浅谈类比法在数学解题中的应用
浅谈类比法在数学解题中的应用
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浅谈类比法在数学解题中的应用-中学数学论文
浅谈类比法在数学解题中的应用
严诚
（郑梁梅高级中学，江苏淮安223499）
摘要：类比就是一种相似比较，类比推理就是根据相关知识的“相似性”进行联想与创新。
从而达到最终解题与培养能力的目的。
类比方法也是高中数学解题的重要方法之一。
在高中数学解题中要运用类比方法往往就需要根据脑海中的“似曾相识”加上一点想象力和创新精神，从而达到解决新问题获得新知识的目的。
关键词：类比推理；相似；创新
中图分类号：G633文献标识码：A文章编号：1005-6351(2013)-03-0062-01 德国著名哲学家康德说：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进” 。
由此可见，类比推理运用的得当有时可以让学生获得事半功倍的效果。
所谓类比推理是由两类对象具有某些类似特征和已知其中一类对象的某些特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理。
从而达到解决新问题获得新知识的目的。
在具体实施过程中，其关键就是找到两类不同对象之间的相似特征。
然后，根据这一类对象的已知特点，去猜测或揣摩甚至是想象另一类对象可能的特征，从而得到一个猜想，最后检验这个猜想。
在数学解题过程中，当我们的思维遇到障碍时，运用类比推理，往往能实现知识的正迁移，将已学过的知识或已掌握的解题方法迁移过来。
一、非同构类比
即从对象的某些属性相同推出它们的其它属性相同，例如：
先观察所求算式的特征，根据这个特征去联想某些数学公式或是自己曾经做过有相似特征的题目，从而找出某种相似性。
通过观察与比较可以联想到与两点间的距离公式好相近，推出得几何意义上的点P（x，0）到点A（1，2）与点B （2，3）距离之和的最小值，最终实现了同构类比转化。
根据几何定理，|PA|+|PB|的最小值为A关于x轴对称点A′（1，2）与点B的距离，
分析：本题好像无从着手，但我们从整体上观察结论可以发现很多的相似性：一时余弦定理，二是“三角形两边之和大于第三边”与其相似，但由于所要证明的结论是大于而且在被开方里，必然会导致证明无法进行下去。
所以只能应该把两个相似特征结合区寻找突破口，再根据所想去创新与联想，从而达到解题与获得新知识的目的。
本体就可以根据这些特征设法构造一个三角形，把这些所涉及到的项式放到三角形里，用几何知识很轻易的得到证明。
可见，类比在数学解题中有着十分重要的作用。
其关键是看出某种相似性。
三、新旧知识的类比
这也是我们在学习与解题中遇到最多的类比内容，这一点对我们一线教师来说特别重要，因为在第一轮讲授新知识的时候，我们要经常用到此种方法，从而让我们在教授新知识时会更容易收到意想不到的教学效果。
因此我们不要放弃旧的知识，而要经常联系旧知识，以旧知识为基础，从旧知识出发，采取循循渐进的引导方式创造条件引导学生进行类比，发现某种相似的特征，进而找到问题的突破口，这样做不仅扩展了学生的思路，而且养成了学生进行类比推理的习惯。
例如：长方体交于某一顶点的三个长方形面的对角线长分别为p,q,r,长方体对角线长为d，则有。
与此题在在画出图形时，由于是长方体中，再加上平方就应该养成潜意识里想到勾股定理。
从而在此前提下进行一些探讨、联想与分析。
达到用很熟悉的旧知识来解决新问题。
类比的方法在数学中的应用
类比的方法在数学中的应用作者：孙爱枝来源：《新教育时代·教师版》2019年第21期摘要：在数学中经常运用类比的方法解决问题。
类比是利用两个对象的相似性，由此对象的某些性质和结论猜测乃至证明另一对象的相似性质或结论，由处理此对象的某些方法，利用相似性移植或稍加改动后移植与另一系统，用以处理另一对象的相似性质或结论。
由此可见，类比是提出新问题和获得新发现的一条重要途径。
正如著名数学家波利亚所说：“类比是一个伟大的引路人”虽然类比所得的结论不像演绎推理的结论那样具有逻辑的必然性，其真实性不一定得到保证，但它在数学研究中依然是发现概念，定理，法则和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造新分支的重要手段。
学生通过类比新旧知识点能够更加容易地找到解决问题的方法。
那么我们应该怎样采取类比的方法进行教学？又该怎样将类比的思想传授给学生提高他们的解题能力，促进他们的创造思维呢？关键词：内容概念性质方法一、教师如何在教学中运用类比的方法1.在教学内容安排上的类比整数的认识是小学数学中很重要的一部分内容。
这部分知识孩子们学习的顺序是：10以内数的认识，11---20各数的认识，100以内数的认识，1000以上大数的认识等，每一阶段知识的呈现方式是相似的，都包括数数，读书，写数，数的组成，數的大小，数的顺序，数的运算等内容，因此学习新数时都可以类比原来的教学步骤。
2.用类比法教学概念轴对称和轴对称图形是学生比较难理解和区分的概念，但如果我们联系生活实际，把它与学生熟悉的实体进行比较，运用类比的方法进行教学，学生就比较容易理解。
可以让学生观察中国民间窗花剪纸，汽车的标志，发现它们的共同性质：沿某条直线对折，两部分能完全重合，这样就容易理解轴对称这个概念。
学生通过观察准备的教具，发现一个图形沿着某条直线对折能与另一个图形重合，得到两个图形呈轴对称。
教师再进一步通过类比，让学生自主发现它们的区别。
从而得到相同点：沿着某条直线翻折，两部分能完全重合；不同点：轴对称图形是一个图形；轴对称是两个图形的一种关系。
浅谈类比、归纳法在高考中的应用
