《构造辅助圆》教学设计
初中数学精品教案： 圆轨迹最值问题模型的探索微设计
1《0106 圆轨迹最值问题模型的探索》教学设计学习目标:1.经历通过构造辅助圆来求线段最值问题的过程.2.会求圆轨迹问题的最值问题.学习重点：会求圆轨迹问题的最值问题.学习难点：根据条件找到动点的圆轨迹较难.教学过程：一、认识问题已知，如图1，⊙O 的半径为3，在⊙O 外有一点P ，且OP =5,在⊙O 上找一点A ，使得AP 最小,并求出该最小值.变式：⊙O 的半径为3，在⊙O 上找一点B ，使得BP 最大，并求出该最大值.设定点P 到圆心O 的距离为d ，半径为r发现：如图2，连结PO ，交⊙O 于点A ，此时AP 最小值=d-r ;如图3，连结PO 并延长，交⊙O 于点B ，此时BP 最大值=d+r .二、问题拓展例1 如图4，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =6，E 为AB 边的中点，F 是BC 边上的动点，将∆EFB 沿EF 所在的直线折叠得到∆EFB ’，连结B'D ，求B'D 的最小值.分析：由折叠可知，3=='BE E B ,所以动点B '在以E 为圆心，3为半径的圆上，连接DE ，易求得D B '的最小值.解答：如图5，以E 为圆心，3为半径的作圆，连结DE ,交圆于B ',此时D B '最小,2102-='-='E B DE D B .小结：利用“圆的定义” “找定点，寻定长” 现“圆”形.例2 如图6，ABC ∆中，︒=∠90ACB ，6=AC ，4=BC ，点P 是ABC ∆所在平面内一动点，且︒=∠90APC ，求线段BP 的最小值和最大值．E A B CD F B'图4 B'E A B C D F B'图5 图2 图3 图12 图7 分析：因为︒=∠90APC ，由︒90的圆周角所对的弦是直径，所以可以以AC 为直径作圆，即可得到点P 的轨迹.解答：如图7，以AC 为直径作⊙O ，连结BO 交⊙O 于点P ，235=-=-=OP OB BP 最小值835=+=+=OP OB BP 最大值小结：见直角 找斜边（定长） 想直径 定外心 现“圆”形.三、感悟提升AC B P图6 圆轨迹模型 找定点，寻定长 见直角，想直径线段最值问题。
2024年九年级数学中考一轮复习考点突破课件：构造辅助圆
B. 3
C.
4
3
3
D. 2
第1题
1
2
3
4
5
6
2. 如图，A是直线y＝－x上的动点，B是x轴上的动点.若AB＝2，则
△AOB面积的最大值为（ B ）
A. 2
B. 2＋1
C. 2－1
D. 2 2
第2题
1
2
3
4
5
6
3. 如图，在△ABC中，AB＝5，∠ACB＝90°，∠CPB＝∠A，tan∠CPB
3
＝ ，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ长的最大值
A，B，C，D在同一个圆上，此时AC为四边形ABCD的外接圆的直径.
2. 如图②，在四边形ABCD中，∠ACD＝∠ABD＝90°，则点A，B，C，
D在同一个圆上，此时AD为四边形ABCD的外接圆的直径.
3. 如图③，AB为△ABC和△ABD的公共边，点C，D在AB的同侧，且
∠C＝∠D，则点A，B，C，D在同一个圆上.
E，交半圆O于点F，则线段B'F的长即为EB＋EF长的最小
值.∵ 易得∠C'＝90°，B'C'＝C'D＝CD＝6，∴ OD＝OF＝
CD＝3.∴ OC'＝9.∴ B'O＝ ′′ ＋′ ＝ ＋ ＝
3 .
∵ OF＝3，∴ B'F＝3 －3.∴ EB＋EF长的最小值为
3 －3
4
为 .
第3题
1
2
3
4
5
6
4. 如图，在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相
同的速度分别向点C，B运动，连接AE，DF相交于点P，由于点E，F的
初中几何关于非动点构造辅助圆技巧讲解
常见构造情景
（8）若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆。
若四边形两组对边乘积的和等于对角线的 乘积，即AB·CD+AD·BC=AC·BD 则四边形的四个顶点共圆。
若AB、CD两线段相交于点P，且 PA·PB=PC·PD，则A、B、C、D 四点共圆.
