第一章 数列§2 2.2 第1课时 等差数列的前n项和 北师大版 必修五.
2Sn (a1 an ) (a1 an ) (a1 an ) （共n个） n(a1 an ).
于是，首项为a1,末项为an,项数为n的等差数列的前n项和
n(a1 an ) Sn . 2
这种求和的方法叫作“倒序相加法”
③
这个公式表明：等差数列前n项的和等于首末两项的 和与项数乘积的一半，参见下图.
100 (1 100) 1 2 3 99 100 5050. 2
等差数列的前n项和公式
…
…
… …
有200根相同的圆木料，要把它们堆成正三角形垛，并 使剩余的圆木料尽可能少，那么将剩余多少根圆木料？ 根据题意，各层圆木料数比上一层多一根，故其构成 等差数列： 1,2,3，…
抽象概括
设Sn是等差数列{an}的前n项和，即
Sn a1 a2 a3 an .
根据等差数列{an}的通项公式，上式可以写成
Sn a1 (a1 d ) (a1 2d ) [a1 (n 1)d ],
再把项的次序反过来，Sn又可以写成
①
Sn an (an d ) )d ], ②
2.2 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和
1.知识目标：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路； 会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问题．
2.能力目标：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会 从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认 识问题，解决问题的思路和方法；通过公式推导的过程教 学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，提高学生的 思维水平. 3.情感目标：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美
.体会模仿与创新的重要性.使学生获得发现的成就感，优
化思维品质，提高数学的推理能力．
高斯上小学时，有一次数学老师给同学们出了一道题： 计算从1到100的自然数之和.那个老师认为，这些孩子算这 道题目需要很长时间，所以他一写完题目，就坐到一边看书
去了.谁知，他刚坐下，马上就有一个学生举手说:“老师，
数列{a n }是公差为2的等差数列，此数列自第100项到 第200项仍是等差数列.共有101项，所求和为
a100 a 200 S 101 2 2 100 3 ( 2 200 3) 101 2 30 603.
1．等差数列{an}中，a1 和 d 是两个基本量，利用等差数列 通项公式与前 n 项和公式，列方程组解 a1 和 d 是解决等差数列 问题的常用方法，要注意结合等差数列的性质． 2．两个公式共涉及 a1，d，n，an 及 Sn 五个基本量，它们分 别表示等差数列的首项，公差，项数，通项和前 n 项和，其中 a1，d 为基本量．通过这两个公式及 an＝a1＋(n－1)d 可解决“知 三求二”问题．
例 例 27 求前n个正奇数的和. 解 由等差数列前n项和公式，得
n(1 2n 1) 1 3 5 （2n 1） n2. 2
例 例3 9 在数列{an }中，an 2n 3, 求这个数列自第100项
到第200项之和S的值.
解
由于a n 1 a n [2(n 1) 3] (2n 3) 2.所以，
设共摆放了n层，能构成正三角形垛的圆木料数为Sn,则 这是一个等差数列的求和问题，如何计算该等差数列 的和呢？而高斯计算的就是当n=100时的和.可见日常生活 中经常会遇到这样的求和问题，你能从高斯解决这个问题
Sn 1 2 3 n,
的过程中悟出求一般等差数列前n项和的方法吗？
每次只能运一棵.要栽完这20棵树苗，并返回A处.植树工
人共走了多少路程? 解 植树工人每种一棵树并返回A处所要走的路程（单位：
m)组成了一个数列 0,20,40,60，…，380，
这是首项为0，公差为20，项数为20的等差数列，其和
答 植树工人共走了3 800m路程.
20 (20 1) S 20 3 800(m). 2
（2）由等差数列的前n项和公式，得前9圈一共有石板
9(9 1) 98 S9 9a1 d 99 9 405(块). 2 2
答 第9圈有81块石板，前9圈一共有405块石板.
例 10 例 5
在新城大道一侧A处，运来20棵新树苗.一名工
人从A处起沿大道一侧路边每隔10m栽一棵树苗，这名工人
(2)法一
48 a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝ 5 ，
24 所以 a1＋2d＝ 5 . 1 所以 S5＝5a1＋2×5×(5－1)d＝5a1＋2×5d 24 ＝5(a1＋2d)＝5× 5 ＝24.
