【备战2016】(北京版)高考数学分项汇编 专题09 圆锥曲线(含答案解析)理
【备战2016】（北京版）高考数学分项汇编 专题09 圆锥曲线（含解析）理
1. 【2008高考北京理第4题】若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹为（ ） A ．圆 B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线
【答案】 D
考点：抛物线的定义。
2. 【2013高考北京理第6题】若双曲线22
221x y a b
-=( )．
A ．y ＝±2x
B ．y =
C ．12y x =±
D ．2
y x =± 【答案】B
考点：双曲线的简单几何性质.
3. 【2009高考北京理第12题】椭圆22
192
x y +=的焦点为12,F F ，点P 在 椭圆上，若1||4PF =，则2||PF =_________；12F PF ∠的小大为__________. 【答案】2,120︒
考点：圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理.
4. 【2010高考北京理第13题】已知双曲线
22
22
1
x y
a b
-=的离心率为2，焦点与椭圆
22
1
259
x y
+=的焦点相
同，那么双曲线的焦点坐标为__________；渐近线方程为__________．
【答案】(±4,0)±y＝0
考点：圆锥曲线的简单几何性质.
5. 【2011高考北京理第14题】曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离的积等于常数
2(1)a a >的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P
在曲线C 上，则12
F PF 的面积不大于2
12
a .其中，所有正确结论的序号是____________. 【答案】②③
6. 【2012高考北京理第12题】在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线=4x 的焦点F.且与该撇物线相交
于A 、B 两点.其中点A 在x 轴上方。
若直线l 的倾斜角为60º.则△OAF 的面积为____________. 【答案】3
考点：直线与抛物线的位置关系问题.
7. 【2014高考北京理第11题】设双曲线C 经过点（2,2），且与2
214
y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为 ；渐近线方程为 .
【答案】
112
32
2=-y x ；x y 2±=
考点：双曲线的渐进线，共渐进线的双曲线方程的求法，容易题. 8. 【2005高考北京理第18题】（本小题共14分）
如图，直线l 1：)0(>=k kx y 与直线l 2：kx y -=之间的阴影区域（不含边界）记为W ，其左半部分
记为W 1，右半部分记为W 2.
（Ⅰ）分别用不等式组表示W 1和W 2；
（Ⅱ）若区域W 中的动点P （x ，y ）到l 1，l 2的距离之积等于d 2
，求点P 的轨迹C 的方程； （Ⅲ）设不过原点O 的直线l 与（Ⅱ）中的曲线C 相交于M 1，M 2两点，且与l 1，l 2分别 交于M 3，M 4两点. 求证△OM 1M 2的重心与△OM 3M 4的重心重合. 【答案】
l 1
l 2
x
y
9. 【2006高考北京理第19题】（本小题共14分）
已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W .
（Ⅰ）求W 的方程；
（Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅
的最小值.
10. 【2008高考北京理第19题】（本小题共14分）
已知菱形ABCD 的顶点A C ，在椭圆22
34x y +=上，对角线BD 所在直线的斜率为1．
（Ⅰ）当直线BD 过点(01)，
时，求直线AC 的方程； （Ⅱ）当60ABC ∠=
时，求菱形ABCD 面积的最大值．
11. 【2009高考北京理第19题】（本小题共14分）
已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>x =
（Ⅰ）求双曲线C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 是圆22:2O x y +=上动点0000(,)(0)P x y x y ≠处的切线，l 与双曲线C 交 于不同的两点,A B ，证明AOB ∠的大小为定值.
∠的大小为90︒.
∴AOB
12. 【2010高考北京理第19题】(14分) 在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1,1)关于原点O对称，
P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－1
3
.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设直线AP和BP分别与直线x＝3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
13. 【2011高考北京理第19题】已知椭圆G ：2
214
x y +=，过点（m ，0）作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点。
（1）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（2）将||AB 表示为m 的函数，并求||AB 的最大值。
14. 【2012高考北京理第19题】（本小题共14分） 已知曲线()()()2
2
:528C m x m y m -+-=∈R .
（1）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；
（2）设4m =，曲线C 与y 轴的交点为A ，B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与 曲线C 交于不同的两点M ，N ，直线1y =与直线BM 交于点G ，求证：A ，G ，N 三点共线.
15. 【2013高考北京理第19题】(本小题共14分)已知A，B，C是椭圆W：
2
4
x
＋y2＝1上的三个点，O是
坐标原点．
(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；
(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．
16. 【2014高考北京理第19题】（本小题满分14） 已知椭圆C ：2
2
24x y +=. （1）求椭圆C 的离心率；
（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，试判断直线AB 与圆222
x y +=的位置关系，并证明你的结论.
【答案】（1）
2
2；（2）直线AB 与圆22
2x y +=相切.
考点：椭圆的性质，直线与圆的位置关系.
17. 【2015高考北京，理10】已知双曲线()2
2210x y a a
-=>0y +=，则a =
．
【考点定位】本题考点为双曲线的几何性质，正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程，利用已给渐近线方程求参数.
18. 【2015高考北京，理19】已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的离心率为，点()01P ，
和点()A m n ，()0m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；
（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
2
212
x y +=,(,0)1m
M n -,(2)存在点Q （0，±
考点：1.求椭圆方程；2.求直线方程及与坐标轴的交点；3.存在性问题.。
北京市部分区2016届高三上学期期中期末考试数学文分类汇编：圆锥曲线 含答案
北京市部分区2016届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编圆锥曲线一、选择题1、（朝阳区2016届高三上学期期末）设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F ，且与y 轴交于点A ，若OAF ∆（O 为坐标原点）的面积为4,则抛物线方程为 A.24yx=± B 。
24y x= C 。
28yx=± D 。
28y x =2、(大兴区2016届高三上学期期末）抛物线2y x =的准线方程是（A ） 14y =- (B)12y =-（C ） 14x =-（D ）12x =-3、（丰台区2016届高三上学期期末)如图,在圆224xy +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足。
当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是椭圆,那么这个椭圆的离心率是 （A ）12（B ）14（（D4、（海淀区2016届高三上学期期末)已知点(5,0)A ,抛物线2:4C yx=的焦点为F ,点P 在抛物线C 上,若点F 恰好在PA 的 垂直平分线上，则PA 的长度为A 。
2B. C. 3 D 。
45、（延庆区2016届高三3月一模）已知双曲线的离心率53e =,且焦点到渐近线的距离为4，则该双曲线实轴长为（ ）A 。
6B 。
5 C 。
4 D 。
3参考答案1、C2、A3、D4、D5、A二、填空题 1、(昌平区2016届高三上学期期末）若双曲线22149x y -=的左支上一点P 到右焦点的距离是6，则点P 到左焦点的距离为 。
2、(朝阳区2016届高三上学期期末）双曲线2213y x -=的渐近线方程为 . 3、（大兴区2016届高三上学期期末）双曲线2213y x -=的焦点到渐近线的距离等于 4、(东城区2016届高三上学期期末）双曲线221169x y -=的离心率是_________。
5、（海淀区2016届高三上学期期末）已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线通过点(1,2)， 则___,b = 其离心率为__. 6、（顺义区2016届高三上学期期末)过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点垂直于x 轴的弦长为a 。
决胜2016年高考数学全国名校试题分项汇编(新课标Ⅱ特刊)专题09圆锥曲线(第03期)(解析版)
第九章 圆锥曲线一．基础题组1. （长春市普通高中2016届高三质量监测（二）理科数学）过双曲线22115y x -=的右支上一点P ，分别向圆221:(4)4C x y ++=和圆2:C22(4)1x y -+=作切线，切点分别为,M N ,则22||||PM PN -的最小值为A. 10B. 13C. 16D. 19【答案】B 【解析】试题解析： 由题可知，222212||||(||4)(||1)PM PN PC PC -=---，因此2222121212||||||||3(||||)(||||)3PM PN PC PC PC PC PC PC -=--=-+-12122(||||)32||313PC PC C C =+--=≥. 故选B.2. （贵州省黔南州2016届高三（上）期末数学（理）试题）设图F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|+|PF 2|=3b ，|PF 1|•|PF 2|=ab ，则该双曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．3【答案】B ．【分析】要求离心率，即求系数a ，c 间的关系，因此只需用系数将题目已知的条件表示出来即可．本题涉及到了焦点弦问题，因此注意结合定义求解．3. （辽宁省沈阳市2016届高三教学质量监测（一）数 学（理）试题）已知P 是双曲线2213x y -=上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A 、B ，则PA PB ⋅的值是（ ）A ．38- B ．316C ．D ．不能确定【答案】A 【解析】4. （辽宁省沈阳市2016届高三教学质量监测（一）数 学（理）试题）已知抛物线24x y =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过P 作PA l ⊥于点A ，当30AFO ∠=（O 为坐标原点）时,PF =____________.【答案】43【解析】试题解析：令l 与y 轴交点为B ，在ABF Rt ∆中，030=∠AFB ，2=BF ，所以AB =，若),(00y x p ，则0x =，代入24x y =中，则013y =，而0413PF PA y ==+=，故答案为43.几何法：如图所示，030AFO ∠=，30PAF ∴∠=︒ 又120PA PF APF APF =∴∆∠=︒为顶角的等腰三角形而24cos303AF ==︒，故答案为43.5. （新疆乌鲁木齐地区2016年高三年级第一次诊断性测试数学（理）试题）过抛物线的焦点F 的直线，交抛物线于A,B 两点，交准线于C 点，若2,,AF FB CF FB λ==，则λ=（ ） A. －4 B. －3 C. －2 D. －1 【答案】A 【解析】6. （新疆乌鲁木齐地区2016年高三年级第一次诊断性测试数学（理）试题）P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上的一点，12F F ，是焦点，1PF 与渐近线平行，1290F PF ∠=则双曲线的离心率为（）C. 2【答案】D【解析】7.（四川省遂宁市2016届高三（上）期末数学（理）试题）已知椭圆C：+y2=1，点M1，M2…，M5为其长轴AB的6等分点，分别过这五点作斜率为k（k≠0）的一组平行线，交椭圆C 于P1，P2，…，P10，则直线AP1，AP2，…，AP10这10条直线的斜率乘积为（）A．﹣B．﹣C．D．﹣【答案】D【分析】利用椭圆的性质可得==﹣=﹣．及其椭圆的对称性可得，，进而得出答案．【解析】解：如图所示，由椭圆的性质可得==﹣=﹣．由椭圆的对称性可得，，∴=﹣，同理可得===﹣．∴直线AP1，AP2，…，AP10这10条直线的斜率乘积==﹣．故选：B．8. （四川省遂宁市2016届高三（上）期末数学（理）试题）椭圆=1的焦距为2，则m的值是（）A．6或2 B．5 C．1或9 D．3或5【答案】D【分析】由题意可得：c=1，再分别讨论焦点的位置进而求出m的值．9.（四川省遂宁市2016届高三（上）期末数学（理）试题）有下列五个命题：（1）在平面内，F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是椭圆；（2）过M（2，0）的直线L与椭圆+y2=1交于P1、P2两点，线段P1P2中点为P，设直线L的斜率为k1（k1≠0），直线OP的斜率为k2，则k1k2等于﹣；（3）“若﹣3＜m＜5，则方程是椭圆”；（4）椭圆+=1的两个焦点为F1，F2，点P为椭圆上的点，则能使的点P 的个数0个；（5）“m=﹣2”是“直线（m+2）x+my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0垂直”的必要不充分条件；其中真命题的序号是．【答案】（2）、（4）【分析】（1）在平面内，F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是线段F1F2，即可判断出正误；（2）设P1（x1，y1），P2（x2，y2），线段P1P2中点P（x0，y0），代入椭圆方程可得：+（y2+y1）（y2﹣y1）=0，化为1+2k1k2=0，即可判断出正误；（3）方程是椭圆⇔，解得m范围即可判断出正误；（4）椭圆+=1的两个焦点为F1，F2，点P为椭圆上的点，取椭圆的短轴端点P（0，），则∠F1PF2为最大角，而tan∠F1PO==＜1，即可判断出正误；（5）由直线（m+2）x+my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0，对m分类讨论：利用两条直线垂直的充要条件即可得出正误．（5）由直线（m+2）x+my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0，对m分类讨论：当m=0时，两条直线分别化为：2x+1=0，﹣2x+2y﹣3=0，此时两条直线不垂直，舍去；当m=﹣2时，两条直线分别化为：﹣2y+1=0，﹣4x﹣3=0，此时两条直线垂直，因此m=﹣2；当m≠0，﹣2时，由于两条直线垂直可得：﹣×=﹣1，解得m=1．综上可得：此两条直线垂直的充要条件为：m=﹣2或1，因此“m=﹣2”是“直线（m+2）x+my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0垂直”的充分不必要条件．是假命题．综上可得：真命题为（2）、（4）．答案为：（2）、（4）．8.（甘肃省白银市会宁四中2016届高三（上）期末数学（理）试题）点F为椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上存在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A．B．C．D．﹣1【答案】D【分析】首先，写出焦点F的坐标，然后，根据△AOF为正三角形，建立等式，求解其离心率．∴a2c2﹣c4+3a2c2=4a4﹣4a2c2∴e2=4﹣2∴e==，∴e=．故选：D．9.（广西钦州市钦州港经济技术开发区中学2016届高三上学期期末数学（理）试题）抛物线的焦点F到双曲线渐近线的距离为．【答案】【分析】先确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标，再由题中条件求出双曲线的渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．【点评】本题考查抛物线的性质，考查双曲线的基本性质，解题的关键是定型定位，属于基础题．10.（广西钦州市钦州港经济技术开发区中学2016届高三上学期期末数学（理）试题）从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为（）A．