2014届高三数学(理)一轮专题复习课件 幂函数与二次函数
A．1 C．3
B．2 D．无法确定
解析：方法一：由条件得 1 2α 2 1β 可得3＝3 ，3＝3 ，
即 α＝
1 2 2 1 M3，3，N3，3，由一般性，
1 1 1 2α 2 1β αβ 方法二：由方法一，得3＝3 ，3＝3 ，则3 ＝3βα 2 1 α＝ ，即 ＝3 3
αβ＝1.
思想方法(二) 值
如何求解二次函数在某个闭区间上的最
问题研究：二次函数在闭区间上的最值问题，一定要根 据对称轴与区间的相对位置关系确定最值，当函数解析式中 含有参数时，要根据参数的取值情况进行分类讨论，避免漏 解．
解决方案：对于二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)而言， 首先确定对称轴，然后与所给区间的位置关系分三类进行讨 论．
考点三
幂函数的图像和性质
[例 3]
已知幂函数 f(x)＝x
m2－2m－3
(m∈N*)的图像关于 y 轴对
－ m 3
称， 且在(0， ＋∞)上是减函数， 求满足(a＋1) 的 a 的取值范围．
＜(3－2a)
－
m 3
解析：∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3. ∵m∈N*，∴m＝1,2. 又函数的图像关于 y 轴对称，∴m2－2m－3 是偶数， 而 22－2×2－3＝－3 为奇数，2－2×1－3＝－4 为偶数， 1 ∴m＝1. 而 f(x)＝x
解析：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x ∈[－5,5]， ∴x＝1时，f(x)取得最小值1； x＝－5时，f(x)取得最大值37. (2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图像的对称轴为直线x＝－ a， ∵y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数， ∴－a≤－5或－a≥5， 故a的取值范围是a≤－5或a≥5.
分)
a ①当2≥1，即 a≥2 时，f(x)取最大值－4－a2. 令－4－a2＝－5，得 a2＝1，a＝± 1＜2(舍去)；(4 分) a a ②当 0＜ ＜1，即 0＜a＜2 时，x＝ 时，f(x)取最大值为 2 2 －4a.
b2－3b＋2＝0， 即 b＞1.
解得b＝2.
答案：C
5．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a、b∈R)是偶函 数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝ __________.
解析：f(x)＝bx2＋(ab＋2a)x＋2a2 由已知条件ab＋2a＝0，又f(x)的值域为(－∞，4]， a≠0， 则b＝－2， 2a2＝4.
33 36 ymin＝□__________ ymax＝□________
2 3 4 5 □R □R □[0，＋∞) □{x|x∈R 6 7 8 9 10 且x≠0} □ R □ [0，＋∞) □ R □ [0，＋∞) □ 11 12 13 (－∞，0)∪(0，＋∞) □ 奇函数 □ 偶函数 □ 奇函数 14 15 16 17 □ 非奇非偶函数 □ 奇函数 □ 在R上递增 □ 在(－ 18 19 ∞，0]上递减，在[0，＋∞)递增 □ 在R上递增 □ 在 20 21 [0，＋∞)上递增 □在(－∞，0)和(0，＋∞)上递减 □
4ac－b2 －∞， 4a b － ，＋∞ 2a
b 30 □ x＝－ 2a 4ac－b2 33 □ 4a
b － ，＋∞ 2a
4ac－b2 36 □ 4a
名师微博 ●五个代表 函数y＝x，y＝x ，y＝x ，y＝x 学习幂函数图像和性质的代表． ●两种方法 函数y＝f(x)对称轴的判断方法 (1)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(x1)＝ x1＋x2 f(x2)，那么函数y＝f(x)的图像关于x＝ 2 对称．
解析：(1)f(x)＝(x－1)2＋1. 当t＋1≤1，即t≤0时，g(t)＝t2＋1. 当t＜1＜t＋1，即0＜t＜1时，g(t)＝f(1)＝1 当t≥1时，g(t)＝f(t)＝(t－1)2＋1 t2＋1，t≤0， 综上可知g(t)＝1，0＜t＜1， t2－2t＋2，t≥1.
(2)g(t)的图像如图所示，可知g(t)在(－∞，0]上递减，在 [1，＋∞)上递增，因此g(t)在[0,1]上取到最小值1.
＋b＋c＝0，则它的图像可能是(
A．
B．
C．
D.
解析：∵a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，∴a＞0，c＜0. ∴y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上，且不过原点．
答案：D
考点二
二次函数的性质
[例2]
函数f(x)＝x2－2x＋2在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最
小值记为g(t)． (1)试写出g(t)的函数表达式； (2)作g(t)的图像并写出g(t)的最小值．
21 定点 □________________
2.二次函数的表示形式 22 (1)一般式：y＝□________________； 23 24 (2)顶点式：y＝ □ _____________，其中 □ __________ 为抛物线顶点坐标； 25 (3)零点式：y＝ □ ________________，其中x1、x2是抛 物线与x轴交点的横坐标．
m 解析：由题知， 8 ≤－2，∴m≤－16.∴f(1)＝9－m≥25.