浅谈类比、归纳法在高考中的应用摘要：近年来，我省高考数学中都有用类比归纳法解的题，多数都是填空题，下面就来谈谈如何解决这类题，首先谈谈类比、归纳法思想和应用。
关键词：高考类比归纳应用一、类比法1.类比法的思想所谓类比法是指根据两个或两类事物在某些属性上都相同或相似，而推出它们在其它属性上也相同或相似的推理方法，也称为类比或类比推理法。
类比法不仅是一种以特殊到特殊的推理方法，也是一种寻求解题思路，猜测问题答案或结论的发现方法。
2.类比的分类（1）降维类比。
将三维空间的对象降到二维（或一维）空间中的对象，此种类比方法即为降维类比。
（2）结构类比。
某些待解决的问题没有现成的类比物，但可通过观察，凭借结构上的相似性等寻找类比问题，然后可通过适当的代换，将原问题转化为类比问题来解决。
（3）简化类比。
简化类比，就是将原命题类比到比原命题简单的类比命题，通过类比命题的解决思路和方法的启发，寻求原命题的解决思路与方法。
比如可先将多元问题类比为少元问题，高次问题类比到低次问题，普遍问题类比为特殊问题等。
但是，利用类比推理得出的结论不一定是正确的。
二、归纳法1.归纳法思想归纳法也称归纳推理，是指由个别到一般的推理方法。
即从几个单称判断或特殊判断（前提）得出的一个新的全称判断（结论）的推理方法。
它根据考察分析的对象是否完全分为完全归纳法和不完全归纳法。
2.归纳法分类归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法。
完全归纳法是指通过考察一类事物的全体对象，肯定它们都具有某一属性，从而作出这类事物都具有这一属性的一般性结论的归纳推理方法。
不完全归纳法是指根据考察一类事物的部分对象具有某一属性，而作出该事物都具有这一属性的一般结论的归纳推理方法。
在高考中经常使用的是不完全归纳法。
但是，利用类比推理得出的结论不一定是正确的。
三、类比、归纳法的应用例1：（2010陕12理）观察下列等式：13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102根据上述规律，第五个等式为___________________。
浅谈类比教学在数学教学中的作用
浅谈类比教学在数学教学中的作用“给我一个支点，我就能撬起地球！”类比，是一种强有力的学习工具。
不同的事物往往具有一些相同或相似的属性，人们正是利用相似事物具有的这种属性，通过对某一事物的认识来认识与它相似的另一事物，这种认识事物的思维方法就是类比法，利用类比的思想进行教学设计实施教学 , 可称为“类比教学” 。
采用类比教学方法不但省时、省力，还有助于学生的理解和应用，是一种既经济又实效的教学方法。
因此，在教学中应积极运用类比进行教学。
一、掌握类比，可以温故而知新，使学生的理解难度大大降低。
教学中引导学生由学过的旧知识利用新旧知识的相似性可以进行类比教学，如在教学从集合的观点给圆下定义时，可以先回顾以前学过的相关知识：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等，反之，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，即角的平分线与点到角的两边的距离之间建立了一一对应的关系，所以角的平分线可以看作是到角的两边的距离相等的所有点的集合；还有线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点与这条线段两个端点的距离相等，反之，与这条线段两个端点的距离相等的点在这条线段垂直平分线上，可见线段的垂直平分线与点到这条线段两个端点的距离二者之间也建立了一一对应的关系，因此线段的垂直平分线可以看作是与一条线段的两个端点的距离相等的所有点的集合；同样，圆周上各点到圆心的距离相等，反之，到定点的距离等于定长的点都在这个圆周上，可见圆上的点与到定点的距离等于定长之间也是一一对应的关系，因此学生就不难理解圆可以看作是到定点的距离等于定长的所有点的集合这一观点，加深了对含义的理解，可以取得很好的效果。
二、渗透类比思想，可以加强概念教学某些待解决的问题没有现成的类比物，但可通过观察，凭借结构上的相似性等寻找类比问题，然后可通过适当的代换，将原问题转化为类比问题来解决，如在教学正多边形的概念时，可以设计几个以下的问题：（1）什么叫正三角形？（2）什么叫正四边形？只满足四条边相等的四边形是否一定是正四边形？（3）什么叫正五边形？（4）类似地，什么叫正n边形？经过一步步的启发，学生运用类比思想很容易掌握正多边形的概念。
类比法在初中数学教学中的应用
浅谈类比法在初中数学教学中的应用摘要：在数学教学中，根据教材特点运用类比法引入新知识、总结归纳、推理论证、猜想，既可以提高课堂教学的效果，又有助于学生养成善于思考、乐于思考、勇于思考的好习惯。
关键词：数学教学；类比法；初中教育中图分类号：g633.6 文献标志码：a 文章编号：1674-9324（2013）19-0149-02数学是自然科学的一个分支。
数学讲究举一反三、讲究循序渐进、讲究环环相扣等等，由于数学本身存在的这些特点，在日常教学中，虽然我们看到数学知识的种类、结构、定理等等都是纷繁复杂的。
其实如果你是一个数学爱好者，你会发现，在长期的数学学习中，知识之间都是有必然的联系的，有的由浅至深，有的似曾相识，有的相辅相成……这其中隐含这数学教学中一个很普遍的推理方法，即类比法。
类比法就是一种把类似进行比较、联想，由一个数学对象已知特殊性质迁移到另一个数学对象上去，从而获得另一个对象性质的推理方法。
这种方法也是我们的中学数学教学中，最为常见的推理方法。
很多的公式、定理和法则，都是通过类比法来得到的。
在解题过程中，解题思路也往往是从类比开始入手的。