法二
48 a2＋a4＝a1＋a5，所以 a1＋a5＝ 5 .
na1＋an 因为 Sn＝ ， 2 5×a1＋a5 5 48 所以 S5＝ ＝ × ＝ 24. 2 2 5
a , a , , a ,
1 这是一个等差数列，a1 24, 公差d . 3
25辆车可以完成的工作量为：
25 24 1 a1 a2 a25 25 24 ( ) 500. 2 3
需要完成的工作量为 24×20=480. 因此，在24h内能构筑成第二道防线.
S1， an＝ Sn－Sn－1，
n＝1， n≥2.
一定要注意分 n＝1 和 n≥2 两种情况讨论，当 n＝1 时，也 适合 an＝Sn－Sn－1，最后的结论可以合二为一，若不适合，必须 写成分段函数
S1， an＝ Sn－Sn－1，
n＝1 的形式． n≥2
已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝－2n ＋n＋2. (1)求{an}的通项公式； (2)判断{an}是否为等差数列？
我做完了.”老师大吃一惊，原来是班上年纪最小的高斯.老 师走到他身边，只见他在笔记本上写着5050，老师看了，不 由得暗自称赞.为了鼓励他，老师买了一本数学书送给他.
思考：现在如果要你算，你能否用简便的方法来算出它 的值呢？
计算：1 2 3 99 100
100 ＋99＋98＋ …＋2 ＋1
a5 a4 a3 a2 a1 a1 a1 a1 a1 a1
d d d d a1 a1 d d d d a1 a2 d d d d a1 a3 d d d d a1 a4 d d d d a1
a5
将an=a1+(n-1)d代入③式，得
n(n 1) Sn na1 d. 2
特别地，当 a1 1, d 1时，n个连续正整数的和
④
n( n 1) Sn 1 2 3 n . 2 n(n 1) 200 对于本节开头的问题，即转化为求满足 S n 2
的最大自然数n.易知当n=19时，Sn=190;n=20时，Sn=210.所 以n的最大值为19.此时，将堆垛19层，剩余10根圆木料.
等差数列前n项和公式的基本运算
(1)在等差数列{an}中，已知 a3＋a15＝40，求 S17； (2)在等差数列{an}中，已知 a3＝16，S20＝20，若 Sn＝110， 求 n.
【解】
(1)a1＋a17＝a3＋a15，
17a1＋a17 17a3＋a15 ∴S17＝ ＝ 2 2 17×40 ＝ 2 ＝340.
(2)设{an}的公差为 d，则 a1＋2d＝16， 20×19 20a1＋ 2 d＝20， 解得 a1＝20，d＝－2， nn－1 所以 20n＋ 2 ×(－2)＝110， 即 n －21n＋110＝0， 所以 n＝10 或 n＝11.
例 6 九江抗洪指挥部接到预报，24h后有一洪峰到达 例 11 .为确保安全，指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为 第二道防线.经计算，需调用20台同型号翻斗车，平均每 辆工作24h后方可筑成第二道防线.但目前只有一辆车投入 施工，其余的需从昌九高速公路沿线抽调，每隔20min能 有一辆车到达，指挥部最多可调集25辆车，那么在24h内 能否构筑成第二道防线？ 解 从第一辆车投入工作算起，各车工作时间（单位： h)依次设为： 1 2 25
【自主解答】
(1)法一
∵a6＝10，S5＝5，
a1＋5d＝10， ∴ 5a1＋10d＝5， a1＝－5， 解得 d＝3.
∴a8＝a6＋2d＝16.
法二
∵S6＝S5＋a6＝15，
6a1＋a6 ∴15＝ ， 2 即 3(a1＋10)＝15. a6－a1 ∴a1＝－5，d＝ 5 ＝3. ∴a8＝a6＋2d＝16.
当 n≥2 时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)＝2n2－7n＋5， 则 an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－(2n2－7n＋5) ＝2n2－3n－2n2＋7n－5 ＝4n－5. 此时若 n＝1，an＝4n－5＝4×1－5＝－1＝a1， 故 an＝4n－5.
(2)当 n＝1 时，a1＝S1＝31－2＝1； 当 n≥2 时，Sn－1＝3
由Sn求an
例7
已知下面各数列{an}的前 n 项和 Sn 的公式，求{an}
的通项公式． (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n－2.