答案：A
4．已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1， b]，则b等于( A．3 C．2 ) B．2或3 D．1或2
解析：函数f(x)＝x2－2x＋2在[1，b]上递增， f1＝1， 由已知条件fb＝b， b＞1，
答案：D
方法点睛
分析二次函数的图像，主要有两个要点：一
个是看二次项系数的符号，它确定二次函数图像的开口方 向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数的具体位置．对 于函数图像判断类似题要会根据图像上的一些特殊点进行判 断，如函数图像与正半轴的交点、函数图像的最高点与最低 点等．
变式训练1
已知函数y＝ax2＋bx＋c，若a＞b＞c，且a )
因此f(x)＝－2x2＋4.
答案：－2x2＋4
考点一
二次函数的图像
[例1]
(2010· 安徽)设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的 )
图像可能是(
A.
B.
C.
D.
解析：若a＞0，则bc＞0，根据选项C、D，c＜0，此时 b 只有b＜0，二次函数的对称轴方程x＝－ ＞0，选项D有可 2a 能；若a＜0，根据选项A，c＜0，此时只能b＞0，二次函数 b 的对称轴方程x＝－ ＞0，与选项A不符合；根据选项B，c 2a b ＞0，此时只能b＜0，此时二次函数的对称轴方程x＝－ ＜ 2a 0，与选项B不符合．综合知只能是选项D.
2 b 4ac－b － ， 2a 4a
b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数
a＞0
a＜0
31 34 x∈□____是减函数 x∈□___是增函数 单调性 32 35 x∈□____是增函数 x∈□___是减函数 b 当x＝－2a时， b 当x＝－2a时，
最值
1 2， 4
，则它的单调递增区间是
1 解析：设y＝x ，则 4 ＝2α，α＝－2，则幂函数为y＝x－
α 2
，其单调递增区间为(－∞，0)，故选D.
答案：D
1 2．设α∈{－1,1， 2 ，3}，则使函数y＝xα的定义域为R， 且为奇函数的所有α的值为( A．1,3 C．－1,3 )
－ 1 3
在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，
∴(a＋1)
－
1 3
＜(3－2a)
－
1 3
等价于 a＋1＞3－2a＞0
或 0＞a＋1＞3－2a 或 a＋1＜0＜3－2a. 2 3 解得 a＜－1 或3＜a＜2. 2 3 故 a 的取值范围为{a|a＜－1 或3＜a＜2}．
方法点睛
本题集幂函数的概念、图像及单调性、奇偶
考情分析 •关于幂函数常以5种幂函数为载体，考查幂函数的概 念、图像与性质，多以小题形式出现，属容易题． •二次函数的图像及性质是近几年高考的热点；用三 个“二次”间的联系解决问题是重点，也是难点． •题型以选择题和填空题为主，若与其他知识点交 汇，则以解答题的形式出现.
知识梳理 1 分)已知 f(x)＝－4x2＋4ax－
4a－a2 在区间[0,1]内有最大值－5，求 a 的值及函数表达式 f(x)． 思维突破：求二次函数 f(x)的对称轴，分对称轴在区间的 左侧、中间、右侧讨论．
a 2 解答示范：∵f(x)＝－4x－2 －4a， a ∴抛物线顶点坐标为2，－4a.(1
1 答案：□R
21 22 23 24 □ (1,1) □ ax2＋bx＋c(a≠0) □ a(x－h)2＋k(a≠0) □ (h，k) 25 □ a(x－x1)(x－x2) 29 □ 32 □ 35 □ 26 □ R 27 □ R 28 □ 31 □ 34 □
4ac－b2 ，＋∞ 4a b －∞，－ 2a b －∞，－ 2a
B．－1,1 D．－1,1,3
解析：∵y＝x 1的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∴α ＝－1不符合题意，排除B、C、D，故选A.
－
答案：A
3．函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函 数，则f(1)的取值范围是( A．f(1)≥25 C．f(1)≤25 )
B．f(1)＝25 D．f(1)＞25
性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念 及性质．解答此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性 和奇偶性(图像对称性)求出 m 的值或范围；第二步，利用分 类讨论的思想，结合函数的图像求出参数 a 的取值范围．
变式训练 3
幂函数 y＝xa，当 a 取不同的正数时，在区
间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图)．设点 A(1,0)， B(0,1)，连接 AB，线段 AB 恰好被其中的两个幂函数 y＝xα，y ＝xβ 的图像三等分，即有|BM|＝|MN|＝|NA|，那么 αβ＝( )
高考一轮复习备考资料之数学人教A版课件：2.4 幂函数与二次函数
B.偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C.奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
√D.非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
自主演 练
解析 答案
2.若四个幂函数y＝x a，y＝x b，y＝x c，y＝x d在同一坐标系中的图象如 图所示，则a，b ，c，d 的大小关系是 A.d ＞c＞b ＞a
(2)二次函数的图象和性质
解析式 f(x )＝ax 2＋bx ＋c(a>0)
f(x )＝ax 2＋bx ＋c(a<0)
图象
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域 _______________________
____________________
在x ∈
单调性
在x ∈
对称性
上单调递减； 在x ∈
√
123456
解析 答案
3.[P44A 组T9 ]已知函数f(x )＝x 2＋4 ax 在区间(－∞，6)内单调递减，
则a的取值范围是
A.a≥3
B.a≤3
C.a＜－3
√D.a≤－3
解析 函数f(x )＝x 2＋4 ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x
＝－2 a，
由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x ＝
题型二 求二次函数的解析
师生共
式
研
典例 (1)已知二次函数f(x )＝x 2－bx ＋c满足f(0)＝3 ，对 x ∈R ，都有
f(1＋x )＝f(1－x )成立，则f(x )的解析f(式x )为＝_x_2_－__2_x_＋__3_______.
