞b，c＞d，则a-d＞b-cD.若a＞0，则a+1a≥2【正确答案】：BD【解析】：直接利用不等式的性质和基本不等式的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】：解：对于A：当a＞b＞0，c＞d＞0，所以ac＞bd，故A错误；对于B：由于若a2+b2=1，则（a+b）2≤2a2+2b2=2，所以a+b≤√2，故B正确；对于C：若a＞b，c＞d，则a-d＞b-c，故C错误；对于D：由于a＞0，所以a+1a≥2，当且仅当a=1时，等号成立．故选：BD．【点评】：本题考查的知识要点：不等式的性质，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．11.（多选题，5分）已知函数f（x）=sin（3x+φ）（- π2＜φ＜π2）的图象关于直线x= π4对称，则（）A.函数f（x+ π12）为奇函数B.函数f（x）在[ π12，π3]上单调递增C.若|f（x1）-f（x2）|=2，则|x1-x2|的最小值为π3D.函数f（x）的图象向右平移π4个单位长度得到函数y=-cos3x的图象【正确答案】：AC【解析】：使用代入法先求出φ的值，得函数解析式；再根据三角函数的性质逐一判断．【解答】：解：∵函数f（x）=sin（3x+φ）（- π2＜φ＜π2）的图象关于直线x= π4对称，∴3× π4+φ= π2+kπ，k∈Z；∵- π2＜φ＜π2，∴φ=- π4；∴f（x）=sin（3x- π4）；对于A，函数f（x+ π12）=sin[3（x+ π12）- π4]=sin（3x），根据正弦函数的奇偶性，所以f（-x）=-f（x）因此函数f（x）是奇函数，故A正确．对于B，由于x∈[ π12，π3]，3x- π4∈[0，3π4]，函数f（x）=sin（3x- π4）在[ π12，π3]上不单调，故B错误；对于C，因为f（x）max=1，f（x）min=-1又因为|f（x1）-f（x2）|=2，f（x）=sin（3x- π4）的周期为T= 2π3，所以则|x1-x2|的最小值为π3，C正确；对于D，函数f（x）的图象向右平移π4个单位长度得到函数f（x- π4）=sin[3（x- π4）- π4]=-sin3x，故D错误．故选：AC．【点评】：本题考查了三角函数的最小正周期、奇偶性、单调性、对称轴，属于基础题．12.（多选题，5分）函数f（x）= xx2+a的图象可能是（）A.B.C.D.【正确答案】：ABC【解析】：分类讨论，根据函数的单调性即可判断．【解答】：解：当a=0时，f（x）= 1x，则选项C符合；当a＞0，f（0）=0，故排除D；当x＞0时，f（x）= 1x+ax ≤2√ax= √a时取等号，则函数f（x）在（-∞，√a）上为减函数，在（√a，+∞）为增函数，故选项B符合；当a＜0时，函数的定义域为{x|x≠± √−a }，当x＞0，f（x）= 1x+ax ，由于y=x+ ax在（0，√−a），（√−a，+∞）为增函数，则f（x）= 1x+ax在（0，√−a），（√−a，+∞）为减函数，故A符合，故选：ABC．【点评】：本题考查了函数图象的识别和应用，关键掌握函数的单调性，属于基础题．13.（填空题，5分）cos225°=___ ．【正确答案】：[1]- √22【解析】：利用诱导公式把cos225°化为-cos45°，从而求得结果．【解答】：解：cos225°=cos（180°+45°）=-cos45°=- √22，故答案为：−√22．【点评】：本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．14.（填空题，5分）设函数f（x）= {4x−1，x≤0log2x，x＞0，则f（f（12））=___ ．【正确答案】：[1]- 34【解析】：根据题意，由函数的解析式求出f（12）的值，进而计算可得答案．【解答】：解：根据题意，f（x）= {4x−1，x≤0 log2x，x＞0，则f（12）=log212=-1，则f（f（12））=f（-1）=4-1-1= 14-1=- 34；故答案为：- 34．【点评】：本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．15.（填空题，5分）已知sin（α−π12）= 13，则cos（α+17π12）=___ ．【正确答案】：[1] 13【解析】：直接由已知利用三角函数的诱导公式化简求值．【解答】：解：由sin（α−π12）= 13，得cos（α+17π12）=cos（α+3π2−π12）=sin（α−π12）= 13，故答案为：13．【点评】：本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．16.（填空题，5分）已知函数f（x）=-x2+2x+1，x∈[0，2]，函数g（x）=ax-1，x∈[-1，1]，对于任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[-1，1]，使得g（x2）≥f（x1）成立，则实数a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞，-3]∪[3，+∞）【解析】：依题意得g（x2）max≥f（x1）max，x∈[0，2]，可求出f（x）=-x2+2x+1的最大值，分a＞0和a＜0两种情况，由函数的单调性可求解g（x）的最大值，列式求解即可．【解答】：解：因为f（x）=-x2+2x+1=-（x-1）2+2，x∈[0，2]，所以f（x）的最大值为f（1）=2，①又函数g（x）=ax-1，x∈[-1，1]，当a＞0时，g（x）在[-1，1]上单调递增，所以g（x）max=g（1）=a-1；②当a ＜0时，g （x ）在[-1，1]上单调递减， 所以g （x ）max =g （-1）=-a-1； ③因为对于∀x 1∈[0，2]，∃x 2∈[-1，1]，使得g （x 2）≥f （x 1）成立， 则g （x 2）max ≥f （x 1）max ，所以，当a ＞0时，a-1≥2，解得a≥3； 当a ＜0时，-a-1≥2，解得a≤-3；综上所述，实数a 的取值范围为（-∞，-3]∪[3，+∞）． 故答案为：（-∞，-3]∪[3，+∞）．【点评】：本题考查了函数恒成立问题，考查函数单调性的应用，考查了逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．17.（问答题，10分）（1）计算：8 23+lg5+lg2-log 216-e 0； （2）已知tanα= 34，求 2sin (π−α)+3cos (−α)3cos(π2−α)+sin(π2+α)的值．【正确答案】：【解析】：（1）根据指数和对数的性质或运算法则，即可得解；（2）先利用诱导公式化简所求式子，再根据“同除余弦可化切”的思想，即可得解．【解答】：解：（1）原式= (23)23 +lg （5×2）- log 224 -1=22+lg10-4-1=0；（2） 2sin (π−α)+3cos (−α)3cos(π2−α)+sin(π2+α)= 2sinα+3cosα3sinα+cosα = 2tanα+33tanα+1 = 2×34+33×34+1 = 1813 ．【点评】：本题考查指数和对数的化简与求值，诱导公式的应用，同角三角函数商数关系的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 18.（问答题，12分）已知函数 f (x )=x +1x ． （1）判断函数f （x ）的奇偶性并证明；（2）判断f （x ）在（1，+∞）上的单调性并加以证明．【正确答案】：【解析】：（1）先求函数的定义域，然后利用奇偶性进行判断；（2）利用函数单调性的定义判断．【解答】：解：（1）函数f（x）为奇函数，证明如下：因为函数f(x)=x+1x的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，且f（-x）=-x- 1x =-（x+ 1x）=-f（x），所以f（x）为奇函数．（2）f（x）在（1，+∞）上单调递增，证明如下：设1＜x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=（x1-x2）+（1x1 - 1x2）=（x1-x2）+ x2−x1x1x2= (x1−x2)(x1x2−1)x1x2，因为1＜x1＜x2，所以x1-x2＜0，x1x2-1＞0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（1，+∞）上单调递增．【点评】：本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断与证明，属于基础题．19.（问答题，12分）已知函数f(x)=Asin(ωx+π6)(A＞0，ω＞0)只能同时满足下列三个条件中的两个：① 函数f（x）的最大值为2；② 函数f（x）的图像可由y=√2sin(x−π4)的图像平移得到；③ 函数f（x）图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2．（1）请写出这两个条件的序号，说明理由，并求出f（x）的解析式；（2）求不等式f（x）≥1的解集．【正确答案】：【解析】：（1）分别根据三个条件求出A和ω的值，得到矛盾，从而可判断出所选条件；然后根据所选条件即可求出函数的解析式；（2）结合正弦函数的图象即可求解三角不等式．【解答】：解：函数 f（x）满足的条件为① ③ ，理由如下：若满足条件① ，则 A=2；若满足条件② ，则 A=2，ω=1，所以① ② 相互矛盾；若满足条件③ ，则T=π，所以ω=2，所以② ③ 也相互矛盾，所以函数 f（x）满足的两个条件只能为① ③ ，此时f(x)=2sin(2x+π6)．（2）由f(x)=2sin(2x+π6)≥1，得sin(2x+π6)≥12，所以π6+2kπ≤2x+π6≤5π6+2kπ，k∈Z，即kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z，所以不等式 f（x）≥1 的解集为{x|kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z}．【点评】：本题考查三角函数的解析式，考查学生的运算能力，属于中档题．20.（问答题，12分）已知函数f(x)=2cos2x−cos(2x+π2)−1．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在(0，π2)上的值域；（3）将f（x）的图象向右平移π8得到函数g（x）的图象，若h（x）=g（x）-lnx，探究h（x）在(1，π2)上是否存在零点．【正确答案】：【解析】：（1）利用辅助角公式进行化简，利用周期公式进行计算即可．（2）求出角的范围，根据值域进行求解即可．（3）求出g（x）和h（x）的解析式，根据函数定理判断条件进行判断即可．【解答】：解：（1）f（x）=cos2x+sin2x= √2 sin（2x+ π4），则最小正周期T= 2π2=π．（2）当x∈ (0，π2)时，2x∈（0，π），2x+ π4∈（π4，5π4），即2x+ π4 = 5π4时，f（x）取得最小值，最小值为f（x）= √2 sin 5π4= √2×(−√22) =-1，当2x+ π4 = π2时，f（x）取得最大值，最大值为f（x）= √2 sin π2= √2，即函数的值域为（-1，√2 ]．（3）将f（x）的图象向右平移π8得到函数g（x）的图象，则g（x）= √2 sin[2（x- π8）+ π4]= √2 sin2x，则h（x）=g（x）-lnx= √2 sin2x-lnx，h（1）= √2 sin2＞0，h（π2）= √2sinπ-ln π2=-ln π2＜0，则h（1）h（π2）＜0，由根的存在性定理知h（x）在(1，π2)上存在零点．【点评】：本题主要考查三角函数的恒等变换，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键，是中档题．21.（问答题，12分）参加劳动是学生成长的必要途径，每个孩子都要抓住日常生活中的劳动实践机会，自觉参与、自己动手，坚持不懈进行劳动，掌握必要的劳动技能．在劳动中接受锻炼、磨炼意志，培养正确的劳动价值观和良好的劳动品质．大家知道，用清水洗衣服，其上残留的污渍用水越多，洗掉的污渍量也越多，但是还有污渍残留在衣服上，在实验基础上现作如下假定：用x单位的水清洗1次后，衣服上残留的污渍与本次清洗前残留的污渍之比为函数f(x)=22+x2．（1）（ⅰ）试解释f（0）与f（1）的实际意义；（ⅱ）写出函数f（x）应该满足的条件或具有的性质（写出至少2条，不需要证明）；（2）现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后衣服上残留的污渍比较少？请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）（i）根据已知条件，将x=0，x=1，分别代入函数f（x），即可求解．（ii）结合已知条件，用清水洗衣服，其上残留的污渍用水越多，洗掉的污渍量也越多，即可求解．（2）根据已知条件，分别求出两种情况残留的污渍量，再结合作差法，即可求解．【解答】：解：（1）（i）f（0）=1，表示没有用水清洗时，衣服上的污渍不变，f（1）= 23，表示用一个单位的水清洗时，可清除衣服上残留的污渍的13．（ii）函数f（x）的定义域为（0，+∞），值域为（0，1]，在（0，+∞）上单调递减．（2）设清洗前衣服上的污渍为1，用a单位量的水清洗后，残留的污渍为W1，则W1=1×f(a)=22+a2，用a2单位的水清洗1次，残留的污渍为1×f(a2)=88+a2，W2=f2(a2)=64(8+a2)2，∵W1-W2= 22+a2−64(8+a2)2= 2a2(a2−16)(2+a2)(8+a2)2，∴W1-W2的符号由a2-16 决定，当a＞4时，W1＞W2，则把a单位的水平均分成2份后，清洗两次，残留的污渍较少，当a=4时，W1=W2，则两种清洗方法效果相同，当a＜4时，W1＜W2，则用a单位的水清洗一次，残留的污渍较少．【点评】：本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于中档题．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=log a（x-2a）+log a（x-3a）（a＞0且a≠1）．（1）当a=12，求f（2）的值；（2）当a=12时，若方程f(x)=log12(p−x)在（3，4）上有解，求实数p的取值范围；（3）若f（x）≤1在[a+3，a+4]上恒成立，求实数a的值范围．【正确答案】：【解析】：（1）代入化简f（2）= log12（2-1）+ log12（2- 32），从而求得；（2）代入a= 12化简得f（x）= log12（x-1）（x- 32），将方程转化为（x-1）（x- 32）=p-x在（3，4）上有解，即x2- 32 x+ 32=p在（3，4）上有解，构造函数g（x）=x2- 32x+ 32，从而利用函数的单调性求得；（3）先确定函数的定义域，再化简f（x）=log a（x2-5ax+6a2），结合题意知函数y=x2-5ax+6a2在[a+3，a+4]上是增函数，再利用复合函数的单调性分类讨论函数的最值，并将恒成立问题转化为最值问题即可．【解答】：解：（1）当a= 12时，f（x）= log12（x-1）+ log12（x- 32），故f（2）= log12（2-1）+ log12（2- 32）= log12 1+ log1212=1；（2）当a= 12时，f（x）= log12（x-1）+ log12（x- 32）= log12（x-1）（x- 32），∵方程f(x)=log12(p−x)在（3，4）上有解，∴ log12（x-1）（x- 32）= log12（p-x）在（3，4）上有解，即（x-1）（x- 32）=p-x在（3，4）上有解，即x2- 32 x+ 32=p在（3，4）上有解，令g（x）=x2- 32 x+ 32，则g（x）在（3，4）上单调递增，故g（3）＜g（x）＜g（4），即6＜g（x）＜232，即6＜p＜232，故实数p的取值范围为（6，232）；（3）函数f（x）=log a（x-2a）+log a（x-3a）的定义域为（3a，+∞），f（x）=log a（x-2a）+log a（x-3a）=log a（x-2a）（x-3a）=log a（x2-5ax+6a2），∵f（x）≤1在[a+3，a+4]上恒成立，∴a+3＞3a，即a＜32，故函数y=x2-5ax+6a2在[a+3，a+4]上是增函数，① 当0＜a＜1时，由复合函数的单调性可得，f（x）在[a+3，a+4]上是减函数，故f（x）≤1在[a+3，a+4]上恒成立可化为f（a+3）≤1，即log a（2a2-9a+9）≤1，即2a2-9a+9≥a，解得，a≥ 5+√72或a≤ 5−√72，故0＜a＜1；② 当1＜a＜32时，由复合函数的单调性可得，f（x）在[a+3，a+4]上是增函数，故f（x）≤1在[a+3，a+4]上恒成立可化为f（a+4）≤1，即log a（2a2-12a+16）≤1，即2a2-12a+16≤a，解得，13−√414≤a≤ 13+√414，∵ 13−√414＞32，故无解；综上所述，实数a的值范围为（0，1）．【点评】：本题考查了复合函数的单调性的判断与应用，利用了分类讨论的思想及转化思想，同时考查了恒成立问题及存在性问题，属于中档题．。
2022-2023学年广东省湛江市第二中学高一上学期期末考试数学试卷
