奇异杂交边界点法求解扭转问题
弹性力学问题中的双重互易杂交边界点法
弹性力学问题中的双重互易杂交边界点法
苗雨;晏飞
【期刊名称】《南阳理工学院学报》
【年(卷),期】2009(001)001
【摘要】杂交边界点法是一种边界类型的纯无网格方法,它同时具有边界元法降维的优势和无网格法无需插值和积分网格的优良特性.但在求解非齐次问题时,不可避免的需要域内积分.本文将双重互易法引入到该方法中,将对非齐次项的域内积分转化成边界积分,形成双重互易杂交边界点法.该方法将问题的解分为通解和特解两部分,通解使用杂交边界点方法求解,特解利用局部径向基函数近似.为了达到特解插值的通用性,本文提出了特解基本形式.该方法是一种边界型纯无网格方法.数值算例表明,该方法是一种计算量小、精度较高的数值方法,适合于求解各种弹性力学问题.【总页数】5页(P52-55,75)
【作者】苗雨;晏飞
【作者单位】华中科技大学土木工程与力学学院,湖北,武汉,430074;华中科技大学控制结构湖北重点实验室,湖北,武汉,430074;华中科技大学土木工程与力学学院,湖北,武汉,430074;华中科技大学控制结构湖北重点实验室,湖北,武汉,430074
【正文语种】中文
【中图分类】O241
【相关文献】
1.双互易杂交边界点法参数及域内节点分布 [J], 樊志华
2.双重互易杂交边界点方法在势问题中的应用 [J], 司马玉洲;朱宏平;苗雨
3.求解二阶椭圆型偏微分方程的双重互易杂交径向边界点法 [J], 汪学海
4.含非均匀体力机械结构弹性力学问题的双互易边界元法 [J], 曾华;周枫林;余江鸿
5.弹性力学问题中一个新的边界积分方程——自然边界积分方程 [J], 牛忠荣;王秀喜;周焕林;张晨利
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一类二阶奇异摄动边值问题的再生核方法
边 界条 件为
“Ｏ （ ）＝ ０ “ １ ｆ （ ）＝ ， 其 中 是 充 分 小 的正 参 数 是 有 限常数．
［ ，］Ｙ∈ ［ ，］ ＜ ０１ ， ０１ Ｗ１０ １ ［ ，］＝ ｛ ）Ｉ
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其 中 ）ｇ ）∈ ［ ，］ ，（ ０１． 容 易证 明 ， ［ １ 是 一 个 完 备 的再 生 核空 ０，］ 问 ， 每一个 固定 的 ∈ ［ １ ， 即对 ０，］存在 Ｒ （ ）∈ Ｙ
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Ｍ（ ” ）＋ ｕ （ ）＋ｇ ｘ 戈 ， ＜１ ｘ （ ）＝ ） ０＜ ，
由定理２１ ∑ ＜Ｉｘ ， （）依 ． 知， ｔ） （ （）＞ ，
ｌ Ｉ ＝ １
如下 ： ＜ ｕ Ｙ ， 。Ｙ ＞ ＝ ０则 有 ＜ ｕ ｙ ， 若 （ ） （ ） （ ）
卢 ｌＹ １（ ）＞ ＝ ｌ ｔ ｙ ， ｌＹ １＜Ｉ ） （ ）＞ ＝卢ｌ ｔ ｙ ， （ １＜Ｉ ） （ Ｌ Ｙ ＞＝ ｌ ＜ （ ｕ （ ） Ｒ （ ） ＞＝ Ｒ （ ） １ Ｌ ） Ｙ ， Ｙ
第２ ６卷
第 ４期
哈尔滨师范大学 自然科学 学报
ＮＡ ＲＡＬ Ｓ Ｉ ＮＣ Ｏ ＴＵ Ｃ Ｅ ＥＳＪ ＵＲＮＡＬＯＦ ＨＡＲ Ｎ ＮＯ ＢＩ ＲＭＡＬ ＵＮ ＶＥ Ｉ Ｉ ＲＳＴＹ
Ｖ １ ６ Ｎ ． ０ ０ ｏ． 。 ｏ４２ １ ２
一
类 二 阶奇 异 摄 动 边 值 问题 的 再 生 核 方 法 术
＜
）ｇ ＞ ３ ＝ ｆ（（） （） ＋ ，（） Ｗ 厂 ｇ
Ｊ Ｕ
０ 引 言
笔者 研究 以下 奇异 摄动 两点边值 问题 ：
计算固体力学第三章_1
8. 可处理大变形和非线形材料带来的非线形问题.
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3 协调模型分析
1. 建立协调模型的一般方法
大部分有限单元,都是根据虚功原理, 或由它导出的能量 原理建立的, 这类单元统称为“协调模型”或“相容模 型”（Conforming model)。
每个节点有三个转动 分量和三个位移分量.
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如图1.4, 用120个节点和297个平面应变三角形单 元模拟. 将对称性应用于整个杆端的一半. 此分析 的目的是找出杆端应力集中最高的位置.
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有限元法无论对什么样的结构（杆系，平面，三维， 板壳）分析过程是一样的，一般为：
有限元法基本步骤:
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有限元法基本步骤
将物体划分为具体有相关节点的等价系统,选择最适当 的单元类型来最接近的模拟实际的物理性能. 所用的单元总 数和给顶物体内单元大小和类型的变化是需要工程判断的 主要问题. 单元必须小到可以给出有用的结果,又必须足够大以节省 计算费用.