解析 由f(0)＝3 ，得c＝3 ， 又f(1＋x )＝f(1－x )， ∴函数f(x )的图象关于直线x ＝1 对称，
2014届高考人教A版数学(理)一轮复习讲义2.6幂函数与二次函数
第6讲幂函数与二次函数【2014年高考会这样考】1．求二次函数的解析式、值域与最值．2．运用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决问题．3．利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题.对应学生24考点梳理1．幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数的图象与性质由幂函数y＝x、y＝x 12、y＝x2、y＝x－1、y＝x3的图象，可归纳出幂函数的如下性质：(1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义；(2)幂函数的图象都过点(1,1)；(3)当α>0时，幂函数的图象都过点(0,0)与(1,1)，且在(0，＋∞)上是单调递增；(4)当α<0时，幂函数的图象都不过点(0,0)在(0，＋∞)上是单调递减．3．五种幂函数的比较(1)幂函数的图象比较(2)幂函数的性质比较]【助学·微博】 两种方法函数y ＝f (x )对称轴的判断方法(1)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 22对称．(2)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)． 两个条件(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎨⎧ a >0，b 2－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎨⎧a <0，b 2－4ac <0.三种形式 二次函数表达式(1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；(2)顶点式：y ＝a (x ＋h )2＋k (其中a ≠0，顶点坐标为(－h ，k ))；(3)两根式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(其中a ≠0，x 1、x 2是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标)．考点自测1.(人教A 版教材例题改编)如图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )． A ．－2，－12，12，2 B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12 答案 B2．(2011·浙江)设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x ≤0，x 2，x >0，若f (α)＝4，则实数α等于( )．A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2解析 由⎩⎨⎧ α≤0，－α＝4或⎩⎨⎧α>0，α2＝4，得α＝－4或α＝2，故选B.答案 B3．设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )．解析 由A ，C ，D 的图象知f (0)＝c <0.又abc >0，∴ab <0，∴对称轴x ＝－b2a >0，知，A ，C 错误，D 符合要求．由B 知f (0)＝c >0，∴ab >0，∴对称轴x ＝－b 2a <0，∴B 错误． 答案 D4．(2012·湖北)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )． A.2π5 B.43 C.32 D.π2解析 观察函数图象可知二次函数f (x )的图象的顶点坐标为(0,1)，故可设f (x )＝ax 2＋1，又函数图象过点(1,0)，代入可得a ＝－1，所以f (x )＝－x 2＋1，所以S ＝⎠⎛1－1(1－x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 331－1＝43.答案 B5．(2012·江苏)已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b(a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________． 解析 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的值域为[0，＋∞)， ∴b －a 24＝0，∴f (x )＝x 2＋ax ＋14a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12a 2.又∵f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，∴m ＋m ＋6＝－a ， ∴m ＝－12a －3，∴c ＝f (m )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a －32＋a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a －3＋14a 2＝9. 答案9对应学生26考向一 求二次函数的解析式【例1】►若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． [审题视点] 对于(1)，由f (0)＝1可得c ，利用f (x ＋1)－f (x )＝2x 恒成立，可求出a ，b ，进而确定f (x )的解析式．对于(2)，可利用函数思想求得． 解 (1)由f (0)＝1得，c ＝1.∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ， 即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎨⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎨⎧a ＝1b ＝－1.因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0得，m <－1. 因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．【训练1】 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8.试确定此二次函数．解 法一 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)， ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12.∴m ＝12.又根据题意知最大值为n ＝8， ∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8，∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1， 解之得a ＝－4.∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.∴函数的解析式是f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.法二 依题意知：f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，a ≠0. 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值y max ＝8，即－9a ＋44＝8，解之，得a ＝－4.∴函数解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.考向二 二次函数的图象与性质【例2】►已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．[审题视点] 对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用． 