下面我根据自己的教学实践，谈几点在初中数学中运用类比法的做法。
一、类比以旧引新利用类比，以旧引新。
这样做能让学生在熟悉的学习环境中，来理解、学会新的知识，让他们能更加牢固的记在心里，灵活应用在解题过程中。
例如：分数引入分式的类比。
为了引入与学习分式知识，我们就要首先从分数的类比中，先掌握分式的基本概念、基本性质和基本的运算法则。
我们在分数学习中，都知道分数是由三部分构成的，即分子、分数线、分母。
但是分数都是由数字组成的，且分母不能为零。
因为如果分母为零，分子的存在意义就变的微乎其微，只有分子不是零，分数的值都为零。
至此我们在将分数的概念再引到代数式中，我们会很容易发现，分数中出现了字母，但是在以前学习的知识中，没有提到相关概念和此种分数形式，这样我们就能很轻易的导入分式的概念。
类比法在数学解题中的应用
类比法在数学解题中的应用
1. 类比法可以帮助学生学习并掌握一个概念，并利用此概念解决新问题，而无需重新学习新的知识。
2. 比如可以用类比容易解释平面图形的各种特征，并使用这些启发思路解决新的问题。
3. 例如，在几何中，如果已知两个三角形的外角相等，可以用一条直线类比它们，这样，就可以证明到它们都有一个共同的平分线，而且这两个三角形是相等的。
4. 例如，如果学生已经学习过圆的定义，则可以在支持立体几何的教程中，将圆当作圆柱，将面积计算公式类比移植到圆柱上，去得出该圆柱的体积。
类比法在初中数学解题教学中的应用技巧
㊀㊀㊀解题技巧与方法１４３㊀数学学习与研究㊀２０２３ ０７类比法在初中数学解题教学中的应用技巧类比法在初中数学解题教学中的应用技巧Һ杨㊀梅㊀（毕节市第一中学，贵州㊀毕节㊀５５１７００）㊀㊀ʌ摘要ɔ数学是一门实用性较强且较为抽象的学科，对学习者的逻辑思维能力具有较高要求．现阶段在初中数学解题教学中，大部分学生缺乏完善的思维体系，在解题时思路较为混乱，因而导致其学习成绩迟迟无法得到提升．为帮助学生掌握良好的解题技巧，文章对类比法在初中数学解题教学中的应用意义进行了总结，从结构化类比㊁模式化类比㊁特殊化类比㊁跨学科类比㊁降维化类比等角度出发，阐述了类比法的实际应用策略，旨在为学生搭建良好的学习生态环境，让学生通过类比梳理解题思路，养成良好的解题习惯，提高自身问题解决能力．ʌ关键词ɔ类比法；初中数学；解题技巧；教学策略‘义务教育数学课程标准（２０２２年版）“中指出，帮助学生建立数学对象之间，数学与现实世界之间的逻辑联系，构建数学逻辑体系是初中数学教学中的核心任务．由此可见，培养学生思维能力已经成为广大教师关注的重点．教师应充分关注类比法的应用价值，帮助学生突破固有学习思维模式，促进自身多元发展，通过解题训练深入感受知识的本质，从而有效提高学生的解题能力，构建更加完善的知识体系．一㊁类比法简介由两类对象具有的某些相近特征和其中一类对象的已知特征所推理出的另一类对象也具有此种特征的推理被称之为类比．例如学生在数学学习中通常会经历推测与联想，这种学习行为便是类比思想从特殊到一般的体现．学生可以根据两个对象之间的相似属性，猜测它们之间所存在的关联，进而通过类比寻求解决数学问题的新方法与新途径．二㊁类比法在初中数学解题教学中的应用意义类比是一种对某些方面存在相似性的不同个体的对比㊁引申㊁演化推理活动． 解题 是初中数学教学中的重点内容，通过解题训练能够帮助学生掌握解题技巧，避免学生在考试或练习中出现低级错误，在潜移默化中帮助学生养成良好的学习习惯，从而助力其学习水平的提升．首先，将类比法引入初中数学解题教学能够有效帮助学生获得解题灵感及思路，让学生在趣味化的解题过程中，提高自身创新能力．借助两种事物之间的相似之处进行推理，在提高解题效率的同时，也能够帮助学生通过长期训练养成独立自主的探究习惯，有效促进其核心素养的发展．其次，类比法能够进一步促进学生对知识的全面理解．在这样的解题过程中，学生经过推理，会发现自己在过往知识学习中存在的漏洞，不断完善，并通过类比搭建新旧知识之间的桥梁，构建更加完整的知识体系．最后，利用类比法进行解题教学，区别于传统机械刻板的课堂讲授，能够充分激发学生的主观能动性，有助于其从多角度更为全面地对数学问题进行思考，进而有效实现思维品质的发展．由此可见，类比法对提高初中数学解题教学质量，促进学生核心素养的发展具有积极作用．因此教师要充分挖掘数学知识之间的内部联系，在开展解题教学的过程中，为学生渗透类比思想，引导学生借助类比优势提高解题质量，在长期训练中养成良好的思考习惯，有效提高自身学习能力，为后续深度学习奠定坚实基础．三㊁类比法在初中数学解题教学中的应用技巧如何发挥类比法的优势帮助学生顺利提高解题质量，已经成为广大教师所关心的焦点问题．笔者结合多年实践教学经验，对类比法在初中数学解题教学中的应用技巧进行解读，并提出合理化建议，以供广大教师借鉴参考，共同推动初中数学教学的可持续发展．（一）结构化类比，探求数学解题本质在传统的解题教学过程中，大部分教师通常会采用理论知识讲授的教学方法，反复强调此道题目中所蕴含的公式㊁定理，忽视了知识点之间的内在联系，并未引导学生采用类比的方式开展训练．为解决这一问题，教师可以在解题教学中采用结构化类比的方式，引导学生基于问题的结构特征，将其转化㊁引申为自己较为熟悉的题目，并进行比较，从中获取解题灵感，探究题型结构，追寻数学解题的本质．以北师大版八年级上册 勾股定理的应用 这一课的教学为例，在课程开始前教师首先带领学生回顾勾股定理的定义，唤醒学生的已有学习经验．在活跃的课堂氛围下，教师提出了这样的一道例题：例１㊀如图１，已知ＡＢ＝３，ＢＣ＝７，ＡＣ＝５，那么øＡ的值为多少？图１解题思路：在已知三边长度后，此类问题可以采用正弦或余弦定理轻松解决．然而这对于初中刚接触勾股定理学习的学生而言较为困难，许多学生都不知该如何入手．