则辅助圆为：以O为圆心，A,B,C,D 四点在圆上。
经典例题
例61：如图，四边形ABCD内接于⊙O，CB=CD=4，AC与BD相交于E，AE=6，线 段BE和DE的长都是正整数，求BD的长
A
O
B
E
D
C
解题技巧 若AB、CD两线段相交于点P，且PA·PB=PC·PD，则A、B、C、D四点共圆。
第一讲
辅助圆
CONTENTS
1 技巧讲解 2 例题讲解 3 对应习题 4 课程总结
Part 1
试一试
如图,已知 AB AC AD,CBD 2BDC,BAC 44，
则∠ CAD的度数为：
若 OA OB OC r 则点A、B、C、在以O为 圆心，r为半径的圆上
构造辅助圆
：等线共端点
解题技巧 定线段对同侧两等角
常见构造情景
（3）若两个直角三角形共斜边，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径．
若两个三角形共斜边，∠BAC=∠BDC=90° 则四个顶点A,B,C,D共圆，且直角三角形的 斜边为圆的直径。
则辅助圆为：以O为圆心，BC为直径的圆上。
经典例题
例31：△ABC中，∠ACB=65º，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，则∠AED= ,∠CED= 。
解题技巧 若两个直角三角形共斜边，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径．
构造“辅助圆”解决几何问题
为Ｃ Ｂ＝６ ， 最小 半 径 为 ＡＡ Ｂ Ｃ中 Ａ Ｂ边 上 的高 Ｃ Ｈ， 计 算 可知 Ｃ Ｈ＝ ４ ． ８ ， Ｃ Ｅ＝ ３ ， 由点 与 圆 的位 置关 系 可
知， 当点 Ｆ 运 动 到 Ｂ Ｃ所 在 直 线 上 时 （ 如 图 ６所
示） ， Ｅ Ｆ 取 得 最 值 ， ． ・ ． Ｅ Ｆ 的最 小 值 为 ４ ． ８～３＝
线 段张 开一 个定 角 、 特 殊 的 四点共 圆 三个 模 型 构 造
进一步思考我们发现 ： Ａ Ｂ＝ Ａ Ｃ＝ Ａ Ｄ， 且这三条 线段 共端点 Ａ ， 这恰好符合 圆的定义 ， 我们构造以 Ａ为圆 心， Ａ Ｂ长 为半径 的 圆 ， 则 Ｂ、 Ｃ 、 Ｄ三 点 共 圆 ， 再 利 用
量关系， 设 未知数 ， 构 造方 程解 决 ， 但计 算 较为 繁琐．
的考察 ， 处处体现着 “ 模型思想 ” 、 “ 应用意识 ” 这些
更 高要 求 的核 心概念 又 常常 隐藏在 一些 表 面看似 与 圆无关 的几 何 问题 中． 本 文 即为研究 这 一类 问题 ， 分 析 题设 条件 ， 抓住 问题 本 质 ， 从 圆 的定 义 、 动 点 对 定
同弧所 对 圆心 角 与 圆周 角 的关 系 ， 得 ＬＢ Ｄ Ｃ＝２ ２ 。 ，
ＣＢＤ ＝４ ４。 ． Ｃ ＡＤ ＝８ ８ Ｏ ．
例 ２ 如 图 ４在 平 面 直 角 坐标 系 中 ， 已 知 Ａ点 坐标是（ ２ ， 一 ２ ）， 在 Ｙ轴上 确定 点 Ｐ， 使Ｚ Ｘ Ａ Ｏ Ｐ为 等
将Ｚ Ｘ Ａ Ｂ Ｃ绕 点 Ｃ顺 时针
Ｂ
度 数为 （ ）
（ Ａ） ６ ８ 。 （ Ｂ） ８ ８ 。 （ Ｃ） ９ ０ 。 （ Ｄ） １ １ ２ 。 ｃ 图
初中数学精品试题：构造辅助圆学案修改稿
1 构造辅助圆解题学案你能用两种不同方法求解吗？：如图OA =OB =OC 且∠ACB =30°，求∠AOB 的大小捂一捂：可构造圆的条件1：____________________________________;依据:________________________________________.变式：如图所示，已知四边形ABCD 、AB ∥CD ，且AB=AC=AD=a ，BC=b ，求BD 的长(用含a,b的代数式表示)。
探究2：已知：如图，直尺的宽度为2，A 、B 两点在直尺的一条边上，AB ＝6，C 、D 两点在直尺的另一条边上．若∠ACB ＝∠ADB ＝90°，则C 、D 两点之间的距离为_____捂一捂：可构造圆的条件2：____________________________________；依据:________________________________________。
例1.已知矩形ABCD ，AB=6，BC=8，点P 是平面上一动点，且BP ⊥AP ，则DP 的最小值是______________，DP 的最大值是30°OA BC________ 。
变式：把BP⊥AP改成∠APB=45°，则DP的最小值是DP的最大值是________捂一捂：可构造圆的条件3：________________________________;依据:__________________________________.拓展提升：（2019南京中考）在△ABC中，AB=4，∠C=60°，∠A>∠B，则BC的长的取值范围是.课后作业：(山东淄博市中考)如图，点A与点B的坐标分别是（1,0），（5,0），点P是该直角坐标系内的一个动点。
