图形的平移和旋转(教案和习题)[1]

§3.1 生活中的平移

一、新知要点

(1)平移的概念（2）平移的特点 (3)平移的基本性质

火车沿笔直的轨道行驶、缆车沿笔直的索道滑行、火箭升空等物体都是沿着一条直线运动的，那么在运动的过程中这些物体的形状、大小、位置等因素中,哪些没有发生改变? 哪些发生了变化?这种运动就叫做什么？

1.图形的平移

例1:下图中的图形A向右平移了6格得到图形A′

(1) 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小。

（2）平移的特点：

①平移是指整个图形平行移动，包括图形的每一条线段，每一个点。经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离。

②平移不改变图形的形状、大小，方向，只改变图形的位置。

例2、观察下图△ABE沿射线XY的方向平移一定距离后成为△CDF。找出图中存在的平行且相等的三条线段和一组全等三角形。

(3) 平移的基本性质：

经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。

二、新知巩固（练习）

1.平移改变的是图形的（）

A 位置

B 大小

C 形状

D 位置、大小和形状

2.经过平移，对应点所连的线段（）

A 平行

B 相等

C 平行且相等

D 既不平行,又不相等

3.经过平移,图形上每个点都沿同一个方向移动了一段距离,下面说法正确的是（）

A 不同的点移动的距离不同

B 既可能相同也可能不同

C 不同的点移动的距离相同

D 无法确定

4.如图，四边形ABCD平移后得到四边形 EFGH，

填空（1）CD=______，（2）∠ F＝______

（3）HE= ，（4）∠D=_____，

（5）DH=_________。

5.如图，若线段CD是由线段AB平移而得到的，

则线段CD、AB关系是__________.

6.试着做一做：

（1）把图形向右平移7格后得到 （2）把图形向左平移5格后到的图形涂上颜色。 的图形涂上颜色。

(4)画出向右平移6格后的图形

四、课外作业：

1.将长度为3cm 的线段向上平移20cm ，所得线段的长度是（ ）

A 3cm

B 23cm

C 20cm

D 17cm 2.关于平移的说法，下列正确的是（ ）

A 经过平移对应线段相等；

B 经过平移对应角可能会改变

C 经过平移对应点所连的线段不相等；

D 经过平移图形会改变、 3.把可以平移到黑色

位置的

涂上颜色。

4. 把图中的三角形ABC （可记为△ABC ）向右平移６个格子，画出所得的△'

'

'

C B A 。

C

§3.2 简单的平移作图 一、知识回顾 1.平移的概念 2.平移的性质 二、新知要点

1.平移图形的规律，作图的顺序；

2.平行线的作法及对应点的连结；

3.平移三要素：原图形位置，平移方向，平移距离。

例1：观察理解平移后的图形。

例2： 把图中的三角形ABC （可记为△ABC ）向右平移8个格子，画出所得的△'

'

'

C B A 。

度量△ABC 与△'

'

'

C B A 的边，角的大小，你发现什么呢？

解：（1）、经过平移的图形与原来的图形的对应线段 ，对应角 ，图形的形状和大小都 。 （2）、平移的对应点所连线段 。

（3）、其中BC 与B ′C ′的关系是 （位置关系和数量关系）。 线段AB 与A ′B ′的关系是 （位置关系和数量关系）。 若AC=5，则A ′C ′= ，若∠BAC=60°，则∠B ′A ′C ′= 。 若△ABC 周长为30，则△A ′B ′C ′周长为 。