这时，教师可以采用结构化类比的方式，引导学生尝试思考，结合直角三角形知识，将øＡ与直角联系起来．在教师的引导下，学生先延长ＢＡ作辅助线，再过Ｃ点作ＢＡ延长线的垂线，设垂足为点Ｄ，并将ＡＤ的长设定为ｘ，如图２．图２在这一环节中，学生利用所学知识并借助辅助线，将㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１４４数学学习与研究㊀２０２３ ０７ＣＤ边长表示为２５－ｘ２．根据勾股定理得出ＢＣ＝（３＋ｘ）２＋２５－ｘ２()２＝４９，从而借助等式推断出未知数ｘ的值为５２，根据直角三角形性质及ＡＤ＝１２ＡＣ，易得øＢＡＣ＝１２０ʎ．与此同时，在成功解决问题后，为发展学生的创新思维，教师可以尝试引导学生在三角形内构造直角三角形，并探索这两种解题方式的差异．设计说明：上述例题中，学生由于并未接触过正余弦定理，难以顺利完成解题．教师借助结构化类比的优势，引导学生将难以求解的图形类比为已经学过的直角三角形，从而通过直角三角形知识以及勾股定理解决问题．如上，结构化类比的方式能够帮助学生建立知识点之间的内部联系，寻找部分关联或结构相似的问题，让学生在比较和分析中，求出答案，感受类比在解题过程中的应用优势．（二）模式化类比，寻找数学解题路径区别于结构化类比，模式化类比是指根据待解决问题的表象，寻找可以类比的相同性质的问题，其关联表现在解题方法以及解题策略上，例如最为常见的行程问题及工程问题．在模式化类比的导向下，教师可以带领学生在解题过程中进行总结与概括，寻找最优解题路径，通过模式的类比感受数学知识之间的内部联系．以北师大版八年级下册 不等式的解集 这一课的教学为例，在教学环节，教师搜集资源后向学生分享了这样的一道竞赛题目：例２㊀实数ａ，ｂ，ｃ满足ａɤｂɤｃ，且ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＝０，ａｂｃ＝１．求最大实数ｋ，使得不等式ａ＋ｂȡｋｃ恒成立．解题思路：首先根据条件不难看出，题目中给出了两个方程及三个变量，学生在解题的过程中极易受到已知线索的干扰．在模式化类比过程中，教师可以引导学生由已知条件出发，得到一个与其等价的条件，由ａｂｃ＝１可知，ａ，ｂ，ｃ均不等于０，且其中有０个负数或２个负数，又因为ａｂｃ＝１，所以ａｂ＝１ｃ＞０，代入ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＝０就可得出ａ＋ｂ＝－１ｃ２＜０，故ａɤｂ＜０．后续步骤，教师可以引导学生基于基本不等式的性质进行类比，根据 一元二次方程根与系数的关系 构造以ａ，ｂ为两根的一元二次方程并建立不等关系，类比推理得出ａ，ｂ为一元二次方程ｘ２＋１ｃ２ｘ＋１ｃ＝０的两个实数根，于是ａ＋ｂ＝１ｃ２ȡ４ｃ＝４ｃ，不等式对满足题设条件的实数ａ，ｂ，ｃ恒成立，因此最大实数ｋ的值为４．设计说明：此道题目具有一定的难度，学生需要根据问题的表象寻找可类比的相同性质的问题，此题中表象为不等式的关系，将其与一元二次方程进行类比创建不等关系，能够帮助学生求得问题的答案，找到解决问题的最优路径．如上，模式化类比的引入能够帮助学生建立更为完整的知识体系，让学生在总结与概括中掌握解题模式，从而最大限度地提升自身的解题质量，实现学习能力的提升与发展．（三）特殊化类比，捕获数学解题灵感特殊化类比是将原命题中较为复杂的元素进行精简，运用多维化的诉求方式将复杂问题类比为简单问题进行求解的一种方法．在传统的解题过程中，部分教师为学生提供的题目信息较为复杂，且由于新高考改革，类似于情境化的试题也随之增多，部分思维能力较弱的学生在解题过程中极易受到复杂的条件线索的影响从而降低解题质量．因此教师可以采用特殊化类比方法，引导学生简化问题内容，捕获数学解题灵感，提高自身解题水平．以北师大版九年级下册 弧长及扇形的面积 这一课的教学为例，通过本单元的学习，学生已经进一步掌握了弧长公式以及扇形面积的表达方法．结合本章重点内容，教师为学生带来了这样的一道例题：例３㊀如图３，在ＲｔәＡＢＣ中，已知øＡＣＢ＝９０ʎ，ＡＣ＝８，ＢＣ＝４，分别以ＡＣ，ＢＣ为直径画半圆，则图中阴影部分的面积应为多少？图３解题思路：面对此问题，大部分学生都不知道如何入手，陷入了思维的停滞状态．此时，教师应引导学生进一步梳理解题思路，采用特殊化类比的方式观察图中的阴影部分，并将其类比为两个半圆的面积，将此问题转化为两个半圆的面积减去三角形的面积．将图中各部分阴影面积分别设为Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３，Ｓ４，Ｓ５，如图４所示．图４由此得出两个半圆的面积和为Ｓ１＋Ｓ５＋Ｓ４＋Ｓ２＋Ｓ３＋Ｓ４，әＡＢＣ的面积是Ｓ３＋Ｓ４＋Ｓ５，阴影部分的面积为Ｓ１＋Ｓ２＋Ｓ４，图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积，经过计算最终求出结果为１０π－１６．设计说明：此类题目能够帮助学生在巩固扇形面积计算方法的同时，有效帮助学生复习三角形的面积相关知识．将原命题中较为复杂的内容化简，能够使学生轻松求得问题答案．教师通过特殊化类比的化简方法，能够有效培养学生的思维能力，帮助其在解题过程中养成举一反三的良好习惯．如上，教师通过特殊化类比的方式能够有效帮助学生捕获数学解题灵感，让学生在类比的过程中提高自身思维能力，构建新旧知识之间的联系，更好地实现核心素养的提升．㊀㊀㊀解题技巧与方法１４５㊀数学学习与研究㊀２０２３ ０７（四）跨学科类比，开阔数学解题视野设立跨学科主题学习活动，加强学科间相互关联，带动课程综合化实施，强化实践性要求，是当前初中数学教育改革的大方向．