2022-2023学年广东省湛江市第二中学高一上学期期末考试数学试卷1.已知集合，，则（）A．B．C．D．2.下列函数中，既是偶函数，又是周期函数的是A．B．C．D．3.在中，“”是“”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.下列命题中正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则5.若函数的图象经过定点，且点在角的终边上，则的值等于（）A．2B．C．－2D．6.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．7.设，，，则a，b，c的大小关系是（）A．B．C．D．8.我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图像关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数，若的对称中心为，则（）A．B．C．8084D．80869.若，则角θ的终边可能落在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10.下列结论正确的是（）A．若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数为同一个函数B．函数的定义域为C．若函数的值域为，则实数的取值范围为D．函数的定义域为则的定义域为11.已知函数，则下列结论正确的是（）A．函数的单调递增区间是B．函数的值域是RC．函数的图象关于对称D．不等式的解集是12.设函数，则下列结论正确的是（）A．，使得B．，使得C．，都有D．，都有13.函数的定义域是_____．14.已知函数，则___________.15.若函数在上单调递增，则的取值范围是__．16.已知函数，若，且，则的最小值为_____．17.计算．(1)；(2)已知，求的值．18.已知函数.(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；(2)求函数在区间上的值域.19.某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（元）与时间x（天）的函数关系近似满足（k为正常数）．该商品的日销售量（个）与时间x（天）的部分数据如下表所示：x/天10202530/个110120125120已知第10天该商品的日销售收入为121元．(1)求k的值；(2)给出以下四种函数模型：①，②，③，④．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间x的关系，并求出该函数的解析式；(3)求该商品的日销售收入（元）的最小值．20.已知定义域为的函数是奇函数．(1)求实数a的值；(2)判断函数的单调性，并用定义加以证明；(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围．21.对于函数，，，如果存在实数，使得，那么称为，的生成函数.(1)设，，，，生成函数.若不等式在上有解，求实数的取值范围.(2)设函数，，是否能够生成一个函数，且同时满足：①是偶函数；②在区间上的最小值为，若能够生成，则求函数的解析式，否则说明理由.22.已知函数（m∈R）．(1)若关于x的方程在区间上有三个不同解，求m与的值；(2)对任意，都有，求m的取值范围．。
广东省佛山市2020-2021学年高一上学期期末数学试题 含答案
广东省佛山市2020～2021学年高一普通高中教学质量检测数学试题 2021.1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必要填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改 动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}32A x x =∈−<<Z ，{}0B x x =∈≥Z ，则A B ⋂=（ ） A ．{}0,1,2B ．{}2,0,1−C ．{}0D ．{}0,12．已知3cos 25πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，那么sin α=（ ） A ．45−B ．45C ．35−D ．353．已知实数x ，y ，则“x y >”是>的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设0.32a =，0.512b −⎛⎫= ⎪⎝⎭，ln 2c =，则（ ） A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<5．已知a ，0x 均为实数，且函数()sin f x x x a =++，若()()004f x f x +−=，则a =（ ） A ．1B ．2C ．4D ．86．已知三个函数a y x =，xy a =，log a y x =，则（ ）A ．对任意的a >0，三个函数定义域都为RB ．存在a >0，三个函数值域都为RC ．对任意的a >0，三个函数都是奇函数D ．存在a >0，三个函数在其定义域上都是增函数7．已知函数()y f x =（x ∈R ）满足()()12f x f x +=，且()()5332f f =+，则()4f =（ ） A ．16B ．8C ．4D ．28．在“绿水青山就是金山银山”的环保理念指引下，结合最新环保法规和排放标准，各企业单位勇于担起环保的社会责任，采取有针对性的管理技术措施，开展一系列卓有成效的改造．已知某化工厂每月收入为100万元，若不改善生产环节将受到环保部门的处罚，每月处罚20万元．该化工厂一次性投资500万元建造垃圾回收设备，一方面可以减少污染避免处罚，另一方面还能增加废品回收收入．据测算，投产后的累计收入是关于月份x 的二次函数，前1月、前2月、前3月的累计收入分别为100.5万元、202万元和304.5万元．当改造后累计纯．收入首次多于不改造的累计纯．收入时，x =（ ） A ．18B ．19C ．20D ．21二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．已知θ为第二象限角，则下列结论正确的是（ ） A ．cos 0θ>B ．()cos 0πθ−>C ．()cos 0πθ+>D ．cos 02πθ⎛⎫+>⎪⎝⎭10．已知函数()sin f x x =，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的图像关于直线2x π=对称B ．(),0π是()f x 图像的一个对称中心C ．()f x 的周期为πD ．()f x 在区间,02π⎡⎤−⎢⎥⎣⎦单调递减 11．已知函数()y f x =是定义在[]1,1−上的奇函数，当0x >时，()()1f x x x =−，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =有2个零点B ．当0x <时，()()1f x x x =−−C ．不等式()0f x <的解集是()0,1D ．1x ∀，[]11,1x ∈−，都有()()1212f x f x −≤12．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足M NQ ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称(),M N 为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（ ） A ．{}M x x =<0，{}N x x =>0是一个戴德金分割 B ．M 没有最大元素，N 有一个最小元素 C ．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素 D ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素第Ⅱ卷(非选择题)三、填空题：13．设幂函数()y f x =的图像过点22.2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则()9f =______．14．已知函数()()cos f x x ωϕ=+相邻对称轴为14x π=−和234x π=，且对任意的x 都有()34f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的单调递增区间是______．15．已知函数()()217,03log 1,0xx f x x x ⎧⎛⎫−<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪+≥⎩，若()02f x <，则实数0x 的取值范围是______．16．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起我国正式执行新个税法，个税的部分税率级距进一步优化调整，扩大3%、10%、20%三档低税率的级距，减税向中低收入人群倾斜．税率与速算扣除数见下表： 级数 全年应纳税所得额所在区间税率（%）速算扣除数1 [0,36000] 3 02 (36000,144000] 10 25203 (144000,300000] 20 16924 (300000,420000] 25 31925(420000,660000]30N小华的全年应纳税所得额为100000元，则全年应缴个税为360003%6400010%7480⨯+⨯=元．还有一种速算个税的办法：全年应纳税所得额对应档的税率对应档的速算扣除数，即小华全年应缴个税为10000010%25207480⨯−=元．按照这一算法，当小李的全年应纳税所得额为200000元时，全年应缴个税为______，表中的N =______.四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．设函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，x ∈R ． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求使函数()f x 取最大值时自变量x 的集合． 18．在①A B ⋂=∅，②()RA B A ⋂=，③A B A ⋂=这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并求解下列问题：已知集合{}123A x a x a =−<<+，{}74B x x =−≤≤，若______，求实数a 的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．已知函数()21,0log ,0ax x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩．（1）当2a =−时，在给定的平面直角坐标系中作出函数()f x 的图像，并写出它的单调递减区间； （2）若()02f x =，求实数0x ．20．已知函数()223f x ax x =++（a ∈R ）．（1）当1a =−时，求不等式()0f x >的解集； （2）解不等式()0f x >．21．生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持体温．脉搏率f是单位时间心跳的次数，医学研究发现，动物的体重W （单位：g ）与脉搏率f 存在着一定的关系．表1给出一些动物体重与脉搏率对应的数据，图1画出了体重W 与脉搏率f 的散点图，图2画出了lg W 与lg f 的散点图．表1为了较好地描述体重和脉搏率的关系，现有以下两种模型供选择： ①f kW b =+②lg lg f k W b =+（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；（2）不妨取表1中豚鼠和兔的体重脉搏率数据代入所选函数模型，求出f 关于W 的函数解析式；（3）若马的体重是兔的256倍，根据（2）的结论，预计马的脉搏率． （参考数据：lg20.3≈，lg30.5≈．）22．已知函数()xxf x e ae −=+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R ．（1）若函数()y f x =在区间()0,+∞内有零点，求a 的取值范围； （2）当4a =时，()0,x ∀∈+∞，()3xmf x e m −≥+，求实数m 的取值范围．广东省佛山市2020～2021学年高一普通高中教学质量检测数学试题参考答案与评分标准一、选择题：二、选择题：三、填空题：本大共4小题，每小题5分，满分20分． 13．1314．72,244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z （没注明k ∈Z 不扣分）15．()2,3− 16．2308052920四、解答题：本大题共6小题，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【解析】（1）()f x 的最小正周期为22T ππ==； （2）依题意得，2232x k πππ+=+，k ∈Z ，解得12x k ππ=+，k ∈Z ． 所以函数()f x 取最大值时自变量x 的集合,12x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ． 18．【解析】若选择①A B ⋂=∅，则当A =∅时，即123a a −≥+，即4a ≤−时，满足题意， 当4a >−时，应满足4237a a >−⎧⎨+≤−⎩或414a a >−⎧⎨−≥⎩解得：5a ≥，综上知，实数a 的取值范围是：(][),45,−∞−⋃+∞. 若选择②()RA B A ⋂=，则A 是R B 的子集，()()R ,74,B =−∞−⋃+∞，当123a a −≥+，即4a ≤−时，A =∅，满足题意；当4a >−时，4237a a >−⎧⎨+≤−⎩或414a a >−⎧⎨−>⎩解得：5a ≥，综合得a 的取值范围是：(][),45,−∞−⋃+∞． 若选择③A B A ⋂=，则A B ⊆，当123a a −≥+，即4a ≤−时，A =∅，满足题意； 当当4a >−时，17234a a −≥−⎧⎨+≤⎩解得：162a −≤≤；综上知，实数a 的取值范围是1,2⎛⎤−∞ ⎥⎝⎦．数学参考答案与评分标准第2页（共4页） 19．【解析】（1）当2a =−时，()221,0log ,0x x f x x x −+≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，图象如下图所示，由图可知()f x 的单调递减区间为(],0−∞和(]0,1. （单调区间写成(),0−∞，(0,1)均给分）（2）依题意，当00x ≤时，012ax +=，即01ax =， 若0a ≥，方程无解；若0a <，得01x a=； 当00x >时，2log 2x =，即20log 2x =±，解得04x =或014x =. 综上所述，当0a ≥时，04x =或014x =；当0a <时，01x a =或 04x =或 014x =. 20.【解析】（1）当1a =−时，()223f x x x =−++.()0f x >即2230x x −++>，可化为2230x x −−<.方程2230x x −−=的根为：11x =−，23x = 所以，不等式的解为：13x −<<. 因此()0f x >的解为{}13x x −<<. （2）2230ax x ++>①当0a =时，不等式化为230x +>，解得32x >−. ②当0a >时，开口向上，此时412a ∆=−(i)0∆<，即13a >时，方程2230ax x ++=无解，不等式解为：R . (ii)0∆=，即13a =时，方程2230ax x ++=有唯一解，3x =−，不等式解为：3x ≠−.(iii)0∆>，即103a <<时，方程2230ax x ++=有两解，11x a −=，21x a−+=，且12x x <不等式解为1x a −<或1x a−>.③0a <时，开口向下，此时412a ∆=−，显然0∆>，方程2230ax x ++=有两解，11x a −=，21x a−+=，且12x x >.x <<. 综上所述，当0a <时，不等式解集为x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭当0a =时，不等式解集为32x x ⎧⎫>−⎨⎬⎩⎭当103a <<时，不等式解集为11x x x a a ⎧−−+⎪<>⎨⎪⎪⎩⎭或 当13a <时，不等式解集为{}3x x ≠−当13a >时，不等式解集为R . 21.【解析】（1）模型②lg lg f k W b =+最符合实际根据散点图的特征，图2基本上呈直线形式，所以可以选择一次函数来刻画lg W 和lg f 的关系.（2）由题意知，lg300lg300lg 200lg 2000k bk b=+⎧⎨=+⎩因为lg200lg22 2.3=+≈，lg2000lg23 3.3=+≈，lg300lg32 2.5=+≈.解得14258k b ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即lg 25lg 48W f =+， 所以f 关于W 的函数解析式为2518410f W −=⋅.（3）设马的体重和脉搏率为1W ，1f ，设兔的体重和脉搏率为2W ，2f ，由题意12256W W =， ()()11114481114412242125624f W W f W W −−−−−⎛⎫=====⎪⎝⎭， 因为2200f =，则150f =，即马的脉搏率为50.22．【解析】（1）解法①当0a ≥时，()0x x x f x e ae e −=+≥>，没有零点； 当0a <时，函数()y f x =是增函数，则需要()10af e e=+<，解得2a e <−. 此时()()()()ln ln 2ln 10a af a e ae a e −−−−=+=−−>−1>， 满足零点存在定理()()()1ln 0f f a −<. 因此函数()y f x =在区间()1,+∞内有一个零点 综上所述，a 的取值范围为()2,e−∞−.解法②()y f x =的零点就是方程0x x e ae −+=的解， 即0x x e ae −+=在区间()1,+∞上有解 方程0x x e ae −+=变形得2x e a =−e ， 当0a ≥时，方程无解，当0a <时，解为()ln 2a x −=，则()ln 12a −>，解得2a e <−，综上所述，a 的取值范围为()2,e −∞−（2）解法①由题意知，()43x x x m e e e m −−+≥+，即()43x x x m e e e −−+−≥因为4331x xe e−+−≥=，则43xxxe m e e −−≥+−， 又214334x x x x xe e e e e −−−=+−−+， 令x e t =，()1,t ∈+∞， 则2221114343473724x x e e t t t −==≤−+−+⎛⎫−+ ⎪⎝⎭（当且仅当32t =时等号成立）， 所以47m ≥，即m 的取值范围是4,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 解法②由题意知，()43x x x m e e e m −−+≥+，即23410x x me me m −+−≥， 令x e t =，()1,t ∈+∞，即23410mt mt m −+−≥， 当0m ≤时，显然不成立，因此0m >.对于函数()2341f t mt mt m =−+−，()1,t ∈+∞，()min 37124mf t f ⎛⎫==− ⎪⎝⎭，则7104m −≥，解得47m ≥，即m m 的取值范围是4,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.。