（1）使∠APB=30°的点P有个；（2）若点P在y轴上且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标；（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由．23。
9年级数学上册构造辅助圆
构造辅助圆一、知识总结1、可构造圆的条件1条件1：同一个端点出发的几条等长线段依据：圆的定义小结1：当遇有同一个端点出发的等长线段时，通常以这个端点为圆心，等线段长为半径，构造辅助圆.2、可构造圆的条件2条件2：直角依据：90°的圆周角所对的弦是直径.小结1：当遇有直角时，通常以斜边为直径，构造辅助圆.3、可构造圆的条件3条件1：动点对定线段所张的角为定值依据：不在同一直线上的三点确定一个圆或：同弧所对的圆周角相等且等于这条弧所对的圆心角的一半小结1：当遇有动点对定线段所张的角为定值时，通常把张角转化为圆周角，构造辅助圆.二、精讲精练【例1】如图所示，在四边形ABCD中，AB=AC=AD，∠BAC=20°∠CAD=80°，则∠BDC=______度，∠DBC=______度【例2】如图，矩形ABCG的与矩形CDEF全等，并且AB=1，BC=3，点B、C、D在同一条直线上，∠APE 的顶点P在线段BD上移动，使∠APE 为直角的点P的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【例3】在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为______________A B C D E FG三、针对练习1、如下图OA=OB=OC 且∠ACB=30°，则∠AOB 的大小是（ ）A.40°B.50°C.60°D.70°2、如图，四边形ＡＢＣＤ是正方形，点Ｅ是边ＢＣ的中点，∠ＡＥＦ，EF 交正方形外角的平分线ＣＦ于 Ｆ。
求证：ＡＥ=E Ｆ。
3、如图，点A 与点B 的坐标分别是（1，0），（5，0），点P 是该直角坐标系内的一个动点．（1）使∠APB=30°的点P 有 个；（2）若点P 在y 轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P 的坐标；（3）当点P 在y 轴上移动时，∠APB 是否有最大值？若有，求点P 的坐标，并说明此时∠APB 最大的理由；若没有，也请说明理由．四、课堂练习1、如图，在菱形ABCD中，tan∠ABC= ，P为AB上一点，以PB为边向外作菱形PMNB，连结DM，取DM中点E，连结AE，PE，则的值为（）A. B. C. D.2、如图，△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，∠ADC＝3∠BAD，BD＝8，DC＝7，则AB 的值为（）A.15B.20C.22+7D.22+73、如图，在△ABC中，高AD与中线CE相交于点F，AD＝CE＝6，FD＝1，则AB＝______．4、如图，四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，∠AOB＝60°，BD＝AC=4，则四边形ABCD的面积为___如图，在△ABC中，AB=AC=10，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连OD交BE于点M，且MD=2，则tan∠BCE值为（）A．1.5 B．2 C．3D．3.5第1题第2题第3题第4题5、如图，点C和点D在以O为圆心、AB为直径的半圆上，且∠COD=90°，AD与BC交于点P，若AB=2，则△APB面积的最大值是．6、如图，过点A（4，5）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=﹣x+6于B、C两点，若函数y=（x＞0）的图象△ABC的边有公共点，则k的取值范围是（）A．5≤k≤20B．8≤k≤20C．5≤k≤8D．9≤k≤207、如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，=，DE⊥BC，垂足为E．（1）求证：CD平分∠ACE；（2）判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若CE=2，AC=8，求阴影部分的面积．8、如图，⊙O 是△ABC 外接圆，AB ＝AC ，BD 为⊙O 的直径，连接AD并延长交BC 延长线于点E ，过点D 作AB 的平行线DG ，交BC 于点G ，交⊙O 切线AF 于点F 。
构造辅助圆_巧解题_王献春
关系时作圆
判断直线之间的位 置 关 系 （平 行 或 垂 直）， 本质上是判断与之相关 的 角 度 之 间 的 关 系 ，根 据条件做出辅助圆 ，利用 圆 心 角 与 圆 周 角 的 关