5 B．10 C．20 D．【答案】B【分析】先设处P点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得P点横坐标，代入抛物线方程求得P的纵坐标，进而利用三角形面积公式求得答案．【解析】解：设P（x0，y0）依题意可知抛物线准线x=﹣1，∴x0=5﹣1=4∴|y0|==4，∴△MPF的面积为×5×4=10故选：B【点评】本题主要考查了抛物线的应用．解题的关键是灵活利用了抛物线的定义．11.（黑龙江省哈尔滨六中2016届高三上学期期末数学（理）试题）椭圆的左焦点为F，A（﹣a，0），B（0，b），C（0，﹣b）分别为其三个顶点．直线CF与AB交于点D，若椭圆的离心率，则tan∠BDC=．【答案】【分析】由椭圆的离心率得到a，b，c之间的关系，利用这些关系表示出∠BAO、∠CFO的正切值，由图得∠BDC=∠BAO+∠CFO，利用两角和的正切求出tan∠BDC的值．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查两角和与差的正切函数，训练了平面几何在解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．12.（黑龙江省哈尔滨六中2016届高三上学期期末数学（理）试题）若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，其准线经过双曲线的左焦点，点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|=p，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】确定抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与准线方程，利用点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|=p，求出M的坐标，代入双曲线方程，即可求得结论．【点评】本题考查抛物线的几何性质，考查曲线的交点，考查双曲线的几何性质，确定M 的坐标是关键．13. (长春市普通高中2016届高三质量监测（二）数学理科试题)过双曲线22115y x -=的右支上一点P ，分别向圆221:(4)4C x y ++=和圆2:C22(4)1x y -+=作切线，切点分别为,M N ,则22||||PM PN -的最小值为A. 10B. 13C. 16D. 19【答案】B【命题意图】本题主要考查双曲线的定义与圆切线的性质.14. （甘肃省河西五市部分普通高中2016年1月高三第一次联考数学（理）试题）已知点A是抛物线214y x =的对称轴与准线的交点，点F 为该抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足||||PF m PA =，当m 取最小值时，点P 恰好在以A ，F 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） AB1 D1+【答案】C. 【解析】试题分析：如下图所示，(0,1)A -，(0,1)F ，过P 作准线的垂线，垂足是H ，由对称性，不妨令P 在第一象限，∴||||sin ||||PF PH m PAH PA PA ===∠，∴问题等价于求PAH ∠的最小值，而21111144tan 14y x PAH x x x x ++∠===+≥=，当且仅当1124x x x=⇒=时等号成立，此时||||221PA PF a a -=-=⇒=-，∴1c e a ===+，故选C ．15. （甘肃省张掖市2016届高三第一次诊断考试数学(理科)试题）如图，1F 、2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B ．若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．7B ．4C ．332D ．3 【答案】 A【考点】本题考查双曲线的离心率.【技巧点拨】离心率求解的常用策略：1.充分利用条件列关于a,b,c 的等式或不等式，可得离心率的取值或取值范围；2.双曲线的渐近线是a 与b 之间的比值关系，再结合222c a b =+，可得,a c 的关系，及离心率的关系，从这点而言，渐近线方程和离心率是有联系的；3.在焦点三角形中，注意双曲线的定义和正弦定理、余弦定理交汇解题.16. （甘肃省张掖市2016届高三第一次诊断考试数学(理科)试题）过抛物线x y 42=的焦点的直线l 交抛物线于()()1122,,,P x y Q x y 两点，如果126x x +=，则PQ = ( ) A ．9 B ．8C ．7D ．6【答案】B【考点】本题考查抛物线的标准方程及其性质【技巧点拨】抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离.因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题时，可以优先考虑利用抛物线的定义，将其转化为点到准线的距离，这样往往可以使问题简单化.二．能力题组1. （长春市普通高中2016届高三质量监测（二）理科数学）（本小题满分12分）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ,且离心率为12,点P 为椭圆上一动点，12F PF ∆内切圆面积的最大值为3π.(1)求椭圆的方程;(2) 设椭圆的左顶点为1A ,过右焦点2F 的直线l 与椭圆相交于A ,B 两点，连结1A A , 1A B 并延长交直线4x =分别于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是,请说明理由.【答案】(1)椭圆的方程为22143x y +=.(2) 0n =，1m =或7m =. 即恒过定点(1,0)和(7,0).【解析】试题解析：解：(1) 已知椭圆的离心率为12，不妨设c t =，2a t =，即b =，其中0t >，又△12F PF 内切圆面积取最大值3π时，半径取最大值为r =12122F PF F PF r S C ∆∆=⋅，由12F PF C ∆为定值，因此12F PF S ∆也取得最大值，即点P 为短轴端点，因此12(22)22rc b a c ⋅⋅=⋅+，112(42)22t t t ⋅=+，解得1t =， 则椭圆的方程为22143x y +=. (4分)2.（贵州省黔南州2016届高三（上）期末数学（理）试题）在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线l过点E（﹣1，0）且与曲线C交于A，B两点．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）是否存在△AOB面积的最大值，若存在，求出△AOB的面积；若不存在，说明理由．【分析】（1）由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以，为焦点，长半轴长为2的椭圆，由此能求出曲线C的方程．（2）存在△AOB面积的最大值．由直线l过点E（﹣1，0），设直线l的方程为x=my﹣1，由，得（m2+4）y2﹣2my﹣3=0．由△=（2m）2+12（m2+4）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．解得，由此能求出S△AOB的最大值．则g（t）在区间上为增函数．所以．所以，当且仅当m=0时取等号，即．所以S△AOB的最大值为．3.（辽宁省沈阳市2016届高三教学质量监测（一）数学（理）试题）（本小题满分12分）已知椭圆E 的中心在坐标原点，左、右焦点1F 、2F 分别在x 轴上,离心率为21，在其上有一动点A ，A 到点1F 距离的最小值是1.过A 、1F 作一个平行四边形，顶点A 、B 、C 、D 都在椭圆E 上，如图所示. (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)判断ABCD 能否为菱形，并说明理由.(Ⅲ)当ABCD 的面积取到最大值时，判断ABCD 的形状，并求出其最大值.【答案】（Ⅰ）22143x y +=.（Ⅱ）ABCD 不能是菱形.（Ⅲ）ABCDS的最大值为6，此时211m +=，也就是0m =时，这时直线AB x ⊥轴，可以判断ABCD 是矩形. 【解析】==0c x a a=+，（没有此步，不扣分） 因为0[,]x a a ∈-，所以当0x a =-时，1min AF a c =-，……………………………3分 由题1a c -=，结合上述可知2,1a c ==，所以23b =，于是椭圆E 的方程为22143x y +=.………………………………………………………4分（Ⅲ）由题4ABCDAOB S S ∆=，而11212AOB S OF y y ∆=⋅-，又11OF = ， 即1122ABCDSOF y y =⋅-=，………………………………9分由（Ⅱ）知122634m y y m +=+，122934y y m -⋅=+.所以，ABCDS==………………………10分=,因为函数1()9f t t t=+，[1,)t ∈+∞，在1t =时，min ()10f t =，………………11分即ABCDS的最大值为6，此时211m +=，也就是0m =时，这时直线AB x ⊥轴，可以判断ABCD 是矩形. …………………………………12分4. （新疆乌鲁木齐地区2016年高三年级第一次诊断性测试数学（理）试题）已知椭圆22221(b 0)x y a a b +=>>，过焦点F 的直线与椭圆交于A,B 两点，线段AB 的中点为21-33M （，）. (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过点A 与椭圆只有一个公共点的直线为1l ，过点F 与AF 垂直的直线为2l ，求证1l 与2l 的交点在定直线上.【答案】（Ⅰ）2212x y +=;（Ⅱ）点P 在定直线2x =-上.【解析】∴12223x x +=-，12123y y +=，21211323y y x x c-=--+， 代入③式得，2221334233b a c ⨯-=⎛⎫-⨯-+ ⎪⎝⎭，即221263b a c =⎛⎫- ⎪⎝⎭，又∵c a =，222a b c -=，∴22212c b a ==，∴112263c =⎛⎫- ⎪⎝⎭，即1c =，a =， ∴椭圆方程为2212x y += …5分5. （四川省遂宁市2016届高三（上）期末数学（理）试题）已知圆C 经过点A （﹣2，0），B （0，2），且圆心C 在直线y=x 上，又直线l ：y=kx+1与圆C 相交于P 、Q 两点． （1）求圆C 的方程； （2）若•=﹣2，求实数k 的值；（3）过点（0，4）作动直线m 交圆C 于E ，F 两点．试问：在以EF 为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P ，使得圆P 经过点M （2，0）？若存在，求出圆P 的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设圆心C （a ，a ），半径为r ．|AC|=|BC|=r ，由此能求出圆C 的方程． （2）由•=2×2×cos＜，＞=﹣2，得∠POQ=120°，圆心C 到直线l ：kx ﹣y+1=0的距离d=1，由此能求出k=0．（3）当直线m的斜率不存在时，圆C也是满足题意的圆；当直线m的斜率存在时，设直线m：y=kx+4，由，得（1+k2）x2+8kx+12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出在以EF为直径的所有圆中，存在圆P：5x2+5y2﹣16x﹣8y+12=0或x2+y2=4，使得圆P经过点M（2，0）．（3）（ⅰ）当直线m的斜率不存在时，直线m经过圆C的圆心C，此时直线m与圆C的交点为E（0，2），F（0，﹣2），EF即为圆C的直径，而点M（2，0）在圆C上，即圆C也是满足题意的圆．…6.（四川省遂宁市2016届高三（上）期末数学（理）试题）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线y=x+1与椭圆C交于A，B两点，求A，B两点间的距离．【分析】（1）根据题意先求出a，由离心率求出c、b，代入椭圆方程即可；（2）联立直线方程和椭圆方程消去y求出交点A、B的横坐标，代入直线方程求出对应的纵坐标，代入两点间的距离公式求出|AB|．7.（甘肃省白银市会宁四中2016届高三（上）期末数学（理）试题）椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【分析】（Ⅰ）利用两点间的距离公式可得c，再利用椭圆的标准方程及其性质即可得出a，b；（Ⅱ）把直线l的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D，可得k AD•k BD=﹣1，即可得出m与k的关系，从而得出答案．8.（广西钦州市钦州港经济技术开发区中学2016届高三上学期期末数学（理）试题）分别过椭圆E：=1（a＞b＞0）左、右焦点F1、F2的动直线l1、l2相交于P点，与椭圆E 分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率分别为k1、k2、k3、k4，且满足k1+k2=k3+k4，已知当l1与x轴重合时，|AB|=2，|CD|=．（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在定点M，N，使得|PM|+|PN|为定值？若存在，求出M、N点坐标，若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）由已知条件推导出|AB|=2a=2，|CD|=，由此能求出椭圆E的方程．（2）焦点F1、F2坐标分别为（﹣1，0），（1，0），当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（﹣1，0）或（1，0），当直线l1，l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，由此利用韦达定理结合题设条件能推导出存在点M，N其坐标分别为（0，﹣1）、（0，1），使得|PM|+|PN|为定值2．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查是否存在定点M，N，使得|PM|+|PN|为定值的判断与证明，对数学思维的要求较高，有一定的探索性，解题时要注意函数与方程思想、等价转化思想的合理运用．9.（广西钦州市钦州港经济技术开发区中学2016届高三上学期期末数学（理）试题）平面直角坐标系xOy中，经过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个焦点的直线x﹣y﹣=0与C 相交于M，N两点，P为MN的中点，且OP斜率是﹣．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线l分别与椭圆C和圆D：x2+y2=r2（b＜r＜a）相切于点A，B，求|AB|的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）设出M，N的坐标，由MN所在直线斜率为1，P为MN的中点，且OP斜率是﹣及M，N都在椭圆上列式得到a，b的关系，再由焦点在直线x﹣y﹣=0上及隐含条件得a，b的另一等式，联立方程组即可求得a，b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设A，B分别为直线l与椭圆和圆的切点，再设出切点A（x0，y0），联立直线方程和椭圆方程，求出切点A的坐标，由直线和圆相切得到，结合直线和椭圆联立所得方程的判别式等于0，把k，m用含有r的代数式表示，再由|AB|2=|OA|2﹣r2，最后化为含有r的函数式，利用基本不等式求得最值．∵，当r=（1，2）时取等号，∴，因此当r=（1，2）时，|AB|的最大值是1．【点评】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线，圆与圆锥曲线的位置关系，涉及直线和圆锥曲线的位置关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，利用一元二次方程的根与系数关系求解，特点是运算量大，要求考生具有较强的运算能力，是压轴题．10.（黑龙江省哈尔滨六中2016届高三上学期期末数学（理）试题）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，圆x2+y2=4上有一动点P，P在x轴的上方，C（1，0），直线PA交椭圆E于点D，连结DC，PB．（1）若∠ADC=90°，求△ADC的面积S；（2）设直线PB，DC的斜率存在且分别为k1，k2，若k1=λk2，求λ的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设D（x，y），利用勾股定理和两点间的距离公式即可关于x，y的方程，与椭圆的方程联立即可解得点D的坐标，利用S△ADC=即可得出；（2）设P（x0，y0），得到直线PA的方程，与椭圆的方程联立及利用点P在圆上即可表示出直线PB、DC的斜率，利用k1=λk2，及反比例函数的单调性即可得出．∴S△ADC==．【点评】熟练掌握圆锥曲线的定义、方程及其性质、勾股定理、两点间的距离公式、斜率公式、直线与圆锥曲线的相交问题转化为方程组、一元二次方程的根与系数的关系、反比例函数的单调性是解题的关键．11. (长春市普通高中2016届高三质量监测（二）数学理科试题)（本小题满分12分） 椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ,且离心率为12,点P 为椭圆上一动点，12F PF ∆内切圆面积的最大值为3π. (1)求椭圆的方程;(2) 设椭圆的左顶点为1A ,过右焦点2F 的直线l 与椭圆相交于A ,B 两点，连结1A A , 1A B 并延长交直线4x =分别于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是,请说明理由.【命题意图】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用，椭圆方程的求法，直线与圆锥曲线的相关知识，以及恒过定点问题.