2020-2021学年广东省广州市荔湾区广雅中学高一(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年广东省广州市荔湾区广雅中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知全集U＝{x∈N*|x≤4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，4}，则A∪（∁U B）＝（）A．{1}B．{1，3}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3} 2．sin（﹣1380°）的值为（）A．B．C．D．3．方程e x+8x﹣8＝0的根所在的区间为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）4．已知a＝log45，，c＝sin2，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a5．函数f（x）＝x sin x，x∈[﹣π，π]的大致图象是（）A．B．C．D．6．已知角α的终边经过点，则＝（）A．B．C．D．7．已知函数在（3，+∞）上单调递减，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．[﹣3，0）C．[﹣2，0）D．（﹣3，0）8．基本再生数R0与世代间隔T是病毒的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在病毒疫情初始阶段，可以用指数模型：I（t）＝e rt描述累计感染病例数I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1+rT．有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6．据此，在病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（）（ln2≈0.69）A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天二、多选题（共4小题）.9．下列各式中，值为的有（）A．sin7°cos23°+sin83°cos67°B．C．D．10．有如下命题，其中真命题的标号为（）A．若幂函数y＝f（x）的图象过点（2，），则f（3）＞B．函数f（x）＝a x﹣1+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点（1，2）C．函数有两个零点D．若函数f（x）＝x2﹣2x+4在区间[0，m]上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是[1，2]11．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f（x）的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法正确的有（）A．函数f（x）的最小正周期是πB．函数f（x）的图象关于点成中心对称C．函数f（x）在上单调递增D．函数f（x）的图象向右平移个单位长度后关于原点成中心对称12．若函数f（x）满足：在定义域D内存在实数x0，使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）为“1阶马格丁香小花花”函数．给出下列4个函数，其中是“1阶马格丁香小花花”函数的有（）A．B．f（x）＝e xC．f（x）＝lg（x2+2）D．f（x）＝cosπx三、填空题：本小题共4个小题，每小题5分，共20分.13．如果cosθ＜0，且tanθ＜0，则|sinθ﹣cosθ|+cosθ的化简为．14．命题p：∀x≥0，x2﹣ax+3＞0，则￢p为．15．已知tan（α+）＝2，则＝．16．已知函数g（x），h（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且满足g（x）+h（x）＝e x+sin x﹣x，则函数g（x）的解析式为；若函数f（x）＝3|x﹣2020|﹣λg（x﹣2020）﹣2λ2有唯一零点，则实数λ的值为．四、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）设集合A＝{x|≤≤4}，B＝{x|m﹣1≤x≤2m+1}．（1）若m＝3，求∁R（A∪B）；（2）若A∩B＝B，求m的取值范围；18．（10分）已知函数f（x）＝2cos x（sin x+cos x）﹣1．（Ⅰ）求f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间；（Ⅱ）若α∈（0，π），f（）＝，求sin（α+）的值．19．（12分）因病毒疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前n（n∈N+）年的材料费、维修费、人工工资等共为（）万元，每年的销售收入55万元．设使用该设备前n年的总盈利额为f（n）万元．（1）写出f（n）关于n的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；（2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；问哪种方案处理较为合理？并说明理由．20．（12分）若函数f（x）满足f（log a x）＝•（x﹣）（其中a＞0且a≠1）．（1）求函数f（x）的解析式，并判断其奇偶性和单调性；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣4的值恒为负数，求a的取值范围．21．（12分）已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将f（x）的图象先向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得图象关于y轴对称且经过坐标原点．（1）求f（x）的解析式；（2）若对任意，[f（x）]2﹣af（x）+a+1≤0恒成立，求实数a的取值范围．22．（14分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）＝2﹣f（x），则称“局部中心函数”．（1）已知二次函数f（x）＝ax2+2x﹣4a+1（a∈R），试判断f（x）是否为“局部中心函数”，并说明理由；（2）若f（x）＝4x﹣m•2x+1+m2﹣3是定义域为R上的“局部中心函数”，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题）.1．已知全集U＝{x∈N*|x≤4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，4}，则A∪（∁U B）＝（）A．{1}B．{1，3}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}解：∵全集U＝{x∈N*|x≤4}＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，4}，∴∁U B＝{1，3}，则A∪（∁U B）＝{1，2，3}．故选：C．2．sin（﹣1380°）的值为（）A．B．C．D．解：sin（﹣1380°）＝sin（﹣1440°+60°）＝sin（﹣4×360°+60°）＝sin60°＝．故选：D．3．方程e x+8x﹣8＝0的根所在的区间为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）【分析】令函数f（x）＝e x+8x﹣8，则方程e x+8x﹣8＝0的根即为函数f（x）的零点．再根据函数零点的判定定理可得函数f（x）零点所在区间．解：令函数f（x）＝e x+8x﹣8，则方程e x+8x﹣8＝0的根即为函数f（x）的零点，再由f（0）＝1﹣8＝7＜0，且f（1）＝e＞0，可得函数f（x）在（0，1）上有零点．故选：C．4．已知a＝log45，，c＝sin2，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．解：∵log45＞log44＝1，∴a＞1，∵＝，∴b＝，∵，∴，即，∴b＜c＜a，故选：A．5．函数f（x）＝x sin x，x∈[﹣π，π]的大致图象是（）A．B．C．D．解：f（﹣x）＝（﹣x）sin（﹣x）＝x sin x＝f（x），所以f（x）为偶函数，即图象关于y轴对称，则排除B，C，当x＝时，f（）＝sin＝＞0，故排除D，故选：A．6．已知角α的终边经过点，则＝（）A．B．C．D．【分析】推导出x＝，y＝，r＝＝3，再由＝tanα﹣sinα，求出结果．解：∵角α的终边经过点，∴x＝，y＝，r＝＝3，∴＝tanα﹣sinα＝＝﹣＝﹣．故选：D．7．已知函数在（3，+∞）上单调递减，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．[﹣3，0）C．[﹣2，0）D．（﹣3，0）【分析】由外层函数y＝log0.5t为减函数，把问题转化为内层函数t＝在（3，+∞）上单调递增且恒大于0，进一步得到关于a的不等式组求解．解：∵外层函数y＝log0.5t为减函数，∴要使在（3，+∞）上单调递减，则需要t＝在（3，+∞）上单调递增且恒大于0，即，解得﹣2≤a＜0．∴a的取值范围为[﹣2，0）．故选：C．8．基本再生数R0与世代间隔T是病毒的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在病毒疫情初始阶段，可以用指数模型：I（t）＝e rt描述累计感染病例数I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1+rT．有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6．据此，在病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（）（ln2≈0.69）A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天【分析】根据所给模型求得r＝0.38，令t＝0，求得I，根据条件可得方程e0.38t＝2，然后解出t即可．解：把R0＝3.28，T＝6代入R0＝1+rT，可得r＝0.38，∴I（t）＝e0.38t，当t＝0时，I（0）＝1，则e0.38t＝2，两边取对数得0.38t＝ln2，解得t＝≈1.8．故选：B．二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年广东省深圳市宝安区高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年广东省深圳市宝安区高一（上）期末数学试卷1.（单选题，5分）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C，使得A⊆C，B⊆（∁U C）”是“A∩B=∅”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件−(x−3)0的定义域是（）2.（单选题，5分）函数f(x)=√x−2A.[2，+∞）B.（2，+∞）C.（2，3）∪（3，+∞）D.[3，+∞）3.（单选题，5分）命题p：∀m∈R，一元二次方程x2+mx+1=0有实根，则（）A.￢p：∀m∈R，一元二次方程x2+mx+1=0没有实根B.￢p：∃m∈R，一元二次方程x2+mx+1=0没有实根C.￢p：∃m∈R，一元二次方程x2+mx+1=0有实根D.￢p：∀m∈R，一元二次方程x2+mx+1=0有实根4.（单选题，5分）设当x=θ时，函数y=3sinx-cosx取得最大值，则sinθ=（）A. −√1010B. √1010C. −3√1010D. 3√10105.（单选题，5分）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog2(1+S)．它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽N叫做信噪比．当信W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信从1000提升至4000，则C大约增加了（）附：lg2≈0.3010噪比SNA.10%B.20%C.50%D.100%6.（单选题，5分）将函数y=sin（2x- π6）图象向左平移π4个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A.x= π12B.x= π6C.x= π3D.x=- π127.（单选题，5分）已知tan（α+ π4）= 12，且- π2＜α＜0，则2sin2α+sin2αcos(α−π4)等于（）A. −2√55B. −3√510C. −3√1010D. 2√558.（单选题，5分）已知f（x）= log2(x−1)+√x2−2x+4，若f（x2-x+1）-2＜0，则x的取值范围为（）A.（-∞，0）∪（1，+∞）B. (1−√52，1+√52)C. (1−√52，0)∪ (1，1+√52)D.（-1，0）∪（1，2）9.（单选题，5分）已知a＞0，b＞0，若不等式m3a+b - 3a- 1b≤0恒成立，则m的最大值为（）A.13B.14C.15D.1610.（单选题，5分）函数y= axx2+1（a＞0）的图象大致为（）A.B.C.D.11.（多选题，5分）如表表示y是x的函数，则（）x 0＜x＜5 5≤x＜10 10≤x＜15 15≤x≤20 y 2 3 4 5B.函数的值域是[2，5]C.函数的值域是{2，3，4，5}D.函数是增函数12.（多选题，5分）已知f（x）= {−x+2，x＜1kx+k+2，x≥1，（常数k≠0），则（）A.当k＞0时，f（x）在R上单调递减B.当k＞−12时，f（x）没有最小值C.当k=-1时，f（x）的值域为（0，+∞）D.当k=-3时，∀x1≥1，∃x2＜1，有f（x1）+f（x2）=013.（填空题，5分）若m，n满足m2+5m-3=0，n2+5n-3=0，且m≠n，则1m +1n的值为___ ．14.（填空题，5分）函数y=log a（2x-1）+2（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点的坐标为___ ．15.（填空题，5分）若f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=(12)x-2x+m（m为常数），则当x＜0时，f（x）=___ ．16.（填空题，5分）幂函数f(x)=x m2−5m+4(m∈Z)为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减，则m=___ ，f(12) =___ ．17.（问答题，10分）已知函数f（x）满足f(x+1)=√x+a，且f（1）=1．（1）求a和函数f（x）的解析式；（2）判断f（x）在其定义域的单调性．18.（问答题，12分）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（- 35，- 45）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）= 513，求cosβ的值．19.（问答题，12分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（2）将y=f（x）图象上所有点向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x）图象的一个对称中心为(5π12，0)，求θ的最小值．20.（问答题，12分）已知不等式log2（x+1）≤log2（7-2x）．（1）求不等式的解集A；（2）若当x∈A时，不等式（14）x-1-4（12）x+2≥m总成立，求m的取值范围．21.（问答题，12分）已知函数f（x）= xax+b（a，b为常数，且a≠0）满足f（2）=1，方程f（x）=x有唯一解．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若x＜-2，求函数g（x）=xf（x）的最大值．22.（问答题，12分）已知定理：“若a，b为常数，g（x）满足g（a+x）+g（a-x）=2b，则函数y=g（x）的图象关于点（a，b）中心对称”．设函数f(x)=x 2+a−a2x−a，定义域为A={x|x≠a，x∈R}．（1）试求y=f（x）的图象对称中心，并用上述定理证明；（2）对于给定的x1∈A，设计构造过程：x2=f（x1），x3=f（x2），…，x n+1=f（x n）．如果x i∈A（i=2，3，4…），构造过程将继续下去；如果x i∉A，构造过程将停止．若对任意x1∈A，构造过程可以无限进行下去，求a的取值范围．。
2020-2021学年广东省深圳市高一(下)期末数学模拟练习试卷(二)