在进行类比解题教学的过程中，教师要及时突破自身固化思维模式，注重数学知识与其他学科的关联，为学生设计内容㊁形式丰富多样的数学例题，促使学生在类比的过程中找寻知识内所存在的同一性与关联互补性，进而有效拓宽学生的解题思路，帮助其在掌握数学知识的同时了解更多丰富的学习内容．以北师大版八年级上册 一次函数的应用 这一课的教学为例，结合本章学习内容，教师将数学与物理知识进行融合，为学生带来了这样的一道例题：例４㊀已知甲㊁乙两地相距３００ｋｍ，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发前往乙地，如图５，线段ＯＡ表示了货车离甲地的距离ｙ与时间ｘ的函数关系，折线ＢＣＤＥ则表示了轿车离甲地的距离ｙ与时间ｘ的函数关系．根据图像内容，回答以下问题：图５（１）线段ＤＥ对应的函数解析式；（２）计算轿车从甲地出发后需要经过多长时间才能够追赶上货车．解题说明：此类问题为路程问题，学生需要结合所学物理知识进行求解．首先观察第一个问题，教师引导学生结合物理知识进行类比可知，行程问题中路程＝速度ˑ时间，根据对图像内容的观察可知横轴为时间㊁纵轴为路程，通过对Ｄ点坐标以及Ｅ点坐标的分析，教师可以引导学生类比待定系数法，设ＤＥ所对应的函数解析式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ（２．５ɤｘɤ４．５），在确定Ｄ点坐标后代入求解，得出线段ＤＥ对应的函数解析式．在第二个问题的求解过程中，教师同样要指导学生基于问题的关键信息寻找其与所学知识的联系，类比待定系数法求出ＯＡ的解析式ｙ＝６０ｘ（０ɤｘɤ５），再继续解题即可．设计说明：跨学科类比的方式能够帮助学生进一步巩固物理中所学的路程知识，深化对理论知识的理解．与此同时，将其融入数学题目，能够帮助学生开阔数学解题视野，借助其他学科的特性类比，有效提高学生的解题能力，实现类比教学的真正目标．如上，跨学科类比的方式能够帮助学生在掌握数学知识的同时，了解数学与其他科目的关联性，更好地适应此类情境化试题的解决方法，为后续参与中考㊁高考做好准备．（五）降维化类比，突破数学解题难点降维化类比能够帮助学生简化问题所运用的知识，降低思考的难度．从近年来的中考题型中不难发现，其所呈现的问题更加注重对学生核心素养的检测，学生不仅要具备良好的知识能力，还要具有对题目线索㊁题目信息的分辨能力．目前，部分教师在集体教学中仍旧过于重视对学生知识能力的培养，忽视了对其思维能力的训练．为解决这一问题，教师应充分发挥类比法在数学解题过程中的重要价值，帮助学生掌握化简技巧，运用类比手段降低题目难度，帮助学生更好地理解数理概念的内部关系．以北师大版七年级上册 整式的加减 这一课的教学为例，该部分内容是初中数学学习中的重点，在中考的简答㊁选择题型中均有涉及．因此，教师结合教学内容为学生带来以下例题：例５㊀计算：１１ˑ２＋１２ˑ３＋１３ˑ４＋ ＋１２０２１ˑ２０２２．解题说明：此道题目中分子都是１，分母从 １ˑ２ ２ˑ３一直到 ２０２１ˑ２０２２ ，倘若学生采取常规的计算方法将浪费较多时间．因此，秉持着降维化类比的理念，教师可以引导学生结合所学知识内容进行简化类比．在对原式的观察中不难发现，每一项的分母中后一个乘数都比前一个大１，基于这一发现，可以将１２０２１ˑ２０２２ 类比为 １ｎｎ＋１()，故通过所得公式，根据分解原则可以将其转化为１ｎ－１ｎ＋１．在此环节结束后，教师指导学生尝试对原式进行转化．在解题过程中，学生发现每一项都与前一项互为相反数，经过抵消最终得出计算结果为２０２１２０２２．设计说明：此道题目的重点在于类比化简，学生需要细致阅读题目线索，找出其内在联系，发现每个加数都可以分裂为两个数的差，最终相互抵消求出正确答案．如上，降维化类比的方式能够有效降低题目难度，在后续几何学习中应用此种方法能够在极大程度上提高学生对于知识的理解程度，对提升解题教学质量具有积极的促进作用．结㊀语综上所述，在初中数学解题教学中应用类比法，能够启发学生的类比推理㊁知识迁移思维，对于增进学生对知识的理解㊁提高学生的综合应用能力有着积极意义．因此，教师应充分关注类比法的重要教学价值，在解题教学中渗透类比思想，帮助学生通过训练养成良好的类比习惯，找寻各知识点之间的内部联系，从而更好地实现自身解题能力的提升与发展，有效实现高效解题课堂的构建．ʌ参考文献ɔ［１］陈拾英．巧妙运用类比法㊀高效解答数学题［Ｊ］．数理化解题研究，２０２１（３５）：４６－４７．［２］刘鹏．初中数学教学中对学生核心素养的培养浅析［Ｊ］．学周刊，２０２１（３６）：１３９－１４０．［３］包五弟．例谈类比教学在初中数学教学中的应用策略［Ｊ］．考试周刊，２０２１（９０）：４９－５１．［４］陈贇．初中数学课堂教学中渗透数学思想的策略［Ｊ］．新智慧，２０２１（２９）：１００－１０２．。
浅谈类比法在小学数学教学中的几点运用
建构了 系统 的知识 网络 ， 使学 “ 教学有法 ， 敦无定法” 一普遍 的教学规 后项都乘以或者都除以相同的数 （ 这 零除外 ） 比 不同的应用题 ， ， 生 的 学 习更 加 轻松 。 律 对 数 学 思 想 方 法 的 教 学 同 样 适 合 ，长 期 以 值不 ， ” 变。
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比班则要求作业时要认真、 注意将数字写工整等之类话语 。两个班的作
业量并无增减情况 ， 而且均要求学生在课堂上完成。批改作业时发现 情
者 认 为 可 以 通 过 以 下 几 个 方 面来 运 用 类 比 法 完成 ，乙队单独做 ３ ０小 时可以完成 ，两 队合 进 行有 效 的 教与 学 。 １ 用类 比法 探究 新 知 ． 运
如， 在学 习分数乘法时 ， 分数 的混合运 将
涉及一点内容。二 × × 学生很 Байду номын сангаас ｝与 ｊ １ 做 ， 小时 可以完成全工程？” 几 这一工程问题应 算提前 ｊ ］