B

C

A

若△ABC面积为S，则△A′B′C′面积为。

例3：画出平移后的图形。

通过操作我们发现：

1．在方格纸上平移图形时，把一个图形向某个方向平移几格，不是指原图形和平移后得到的新图形两个图形之间的空格有几格，而是指原图形的每个顶点都向这一方向平移了几格。

2．在方格纸上平移图形时，可以把这个图形的各个顶点按指定的方向平移到新位置，先分别描出各点，再把各点按原来的顺序连接起来，成为按要求平移后得到的新图形。

3．用平移的方式画一排或一列图形时，可以在第一个图形的底部或左右画一条横线或竖线，以这条横线或竖线为基准，画出的图形就是平移得到的。

4．平移图形或物体时，可以一次平移，也可以两次平移，物体的方向都不会改变。

例4：如图，经过平移，△ABC的顶点A移到了点D，请作出平移后的三角形。

分析：因为A与D是对应点，而平移的对应点的连线段平行且相等所以平移方向——射线AD，平移距离——线段AD的长，

作法：

1.分别过点B、C沿AD方向作线段BE、CF，使它们与AD平行且相等

2.顺次连结D、E、F

则△DEF即为所求。

参考图

三、新知巩固

1.分别画出将□向下平移4格，向左平移8格后得到的图形。

8格后得到的图形，先要分别描出□四

再把四个顶点顺次连接起来，

画出三角形向右平移6格后的图形，

再画出梯形向下平移5格后的图形

四、归纳小结

●通过本节课的学习我们学会了平移作图。

●确定一个图形平移后的位置所需条件为：

距离。

五、课外作业

1.下列说法正确的是（）

A 由平移得到的两个图形的对应点连线长度不一定相等

B 我们可以把“火车在一段笔直的铁轨上行驶了一段距离”看作“火车沿着铁轨方

向的平移”

C 小明第一次乘观光电梯，随着电梯向上升，他高兴地对同伴说：“太棒了，我现在比

大楼还高呢，我长高了！”

D 在图形平移过程中，图形上可能会有不动点

2.画画做做想想

（1）移6格后得到的涂上颜色。

（2）分别画出将向下平移5格、向右平移10格后得到的图形。

（3

平移2

3.

4.二年级同学表演节目，11个男同学排成一排，每两个男生之间安排一个女生，表演节目的男女生一共有多少人？

§ 3.3 生活中的旋转

一、知识回顾

下列现象哪些是平移?

平移的特点有哪些？

①平移是指整个图形平行移动，包括图形的每一条线段，每一个点.经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离。

②平移不改变图形的形状、大小，方向，只改变图形的位置。

日常生活中，我们经常见到（钟表、风扇、汽车方向盘，摩天轮，旋转木马……）钟表指针的转动、风扇扇叶的转动、汽车方向盘的转动等情景。（1)上面情景中的转动现象，有什么共同特征？(2)钟表的指针、钟摆在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生改变？风扇扇叶的转动、汽车方向盘的转动呢？

二、新知要点

1.旋转

在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转不改变图形的大小和形状。

注意：“将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度”意味着图形上的每个点同时都按相同的方式转动相同的角度。在物体绕着一个定点转动时，它的形状和大小不变。因此，旋转具有不改变图形的大小和形状的特征。

例1．如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中：

（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？

（2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？

解：（1）旋转中心是O ，∠AOE 、∠BOF 等都是旋转角

．

（2）经过旋转，点A 和点B 分别移动到点E 和点F 的置。 2．旋转的性质

（1）对应点到旋转中心的距离相等；

（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前、后的图形全等；

（4）图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定。

三、 新知巩固

1. 如图所示，如果把钟表的指针看作四边形AOBC,它绕O 点按顺时针方向旋

转得到四边形DOEF 。在这个旋转过程中

（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？ （2）经过旋转，点A 、B 分别移到什么位置？ （3）AO 与DO 的长有什么关系？BO 与EO 呢？

（4）∠AOD 与∠BOE 有什么大小关系？

2.在正方形ABCD 中，∠1＝∠2＝30°， 试把ΔADE 绕点A 顺时针旋转90°， 观察整个图形中角与角之间，线段

与线段之间，存在哪些相等的关系？

探索DE ，BF ，AF 之间的关系。

四、 归纳小结

●认识了旋转的图形；

●旋转图形的三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向； ●旋转图形的性质。

五、课外作业

1.平移不改变图形的________，只改变图形的位置。故此若将线段AB 向右平移3cm ，得到线段CD ，如果AB=5㎝，则 CD=___________

2.下列关于旋转和平移的说法正确的是（ ） A 旋转使图形的形状发生改变

B 由旋转得到的图形一定可以通过平移得到

C 平移与旋转的共同之处是改变图形的位置和大小

D 对应点到旋转中心距离相等

3.如图，正方形ABCD 可以看成由三角形______旋转而成的，其旋转 中心为______点，旋转角度依次为________，________，________。

F

O

4．下列现象哪些是平移，哪些是旋转。

5．会变的头像

左图中的头像，是一个顽皮的小孩，正在嬉皮笑脸地开玩笑。

倒过头来仔细看看，再说一说这是个什么人？他是什么样的表情？

§3.4简单的旋转作图

一、知识回顾 1.旋转的概念 2.旋转的三要素 3.旋转的性质

如图，在方格上作出“小旗子”绕O 点按顺时针方向旋转90 度后的图案，并简述理由。

角，即∠BCB ′=∠ACD ，?又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB=CB ′，就可确定B ′的位置，如图所示． 解：（1）连结CD