2020-2021学年广东省深圳市高一（下）期末数学模拟练习试卷（二）1.（单选题，5分）已知集合A={x||x|＜1}，B={x|0＜x＜2}，则A∪B=（）A.（-1，2）B.（-1，0）C.（0，1）D.（1，2）2.（单选题，5分）如果a⃗表示“向南走5km”，b⃗⃗表示“向北走10km”，c⃗表示“向东走10km”，d⃗表示“向西走5km”，那么下列向量中表示“向北走15km”的是（）A. a⃗+b⃗⃗B. c⃗+d⃗C. a⃗+2b⃗⃗D. a⃗−b⃗⃗3.（单选题，5分）已知m，n表示两条不同直线，α，β，γ表示三个不同平面．则下列命题正确的是（）A.若m || α，n || α，则m || nB.若α⊥γ，β⊥γ，则α || βC.若m || α，n⊂β，则m || nD.若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β4.（单选题，5分）下列函数是奇函数且在（0，1）上单调递减的是（）A. y=1x2B.y=sinxC. y=x+1xD.y=e x+15.（单选题，5分）如图所示为一个平面图形采用斜二侧画法得到的直观图，其图形是一个边长为1的菱形，则它的平面图形的面积为（）A.2B.1C. √22D. 2√26.（单选题，5分）已知△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a= √2 ，b= √3 ，A=45°，则B=（ ） A.60° B.120° C.60°或120° D.90°7.（单选题，5分）已知 a =log 3√33 ， b=3√33， c =(√33)3 ，定义在R 上的偶函数f （x ）满足：对任意的x 1，x 2∈[0，+∞），都有 f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2＜0 ，则f （a ），f （b ），f （c ）的大小顺序为（ ）A.f （a ）＜f （b ）＜f （c ）B.f （b ）＜f （a ）＜f （c ）C.f （c ）＜f （b ）＜f （a ）D.f （c ）＜f （a ）＜f （b ）8.（单选题，5分）已知在△OAB 中，OA=OB=2， AB =2√3 ，动点P 位于线段AB 上，当 PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时，向量 PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角的正弦值为（ ） A. −2√77B.2√77 C. −√217D.√2179.（多选题，5分）随机掷两枚骰子，记“向上的点数之和大于6”为事件A ，记“向上的点数之积大于6”为事件B ，则（ ） A.P （A ）= 712 B.P （B ）= 59 C.P （A+B ）= 23 D.P （AB ）= 193610.（多选题，5分）在△ABC 中，∠A=90°，AB=3，AC=4，点D 为线段AB 上靠近A 端的三等分点，E 为CD 的中点，则下列结论正确的是（ ）A. AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 16 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 EB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角的余弦值为 1517C. AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =- 152D.△AED 的面积为211.（多选题，5分）已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E 、F 、G 分别为棱AB 、AA 1、C 1D 1的中点，则下列结论正确的是（ ）A.过E 、F 、G 三点作正方体的截面，所得截面面积为 3√34 B.B 1D 1 || 平面EFGC.异面直线EF 与BD 1所成角的正切值为 √22 D.四面体A-CB 1D 1的体积等于 1212.（多选题，5分）已知函数 f (x )={x 2+2x −3，x ≤0a −22x +1，x ＞0 ，下列说法正确的是（ ） A.函数f （x ）可能存在两个零点B.当a ＞-2时，f （x ）在（-1，+∞）上单调递增C.当-3＜a ＜-2时，-4＜k ＜-3是f （x ）-k=0有三个实根的充分不必要条件D.当a=5时，f （x ）＞5的解集为（-∞，-2）13.（填空题，5分）2021年4月12日深圳地铁集团所辖10条运营线路总客运量为611.5万人次，不含港铁（深圳）所辖4号线客流，详情见图．这组数据的第80百分位数为___ ．14.（填空题，5分）几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．底与腰之比为黄金分割比（√5−12≈0.618 ）的黄金三角形是“最美三角形”，即顶角为36°的等腰三角形．例如，中国国旗上的五角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的．如图，在其中一个黄金△ABC 中，黄金分割比为 BCAC ．试根据以上信息，计算sin18°=___ ．15.（填空题，5分）已知a ，b∈R ，且a-2b+1=0，则 2a +14b的最小值为___ ，此时ab=___ ．16.（填空题，5分）在平面四边形ABCD 中，∠A=∠B=60°，∠C=75°，BC=2，则AB 的取值范围是___ ．17.（问答题，10分）设复数z 1=1-ai （a∈R ），复数z 2=3+4i ． （1）若z 1+z 2∈R ，求实数a 的值； （2）若 z 1z 2是纯虚数，求|z 1|．18.（问答题，12分）已知 a ⃗ =（1，0）， b ⃗⃗ =（2，1）． （1）当k 为何值时，k a ⃗ - b ⃗⃗ 与 a ⃗ +2 b⃗⃗ 共线； （2）若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2 a ⃗ +3 b ⃗⃗ ， BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = a ⃗ +m b ⃗⃗ ，且A 、B 、C 三点共线，求m 的值．19.（问答题，12分）设函数 f (x )=√3sin (x +π3)−cosx ． （1）求f （x ）的单调增区间；（2）已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，f （A ）=1，a=3，sinB=2sinC ，求△ABC 的面积．20.（问答题，12分）棉花是我国第一大经济作物，是纺织工业重要原料．新疆作为我国最大的产棉区，对国家棉花产业发展、确保棉粮安全以及促进新疆农民增收、实现乡村振兴战略都具有重要意义．动态、准确掌握棉花质量现状，可以促进棉花产业健康和稳定的发展．在一批棉花中随机抽测了60根棉花的纤维长度（单位）得到以下频数分布表如表：纤维长度[0，60）[60，120）[120，180）[180，240）[240，300）[300，360）[360，420]频数7 7 5 6 9 21 5（1）作出这批样本的频率分布直方图；（2）根据（1）得到的频率分布直方图估计这60根棉花的中位数与平均数；（精确到0.1）（3）为了更具体的了解这批棉花纤维长度情况，按照分层抽样的方法从[180，240）和[240，300）两组中共抽取了5根棉花，现从上述5根棉花中随机抽取2根，求这2根棉花来自不同组的概率．21.（问答题，12分）已知矩形ABCD满足AB=1，BC=√2，点M为BC的中点，将△BAM沿AM折起，点B翻折到新的位置B'，得到一个四棱锥B'-AMCD，点N为B'D的中点．（1）证明：AM⊥B'D；（2）证明：CN || 平面B'AM；（3）当平面B'AM⊥平面AMCD时，求三棱锥B'-AMD的外接球表面积．22.（问答题，12分）设函数f(x)={log2x+a，0＜x≤2 ax2+2x−2a，x＞2．（1）当a=-1时，判断函数f（x）零点的个数；（2）若对于任意的x1∈（1，2），总存在x2∈（2，+∞），使得f（x1）=f（x2）成立，求实数a的取值范围．。
广东省广州市第二中学2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷
广东省广州市第二中学2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．二次函数22y x =+的图象的顶点坐标是（ ） A ．()0,2B ．()0,2-C ．()2,0D ．()2,0-3．将一元二次方程2210x x --=化成()2x a b -=的形式，则b 等于（ ） A ．2-B ．2C ．0D ．14．将抛物线21y x =-向左平移2个单位后得到的抛物线表达式是（ ） A ．21y x =+B ．23y x =-C ．()221y x =+-D ．()221y x =--5．如图，将ABC V 绕点C 按照顺时针方向旋转35︒得到A B C ''△，A B ''交AC 于点.D 若90A DC '∠=︒，则A ∠=（ ）A ．45︒B ．50︒C ．55︒D ．60︒6．如图，AB 是O 的直径，32D ∠=︒，则BOC ∠等于（ ）二、填空题三、解答题17．解方程：2410x x +-=．18．已知二次函数的图象经过点()0,3C -，对称轴为直线1x =，函数的最小值为4-． (1)求此函数的解析式；(2)当y 随x 的增大而增大时，x 的取值范围为______（请直接写出答案）．19．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，ABC V 的三个顶点的坐标分别为()1,3A -，()4,0B -，()0,0C ．(1)画出将ABC V 绕原点O 顺时针方向旋转90°得到的11A B O V ；(2)在x 轴上存在一点P ，满足点1PA PA +最小，则点P 的坐标为______（请直接写出答案）．20．如图，AB 为O e 的直径，CD 是弦，且AB CD ⊥于点E ．连接AC 、OC 、BC ．(1)证明：BCO ACD ∠=∠；(2)若2AE =，8BE =，求弦CD 的长．21．已知关于x 的一元二次方程()222110x k x k +-+-=的两个实数根分别为1x ，2x ．(1)求k 的取值范围；(2)若1x ，2x 满足22121216x x x x +=+，求实数k 的值． 22．为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y （件）与销售单价x （元）满足一次函数关系：y =﹣10x +1200．（1）求出利润S （元）与销售单价x （元）之间的关系式（利润=销售额﹣成本）；。
2020-2021学年广东省广州市省实、执信、广雅、二中、六中五校联考高一(下)期末数学试卷
2020-2021学年广东省广州市省实、执信、广雅、二中、六中五校联考高一（下）期末数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知集合A={x|x2+x-2＜0}，B={-2，-1，0，1，2}，则A∩B=（）A.{-2，-1，0}B.{-1，0，1}C.{-1，0}D.{0，1}2.（单选题，5分）已知复数z满足（z-1）i=1+i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.（单选题，5分）设a⃗、b⃗⃗都是非零向量，下列四个条件中，使a⃗⃗|a⃗⃗|=b⃗⃗|b⃗⃗|成立的充分条件是（）A. a⃗=−b⃗⃗B. a⃗∥b⃗⃗C. a⃗=2b⃗⃗D. a⃗∥b⃗⃗且|a⃗|=|b⃗⃗|4.（单选题，5分）在△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=120°，若把△ABC绕直线AB旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A.11πC.13πD.14π5.（单选题，5分）已知函数y=x a，y=b x，y=log c x的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（）A.a＜b＜cB.b＜a＜cC.a＜c＜bD.b＜c＜a6.（单选题，5分）甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60kg，方差为200，乙队体重的平均数为70kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1：4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是（）A.65，280B.68，280C.65，296D.68，2967.（单选题，5分）函数f（x）的定义域为（-∞，1）∪（1，+∞），且f（x+1）为奇函数，当x＞1时，f（x）=x2-6x+8，则函数f（x）的所有零点之和是（）A.2B.4C.6D.8个单位长度得到函数g 8.（单选题，5分）将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移π12]上是单调增函数，则实数ω的最大值为（）（x）的图象，若函数g（x）在区间[0，π2A. 23B.1C. 659.（多选题，5分）若a ＞b ＞0，则下列不等式成立的是（ ） A. √a ＞√b B.1a 2＞1b2 C.ac 2＞bc 2 D. a −1a ＞b −1b10.（多选题，5分）口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小球，从中任取2球，事件A=“取出的两球同色”，B=“取出的2球中至少有一个黄球”，C=“取出的2球中至少有一个白球”，D=“取出的两球不同色”，E=“取出的2球中至多有一个白球”，下列判断中正确的是（ ）A.事件A 与D 为对立事件B.事件B 与C 是互斥事件C.事件C 与E 为对立事件D.事件P （C∪E ）=111.（多选题，5分）△ABC 中，A= π2 ，AB=AC=2，则下列结论中正确的是（ ） A.若G 为△ABC 的重心，则 AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.若P 为BC 边上的一个动点，则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗) 为定值4 C.若M 、N 为BC 边上的两个动点，且 MN =√2，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 32D.已知Q 是△ABC 内部（含边界）一点，若AQ=1，且 AQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的最大值是112.（多选题，5分）已知三棱锥P-ABC 的每个顶点都在球O 的球面上，AB=BC=2，PA=PC= √5 ，AB⊥BC ，过B 作平面ABC 的垂线BQ ，且BQ=AB ，PQ=3，P 与Q 都在平面ABC 的同侧，则（ ）A.三棱锥P-ABC 的体积为 23 B.PA⊥AB C.PC || BQD.球O 的表面积为9π13.（填空题，5分）已知θ∈（0，π），sinθ+cosθ=- 15 ，则tanθ=___ ．14.（填空题，5分）某办公室团建抽奖，已知5张奖券中只有2张是一等奖，甲先抽1张（不放回），乙再抽1张，则甲中一等奖乙中一等奖的概率为 ___ ．15.（填空题，5分）已知函数f（x）=|x+1|-|x-3|，若对∀x∈R，不等式f（x）≤m恒成立，则实数m的取值范围是 ___ ．16.（填空题，5分）已知正数a，b满足a+b−1a −4b=8，则a+b的最小值是 ___ ．17.（问答题，10分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知c=23b，sinB b =√3cosAa，（1）求A的值；（2）若b=3，求△ABC外接圆的面积．18.（问答题，12分）为响应十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，某市旅游局投入若干经费对全市各旅游景区的环境进行综合治理，并且对各旅游景区收益的增加值做了初步的估计，根据旅游局的治理规划方案，针对各旅游景区在治理后收益的增加值绘制出如下频率分布直方图，由于版式设置不当导致打印时图中横轴的数据丢失，但可以确实横轴是从0开始计数的．（1）利用频率分布直方图估算收益增加值的第90百分位数；（2）利用频率分布直方图估算全市旅游景区收益增加值的平均数x和方差s2（以各组的区间中点值代表该组的取值）．19.（问答题，12分）在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：（1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．20.（问答题，12分）已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，−π2＜φ＜0)图象上的任意两点，且角φ的终边经过点P(1，−√3)，当|f（x1）-f（x2）|=4时，|x1-x2|的最小值为π3．（1）求函数f（x）的单调减区间；（2）求函数f（x）在x∈(π9，4π9)内的值域；（3）若方程3[f（x）]2-f（x）+m=0在x∈(π9，4π9)内有两个不相等的实数解，求实数m的取值范围．21.（问答题，12分）如图，矩形ABCD所在的平面与半圆弧CD̂所在的平面垂直，AB=2，AD= √22，M是CD̂上异于C，D的动点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）设BM和平面ABCD所成角为θ，求sinθ的最大值．22.（问答题，12分）已知f（x）=x2+x+a2+a，g（x）=x2-x+a2-a，且函数f（x）和g（x）的定义域均为R，用M（x）表示f（x），g（x）的较大者，记为M（x）=max{f（x），g （x）}，（1）若a=1，试写出M（x）的解析式，并求M（x）的最小值；（2）若函数M（x）的最小值为3，试求实数a的值．2020-2021学年广东省广州市省实、执信、广雅、二中、六中五校联考高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知集合A={x|x2+x-2＜0}，B={-2，-1，0，1，2}，则A∩B=（）A.