【思路探究】
(1)已知 Sn 如何求通项公式 an?
(2)用 an＝Sn－Sn－1 时应注意什么问题？
【自主解答】
(1)当 n＝1 时，a1＝S1＝2×12－3×1＝－1；
例1
在等差数列{an}中，
(1)已知 a6＝10，S5＝5，求 a8； 48 (2)已知 a2＋a4＝ 5 ，求 S5.
【思路探究】 (1)能否把已知条件写成关于 a1，d 的方程组 并求出 a1，d 进而解出 a8 的值？(2)能否使用等差数列的下标和 性质求出 a1＋a5？可以求 S5 的值吗？
（1）第9圈共有多少块石板？
（2）前9圈一共有多少块石板？
解 （1）设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{an},由题 意可知{an}是等差数列，其中a1=9，d=9,n=9. 由等差数列的通项公式，得第9圈有石板
2021_2022学年高中数学第一章数列2.2.1等差数列的前n项和课时素养评价含解析北师大版必修5
五等差数列的前n项和(20分钟35分)1.设数列{a n}是等差数列,其前n项和为S n,若a6=2且S5=30,则S8等于( )A.31B.32C.33D.34【解析】选B.由已知解得所以S8=8a1+d=32.2.在等差数列{a n}和{b n}中,a1=25,b1=15,a100+b100=139,则数列{a n+b n}的前100项的和为( )A.0B.4475C.8950D.10000【解析】选C.设=a n+b n,则c1=a1+b1=40,c100=a100+b100=139,{}是等差数列,所以前100项和S100===8 950.3.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于( )A.63B.45C.36D.27【解析】选B.因为a7+a8+a9=S9-S6,而由等差数列的性质可知,S3,S6-S3,S9-S6构成等差数列, 所以S3+(S9-S6)=2(S6-S3),即a7+a8+a9=S9-S6=2S6-3S3=2×36-3×9=45.4.设S n是等差数列{a n}的前n项和,若=,则等于( )A. B.C.D.【解析】选A.设S3=m,因为=,所以S6=3m,所以S6-S3=2m.由等差数列依次每k项之和仍为等差数列,得S3=m,S6-S3=2m,S9-S6=3m,S12-S9=4m,所以S12=10m.所以=.5.(2019·高考)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a2=-3,S5=-10,则a5=,S n的最小值为. 【解析】设公差为d,a2=a1+d=-3,S5=5a1+d=-10,即a1+2d=-2,解得a1=-4,d=1,所以a5=a1+4d=0,S n=na1+d=,当n=4或5时,S n最小,为-10.答案:0 -106.在等差数列{a n}中,a1=25,S17=S9,求S n的最大值.【解析】方法一:设等差数列{a n}的公差为d.由S17=S9,得25×17+×(17-1)d=25×9+×(9-1)d,解得d=-2.所以S n=25n+×(n-1)×(-2)=-(n-13)2+169.由二次函数的性质,知当n=13时,S n有最大值169.方法二:设等差数列{a n}的公差为d.由S17=S9,得25×17+×(17-1)d=25×9+×(9-1)d,解得d=-2.因为a1=25>0,由解得≤n≤,所以当n=13时,S n有最大值,S13=25×13+=169.【补偿训练】设数列{a n}是公差不为零的等差数列,S n是数列{a n}的前n项和,且=9S2,S4=4S2,求数列{a n}的通项公式.【解析】设等差数列{a n}的公差为d,由S n=na1+d及已知条件得(3a1+3d)2=9(2a1+d),①4a1+6d=4(2a1+d).②由②得d=2a1,代入①,有=a1,解得a1=0或a1=.当a1=0时,d=0(舍去),因此a1=,d=.故数列{a n}的通项公式为a n=+(n-1)×=(2n-1).(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n.若S5=7,S10=21,则S15等于( )A.35B.42C.49D.63【解析】选B.在等差数列{a n}中,S5,S10-S5,S15-S10成等差数列,即7,14,S15-21成等差数列,所以7+(S15-21)=2×14,解得S15=42.2.(2018·全国Ⅰ卷)记S n为等差数列的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=( )A.-12B.-10C.10D.12【解析】选 B.3=2a1+d+4a1+×d⇒9a1+9d=6a1+7d⇒3a1+2d=0⇒6+2d=0⇒d=-3,所以a5=a1+4d=2+4×(-3)=-10.3.