(2) 设直线AB 的方程为1x ty =+，11(,)A x y ，22(,)B x y 联立221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得 22(34)690t y ty ++-=，则122634t y y t -+=+，122934y y t -=+ 直线1AA 的方程为11((2))(2)y y x x =----， 直线1BA 的方程为22((2))(2)y y x x =----， 则116(4,)2y P x +，226(4,)2y Q x +，假设PQ 为直径的圆是否恒过定点(,)M m n ， 则116(4,)2y MP m n x =--+，226(4,)2y MQ m n x =--+， 2121266(4)()()022y y MP MQ m n n x x ⋅=-+--=++ 即2121266(4)()()033y y MP MQ m n n ty ty ⋅=-+--=++即22121221212(3612)18()(4)03()9nt y y n y y n m t y y t y y --+++-=+++ 2222(3612)(9)18(6)(4)093(6)9(34)nt n t n m t t t t ----++-=-+-++，即2269(4)0nt n m -++-= 若PQ 为直径的圆是否恒过定点(,)M m n ，即不论t 为何值时，0MP MQ ⋅=恒成立， 因此，0n =，1m =或7m =. 即恒过定点(1,0)和(7,0). (12分)12. （甘肃省河西五市部分普通高中2016年1月高三第一次联考数学（理）试题）(本小题满分12分)已知椭圆M ：2221(0)3x y a a +=>的一个焦点为(1,0)F -，左右顶点分别为A ，B ，经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点.（1）求椭圆方程；（2）当直线l 的倾斜角为45时，求线段CD 的长；（3）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，求12||S S -的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）247；（3. 【解析】（3）当直线l 斜率不存在时，直线方程为1x =-，此时3(1,)2D -，3(1,)2C --，ABD ∆，ABC ∆面积相等，12||0S S -=，当直线l 斜率存在（显然0k ≠）时,设直线方程为(1)(0)y k x k =+≠,设11(,)C x y ，22(,)D x y ，和椭圆方程联立得到22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消掉y 得2222(34)84120k x k x k +++-=，显然0∆>，方程有根，且2122834k x x k +=-+，212241234k x x k -=+， 此时122121|||2||||||2||S S y y y y -=-=+212|(1)(1)|k x k x =+++21212||2|()2|34k k x x k k =++=+， ∵0k ≠，上式1234||||k k =≤==+，（k =时等号成立）， ∴12||S S -.13. （甘肃省张掖市2016届高三第一次诊断考试数学(理科)试题）（本小题满分12分） 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为错误！未找到引用源。
北京历年高考文科圆锥曲线解答题汇总(2008年—2016年)
x2 y 2 1 相交于 A ， C 两点， O 是坐标原 4
7. （2014 年北京第 19 题） 已知椭圆 C： x 2 y 4 .
2 2
（Ⅰ）求椭圆 C 的离心率； （Ⅱ）设 O 为原点，若点 A 在直线 y 2 ，点 B 在椭圆 C 上，且 OA OB ，求线段 AB 长 度的最小值. 8.（2015 年北京第 20 题）
北京历年高考文科数学圆锥曲线解答题汇总
说明：本人根据正规出版图书整理校对了北京 2008 年至 2016 年高考文科数学解析几何大 题，纠正了网上的高考试题中的个别错误，供北京考生及教师参考。 整理人：初、高中数学教师朱春光 1.（2008 年北京第 19 题） 已知 △ABC 的顶点 A ，B 在椭圆 x 2 3 y 2 4 上， C 在直线 l：y x 2 上，且 AB / /l ． （Ⅰ）当 AB 边通过坐标原点 O 时，求 AB 的长及 △ABC 的面积； （Ⅱ）当 ABC 90 ，且斜边 AC 的长最大时，求 AB 所在直线的方程．
6 ，直线 y=t 与 3
6 x2 y 2 已知椭圆 G : 2 2 1(a b 0) 的离心率为 ，右焦点为（ 2 2 ,0） ，斜率为 1 3 a b
的直线 l 与椭圆 G 交于 A、B 两点，以 AB 为底边作等腰三角形，顶点为 P（－3,2）. （I）求椭圆 G 的方程； （II）求△PAB 的面积. 5. (2012 年北京第 19 题) 已知椭圆 C :
2 2
已知椭圆 C : x 3 y 3 ， 过点 D 1, 0 且不过点 E 2,1 的直线与椭圆 C 交于 A, B 两
点，直线 AE 与直线 x 3 交于点 M ． （Ⅰ）求椭圆 C 的离心率； （Ⅱ）若 AB 垂直于 x 轴，求直线 BM 的斜率； （Ⅲ）试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关系，并说明理由． 9.（2016 年北京第 19 题） 已知椭圆 C：
三年高考(2014-2016)数学(文)试题分项版解析 专题09 圆锥曲线(大题)解析版
三年高考（2014-2016）数学（文）试题分项版解析第九章 圆锥曲线1. 【2016高考新课标1文数】（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中,直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ,交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ,M 关于点P 的对称点为N ,连结ON 并延长交C 于点H . （I ）求OH ON；（II ）除H 以外,直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由. 【答案】（I ）2（II ）没有 【解答】试题分析：先确定),(2t p t N ,ON 的方程为x tp y =,代入px y 22=整理得0222=-x t px ,解得01=x ,p t x 222=,得)2,2(2t p t H ,由此可得N 为OH 的中点,即2||||=ON OH .（II ） 把直线MH 的方程x tpt y 2=-,与px y 22=联立得04422=+-t ty y ,解得t y y 221==,即直线MH 与C 只有一个公共点,所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点.试题解析：（Ⅰ）由已知得),0(t M ,),2(2t pt P . 又N 为M 关于点P 的对称点,故),(2t p t N ,ON 的方程为x tp y =,代入px y 22=整理得0222=-x t px ,解得01=x ,p t x 222=,因此)2,2(2t pt H . 所以N 为OH 的中点,即2||||=ON OH . （Ⅱ）直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点.理由如下： 直线MH 的方程为x tp t y 2=-,即)(2t y p tx -=.代入px y 22=得04422=+-t ty y ,解得t y y 221==,即直线MH 与C 只有一个公共点,所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点.考点：直线与抛物线【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.2. 【2014高考北京文第19题】（本小题满分14分）已知椭圆C ：2224x y +=. （1） 求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在直线2y =，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值.【答案】（1）2；（2） 【解析】试题分析：（1）由椭圆C 的方程可以求椭圆C 的离心率（2）设椭圆C 的椭圆方程，结合OA OB ⊥，得出结果..试题解析：（（1）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=， 所以224,2a b ==，从而2222c a b =-=，因此2,a c ==，故椭圆C 的离心率2c e a ==.考点：本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、两点距离公式、不等式等基础知识，试题注重了知识的结合，考查了平面向量与圆锥曲线的结合、不等式与函数的结合等，有一定的综合性，考查转化与化归等数学思想，考查正确的计算能力，考查同学们分析问题与解决问题的能力.3. 【2015高考北京，文20】（本小题满分14分）已知椭圆C:2233x y +=，过点()D 1,0且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ．（I ）求椭圆C 的离心率；（II ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（III ）试判断直线BM 与直线D E 的位置关系，并说明理由． 【答案】（I ）63（II ）1；（III ）直线BM 与直线D E 平行. 【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（I ）先将椭圆方程化为标准方程，得到a ，b ，c 的值，再利用ce a=计算离心率；（II ）由直线AB 的特殊位置，设出A ，B 点坐标，设出直线AE 的方程，由于直线AE 与3x =相交于M 点，所以得到M 点坐标，利用点B 、点M 的坐标，求直线BM 的斜率；（III ）分直线AB 的斜率存在和不存在两种情况进行讨论，第一种情况，直接分析即可得出结论，第二种情况，先设出直线AB 和直线AE 的方程，将椭圆方程与直线AB 的方程联立，消参，得到12x x +和12x x ，代入到1BM k -中，只需计算出等于0即可证明BM DE k k =，即两直线平行.试题解析：（Ⅰ）椭圆C 的标准方程为2213x y +=.所以a =1b =，c =所以椭圆C的离心率c e a ==. （Ⅱ）因为AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴，所以可设1(1,)A y ，1(1,)B y -. 直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=--. 令3x =，得1(3,2)M y -. 所以直线BM 的斜率112131BM y y k -+==-.（Ⅲ）直线BM 与直线D E 平行.证明如下： 当直线AB 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知1BM k =. 又因为直线D E 的斜率10121DE k -==-，所以//BM DE . 当直线AB 的斜率存在时，设其方程为(1)(1)y k x k =-≠. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线AE 的方程为1111(2)2y y x x --=--. 令3x =，得点1113(3,)2y x M x +--.由2233(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，得2222(13)6330k x k x k +-+-=.所以2122613k x x k +=+，21223313k x x k -=+.直线BM 的斜率11212323BMy x y x k x +---=-. 因为11112121(1)3(1)(2)(3)(2)1(3)(2)BM k x x k x x x x k x x -+--------=--121221(1)[2()3)(3)(2)k x x x x x x --++-=--2222213312(1)[3)1313(3)(2)k k k k k x x -+-+-++=-- 0=，所以1BM DE k k ==. 所以//BM DE .综上可知，直线BM 与直线D E 平行.考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系.【名师点晴】本题主要考查的是椭圆的标准方程、椭圆的简单几何性质、直线的斜率和两条直线的位置关系，属于中档题．解题时一定要注意直线的斜率是否存在，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是椭圆的离心率，直线的两点斜率公式和两条直线的位置关系，即椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的离心率ce a=，过()111,x y P ，()222,x y P 的直线斜率2121y y k x x -=-（12x x ≠），若两条直线111:l y k x b =+，222:l y k x b =+斜率都存在，则12//l l ⇔12k k =且12b b ≠．4.【2014高考广东卷.文.20】(本小题满分14分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为),(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点()00,P x y 为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.【答案】(1)22194x y +=；(2)2213x y +=. 【解析】(1)由题意知33a a =⇒=,==,解得2b =,因此椭圆C 的标准方程为22194x y +=； (2)①设从点P 所引的直线的方程为()00y y k x x -=-,即()00y kx y kx =+-, 当从点P 所引的椭圆C 的两条切线的斜率都存在时,分别设为1k .2k ,则121k k =-, 将直线()00y kx y kx =+-的方程代入椭圆C 的方程并化简得()()()222000094189360kx k y kx x y kx ++-+--=,()()()2220000184949360k y kx k y kx ⎡⎤∆=--⨯+--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦, 化简得()2200940y kx k ---=,即()()22200009240x k kx y y --+-=,则1k .2k 是关于k 的一元二次方程()()22200009240x k kx y y --+-=的两根,则201220419y k k x -==--,化简得220013x y +=；②当从点P 所引的两条切线均与坐标轴垂直,则P 的坐标为()3,2±±,此时点P 也在圆2213x y +=上.综上所述,点P 的轨迹方程为2213x y +=.【考点定位】本题以椭圆为载体,考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程,将直线与二次曲线的公共点的个数利用∆的符号来进行转化,计算量较大,从中也涉及了方程思想的灵活应用,属于难题.【名师点晴】本题主要考查的是椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系和动点的轨迹方程，属于难题．解题时一定要注意关键条件“两条切线相互垂直”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是椭圆的标准方程和椭圆的简单几何性质，即椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点()1F ,0c -，右焦点()2F ,0c ，其中222a b c =+，离心率ce a=． 5. 【2016高考新课标2文数】已知A 是椭圆E ：22143x y +=的左顶点，斜率为()0k k ＞的直线交E 与A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥.（Ⅰ）当AM AN =时，求AMN ∆的面积；（Ⅱ）当AM AN =2k <<.【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）)2.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN ∆的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，，将直线AM 的方程与椭圆方程组成方程组，消去y ，用k 表示1x ，从而表示||AM ，同理用k 表示||AN ，再由2AM AN =求k . 试题解析：（Ⅰ）设11(,)M x y ，则由题意知10y >. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π， 又(2,0)A -，因此直线AM 的方程为2y x =+.将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=， 解得0y =或127y =，所以1127y =. 因此AMN ∆的面积11212144227749AMN S ∆=⨯⨯⨯=.考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】本题中22233k tk k t=++，分离变量t ，得()332132k k t k -=>-，解不等式，即求得实数k 的取值范围.6.【 2014湖南文20】如图5，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)x y C a b a b +=>>均过点23(,1)3P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形. (1)求12,C C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=？