{-2，-1，0}B.{-1，0，1}C.{-1，0}D.{0，1}【正确答案】：C【解析】：可求出集合A，然后进行交集的运算即可．【解答】：解：∵A={x|-2＜x＜1}，B={-2，-1，0，1，2}，∴A∩B={-1，0}．故选：C．【点评】：本题考查了集合的描述法和列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.（单选题，5分）已知复数z满足（z-1）i=1+i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【正确答案】：D【解析】：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算，求出z的坐标得答案．【解答】：解：由（z-1）i=1+i，得z-1= 1+ii =(1+i)(−i)−i2=1−i，∴z=2-i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（2，-1），位于第四象限．故选：D．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.（单选题，5分）设a⃗、b⃗⃗都是非零向量，下列四个条件中，使a⃗⃗|a⃗⃗|=b⃗⃗|b⃗⃗|成立的充分条件是（）A. a⃗=−b⃗⃗B. a⃗∥b⃗⃗C. a⃗=2b⃗⃗D. a⃗∥b⃗⃗且|a⃗|=|b⃗⃗|【正确答案】：C【解析】：利用向量共线的充要条件，求已知等式的充要条件，进而可利用命题充要条件的定义得其充分条件【解答】：解：a⃗⃗|a⃗⃗|=b⃗⃗|b⃗⃗|⇔ a⃗=|a⃗⃗|b⃗⃗|b⃗⃗|⇔ a⃗与b⃗⃗共线且同向⇔ a⃗=λb⃗⃗且λ＞0，故选：C．【点评】：本题主要考查了向量共线的充要条件，命题的充分和必要性，属基础题．4.（单选题，5分）在△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=120°，若把△ABC绕直线AB旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A.11πB.12πC.13πD.14π【正确答案】：B【解析】：△ABC绕直线AB旋转一周，所形成的几何体是两个底面半径均为以C到AB的距离CO为半径，高之差为AB的圆锥的组合体，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】：解：△ABC绕直线AB旋转一周，所形成的几何体是：两个底面半径均为以C到AB的距离CO为半径，高之差为AB的圆锥的组合体，∵BC=4，∠ABC=120°，∴CO=2 √3，•π•OC2•AB=12π，∴几何体的体积V= 13故选：B．【点评】：本题考查的知识点是旋转体的体积和表面积，其中分析出几何体的形状及底面半径和高之差等几何量是解答的关键．5.（单选题，5分）已知函数y=x a，y=b x，y=log c x的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（）A.a＜b＜cB.b＜a＜cC.a＜c＜bD.b＜c＜a【正确答案】：A【解析】：分别利用幂函数、指数函数、对数函数的性质，结合特殊点，即可判断出a，b，c的大小关系．【解答】：解：根据幂函数的性质可知：a＞0，又∵幂函数y=x a，当x=2时，y＜2，即2a＜2，∴0＜a＜1，根据指数函数的性质可知：b＞1，又∵指数函数y=b x，当x=1时，y＜2，即b＜2，∴1＜b＜2，根据对数函数的性质可知：c＞1，又∵对数函数y=log c x，当x=2时，y＜1，即log c2＜1，∴c＞2，故：a＜b＜c，故选：A．【点评】：本题主要考查了幂函数、指数函数、对数函数的性质，是基础题．6.（单选题，5分）甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60kg，方差为200，乙队体重的平均数为70kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1：4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是（）A.65，280B.68，280C.65，296D.68，296【正确答案】：D【解析】：先求出甲、乙两队队员所有队员中所占权重，然后利用平均数与方差的计算公式求解即可．【解答】：解：由题意可知甲队的平均数为60，乙队体重的平均数为70，甲队队员在所有队员中所占权重为11+4=15，乙队队员在所有队员中所占权重为41+4=45，则甲、乙两队全部队员的平均体重为x=15×60+45×70=68，甲、乙两队全部队员体重的方差为s2=15[200+(60−68)2]+45[300+(70−68)2] =296．故选：D．【点评】：本题考查了特征数的求解，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．7.（单选题，5分）函数f（x）的定义域为（-∞，1）∪（1，+∞），且f（x+1）为奇函数，当x＞1时，f（x）=x2-6x+8，则函数f（x）的所有零点之和是（）A.2B.4C.6D.8【正确答案】：B【解析】：根据题意，分析可得函数f（x）的图象关于（1，0）对称，由函数的解析式求出x ＞1时函数的零点，分析可得x＜1时f（x）的零点，相加即可得答案．【解答】：解：根据题意，f（x+1）为奇函数，函数f（x+1）的图象关于（0，0）对称，则函数f（x）的图象关于（1，0）对称，当x＞1时，f（x）=x2-6x+8，此时若f（x）=x2-6x+8=0，解可得x1=2，x2=4，又由函数f（x）的图象关于（1，0）对称，则当x＜1时，f（x）=0有两解，为x3=0，x4=-2，则函数f（x）的所有零点之和为2+4+0+（-2）=4；故选：B．【点评】：本题考查函数与方程的关系，涉及函数的对称性以及函数的零点，属于基础题．8.（单选题，5分）将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移π12个单位长度得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间[0，π2]上是单调增函数，则实数ω的最大值为（）A. 23B.1C. 65D.2【正确答案】：C【解析】：直接利用三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用求出结果．【解答】：解：函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移π12个单位长度得到函数g（x）=sin[ω（x- π12）]的图象，由于x ∈[0，π2]，所以ω(x−π12)∈[−ωπ12，5ωπ12]，由于函数g（x）在区间[0，π2]上是单调增函数，所以[−ωπ12，5ωπ12]⊆[−π2，π2]，故5ωπ12≤π2，且−ωπ12≥−π2，解得ω ≤65故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9.（多选题，5分）若a＞b＞0，则下列不等式成立的是（）A. √a＞√bB. 1a2＞1b2C.ac2＞bc2D. a−1a ＞b−1b【正确答案】：AD【解析】：由不等式的性质逐一判断即可．【解答】：解：由a＞b＞0，可得√a＞√b，故A正确；由a＞b＞0，可得a2＞b2，所以1a2＜1b2，故B错误；若c=0，则ac2=bc2，故C错误；由a＞b＞0，可得1a ＜1b，所以- 1a＞- 1b，所以a- 1a＞b- 1b，故D正确．故选：AD．【点评】：本题主要考查不等式的基本性质，考查逻辑推理能力，属于基础题．10.（多选题，5分）口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小球，从中任取2球，事件A=“取出的两球同色”，B=“取出的2球中至少有一个黄球”，C=“取出的2球中至少有一个白球”，D=“取出的两球不同色”，E=“取出的2球中至多有一个白球”，下列判断中正确的是（）A.事件A与D为对立事件B.事件B与C是互斥事件C.事件C与E为对立事件D.事件P（C∪E）=1【正确答案】：AD【解析】：由对立事件与互斥事件的定义及事件的运算依次求解判断即可．【解答】：解：∵事件A=“取出的两球同色”，D=“取出的两球不同色”，∴件A 与D 为对立事件，故A 对，事件BC=“取出的2球为一个黄球，一个白球”，故事件B 与C 不是互斥事件，故B 错， 事件CE=“取出的2球有且只有一个白球”，故事件C 与E 不是对立事件，故C 错， 事件C∪E 为必然事件，故P （C∪E ）=1，故D 对， 故选：AD ．【点评】：本题考查了事件的运算及对立事件与互斥事件的定义，属于基础题． 11.（多选题，5分）△ABC 中，A= π2 ，AB=AC=2，则下列结论中正确的是（ ） A.若G 为△ABC 的重心，则 AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.若P 为BC 边上的一个动点，则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗) 为定值4 C.若M 、N 为BC 边上的两个动点，且 MN =√2，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 32D.已知Q 是△ABC 内部（含边界）一点，若AQ=1，且 AQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的最大值是1【正确答案】：BC【解析】：以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，由重心坐标公式结合向量的数乘与坐标运算判断选项A ；设 BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （0≤t≤1），把 AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗•(AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) 用含有t 的代数式表示即可判断选项B ；不妨设M 靠近B ，|BM|=x ，则0≤x≤ √2 ，求得M 与N 的坐标，得到 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 关于x 的函数，利用二次函数求最值即可判断选项C ；由向量模的运算及基本不等式即可求解λ+μ的最大值，从而判断选项D ．【解答】：解：如图，以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系．则A （0，0），B （2，0），C （0，2）． AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，0）， AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，2）． 对于A ，由重心坐标公式，可得G （ 23 ， 23 ）， 则 AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ 23 ， 23 ）， 23 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 23 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ 43 ， 43）， ∴ AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠ 23 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 23AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故A 错误；对于B ，设 BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （0≤t≤1）， 则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +t BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +t （ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）=t AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +（1-t ） AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) =[t AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +（1-t ） AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ]•（ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）=t AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +t| AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |²+（1-t ）| AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |²+（1-t ） AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4t+4（1-t ）=4，故B 正确； 对于C ，不妨设M 靠近B ，|BM|=x ，则0≤x≤ √2 ， 得M （2- √22 x ， √22 x ），N （2- √22 （x+ √2 ）， √22 （x+ √2 ））=（1- √22 x ，1+ √22 x ）． 则 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2- √22 x ， √22 x ）（1- √22 x ，1+ √22 x ） =（2- √22 x ）（1- √22 x ）+ √22 x （1+ √22 x ）=x²- √2 x+2．当x= √22 时， AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值为 32，故C 正确； 对于D ，由 AQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2λ，2μ），Q 是△ABC 内部（含边界）一点， 由AQ=1，可得4λ2+4μ2=1，即λ2+μ2= 14，所以（λ+μ）²=λ2+μ2+2λμ≤λ2+μ2+λ2+μ2= 12 ，当且仅当λ=μ= √24 时等号成立， 所以λ+μ≤ √22 ，则λ+μ的最大值为 √22 ，故D 错误． 故选：BC ．【点评】：本题主要考查平面向量的数乘与坐标运算，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属于难题．12.（多选题，5分）已知三棱锥P-ABC 的每个顶点都在球O 的球面上，AB=BC=2，PA=PC= √5 ，AB⊥BC ，过B 作平面ABC 的垂线BQ ，且BQ=AB ，PQ=3，P 与Q 都在平面ABC 的同侧，则（ ）A.三棱锥P-ABC 的体积为 23 B.PA⊥ABC.PC || BQD.球O的表面积为9π【正确答案】：ABD【解析】：把三棱锥放置在长方体中，画出图形，由棱锥体积公式求三棱锥P-ABC的体积判断A；利用勾股定理证明PA⊥AB；由反证法思想说明C错误，求出长方体的外接球的表面积判断D．【解答】：解：如图，长方体的高为1，底面是边长为2的正方形，满足AB=BC=2，PA=PC= √5，AB⊥BC，三棱锥P-ABC的体积为13×12×2×2×1=23，故A正确；PB= √PD2+BD2=√PD2+AB2+AD2 = √22+22+12=3，满足PA2+AB2=PB2，可得PA⊥AB，故B正确；BQ⊥平面ABC，PD⊥平面ABC，则BQ || PD，假设PC || BQ，则PC || PD，与PD与PC相交于P矛盾，故C错误；三棱锥P-ABC的外接球即长方体DG的外接球，设其半径为R，则2R= √22+22+12=3，即R= 32，可得球O的表面积为4π×(32)2=9π，故D正确．故选：ABD．【点评】：本题考查多面体外接球表面积的求法，考查几何体的结构特征，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．13.（填空题，5分）已知θ∈（0，π），sinθ+cosθ=- 15，则tanθ=___ ．【正确答案】：[1]- 34【解析】：由sinθ+cosθ=- 15，平方可由此求得sinθ•cosθ 的值，由sinθ•cosθ以及sin2θ+cos2θ=1 可得cosθ和sinθ的值，从而求得tanθ的值．【解答】：解：∵sinθ+cosθ=- 15 ，…（1）， ∴两边平方得1+2sinθcosθ= 125 ， ∴sinθcosθ=- 1225＜0， 又0＜θ＜π，可知：sinθ＞0，cosθ＜0， ∴sinθ-cosθ＞0，∵（sinθ-cosθ）2=1-2sinθcosθ=1+ 2425 = 4925 ， ∴sinθ-cosθ= 75 ， (2)由（1），（2）可得sinθ= 35，cosθ=- 45， ∴tanθ=- 34 ． 故答案为：- 34 ．【点评】：本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式的应用以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．14.（填空题，5分）某办公室团建抽奖，已知5张奖券中只有2张是一等奖，甲先抽1张（不放回），乙再抽1张，则甲中一等奖乙中一等奖的概率为 ___ ． 