（2）以CB 为一边作∠BCE ，使得∠BCE=∠ACD （3）在射线CE 上截取CB ′=CB 则B ′即为所求的B 的对应点．

（4）连结DB ′

则△DB ′C 就是△ABC 绕C 点旋转后的图形。

例2．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，且DE=

1

4

，△ABF 是△ADE 的旋转图形． （1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转了多少度？ （3）AF 的长度是多少？

（4）如果连结EF ，那么△AEF 是怎样的三角形？

分析：由△ABF 是△ADE 的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求AF?的长度，根据旋转前后的对应线段相等，只要求AE 的长度，由勾股定理很容易得到。?△ABF 与△ADE 是完全重合的，所以它是直角三角形． 解：（1）旋转中心是A 点

（2）∵△ABF 是由△ADE 旋转而成的 ∴B 是D 的对应点

∴∠DAB=90°就是旋转角

（3）∵AD=1，DE=1

4

∴

∵对应点到旋转中心的距离相等且F 是E 的对应点

∴ （4）∵∠EAF=90°（与旋转角相等）且AF=AE ∴△EAF 是等腰直角三角形．

三、新知巩固

1．平面图形的旋转一般情况下改变图形的（ ） A 位置 B 大小 C 形状 D 性质

2．9点钟时，钟表的时针和分针之间的夹角是（ ） A 30° B 45° C 60° D 90°

3．将平行四边形ABCD 旋转到平行四边形A ′B ′C ′D ′的位置，下列结论错误的是（ ）

A ．AB=A ′

B ′ B ．AB ∥A ′B ′

C ．∠A=∠A ′

D ．△ABC ≌△A ′B ′C ′ 4．做一做

在图1中，将大写字母A 绕着它右下侧的顶点按顺时针方向旋转90度，请作出旋转后的图案．

图1

四、归纳小结 ●图形的旋转

●图形旋转的性质

●简单图形的旋转作图步骤 五、课外作业

1．钟表上的指针随时间的变化而移动，这可以看作是数学上的_______。

2．菱形ABCD 绕点O 沿逆时针方向旋转到四边形D C B A ''''，则四边形D C B A ''''是__________。

3．△ABC 绕一点旋转到△A ′B ′C ′，则△ABC 和△A ′B ′C ′的关系是_______。 4．钟表的时针经过20分钟，旋转了_______度。

5．图形的旋转只改变图形的_______，而不改变图形的_______。

6．在图中，将大写字母H 绕它右上侧的顶点按逆时针方向旋转90°，请作出旋转后的图案。

7．将一个等腰直角三角形ABC （如图2∠A 是直角）绕着它的一个顶点B 逆时针方向旋转，分别作出旋转下列角度后的图形。

（1）45° （2）90° （3）135° （4）180°

图2

8．将下面的图案绕点O 顺时针方向旋转90度，作出旋转后的图形。

图3

对比平移、轴对称两种图形变换,旋转变换与它们有哪些共性和区别?

§3.5 他们是怎样变过来的

一、知识回顾

1.平移的概念:

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，

这样的图形运动称为平移

2.平移的性质：

1.平移不改变图形的大小和形状。

2.对应点所连的线平行且相等。

对应线段平行且相等。

对应角相等。

3.旋转的概念：

4.旋转的性质

5.轴对称的概念

6.轴对称的性质

观察下列图形是怎么变过来的？

二、新知要点

例1：下图由四部分组成，每部分都包括两个小“十”字，其中一部分能经过适当的旋转得到其他三部分吗？能经过平移吗？能经过轴对称吗？还有其它方式吗？

解析：(1) 整个图形可以看做是由一个“十”字组成部分通过连续七次平移前后的图形共同组成；

(2) 整个图形也可以看做是由左边的两个“十”字组成的部分通过三次放置形成的；

(3) 整个图形不定期可以看做把左边的两个“十”字组成的部分先通过平移一次形成左右四个“十”字组成的图形，然后绕图形中心旋转90度前后的图形共同组成；

(4) 整个图形还可以看做把左边的两个“十”字组成的部分通过二次轴对称形成的。

……

通过上述问题的讨论，我们看到图形的平移、旋转，轴对称变换是图形变换中最基本的三种变换方式，它们是今后设计图案的主要手段。

例2：“想一想”你能将下面的左图，通过平移或旋转得到右图吗？

三、新知巩固

1.怎样将下图中的甲图变成乙图案？

2.如图，在方格纸上，有两个形状、大小一样的三角形，请指出如何运用轴对称、平移、

旋转这三种运动，将方格中的△ABC重合到△DEF上．

如果一个图形沿一条直线折叠后，

直线两旁的部分能够重合，

那么这个图形叫做轴对称图形

例： 怎样将下图中的甲图变成乙图案？

2、下图是由三个正三角形拼成的，它可以看作由其中一个三角形经过怎样的变化而得到的？

看一看：

下列三幅图案分别是由什么“基本图形”经过平移或旋转而得到的？

1．

2．

3．

试一试：

怎样将下图中的甲图变成乙图？

做一做：

如图①，在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是BA 延长线上的一点，AF =

2

1

AB ， （1）求证：△ABE ≌△ADF ．

（2）阅读下列材料：如图②，把△ABC 沿直线平移线段BC 的长度，可以变到△ECD 的位置；如图③，以BC 为轴把△ABC 翻折180°，可以变到△DBC 的位置；如图④，以点A 为中心，把△ABC 旋转180°，可以变到△AED 的位置，像这样其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．

图① 图② 图③ 图④ 请回答下列问题：

（1）在图①中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE 变到△ADF 的位置？

（2）指出图①中线段BE 与DF 之间的关系．

1. 旋转的三要素

（1）旋转中心； （2）旋转方向； （3）旋转角度。

三、解答题

9．下图中的两个正方形的边长相等，请你指出可以通过绕点O旋转而相互得到的图形并说明旋转的角度．

11．如图，菱形A′B′C′D′是菱形ABCD绕点O顺时针旋转90°后得到的，你能作出旋转前的图形吗？

12．Rt△ABC，绕它的锐角顶点A分别逆时针旋转90°、180°和顺时针旋转90°，

（1）试作出Rt△ABC旋转后的三角形；

（2）将所得的所有三角形看成一个图形，你将得到怎样的图形？

13．如图，将右面的扇形绕点O按顺时针方向旋转，分别作出旋转下列角度后的图形：

（1）90°；（2）180°；（3）270°．

你能发现将扇形旋转多少度后能与原图形重合吗？

14．如图，分析图中的旋转现象，并仿照此图案设计一个图案．

§3.6 简单的图案设计

图案设计：图案的设计是由基本图形经过适当的平移、旋转、轴对称等图形的变换而得到的。

其中中心对称是旋转变换的一种特例。

2.中心对称

把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。

3.中心对称图形

如果把一个图形绕着某一点旋转180°后能与自身重合，那么我们就说，这个图形是中心对称图形。

4.中心对称的性质

（1）关于中心对称的两个图形是全等形。

（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。

5.在“党”“在”“我”“心”“中”五个汉字中，旋转180o后不变的字是_______

在字母“X”、“V”、“Z”、“H”中绕某点旋转（旋转度数不超过180）后不能

与原图形重合的是____

3.如图⑴，两块完全重合的正方形纸片，如果上面的一块统正方形的中心O作0○～90o的

旋转，那么旋转时露出的△ABC的面积（S）随着旋转角度（n）的变化而变化，下面表示S与n的关系的图象大致是图⑵中的（）

（图1）（图2）

4.如图，在方格纸上，有两个形状、大小一样的三角形，请指出如何运用轴对称、平移、

旋转这三种运动，将方格中的△ABC重合到△DEF上．

5.如图是跷跷板示意图，模板AB通过点O，且可以绕点O上下转动，如果∠OCA＝90○，

∠CAO= 25○，

（1）画出在空中划过的线；

（2）上下最多可以转动多少角度？

三：【课后训练】

5.如图，△ABC 是直角三角形，B C 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时 针旋转后，能与△ACP′重合，已知AP=3，则PP′的长度为（ ）

A ．3

B ．

．．4

6.△ABC 是等腰直角三角形，如图，AB=AC ，∠BAC ＝90°， D 是BC 上一点，△ACD 经过旋转到达△ABE 的位置，则 其旋转角的度数为（ ）

A ．90° B．120° C ．60° D．45°

7.如图，先将方格纸中“猫头”分别向左平移6格、12格，然后分析所画三个图案的关

系．

8.如图，已知∠AOB ，要求把其往正东方向平移3cm ，要求留画痕，写作法

．

9.已知边长为 1个单位的等边三角形ABC ，

（1）将这个三角形绕它的顶点C 按顺时针方向旋转30○

作出这个图形；

（2）再将已知三角形分别按顺时针方向旋转60○、90○、120○

，作出这些图形．

10.如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=40°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，请你用对称和旋转的知识回答下列问题： （l ）△ADE 和△DFA 关于直线AD 对称吗?为什么？

（2）把△BDE 绕点D 顺时针旋转160○后能否与△CDF 重合？为什么？

（3）把△BDE 绕点D 旋转多少度后，此时的△BDE 和△CDF 关于直线BC 对称？

（二）：【课前练习】