证明你的结论.【答案】(1) 22221,1332y y x x -=+= (2)不存在 【解析】试题分析:(1)利用正方形面积为2,即可得到对角线的长为2,则可得1C 的两个顶点和2C 的两个焦点的坐标,求的12,c a 的值,再结合点P 在双曲线上,代入双曲线结合,,a b c 之间的关系即可求的1b 的值,得到双曲线的方程,椭圆的焦点坐标已知,点P 在椭圆上,利用椭圆的定义2a 即为P 到两焦点的距离之和,求出距离即可得到2a 的值,利用,,a b c 之间的关系即可求出2b 的值,得到椭圆的标准方程.(2)分以下两种情况讨论,当直线l 的斜率不存在时,直线l 与2C 只有一个公共点,即直线经过2C 的顶点,得到直线l 的方程,代入双曲线求的,A B 点的坐标验证是否符合等式||||OA OB AB +=,当直线l 的斜率存在时,直线l 的方程为y kx m =+,联立直线l 与双曲线消元得到二次方程,再利用根与系数之间的关系得到关于,A B 两点横纵坐标之和的表达式,利用,k m 出OA OB ,再立直线l 与椭圆的方程0∆=即可得到,k m 直线的关系,可得到内积OA OB 不可能等于0,进而得到222222OA OB OA OB OA OB OA OB ++≠+-,即OA OB AB +≠,即不存在这样的直线.试题解析:的焦距为22c ,由题可得2122,22c a ==,从而121,1a c ==,因为点23P ⎫⎪⎪⎝⎭在双曲线22211y x b -=上,所以2212132133b b ⎛⎫-=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭,由椭圆的定义可得 ()()222222323211112333a ⎛⎫⎛⎫=+-++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23a ⇒于是根据椭圆,,a b c之间的关系可得2222222b a c =-=,所以12,C C 的方程为22221,1332y y x x -=+=. ②当直线l 不垂直于x 轴时,即直线l 的斜率存在且设直线l 的方程为y kx m =+,联立直线与双曲线方程2213y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩可得()2223230k x kmx m ----=,当l 与1C 相交于,A B 两点时,设()()1122,,,A x y B x y ,则12,x x 满足方程()2223230k x kmx m ----=,由根与系数的关系可得212122223,33km m x x x x k k ++==--,于是()22221212122333k m y y k x x km x x m k -=+++=-,联立直线l 与椭圆22132y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得 ()222234260kx kmx m +++-=,因为直线l 与椭圆只有一个交点,所以()()222201682330k m k m ∆=⇒-+-=,化简可得2223k m =-,因此2222121222233330333m k m k OA OB x x y y k k k +---=+=+=≠---, 于是222222OA OB OA OB OA OB OA OB ++≠+-,即22OA OB OA OB +≠-,所以OA OB AB +≠,综上不存在符合题目条件的直线l . 【考点定位】椭圆 双曲线 向量 向量内积【名师点睛】本题主要考查椭圆的定义、性质、标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题；解决直线与圆锥曲线问题的通法:(1)设方程及点的坐标；(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程；(3)应用韦达定理及判别式；(4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解；(5)直线与圆锥曲线相交的弦长公式：||AB =或1212|| |.AB x x y y =-==- 7. [2016高考新课标Ⅲ文数]已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明ARFQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21y x =-． 【解析】试题分析：（Ⅰ）设出与x 轴垂直的两条直线，然后得出,,,,A B P Q R 的坐标，然后通过证明直线AR 与直线FQ 的斜率相等即可证明结果了；（Ⅱ）设直线l 与x 轴的交点坐标1(,0)D x ，利用面积可求得1x ，设出AB 的中点(,)E x y ，根据AB 与x 轴是否垂直分两种情况结合AB DE k k =求解．试题解析：由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且)2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---. 记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分 （Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=， 所以ARFQ . ......5分（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ， 则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF-=--=-=∆∆. 由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E .当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y b a =+2，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12-=x y . ....12分 考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法．【方法归纳】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．8. 【2015高考湖南，文20】（本小题满分13分）已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆22222:1y x C a b+=(0)a b >>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为26，过点F 的直线l 与1C 相交于,A B 两点，与2C 相交于,C D 两点，且AC 与BD 同向. （I ）求2C 的方程；（II ）若AC BD =，求直线l 的斜率.【答案】（I ）22198y x += ；(II) 64±.试题解析：（I ）由21:4C x y =知其焦点F 的坐标为(0,1)，因为F 也是椭圆2C 的一个焦点，所以221a b -= ①； 又1C 与2C 的公共弦长为6，1C 与2C 都关于y 轴对称，且1C的方程为21:4C x y =，由此易知1C 与2C 的公共点的坐标为3(6,)2±，229614a b ∴+= ②，联立①②得229,8a b ==，故2C 的方程为22198y x +=。
(北京专用)高考数学总复习 专题09 圆锥曲线分项练习(含解析)理-人教版高三全册数学试题
专题09 圆锥曲线1. 【2008高考理第4题】若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹为（ ） A ．圆 B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】D考点：抛物线的定义。
2. 【2013高考理第6题】若双曲线22221x y a b-=3则其渐近线方程为( )．A ．y ＝±2xB ．2y x =C ．12y x =±D ．22y x =± 【答案】B 【解析】3c 3，∴b 2. ∴渐近线方程为2by x x a=±=±，故选B. 考点：双曲线的简单几何性质.3. 【2009高考理第12题】椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在 椭圆上，若1||4PF =，则2||PF =_________；12F PF ∠的小大为__________. 【答案】2,120︒【解析】 试题分析：∵229,3a b ==，∴22927c a b =-=-=， ∴1227F F =，又1124,26PF PF PF a =+==， ∴22PF =，又由余弦定理，得()2221224271cos 2242F PF +-∠==-⨯⨯，∴12120F PF ︒∠=，故应填2,120︒.考点：圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理.4. 【2010高考理第13题】已知双曲线22221x y a b -=的离心率为2，焦点与椭圆221259x y +=的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为__________；渐近线方程为__________． 【答案】 (±4,0)3x ±y ＝0在双曲线22221x y a b-=中，c ＝4，e ＝2，∴a ＝2，b ＝33x ±y ＝0. 考点：圆锥曲线的简单几何性质.5. 【2011高考理第14题】曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离的积等于常数2(1)a a >的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则12F PF 的面积不大于212a .其中，所有正确结论的序号是____________. 【答案】②③6. 【2012高考理第12题】在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线=4x 的焦点F.且与该撇物线相交于A 、B 两点.其中点A 在x 轴上方。
(北京专版)高考数学分项版解析专题09圆锥曲线文[含答案]
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（北京专版）高考数学分项版解析专题09圆锥曲线文[含答案]专题09圆锥曲线文9x2y21。
[2022年高考北京试题3]“双曲线方程是”双曲线的拟线性方程是x？？"?? 1”5916的（）a、充分和不必要条件充分和必要条件b．必要而不充分条件d．既不充分也不必要条件y22。
双曲线X-=1的偏心率大于2的充要条件是（）m2a、 m＞1b．m≥12c．m＞1d．m＞2【答案】c【解析】问题分析：双曲偏心率e？3.[2022年北京高考试题8]1?m，由已知1?m>2，故m＞1，故选c.1x2y24。
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[答：]x？？1.1,0? [分析]2p？4.二p?1，所以抛物线的准线为x??1；焦点坐标为?1,0?。
226.[2022年高考北京试题9]如果抛物线y=2px的焦点坐标为（1,0），那么p=__;；准直方程为__[answer]2x=-1x2y2??1的焦点为f1,f2，7.【2021高考北京文第13题】椭圆点p在椭圆上，若|pf1|?4，92则|pf2|?；?f1pf2的大小为.【答案】2,120.-2-x2y2x2y2？？18.[2022年高考北京第13题]已知双曲线2？2.1的偏心率是2，焦点是椭圆ab259的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为__________；渐近线方程为__________．【答案】(±4,0)【解析】3x±y＝0x2y2??1的焦点坐标为(±4,0)，故双曲线的焦点坐标为(±4,0)．试题分析：椭圆双曲线2中的259x2y2？2.在1中，C=4，e=2，ab∴a＝2，b＝23.∴渐近线方程为3x±y＝0.9.[2022年高考北京作文题10]将双曲线C的两个焦点设定为？2,0，2,0，一个顶点式1,0?，那么C的方程是【答案】x?y?122-3-考点：本小题主要考查双曲线的方程的求解、a,b,c的关系式，考查分析问题与解决问题的能力.210年。
专题09 圆锥曲线(第01期)-决胜2016年高考全国名校试题文数分项汇编(新课标Ⅱ特刊)(原卷版)
第九章 圆锥曲线一．基础题组1. 【甘肃省天水市第一中学2015届高三高考信息卷（二）数学文5】如图，1F 、2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，1F O 为半径的圆与该双曲线左支交于A 、B 两点，若2F AB ∆是等边三角形，则双曲线的离心率为 （ ）（A （B ）2 （C 1- （D 1+2. 【长春市普通高中2015届高三质量监测（三）文11】已知抛物线:C x y 42=的焦点为F ，直线1)y x =-与C 交于,(A B A 在x 轴上方）两点，若AF mFB =，则m 的值为（ ）A.B.32C. 2D. 33.【长春市普通高中2015届高三质量监测（三）文6】已知双曲线222211x y a a -=-(0)a >，则a 的值为（ ）A.12B.C.13D.4.【辽宁沈阳东北育才学校2015届高三第八次模拟考试数学文8】已知双曲线)0, 0( 12222>>=-b a by a x 的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为 （ ） A.02=±y xB.02=±y xC.034=±y xD.043=±y x5.【海南省文昌中学2015届高三5月段考数学文7】知双曲线22:=1916x y C -的左、右焦点分别为12F F P 、，为双曲线C 的右支上一点，且212||PF F F ＝，则12PF F ∆ 的面积等于( )A ．24B ．36C ．48D ．966.【甘肃天水第一中学2015届高三5月中旬仿真考试文9】已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线均和圆C ：x 2+y 2﹣6x+5=0相切，则该双曲线离心率等于（ ）A ．B ．C ．D ．7.【海南省海南中学2015届高三5月月考数学文9】抛物线y ＝ax 2的准线方程为y ＝1，则实数a 的值为（ ） （A ）4 （B ）41 （C ）41- （D ）－4 8.【黑龙江哈尔滨第六中学2015届高三下学期第四次模拟文9】双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于（ ） A.2 B.22 C.32 D.49.【辽宁朝阳三校协作体2015届高三下学期第一次联合模拟文11】已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若3=，则QF =( ) A ．25 B ． 38C ． 3D ． 6 10.【海南省海南中学2015届高三5月月考数学文11】设12,F F 分别是双曲线22221x y a b-=（a ﹥0，b ﹥0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使得()220OP OF F P +=，其中O 为坐标原点，且122PF PF =，则该双曲线的离心率为( )1 11.【黑龙江哈尔滨第六中学2015届高三下学期第四次模拟文11】设1F 、2F 是椭圆)10(1222<<=+b by x 的左、右焦点，过1F 的直线l 交椭圆于B A ,两点，若||3||11B F AF =，且x AF ⊥2轴，则=2b （ ） A.41 B.31 C. 32 D.43 12.【2015年辽师大附中高三年级模拟考试文11】已知F 2，F 1是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a y 的上，下两个焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）A ． 2B ．3C ． 3D ．213.【黑龙江哈尔滨第三中学2015届高三第四次模拟考试文11】双曲线C 的中心在原点，焦点在y 轴上，，双曲线C 与抛物线24y x =的准线交于A ，B 两点，4AB =，则双曲线C 的实轴长为（ ）A. 2 B C ．4 D ．14.【甘肃省河西五市2015年高三5月第二次联考数学文12】已知抛物线C ：x 2=8y 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若2PF FQ =，则|QF|= （A ）6（B ）3（C ）83（D ）4315.【云南省2015届高三第一次复习统测数学文10】已知1F 、2F 是双曲线M ：22214y x m -=的焦点，y x =是双曲线M 的一条渐近线，离心率等于34的椭圆E 与双曲线M 的焦点相同，P 是椭圆E 与双曲线M 的一个公共点，设12||||PF PF n ⋅=，则下列正确的是（ ）A.12n =B.24n =C.36n =D.12n ≠且24n ≠且36n ≠16.【内蒙古赤峰市宁城县2015届高三3月统一考试（一模）文9】△ABC 的两个顶点为A(-4,0)，B(4,0)，△ABC 周长为18，则C 点轨迹为( )（A ）191622=+y x (y ≠0) （B ） 192522=+x y (y ≠0) （C ）191622=+x y (y ≠0) （D ）192522=+y x (y ≠0)17.【辽宁大连2015年高三第一次模拟考试文10】已知抛物线:C x y 42=的焦点为F ，直线1)y x =-与C 交于,(A B A 在x 轴上方）两点．若AF mFB =，则m 的值为（ ）（A （B ）32（C ）2 （D ）3 18.【甘肃省天水市第一中学2015届高三高考信息卷（一）数学文11】设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线分别交于点B A ,,若点)0,(m P 满足PB PA =，则该双曲线的离心率是( )（A ）25（B ） 32 （C ）52 （D 119.