一点的位移列阵： 一点的应变列阵：
一点的应力列阵：
一点的体积力列阵： 一点的表面力列阵：
边界外法线方向余弦矩阵：
其中：
平衡方程：（内力与体积力的关系方程）
写成矩阵形式：
其中
A - 微分算子矩阵
几何方程：(应变与位移的关系方程)
写成矩阵形式：
物理方程（应力与应变的关系方程)
深梁理论的研究现状与工程应用
深梁理论的研究现状与工程应用夏桂云;曾庆元【摘要】综述了深梁理论、截面剪切修正系数计算理论、深梁线性与几何非线性有限元、深梁材料非线性分析、深梁振动理论、深梁稳定理论、箱梁结构分析中弯曲、剪力滞、畸变分析时考虑剪切变形影响的计算理论、钢腹板桥梁考虑剪切变形的研究成果、弹性地基深梁、深梁理论在工程结构中的应用等.提出了杆系结构的静力、振动和稳定分析方法都可用Timoshenko深梁理论进行重建和重写.【期刊名称】《力学与实践》【年(卷),期】2015(037)003【总页数】15页(P302-316)【关键词】深梁理论;剪切修正系数;有限元;振动;稳定【作者】夏桂云;曾庆元【作者单位】长沙理工大学土木与建筑学院,长沙410076;中南大学土木工程学院,长沙410075;西安交通大学航天航空学院,西安710049;中南大学土木工程学院,长沙410075【正文语种】中文【中图分类】U441.3夏桂云，长沙理工大学土木与建筑学院教授、湖南省普通高校青年骨干教师.主要从事考虑剪切变形影响的杆系结构理论与应用、箱梁结构的多重耦合分析理论、桥梁结构非线性分析理论等的研究.先后主持国家自然科学基金项目、中国博士后基金项目、湖南省科技计划项目及横向项目等10余项课题的研究.获湖南省科技进步一、二、三等奖、中国公路学会科技进步二等奖等4项.在国内外主要期刊上发表学术论文30余篇（其中SCI数据库收录1篇、EI数据库收录20余篇），出版《考虑剪切变形影响的杆系结构理论与应用》专著1部.经典的Bernoulli一一Euler初等梁理论应用非常广泛，是《材料力学》、《结构力学》、《结构振动》、《结构稳定》所论述杆系结构的理论基础，但该理论引入直法线假定［1］，没有考虑剪切变形的影响，故只能适用于长梁情况.随着工程技术的发展，应考虑剪切变形影响的深梁问题越来越多，如结构截面尺寸相对于跨径来说较大情况、梁的高阶振动、局部高度承载、弹性地基梁的地基沉降等问题，应用初等梁理论分析将导致计算挠度偏小［2］、计算精度不足等问题.为解决这些问题，各国学者提出了多种深梁理论［3］，出现了大量的研究成果和工程应用，促进了深梁理论的发展.到目前为止，可以说凡是利用Bernoulli一一Euler初等梁理论研究的杆系问题都可以利用考虑剪切变形影响的深梁理论进行分析，以提高计算精度.从 1921年 Timoshenko提出著名的两广义位移深梁理论以来［2-3］，深梁理论一直在快速发展当中，按剪切变形的位移场模式，深梁理论主要有零阶剪切变形理论［4-5］、一阶剪切变形理论［2-3］和高阶剪切变形理论［6］（主要是二阶和三阶剪切变形理论）；按广义位移的个数主要有单广义位移梁理论［7］、两广义位移梁理论［2-3］和多广义位移梁理论［8-9］；按理论建立的方式主要有经典理论、双挠度理论和精化理论［10］.在这些理论中，一阶剪切变形的经典理论是Timoshenko梁理论，三阶剪切变形理论主要有Bickford［6］、Levinson［8］、Jemielita［11］、Reddy［12-13］等所建立的理论和模型.在这些深梁理论中，由于Timoshenko梁理论简单、求解方便、应用最广而成为经典.考虑剪切变形影响后，如图1所示，受竖向均布载荷q、均布弯矩载荷m和轴压力共同作用的深梁的经典微分方程为［2］式中，抗弯劲度D=EI、抗剪劲度C=GA/k，k为剪切修正系数［1-2，14-15］、q为竖向均布载荷、m为均布弯矩.Timoshenko梁理论从《弹性力学》的观点看，仍然是一种近似理论，即有些方面仍不符合《弹性力学》的要求，主要缺点有3个［2］：（1）同一截面上各点的竖向位移并不相等，而这里假定为常数；（2）截面在变形后实际上并不再保持为平面，而这里继续假定它为一平面；（3）同一截面上假定剪应变为常数而剪应力却不是常数，因而不满足本构关系.为缓和上述矛盾，Cowper指出，可以把挠度w理解为截面上各点的平均挠度，转角ψ理解为截面上各点的平均转角［2］，即式中，A和I分别为截面的面积和惯性矩.经过上式的平均处理，这样w′-ψ可以理解为平均剪应变，于是剪应变与剪应力之间不符合本构关系的矛盾得到缓解［2］.一般认为，高跨比h/L≥1/5或弯剪刚度比D/（L2C）≥1/30的杆系结构都是深梁理论研究的范畴.利用 Timoshenko梁理论进行结构分析时，最为关键的问题是截面剪切修正系数（shear correction factor）的计算问题.截面剪切修正系数又称为剪切变形系数（shear deformation coefficients）、剪应力不均匀系数、剪切系数等.其定义有按式（1）中C=GA/k定义的，也有按C=kGA定义的［2］，此时的剪切修正系数与式（1）定义的剪切修正系数互为倒数.引入这个系数的目的主要是克服假定剪切应变沿梁截面均匀分布、剪应力却非均匀分布间的误差影响.历史上有多种计算理论和方法，有的根据深梁振动频谱来定义剪切修正系数，有的根据深梁静力分析理论来定义剪切修正系数.目前主要有 Timoshenko方法、Cowper方法、Stephen一一Hutchinson方法、梯形分块算法、材料力学方法、有限元方法、弹性力学方法等.一般认为，截面剪切修正系数受截面形式、结构材料、边界条件和作用载荷等的影响.Timoshenko最早提出剪切修正系数计算方法，其采用最大剪切应力与平均剪切应力之比作为剪切修正系数，并计算了矩阵、圆形、薄壁圆管、工字型、箱型等截面的剪切修正系数［14-15］.剪切修正系数的计算理论中最有影响的是能量法.最常用、最简单的能量公式如式（3）所示此式的实质就是不均匀分布的剪应力所做功与假定的平均剪切应变所做功之比.