【正确答案】：[1] 110【解析】：求出总的基本事件数和符合条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可．【解答】：解：由题意，设2张一等奖分布为A ，B ，其余3张为1，2，3，甲先抽1张（不放回），乙再抽1张，分别为：AB ，BA ，A1，1A ，A2，2A ，A3，3A ，B1，1B ，B2，2B ，B3，3B ，12，21，13，31，23，32，共20种，其中甲先抽1张（不放回），乙再抽1张为AB ，BA 共两种， 故甲中一等奖乙中一等奖的概率P= 220=110． 故答案为： 110．【点评】：本题考查了古典概型的概率问题，解题的关键是求出总的基本事件数以及满足条件的基本事件数，属于基础题．15.（填空题，5分）已知函数f （x ）=|x+1|-|x-3|，若对∀x∈R ，不等式f （x ）≤m 恒成立，则实数m 的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1][4，+∞）【解析】：去掉绝对值符号，化简函数f （x ）的解析式，结合函数的图象，求解函数的最大值，然后求解m 的范围即可．【解答】：解：（1）函数f （x ）=|x+1|-|x-3|= {−4，x ≤−12x −2，−1＜x ＜34，x ≥3，作出f （x ）的图象如图所示， 由图象可得函数f （x ）的最大值为4， 若对∀x∈R ，不等式f （x ）≤m 恒成立， 则m≥4，即实数m 的取值范围是[4，+∞）． 故答案为：[4，+∞）．【点评】：本题考查绝对值不等式的解法，函数恒成立问题，考查运算求解能力，属于基础题． 16.（填空题，5分）已知正数a ，b 满足 a +b −1a−4b=8 ，则a+b 的最小值是 ___ ． 【正确答案】：[1]9【解析】：设a+b=x ，则 1a+4b=x −8 ，然后利用基本不等式的结论，构造关于x 的一元二次不等式，求解即可得到a+b 的最小值．【解答】：解：a ＞0，b ＞0，则a+b ＞0， 设a+b=x ，则 1a +4b =x −8 ，由基本不等式的结论可得， 1a+4b ≥(√1+√4)2a+b=9a+b ，即（x-8）≥ 9x，即x 2-8x-9≥0，所以x≤-1（舍）或x≥9，即a+b≥9，当且仅当b=2a ，即a=3，b=6时取等号， 所以a+b 的最小值为9． 故答案为：9．【点评】：本题考查了利用基本不等式求解最值问题，解题的关键在于构造，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，属于中档题．17.（问答题，10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知 c =23b ，sinB b=√3cosAa， （1）求A 的值；（2）若b=3，求△ABC 外接圆的面积．【正确答案】：【解析】：（1）由正弦定理化简已知等式可得tanA= √3 ，结合范围A∈（0，π），可得A 的值．（2）由题意可求c 的值，根据余弦定理可得a 的值，利用正弦定理可求△ABC 外接圆的半径，进而根据圆的面积公式即可求解．【解答】：解：（1）因为sinB b=√3cosAa， 所以由正弦定理可得 sinBsinB =√3cosAsinA，即tanA= √3 ，因为A∈（0，π）， 所以A= π3 ．（2）因为b=3，c= 2b 3 =2，A= π3 ，所以由余弦定理可得a= √b 2+c 2−2bccosA = √9+4−2×3×2×12 = √7 ， 所以△ABC 外接圆的半径R= a2sinA = √72×√32= √213，可得△ABC 外接圆的面积S=πR 2= 7π3 ．【点评】：本题主要考查了正弦定理，余弦定理以及圆的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.（问答题，12分）为响应十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，某市旅游局投入若干经费对全市各旅游景区的环境进行综合治理，并且对各旅游景区收益的增加值做了初步的估计，根据旅游局的治理规划方案，针对各旅游景区在治理后收益的增加值绘制出如下频率分布直方图，由于版式设置不当导致打印时图中横轴的数据丢失，但可以确实横轴是从0开始计数的．（1）利用频率分布直方图估算收益增加值的第90百分位数；（2）利用频率分布直方图估算全市旅游景区收益增加值的平均数x和方差s2（以各组的区间中点值代表该组的取值）．【正确答案】：【解析】：（1）设组距为a，利用频率之和为1，建立关于a的等式，求出a，然后得到横轴的数据，然后利用百分位数的计算方法求解即可；（2）利用频率分布直方图中平均数和方差的计算方法求解即可．【解答】：解：（1）设组距为a，则有（0.08+0.10+0.14+0.12+0.04+0.02）×a=1，解得a=2，所以横轴的数据依次为0，2，4，6，8，10，12，因为10～12所占频率为2×0.02=0.04，8～10所占频率为2×0.04=0.08，故8～12所占频率为0.12＞0.10，×2=8.5；故第90百分位数在[8，10]之间，即为10- 0.1−0.040.08（2）由频率分布直方图可得， x =（1×0.08+3×0.10+5×0.14+7×0.12+9×0.04+11×0.02）×2=5；s 2=[（1-5）2×0.08+（3-5）2×0.10+（5-5）2×0.14+（7-5）2×0.12+（9-5）2×0.04+（11-5）2×0.02]×2=7.04．【点评】：本题考查了频率分布直方图的应用，频率之和为1的应用，频率分布直方图中平均数、方差以及百分位数的求解，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．19.（问答题，12分）在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求： （1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率； （2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．【正确答案】：【解析】：（1）设事件A 表示“甲猜对”，事件B 表示“乙猜对”，则P （A ）= 1220 = 35 ，P （B ）= 820 = 25 ，任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：P （A B + AB ）=P （A ）P （ B ）+P （ A ）P （B ），由此能求出结果．（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为P （ AB ）=P （ A ）P （ B ）．由此能求出结果【解答】：解：（1）设事件A 表示“甲猜对”，事件B 表示“乙猜对”， 则P （A ）= 1220 = 35 ，P （B ）= 820 = 25 ， ∴任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：P （A B + AB ）=P （A ）P （ B ）+P （ A ）P （B ）= 35×(1−25) +（1- 35 ）× 25 = 1325 ． （2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为： P （ AB ）=P （ A ）P （ B ）=（1- 35 ）（1- 25 ）= 625 ．【点评】：本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.（问答题，12分）已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，−π2＜φ＜0)图象上的任意两点，且角φ的终边经过点P(1，−√3)，当|f（x1）-f（x2）|=4时，|x1-x2|的最小值为π3．（1）求函数f（x）的单调减区间；（2）求函数f（x）在x∈(π9，4π9)内的值域；（3）若方程3[f（x）]2-f（x）+m=0在x∈(π9，4π9)内有两个不相等的实数解，求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）利用三角函数的定义求出φ的值，由当|f（x1）-f（x2）|=4时，|x1-x2|的最小值为π3，求出函数的周期，从而求出ω的值，由此得到函数的解析式，利用整体代换以及正弦函数的单调性求解即可；（2）利用x的范围，求出3x−π3∈[0，π]，利用由正弦函数的性质求解即可；（3）令t=f（x），则t∈（0，2]，将问题转化为y=-m与y=3t2-t的图象在t∈（0，2]上只有一个交点，利用数形结合法求解即可．【解答】：解：（1）由题意，角φ的终边经过点P(1，−√3)，则有tanφ=−√3，又−π2＜φ＜0，则φ=−π3，因为当|f（x1）-f（x2）|=4时，|x1-x2|的最小值为π3，则T=2π3=2πω，所以ω=3，故f（x）=2sin（3x- π3），令π2+2kπ≤3x−π3≤3π2+2kπ，k∈Z，解得5π18+2kπ3≤x≤11π18+2kπ3，k∈Z，所以函数f（x）的单调减区间为[5π18+2kπ3，11π18+2kπ3]，k∈Z；（2）因为x∈(π9，4π9)，则3x−π3∈(0，π)，所以sin(3x−π3)∈(0，1]故f（x）∈（0，2]，所以函数f（x）在x∈(π9，4π9)内的值域为（0，2]；（3）由（2）可知，函数f（x）在x∈(π9，4π9)内的值域为（0，2]，令t=f（x），则t∈（0，2]，问题转化为方程3t2-t+m=0在（0，2]上仅有一个根或两个相等的根，① 当t=2，即m=-10，此时方程f（x）= 2sin(3x−π3)=2只有一解，② 当t∈（0，2），-m=3t2-t，则y=-m与y=3t2-t的图象在t∈（0，2）只有一个交点，即方程3[f（x）]2-f（x）+m=0在x∈(π9，4π9)内有两个不相等的实数解，故当-m= −112或0≤-m＜10 图象只有一个交点，故实数m的取值范围为{112}∪(−10，0]．【点评】：本题考查了函数与方程的综合应用，三角函数解析式的求解，三角函数性质的应用以及三角函数值域的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21.（问答题，12分）如图，矩形ABCD所在的平面与半圆弧CD̂所在的平面垂直，AB=2，AD= √22，M是CD̂上异于C，D的动点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）设BM和平面ABCD所成角为θ，求sinθ的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）利用面面垂直的性质定理证明BC⊥平面CMD，进一步证明DM⊥平面BMC，由面面垂直的判定定理证明即可；（2）过点M作MH⊥CD，交CD于点H，连接HB，MC，由面面垂直的性质定理可得MH⊥平面ABCD，则由线面角的定义，∠MBH为MB与平面ABCD所成角，即∠MBH=θ，设HC=x，（0＜x＜2），利用边角关系求出sin2θ=MH2MB2=2x−x22x+12，然后利用换元法2x+12=y∈(12，92)，结合基本不等式求解最值即可．【解答】：（1）证明：由题意可知，平面CMD⊥平面ABCD，且平面CMD∩平面ABCD=CD，又BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，故BC⊥平面CMD，又DM⊂平面CMD，所以BC⊥DM，因为M是CD̂上异于C，D的动点，且CD为直径，所以DM⊥CM，又BC∩CM=C，BC，CM⊂平面BMC，所以DM⊥平面BMC，又DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC；（2）解：过点M作MH⊥CD，交CD于点H，连接HB，MC，由平面DMC⊥平面ABCD，且平面CMD∩平面ABCD=CD，所以MH⊥平面ABCD，则∠MBH为MB与平面ABCD所成角，即∠MBH=θ，不妨设HC=x，（0＜x＜2），所以DH=2-x，则由射影定理可得，MH2=x（2-x）=2x-x2，又HB2=x2+(√22)2=x2+12，所以MB2=MH2+HB2=2x+12，故sin2θ=MH2MB2=2x−x22x+12，令2x+12=y∈(12，92)，故sin2θ=(y−12)(y−122)2y= 54−(y4+916y)≤54−2√y4•916y=12，当且仅当x= 12时取等号，所以sinθ的最大值为√22．【点评】：本题考查了面面垂直的性质定理和判定定理的应用，线面角定义的应用，利用基本不等式求解最值的应用，解题的关键是找到线面对应的角，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．22.（问答题，12分）已知f（x）=x2+x+a2+a，g（x）=x2-x+a2-a，且函数f（x）和g（x）的定义域均为R，用M（x）表示f（x），g（x）的较大者，记为M（x）=max{f（x），g （x）}，（1）若a=1，试写出M（x）的解析式，并求M（x）的最小值；（2）若函数M（x）的最小值为3，试求实数a的值．【正确答案】：【解析】：作差化简f（x）-g（x）=2（x+a），从而根据正负得M（x）= {f(x)，x≥−ag(x)，x＜−a，（1）当a=1时，M（x）= {x2+x+2，x≥−1x2−x， x＜−1，讨论求最小值，（2）根据函数f（x）和g（x）的对称轴分三类讨论求最值．【解答】：解：∵f（x）-g（x）=x2+x+a2+a-（x2-x+a2-a）=2（x+a），∴当x≥-a时，f（x）≥g（x），当x＜-a时，f（x）＜g（x），故M（x）=max{f（x），g（x）}= {f(x)，x≥−ag(x)，x＜−a，（1）当a=1时，M（x）= {x2+x+2，x≥−1x2−x， x＜−1，当x≥-1时，M（x）min=f（- 12）= 74，当x＜-1时，M（x）=g（x）＞g（-1）=2，故M（x）min= 74，（2）函数f（x）和g（x）的对称轴分别为x=- 12、x= 12，① 当-a≤- 12，即a≥ 12时，M（x）在（-∞，- 12）上单调递减，在（- 12，+∞）上单调递增，故M（x）min=f（- 12）=3，即a2+a- 134=0，解得a= √14−12或a=- 1+√142（舍去），② 当- 12＜-a≤ 12，即- 12≤a＜12时，M（x）在（-∞，-a）上单调递减，在（-a，+∞）上单调递增，故M（x）min=f（-a）=3，即2a2=3，解得a=± √62（舍去），③ 当-a＞12，即a＜- 12时，M（x）在（-∞，12）上单调递减，在（12，+∞）上单调递增，故M（x）min=g（12）=3，即a2-a- 134=0，解得a=- √14−12或a= 1+√142（舍去），综上所述，a=± √14−12．【点评】：本题考查了分段函数的应用，同时考查了分类讨论的思想方法应用及转化思想的应用，属于中档题．。
期末考试综合检测试卷-2020-2021学年高一数学同步练习和分类专题(人教A版2019必修第二册)
高中数学必修二期末考试综合检测试卷第二学期高一期末测试一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知复数z=(1-i)+m(1+i)是纯虚数,则实数m=( )A.-2B.-1C.0D.12.幸福感指数是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标,常用区间[0,10]内的一个数来表示,该数越接近10表示满意程度越高.现随机抽取6位小区居民,他们的幸福感指数分别为5,6,7,8,9,5,则这组数据的第80百分位数是( )A.7B.7.5C.8D.93.已知α为平面,a,b为两条不同的直线,则下列结论正确的是( )A.若a∥α,b∥α,则a∥bB.若a⊥α,a∥b,则b⊥αC.若a⊥α,a⊥b,则b∥αD.若a∥α,a⊥b,则b⊥α4.已知在平行四边形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,如果=a,=b,那么=( )A.a-bB.-a+bC.a+bD.-a-b5.已知圆锥的表面积为3π,且它的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的体积为( )A.πB.πC.πD.2π6.庆祝中华人民共和国成立70周年的阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向强起来的雄心壮志.阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最,编组之新、要素之全彰显强军成就,装备方阵堪称“强军利刃”“强国之盾”,见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐.此次大阅兵不仅得到了全中国人的关注,还得到了无数外国人的关注.某单位有6位外国人,其中关注此次大阅兵的有5位,若从这6位外国人中任意选取2位进行一次采访,则被采访者都关注了此次大阅兵的概率为( )A. B. C. D.7.如图,有四座城市A、B、C、D,其中B在A的正东方向,且与A相距120 km,D在A的北偏东30°方向,且与A相距60 km,C在B的北偏东30°方向,且与B相距60 km.一架飞机从城市D出发,以360 km/h 的速度向城市C飞行,飞行了15 min后,接到命令改变航向,飞向城市B,此时飞机距离城市B的距离为( )A.120 kmB.60 kmC.60 kmD.60 km8.如图,在平面直角坐标系xOy中,原点O为正八边形P1P2P3P4P5P6P7P8的中心,P1P8⊥x轴,若坐标轴上的点M(异于原点)满足2++=0(其中1≤i≤8,1≤j≤8,且i,j∈N*),则满足以上条件的点M的个数为( )A.2B.4C.6D.8二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.已知复数z满足(1-i)z=2i,则下列关于复数z的结论正确的是( )A.|z|=B.复数z的共轭复数=-1-iC.复平面内表示复数z的点位于第二象限D.