【吉林省实验中学2015届高三上学期第五次模拟考试数学文11】已知双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点分别是12,F F ，正三角形12AF F 的一边1AF 与双曲线左支交于点B ，且114AF BF =，则双曲线C 的离心率的值是 （ ）A ．123+ B C ．1313+ D 20.【黑龙江大庆第一中学2014届高三下期第二次阶段考试文11】椭圆222516x y +＝1的左、右焦点分别为21,F F ，弦AB 过1F 点，若2ABF ∆的内切圆周长为π，B A ,两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则12||y y -的值为（ ）B.103C.203D.5321.【海南省海南中学2015届高三5月月考数学文13】若双曲线22221x y a b-=，则其渐近线方程为 .22.【云南省2015届高三第一次复习统测数学文14】如果抛物线C 的方程为22(0)y px p =>，M 的方程为228120x y x +++=，如果抛物线C 的准线与M 相切，那么p 的值为_______.23.【甘肃天水第一中学2015届高三5月中旬仿真考试文14】若M 是抛物线y 2=4x 上一点，且在x 轴上方，F 是抛物线的焦点，直线FM 的倾斜角为60o，则|FM|= .24.【甘肃天水第一中学2015届高三第五次高考模拟文14】以抛物线214y x =的焦点为圆心，以焦点到准线的距离为半径的圆被双曲线2214x y -=的渐近线截得的弦长为 ． 25.【黑龙江哈尔滨第九中学2015届高三第三次高考模拟文15】已知B A ,是双曲线12222=-by a x 实轴的两个顶点，P 是双曲线上的任意一点，若直线PB PA ,的斜率乘积32=⋅PB PA k k ，则该双曲线的离心率=e ;二．能力题组1. 【广西桂林市第十八中学2015届高三全真模拟（二）数学文11】如图过拋物线22(0)=>y px p 的焦点F 的直线依次交拋物线及准线于点,,A B C ，若2BC BF =，且3AF =，则拋物线的方程为（ ） A ．=2y x 23 B =2y x 9 C ．=2y x 29D ．=2y x 32.【辽宁省锦州市2015届高三质量检测（二）数学文11】过双曲线 2222x y a b-= 1 (a > 0,b > 0)的一个焦点F向其一条渐近线作垂线l ， 垂足为A ，l 与另一条渐近线交于B 点， 若2FB FA =， 则双曲线的离心率为（A ） 2（B（C（D3.【贵州省八校联盟2015届高三第二次联考文11】双曲线222214x y a b-=的右焦点F 与抛物线24y px =)0(>p 的焦点重合，且在第一象限的交点为M ，MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率是 ( )A.2B.1+24.【甘肃省天水市第一中学2015届高三高考信息卷（二）数学文11】已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若QF PF 3=，则QF =（ ） （A ）25 （B ）38（C ） 3 （D ） 6 5.【吉林省吉林市2015届高三第三次模拟考试文16】已知直线0=1+-y x l :与抛物线y x C 4=2:交于A ，B 两点，点P 为抛物线C 上一动点，且在直线l 下方，则△PAB 的面积的最大值为 .6.【辽宁朝阳三校协作体2015届高三下学期第一次联合模拟文15】已知椭圆C ：2211612x y +=，点M 与C的焦点不重合，若M 关于C 的两焦点的对称点分别为P ，Q ，线段MN 的中点在C 上，则||||PN QN += ．7.【辽宁省锦州市2015届高三质量检测（二）数学文16】已知抛物线C ：y 2= 2px (p > 0)的焦点为F ， 过点F 倾斜角为60°的直线l 与抛物线C 在第一、 四象限分别交于A 、 B 两点， 则AF BF的值等于_____________三．拔高题组1. 【辽宁朝阳三校协作体2015届高三下学期第一次联合模拟文20】（本小题满分12分）如图，抛物线1C ：px y 22=与椭圆2C ：1121622=+y x 在第一象限的交点为B ，O 为坐标原点，A 为椭圆的右顶点，OAB ∆的面积为368. （Ⅰ）求抛物线1C 的方程；（Ⅱ）过A 点作直线l 交1C 于C 、D 两点，求OCD ∆面积的最小值．2.【海南省海南中学2015届高三5月月考数学文20】（本小题满分12分）.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=〉〉经过点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，离心率12e =．⑴ 求椭圆C 的方程；⑵不过原点的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，若AB 的中点M 在抛物线2:4E y x =上，求直线l 的斜率k 的取值范围.3.【黑龙江哈尔滨第九中学2015届高三第三次高考模拟文20】 (本题满分12分)已知抛物线x y 42=，过点()2,0M 的直线l 与抛物线交于B A ,两点，且直线l 与x 轴交于点C.（1）求证：MB MC MA ,,成等比数列； （2）设BC MB AC MA βα==,,试问βα+是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.4.【辽宁沈阳东北育才学校2015届高三第八次模拟考试数学文20】(本题满分12分)已知曲线1C ：22144x y λ+=，曲线2C ：2221(01)44x y λλλ+=<<.曲线2C 的左顶点恰为曲线1C 的左焦点.(Ⅰ)求λ的值；(Ⅱ)设00(,)P x y 为曲线2C 上一点，过点P 作直线交曲线1C 于,A C 两点. 直线OP 交曲线1C 于,B D两点. 若P 为AC 中点，① 求证：直线AC 的方程为 0022x x y y +=；② 求四边形ABCD 的面积.5.【吉林省实验中学2015届高三上学期第五次模拟考试数学文20】（本小题满分12分）已知椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）与y 轴的交点为A ，B （点A 位于点B 的上方），F 为左焦点，原点O 到直线F A 的距离为22b ． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）设b=2，直线y=kx+4与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，求证：直线BM 与直线AN 的交点G 在定直线上．6.【黑龙江哈尔滨第三中学2015届高三第四次模拟考试文20】（本小题满分12分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为1(F 、2F ，点P 在椭圆C 上，满足127PF PF =，12tan F PF ∠=．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点(1,0)A ，试探究是否存在直线:l y kx m =+与椭圆C 交于D 、E 两点，且使得||||AD AE =？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.7.【甘肃省天水市第一中学2015届高三高考信息卷（一）数学文20】如图，1F 、2F 为椭圆2222:1x y C a b+=的左、右焦点，D 、 E 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率e =21DEF S ∆=．若00(,)M x y 在椭圆C 上，则点00(,)x y N a b称为点M 的一个“好点”．直线l 与椭圆交于A 、B 两点， A 、B 两点的“好点”分别为P 、Q ，已知以PQ 为直径的圆经过坐标原点． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）AOB ∆的面积是否为定值？若为定值，试求出该定值；若不为定值，请说明理由．8.【甘肃天水第一中学2015届高三第五次高考模拟文20】（本小题满分12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点到两焦点21,F F 距离之和为24，离心率为23． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于B A ,两点．点)1,2(P 为椭圆上一点，求△PAB 的面积的最大值．9.【2015年辽师大附中高三年级模拟考试文20】（本小题满分12分）设m ∈R ，在平面直角坐标系中，已知向量a ＝(mx,y+1)，向量b =(x,y-1)，a b ⊥，动点M （x,y ）的轨迹为E.（Ⅰ）求轨迹E 的方程，并说明该方程所表示曲线的形状; （Ⅱ）已知14m =，证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E 恒有两个交点A ，B ，且OA ⊥OB （O 为坐标原点），并求该圆的方程。
高考全国名校试题数学分项汇编专题09圆锥曲线word版含解析(有答案)
一、填空题1. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ，过点P 向x 轴作垂线，垂足为H ，若PH a =，则双曲线的离心率为2. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，过2F 的直线交双曲线的右支于P ，Q 两点，若112||||PF F F =，且223||2||PF QF =，则该双曲线的离心率为 . 【答案】75【解析】由双曲线的性质可知，1||2PF c =，2||22PF c a =-，∴2||33QFc a =-，1||3FQ c a =-，∴2251270c ac a ⇒-+=，7()(57)05c c a c a e a --=⇒==，故填：75.3. 【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】已知F 是椭圆1C ：与双曲线2C 的一个公共焦点，A ，B 分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点．若0=⋅BF AF ，则2C 的离心率是 ▲ ．【解析】设双曲线的实轴长为2a ，F '为椭圆1C ：2C 的另一个公共焦点，则由对称性知0AF AF '⋅= ,4. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】抛物线24y x =上的一点到其焦点距离为3，则该点坐标为 ．【答案】(2,±【解析】由题意知抛物线的焦点为()1,0，准线为1x =-；根据抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，知该点的横坐标为2，代入抛物线方程得该点坐标为(2,±．5. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】以抛物线y 2＝4x 的焦点为焦点，以直线y ＝±x 为渐近线的双曲线标准方程为________．6. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】已知点0)A 和曲线)522(142≤≤-=x x y 上的点12n P P P ，，，.若12||||||nP A P A P A ，，，成等差数列且公差1(5d ∈，则n 的最大值为______. 【答案】14【解析】因题设的曲线是双曲线)522(1422≤≤=-x y x 上的一段，而点0)A 是它的7. 【江苏省扬州中学2016届高三4月质量监测】在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 分别是双曲线x 2－23y ＝1的左、右焦点，△ABC 的顶点C 在双曲线的右支上，则sin sin sin A B C-的值是 ． 【答案】12- 【解析】试题分析：由正弦定理得2122sin sin sin -=-=-=-=-c a c a AB AC BC C B A 8. 【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】在平面直角坐标系xOy 中，已知方程2242x y m m--+=1表示双曲线，则实数m 的取值范围为 ▲ ． 【答案】(2,4)- 【解析】试题分析：由题意得(4)(2)0(4)(2)024m m m m m -+>⇒-+<⇒-<<9. 【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2221x y a-=与抛物线212y x =-有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为 .【答案】4y x =± 【解析】试题分析：由题意得219a a +=⇒=而双曲线2221x y a -=渐近线的方程为1,y x a =±即4y x =± 10. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】设双曲线1169:22=-y x C 的两焦点分别为P F F ,,21是C 上一点，若以P 为圆心的圆过C 的一个焦点和顶点，则=⋅21PF PF ．11. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的一个焦点为(3,0)，直线10x y --=与双曲线右支有交点，则当双曲线离心率最小时双曲线方程为_______.【答案】22154x y -=【解析】由题意知方程组2222110x y a b x y ìïï-=ïíïï--=ïî有正数解，即2222222()20b a x a x a a b -+--=有正数解，所以0))((44222224≥+-+=∆b a a a b a ，即0122≥-+a b ,又229a b -=,故1022≤a ,即5≤a ,所以离心率53≥=a c e ,即当a =5x =，双曲线方程为22154x y -=.12. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】在平面直角坐标系xOy 中，与双曲线22154x y -=有相同渐近线，且一条准线方程为y =的双曲线的标准方程为_______. 【答案】221810y x -=【解析】与双曲线22154x y -=有相同渐近线的双曲线的标准方程可设为2254x y λ-=，因为一条准线方程为3y =，所以双曲线焦点在y 轴上，故0,λ<23λ=⇒=-，所求方程为221810y x -=13. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】设F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过点F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A ，垂线交另一条渐近线于B 点，若向量BF 与FA同向，且3AB OA OB =+，则双曲线的离心率为_______.14. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】已知椭圆22221(0)y x a b a b +=>>，长轴AB 上2016个等分点从左到右依次为点122015,,,M M M ，过1M 点作斜率为(0)k k ≠的直线，交椭圆C 于12,P P 两点，1P 点在x 轴上方；过2M 点作斜率为(0)k k ≠的直线，交椭圆C 于34,P P 两点，3P 点在x 轴上方；以此类推，过2015M 点作斜率为(0)k k ≠的直线，交椭圆C 于40294030,P P 两点，4029P 点在x 轴上方，则4030条直线124030,AP AP AP ，，的斜率乘积为_______. 【答案】20151.2-，所以22=2a c ，又222=a b c +，所以22=2a b ，设1P ),(11P P y x ，由椭圆对称性知22111222140301111112P P P AP AP AP BP P P P y y y b k k k k x a x a x a a ⋅⋅⋅==-=-+--==,从而4030条直线124030,AP AP AP ，，的斜率乘积配成2015组，每组乘积皆为12-，因此结果为20151.2-15. 【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4米时，测得拱桥内水面宽为16米；当水面升高 3米后，拱桥内水面的宽度为 ▲ 米．（第8题）二、解答题1. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】（本小题满分14分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为e ，直线:l y ex a =+与,x y 轴分别交于B A 、点. （Ⅰ）求证：直线l 与椭圆C 有且仅有一个交点；（Ⅱ）设T 为直线l 与椭圆C 的交点，若AT eAB =，求椭圆C 的离心率； （Ⅲ）求证：直线:l y ex a =+上的点到椭圆C 两焦点距离和的最小值为2.a 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）1.2e =（Ⅲ）详见解析 【解析】（Ⅰ）由22221x y a b y ex a ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得：222222()b x a ex a a b ++=，即22222342220b x a e x ea x a a b +++-=， 222322()20b c x ea x a c +++=， 2220,x cx c x c ++==-，y ec a =-+，即直线:l y ex a =+上的点到椭圆C 两焦点距离和的最小值为2.a ……14分 2. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分16分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 与双曲线1222=-y x 有相同的焦点，且点A （2，1）在椭圆上 （1）试求椭圆的标准方程；（2）若点B 、C 是椭圆上的两点，直线AB 、AC 的斜率1k 、2k 满足等式2121-=k k ， ①试证B 、C 两点关于原点对称；②若椭圆左顶点为P ，直线PB 、PC 与y 轴分别交于点M 、N ，试证以MN 为直径的圆D 必过两定点.