系可以巧妙地解决问题．
例４ 已 知 如 图 ８，在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中，
∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＢ＝ＢＣ，Ｒｔ△ＡＤＥ 中，ＡＤ ＝ ＤＥ，连接 ＥＣ，取 ＥＣ 中 点 Ｍ ，连 接 ＤＭ、ＥＭ， 判断 ＢＭ，ＤＭ 的数量关系和位置关系．
例１ 如 图 １，一 次 函 数 ｙ＝２ｘ－２ 图 像与 ｘ 轴、ｙ 轴 交 于 Ａ、Ｂ 两 点，试 在 坐 标 轴 上 找一点 Ｐ，使得△ＰＡＢ 为等腰三角形．
图２
二、与 等 腰 三 角 形 有 关，在 求 证 比 例 式 时 作圆
在求证比 例 式 的 过 程 中 最 易 想 到 的 就 是 相似三角形，而证明相似 三 角 形 更 多 的 时 候 是 利用平行线分线段成比 例 定 理 、两 角 相 等 的 两 三角形相似、邻边成比例 夹 角 相 等 的 两 三 角 形 相似．由于 三 角 形 有 唯 一 的 外 接 圆 ，等 腰 三 角 形的两底角相等 ，可以通 过 同 弧 所 对 圆 周 角 进 行转化，自 然 出 现 相 似 三 角 形 ，再 把 式 子 进 行 适 当 变 形 ，使 问 题 得 以 解 决 ．
（２）在图６ 中，点 Ｐ 不 与 点 Ｂ、Ｍ 重 合，线 段 ＣＱ 的 延 长 线 与 射 线 ＢＭ 交 于 点 Ｄ，猜 想 ∠ＣＤＢ 的大小 （用 含 α 的 代 数 式 表 示 ），并 加 以证明．
等 腰 三 角 形、三 角 形 内 角
和 等 知 识，可 以 求 出 ∠Ｄ
的 度 数．如 果 深 入 考 察 题
巧用辅助圆解题-完整版公开课教学设计
FED C B A 专题 辅助圆在处理平面几何中许多问题时，常需要借助于圆的性质，问题才得以解决。
而我们需要的圆并不存在（有时题设中没有涉及圆；有时虽然题设涉及圆，但是此圆并不是我们需要的圆），这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出来，添补辅助圆的常见方法有：1、利用圆的定义添补辅助线；2、作三角形的外接圆；3、运用四点共圆的判定方法：（1）同底同侧的两张角相等，则四个顶点共圆。
（2）同底异侧的两张角互补，则四个顶点共圆。
（3）同底的一张角是另一张角的两倍，则四个顶点共圆。
若四边形ABCD 的对角线相交于PD PB PC PA •=•ABCD PDPC PB PA •=•3132y x bx c=++x A B ，A B y C B (30)，y kx =y B C，BC D P APD ACB ∠=∠P 22y ax bx =+-，n ）n<0为抛物线上一点（1）求抛物线的解析式和顶点C 的坐标； （2）当APB ∠为钝角时，求m 的取值范围 4如图，已知点A（1，0），B（0，3），C（-3，0），动点，求轴上的点M的坐标，使得in∠BMC=1m．7．如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C 落在第二象限．其斜边两端点A 、B 分别落在轴、轴上且AB ＝12cm （1）若OB ＝6cm ． ①求点C 的坐标；②若点A 向右滑动的距离与点B 向上滑动的距离相等，求滑动的距离； （2）点C 与点O 的距离的最大值是多少cm ．221-1-2-1y xA OC BED CB A EC D B A PN M O E D CB A OE DC BA F E N M DCBAOQP CBA FED CBAM RQP DCBA P O D C BA。
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《构造辅助圆》教学设计
丰台八中 赵鹏
科 目数学课题专题：构造辅助圆 教 师赵鹏班级初三（6）班时间2012.4.17 学生情况
分析本节课前,学生已经学习了圆的基本知识,掌握了圆的一些有关性质,并对辅助圆有了初
步的认识.对于直线形中常见的几何问题形成了一些基本的解题策略,但从辅助圆这个新的视
角解决问题还显得弱了很多.学生对于一些数学问题容易产生想法,但欠缺的是归纳总结提升,
而本节课想要达到的目的,就是引导学生学会归纳总结,将以前学过的一些知识从一个新的视
角研究,简化证明过程.初步形成构造曲线形辅助线的意识. 设计意图对于平面几何问题,学
生常常想到的是构造直线形辅助线来转化条件,从而利用三角形、四边形的知识来解决问题.
但辅助线的添加就被局限在直线形,而实际上曲线形辅助线在一些特定条件下,更有利于条件
的集中,辅助圆是曲线形辅助线的代表,利用圆，就会让图形的条件更丰富，而学生对此又很
少了解，故想借此节课，和学生一起探究，通过多种解题方法的对比，来感受辅助圆的独特.