解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]， ∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增， ∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15， 故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4. (3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题主要依据二次函数的对称轴进行分析讨论求解． 【训练2】 求函数y ＝x 2－2ax －1在x ∈[0,2]时的值域． 解 由已知可得，函数y 的对称轴为x ＝a . ①当a <0时，y min ＝f (0)＝－1. y max ＝f (2)＝4－4a －1＝3－4a . 所以函数的值域为[－1,3－4a ]．②当0≤a ≤1时，y min ＝f (a )＝－(a 2＋1)，y max ＝f (2)＝3－4a ，所以函数的值域为[－(a 2＋1)，3－4a ]．③当1<a ≤2时，y min ＝f (a )＝－(a 2＋1)，y max ＝f (0)＝－1， 所以函数的值域为[－(a 2＋1)，－1]．④当a >2时，y min ＝f (2)＝3－4a ，y max ＝f (0)＝－1，所以函数的值域为[3－4a ，－1]． 考向三 幂函数的图象和性质 【例3】►已知幂函数f (x )＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m3的a 的取值范围．[审题视点] 由幂函数的性质可得到幂指数m 2－2m －3<0，再结合m 是整数，及幂函数是偶数可得m 的值． 解 ∵函数f (x )在(0，＋∞)上递减， ∴m 2－2m －3<0，解得－1<m <3. ∵m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数的图象关于y 轴对称，∴m 2－2m －3是偶数， 而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数， ∴m ＝1.∵函数y ＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数， ∴(a ＋1)－13<(3－2a )－13等价于 a ＋1>3－2a >0， 或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a . 解得a <－1或23<a <32. 故a的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a <－1或23<a <32.本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质．解答此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性和奇偶性(图象对称性)求出m 的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a 的取值范围．【训练3】 已知幂函数f (x )的图象过点(2，2)，幂函数g (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14.(1)求f (x )，g (x )的解析式；(2)当x 为何值时，①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )． 解 (1)设f (x )＝x a ，∵其图象过点(2，2)，故2＝(2)a ， 解得α＝2，∴f (x )＝x 2.设g (x )＝x β，∵其图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，∴14＝2β，解得β＝－2，∴g (x )＝x －2.(2)在同一坐标系下作出f (x )＝x 2与g (x )＝x －2的图象，如图所示．由图象可知：f (x )，g (x )的图象均过点(－1,1)与(1,1)． ∴①当x >1或x <－1时， f (x )>g (x )；②当x ＝1或x ＝－1时，f (x )＝g (x )； ③当－1<x <1且x ≠0时，f (x )<g (x )．对应学生27方法优化2——如何解决二次函数与其它函数图象有公共点的问题 【命题研究】 通过对近三年高考试题的统计可以看出，本讲主要考查二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的综合应用，以及幂函数的图象及性质，重点考查数形结合与等价转化两种数学思想．以二次函数的图象为载体，利用数形结合的思想，解决二次函数的单调区间、二次函数在给定区间上的最值以及与此有关的参数范围的问题．【真题探究】► (2012·山东)设函数f (x )＝1x ，g (x )＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)．若y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是( )． A ．当a <0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0B ．当a <0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0C ．当a >0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2<0D ．当a >0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2>0 [教你审题] 第1步 构造方程； 第2步 设出方程的根；第3步 由待定系数法确定方程的相关系数； 第4步 由对应系数相等确定x 1、x 2的关系式； 第5步 判断符号．[一般解法] 利用函数与方程思想求解．由题意知函数f (x )＝1x ，g (x )＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)的图象有且仅有两个公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，等价于方程1x ＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)有两个不同的根x 1，x 2，即方程ax 3＋bx 2－1＝0有两个不同非零实根x 1，x 2， 因而可设ax 3＋bx 2－1＝a (x －x 1)2(x －x 2)，即ax 3＋bx 2－1＝a (x 3－2x 1x 2＋x 21x －x 2x 2＋2x 1x 2x －x 2x 21)， ∴b ＝a (－2x 1－x 2)，x 21＋2x 1x 2＝0，－ax 2x 21＝－1，∴x 1＋2x 2＝0，ax 2>0，当a >0时，x 2>0，∴x 1＋x 2＝－x 2<0，x 1<0， ∴y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2>0.当a <0时，x 2<0，∴x 1＋x 2＝－x 2>0，x 1>0， ∴y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2<0.[优美解法]不妨设a <0，在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，如图所示，其中点A (x 1，y 1)关于原点的对称点C 也在函数y ＝1x 的图象上，坐标为(－x 1，－y 1)，而点B 的坐标(x 2，y 2)在图象上也明显的显示出来．由图可知，当a <0时，x 2>－x 1，所以x 1＋x 2>0，y 2<－y 1，所以y 1＋y 2<0，同理当a >0时，则有x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0，故选B.[答案] B[反思] 准确使用数形结合思想，起到事半功倍的效果．【试一试】 已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx ＋1有两个极值点x 1，x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，则f (－1)的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，6 C ．