第二章习题讲解 常建平版

2-1 已知随机过程0()cos X t A t ω=，其中0ω为常数，随机变量A 服从标准高斯分布。求000,3,2t πωπω=三个时刻()X t 的一维概率密度？

解：2

2

~(0,1)..........()A a A N f a -

=

212

11

()~(0,1)(0)t X x X t A N f x e

-==?

=；，

2

223203A 1

2()~(0,)()24

X t x X t N f x e πωπ

ω-==?；，

00

2323()

0()()

t X t f x x πωπ

ωδ==Q ＝，；

(离散型随机变量分布律)

2-2 如图2.23所示，已知随机过程()X t 仅由四条样本函数组

成，出现的概率为1131

,,,8484。

t

()

X t 1

2345

61

2

t 1()x t 2()x t 3()x t 4(x t o

图2.23 习题2-2

在1

t 和2

t

求

？

1212[()],[()],[()()]E X t E X t E X t X t ()4

11

29

[()]8k k k E X t x p t ===

∑221

[()]8

E X t =

()()(){}

1

2

1212121122[()()],,X k k E X t X t R t t k k p X t k X t k ====∑∑

2－23

[][]12()cos (0,1)(;),()()(,)X X X t A t XH A U f x t E X t D X t R t t =+~随机过程，其中（均匀分布）。求,,？[][][][][][][][]

[][][]()()()22

2

2

12122211212

2

2()cos cos ()()()()cos cos cos cos 12

(,)cos cos cos cos cos cos 1cos c 232o X XY

D a

E X t E A t XH t EA XH

D X t

E X t E X t D X t D A t XH D A t D XH t t DA R t t E A t XH X a D X b D Y abC EA EA A t XH t t XH t t XH t =+=?+??=-??

=+=+=?=

++????+==+=+++g 公式：＋b =Ｙ方法：

()2212s cos cos 2

XH t t t XH +++

()()

()()22cos 0

22~,322cos 022

~,cos 0()2

1

22,cos 2cos cos cos c 2

1322,(;)cos o 2

s 2X k t k t t

X t U XH XH k t k t t X t U XH XH t k t X t XH

k t k XH x XH t k t k XH x XH f x t t x X t t t t π

π

πππ

π

πππ

πππππππππδ-

+<<

+>+<<+<=

+==-+<<+<<-++<<+<+++<=-对某一固定时刻对某一固定时刻概率密度用冲激函数表示

()

,20H t k x XH else π

π???

??

??=+=??

??

2-4 已知随机过程()X t A Bt =+，其中,A B 皆为随机变量。①求随机过程的期望[()]E X t 和自相关函数12(,)X R t t ？②若已知随机变量相互独立，

,A B

它们的概率密度分别为()A f a 和()B f b ，求()X t 的一

维概率密度(;)X f x t

第②问

方法一：用雅克比做（求随机变量函数的分布） 步骤：

t 时刻，()X t A Bt =+为两个随机变量的函数 ①设二维的随机矢量

12X A Bt X A

=+??

=?（题目要求的）（自己设的量,可以是其它量）

②求反函数

③求雅克比行列式J ，得到|J| ④利用公式1

2

X X 12(,)(,)AB x x f b J f a =?

()AB ()AB A B f f a f b ?=g 相互独立

⑤由联合概率密度求边缘概率密度()1

X f x ⑥t 为变量，则得到(;)X f x t

,(,)()()

()

01()1

()()11()11(,;)(,)(,)()()

1(;)(,;)()(),(;)AB A B XY AB AB A B X XY A B X A B f a b f a f b A Y t X t A Bt J X t Y t Y t t B t t t x y x y

f x y t f a b f y f y f t t t t x y

f x t f x y t dy f A dy y f t t

f x t y J a +∞+∞

-∞

-∞

∴=?=?=+???==--?

?==-???

--=?=?=??-===??∴?

?

Q Q 与独立()1()()A B x a f a f d a t t

+∞-∞

-=???

()()()();1X A B A B a b

x a f x t f a f d t t f x bt f b d ∞

-∞∞

-∞

-??

=? ???

=-???

方法二： 用特征函数定义和性质（独立变量和

的特征函数等于各特征函数的乘积）做

（特征函数和概率密度一一对应）

()()()()

()()()()()()()()()()()()()(),;;;;;ju juX t ju A Bt ju a bt X AB ju a b A B x X X ju A B j A B ux

X t B X x A f a f b Q u t E e

E e

e

f a b dadb

e dadb

x Q u t e d db

e

dx

f bt f Q u b f x t t f x t e dx

f x bt f b d f x b f b x x b

t b d ++∞

+∞

++-∞

-∞+∞

+∞

+-∞-∞

+∞+∞

-∞

-∞

+∞

-∞

-∞

+∞

+-∞∞

∞∞

-??