通过这 样的类 比 ，激发 了学生 的创 新思
识， 同时也能突破难点 ， 降低教学难度 。例如 ， 从 甲地 开往 乙地要 １ 小 时 ，货车从 乙地开往 维 ， Ｏ 也提高了学习积极性。
茂 谈 爪 掌 生 数 掌 课 作 业 的 布 置 与 宾 袍 窒
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“ 与 小学 生 作 业心 理 品质 的思 考 ★＂
扩 展 知 识 提前 与正 在 学 习 的 知识 进 行 类 比 ， 则 能 激 发学 生 进 行 探 索 与创 新 ：
素质有机结合 ， 使数学思想方法能有效 地渗透 学 生 更 好 地 掌 握 知 识 ， 使 所 学 的 知 识 更 加 系 能 到课堂教学 中去。在小学数学课堂教学 中， 笔 统化 。例如， 一件工程 ， 在“ 甲队单独做 ２ 小时 Ｏ
类比法在小学数学教学中的运用
万方数据２．运用类比发现数学规律。
创造性思维的一个重要特点是观察敏锐，善于透过现象看本质．能够从中有所发现。
教材巾有不少例题和习题都是通过学牛自己练习、观察，从类比中去发现规律。
显然．类比推理的根据是不充分的，它无法保证已知相同的属性和推出的属性之间有必然的联系．所以．它是一种合情推理。
类比推理是由特殊到特殊的推理方法，具有假设、猜想的成分．包括比较、联想等心理因素，对数学教学规律的发现具有一定作用。
例如，在教学北师大版数学六年级下册《圆的体积》时，可以恰当地运用类比思维方法。
怎样计算圆柱的体积？想：长方体、正方体的体积都等于底面积Ｘ高．即Ｉ，＝．咖，冈为长方体、正方体和网柱都是直柱体．因此通过类比推理猜想圆柱的体积也可以用底面积Ｘ高．即Ｉ７＝砌来计算．最后得出、‘Ⅲ＝Ｓ。
×ｈ＝ｆｉｒ：×ｈ＝兀ｒ２ｈ。
教材重视类比思维方法的渗透，学生体验了“类比猜想一验证猜想”的过程。
可见．类比也是一种合情推理的方式．运用类比可以帮助学生推测出结论。
但由于通过合情推理是一种或然性的推理，得到的猜测是否正确尚需验证，即还需要依据理论的论证．有时还要进行艰苦的工作才能最后确定这种推断的真伪性。
圈１３．运用类比激发积极思维。
类比法就是在求解一个问题的时候。
运用已有的知识．经过联想一个其他类似的、熟悉的问题．用熟悉的方法来解答所需解答的闸题。
总之．解一道较难的问题，可以联想到其他类似的、较简单的问题．通过比较简单的问题的解法。
而找｝ｌＩ解决较难问题的解法。
运用类比的方法．可以激发学生的积极思维。
类比是某种类型的相似性，我们可以说它是一种更确定的和更概念性的相似．但是我们可以把话说得更确切些。
类比和其他类型的相似性之间的本质差别．笔者认为是在于思考者的意Ｉ冬１．相似对象彼此在某屿方面带来一致性。
假如想把它们的相似之处化为明确的概念．那就把相似的对象看成是可以类比的；假如成功地把它变成清楚的概念．那就阐明了类比关系。
类比法在初中数学解题中的应用技巧
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１５８㊀类比法在初中数学解题中的应用技巧类比法在初中数学解题中的应用技巧Һ赵㊀静㊀（甘肃省兰州市第十一中学，甘肃㊀兰州㊀７３００３０）㊀㊀ʌ摘要ɔ数学是抽象且逻辑关系严谨的一门学科，故而在初中数学课程中，学生经常需要解答抽象复杂的问题．为帮助学生解决问题，学好㊁用好数学，文章提出了结构化类比㊁降维类比㊁跨学科类比等技巧．教师应在初中数学教学中设计解决问题环节，同时指导学生应用类比法，培养学生创新解题能力，促进学生巩固学习内容，形成知识框架．ʌ关键词ɔ初中数学；类比法；解决问题；应用技巧‘义务教育数学课程标准（２０２２年版）“在描述数学课程核心素养在初中阶段的主要表现时指出：运用归纳和类比发现数学关系与规律，提出数学命题与猜想，并加以验证．类比作为数学研究的一种经典方法，能够应用于初中数学解题中，对学生解决问题起到促进作用，能培养学生的创新意识㊁推理能力等．类比法在初中数学解题中的应用技巧亟待研究，教师应当在初中数学教学中，借助丰富的问题为学生搭建解题平台，同时指导学生应用类比法，使其掌握结构化类比㊁降维类比等技巧，活跃学生的数学解题思维．一㊁类比法在初中数学解题中的应用价值类比法是通过未知或不确定对象与已知或确定对象的归类和比较，猜测或确认未知或不确定对象的一种古老的认知思维与推测方法．在数学领域，类比法有其独特的应用价值．具体到初中数学解题方面，类比法既有助于学生梳理思路，建立解题思维，又有利于学生巩固学习内容，形成知识框架．（一）梳理思路，建立解题思维从小学过渡到初中阶段，学生需要面对愈发复杂的数学问题，这对学生解题思维提出了更高层次的要求．类比法作为一种古老的认知思维，对学生解题思维的建立至关重要．比如，基于类比法的归类的比较步骤，学生首先将初中数学问题划分为特定类别，其次以问题类别为依据分析解决问题的具体方法，最后根据类比得到的问题特点落实精准解题．从分析问题到解决问题，学生并非如无头苍蝇一般反复尝试，而是巧妙地在归类㊁比较中梳理思路，能够更加快速地建立解题思维，提升逻辑思维水平．（二）巩固学习内容，形成知识框架类比的本质是利用已知推理未知，这决定了类比法在初中数学解题中的应用本质 迁移已有经验探索未知答案．学生应用类比法解题，便是在不断迁移已有经验探索未知答案的过程中巩固学习内容，形成知识框架．比如在学习 直角三角形的证明 时，学生应用类比法解题，可以将 等腰三角形的证明 相关知识和经验加以应用．通过这样的解题过程，学生既能学会证明直角三角形，又能巩固 等腰三角形的证明 学习内容，明确等腰三角形与直角三角形的内在联系．