【答案】（Ⅰ）13622=+y x （Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析 【解析】（1）由3212=+=c 得322=-b a ，又11422=+ba ，联立解之得3,622==b a 从而所求椭圆的标准方程为13622=+y x .)66,0(11-x y ,线段MN 中点坐标为D )66,0(2111-x yx ，121126y MN x =-从而以MN 为直径的圆方程为2211221112)66()66(-=--+x y x y x y x 因点B 在椭圆上，故1362121=+y x ，故622121=+y x ，代入上式得212112)3()26(y y x y x =++，令0=y 得32=x ，于是3±=x ，故以MN 为直径的圆D 必过两定点)0,3(±. 3. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分16分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，直线2x =为椭圆的一条准线. 椭圆上两点1122(,)(,)A x y B x y 、. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若点M 满足2OM OA OB =+，且121222x x y y +=-，求证：点M 在椭圆C 上；（Ⅲ）若点(1,0)M -满足2,OM OA OB λ=+求实数λ的取值范围.即实数λ的取值范围为[- ……16分4. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】 （本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知P 点到两定点(2,0),(2,0)D E -连线斜率之积为12-.（1）求证：动点P 恒在一个定椭圆C 上运动；（2）过F 的直线交椭圆C 于,A B 两点，过O 的直线交椭圆C 于,M N 两点，若直线AB 与直线MN 斜率之和为零，求证：直线AM 与直线BN 斜率之和为定值. 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析【解析】（1）设(,)P x y ，则由题意得1222y y x x ⋅=-+-，化简得：22142x y += 因此动点P 恒在椭圆22142x y +=上 ……4分即直线AM与直线BN斜率之和为定值0. ……14分5. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】（本小题满分16分）已知椭圆C :22221(0)x ya ba b+=>> , 经过点P(1,.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与椭圆C交于,A B两点，且以AB为直径的圆过椭圆右顶点M，求证：直线l恒过定点．【答案】（Ⅰ）2214xy+=（Ⅱ）详见解析【解析】解：（1）由2222213142a bcaa b c⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得21ab=⎧⎨=⎩，所以椭圆C的方程是2214xy+=. .…………………5分综上，直线l 经过定点6(,0).5…………………14分6. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】（本小题满分16分）设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别为21,F F ，过2F 的直线l 交椭圆C 于两点Q P ,，且02160=∠PF F ． （1）若21PF F ∆是等腰三角形，求椭圆C 的离心率e 的值； （2）设||||1PF PQ λ=，且3443<≤λ，求椭圆C 的离心率e 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）21=e （Ⅱ）]913114447,313624(--∈e 【解析】（1）因21PF F ∆是等腰三角形，且02160=∠PF F ，故21PF F ∆是等边三角形，则c F F PF PF 2||||||2121===，所以由椭圆定义可得a c c 222=+，即21=e ,故所求椭圆的离心率为21=e .----------------------------------------------------------------5分；（2）由椭圆定义可得a PF PF 2||||21=+，a QF QF 2||||21=+，则a QF PQ PF 4||||||11=++，--------------------------------------------------------------------6分；222)2(2)2(4tt t e ---+=，即161222+-=t t e ， 再令u t =1，由)3137,4137[++∈t ，得]9137,12137(1--∈t ， 即]9137,12137(--∈u --------------------------------------------------------15分． 而二次函数1612)(22+-==u u u g e 的对称轴为41=u ，而4112137>-，所以)(u g y =在]9137,12137(--∈u 上单调递增,借助图象可得函数)(u g y =的值域为]271338149,31328(2--∈e ，即离心率e 的取值范围是]913114447,313624(--∈e ．-----------------------------------16分．7. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】（本小题满分16分）定义：若12,P P 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上不同的两点，12PP ⊥x 轴，圆E 过12,,P P 且椭圆C上任意一点都不在圆E 内，则称圆E 为该椭圆的一个内切圆.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率23=e ，且经过点P )23,1(（1）求椭圆C 的标准方程；（2）试问：椭圆C 是否存在过左焦点1F 的内切圆？若存在，求出圆E 方程；若不存在，请说明理由． (3)若圆F 是过椭圆C 上下顶点21,A A 的内切圆，过椭圆C 异于其顶点的任意一点Q 作圆F 的两条切线，切点分别为R T ,,(R T ,不在坐标轴上），直线TR 在x 轴，y 轴上的截距分别为,,m n 证明：22141n m +为定值；由题意知，点E 在x 轴上，设点(,0),E t 则圆E 的方程为2222()().x t y m t n -+=-+8. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】（本小题满分16分）如图，已知椭圆12222=+by a x （0＞＞b a ）的左、右焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，M 在1PF 上，且满足F λ=1（R ∈λ），M F PO 2⊥，O 为坐标原点.（1）若椭圆方程为14822=+y x ，且），（22P ，求点M 的横坐标； （2）若2=λ，求椭圆离心率e 的取值范围9. 【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】 (本小题满分14分)已知椭圆:C 22142x y +=的焦点分别为12,F F . （Ⅰ）求以线段12F F 为直径的圆的方程；（Ⅱ）过点(4,0)P 任作一条直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N .在x 轴上是否存在点Q ，使得180PQM PQN ∠+∠=︒？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.即2222(16)4(21)(324)0k k k -+->，解得216k <. 设11(,)M x y ，22(,)N x y ,则21221621k x x k +=+，212232421k x x k -=+，11(4)y k x =-，22(4)y k x =-.由1212120y y k k x m x m+=+=--，得 1221()()0,x m y x m y -+-=10. 【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】 (本小题满分14分) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b += (a ＞b ＞0)(2，1)在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝2相切，与椭圆C 相交于P ，Q 两点．①若直线l 过椭圆C 的右焦点F ，求△OPQ 的面积； ②求证： OP ⊥OQ ．【答案】（1）22163x y +=（2，②详见解析【解析】解：（1）由题意，得c a =22411a b+=，解得a 2＝6，b 2＝3．因为O到直线PQ，所以△O PQ．因为椭圆的对称性，当切线方程为y x时，△O PQ．综上所述，△O PQ的面积为·································8分②解法二消去y得5x2－＋6＝0．设P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有x1＋x2．由椭圆定义可得，PQ＝PF＋FQ＝2a－e( x1＋x2)＝2＝．···············6分② (i)若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为x x当x时，P，Q)．因为OP OQ ⋅＝0，所以OP ⊥OQ ．当x OP ⊥OQ ． ··························10分222612m k -+．·································12分 因为OP OQ ⋅ ＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m2＝(1＋k 2)×222612m k -+＋km ×(－2412km k +)＋m 2．将m 2＝2k 2＋2代入上式可得OP OQ ⋅ ＝0，所以OP ⊥OQ ．综上所述，OP ⊥OQ ． ·····································14分11. 【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】如图，曲线Γ由两个椭圆1T ：()222210x y a b a b +=>>和椭圆2T ：()222210y x b c b c+=>>组成，当,,a b c 成等比数列时，称曲线Γ为“猫眼曲线”.若猫眼曲线Γ过点(0,M ，且,,a b c 的公比为22. (1)求猫眼曲线Γ的方程；（2）任作斜率为()0k k ≠且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆1T 所得弦的中点为M ，交椭圆2T 所得弦的中点为N ，求证：ONOMK k 为与k 无关的定值；（3）l 为椭圆2T 的切线，且交椭圆1T 于点,A B ，N 为椭圆1T 上的任意一点（点N与点,A B 不重合），求ABN ∆面积的最大值.xk 存在且0k ≠，12x x ∴≠，且0x 0≠∴01212012y y y x x x -⋅=-- ，即21k k OM -=⋅ （8分）同理，2k k ON -=⋅ 41k k ON OM =∴得证 （10分） （3）设直线l的方程为y m =+22221⎧=+⎪⎨+=⎪⎩y m y x bc ，()2222222220∴+++-=b c x x m c b c12. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】（本小题满分16分）如图，已知椭圆C :22221x y a b+=（0a b >>）经过点31,2⎛⎫P ⎪⎝⎭，离心率12e =，直线l 的方程为4x =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）AB 是经过椭圆右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为123,,k k k ，问：是否存在常数λ，使得123k k λk +=？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．13. 【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】(本题满分16分)如图21,F F 为椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点，E D ,是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率23=e ，2DEF ∆的面积为231-.若点),(00y x M 在椭圆C 上，则点),(00by a x N 称为点M 的一个“椭点”，直线l 与椭圆交于B A ,两点，B A ,两点的“椭点”分别为Q P ,.（1）求椭圆C的标准方程；F的直线l，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；（2）问是否存在过左焦点1若不存在，请说明理由.14. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】在平面直角坐标系xOy 中，点C 在椭圆M ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)上．若点)0,(a A ，)3,0(a B ，且AB →＝32BC →. (1) 求椭圆M 的离心率；(2) 设椭圆M 的焦距为4，P ，Q 是椭圆M 上不同的两点，线段PQ 的垂直平分线为直线l ，且直线l 不与y 轴重合．①若点P (－3，0)，直线l 过点7)6,0(-，求直线l 的方程； ②若直线l 过点(0，－1)，且与x 轴的交点为D ，求D 点横坐标的取值范围． 【答案】（1）32；（2）①y ＝－x －67或y ＝－95x －67；（3）⎝ ⎛⎭⎪⎫－113，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，113【解析】(1) 设C(x 0，y 0)，则AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 3，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，y 0－a 3.因为AB →＝32BC →，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 3＝32(x 0，y 0－a 3)＝(32x 0，32y 0－a 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝23a ，y 0＝59a ，代入椭圆方程得a 2＝95b 2.因为a 2－b 2＝c 2，所以e ＝c a ＝23.所以x D ＝－k∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－113，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，113. 综上所述，点D 横坐标的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－113，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，113.15. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为2，点(2,在E 上.（1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与E 相交于,A B 两点，M 是线段AB 的中点.证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积是一个定值.16. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】 在平面直角坐标系O x y 中，点000(,)(0)P x y y ≠在椭圆:C 2212x y +=上，过点P 的直线l 的方程为0012x x y y +=．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若直线l 与x 轴、y 轴分别相交于,A B 两点，试求OAB ∆面积的最小值；（Ⅲ）设椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，点Q 与点1F 关于直线l 对称，求证：点2,,Q P F三点共线．（Ⅲ）①当00x =时，(0,1)P ±．当直线:1l y =时，易得(1,2)Q -，此时21F P k =-，21F Q k =-．因为22F Q F P k k =，所以三点2,,Q P F 共线． 同理，当直线:1l y =-时，三点2,,Q P F 共线．。
专题09 圆锥曲线(第01期)-决胜2016年高考全国名校试题文数分项汇编(北京特刊)(解析版)