[3,12] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 解析 依题意得f ′(x )＝3x 2＋4bx ＋c ，f (－1)＝2b －c ，方程f ′(x )＝0的两个根满足x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，则有⎩⎨⎧ f ′(－2)＝12－8b ＋c ≥0，f ′(－1)＝3－4b ＋c ≤0，f ′(1)＝3＋4b ＋c ≤0，f ′(2)＝12＋8b ＋c ≥0，在坐标平面bOc 内画出该不等式组表示的平面区域D 及直线2b －c ＝0，平移直线2b －c ＝0，当该直线经过平面区域D 内的点(0，－3)与(0，－12)时，f (－1)＝2b －c 分别取得最小值与最大值，最小值与最大值分别是3,12，选C.答案C 对应学生235A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·临州质检)下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )．A ．y ＝1x (x ∈R ，且x ≠0)B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x (x ∈R )C ．y ＝x (x ∈R )D ．y ＝－x 3(x ∈R )解析 对于f (x )＝－x 3，∵f (－x )＝－(－x )3＝－(－x 3)＝－f (x )，∴f (x )＝－x 3是奇函数，又∵y ＝x 3在R 上是增函数，∴y ＝－x 3在R 上是减函数．答案 D2．(2013·怀远模拟)如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是 ( )．A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1 C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1D ．①y ＝x 3，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －1解析 因为y ＝x 3的定义域为R 且为奇函数，故应为图①；y ＝x 2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B 正确．答案 B3．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为 ( )．A ．[2－2，2＋2]B ．(2－2，2＋2)C ．[1,3]D ．(1,3)解析 f (a )＝g (b )⇔e a －1＝－b 2＋4b －3⇔e a ＝－b 2＋4b －2成立，故－b 2＋4b －2>0，解得2－2<b <2＋ 2.答案 B4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于 ( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3解析 f (a )＋f (1)＝0⇔f (a )＋2＝0⇔⎩⎨⎧ a >0，2a ＋2＝0或⎩⎨⎧a ≤0，a ＋1＋2＝0，解得a ＝ －3.答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．若f (x )是幂函数，且满足f (4)f (2)＝3.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________. 解析 设f (x )＝x α，由f (4)f (2)＝3，得4α2α＝3，解得α＝log 23，故f (x )＝x log 23，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝2－log 23＝2log 213＝13. 答案 136．若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________．解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，4ac －164a＝0⇒⎩⎨⎧a >0，ac －4＝0. 答案 a >0，ac ＝4三、解答题(共25分)7．(12分)设f (x )是定义在R 上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x <1时，y＝f (x )的表达式是幂函数，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，18.求函数在[2k －1,2k ＋1)(k ∈Z )上的表达式．解 设在[－1,1)上，f (x )＝x n ，由点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，18在函数图象上，求得n ＝3. 令x ∈[2k －1,2k ＋1)，则x －2k ∈[－1,1)，∴f (x －2k )＝(x －2k )3.又f (x )周期为2，∴f (x )＝f (x －2k )＝(x －2k )3.即f (x )＝(x －2k )3(k ∈Z )．8．(13分)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a >1)．(1)若f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，求实数a 的值；(2)若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝(x －a )2＋5－a 2(a >1)，∴f (x )在[1，a ]上是减函数．又定义域和值域均为[1，a ]∴⎩⎨⎧ f (1)＝a ，f (a )＝1，即⎩⎨⎧1－2a ＋5＝a ，a 2－2a 2＋5＝1，解得a ＝2. (2)∵f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，∴a ≥2.又x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1，∴f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2.∵对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，∴f (x )max －f (x )min ≤4，得－1≤a ≤3，又a ≥2，∴2≤a ≤3. B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·合肥八中月考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋ax ，x ≤1，ax 2＋x ，x >1， 则“a ≤－2”是“f (x )在R 上单调递减”的( )． A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 若a ≤－2，则－a 2≥1，且－12a ≤14<1，则f (x )分别在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上为减函数，又函数在x ＝1处的值相同，故f (x )在R 上单调递减，若f (x )在R 上单调递减，则a <0，且⎩⎪⎨⎪⎧ －12a ≤1，－a 2≥1，得a ≤－2.故选C.答案 C2．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，a 为正整数，c ≥1，a ＋b ＋c ≥1，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个小于1的不等正根，则a 的最小值是( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 解析 由题意得f (0)＝c ≥1，f (1)＝a ＋b ＋c ≥1.