二㊁类比法在初中数学解题中的应用技巧如何在初中数学解题中正确构建归类和比较关系，优化逻辑推理？下面，文章将参考北师大版初中数学教材知识结构，列举问题实例，研究类比法在初中数学具体问题中的应用技巧．（一）结构化类比：把握问题本质，构建熟悉题型许多学生面对初中数学题不能灵活解决问题，是因为只注重对单一问题的解题公式㊁定理等分析，忽略了问题之间的本质联系，没有依据题型规律建立解题模型．初中数学问题万变不离其宗，许多问题看似不同，但是深挖其本质，能够发现其题型结构高度相似．学生可按照此规律应用类比法解题，从把握问题本质入手，通过构建熟悉题型解决陌生问题，此为结构化类比．比如在 勾股定理的应用 知识领域，许多问题并非直接依托直角三角形呈现，而应用勾股定理解决问题，必须使问题满足 直角三角形 这一前提．教师可指导学生应用类比法挖掘问题的本质，将普通三角形题型转化为直角三角形题型，以便准确解题．㊀图１例题呈现㊀如图１所示的是一个圆柱形饮料罐，底面半径是５，高是１２，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分ａ的长度ｘ（罐壁厚度和小圆孔大小忽略不计）的范围是（㊀㊀）．Ａ．１２ɤｘɤ１３㊀㊀㊀㊀Ｂ．１２ɤｘɤ１５Ｃ．５ɤｘɤ１２Ｄ．５ɤｘɤ１３㊀㊀㊀解题技巧与方法１５９㊀㊀解题思路㊀若吸管垂直于饮料罐底部正中心，则吸管在罐内的长度最短，即１２．若吸管斜插入饮料罐，与饮料罐底部某一端重合，则吸管在罐内的长度最长．类比问题与 勾股定理的应用 基础题型，吸管㊁饮料罐底面半径㊁饮料罐高呈现直角三角形关系，吸管在饮料罐内的长度为直角三角形的斜边长，可将题中数学信息代入勾股定理公式，即ｘ＝５２＋１２２＝１３，吸管在饮料罐内的最长距离为１３，选项Ａ正确．初读问题，其考查对象缺乏清晰性，联系选项再读问题，类比吸管㊁饮料罐底面半径㊁饮料罐高与直角三角形短直角边㊁长直角边㊁斜边的联系，可确认本题为勾股定理基础题型的变形，故可利用直角三角形的勾股定理特性解题．（二）降维类比：分析已知条件，简化问题内容降维类比是指通过对问题复杂线索与已知简单信息的对比，将复杂问题化繁为简，从而由繁到简地解题．该解题技巧在初中数学解题中的应用，要求学生细心审题，联想分析已知条件．比如在学习 弧长及扇形的面积 这部分内容时，虽然教材已经讲解了弧长及扇形面积的计算公式，但是在某些求阴影部分面积的问题中，阴影部分并非扇形，学生极易陷入解题困境．教师可指导学生应用类比法分析阴影部分的已知条件，自主将阴影部分转化为简单的图形，化简问题，简化解题．㊀图２例题呈现㊀如图２，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，ＢＣ＝４，以点Ｂ为圆心，ＢＣ的长度为半径画弧，交ＡＢ于点Ｅ；以点Ａ为圆心，ＡＥ的长度为半径画弧，交ＡＤ于点Ｆ．则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）解题思路㊀已知在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，ＢＣ＝４，则ＢＥ＝ＢＣ＝４，ＡＥ＝ＡＢ－ＢＥ＝２．Ｓ阴影＝Ｓ矩形ＡＢＣＤ－Ｓ扇形ＡＥＦ－Ｓ扇形ＢＥＣ，Ｓ阴影＝６ˑ４－９０πˑ２２３６０－９０πˑ４２３６０＝２４－５π．初看示意图，图中阴影部分为不规则图形，无法直接代入任何面积公式．结合已知信息展开类比，示意图整体为矩形，空白处为一大一小两个扇形，故而可将阴影部分转化为矩形与两个扇形的面积差．复杂问题与简单信息同时出现时，简单信息可为复杂问题提供解题思路，学生可在解题过程中，类比简单信息与复杂问题，将复杂问题简单化，简化解题过程．以本题为例，复杂问题为阴影部分面积，简单信息为矩形面积与扇形面积．经过降维类比，充分分析已知条件，找准化繁为简的切入点，问题简单化，代入公式轻松解决问题．（三）跨学科类比：应用非数学元素，发散解题思维根据‘义务教育数学课程标准（２０２２年版）“，义务教育数学课程特别设计跨学科主题活动，意在培养学生跨学科的应用意识与实践能力．跨学科是指将数学学科与其他非数学学科相联系，发散学生思维，使其将数学知识广泛运用在学习㊁生活中，同时迁移其他学科知识理解数学问题，跨学科类比由此成为类比法在初中数学解题中的应用技巧之一．教师在指导学生应用类比法解决初中数学问题时，应当避免局限在数学元素的归类㊁对比中，应使学生大胆应用非数学元素与数学元素的类比，实现创新解题．比如在 一次函数的应用 知识领域，许多问题为路程问题，学生可联系物理学科 平均速度的测量 等学习经验，类比分析路程问题，发散求解．例题呈现㊀从地面垂直向上抛射一个物体，在落地之前，物体向上的速度ｖ（ｍ／ｓ）是运动时间ｔ（ｓ）的一次函数．经测量，该物体的初始速度（ｔ＝０时物体的速度）为２５ｍ／ｓ，２ｓ后物体的速度为５ｍ／ｓ．（１）写出ｖ，ｔ的函数表达式．（２）经过多长时间后，物体将到达最高点？（此时物体的速度为０）．解题思路㊀（１）解：设ｖ＝ｋｔ＋ｂ，２５＝０＋ｂ，５＝２ｋ＋ｂ，{解得ｂ＝２５，ｋ＝－１０，{则ｖ＝－１０ｔ＋２５．（２）解：已知物体到达最高点时速度为０，则０＝－１０ｔ＋２５，解得ｔ＝２．５．答：经过２．５ｓ后，物体将到达最高点．类比数学元素与非数学元素，本题与物理中 平均速度的测量 相关．假设物体做平抛运动，其速度与时间仍存在函数关系，即ｖ＝ｋｔ＋ｂ．从地面垂直向上抛射的物体符合平抛运动特征，物体在下落的过程中不断减速，可直接设ｖ－ｔ关系式为ｖ＝ｋｔ＋ｂ．紧接着，运用 两点式 求解函数关系式，将（０，２５）（２，５）分别代入ｖ＝ｋｔ＋ｂ，可得到ｋ与ｂ的具体数值，解得ｖ＝－１０ｔ＋２５．最后根据题意，将ｖ＝０代入ｖ＝－１０ｔ＋２５，得到物体到达最高点的时间．㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１６０㊀本问题体现了初中数学跨学科应用与实践理念，满足跨学科类比解题技巧在初中数学解题中的应用条件．细心审题会发现问题隐含的非数学元素，大胆联想，在物理知识与数学解题中建立通道，在物理层面还原 平抛运动 ｖ－ｔ图像，是类比解题的重要保障．学生可使图像跃然纸上，也可根据头脑中的图像记忆提炼函数关系式．此后，代入数学元素于函数关系式，学生可融合类比法与一次函数核心知识，高效解题．（四） 数 形 类比：运用数形结合思想，化抽象为直观数形结合是初中数学解题的 法宝 ．古今中外，无数数学家提出数形结合思想．数学问题的解决过程中，数是重要依据，形是关键工具．初中数学函数㊁方程㊁不等式㊁立体几何等问题中，学生均可运用数形结合思想解决问题，此为 数 形 类比．学生可根据问题已知条件化 数 为 形 或以 数 化 形 ，从而化抽象问题为直观信息，提高解题效率．比如在学习 应用一元一次方程 追赶小明 知识时，学生若无法凭借问题文字信息理清解题思路，便可应用 数 形 类比技巧，将问题文字转化为图形语言，以具象化的方程关系帮助解题．例题呈现㊀小彬和小强每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑４ｍ，小强每秒跑６ｍ．（１）如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？（２）如果小强站在百米跑道的起点处，小彬站在他前面１０ｍ处，两人同时同向起跑，几秒后小强能追上小彬？解题思路㊀如图３，４．图３㊀同时相向起跑示意图解㊀设ｘ秒后两人相遇．（４＋６）ｘ＝１００１０ｘ＝１００ｘ＝１０答：如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，１０秒后两人相遇．图４㊀同时同向起跑示意图解㊀设ｙ秒后小强能追上小彬．４ｙ＋１０＝６ｙ２ｙ＝１０ｙ＝５答：小彬站在小强前面１０ｍ处，两人同时同向起跑，５秒后小强能追上小彬．类比问题第（１）小问与图３，小彬和小强同时相向起跑，两人相遇，即共同跑完１００米，可根据 路程和＝速度和ˑ时间和 等量关系，列出方程 （４＋６）ｘ＝１００ 解题．类比问题第（２）小问与图４，小彬和小强一前一后同时同向起跑，小强追上小彬时，小彬跑步的距离与两人跑步起点距离之和，等于小强跑步的距离，等量关系隐含在示意图中，可列出方程 ４ｙ＋１０＝６ｙ 并解题．本题为典型的相遇追及问题，共分为两个小问，学生若仅凭文字信息分析问题，极易落入解题陷阱，混淆一元一次方程的应用思维．学生若应用类比法，将文字信息类比为图形语言，即图３与图４，有助于将小彬和小强的相遇㊁追及关系具象化，把握等量关系，列出方程并解题．学生可结合题意应用类比法，通过图形表现归类和比较结果，从而快速判断等量关系，保证列方程㊁解方程的准确性．结㊀语基于类比法在初中数学解题中的应用价值，类比法在初中数学解题中的应用技巧已经成为教师关注的焦点．类比法在初中数学解题中的具体应用，可以是把握问题本质，构建熟悉题型，也可以是分析已知条件，简化问题内容，还可以是应用非数学元素，发散解题思维，更可以是运用数形结合思想，化抽象为直观．教师应当在初中数学课程中，积极指导学生应用类比法解决问题，使学生建立良好的解题思维，达成高效学习㊁学以致用．ʌ参考文献ɔ［１］唐美依． 类比法 让初中数学解题教学提质增效［Ｊ］．数学之友，２０２２，３６（２３）：１６－１７．［２］贺湘雲，赖冬梅．类比法在初中数学教学中的应用［Ｊ］．学周刊，２０２２（３５）：６１－６３．［３］段发一．类比思维在初中数学解题教学中的应用［Ｊ］．数理天地（初中版），２０２２（１６）：３３－３５．。
数学教学中类比法运用论文
浅谈数学教学中类比法的运用摘要：类比法是数学教学中的重要思想方法之一，数学教学中类比法的合理运用可以帮助学生更好地探究新知、加深对概念的理解、建构知识网络，使知识更加系统化等，本文中笔者介绍了类比法在数学中的运用。
关键词：数学；运用；类比法中图分类号：g636.6 文献标识码：a 文章编号：1002—7661（2012）19—0074—01类比是一种间接推理的思想方法，也是一种科学研究的方法。
类比是利用两对象的某些相似性，由此对象的某些性质或结论，猜测乃至证明另一对象的相应性或结论，由处理此对象的某些方法，利用相似性移植或稍加改动后移植与另一系统，用以处理另一对象的相似的性质或结论。
可见，类比是提出新问题和获得新发现的一条重要途径。
从知识层面来看小学的数学教学内容较简单，但处处蕴含着数学思想方法，在教学中需要教师去挖掘与渗透。
下面就类比思想方法在小学数学教学中的运用作些探析。
一、几点运用教学有法，教无定法这一普遍的教学规律对数学思想方法的教学同样适合，长期以来，对数学方法的探索，研究和实践，目的都是为了使传授知识与开发智力、培养能力、提高素质有机结合，使数学思想方法能有效的渗透到课堂教学中去。
在小学数学课堂教学中，我们可以通过以下几个方面来运用类比法进行有效的教与学。
（一）运用类比法探究新知数学中有些概念是难以让学生理解和接受的，倘若在教学中，讲授新知识时联系旧知识，将新旧类比分析，将能让学生更加理解知识，同时也能突破难点，降低教学难度。
例如，学生刚开始接触比的性质时，感觉困难，但学生对于分数的性质是相当熟悉的。
根据这点利用类比迁移来讲：对照分数的基本性质，看比又有什么样的基本性质呢？复习分数的基本性质，引导学生总结比的基本性质，会发现学生很自然的说出比的基本性质，既“比的前项和后项都乘以或者都除以相同的数（零除外），比值不变。
”这样的讲解使新知识不新，旧知识不旧，学生容易理解和接受。
由此可见，应用旧知识的类比能使学生在学习新知识时易于同化，从而学得轻松，教的愉快。