根据此计算式，得到了众多截面的剪切修正系数.1966年Cowper根据《弹性力学》中悬臂梁的剪应力分布形式及能量原理建立了计算公式［16］.对于一些简单截面，Cowper利用Love解给出的剪应力分布解析解得到了剪切修正系数的解析式，对于某些复杂截面Cowper给出了近似解，其给出的 11种常见截面剪切修正系数当今应用极为广泛［2，17］.Cowper建立其计算公式时利用截面的主弯矩轴，其Iyz=0，这样导致截面有两个剪切修正系数，即αyy，αzz.因此Cowper方法只适应于有对称轴的截面.1968年，Mason等将Cowper方法扩展到任意截面的剪切修正系数计算中，起始坐标系统可以任意定义，其计算理论中多出了两个相关剪切修正系数αyz，αzy［18］.1980年 Stephen［19］采用与 Cowper相同的过程，但采用自重作用下的剪应力分布，对Cowper理论进行修正，提出了新的剪切修正系数，将其应用于圆形、矩形截面杆的固有频率估算，其结果比Cowper方法精确，但是对于一般截面情形未能得出相同结论.2001年Hutchinson［20］利用Hellinger一一Reissner变分原理建立了另一种新的剪切修正系数公式，后来证明与Stephen方法是同一种公式，只要经过复杂的推导就可互相转化，被称为S一一H系数［21-22］. 2013年王乐等［23］采用《弹性力学》方法，得到悬臂梁纯弯曲变形条件下截面剪应力分布的精确解，基于能量原理得到了各种梁截面剪切修正系数新的表达式，然后推导了弯扭耦合变形条件下截面剪应力分布的精确解，进一步获得了该条件下截面的剪切修正系数.2008年夏桂云在截面面积、抗弯惯性矩特性计算的梯形分块算法［24］基础上提出了截面剪切修正系数的算法，其假定截面的剪应力分布服从《材料力学》中剪应力分布规律，应用最小能量原理建立剪切修正系数的计算公式，即取式（3）中的单轴向剪应力所做功，采用Gauss数值积分方法进行积分计算，用Fortran编制了截面剪切修正系数的梯形分块计算程序［25-26］，可适应于截面可梯形分块的实心截面剪切修正系数计算.推导的10种截面计算公式与Cowper公式相比，只是没有考虑泊松比效应，对桥梁工程常用的T型截面、工字型截面计算的剪切修正系数数值结果与理论结果一致.该方法和计算程序适应于常规复杂截面的剪切修正系数计算.用《弹性力学》方法来确定剪切修正系数也是一种不错的途径，其做法大致为先用《弹性力学》的方法确定简单结构的解，如挠度等，将其与考虑剪切变形影响的《材料力学》解进行比较，即可得到剪切修正系数［17］.但此方法存在同一结构由于《弹性力学》有精度不同的多种解，导致同一截面有多种剪切修正系数值［27-30］.黄文彬［27-28］、王敏中［29］、唐玉花等［30］等先后讨论了平面弹性悬臂梁剪切挠度问题，得到了不同的计算结果.用有限元方法确定截面剪切修正系数是一种简便的数值方法.Mason等［18］在基于假定的位移场，使用最小势能原理，建立了针对任意截面三角形单元划分的有限元方程.Schramm等［31］、Wagner等［32］根据弹性梁理论，用加权残值法建立了截面几何特性计算的有限元方法.Sapountzakis等［33］根据弹性梁理论建立了截面几何特性计算方法，但是使用了边界元方法求解；Chana等［34］从频率角度，提出了剪切修正系数的计算方案.陈常松等［35］利用目前成熟的弹性梁理论，建立了悬臂梁受自由扭转、约束扭转、横向剪力下的弹性方程，推导出截面翘曲函数的调和方程.引入圆柱自由边界条件，采用Galerkin方法，解出离散截面节点处的函数值，利用高斯积分计算截面几何特性，采用4节点等参元编写任意梁截面几何特性值计算的有限元程序. Pilkey［36-37］系统地介绍了利用有限元法计算截面几何特性的理论、程序编制方法等，是截面几何特性数值计算的经典著作，在国际上有广泛的影响.1992年郑泉水等［38-39］提出了Hilbert空间上用子空间变分原理来提高本构方程精度，以解决投影类型梁本构方程精度比平衡方程精度低的缺点，其研究生卢小抒［40］在此基础上利用子空间变分原理和有限元方法建立梁的深化本构方程，并利用子空间变分原理进行深梁剪切修正系数的有限元计算.1996年杜丹旭等［41］通过简化子空间变分原理的数学结构，用修正子空间变分原理消除子空间变分原理的奇异性，计算了单材料多种截面的剪切修正系数，并对圆环截面剪切修正系数的有限元结果与Cowper理论结果进行了比较，指出了修正子空间变分原理的有限元法可处理复杂截面以及层状或复合材料截面的能力.周凌远［42］采用将梁截面离散化的方式，用数值积分方法计算截面的几何特性，并根据梁的剪切变形和扭转理论，利用变分原理建立截面几何特性计算的有限元方程，求解任意形状截面的扭转常数、剪切中心、剪切修正系数等.目前大型商业软件，如Ansys，Midas，SAP，桥梁博士等都有截面几何特性计算功能.Ansys采用9节点平面单元计算截面的面积、抗弯惯性矩、中心轴、剪心、抗扭惯性矩、翘曲惯性矩、剪切修正系数等［43］.Midas软件也具备相同功能，略为不同的是采用4节点平面单元计算截面几何特性［44］.曹志远等［45］在研究中厚板的振动问题时指出，只要对板中剪切变形和挤压变形的分布作出不同假定，就可导出中厚板的Hencky理论、Reissner理论、Vlasov理论、Mindlin理论等，这些经典的中厚板理论都可退化成深梁理论，利用其偏离位移分布函数和挤压变形函数可确定剪切修正系数.4种经典中厚板理论中，剪切修正系数分别为1，6/5，6/5，12/π2.但由于其偏离位移分布函数和挤压变形函数是从中厚板理论中得来，故只能用于矩形截面梁.瞿履谦等［46］利用截面剪应力分布特征建立了剪切修正系数的计算公式，此公式的实质是截面实际分布剪应力所做剪切功与平均剪应力所做剪切功之比.