(2020·某某高一检测)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一,书中有一道这样的题目:把100个面包分给五个人,使每个人所得成等差数列,最大的三份之和的是最小的两份之和,则最小的一份的量是( )A. B. C.D.【解题指南】由题意可得中间部分的为20个面包,设最小的一份为a1,公差为d,可得到a1和d 的方程,即可求解.【解析】选D.由题意可得中间的那份为20个面包,设最小的一份为a1,公差为d,由题意可得[20+(a1+3d)+(a1+4d)]×=a1+(a1+d),解得a1=.4.(2020·仙游高一检测)记S n为等差数列的前n项和.已知S4=0,a5=5,则( )A.a n=2n-5B.a n=3n-10C.S n=2n2-8nD.S n=n2-2n【解析】选A.由题知,解得,所以a n=2n-5.所以S n==n2-4n.【光速解题】选 A.本题还可用排除法,对B,a5=5,S4==-10≠0,排除B;对C,S4=0,a5=S5-S4=2×52-8×5-0=10≠5,排除C;对D,S4=0,a5=S5-S4=×52-2×5-0=≠5,排除D.5.等差数列{a n}的前四项和为124,后四项和为156,各项和为210,则此数列的项数为( )A.5B.6C.7D.8【解析】选B.由题意知a1+a2+a3+a4=124,a n+a n-1+a n-2+a n-3=156,所以4(a1+a n)=280,所以a1+a n=70.又S==×70=210,所以n=6.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2019·某某高考)已知数列{a n}(n∈N+)是等差数列,S n是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是.【解析】设等差数列的首项为a1,公差为d,由a2a5+a8=0,S9=27,得解得a1=-5,d=2,所以S8==4(2a1+7d)=16.答案:167.已知S n是等差数列{a n}的前n项和,若a1=-2018,-=6,则S2020=.【解析】由等差数列的性质可得也为等差数列.设其公差为d,则-=6d=6,所以d=1.故=+2 019d=-2 018+2 019=1,所以S2 020=1×2 020=2 020.答案:2 0208.(2020·全国Ⅱ卷)记S n为等差数列的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=.【解析】设等差数列的公差为d.因为是等差数列,且a1=-2,a2+a6=2,根据等差数列通项公式:a n=a1+d,可得a1+d+a1+5d=2,即-2+d++5d=2,整理可得:6d=6,解得:d=1.根据等差数列前n项和公式:S n=na1+d,n∈N*,可得:S10=10×+=-20+45=25,所以S10=25. 答案:25三、解答题(每小题10分,共20分)9.在等差数列{a n}中.(1)a1=105,a n=994,d=7,求S n;(2)d=2,a n=11,S n=35,求a1和n.【解析】(1)d====7,解得n=128.所以S n===70 336.(2)由得解方程组得或10.设等差数列的前n项和为S n,且a5+a13=34,S3=9.(1)求数列的通项公式及前n项和公式.(2)设数列{b n}的通项公式为b n=,问:是否存在正整数t,使得b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列?若存在,求出t和m的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)设等差数列的公差为d,因为a5+a13=34,S3=9.所以整理得解得所以a n=1+(n-1)×2=2n-1,S n=n×1+×2=n2.(2)由(1)知b n=,所以b1=,b2=,b m=,若b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列,则2b2=b1+b m,所以=+,即6(1+t)(2m-1+t)=(3+t)(2m-1+t)+(2m-1)(1+t)(3+t),整理得(m-3)t2-(m+1)t=0,因为t是正整数,所以(m-3)t-(m+1)=0,m=3时显然不成立,所以t===1+.又因为m≥3,m∈N,所以m=4或5或7,当m=4时,t=5;当m=5时,t=3;当m=7时,t=2.所以存在正整数t,使得b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列.即当t=5时,b1,b2,b4成等差数列;当t=3时,b1,b2,b5成等差数列;当t=2时,b1,b2,b7成等差数列.1.