复数z是方程x2+2x+2=0的一个根10.某市教体局对全市高一年级学生的身高进行抽样调查,随机抽取了100名学生,他们的身高都处在A,B,C,D,E五个层次内,根据抽样结果得到如下统计图,则下列结论正确的是( )A.样本中女生人数多于男生人数B.样本中B层次人数最多C.样本中E层次的男生人数为6D.样本中D层次的男生人数多于女生人数11.已知事件A,B,且P(A)=0.5,P(B)=0.2,则下列结论正确的是( )A.如果B⊆A,那么P(A∪B)=0.2,P(AB)=0.5B.如果A与B互斥,那么P(A∪B)=0.7,P(AB)=0C.如果A与B相互独立,那么P(A∪B)=0.7,P(AB)=0D.如果A与B相互独立,那么P()=0.4,P(A)=0.412.如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,则下列命题中正确的是( )A.若点M,N分别是线段A'A,A'D'的中点,则MN∥BC'B.点C到平面ABC'D'的距离为C.直线BC与平面ABC'D'所成的角等于D.三棱柱AA'D'-BB'C'的外接球的表面积为3π三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,且bcos C+ccos B=asin A,则A= .14.已知数据x1,x2,x3,…,x m的平均数为10,方差为2,则数据2x1-1,2x2-1,2x3-1,…,2x m-1的平均数为,方差为.15.已知|a|=3,|b|=2,(a+2b)·(a-3b)=-18,则a与b的夹角为.16.如图,在三棱锥V-ABC中,AB=2,VA=VB,AC=BC,VC=1,且AV⊥BV,AC⊥BC,则二面角V-AB-C的余弦值是.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知向量a=(1,2),b=(4,-3).(1)若向量c∥a,且|c|=2,求c的坐标;(2)若向量b+ka与b-ka互相垂直,求实数k的值.18.(12分)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,且a=,c=1,A=.(1)求b及△ABC的面积S;(2)若D为BC边上一点,且,求∠ADB的正弦值.从①AD=1,②∠CAD=这两个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并解答.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.19.(12分)在四面体A-BCD中,E,F,M分别是AB,BC,CD的中点,且BD=AC=2,EM=1.(1)求证:EF∥平面ACD;(2)求异面直线AC与BD所成的角.20.(12分)溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视,为了普及安全教育,某市组织了一次学生安全知识竞赛,规定每队3人,每人回答一个问题,答对得1分,答错得0分.在竞赛中,甲、乙两个中学代表队狭路相逢,假设甲队每人回答问题正确的概率均为,乙队每人回答问题正确的概率分别为,,,且每人回答问题正确与否相互之间没有影响.(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率;(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.21.(12分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,点D为线段AC的中点,点E 为线段PC上一点.(1)求证:平面BDE⊥平面PAC;(2)当PA∥平面BDE时,求三棱锥P-BDE的体积.22.(12分)2020年开始,山东推行全新的高考制度.新高考不再分文理科,采用“3+3”模式,其中语文、数学、外语三科为必考科目,满分各150分,另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求,结合自己的兴趣爱好等因素,在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试(6选3),每科满分100分.2020年初受疫情影响,全国各地推迟开学,开展线上教学.为了了解高一学生的选科意向,某学校对学生所选科目进行检测,下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩,以20为组距分成7组:[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300],画出频率分布直方图如图所示.(1)求频率分布直方图中a的值;(2)(i)求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数;(ii)估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(3)为了进一步了解选科情况,在物理、化学、生物三科总分成绩在[220,240)和[260,280)的两组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取7名学生,再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查,求抽取的这2名学生来自不同组的概率.答案全解全析1.B 复数z=(1-i)+m(1+i)=(m+1)+(m-1)i,因为z是纯虚数,所以解得m=-1.2.C 将6个数据按照从小到大的顺序排列为5,5,6,7,8,9,因为6×80%=4.8,所以第5个数据即为这组数据的第80百分位数,故选C.3.B 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面,因此B选项正确,易知A、C、D错误.4.B =-=+-(+)=+--=-+=-a+b.5.A 设圆锥的底面半径为r,母线长为l,依题意有2πr=·2πl,所以l=2r,又圆锥的表面积为3π,所以πr2+πrl=3π,解得r=1,因此圆锥的高h==,于是体积V=πr2h=π×12×=π.6.C 这6位外国人分别记为a,A,B,C,D,E,其中a未关注此次大阅兵,A,B,CD,E关注了此次大阅兵, 则样本点有(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(a,E),(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D ,E),共15个,其中被采访者都关注了此次大阅兵的样本点有10个,故所求概率为=.故选C.7.D 取AB的中点E,连接DE,BD.设飞机飞行了15 min后到达F点,连接BF,如图所示,则BF即为所求.因为E为AB的中点,且AB=120 km,所以AE=EB=60 km,又∠DAE=60°,AD=60 km,所以三角形DAE为等边三角形,所以DE=60 km,∠ADE=60°,在等腰三角形EDB中,∠DEB=120°,所以∠EDB=∠EBD=30°,所以∠ADB=90°,所以BD2=AB2-AD2=1202-602=10 800,所以BD=60 km,因为∠CBE=90°+30°=120°,∠EBD=30°,所以∠CBD=90°,所以CD===240 km,所以cos∠BDC===,因为DF=360×=90 km,所以在三角形BDF中,BF2=BD2+DF2-2×BD×DF×cos∠BDF=(60)2+902-2×60×90×=10 800,所以BF=60 km,即此时飞机距离城市B的距离为60 km.8.D 取线段P i P j的中点Q k,因为2++=0,所以+=-2,即2=-2,所以=-,于是Q k,O,M共线,因为点M在坐标轴上,所以Q k也在坐标轴上,于是满足条件的(i,j)的情况有(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),(2,3),(1,4),(5,8),(6,7),即满足条件的点M有8个.9.ABCD 由(1-i)z=2i得z==-1+i,于是|z|=,其共轭复数=-1-i,复数z在复平面内对应的点是(-1,1),位于第二象限.因为(-1+i)2+2(-1+i)+2=0,所以复数z是方程x2+2x+2=0的一个根,故选项A、B、C、D均正确.10.ABC 样本中女生人数为9+24+15+9+3=60,则男生人数为40,故A选项正确;样本中B层次人数为24+40×30%=36,并且B层次占女生和男生的比例均最大,故B层次人数最多,B选项正确;E层次中的男生人数为40×(1-10%-30%-25%-20%)=6,故C选项正确;D层次中,男生人数为40×20%=8,女生人数为9,故D选项错误.11.BD 由于B⊆A,所以A∪B=A,AB=B,于是P(A∪B)=P(A)=0.5,P(AB)=P(A∩B)=P(B)=0.2,故A选项错误;由于A与B互斥,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5+0.2=0.7,AB为不可能事件,因此P(AB)=0,故B 选项正确;如果A与B相互独立,那么P(AB)=P(A)P(B)=0.1,故C选项错误;P()=P()P()=0.5×0.8=0.4,P(A)=P(A)P()=0.5×0.8=0.4,故D选项正确.12.ACD 因为M,N分别是线段A'A,A'D'的中点,所以MN∥AD',又因为AD'∥BC',所以MN∥BC',故A 选项正确;连接B'C,易证B'C⊥平面ABC'D',因此点C到平面ABC'D'的距离为B'C=,故B选项错误;直线BC与平面ABC'D'所成的角为∠CBC'=,故C选项正确;三棱柱AA'D'-BB'C'的外接球即正方体的外接球,其半径R=,因此其表面积为4π×=3π,故D选项正确.13.答案90°解析由正弦定理可得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,即sin(B+C)=sin 2A,所以sin A=sin2A,易知sin A≠0,所以sin A=1,故A=90°.14.答案19;8解析依题意可得2x1-1,2x2-1,…,2x m-1的平均数为2×10-1=19,方差为22×2=8.15.答案解析设a,b的夹角为θ,依题意有|a|2-a·b-6|b|2=-18,所以32-3×2×cos θ-6×22=-18,解得cos θ=,由于θ∈[0,π],故θ=.16.答案解析取AB的中点D,连接VD,CD,由于VA=VB,AC=BC,所以VD⊥AB,CD⊥AB,于是∠VDC就是二面角V-AB-C的平面角.因为AV⊥BV,AC⊥BC,AB=2,所以VD=,DC=,又VC=1,所以cos∠VDC==.17.解析(1)解法一:因为向量c∥a,所以设c=λa,(1分)则c2=(λa)2,即(2)2=λ2a2,(2分)所以20=5λ2,解得λ=±2.(4分)所以c=2a=(2,4)或c=-2a=(-2,-4).(5分)解法二:设向量c=(x,y).(1分)因为c∥a,且a=(1,2),所以2x=y,(2分)因为|c|=2,所以=2,(3分)由解得或(4分)所以c=(2,4)或c=(-2,-4).(5分)(2)因为向量b+ka与b-ka互相垂直,所以(b+ka)·(b-ka)=0,(6分)即b2-k2a2=0.(7分)因为a=(1,2),b=(4,-3),所以a2=5,b2=25,(8分)所以25-5k2=0,解得k=±.(10分)18.解析(1)由余弦定理得,()2=b2+12-2bcos ,(2分)整理得b2+b-6=0,解得b=2或b=-3(舍去).(5分)所以△ABC的面积S=bcsin A=×2×1×=.(6分)(2)选择条件①.在△ABC中,由正弦定理=,得=,(8分)所以sin B=.(9分)因为AD=AB=1,所以∠ADB=∠B.(10分)所以sin∠ADB=sin B,所以sin∠ADB=.(12分)选择条件②.在△ABC中,由余弦定理的推论,得cos B==.(8分)因为A=,所以∠BAD=-=,(9分)所以sin∠ADB=cos B,即sin∠ADB=.(12分)19.解析(1)证明:因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC.(2分)因为EF⊄平面ACD,AC⊂平面ACD,所以EF∥平面ACD.(4分)(2)易得EF∥AC,FM∥BD,(5分)所以∠EFM为异面直线AC与BD所成的角(或其补角).(7分)在△EFM中,EF=FM=EM=1,所以△EFM为等边三角形,(10分)所以∠EFM=60°,即异面直线AC与BD所成的角为60°.(12分)20.解析(1)记“甲队总得分为3分”为事件A,“甲队总得分为1分”为事件B.甲队得3分,即三人都答对,其概率P(A)=××=.(2分)甲队得1分,即三人中只有一人答对,其余两人都答错,其概率P(B)=××+××+××=.(5分)所以甲队总得分为3分的概率为,甲队总得分为1分的概率为.(6分)(2)记“甲队总得分为2分”为事件C,“乙队总得分为1分”为事件D.甲队得2分,即三人中有两人答对,剩余一人答错,则P(C)=××+××+××=.(8分)乙队得1分,即三人中只有一人答对,其余两人都答错,则P(D)=××+××+××=.(11分)由题意得,事件C与事件D相互独立.所以甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率为P(C)P(D)=×=.(12分)21.解析(1)证明:因为PA⊥底面ABC,且BD⊂底面ABC,所以PA⊥BD.(1分)因为AB=BC,且点D为线段AC的中点,所以BD⊥AC.(2分)又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC.(3分)又BD⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面PAC.(4分)(2)因为PA∥平面BDE,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面BDE=ED,所以ED∥PA.(5分)因为点D为AC的中点,所以点E为PC的中点.(6分)解法一:由题意知P到平面BDE的距离与A到平面BDE的距离相等.(7分)所以V P-BDE=V A-BDE=V E-ABD=V E-ABC=V P-ABC=×××2×2×2=.所以三棱锥P-BDE的体积为.(12分)解法二:由题意知点P到平面BDE的距离与点A到平面BDE的距离相等.(7分)所以V P-BDE=V A-BDE.(8分)由题意得AC=2,AD=,BD=,DE=1,(9分)由(1)知,AD⊥BD,AD⊥DE,且BD∩DE=D,所以AD⊥平面BDE,(10分)所以V A-BDE=AD·S△BDE=×××1×=.所以三棱锥P-BDE的体积为.(12分)解法三:由题意得AC=2,AD=,BD=,DE=1,(8分)由(1)知,BD⊥平面PDE,且S△PDE=DE·AD=×1×=.(10分)所以V P-BDE=V B-PDE=BD·S△PDE=××=.所以三棱锥P-BDE的体积为.(12分)22.解析(1)由题图得,(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+0.007 5+a+0.002 5)×20=1,(1分)解得a=0.005.(2分)(2)(i)因为(0.002+0.009 5+0.011)×20=0.45<0.5,(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5)×20=0.7>0.5,所以三科总分成绩的中位数在[220,240)内,(3分)设中位数为x,则(0.002+0.009 5+0.011)×20+0.012 5×(x-220)=0.5,解得x=224,即中位数为224.(5分)(ii)三科总分成绩的平均数为170×0.04+190×0.19+210×0.22+230×0.25+250×0.15+270×0.1+290×0.05=225.6.(7分)(3)三科总分成绩在[220,240),[260,280)两组内的学生分别有25人,10人,故抽样比为=.(8分)所以从三科总分成绩为[220,240)和[260,280)的两组中抽取的学生人数分别为25×=5,10×=2.(9分)记事件A=“抽取的这2名学生来自不同组”.三科总分成绩在[220,240)内的5人分别记为a1,a2,a3,a4,a5,在[260,280)内的2人分别记为b1,b2.现在这7人中抽取2人,则试验的样本空间Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4) ,(a3,a5),(a3,b1),(a3,b2),(a4,a5),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2),(b1,b2)},共21个样本点.(10分) 其中A={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2)},共10个样本点.(11分)所以P(A)=,即抽取的这2名学生来自不同组的概率为.(12分)。