经过公式推导，其建立了建筑结构中常用的对称与不对称的工字型、十字型和T型截面的剪切修正系数，并制作了大量的计算表格以供查询，得到剪切修正系数的另一种数学解释为“剪切修正系数可表示为截面剪应力与平均剪应力之比的方差再加1、也就是截面剪应力的变异系数的平方再加1”，剪应力分布越不均匀，则剪切修正系数就越大.随着深梁研究的深入，其有限元发展也很迅速.深梁有限元列式中最简单的模式是1977年Hughes提出的线性插值单元［47-48］，此单元的缺点是整个单元的弯矩和曲率为常数，单元网格必须划分较密才能获得较好的精度，而且剪切刚度过硬，存在剪切闭锁问题.1968年 Przemieniecki［49］采用工程梁理论中梁的位移微分方程，分别考虑剪切变形和弯曲变形，导出了均匀梁的刚度矩阵，该方法中挠度采用三次插值函数、转角位移采用二次插值函数，精度高、适应性强，导出的刚度矩阵是一般意义上深梁单元的精确刚度矩阵，因此广为使用.1981年胡海昌［2］根据Timoshenko两广义位移梁理论，假定深梁单元横向位移为三次插值、转角位移为二次插值，应用最小势能原理消去内部自由度，导出了深梁单元位移插值函数，是深梁单元插值函数的标准形式，并被广泛使用.但此方法由于要消除内部自由度，理论推导繁杂.Oral［50］提出了高阶等参数杂交Timoshenko梁单元.1994年周世军等［51］利用最小势能原理得到了考虑剪切变形影响的Timoshenko梁单元位移函数表达式，并导出了单元刚度矩阵、一致质量矩阵和几何刚度矩阵.2000年龚克［7］提出了单广义位移深梁理论，并利用该理论建立深梁单元，是对二广义位移梁理论的发展.2004年夏桂云等［52］从深梁的二广义位移理论出发，利用解析试函数［2］直接建立深梁单元横向位移、转角、剪切应变的插值函数，进而导出了考虑剪切变形影响的单元线弹性刚度矩阵、一致质量矩阵和几何刚度矩阵.Przemieniecki［49］、胡海昌［2］、周世军等［51］、夏桂云等［52］推导的单元位移模式、线弹性刚度矩阵都相同，是深梁单元的标准形式，为多数商业软件所采用，能克服剪切闭锁问题.2008年杜柏松等［53］从工程梁理论中的梁位移微分方程出发直接推导出考虑剪切变形影响的空间梁单元的刚度矩阵，并从动力载荷的虚功原理出发推导出考虑剪切变形影响的质量矩阵，通过实例分别比较考虑剪切变形影响和不考虑剪切变形影响对结构固有频率的影响，结果表明在剪切修正系数较大时，不考虑剪切效应会引起较大的误差.1998年李华［54］将深梁单元横向位移分解为弯曲位移和剪切位移，都采用三次插值函数，成功构造了深梁的有限元列式和刚度，是一种双挠度理论.1999年王荣辉［55］通过引入剪切转角和弯曲转角，假定横向位移为三次插值函数，导出了一种新的单元模式.此单元引入了剪切转角和弯曲转角2个自由度，比一般深梁单元的自由度多.初等梁结构几何非线性分析主要有两种方法，一种是基于T.L.列式或U.L.列式的非线性有限元方法（单元的位移函数取多项式）；另一种是稳定函数方法，其经典方法主要有Saafan理论、Brotton理论、Fleming理论，这些理论被称为有限位移理论，是大跨度杆系结构分析的主流方法［56］.对于深梁结构的几何非线性来说，李国强等［57］指出主要有4种影响因素：（1）轴力的影响（轴力对横向变形的影响）；（2）剪切变形的影响；（3）初始弯曲的影响；（4）弓形效应的影响（弯矩对轴向变形的影响）.准确地说，剪切变形不是梁的几何非线性影响因素，而是梁弯曲理论简化缺陷所带来的问题.分析轴力对杆件弯曲的影响时，一般指其 P一一δ或P一一∆效应，目前主要采用Von-Karman的大挠度理论［58-59］，建立基于 T.L.或 U.L.列式下的刚度，并结合拖动坐标来实现大位移效应的求解.刘永华等［59］利用 Ansys用户可编程特性（user programmable features，UPFS）研究考虑剪切变形后的弓形效应实用方法，研究了空间梁单元转角位移函数的级数展开形式，给出了弯曲缩短与轴力间的近似函数关系，避免迭代运算.钱若军等［60］讨论了空间梁柱的几何非线性分析方法，并对剪切闭锁产生的原因、防止剪锁的方法进行了详细探讨.2006年夏桂云［61］在其博士论文中参考初等梁的有限位移理论［62-63］，利用Timoshenko深梁的解析函数，建立了Timoshenko深梁相应的Saafan理论、Brotton理论、Fleming理论，将有限位移理论从初等梁推广至深梁.并对单元轴力N=0时的特殊情况进行了处理，建立了通用的弓形效应分析方法.李国强等［64］以考虑剪切变形影响的深梁双挠度理论为基础，建立了考虑轴力影响的几何非线性分析方法，导出了包含剪切变形影响的深梁单元刚度矩阵，为解决数值计算中当轴力很小时可能出现不稳定现象，给出了刚度的级数展开形式［65］.深梁单元刚度展开后，如同初等梁一样，取前两项时，第一项为线弹性刚度、第二项为初应力刚度（或称几何刚度）［56］.1992年笹川和郎［66］利用考虑剪切变形影响的深梁双挠度理论，建立了有轴力作用下的单元刚度矩阵，其与夏桂云、李国强等建立的刚度矩阵一致.并推导了多种深梁单元在轴力和横向载荷共同作用下的固端力表达式.2004年赵红华等［67］通过分析横向剪切变形对梁单元的影响、轴心力的二次影响以及约束扭转时翘曲引起的二次剪应力效应，引入了翘曲函数及三次多项式的扭转模式，得到了7个自由度的杆系结构精确模型.在几何非线性分析中，考虑了轴向载荷、平面弯曲、剪切、约束扭转翘曲以及载荷一一变形各效应的耦合，建立了变形状态几何非线性分析的切线刚度矩阵.利用基于弧长法的球面显式迭代一一增量法，进行了空间结构的几何非线性全过程分析.1995年黄文等［68-69］以三维连续体的虚功增量方程为基础，采用平动、转角位移分别插值方法，导出了深梁结构大位移、大转动问题分析的U.L.列式方法，其考虑了轴力、剪切变形、弯曲、扭转等效应，提出了新的几何刚度矩阵.1988 年Dvorkin等［70］提出考虑大位移、大转角的Timoshenko梁增量分析的T.L.