一个凸多边形的内角成等差数列,其中最小的内角为120°,公差为5°,那么这个多边形的边数n等于( )A.12B.16C.9D.16或9【解析】选C.a n=120+5(n-1)=5n+115,由a n<180得n<13且n∈N+,由n边形内角和定理得,(n-2)×180=n×120+×5.解得n=16或n=9,因为n<13,所以n=9.2.某仓库有同一型号的圆钢600根,堆放成如图所示的形状,从第二层开始,每一层比下面一层少放一根,而第一层至少要比第二层少一根,要使堆垛的占地面积最小(即最下面一层根数最少),则最下面一层放几根?共堆了多少层?【解析】设最下面一层放n根,则最多可堆n层,则1+2+3+…+n=≥600,所以n2+n-1 200≥0,记ƒ(n)=n2+n-1 200,因为当n∈N+时,f(n)单调递增,而f(35)=60>0,f(34)=-10<0,所以n≥35,因此最下面一层最少放35根.因为1+2+3+…+35=630,所以最多可堆放630根,必须去掉上面30根,去掉顶上7层,共1+2+3+…+7=28根,再去掉顶上第8层的2根,剩下的600根共堆了28层.故最下面一层放35根,共堆了28层.高考- 11 - / 11。
北师大版-必修五-第一章 数列-§2 等差数列-2.1 等差数列 “十校联赛”一等奖
《等差数列》学案一、学习目标探索并掌握等差数列的前n项和公式．能够应z用等差数列的前n项和公式解决等差数列的问题．二、学习重点重点是等差数列的前n项和公式的推导过程和思想．三、学习难点难点是在具体的问题情境中，如何灵活运用这些公式解决相应的实际问题．四、学法指导引导学生用观察的方法推导公式体会其思想．五、学习过程（一）预习案（自主学习）阅读教材内容，完成下列问题：回顾上节内容：等差数列的通项公式和其变形公式等差数列重要推广公式等差数列的通项公式和一次函数比较图像为本节新知识：熟悉并理解等差数列的前n项和公式的推导过程．等差数列的前n项和公式是和（二）探究案（合作学习）小组合作完成下列问题：例1．经过变形等差数列的前n项和公式和二次函数又有什么关系？例2．阅读课本第16页例7、例8完成17页练习1的三道题（将1、2填于课本，3题写在导学案上）解：8S=12S=联立求解，得到1a=，d=例3．阅读课本第17页例9并回答下列问题：其所应有的公式是1()2nnn a aS+=，因为此数列自第100项到第200项仍是等差数列，那么还有别的解法吗？（三）当堂检测在10与100之间插入50个数，使之成等差数列，求插入的数之和？一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔？等差数列{}na的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为（）.130.170.210.260A B C D（四）当堂小结等差数列的前n项和公式的求解和灵活应用．等差数列的前n项和公式和二次函数的关系．（五）课后巩固（布置作业）课本20页习题1-2 A组第13、14、15题．。
等差数列求和(顾文同)
认知水平与能力：学生已初步具有抽象逻辑思维能力，能在 教师的引导下独立地解决问题。但处理抽象问题的能力还有 待进一步提高。
三、学法指导和教法分析
学法指导：建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动的 建构知识的过程，学习应该与学生熟悉的背景相联系。在教 学中，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，通过 观察、操作、归纳、思考、探索、交流、反思参与学习，认 识和理解数学知识，学会学习，发展能力。
北师大版普通高中课程标准实验教科书·数学·必修5
等差数列的前n项和
阜阳师处理 •教学目标 •教学重点、难点 •课程资源的开发与信息技 术的整合
教材地位与作用
本节课是《北师大版普通高中课程标准实验教科书·数学·必修5》 的〈第一章§2.2 等差数列的前n项和 〉的第一课时：等差数列的 前n项和公式的推导和简单应用问题。
教学目标
知识与技能目标： (1)掌握等差数列前n项和公式; (2)掌握等差数列前n项和公式的推导过程; (3)会简单运用等差数列的前n项和公式。
过程与方法目标： 通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一
般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解 决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对 学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水 平.