当a 越大，y ＝f (x )的开口越小，当a 越小，y ＝f (x )的开口越大，而y ＝f (x )的开口最大时，y ＝f (x )过(0,1)，(1,1)，则c ＝1，a ＋b ＋c ＝1.a ＋b ＝0，a ＝－b ，－b 2a ＝12，又b 2－4ac >0，a (a －4)>0，a >4，由于a 为正整数，即a 的最小值为5.答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3．已知函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋2)在(2，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围为________．解析 函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋2)在(2，＋∞)上为增函数，包含两个方面：函数g (x )＝x 2－ax ＋2在(2，＋∞)上恒正，以及其在(2，＋∞)上的单调性．由于g (x )＝x 2－ax ＋2开口向上，因此在(2，＋∞)上只能是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，g (2)≥0，a 2≤2，∴1<a ≤3.答案 (1,3]4．(2012·北京)已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2.若同时满足条件： ①∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0；②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0，则m 的取值范围是________．解析 当x <1时，g (x )<0，当x >1时，g (x )>0，当x ＝1时，g (x )＝0，m ＝0不符合要求；当m >0时，根据函数f (x )和函数g (x )的单调性，一定存在区间[a ，＋∞)使f (x )≥0且g (x )≥0，故m >0时不符合第①条的要求；当m <0时，如图所示，如果符合①的要求，则函数f (x )的两个零点都得小于1，如果符合第②条要求，则函数f (x )至少有一个零点小于－4，问题等价于函数f (x )有两个不相等的零点，其中较大的零点小于1，较小的零点小于－4，函数f (x )的两个零点是2m ，－(m ＋3)，故m 满足⎩⎨⎧ m <0，2m <－(m ＋3)，2m <－4，－(m ＋3)<1或⎩⎨⎧ m <0，－(m ＋3)<2m ，2m <1，－(m ＋3)<－4，解第一个不等式组得－4<m <－2，第二个不等式组无解，故所求m 的取值范围是(－4，－2)．答案 (－4，－2)三、解答题(共25分)5．(12分)已知函数f (x )＝x －k 2＋k ＋2(k ∈Z )满足f (2)<f (3)．(1)求k 的值并求出相应的f (x )的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f (x )，试判断是否存在q >0，使函数g (x )＝1－qf (x )＋(2q －1)x 在区间[－1,2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，178？若存在，求出q ；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f (2)<f (3)，∴f (x )在第一象限是增函数．故－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k <2.又∵k ∈Z ，∴k ＝0或k ＝1.当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2，∴f (x )＝x 2.(2)假设存在q >0满足题设，由(1)知g (x )＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1,2]．∵g (2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g (－1))和顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫2q －12q ，4q 2＋14q 处取得．而4q 2＋14q －g (－1)＝4q 2＋14q －(2－3q )＝(4q －1)24q ≥0，∴g (x )max ＝4q 2＋14q ＝178，g (x )min ＝g (－1)＝2－3q ＝－4.解得q ＝2，∴存在q ＝2满足题意．6．(13分)设函数f (x )＝x 2＋|2x －a |(x ∈R ，a 为实数)．(1)若f (x )为偶函数，求实数a 的值；(2)设a >2，求函数f (x )的最小值．解 (1)∵函数f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即|2x －a |＝|2x ＋a |，解得a ＝0.(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －a ，x ≥12a ，x 2－2x ＋a ，x <12a ，①当x ≥12a 时，f (x )＝x 2＋2x －a ＝(x ＋1)2－(a ＋1)，由a >2，x ≥12a ，得x >1，故f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12a ，＋∞时单调递增，f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 24； ②当x <12a 时，f (x )＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋(a －1)，故当1<x <a 2时，f (x )单调递增，当x <1时，f (x )单调递减，则f (x )的最小值为f (1)＝a －1.由于a 24－(a －1)＝(a －2)24>0，故f (x )的最小值为a －1.。
高考数学一轮复习第二章函数6幂函数与二次函数课件新人教A版2
解析
关闭
答案
-25考点1
考点2
考点3
(2)(2020福建厦门一模)已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x)+f(-x)
=2,且当x>0时,f(x)=-x2-2x+1.若f(2m-3)≤4,则实数m的取值范围
是 [1,+∞)
.
解析:(2)设x<0,则-x>0,则f(-x)=-x2+2x+1.因为f(x)+f(-x)=2,所以
-
∴α=-2,∴f(x)= .
关闭
1
由 f(x)的图象可知,f(x)的减区间是(0,+∞).
y= 2 (0,+∞)
解析
答案
-12考点1
考点2
考点3
考点 1
幂函数的图象和性质
例1(1)若幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是
( C )
(2)已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)·
双基自测
1
2
3
4
5
1
3.(2020福建漳州一模)当α∈ -1, ,1,3
时,幂函数y=xα的图象不可能
2
经过的象限是(
)D
A.第二象限 B.第三象限
C.第四象限 D.第二、四象限
-10知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
4.(2020四川成都模拟)某社团小组需要自制实验器材,要把一段
长为12 cm的细铁丝锯成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个
思考如何求二次函数在闭区间上的最值?
-27考点1
考点2
考点3
2.4幂函数与二次函数课件高三数学一轮复习
单调递减，则 n 的值为( B )
A．－3
B．1
C．2
D．1 或 2
【解析】 由于 f(x)为幂函数，所以 n2＋2n－2＝1，解得 n＝1 或 n＝－3，经检验只 有 n＝1 符合题意，故选 B.
12
12
11
3．若 a＝ 2 3 ，b＝ 5 3 ，c＝ 2 3 ，则 a，b，c 的大小关系是( D )
A．a<b<c
B．c<a<b
C．b<c<a
D．b<a<c
【解析】
∵y＝x
2 3
(x>0)是增函数，∴a＝12
2 3
>b＝15
2 3
.∵y＝12x 是减函数，
∴a＝12
2 3
<c＝12
1 3
，∴b<a<c.故选
D.