方法，并推导了相应的切线刚度矩阵，文中采用了Argyris提出的描述大转动的转换方法.1979年Bathe等［71］根据三维连续体虚功方程，提出了适应大转动效应的Timoshenko空间梁的T.L.列式和U.L.列式方法，通过增加两个附加自由度来考虑剪切变形影响，单元结点有7个自由度，非线性刚度通过三维积分得到，积分点多达254个［72］，工作量非常大，其据此编制了Adina 的4号梁单元，材料可以为线弹性和弹塑性.1992年陈政清等［72］以三维连续体的虚功增量方程为基础，导出了空间梁单元大挠度问题分析的U.L.列式法，提出了新的几何刚阵形式.理论与算例表明其新建立的方法与ADINA的4号梁单元精度相同，但计算时间大大减少，并能适用于任意形状截面的杆件.其编制的NACS程序具有分析大型空间柔性结构在非常规载荷作用下的强非线性行为的能力，可用于斜拉桥、悬索桥的非线性分析中，并得到了工程界的青睐.1994年舒兴平［73］在试验基础上认识到钢框架结构的剪切变形较大，其影响不应忽略，后基于有限变形理论，利用空间梁单元模式，采用考虑剪切变形影响的3次多项式位移插值函数，建立了考虑剪切变形影响的空间钢框架结构几何非线性、材料非线性分析方法，并分析了一个6层的钢框架结构.在框架结构分析中，考虑剪切变形影响、几何和材料非线性的高等分析还有刘坚［74］、郑廷银［75］、万金国［76］所做的类似系列工作等.考虑剪切变形影响的杆系结构材料非线性分析中，Hinton等［77］研究了深梁的弯曲变形，并编制了计算程序.崔世杰等［78］也做了相同的工作，其研制的程序与文献［77］相近.舒兴平［73］在空间钢框架结构的非线性分析中考虑了材料非线性，并分析了一个6层的钢框架结构.李国强等［64］、郑廷银［75］利用深梁理论，同时考虑材料和几何非线性特性，对框架结构的双重非线性分析方法进行了系统的研究.笹川和郎［66］在研究框架结构的材料非线性时也同时考虑了剪切变形影响.黄侨等［79-80］根据混凝土的塑性理论及极限分析的上限方法，探讨了求解钢筋混凝土简支深梁的抗剪强度的数值计算方法，分析了钢筋混凝土简支深梁发生塑性剪切破坏时屈服线的形状以及屈服线上混凝土和钢筋的能量耗散情况，建立了钢筋混凝土简支深梁的2个剪切破坏机构的模型，通过对这2个破坏机构的计算分析，求出了与破坏机构对应的极限载荷.庞苗等［81］为提高钢筋混凝土梁的计算效率和精度，提出了一种基于梁截面弯矩一一曲率关系的宏观有限元方法，在此基础上利用Timoshenko梁弯曲理论建立考虑横向剪切变形影响的钢筋混凝土梁的有限元分析模型，通过对试验梁的分析、对比，验证了所提出的分析方法的适用性.夏桂云等［25］通过假定单元的统一位移场，建立了可以考虑材料非线性的钢筋混凝土Timoshenko深梁组合单元，来分析桥梁结构等非线性特征和极限承载力.梁结构振动理论的研究历史较长，研究成果丰富［82］.自 18世纪以来，各国学者提出一系列理论，经典的理论主要有：（1）基于直法线和截面不变形条件下的Bernoulli一一Euler梁振动理论［82］，目前绝大多数结构振动书藉论述杆系结构振动时都采用此理论，尤其在桥梁、建筑等土木工程中最为典型；（2）考虑梁弯曲引起转动惯量的Rayleigh梁振动理论［83］；（3）考虑剪切变形影响的剪切梁振动理论［84］；（4）同时考虑剪切变形和转动惯量的Timoshenko梁振动理论［85］，此为经典的Timoshenko梁振动理论；（5）陈镕等［86］既考虑剪切变形影响和转动惯量，又考虑剪切变形引起转动惯量影响的修正Timoshenko深梁振动理论.陈镕认为，传统的Timoshenko深梁振动理论没有考虑到剪切变形引起的转动，导致振动方程非常复杂，考虑剪切变形引起的转动后，所建立的方程形式简单，并且只有一个相速度系、一个群速度系、一个固有频谱，克服了经典Timoshenko梁理论一个振型对应两个振动频率的困惑.1973年Dym等［85］应用变分原理导出了传统的Timoshenko梁的振动方程，分析中考虑了剪切变形影响及截面转动惯量影响，比较了简支初等梁、深梁自由振动频率的差别，讨论了分别只考虑转动惯量和剪切变形影响时的深梁自由振动频率解的近似程度.1983年曹志远［87］推导了简支一一简支、自由一一自由、固支一一固支、固支一一自由、固支一一简支、简支一一自由等6种边界条件下深梁振动频率的特征方程.1961年 Huang［83］也进行了相同的工作，计算中考虑了剪切变形影响和截面转动惯矩的影响，并对悬臂梁等的自由振动频率进行了计算.夏桂云等［25］利用变分原理建立了Timoshenko振动方程，导出了单梁多种边界条件下的深梁振动频率的特征方程.夏桂云等［52］建立了深梁单元的位移模式，分析了悬梁梁的振动频率.2002年楼梦麟等［88］应用模态摄动法求解Timoshenko梁的振动模态特性，对两端简支的Timoshenko梁得到了精确理论解，对比了两端简支的Timoshenko梁、Euler梁、纯剪切梁的模态特性及其影响因素，讨论了Timoshenko简支梁自由振动频率随长细比及模态数的变化情况.楼梦麟等［89］还讨论了固端Timoshenko梁振动频率求解的近似方法.周平等［90］采用Timoshenko梁动态刚度矩阵研究船体的总振动问题，导出了Timoshenko梁动态刚度矩阵的显示表达式.陈准［91］建立了考虑梁单元剪切变形和转动惯量影响的框架结构动力分析的动态有限元方法，阐述了框架结构有限单元各阶振动约束模态函数的概念，并用它组成结构有限单元各阶动态形函数矩阵，说明了使用递推方法计算结构的各阶振动特性以及利用动态有限元方法求解框架结构动态响应和动应力的方法.Eisenberger［92］同样建立了 Timoshenko梁动态刚度矩阵.韩博宇等［93］应用直接模态摄动法研究了变截面 Timo-shenko固端及简支梁的自由振动特性，并通过算例，讨论了这两种支撑条件下梁高的斜率及长细比对梁各阶主频率的影响.张汝清等［94］建立了Timoshenko梁振动的对偶变量求解体系，提出了分离变量法.芮筱亭等［95］系统研究了多体系统传递矩阵法，其中就包括了Timoshenko梁系统.刘庆潭等［96］也广泛研究了深梁振动的传递矩阵法.李。