在老师引导下总结出等差数列的几个重要性质 设计意图：复习通项及性质，帮助学生巩固旧知识，同
时为前n项和公式的的推导作好知识准备
推导公式
操作步骤：展示高斯求和课例并引导学生推导公式 ⑴等差数列前n项和 ⑵等差数列的前和公式 师生活动：引导学生从高斯求和的方法入手，总结出倒
高中数学北师大版必修5课件：1.2.2.2等差数列前n项和的性质
1.等差数列前n项和的性质 (1)在等差数列{an}中,每m项的和 a1+a2+…+am,am+1+am+2+…+a2m,a2m+1+a2m+2+…+a3m,…仍为等差 数列,即Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍为等差数列. (2)在等差数列{an}中,公差为d,S奇表示奇数项的和,S偶表示偶数 项的和, ①当n为奇数时,
S 奇-S 偶=a1+
������- 1 ������ 2
= ������������+1 (中间项),
2
Sn=n· ������������+1 (项数与中间项的积 ),
������奇 ������偶
2
������ + 1 = (项数加 1 比项数减 1); ������-1
②当 n 为偶数时,S 偶-S 奇= 2 ������ ,
10������1 +
① ②
=-110. 故此数列的前 110 项之和为-110.
题型一
题型二
题型三
解法二:设 Sn=an2+bn. ∵S10=100,S100=10, 102 ������ + 10������ = 100, ∴ 1002 ������ + 100������ = 10, 11 ������ = , 100 解得 111 ������ = .
∴Sn=-100n2+ 10 n.
11
11
10
111
∴S110=-100×1102+ 10 ×110=-110.
111
题型一
1.2.2等差数列的前n项和(1)(北师大版)
an≤0，
确定.
an＋1≥0
d
d 2
(2)因为 Sn＝2n ＋a1－2n，若 d≠0，则从二次函数的角度看：当 d>0
时，Sn 有 最小 值；当 d＜0 时，Sn 有 最大 值；且 n 取最接近对称轴的
自然数时，Sn 取到最值.
答案
知识点二
数列中an与Sn的关系
对任意数列{an}，Sn与an的关系可以表示为
∴an＝ n－1
2 n≥2.
解析答案
课堂小结
1.因为an＝Sn－Sn－1在n≥2时才有意义，所以由Sn求通项公式an＝f(n)时，
要分n＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解
析式表示，若不能，则用分段函数的情势表示.
2.求等差数列前n项和最值的方法：
(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要
故当n＝5或6时，Sn最大.
解析答案
1
2
3
4
5
5.已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，求an.
解
①当n＝1时，a1＝S1＝3＋2＝5.
②当n≥2时，Sn－1＝3＋2n－1，
又Sn＝3＋2n，∴an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2).
又当n＝1时，a1＝21－1＝1≠5，
5n＝1，
故数列{an}是等差数列.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1
解
本例中，若Sn＝2n2＋3n＋1，试判断该数列是不是等差数列.
∵Sn＝2n2＋3n＋1.∴n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝2n2＋3n＋1－2(n－1)2－3(n－1)－1＝4n＋1.
北师大版高中数学必修五 2.2等差数列的前n项和课件(共19张PPT)
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学习任务
复习巩固
创设情境
探索发现
学以致用 归纳总结 课后作业
问题3: 对于一般等差数列{an}，如何推导它的前n 项和公式Sn呢？
上式相加得：
由等差数列性质可知：
等差数列前n项和公式
Sn
n a1 an
2
（公式一）
Sn
na1
nn 1
2
d（公式二）
反思:（1）两公式中涉及到 a1 ， an ， Sn ， n ， d 五个量，通常已知
其中三个，就可以求出另外两个（知三求二），而且方法 就是解方程组，这是等差数列求和的基本问题。 （2）具体应用时还常结合等差数列的性质。
Sn
n a1 an
2
nn 1
Sn na1 2 d
4.前n项和公式的灵活应用及方程的思想
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学以致用 归纳总结 课后作业
1+2+3+ … +98+99+100
101
1+100=2+99=3+98=•••=50+51=101
50 ×(1+100)=5050
高斯的思路有什么特点？ 适合哪种类型？
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高斯 Gauss.C.F （1777~1855） 德国著名数学家
高中数学课件-1-2-1-1等差数列的概念和通项公式 课件(北师大版必修5)
第一章 数列
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2.1 等差数列
第一章 数列
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第1课时 等差数列的概念和通项公式
预习篇 课堂篇 提高篇
巩固篇 课时作业
第一章 数列
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学习目标
1.理解等差数列的特点与定义，掌握等差数列的判断 方法.
2.记住等差数列的概念、等差数列的通项公式，并能 运用通项公式解决一些简单问题.