??

===???

?

====--=-?

?????

????

取a=-bt

2-5 已知()X t 为平稳过程，随机变量0()Y X t =。判断随机过程()()Z t X t Y =+的平稳性？

()X ()m X X t R τ?平稳、

()()0?E Y t E X t ??==??????

()2X E Z t m =????

()()()()()()()()()()()()()()()()()

12122

1212002

001200,,,Z X X X Z t t t R t t E X t Y X t Y E X t X t X t X X X t X R R t R t E X R t t t ττ??=++??

??=+++??

??=+?

≠++?

随机过程()()Z t X t Y =+非平稳

2-6 已知随机过程0()()cos()Y t X t t ω=+Φ，其中随机过程()X t 宽平稳，表示幅度；角频率0ω为常数；随机相位Φ服从(,)ππ-的均匀分布，且与过程()X t 相互独立。①求随机过程()Y t 的期望和自相关函数？②判断随机过程()Y t 是否宽平稳？

①Φ与过程()X t 相互独立

()0cos()t X t ω?+Φ与相互独立

[][]

[][]00()()cos()()cos()0E Y t E X t t E X t E t ωω=+Φ=+Φ=g

()[][][][]()101202120102120112020()cos()()cos()()()cos()cos()(,1

cos 2

)()cos()cos()Y X E X t t X t t E X t X t t t E X t R t t R X t E t t τωωτ

ωωωωω+Φ?+Φ?+Φ+Φ=?+==Φ+Φ=g

2-8 已知平稳过程()X t 的自相关函数为 ()4cos cos3X R e

τ

τπτπτ

-=+，

求过程的均方值和方差？

112()4cos ()0()cos30

X X X R e

R R τ

τπτ

τπτ

-=∞==X1X2＝非周期部分m 周期偶函数m

22(0)5X X X R m σ=-=

()X t

2-10 已知过程

()cos sin X t A t B t

=-和

()cos sin Y t B t A t =+，其中随机变量,A B 独立，均值都

为0，方差都为5。①证明()X t 和()Y t 各自平稳且联合平稳；②求两个过程的互相关函数？

①

()()(),5sin XY R t t X t Y t ττ

?＋＝、联合平稳 []()[]2

()0,5cos ()5X E X t R t t E X t X t ττ??=+==<∞??

?平稳[]()[]2

()0,5cos ()5Y E Y t R t t E Y t Y t ττ??=+==<∞???平稳

2-11 已知过程()X t 和()Y t 各自平稳且联合平稳，且()()()Z t X t Y t =+。①求()Z t 的自相关函数()Z R τ？②若()X t 和()Y t 独立，求()Z R τ？③若()X t 和()Y t 独立且均值均为0，求()Z R τ

第①问

()()()()()()()()()()()

Z X Y XY YX X X Y Y XY R E Z t Z t R R R R R R R R ττττττττττ=+????

=++++++-=

两个联合平稳的过程的互相关函数 ()()YX XY R R ττ=-

第②问 两平稳过程独立

()()()()1212E X t Y t E X t E Y t ?=????????????

()()XY YX X Y R R m m ττ?== ()()()()2Z X Y XY R R R R ττττ=++

第③问 ()X t 和()Y t 独立且均值均为0 ()()()Z X Y R R R τττ=+

2-12 已知两个相互独立的平稳过程()X t 和()Y t 的自相关函数为

20()2cos X R e

τ

τωτ

-=

(

)2

()9exp 3Y R ττ=+-

令随机过程，其中A 是均值为2，方差为9的随机变量，且与()X t 和()Y t 相互独立。求过程()Z t 的均值、方差和()()()Z t AX t Y t =自相关函数？

随机变量A ，与()X t 和()Y t 相互独立

()()()E Z t EA E X t E Y t =

????????????g g

[()]0[()]0E X t E Z t ==∴=，

()()

222

2

2

22

0(,)[()()][()()()()][]()()[][co ][]92()26s 9exp 3Z X Y Z R t t E Z t Z t E A X t X t Y t Y t E A R R E A D A R e

E A τ

ωττττττττ

τ-+=+=++==++=-=+?

[()](0)260Z D Z t R ==

可以证明过程()Z t 平稳

2-14 已知复随机过程 ()

1()exp i i i Z t A j t ω∞

==∑

式中(1,,)i A i n =L 为n 个实随机变量，(1,,)i i n ω=L 为n

个实数。求当i A 满足什么条件时，()Z t 复平稳？

复

过程

()

Z t 复平稳条件

()()()

+j ,Z z

Z Z m t m m m R t t R ττ=???