(完整版)庄茁书笔记-abaqus精通
庄茁书笔记-abaqus精通隐式求解:先由平衡方程计算出各节点位移，再利用计算出来的位移计算应力及应变。
每个求解step结束之后，需要求解一次显示求解:描述应力波传递的过程，不同的step中，应力波传递到的位置不一样如果模型中出现了numerical singularity(数值奇异)或者zero pivot主元素为0，查看是否缺少了限制刚体平动或转动的约束。
Step步中可以指定输出变量Interaction module:可以定义tie，equation and rigid body，与step相关联，必须指定相互作用发生在哪个分析步。
Load中指定荷载、边界和场变量。
这也与step相关联Standard、explicit作为element library(单元库)选择Linear、quadratic作为geometric(几何阶次)选择Truss作为单元族选择刚性体:对于变形可忽略的部分可作为刚性体，减小模型规模。
单元的表征:单元名字的第一个字母或者字母串表示该单元属于哪个单元族。
仅在角点处布置节点的单元称为线性单元;在每条边上有中间节点的单元，称为二次单元。
单元的节点数目存在单元名字中，如C3D8八节点实体单元，S8R八节点一般壳单元，B31一阶三维梁单元，C3D20表示20节点实体单元，C3D10M表示10节点四面体单元，C3D4表示一阶四面体单元。
ABAQUS/Standard提供了对于线性和二次单元的广泛选择。
除了二次梁单元B32和修正的四面体和三角形单元外，ABAQUS/Explicit仅提供线性单元数学描述formulation:定义单元的数学理论，在不考虑自适应网格的情况下，abaqus中所有的应力/位移单元的行为都是基于拉格朗日或材料描述的，分析中，与单元关联的材料保持与单元关联，并且材料不能从单元中流出和越过单元的边界。
而欧拉或空间spatial描述则要求单元在空间固定，材料在他们之间流动。
三维弹性问题无网格分析的奇异杂交边界点方法
三维弹性问题无网格分析的奇异杂交边界点方法
苗雨;王元汉
【期刊名称】《应用数学和力学》
【年(卷),期】2006(27)5
【摘要】提出了一种求解三维线弹性问题的奇异杂交边界点方法.将修正变分原理与移动最小二乘法结合起来,利用了前者的降维优势和后者的无网格特性.使用刚体位移法处理方法中的强奇异积分,提出了一种自适应的积分方案,解决了原有的杂交边界点方法中存在的“边界层效应”.在该方法中,将基本解的源点直接布在边界上,避免了在正则化杂交边界点法中不确定参数的选取.三维弹性力学问题算例体现了这些特点.结果表明该方法与已知的精确解符合较好,同时研究了影响该方法精度的一些参数.
【总页数】8页(P597-604)
【关键词】三维弹性问题;移动最小二乘;无网格法;修正变分原理;奇异杂交边界点;方法
【作者】苗雨;王元汉
【作者单位】华中科技大学土木工程与力学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O241;O343.2
【相关文献】
1.三维弹性静力问题的无网格局部Petrov-Galerkin法 [J], 龙述尧;姜琛;郑娟
2.三维弹性边界元分析中面力不连续和1／r积分奇异性问题的处理 [J], 温卫东;高德平
3.三维单域弹性问题虚边界无网格伽辽金法分析 [J], 杨冬升; 吴福飞
4.弹性力学问题的无网格方法 [J], 王卫东;赵国群;栾贻国
5.无网格方法在平面粘弹性力学问题中的应用 [J], 朱媛媛;胡育佳;程昌钧
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无网格方法的研究应用与进展
第24卷第4期(总第109期)机械管理开发2009年8月Vol.24No．4(SUM No．109)MECHANICAL MANAGEMENT AND DEVELOPMENT Aug．20090引言有限元法（FEA）是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法，但FEA是基于网格的数值方法，在分析涉及特大变形（如加工成型、高速碰撞、流固耦合）、奇异性或裂纹动态扩展等问题时遇到了许多困难。
同时，复杂的三维结构的网格生成和重分也是相当困难和费时的。
近年来，无网格得到了迅速的发展，受到了国际力学界的高度重视。
与有限元的显著特点是无网格法不需要划分网格，只需要具体的节点信息，采用一种权函数（或核函数）有关的近似，用权函数表征节点信息。
克服了有限元对网格的依赖性，在涉及网格畸变、网格移动等问题中显示出明显的优势。
1无网格方法的概述无网格方法（Meshless Method）是为有效解决有限元法在数值模拟分析时网格带来的重大问题而产生的，其基本思想是将有限元法中的网格结构去除，完全用一系列的节点排列来代之，摆脱了网格的初始化和网格重构对问题的束缚，保证了求解的精度[1]。
是一种很有发展的数值模拟分析方法。
目前发展的无网格方法有：光滑质点流体动力学法（SPH）、无网格枷辽金法（EFGM）、无网格局部枷辽金法（MLPGM）、扩散单元法（DEM）、Hp－clouds无网格方法；有限点法（FPM）、无网格局部Petrov－Galerkin 方法（MLPG）、多尺度重构核粒子方法（MRKP）、小波粒子方法（WPM）、径向基函数法（RBF）、无网格有限元法（MPFEM）、边界积分方程的无网格方法等。
这些方法的基本思想都是在问题域内布置一系列的离散节点，然后采用一种与权函数或核函数有关的近似，使得某个域上的节点可以影响研究对象上的任何一点的力学特性，进而求得问题的解。