第一章 数列
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【尝试解答】 数列5,8,11，…记为{an}，数列 3,7,11，…记为{bm}，则an＝5＋(n－1)·3＝3n＋2，bm＝3＋ (m－1)·4＝4m－1.
令an＝bm，得3n＋2＝4m－1(n，m∈N＋)， 即n＝43m－1(n，m∈N＋)． 要使n为正整数，m必须是3的倍数，记m＝3k(k∈N＋)． ∴n＝43·3k－1＝4k－1.
第一章 数列
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理解等差数列的定义需注意以下问题： (1)注意定义中“从第2项起”这一前提条件的两层含 义：其一，第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一 项的差”相吻合；其二，定义中包括首项这一基本量，且 必须从第2项起，以便保证数列中各项均与其前一项作差． (2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算 要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后 面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．
第一章 数列
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规律方法 求解时要紧紧抓住“同一个常数”这个条件，本例中 的第2小题是从第2项开始的等差数列，即1，2，3，…n构 成等差数列，但整个数列不是等差数列.
第一章 数列
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根据下列数列的通项公式an，判断各数列是否为等差 数列：
(1)an＝3n＋5；(2)an＝n2.
高中数学必修五-等差数列的前n项和
等差数列的前n项和知识集结知识元等差数列的前n项和知识讲解1．等差数列的前n项和【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为S n＝na1+n（n﹣1）d或者S n＝【例题解析】eg1：设等差数列的前n项和为S n，若公差d＝1，S5＝15，则S10＝解：∵d＝1，S5＝15，∴5a1+d＝5a1+10＝15，即a1＝1，则S10＝10a1+d＝10+45＝55．故答案为：55点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，解题的关键是根据题意求出首项a1的值，然后套用公式即可．eg2：等差数列{a n}的前n项和S n＝4n2﹣25n．求数列{|a n|}的前n项的和T n．解：∵等差数列{a n}的前n项和S n＝4n2﹣25n．∴a n＝S n﹣S n﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，该等差数列为﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3项为负，其和为S3＝﹣39．∴n≤3时，T n＝﹣S n＝25n﹣4n2，n≥4，T n＝S n﹣2S3＝4n2﹣25n+78，∴．点评：本题考查等差数列的前n项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．其实方法都是一样的，要么求出首项和公差，要么求出首项和第n 项的值．【考点点评】等差数列比较常见，单独考察等差数列的题也比较简单，一般单独考察是以小题出现，大题一般要考察的话会结合等比数列的相关知识考察，特别是错位相减法的运用．例题精讲等差数列的前n项和例1.已知数列{a n}的前n项和公式是则（）A．是公差为2的等差数列B．是公差为3的等差数列C．是公差为4的等差数列D．不是等差数列例2.已知等差数列{a n}的前n项和S n有最大值，且，则满足S n>0的最大正整数n的值为（）A．6B．7C．11D．12例3.S n为等差数列{a n}的前n项和，若S17=17，则a9=（）A．1B．2C．3D．4当堂练习单选题练习1.已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若且S n有最小值，则使前n项和S n>0成立的最小自然数n为（）A．4038B．4039C．4040D．4041练习2.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2+a8=0，S11=33，则公差d的值为（）A．1B．2C．3D．4练习3.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2018>0，S2019<0，那么此数列中绝对值最小的项为（）A．a1008B．a1009C．a1010D．a1011练习4.在等差数列{a n}中，a1=-2018，其前n项和为S n，若=5，则S2019的值等于（）A．0B．-2018C．-2019D．-2017练习5.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S m-1=16，S m=25，a1=1（m≥2，且m∈N），则m的值是（）A．4B．5C．6D．7练习6.记S n为等差数列{a n}的前n项和，若S2+S4=3S3，a1=2，则a6=（）A．-13B．-12C．12D．13填空题练习1.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a4=8，a1=2，则S5-S3=____练习2.数列{a n}共有k项（k为定值），它的前n项和为S n=3n2-2n（n≤k，n∈N*），现从这k项中抽取某一项（不含首项和末项），余下的k-1项的平均值为103，则k=____．练习3.在等差数列{a n}中，公差d>0，a1+a6=14，a2a5=40，则数列{a n}的前9项之和等于____．练习4.某电影院中，从第2排开始，每一排的座位数前一排多两个座位，第1排有18个座位，最后一排有36个座位，则该电影院共有座位_____个．解答题练习1.'已知等差数列{a n}满足a6=13，a2+a4=14，设{a n}的前n项和为S n．求{a n}的通项公式及S n．'练习2.'（2017秋∙韩城市校级月考）在等差数列中，a10=23，a25=-22，（1）该数列第几项开始为负；（2）求数列{|a n|}的前n项和T n．'。
高三数学必修五等差数列的前n项和知识点总结