一．基础题组1.（北京市朝阳区2015年高三第一次综合练习文3）若抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线222x y -=的右焦点重合，则p 的值为（ ）A B ．2 C ．4 D ．【答案】C考点：圆锥曲线的性质2.（北京市房山区2015年高三第一次模拟文2）双曲线22194x y -=的渐近线方程是（ ）A ．23y x =±B ．49y x =±C ．32y x =±D ．94y x =± 【答案】A 【解析】试题分析：由题可知，求解双曲线的渐近线方程时，只需令“1”等于“0”，解出y 的关系式即可，则有04922=-y x ，解得23y x =±； 考点：双曲线的渐近线求法3.（北京市海淀区2015届高三下学期期中练习（一模）文2）抛物线2=4x y 的焦点到准线的距离为（ ）（A ）12（B ） 1 （C ）2 （D ）4 【答案】C 【解析】试题分析：由已知2=p ，故抛物线y x 42=的焦点到准线的距离为2=p考点：抛物线的性质4.（北京市延庆县2015届高三3月模拟文10）双曲线2222x y -=的焦点坐标是 ，离心率是 .【答案】)(),考点：双曲线的性质5.（2015年北京市昌平区高三二模文13）已知圆()()22115x y ++-=经过椭圆:C 22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点F 和上顶点B ，则椭圆C 的离心率为_______.【解析】试题分析：在方程()()22115x y ++-=中，令0y =得1,3x =-.令0x =，得1,3y =-.据题意得1,3c b ==所以c a e a ===考点：圆锥曲线.6.（北京市朝阳区2015届高三第二次综合练习文10）若中心在原点的双曲线C 的一个焦点是1(0,2)F -，一条渐近线的方程是0x y -=，则双曲线C 的方程为 ．【答案】22122y x -= 【解析】试题分析：由于双曲线的焦点在y 轴上，所以双曲线的渐近线方程为a y x b =±，所以1aa b b=⇒=,又因为2c =，22224,2a b a b +=∴==，因此双曲线方程为22122y x -=.考点：双曲线的几何性质.7.（北京市东城区2015届高三5月综合练习（二）文9）已知抛物线22y x =上一点P (,2)m ，则m = ，点P 到抛物线的焦点F 的距离为 .【答案】252考点：1.抛物线的标准方程；2.抛物线的定义.8.（北京市丰台区2014-2015学年度第二学期统一练习（一）文10）双曲线22126x y -=的渐近线方程为 ．【答案】y = 【解析】试题分析：∵双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为by x a=±，∴双曲线22126x y -=的渐近线方程为y =.考点：双曲线的渐近线.9.（北京市西城区2015届高三二模文9）抛物线C ：24y x =的准线l 的方程是____；以C 的焦点为圆心，且与直线l 相切的圆的方程是____. 【答案】1-=x ，22(1)4x y -+=.试题分析：分析题意可知2=p ，∴准线方程为12-=-=px ，焦点为)0,1(，半径2=r ，∴所求圆方程为 4)1(22=+-y x .考点：1.抛物线的标准方程；2.直线与圆的位置关系.10.（北京市西城区2015届高三一模考试文12）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点是抛物线28y x =的焦点，且双曲线 C 的离心率为2，那么双曲线C 的方程为____；渐近线方程是____.【答案】2213y x -=,y =考点：双曲线方程及渐近线11.（北京市延庆县2015届高三3月模拟文19）已知椭圆G ，其短轴的两个端点分别为A(0,1),B(0,-1).（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）若,C D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点，直线,AC BD 与x 轴分别交于点,M N .判断以MN 为直径的圆是否过点A ，并说明理由.【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）以MN 为直径的圆不过A 点. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知条件设椭圆G 的方程为：()22211y x a a +＝，＞由c a =222,1a b ==由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）设11C x y （，） ，且10x ≠ ，则11D x y -（，），由已知条件推导出20211x AM AN y -=+-⋅ ， ()220021x y -＝ ，由此能求出以线段MN 为直径的圆不过点A ．试题解析：（Ⅰ）设椭圆G 的方程为：()22211y x a a +＝，＞ ,所以,1b =，c a =，222a c =，∴ 21c =，∴222,1a b ==，∴ 椭圆方程为2212x y +=（Ⅱ）设00(,)C x y ，则00(,)D x y -，001AC y k x -=， 001BD y k x +=-, 000011:1,:1,y y AC y x BD y x x x -+=+=-- 令0y =，则0000,,11M N x x x x y y -==-+ ∴ 0000(,1),(,1)11x xAM AN y y =-=---+ ，∴20001(1)(1)x AM AN y y -⋅=+-+=2200211x y y --+- ∵220012x y +=∴ 220012x y -=， ∴2020212x AM AN x -⋅==- ， ∴ AM 与AN不垂直， ∴ 以MN 为直径的圆不过A 点.考点：椭圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系12.（北京市丰台区2014-2015学年度第二学期统一练习（一）文19）已知椭圆C ：2236x y +=的右焦点为F ．（Ⅰ）求点F 的坐标和椭圆C 的离心率；（Ⅱ）直线l ：y kx m =+(0)k ≠过点F ，且与椭圆C 交于P ，Q 两点，如果点P 关于x 轴的对称点为P '，判断直线P Q '是否经过x 轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．【答案】（Ⅰ）焦点(2,0)F，离心率e =；（Ⅱ）定点坐标(3,0).则21221231k x x k +=+，2122126.31k x x k -=+ ． ∵点P 关于x 轴的对称点为P '，则11(,)P x y '-． ∴直线P Q '的方程可以设为211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =，2111211211212x y x y x y x y x x y y y y -+=+=++211212(2)(2)(4)kx x kx x k x x -+-=+-12121222()(4)x x x x x x -+=+-2222221261222313112(4)31k k k k k k --++=-+ 3=． ∴直线P Q '过x 轴上定点(3,0)． ……………………14分 考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系.二．能力题组1.（北京市西城区2015届高三二模文19）设1F ，2F 分别为椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点A 为椭圆E 的左顶点，点B 为椭圆E 的上顶点，且||2AB =．（1）若椭圆EE 的方程； （2）设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线2F P 与y 轴相交于点Q ，若以PQ 为 直径的圆经过点1F ，证明：点P 在直线02=-+y x 上.【答案】（1）2213x y +=；（2）详见解析. （2）由题意，得224a b +=，∴椭圆E 的方程222214x y a a +=-，则1(,0)F c -，2(,0)F c，c ==00(,)P x y ，由题意知0x c =，则直线1F P 的斜率100F P y k x c=+，直线2F P 的方程为00()y y x c x c =--，当0x =时，00y c y x c -=-，即点00(0,)y c Q x c --，直线1FQ 的斜率为10F Qy k c x =-，∵以PQ 为直径的圆经过点1F ，∴11PF FQ ⊥，∴1100001F P F Q y yk k x c c x ⨯=⨯=-+-，化简得22200(24)y x a =--，又∵P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，∴22002214x y a a+=-，00x >，00y >，由①②，解得202a x =，20122y a =-，∴200=+y x ，即点P 在直线02=-+y x 上.考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系.2.（北京市海淀区2015届高三下学期期中练习（一模）文19）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>过点(0,1)A -，且离心率e =（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若椭圆M 上存在点,B C 关于直线1y kx =-对称,求k 的所有取值构成的集合S ，并证明对于k S ∀∈，BC 的中点恒在一条定直线上.【答案】（Ⅰ）1422=+y x ；（Ⅱ）见解析.试题解析：（Ⅰ）因为 椭圆M 过点(0,1)A -，所以 1b =. ………………1分由2222222222644(4)(44)16(4)0k t k k t k k k t k ∆=-+-=-+>， 得22240k t k --<.（*） 因为 12284ktx x k +=+， ………………7分 所以 BC 的中点坐标为2224(,)44kt k tk k ++.又线段BC 的中点在直线1y kx =-上，所以 2224144k t kt k k k =-++.所以 22314k t k =+. ………………9分代入（*），得k <或k >所以22|{-<=k k S 或}22>k . ………………11分因为 22143k t k =+，所以 对于k S ∀∈，线段BC 中点的纵坐标恒为13，即线段BC 的中点总在直线13y =上. ………………13分所以 001y kx =-. 所以 043x k=. 由221,413x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得x =±所以403k <<403k <<，即k <k >所以22|{-<=k k S 或}22>k .. ………………12分 所以 对于k S ∀∈，线段BC 中点的纵坐标恒为13，即线段BC 的中点总在直线13y =上.………………13分 考点：与圆锥曲线有关的定点定值问题3.（北京市房山区2015年高三第一次模拟文20）已知椭圆W ：12222=+by a x )0(>>b a 的离心率为21，Q是椭圆上的任意一点，且点Q 到椭圆左右焦点1F ，2F 的距离和为4． （Ⅰ）求椭圆W 的标准方程；（Ⅱ）经过点()1,0且互相垂直的直线1l 、2l 分别与椭圆交于A 、B 和C 、D 两点（A 、B 、C 、D 都不与椭圆的顶点重合），E 、F 分别是线段AB 、CD 的中点，O 为坐标原点，若OE k 、OF k 分别是直线OE 、OF 的斜率，求证：OE OF k k ⋅为定值． 【答案】（1）22143x y +=（2）证明如下；（Ⅱ）∵直线1l 、2l 经过点(0,1)且互相垂直，又A 、B 、C 、D 都不与椭圆的顶点重合 ∴设1l ：1y kx =+，2l ：11y x k=-+；点11(,)A x y 、22(,)B x y 、(,)E E E x y 、(,)F F F x y 由221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)880k x kx ++-=∵点(0,1)在椭圆内，∴△0> ∴122834kx x k +=-+，∴1224234Ex x kx k+==-+，23134EE y kx k =+=+ ∴34E OE E y k x k==- 同理33144()F OF Fy kk x K ==-=-∴916OE OFk k ⋅=-…………………14分 考点：①椭圆的定义②椭圆的几何性质③直线与椭圆的关系4.（北京市东城区2015届高三5月综合练习（二）文19）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上的左、右顶点分别为A ，B ，1F 为左焦点，且12AF =，又椭圆C过点(0,． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点P 和Q 分别在椭圆C 和圆22+16x y =上（点,A B 除外），设直线PB ,QB 的斜率分别为1k ,2k ，若1234k k =，证明：A ,P ,Q 三点共线． 【答案】（Ⅰ）2211612x y +=；（Ⅱ）证明见解析.（Ⅱ）由（Ⅰ）知(4,0)A -，(4,0)B .设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，考点：1.椭圆的标准方程；2.斜率公式；3.三点共线问题.5.（2015年北京市昌平区高三二模文19）已知椭圆C ：22221(0)+=>>x y a b a b，右焦点F ，点1)2A 在椭圆上.（I ）求椭圆C 的标准方程；(II)若直线(0)y kx m k =+≠与椭圆C 有且只有一个公共点M ，且与圆2222:O x y a b +=+相交于,P B 两点，问-1OM PB k k =⋅是否成立？请说明理由.【答案】（I ）2214x y +=；（II ）不成立. 【解析】所以椭圆C 的方程是 2214x y += . .…………………5分（II ）不成立 .…………………6分 由（I ）知，圆221:5C x y +=因为直线与椭圆C 有且只有一个公共点M . 所以方程组22(*)14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩有且只有一组解. 由(*)得222(41)8440k x kmx m +++-=.从而2216(41)0k m ∆=-+=化简得2214m k =+ ①24,41M km x k =-+ 214M Mmy kx m k =+=+. ② 所以点M 的坐标为224(,)1414km mk k -++.由于0PB k k =≠，由①可知0m ≠，所以2211414414OM PBm k k k k km k+⨯=⨯=-≠--+， -1OM PB k k =⋅不成立.……………14分考点：直线与圆锥曲线.6.（北京市朝阳区2015届高三第二次综合练习文19）已知椭圆C ：2214x y +=,O 为坐标原点，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且90AOB?o ．（Ⅰ）若直线l 平行于x 轴，求AOB D 的面积；（Ⅱ）若直线l 始终与圆222(0)x y r r +=>相切，求r 的值．【答案】(I)45.(II)当直线l 的斜率存在时，设其直线方程为y kx m =+，设1122(,),(,),A x y B x y联立议程组2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩,整理得222(41)8440k x kmx m +++-=， 由方程的判别式0∆>得22410k m -+> （1）2121222844,4141km m x x x x k k --+==++，由90AOB ∠=︒，得0OA OB ⋅= 即12120x x y y +=，考点：1.椭圆的定义和性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.直线与圆的位置关系.7.（北京市朝阳区2015年高三第一次综合练习文19）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为12(2,0),(2,0)F F -，过焦点2F 的直线l （斜率不为0）与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线OD 交椭圆于,M N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当四边形12MF NF 为矩形时，求直线l 的方程．【答案】（1）22162x y +=． （2）2)y x =-【解析】试题分析：（1）由题可知，两个焦点分别为)0,2(),0,2(21F F -,因此2=c ，又因为离心率为ac，因此36=a c ，椭圆中a,b,c 满足222c b a +=，于是解得a =，b =.故椭圆的方程为22162x y +=．（2）当四边形（Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --，由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=，所以21221213k x x k +=+． 因为121224(4)13ky y k x x k -+=+-=+，所以AB 中点22262(,)1313k k D k k -++． 因此直线OD 方程为30x ky +=．由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得232213y k =+，333x ky =-． 因为四边形12MF NF 为矩形，所以220F M F N ⋅=，即3333(2,)(2,)0x y x y -⋅---=． 所以223340x y --=．所以222(91)4013k k+-=+．解得k =．故直线l的方程为2)y x =-． ……… 14分 考点：①椭圆的几何性质②向量在几何中的应用三．拔高题组1.（北京市丰台区2015届高三5月统一练习（二）文6）设O 是坐标原点，F 是抛物线错误！未找到引用源。
2016年高考数学真题解析之圆锥真题(理科)