2无网格方法国内外研究的进展无网格法起源于20世纪70年代。
五轴加工奇异问题及其处理方法
ｐ ａ ｒ ａ ｌ ｌ ｅ ｌ ｉ ｎ ｇ ｗｉ ｔ ｈ ｏ ｒ ａ ｐ ｐ ｒ ｏ ａ ｃ ｈ ｅ ｓ ｏ ｎ ｅ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｒ ｏ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ （ ｉ ． ｅ ．ｔ ｈ ｅ ｓ ｉ ｎ ｇ ｕ ｌ ａ ｒ ａ ｘ ｉ ｓ ） ． Ｔ ｈ ｕ ｓ ，ａ ｇ ｅ ｏ ｍｅ ｔ ｒ ｉ ｃ ａ ｌ ｓ ｉ ｎ ｇ ｕ ｌ ａ ｒ ｉ —
（ １ ． Ｓ ｉ ｎ ｏ — Ｇｅ ｒ ｍａ ｎ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ， Ｔ ｏ ｎ ｇ ｊ ｉ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ，Ｓ ｈ ａ ｎ ｇ ｈ ａ ｉ ２ ０ ０ ０ ９ ２，Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ； ２ ． Ｔ ｏ ｎ ￣ｉ — Ｓ ＭＴ Ｃ Ｌ Ｒ ｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ Ｉ ｎ ｓ ｔ ｉ ｔ ｕ ・
文章 编 号 ： １ ０ ０ １ — ２ ２ ６ ５ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ６— ０ ０ ３ ７—０ ３
五轴 加 工 奇 异 问题 及 其 处 理 方 法
李 显 双 ， 樊 留群 ， 齐党 进 。
（ １ ． 同济大 学 中德 学 院 ， 上 海 ２ ０ ０ ０ ９ ２ ； ２ ． 同济大 学 沈 阳机床研 究院 ， 上 海 ２ ０ １ ８ ０ ４ ） 摘要 ： 在 五轴 机床 加 工 中 ， 当刀轴 矢量 接近 或 平行 于某 一旋 转轴 （ 即奇异轴 ） 而产 生奇异 问题 ， 文章 在 分析 奇 异 问题 及 其产 生 原 因的基 础上 ， 提 出一 种奇 异域检 测 的 几何 方 法 。这 种 方法 可 以根 据 始末 位 置 刀轴 矢量在 未经插 补 的情 况 下 ， 提 前 检 测 出刀轴 是 否 经过 奇 异 域及 其 类型 ， 然 后针 对每 种 类 型 指 定一 种相 应 的插 补算 法 ， 并且 通过 仿 真 实验 。仿 真 结果表 明该 算 法能 够有 效检 测 出加 工 中会 出现 的 奇异 问题 并 改善 加 工精度 。 关键 词 ： 五轴 机床 ； 奇 异域 ； 插 补算 法
平板电容器问题边界元法奇异性处理及正则化
论对 病态线性代数方程组进行处 理 ， 克服 了其不适定 性．使用平板 电容器检测木材含水率 问题 的数值计 算结果 表明 ， 奇
异积 分和病态矩阵 的处理是正确有效 的 ， 该结果可 应用于解决工程实 际问题．文中所提 出的方法 可 以方便地 推广到类 似的复杂边界问题 的数值求解 中去． 关键 词 ： 边界元积分方 程 ； 奇异性 ； 解析积分法 ； 正则化
大 学 机 电工程学院 ， 黑龙 江 哈 尔滨 １００ ） ５ ０ １
摘
要 ： 了研究 带有 复杂边界条件的平板式 电容传感 器数学模型 ， 为 针对利用边界元方法数值求解 时所遇 到的边界积分
方程具有 积分奇异性 的问题 ， 采用解析积分方法完全消 除了边界 积分的奇异性．同时在实 际仿 真过程中 ， 依据 正则化理
磊 １（ｅ ＯＩＤ（ Ｖｍｌ Ｏ， ， ）
一
） ＝
ｃ 一
式中： ＝一
， ） ］ ．
便地推广到相关的复杂边界条件问题 的边界积分方
程奇 异性 处 理及计 算 不适定 问题 中去 ．
，为源点 的总体编号 ， ｆ 取值从 １ 一ａ
．
Ｄ上 源点 总数 的二 倍 加 Ｏ 上 源 点 总 数 ； 示 尺 Ｄ Ｒ表 对 Ｘ（ ＝１２ ３ 方 向的偏导 数 ，Ｏ 示场 点处 的 ｉ ，，） ＣＳ 表 ０ 边界 外法 线方 向 ｎ与矢 量 ｘ （ ＝１２ ３ 的 方 向 余 ｉ ，，）
到 了一 些有 效 的计 算 方法 ］ ． 文 章从 带有 复 杂 边界 条 件 的三 维 Ｌ ｐａｅ方 程 ａｌ ｃ
㈠
＋
ｍ） 、 （ 一 ａ Ｄ ，
Ｖｍ ｏ ｅ） （Ｄ ，
，
ｅ ｔ ，
基于改进奇异值分解滤波和谱峭度的滚动轴承故障诊断
tr
ww
w.
中
r(
t)后得到的含噪序列 y(
t)＝x(
t)＋r(
t).采
用 SVD 算法对y(
t)进行降噪处理.具体执行步
矩阵为
-c
国
１ 奇异值分解理论
骤如下:
me
s
机
Hanke
l矩阵的特点:下一行向量比上一行向
(
４)
小,从理论 上 讲,这 些 很 小 的 奇 异 值 等 于 零,含 噪
矩阵 A 的秩恰好为降噪阶次r,即
σ１ ≥σ２ ≥ ≥σr ＞０
σr＋１ ＝ ＝σR ＝０
(
５)
}
R ＝ mi
n(
m,
n)
为确定第r 个 奇 异 值 的 突 变 位 置,应 选 择 一
个恰当的临界值μ ,使得前r 个奇异值大于μ ,第r
个之后的奇异值小于μ ,即σ１ ≥σ２ ≥ ≥σr ＞
(
)
信号所构造的 Hanke
l矩阵 A m×n ,虽然相邻两行
１．
１ 奇异值分解降噪原理
设一个一维信号 序 列 x(
t)混 入 随 机 白 噪 声
cm
也同样滞后一个数据点,但是它们互不相关,产生
的是一个满秩矩阵,其奇异值分布为σ(
A)＝(
σ１ ,
y２
y３
ht
tp
⋮
ym ym＋１
yn
ù
ú
yn＋１ ú
i
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a
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compo