高三数学必修五《等差数列的前n项和》知识点总结一、等差数列及前n项和知识点汇总.等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.2.等差数列的通项公式若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an=a1+d.3.等差中项如果A=/2，那么A叫做a与b的等差中项.4.等差数列的常用性质通项公式的推广：an=am+d.若{an}为等差数列，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq.若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak+m，ak+2m，…是公差为md的等差数列.数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…也是等差数列.S2n-1=an.若n为偶数，则S偶-S奇=nd/2;若n为奇数，则S奇-S偶=a中.注意：一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：Sn=a1+a2+a3+…+an，①Sn=an+an-1+…+a1，②①+②得：Sn=n/2两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元.若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，….若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.四种方法等差数列的判断方法定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数;等差中项法：验证2an-1=an+an-2都成立;通项公式法：验证an=pn+q;前n项和公式法：验证Sn=An2+Bn.注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列.一、等差数列及前n项和知识点汇总.等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.2.等差数列的通项公式若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an=a1+d.3.等差中项如果A=/2，那么A叫做a与b的等差中项.4.等差数列的常用性质通项公式的推广：an=am+d.若{an}为等差数列，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq.若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak+m，ak+2m，…是公差为md的等差数列.数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…也是等差数列.S2n-1=an.若n为偶数，则S偶-S奇=nd/2;若n为奇数，则S奇-S偶=a中.注意：一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：Sn=a1+a2+a3+…+an，①Sn=an+an-1+…+a1，②①+②得：Sn=n/2两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元.若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，….若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.四种方法等差数列的判断方法定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数;等差中项法：验证2an-1=an+an-2都成立;通项公式法：验证an=pn+q;前n项和公式法：验证Sn=An2+Bn.注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列.一、等差数列及前n项和知识点汇总.等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.2.等差数列的通项公式若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an=a1+d.3.等差中项如果A=/2，那么A叫做a与b的等差中项.4.等差数列的常用性质通项公式的推广：an=am+d.若{an}为等差数列，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq.若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak+m，ak+2m，…是公差为md的等差数列.数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…也是等差数列.S2n-1=an.若n为偶数，则S偶-S奇=nd/2;若n为奇数，则S奇-S偶=a中.注意：一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：Sn=a1+a2+a3+…+an，①Sn=an+an-1+…+a1，②①+②得：Sn=n/2两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元.若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，….若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.四种方法等差数列的判断方法定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数;等差中项法：验证2an-1=an+an-2都成立;通项公式法：验证an=pn+q;前n项和公式法：验证Sn=An2+Bn.注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列.。
等差数列的前n项求和公式ppt课件
由等差数列的性质 即
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…
2Sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..
Sn=n(a1+an)/2
5
如果代入等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，Sn也可 以用首项a1和公差d表示，即 Sn=na1+n(n-1)d/2 所以，等差数列的前n项求和公式是
-------方程、函数思想 3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知 其中三个量，可以求其余两个 -------知三求二
15
A组2、4、5
16
谢谢观赏
17
S
n
n a1 a n 2
或
S
n
n a1
n n 1 d 2
6
例题
例1
54？
等差数列-10，-6，-2， 2，…前多少项的和是
例2
已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前 20项的和是1220 .求等差数列的前n项和的公式
例3
求集合M={m|m=7n, n是正整数, 且m<100}的元素 个数, 并求这些元素的和.
8a 52 d n 2 14n nn 1 d S na d
a
n 1
13 d 0 d 0 2
2
2
解2： S3 S11
即 n=7
a1 0
由等差数列构成的函数图象，可知 n=（3+11）/2=7时，Sn最大
12
an 例8.等差数列 的前项n和S n，且a3 12 ，S12 0, S13 0