+=??X Y 复常数，

①()()[]()11

exp exp z i i i i i i m t E A j t j A t E ωω∞∞

==??==????∑∑g []0[()][]0i i E A E Z t t E A ≠=只要，中就存在“”。令

②

()()()()()()

()

1111

2

11

,exp exp exp exp i i j j j i j i j j i j j i i j i j Z E R t t E Z t Z A j t A j t j j t j t j A t E A j E A ωωωτωωτττωωτ∞∞==∞∞

==∞

∞

==*

-?+-++??+????+=+??

??=????

?=??

∑∑∑∑∑∑g g g

[]0................,1,2,,[]0,......i i k i k E A A A i k n

E A A i k =??

=??=≠??

L 与间应满足条件：

2-16 已知平稳过程()X t 的均方可导，()()Y t X t '=。

证明(),()X t Y t 的互相关函数和()Y t 的自相关函数分别

为

()

()X

XY dR R d τττ=

22()

()X Y d R R d τττ=-

[]'

000022

2()()()()()..()()()()()lim ()()()()lim lim ()()Y t t XY XY XY XY t XY X R E X t Y t X t t X t E l i m Y t t E X t t Y t X t Y t t R t R R R t dR d R d d ττττττττττττττττ

?→?→?→?→??=+??

+?-??

=+??

???

+?+-+=?-?---?==??=-=--o

。

0001()[()()]()()()..()()()()lim ()()()

lim XY t t X X X t R E X t Y t X t t X t E X t l i m t X t X t t X t X t E t R t R dR t dt

τττττττττ?→?→?→=+++?-+?

?=?????

++?-+??

=?????+?-==

?o

若()X t 为宽平稳（实）过程，则'()X t 也是宽平稳（实）过程，且

()X t 与'

()X t 联合宽平稳。

()22()()()()()XY YX XY X Y d R d R d R d R R d d d d τττττττττ===--

--=-

2-17 已知随机过程()X t 的数学期望

2

[()]4E X t t =+，求随机过程2()()Y t tX t t '=+的期望？

[]'

'

'

2

[()][()]42E X t E X t t t ??==+=??

[]2()3E Y t t =

2-18 已知平稳过程

()

X t 的自相关函数

21()2exp 2X R ττ??

=- ???

。求：①其导数()()Y t X t '=的自相

关函数和方差？②()X t 和()Y t 的方差比？

(

)

2

122

2

2()

()21X Y d R R e d ττττ

τ

--

==-

不含周期分量 ()()220202Y Y X X R R σσ====

补充题：若某个噪声电压()X t 是一个各态历经过程，它的一

个样本函数为()2cos 4X t t π??

=+ ??

?，求该噪声的直流分量、交流平均功率

解：直流分量()E X t ????、交流平均功率()D X t ????

各态历经过程 可以用它的任一个样本函数的时间平均来代替整个过程的统计平均

()1

1

()lim lim 0221()()()()2cos 4()()2c lim 21l os im 2cos 22cos 44T

T

T T T T T

X T

T T T T E X t X t dt dt T

T

R X t X t dt

T X t t X t X t t t d T t πτπττττπ--→∞→∞-→∞-→∞??+ ???+????+?++ ? ???????

==???

????

?=+=??==???

?????==

再利用平稳过程自相关函数的性质

()()()02X X D X t R R =-∞=????

方法二：

()()()222

2

2

2

()()

()2cos ()01

1()lim

li 24m 22T

T

T T T T X t X t D X t E X t E X t X t X t dt dt T

X t T

t π--→∞→∞

??+ ???=-=-??????????=??

==?

??

?????=

01()()t

Y t X d t

λλ=

?01)(1

()t Y t X d t t λλ=*=?变上限积分

2-19 已知随机过程()cos3X t V t =，其中V 是均值和方 差皆为1的随机变量。令随机过程 求()Y t 的均值、自相关函数、协方差函数和方差？

解：

1． 求均值，利用[()][()]b

b

a a E X t dt E X t dt

=??

随机过程的积分运算与数学期望运算的次序可以互换

()[][]000()111()cos3sin 33t t

t E Y t E X d d d t t E X E V t t t

λλλ

λλλ??===????????

=

???

2.求自相关函数 12

1212112200

121221

00

11(,)[()()][()()]

[()()]t t Y t t R t t E Y t Y t E X d X d t t E X X d d t t λλλλλλλλ==????12

12

1

＝

120012

1212

2

1212

cos3[()()]11sin 3()()3sin 3sin 3(,)[]

33sin 3sin 3sin 3sin 399t t Y V t

Y t X d d t t t

V t V t R t t E t t t t EV t t t t t t V E Y t Y t λλλλ===

===??1212

做法二：2＝