2020-2021学年广东省实验中学高一(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年广东省实验中学高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．设集合A＝{x|1≤x+1＜5}，B＝{x|x≤2}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0≤x＜4}B．{x|0≤x≤2}C．{x|2＜x＜4}D．{x|x＜4}2．下列四组函数中，表示同一函数的一组是（）A．y＝|x|，u＝B．y＝，s＝（）2C．D．3．已知a＝log3，b＝ln3，c＝2﹣0.99，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a4．在△ABC中，“”是“”的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．已知函数f（x+2）＝2x+x﹣2，则f（x）＝（）A．2x﹣2+x﹣4B．2x﹣2+x﹣2C．2x+2+x D．2x+2+x﹣26．在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝log a（x+）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．7．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，将其向右平移个单位长度后得到的函数解析式为（）A．y＝sin2x B．y＝sin（2x+）C．y＝sin（2x﹣）D．y＝sin（2x﹣）8．方程cos x＝log8x的实数解的个数是（）A．4B．3C．2D．1二、多项选择题（共4小题）.9．下列各式中，值为的是（）A．cos2﹣sin2B．C．2sin195°cos195°D．10．已知a，b为正实数，则下列判断中正确的是（）A．B．若a+b＝4，则log2a+log2b的最大值为2C．若a＞b，则D．若a+b＝1，则的最小值是811．已知函数f（x）＝|cos x|+cos|2x|，下列说法正确的是（）A．若x∈[﹣π，π]，则f（x）有2个零点B．f（x）的最小值为C．f（x）在区间上单调递减D．π是f（x）的一个周期12．已知函数f（x）＝a sin x+b cos x，其中a，b∈R，且ab≠0，若对一切x∈R恒成立，则（）A．B．C．是偶函数D．是奇函数三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数（ω＞0）的最小正周期是π，则ω＝，单调递增区间是．14．命题“所有三角形都有内切圆”的否定是．15．已知角θ的终边在直线y＝﹣3x上，则＝．16．已知函数，若a、b、c、d、e（a＜b＜c＜d＜e）满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d）＝f（e），则M＝af（a）+bf（b）+cf（c）+df（d）+ef（e）的取值范围为．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算下列各式的值：（1）；（2）．18．已知幂函数f（x）＝（m2+2m﹣2）x m+2，且在（0，+∞）上是减函数．（1）求f（x）的解析式；（2）若（3﹣a）m＞（a﹣1）m，求a的取值范围．19．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期、对称轴和对称中心；（2）若锐角α满足，且β满足，求cosβ的值．20．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24m2，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36m2，凤眼莲的覆盖面积y（单位：m2）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型y＝ka x（k＞0，a＞1）与可供选择．（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4711）．21．已知定义域为R的函数，是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断f（x）单调性并证明；（3）若∀t∈[﹣1，4]，不等式f（t2+2）+f（2t2﹣kt）＜0恒成立，求k的取值范围．22．已知函数为f（x）的零点，为f（x）图象的对称轴．（1）若f（x）在[0，2π]内有且仅有6个零点，求f（x）；（2）若f（x）在上单调，求ω的最大值．参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A＝{x|1≤x+1＜5}，B＝{x|x≤2}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0≤x＜4}B．{x|0≤x≤2}C．{x|2＜x＜4}D．{x|x＜4}解：因为集合A＝{x|1≤x+1＜5}＝{x|0≤x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴∁R B＝{x|x＞2}，∴A∩（∁R B）＝{x|2＜x＜4}，故选：C．2．下列四组函数中，表示同一函数的一组是（）A．y＝|x|，u＝B．y＝，s＝（）2C．D．解：A．y＝|x|和的定义域都是R，对应关系也相同，是同一函数；B.的定义域为R，的定义域为[0，+∞），定义域不同，不是同一函数；C.的定义域为{x|x≠1}，m＝n+1的定义域为R，定义域不同，不是同一函数；D.的定义域为{x|x≥1}，的定义域为{x|x≤﹣1或x≥1}，定义域不同，不是同一函数．故选：A．3．已知a＝log3，b＝ln3，c＝2﹣0.99，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a解：∵，∴a＜0，∵ln3＞lne＝1，∴b＞1，∵0＜2﹣0.99＜20＝1，∴0＜c＜1，∴b＞c＞a，故选：D．4．在△ABC中，“”是“”的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解：在△ABC中，A∈（0，π），考虑充分性，“”推不出“”，如当A＝时，sin A＝，所以“”不是“”的充分条件；再考虑必要性，“”⇒A∈（）⇒“”，所以“”是“”的必要条件；故选：C．5．已知函数f（x+2）＝2x+x﹣2，则f（x）＝（）A．2x﹣2+x﹣4B．2x﹣2+x﹣2C．2x+2+x D．2x+2+x﹣2解：设t＝x+2，则x＝t﹣2，∴f（t）＝2t﹣2+t﹣2﹣2＝2t﹣2+t﹣4，∴f（x）＝2x﹣2+x﹣4．故选：A．6．在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝log a（x+）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．解：由函数y＝，y＝log a（x+），当a＞1时，可得y＝是递减函数，图象恒过（0，1）点，函数y＝log a（x+），是递增函数，图象恒过（，0）；当1＞a＞0时，可得y＝是递增函数，图象恒过（0，1）点，函数y＝log a（x+），是递减函数，图象恒过（，0）；∴满足要求的图象为：D故选：D．7．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，将其向右平移个单位长度后得到的函数解析式为（）A．y＝sin2x B．y＝sin（2x+）C．y＝sin（2x﹣）D．y＝sin（2x﹣）解：由函数图象知，A＝，＝﹣＝，解得T＝π，所以ω＝＝2，所以函数f（x）＝sin（2x+φ）；因为f（）＝sin（+φ）＝﹣sin（+φ）＝﹣，所以+φ＝+2kπ，k∈Z；解得φ＝+2kπ，k∈Z；又0＜φ＜，所以φ＝；所以f（x）＝sin（2x+）；将函数的图象向右平移个单位长度后，得y＝sin[2（x﹣）+]的图象，即y＝sin（2x﹣）．故选：C．8．方程cos x＝log8x的实数解的个数是（）A．4B．3C．2D．1解：方程cos x＝log8x的实数解的个数，即函数y＝cos x的图象和函数y＝log8x的图象交点的个数．数形结合可得函数y＝cos x的图象和函数y＝log8x的图象（图中红色曲线）交点的个数为3，故选：B．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9．下列各式中，值为的是（）A．cos2﹣sin2B．C．2sin195°cos195°D．解：对于A，cos2﹣sin2＝cos＝；对于B，＝tan45°＝；对于C，2sin195°cos195°＝sin390°＝sin30°＝；对于D，＝＝．故选：BC．10．已知a，b为正实数，则下列判断中正确的是（）A．B．若a+b＝4，则log2a+log2b的最大值为2C．若a＞b，则D．若a+b＝1，则的最小值是8解：已知a，b为正实数，（a+）（b+）＝ab+++≥2+2＝4，当且仅当a＝b ＝1是取等号，故，所以A正确；因为正实数a，b满足a+b＝4，∴4≥2，化为：ab≤4，当且仅当a＝b＝2时取等号，则log2a+log2b＝log2（ab）≤log24＝2，其最大值是2．则log2a+log2b的最大值为2，所以B正确；若a＞b，a，b为正实数，有不等式性质有，所以C正确；若a+b＝1，+＝（+）•（a+b）＝1+4++≥5+2＝9，所以D不正确；故选：ABC．11．已知函数f（x）＝|cos x|+cos|2x|，下列说法正确的是（）A．若x∈[﹣π，π]，则f（x）有2个零点B．f（x）的最小值为C．f（x）在区间上单调递减D．π是f（x）的一个周期解：根据函数f（x）＝|cos x|+cos|2x|，整理得f（x）＝2cos2x+|cos x|﹣1，对于A：若x∈[﹣π，π]，当x＝±π或时，满足函数f（x）＝0，则f（x）有4个零点，故A错误；对于B：由于t∈[0，1]，当t＝0时，f（x）的最小值为﹣1，故B错误；对于C：利用函数的关系式转换为f（x）＝g（x）+h（x），由于函数g（x）＝|cos x|在（0，）上单调递减，函数h（x）＝|cos2x|在（0，）上单调递减，故f（x）在区间上单调递减，故C正确；对于D：因为f（x+π）＝f（x），所以f（x）的周期T＝π，故D正确；故选：CD．12．已知函数f（x）＝a sin x+b cos x，其中a，b∈R，且ab≠0，若对一切x∈R恒成立，则（）A．B．C．是偶函数D．是奇函数解：由题意函数f（x）＝a sin x+b cos x＝sin（x+φ），其中a，b∈R，ab≠0．因为＝1，对一切x∈R恒成立，可知f（）＝±1，所以+φ＝kπ+，k∈Z，可得φ＝kπ+，k∈Z，可得φ＝，f（）＝sin（+），f（）＝sin（+），故f（）＞f（），或f（）＜f（），故A错误；因为f（x﹣）＝sin（x﹣+）＝sin x，所以f（x）为奇函数，故C错误；因为f（x+）＝sin（x++）＝sin（x+）＝cos x，又因为cos x是偶函数，所以f（x）为偶函数，故D错误；f（﹣x）＝sin（﹣x）＝sin（x﹣），故B正确；故选：B．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数（ω＞0）的最小正周期是π，则ω＝2，单调递增区间是．解：由周期的求解方法可知；π＝，可得ω＝2；可得函数f（x）＝2sin（2x+），令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ∴+kπ≤x≤+kπ，（k∈Z）即函数f（x）的递增区间为：[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z），故答案为2，[+kπ，+kπ]（k∈Z）14．命题“所有三角形都有内切圆”的否定是“存在一个三角形没有内切圆”．解：全称命题“所有三角形都有内切圆”，它的否定是特称命题：“存在一个三角形没有内切圆”．故答案为：“存在一个三角形没有内切圆”．15．已知角θ的终边在直线y＝﹣3x上，则＝．解：∵角α的终边在直线y＝3x上，∴tanα＝3，∴＝＝＝＝．故答案为：．16．已知函数，若a、b、c、d、e（a＜b＜c＜d＜e）满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d）＝f（e），则M＝af（a）+bf（b）+cf（c）+df（d）+ef（e）的取值范围为（0，9）．解：函数f（x）的图象如图所示：由图可得a+d＝2，b+c＝2，5＜e＜6，所以M＝（a+b+c+d+e）f（e）＝（4+e）（6﹣e）＝﹣e2+2e+24＝﹣（e﹣1）2+25，因为5＜e＜6，所以函数M在（5，6）上单调递减，又e＝5时，M＝9，e＝6时，M＝0，所以M的取值范围为（0，9），故答案为：（0，9）．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算下列各式的值：（1）；（2）．解：（1）原式＝；（2）原式＝3+lg100+2＝3+2+2＝7．18．已知幂函数f（x）＝（m2+2m﹣2）x m+2，且在（0，+∞）上是减函数．（1）求f（x）的解析式；（2）若（3﹣a）m＞（a﹣1）m，求a的取值范围．解：（1）∵函数是幂函数，∴m2+2m﹣2＝1，即m2+2m﹣3＝0，解得m＝1或m＝﹣3，∵幂函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，∴m+2＜0，即m＜﹣2，∴m＝﹣3，∴f（x）＝x﹣1，（2）令g（x）＝x﹣3，因为g（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且在（﹣∞，0）和（0，+∞）上均为减函数，∵（3﹣a）﹣3＞（a﹣1）﹣3，∴3﹣a＜a﹣1＜0或0＜3﹣a＜a﹣1或3﹣a＞0＞a﹣1，解得2＜a＜3或a＜1，故a的取值范围为：{a|2＜a＜3或a＜1}．19．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期、对称轴和对称中心；（2）若锐角α满足，且β满足，求cosβ的值．解：f（x）＝sin2x﹣×（1+cos2x）+＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），则（1）f（x）的最小正周期T＝，由2x﹣＝kπ+得2x＝kπ+，得x＝+，k∈Z，即函数的对称轴为{x|x＝+，k∈Z}．由2x﹣＝kπ得2x＝kπ+，得x＝+，k∈Z，即函数的对称中心为（+，0），k∈Z．（2）若锐角α满足，且β满足，则sin[2（α+）﹣]＝﹣，得sin（2α+）＝cos2α＝﹣，即2cos2α﹣1＝﹣，得2cos2α＝，即cos2α＝，则cosα＝，sinα＝，∵，∴cos（α+β）＝±，当cos（α+β）＝时，cosβ＝cos（α+β﹣α）＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝×+×＝，当cos（α+β）＝﹣时，cosβ＝cos（α+β﹣α）＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝﹣×+×＝．20．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24m2，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36m2，凤眼莲的覆盖面积y（单位：m2）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型y＝ka x（k＞0，a＞1）与可供选择．（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4711）．解：（1）函数y＝ka x（k＞0，a＞1）与在（0，+∞）上都是增函数，随着x的增加，函数y＝ka x（k＞0，a＞1）的值增加的越来越快，而函数的值增加的越来越慢，由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型y＝ka x（k＞0，a＞1）符合要求．根据题意可知x＝2时，y＝24；x＝3时，y＝36，∴，解得．故该函数模型的解析式为，1≤x≤12，x∈N*；（2）当x＝0时，，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是m2，由＞10•，得＞10，∴x＞＝≈5.9，∵x∈N*，∴x≥6，即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份．21．已知定义域为R的函数，是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断f（x）单调性并证明；（3）若∀t∈[﹣1，4]，不等式f（t2+2）+f（2t2﹣kt）＜0恒成立，求k的取值范围．解：（1）由于定义域为R的函数是奇函数，则即，解得，即有f（x）＝，经检验成立；（2）f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数．证明：设任意x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝，由于x1＜x2，则2x1＜2x2，即有＞0，则有f（x1）＞f（x2），故f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数；（3）不等式f（t2+2）+f（2t2﹣kt）＜0，由奇函数f（x）得到f（﹣x）＝﹣f（x），f（2t2﹣kt）＜﹣f（2+t2）＝f（﹣t2﹣2），再由f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，则2t2﹣kt＞﹣t2﹣2，即有3t2﹣kt+2＞0对t∈[﹣1，4]恒成立，当t＝0时，2＞0，显然成立；当0＜t≤4时，k＜＝3t+，3t+≥2，当且仅当t＝时，取得等号，则k＜2；当﹣1≤t＜0时，k＞＝3t+，又3t+＝﹣[（﹣3t）+]≤﹣2，当且仅当t＝﹣∈[﹣1，0）时，取得等号，则k＞﹣2；综上可得k的范围是（﹣2，2）．22．已知函数为f（x）的零点，为f（x）图象的对称轴．（1）若f（x）在[0，2π]内有且仅有6个零点，求f（x）；（2）若f（x）在上单调，求ω的最大值．解：（1）因为f（x）在[0，2π]内有且仅有6个零点，则6个零点间有周期，所以①，又8个零点间的一定比[0，2π]的区间长度大，即②，由①②可得，又为f（x）的零点，所以，k1∈Z③，为f（x）图象的对称轴，则，k2∈Z④，④﹣③可得，即ω＝2（k2﹣k1）+1，因为k1∈Z，k2∈Z，所以ω为奇数，故ω＝3，由③可得φ＝，k1∈Z，又|φ|，所以φ＝﹣，故；（2）由（1）可知，ω＝2（k2﹣k1）+1，k1，k2∈Z，故ω为奇数，因为f（x）在上单调，则，解得ω≤12，所以ω的最大值可能为11，9，7，…，当ω＝11时，φ＝k1π，又|φ|，所以φ＝﹣，故，此时函数f（x）在上不单调；当ω＝9时，φ＝k1π，又|φ|，所以φ＝，故，此时函数f（x）在上单调递减，符合题意．综上可得，ω的最大值为9．。