考点二 求二次函数的解析式
【例 1】 已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)的最大值是 8，试确 定此二次函数的解析式．
【思路探索】 根据 f(2)，f(－1)可设一般式；根据 f(x)的最大值为 8，可设顶点式； 根据隐含的 f(2)＋1＝0，f(－1)＋1＝0 可考虑零点式．
【解】 解法一(利用一般式)： 设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
4a＋2b＋c＝－1， 由题意得4aa－c4－ba＋b2c＝＝8－，1，
上单调
在x∈－2ba，＋∞上单调递减
函数的图象关于 x＝－2ba 对称
提醒：二次函数系数的特征 (1)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，系数 a 的正负决定图象的开口方向及开口大小． (2)－2ba的值决定图象对称轴的位置． (3)c 的取值决定图象与 y 轴的交点． (4)b2－4ac 的正负决定图象与 x 轴的交点个数．
二次函数与幂函数一轮复习课件(共21张PPT)
点拨：解决二次函数最值问题的关键是抓住“三点一轴”,其中“三点”
是指区间的两个端点和抛物线的顶点,“一轴”指的是对称轴,结合配方法,
根据函数的单调性及分类讨论思想即可解题.
点拨
【追踪训练 2】已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在[0,1]上的最大值为 2,求
实数 a 的值.
【解析】函数 f(x)=-(x-a)2+a2-a+1 的图象的对称轴为直线 x=a,且函数图象开
有助于把握数学问题的本质,发现解题思路,并且能避开复杂的推理与计算,大大简化解题过程.解决
二次函数问题时,注重“形”与“数”的有机结合.
【突破训练 2】已知函数 f(x)=x2-2x+4 在区间[0,m](m>0)上的最大值为 4,最小
值为 3,则实数 m 的取值范围是 [1,2] .
【解析】作出函数 f(x)的图象,如图所示,从图
3-2
【解析】(1)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3-2
2
2
∵0<m≤ ,∴
2
.
≥1,
∴g(m)=max{|f(-1)|,|f(1)|}=max{|3m-2|,|4-m|}=max{2-3m,4-m}.
又∵(4-m)-(2-3m)=2+2m>0,∴g(m)=4-m.
解析
3-2
(2)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3
, 3 ,则 f
1
2
=
.
【解析】(1)设幂函数的解析式为 f(x)=xα,∵该函数的图象经过点
1
,
3
1
2
3 ,∴3-α= 3,解得 α=- ,
高考数学全程一轮复习第二章函数第五节二次函数与幂函数课件
(4)当－2ba>n时，最小值和最大值分别是多少？
提示：(1)最小值为f(m)，最大值为f(n)；(2)最小值为f(－2ba)，最大值为f(n)；(3) 最小值为f(－2ba)，最大值为f(m)；(4)最小值为f(n)，最大值为f(m)．
关键能力·题型剖析 题型一 幂函数的图象与性质
p
例1 (1)已知幂函数y＝xq(p，q∈Z且p，q互质)的图象关于y轴对称， 如图所示，则( )
所以f(－1)＝6a＝12，a＝2，所以f(x)＝2x2－10x.
角度二 二次函数的图象 例3 (多选)设abc<0，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
答案：ABD
题后师说
识别二次函数图象应学会“三看”
巩固训练3 已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a>b>c，且a＋b＋c＝0，则函数f(x)的 图象可能是( )
第五节 二次函数与幂函数
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必备知识 1.幂函数 (1)幂函数的概念
注意幂函数与指数函数的区别 一般地，函数__y_＝__xα___叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图像与性质
函数 y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x－1
定义域 R
R
5
4
4
A．c<a<b B．c<b<a
C．a<c<b D．b<c<a
答案：A
1
1
1
3
1
解又0析<：27<因1<为16a<＝1，45y＝2＝x14在1265 (04<，1＋，∞b＝)上54单5>调1递，增c＝，34
高三年级第一轮复习二次函数与幂函数课件 PPT
4x5的单调区间, 4x4
并比较 f (π)与f ( 2)的大小.
2
解
∵
x24x5
1
f(x)x24x41(x2)2
=1+(x+2)-2,
其图象可由幂函数y=x-2的图象向左平移2个单位,再 向上平移1个单位得到，
该函数在(-2，+∞)上是减函数，在(-∞，-2)上是 增函数，且其图象关于直线x=-2对称（如图所示）.
2 ∵f（2）=-1，a(21)281,
2 解之，得a=-4. f(x) 4 (x 1 )2 8 4 x2 4 x 7 .
2
探究提高
二次函数的解析式有三种形式： (1)一般式：f(x)=ax2+bx+c (a≠0) (2)顶点式：f(x)=a(x-h)2+k (a≠0) (3)两点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 具体用哪种形式，可根据具体情况而定.