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和 虿分 别 是 势 已知 的边 界 和 法 向流 已知 的边 界 上 的边 界 值 ， 是边 界 外 法 向 ， 是法 向分 ｍ
目前 只是对 一些 简单 的边 界形状 ， 如椭 圆、 等边 三 角形 、 形 和扇形 等求 出解析解 。 稍微 复杂 的形 矩 对
量 。为 推导简便 ， 以下面 的简单 泊松 方程为例
项 目。
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奇 异 杂 交边 界 点 法 求解 扭转 问题
苗 雨卜。 晏 飞 ， 郑伟峰 ， 。
（． 中科技大学 １华 ２华 中科 技 大 学 ． ３ 中 国科 学 院 ．
摘
土木工程与力学学院 ， 北 湖 武汉
武汉
４０７ ； ３ ０ ４ ４ ０ ７ ３ ０４ 禹州 ４１７） ６ ６ ０
关 键 词 ： 异 杂 交 边 界 点 法 ； 双 重 互 易 法 ； 扭 转 问 题 奇
中图 分 类 号 ： ４ ． Ｏ３ ３ １ 文献标识码 ； Ａ 文 章 编 号 ：６ ２７３ （０ ７ ０—０ ５０ １ ７－０ ７ ２０ ） ３０ ４—４
弹性 扭 转 是 弹性 理论 中最重 要 的空 间 问题 ，
用 传统 的边 界元 方法求 解泊松 方程 ｎ 时 ， 除
１ｉ三ｑ ＶＶ ∈ 。 ｆ 一虿 ∈ 甜 ， ； ＝ 【 ｑ ， ∈ ｆ
Ｕ
，
…
了需要 边 界 单元 划 分 外 ， 域 内分布 源 函数 需 要 对 域 内单 元 划 分来 计 算 域 内积 分 ， 这带 来 了应 用 上
分 原 理 和 移动 最 ｄ － 乘 近 似 为 基 础 ， 时利 用 无 网格 法 局 部 边 界 积 分 方 程 中 的局 部 化 思 想 ， 算 时 仅 仅 需要 边 ＇－ － 同 计 界 上 离散 点 的信 息 ， 此 它 同 时具 有 边 界 元 法 和 无 网格 法 的优 良特 性 。 因 本文 将该 方法 同双 重 互 易法 结 合 用 来 求
控 制 结 构 湖 北 省 重 点 实 验 室 ， 北 武 汉 湖
岩 土 力 学 重 点 实 验 室 ，湖北
４ ０ ７ ； ． 南 省 禹 州市 公 路 管 理 局 ，河南 ３０１ ４河
要 ： 出 了 一 种 新 的 边界 类 型 的无 网格 方 法 —— 奇 异 杂 交 边 界 点 法 用 于 求 解 扭 转 问题 ， 方 法 是 以 修 正 变 提 该
收稿 日期 ：２ ０一 １１ ０ ７Ｏ— ７
（≤ ≤Ｎｒ ， 于径 向基 插值 ， 个 结点 １ ）用 Ⅳｒ
中包 含 个边 界结 点 。 １ １ 奇 异杂 交边界 点法 ．
对 于 Ｌ ｐａ ｅ方 程 及式 （ ） （ ） 使 用 三 场 ａ ｌｃ １和 ２， 插值 方案 ， 其修 正变分 为
甜 一 ６， （） １
状， 因边 界不规 则 ， 得其 弹性分 析较 为 困难 。弹 使
性扭 转 问题 实 际上 是泊松 方程求 解 问题 。由 于只 有少 量 的 泊松 方程 有 解 析解 ， 因此 寻求 该 类 方程
式中， ６为一 不为零 的函数 。相应 的边界 条件为
高精 度 的数 值解 成为理 论研 究 的重 要 内容 。
的不 便 。 在求解 大变 形和 断裂等 问题 时 ， 网格 的划 分变 得很 困难 ， 需要 网格重 构 。因此 ， 寻 求一 种 要 方 法 既 像边 界 元 法 那 样 可 以 降低 求 解 问题 的维 数， 又可 以在域 内和边 界上 不划 分 网格 ， 而避免 从 网格 划分 的工作 量 。本 文提 出 了将 奇异 杂交 边界 点法［ ｓ ３］ － 和双 重互 易法［ ８ ６３ － 结合来 求解扭 转 问题 ， 数值 算 例表 明 了该 方法 的稳定 性 和有效 性 。
作者 简 介 ：苗
雨 （ ９ ９） 男 ， １ ７一 ， 山东 菏 泽 人 ． 师 ， 士 ， 事 岩土 工 程 数 值 计 算 研究 ， 讲 博 从 ｍｙ—ｍｉｏ ｕ １ ３ｃ ｒ。 ａｙ ＠ ６ ．ｏ ｎ
基金 项 目 ：中 国 科学 院 武汉 岩 土 力 学 研究 所 岩土 力 学 重 点 实 验 室 开 放 课 题 基 金 资助 项 目 （ ｌ Ｏ Ｏ ）华 中科 技 大 学 校 科研 基 金 资 助 Ｚ ｌ５７；
解 扭 转 问题 ， 该 问题 的解 分 为通 解 和 特解 两 部 分 ， 中 通 解 使 用 奇 异 杂 交 边 界 点 方 法 求 解 ， 解 则 利 用 局 部 将 其 特 径 向基 函数 近 似 ， 底 避 免 了域 内积 分 。使 用 刚 体 位 移 法 处 理 方 法 中 的 强 奇 异 积 分 ， 彻 同时 提 出 了一 种 自适 应 的 积 分 方 案 ， 决 了边 界 类 型 方 法 中 存 在 的 “ 界 层 效 应 ” 数 值 计算 表 明 ， 文 方 法 具 有较 高 的精 度 和 收敛 性 。 解 边 。 本
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第 ２ ４卷第 ３ 期 ２０ 年 ９ ０７ 月
华 中
科
技科学 版 ） 城
Ｖｏ ． ４ Ｎｏ ３ Ｉ２ ．
Ｓｅ ２ ｐ． ００７
Ｊ ｆＨＵＳ ．０ Ｔ． （ ｂ ｎ Ｓ ｉｎ ｅＥｄｔｏ Ｕｒ ａ ｃｅ ｃ ｉ ｎ） ｉ
ｎ ｓ ｏ ｓ ｒ －２ ｎ ｌ ｆ
图 １ 子 域 以及 相 应 基 本 解 的源 点 ｊ
在 求解 域边 界 上布 置 Ⅳ 结 点用 于边 界点 个
（ ≤ ≤Ｎ ， １ ） 在域 内 和边 界上 布 置 Ⅳ 个结 点
１ 双 重 互 易奇 异 杂 交 边界 点 法
本节将 结 合奇异 杂边 界点 方法 和双重 互易 法 推导 出求解 非 齐次 问题 的边 界 积分方程 。 如 图 １ 对 于二 维 域 ， ， 边界 为 ｒ—ｒ ＋ ， 瓦