2016高考圆锥曲线真题汇总（理科）1．平面直角坐标系xOy 中，椭圆C抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M.（ⅰ）求证：点M 在定直线上;（ⅱ）直线l 与y 轴交于点G ，记△PFG 的面积为1S ，△P D M 的面积为2S ，的最大值及取得最大值时点P 的坐标.2．已知椭圆E三个顶点，直线l: 3y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T.（Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l '平行于OT,与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P.证明：存在常数λ的值. 3．右焦点分别为12F F 、，直线l 过2F 且与双曲线交于A B 、两点.（1）若l 的倾斜角为，1F AB △是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； （2，若l 的斜率存在，且11()0F A F B AB +⋅=u u u r u u u r u u u r ，求l 的斜率.4a ＞1）.（Ⅰ）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）；（Ⅱ）若任意以点A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x -y -2=0，抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）.（1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程；（2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q.①求证：线段PQ 的中点坐标为(2,)p p --；②求p 的取值范围.6．的右焦点为F,右顶点为A.其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF ⊥HF ，且∠MOA≤∠MAO,求直线l 的斜率的取值范围.7．已知椭圆C （0a b >>），(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，△OAB 的面积为1.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N..8．已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（Ⅱ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.9．已知椭圆的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA.（Ⅰ）当t=4AMN 的面积；k 的取值范围.10．设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E.E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.参考答案1．（Ⅰ）1422=+y x ;（Ⅱ）（Ⅰ）见解析；（此时点P 的坐标为【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版）【解析】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率和焦点求方程；（Ⅱ）（Ⅰ）由点P 的坐标和斜率设出直线l 的方程和抛物线联立，进而判断点M 在定直线上；（Ⅱ）分别列出1S ，2S 面积的表达式，根据二次函数求最值和此时点P 的坐标.试题解析： ，可得：b a 2=. 因为抛物线E 的焦点为所以椭圆C 的方程为1422=+y x .（Ⅱ），由y x 22=可得y'x =， 所以直线l 的斜率为m ， 因此直线l 的方程为设),(),,(),,(002211y x D y x B y x A ，联立方程得014)14(4322=-+-+m x m x m ， 由0∆>，得，所以直线OD 方程为，得点M 的纵坐标为 即点M 在定直线. （Ⅱ）由（Ⅰ）知直线l 方程为 令0=x 得令122+=m t ，则，即2=t 时，，满足0∆>， 所以点P 的坐标为，此时点P 的坐标为 【考点】椭圆方程；直线和抛物线的关系；二次函数求最值；运算求解能力.【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用,,,a b c e 的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法（如二次函数的性质、基本不等式、导数等）求“目标函数”的最值.本题的易错点是对复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出..本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题和解决问题的能力等.2．T 坐标为（2,1）；【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷精编版）【解析】试题分析：本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题、解决问题的能力和数形结合的思想.第（Ⅰ）问，利用直线和椭圆只有一个公共点，联立方程，消去y 得关于x 的方程有两个相等的实数根，解出b 的值，从而得到椭圆E 的方程；第（Ⅱ）问，利用椭圆的几何性质，数形结合，根据根与系数的关系，进行求解.试题解析：E得22312(182)0x x b -+-=.① 方程①的判别式为2=24(3)b ∆-，由=0∆，得2=3b ， 此时方程①的解为=2x ， 所以椭圆E点T 坐标为（2,1）. （Ⅱ）由已知可设直线l '的方程为所以P设点A ，B 的坐标分别为1122(,)(,)A x y B x y ，.可得2234(412)0x mx m ++-=.② 方程②的判别式为2=16(92)m ∆-，由>0∆，解得【考点】椭圆的标准方程及其几何性质【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题、解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得1212,x x x x +，再把用12,x x 表示出来，并代入1212,x x x x +的值，这种方法是解析几何中的“设而不求”法，可减少计算量，简化解题过程．3．（1（2 【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（上海卷精编版）【解析】试题分析：（1）设(),ΑΑΑx y ，根据题设条件得到()24413b b +=，从而解得2b 的值．（2）设()11,Αx y ，()22,Αx y ，直线:l ()2y k x =-与双曲线方程联立，得到一元二次方程，根据l 与双曲线交于两点，可得230k -≠，且()23610k ∆=+>．再设ΑΒ的中点为(),ΜΜΜx y ，由()110F ΑF ΒΑΒ+⋅=u u u r u u u r u u u r 即10F ΜΑΒ⋅=u u u u r u u u r ，从而得到11F Μk k ⋅=-，进而构建关于k 的方程求解即可．试题解析：（1）设(),ΑΑΑx y ．由题意，()2,0F c ，，()22241Αy b c b =-=， 因为1F ΑΒ△是等边三角形，所以即()24413b b +=，解得22b =．（2）由已知，()12,0F -，()22,0F ． 设()11,Αx y ，()22,Βx y ，直线:l ()2y k x =-．显然0k ≠． ，得()222234430k x k x k --++=． 因为l 与双曲线交于两点，所以230k -≠，且()23610k ∆=+>． 设ΑΒ的中点为(),ΜΜΜx y ． 由11()0F A F B AB +⋅=u u u r u u u r u u u r 即10F ΜΑΒ⋅=u u u u r u u u r ，知1F ΜΑΒ⊥，故11F Μk k ⋅=-．，故l 的斜率为 【考点】双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系、平面向量的数量积【名师点睛】本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目时，利用,,,a b c e 的关系，确定双曲线（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与双曲线（圆锥曲线）方程得到方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力等.4．【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（浙江卷精编版）【解析】试题分析：（Ⅰ）先联立1y kx =+和，可得1x ，2x ，再利用弦长公式可得直线1y kx =+被椭圆截得的线段长；（Ⅱ）先假设圆与椭圆的公共点有4个，再利用对称性及已知条件可得任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点时，a 的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围．试题解析：（Ⅰ）设直线1y kx =+被椭圆截得的线段为AP ，()2222120a k x a kx ++=， 故10x =，（Ⅱ）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足记直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1k ，20k >，12k k ≠．所以()()22222222121212120k k k k a a k k ⎡⎤-+++-=⎣⎦． 由于12k k ≠，1k ，20k >得()2222221212120k k a a k k +++-=，① 因为①式关于1k ，2k 的方程有解的充要条件是221(2)1a a +->，因此，任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为【考点】弦长，圆与椭圆的位置关系，椭圆的离心率．【思路点睛】（Ⅰ）先联立1y kx =+和可得直线1y kx =+被椭圆截得的线段长；（Ⅱ）利用对称性及已知条件任意以点()0,1Α为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求得 5．（1）x y 82=（2【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷精编版） 【解析】 试题分析：（1）先确定抛物线焦点，再将点代入直线方程；（2）①利用抛物线点之间关系进行化简，结合中点坐标公式求证，②利用直线与抛物线位置关系确定数量关系：2244(44)0p p p ∆=-->，解出p 的取值范围.试题解析：解：（1）抛物线2:y 2(0)C px p =>的焦点为在直线:20l x y --=上，得，即 4.p = 所以抛物线C 的方程为28.y x =（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，线段PQ 的中点00(,)M x y 因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ， 于是直线PQ 的斜率为1-，则可设其方程为.y x b =-+①由22y px y x b⎧=⎨=-+⎩消去x 得2220(*)y py pb +-=因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以12,y y ≠ 从而2(2)4(2)0p pb ∆=-->，化简得20p b +>.方程（*因为00(,)M x y 在直线l 上，所以02.x p =- 因此，线段PQ 的中点坐标为(2,).p p -- ②因为(2,).M p p --在直线y x b =-+上 所以(2)p p b -=--+，即22.b p =-由①知20p b +>，于是2(22)0p p +->，所以因此p 的取值范围为【考点】直线与抛物线位置关系【名师点睛】在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．6．【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷精编版）【解析】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确a 的值，得再利用222a cb -=，可解得a 的值；（Ⅱ）先化简条件：MOA MAO ∠=∠⇔||||MA MO =，即M 再OA 的中垂线上，1M x =，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求B ；利用两直线方程组求H ，最后根据HF BF ⊥，列等量关系即可求出直线斜率的取值范围.试题解析：（Ⅰ）解：设(,0)F c ，由2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为 （Ⅱ）解：设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ，由方程组，消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k .解得2=x ，或由（Ⅰ）知，)0,1(F ，设),0(H y H ，有FH u u u r (1,)H y =-， 由HF BF ⊥，得0BF HF ⋅=u u u r u u u r ，所以因此直线MH 的方程为设),(M M y x M ，由方程组消去y ，解得 在MAO △中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(M M M M y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即所以，直线l 的斜率的取值范围为 【考点】椭圆的标准方程和几何性质，直线方程【名师点睛】在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： （1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．7．（Ⅱ）见解析. 【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷精编版） 【解析】试题分析：，△OAB 的面积为1中222c b a +=列方程组进行求解；（Ⅱ）求其乘积为定值.试题解析：解得1,2==b a . 所以椭圆C 的方程为（Ⅱ）由（Ⅰ）知，)1,0(),0,2(B A ，设),(00y x P ，则442020=+y x .当00≠x 时，直线PA 的方程为令0=x ，得直线PB 的方程为令0=y ，得4=.当00=x 时，10-=y ，.【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、运算求解能力【名师点睛】解决定值、定点的方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元思想的运用可有效地简化运算. 8．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）21y x =-．【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷精编版） 【解析】试题分析：（Ⅰ）设出与x 轴平行的两条直线的方程，得出,,,,A B P Q R 的坐标，然后通过证明直线AR 与直线FQ 的斜率相等即可证明AR ∥FQ ；（Ⅱ）设直线l 与x 轴的交点为1(,0)D x ，利用面积关系可求得1x 的值，设出AB 的中点(,)E x y ，根据AB 与x 轴是否垂直分两种情况讨论求解.设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . （Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则所以FQ AR ∥. （Ⅱ）设l与x轴的交点为)0,(1x D ，则2Q F ，11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E .当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可所以)1(12≠-=x x y .当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为12-=x y .【考点】抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，轨迹方程的求法．【方法归纳】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．9．【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷精编版） 【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN △的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，写出A 点坐标，并求直线AM 的方程，将其与椭圆方程组成方程组，消去y ，用,t k 表示1x ，从而表示||AM ，同理用,t k 表示||AN ，t 的取值范围求k 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时，E 的方程为()2,0A -.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入得27120y y -=.解得0y =或因此AMN △的面积 （Ⅱ）由题意3t >，0k >，将直线AM的方程代入得由题设，直线AN 的方程为，即()()32321k t k k -=-..3t >等价于由此得32020k k ->⎧⎨-<⎩，或32020k k -<⎧⎨->⎩，解得 因此k 的取值范围是【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系 【名师点睛】由直线（系）和圆锥曲线（系）的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数（系数）的范围问题，常把所求参数作为函数值，另一个元作为自变量求解．10．（0≠y ）；【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷精编版）【解析】 试题分析：（Ⅰ）利用椭圆定义求方程；（Ⅱ）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。