则实数m的取值范围是_______.
解析
•1m ,,m1.
又(1,2)且m1在(1,2)上是增函 , 数
11m21,即m(2,5).
2
2
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交
题型分类 深度剖析
题型一 二次函数的解析式的求法 【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且
思维启迪 由 f(x)xm22m3(m∈N*)的图象关于y
轴对称知m2-2m-3为偶数,又在（0，+∞）上是减函
数，∴m2-2m-3<0，从而确定m值，再由函数f(x)=
x
m 3
的单调性求a的值.
解 ∵函数在(0，+∞)上递减，
高考数学二次函数与幂函数复习课件
R
R
值域
R
R
奇偶性
函数
函数
函数
函数
函数
(续表)
课前基础巩固
{x|x≥0}
{x|x≠0}
{y|y≥0}
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
函数
y=x
y=x2
y=x3
y=
y=x-1
顶点坐标
奇偶性
当 时为偶函数
对称轴方程
x=-
b=0
2. 幂函数(1)定义:一般地,函数y=xα叫作幂函数,其中x是自变量,α是常数.(2)常见的五种幂函数的图像和性质比较
课前基础巩固
函数
y=x
y=x2
y=x3
y=
y=x-1
图像
函数
y=x
y=x2
y=x3
y=
y=x-1
性质
定义域
0
[总结反思]幂函数的性质因幂指数大于1,大于0且小于1、等于或小于0而不同,解题中要善于根据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等.
课堂考点探究
例1 (1) 已知二次函数y=ax2+bx+1的图像的对称轴是直线x=1,并且图像过点P(-1,7),则a,b的值分别是( )A.2,4 B.-2,4 C.2,-4 D.-2,-4
方法二:设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),∵f(2)=f(-1),∴f(x)图像的对称轴方程为x= =,∴m=,又函数f(x)的最大值是8,∴n=8,∴f(x)=a+8,又f(2)=-1, ∴a+8=-1,解得a=-4,∴f(x)=-4+8=-4x2+4x+7.方法三:由题知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即f(x)=ax2-ax-2a-1,又函数f(x)的最大值为8,所以=8,解得a=-4,故f(x)=-4x2+4x+7.
高考数学一轮复习《幂函数与二次函数》课件
A.f( 2)<f －32<f( 3) C.f( 3)<f( 2)<f －32
B.f －32<f( 2)<f( 3)
√D.f( 2)<f( 3)<f －32
(3)设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值.
核心素养 题型四 二次函数的恒成立问题
例5 (1)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零， 则实数a的取值范围是___－__∞__，__12_ __.
R
__{_y|_y_≥__0_}_ _{_y|_y_≠__0_}
奇偶性 奇 函数 偶 函数 奇函数 非奇非偶函数 奇 函数
性
在_(_－__∞__，__0_] _
质
在R上单 上单调递减； 在R上 在_[0_，__＋__∞__)_
单调性 调递增
在_(_递增
递增
上单调递增
题型一 幂函数的图象与性质
1.若幂函数的图象经过点2，14，则它的单调递增区间是
A.(0，＋∞)
B.[0，＋∞)
√ C.(－∞，＋∞) D.(－∞，0)
2.幂函数y＝ xm2 2m3 (m∈Z)的图象如图所示，
则实数m的值为
A.3
B.0
√C.1
D.2
3.若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示， 则m与n的取值情况为 A.－1<m<0<n<1
作业
《步步高》2.3 幂函数与二次函数
当日事，当日毕
B.－1<n<0<m<12 C.－1<m<0<n<12
√D.－1<n<0<m<1
高三数学一轮复习 第2篇 第6节 二次函数与幂函数课件 理
(A)
0,
1 20
(B)
,
1 20
(C)
1 20
,
(D)
1 20
,
0
解析:由于 f(x)的图象均在 x 轴上方,则 f(x)>0 恒成立,
故有
a
0， 1 20a
Байду номын сангаас
0,
∴a>
1 20
.
精选ppt
7
2.已知函数
f(x)=
x2 ax, ax2 x,
x x
1, 1
在
R
上单调递减,则实数
a 0, b2 4ac
0.
其中正确的是( B )
(A)①③ (B)② (C)③④ (D)④⑤
精选ppt
9
解析:由幂函数定义知①错误,②正确. 幂函数 y=x-1 在定义域上不单调.故③错误.
当- b ∉[m,n]时,二次函数的最值在区间端点达到,而非 4ac b2 .故④
2a
4a
错误.
由
ax2+bx+c>0
8
3.给出下列命题: ①函数 y=2x 是幂函数. ②如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点. ③当 n<0 时,幂函数 y=xn 是定义域上的减函数.
④二次函数 y=ax2+bx+c,x∈[m,n]的最值一定是 4ac b2 . 4a
⑤关于
x
的不等式
ax2+bx+c>0
恒成立的充要条件是
f(x)=xα,则
4α=
1 2
,α=-
1 2
,因此
f(
1 4
)=