本节课想以一种学生探究，老师引领学生作归纳总结的形式呈现，通过学生思想的碰撞，最
终达成共识.学生探究时，以审条件，审图形，审结论的方式阐述，并说明解题思路.这样其
他同学听得也清楚明白.
对于程度较好的学生，能够掌握构造辅助圆的基本方法，中等的学生能够在几何题中想到利
用辅助圆，基础薄弱学生也能够想得起辅助圆. 教学目标1.进一步巩固圆的定义和性质，
能够正确利用圆找到符合条件的点所在的位置；
2.通过对例题条件和结论的分析，体会利用圆解决点的轨迹问题，进而掌握利用作圆解决分
类讨论问题的方法；
3.逐步建立从圆的观点看问题的意识，能够多角度认识事物，全面还原事物的本质. 教学重
点利用辅助圆解决有关问题 教学难点建立用圆的观点看问题的意识，能够判断出构造圆的
条件 教学方法讲练结合、教师引导下的学生自主探究 教学用具圆规、几何画板、尺子教
学 设 计教学过程设计说明一、类型一
引例（2011北京17）
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x的图象与反比例函数的图象的一个交点为A（-1，
n）.
（1）求反比例函数的解析式
（2）若P是坐标轴上一点，且满足PA=OA，直接写出点P的坐标.
提问：什么条件让你想到可以以A为圆心，OA为半径作圆？
依据是什么？
引导：我们经常添加辅助线来解题，并且，以前所做的辅助线都是直线形，而通过这道题，
我们发现，所添加的辅助线也可以是曲线形，初中阶段，构造辅助圆就是曲线形辅助线的代
表，今天，我们就来探究，构造辅助圆，还可以解决哪些类型的题目？
例1、如图所示，在四边形ABCD中，AB=AC=AD，?BAC=26?，?CAD=74?，则=________°，=________
°
什么条件让你想到可以构造圆，可以构造圆的依据是什么？
条件：__有公共端点的等线段_______________；
依据：__同圆半径相等_____________________.
小结1：
当遇有公共端点的等线段长时，通常以公共端点为圆心，等线段长为半径，构造辅助圆.
二、类型二
引例:若Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则△ABC的外接圆半径为_____________.
什么条件让你想到可以构造圆，可以构造圆的依据是什么？
条件：__直角___________________；
依据：__90°的圆周角所对的弦是直径________.
小结2：
可以利用90°的圆周角所对的弦是直径，以斜边为直径，构造辅助圆.
例2、在平面直角坐标系中，已知A（2，2），B（2，?3），点P在y轴上，且△ABP为直角三
角形. 请问满足条件的点P有几个？ 并求出它们的坐标.
解：（1）过点A作AP⊥y轴于P
∴∠PAB=90° ∴P1（0，2）
（2）过点B作BP⊥y轴于P
∴∠PBA=90° ∴P2（0，-3）
（3）以AB为直径作圆，交y轴于P，设圆心为D
∴∠APB=90°
∵D（2，-0.5）
∴AD=BD=PD=2.5
作DE⊥y轴于E，则E（0，-0.5）
∴DE=2，OE=0.5
∵∠PED=90°
∴
∴PE=1.5
∴P3（0，1），P4（0，-2）
综上所述：共有4个点P.
预案：可能有的学生会用相似解决问题，先表示赞同，再引导用圆的知识求线段.
四、总结提升
1．数学方法：构造辅助圆
（1）当遇有公共端点的等线段长时，通常以公共端点为圆心，等线段长为半径，构造辅助圆.
（2）可以利用直径所对的圆周角是直角，以斜边为直径，构造辅助圆.
2.数学思想：转化思想
利用构造辅助圆解决分类讨论问题，可以很快找到符合条件的点，并可以将问题转化为圆中
求线段、求角度的问题.
3.辅助线的构造可以是直线形，也可以是曲线形.
五、课后作业
1. 在平面直角坐标系中，A（4，0），O为坐标原点，求直线y=x+3上一点P，使△AOP是等
腰三角形，这样的P点有几个？
2. 如图所示，在凸四边形ABCD中，AB=BC=BD,
则的度数为 .
3.已知如图，梯形ABCD中，AB⊥BC于B,CD⊥BC于C
（1）当AB=4，CD=1，BC=4时，点P在直线BC上，且，这样的点有 个.
（2）设AB=a，DC=b，AD=c，点P在直线BC上，且，试确定此时a，b，c满足的关系式.
六、板书设计
课题
例1 小结1 例2
小结2
七、课后反思
这是一道学生熟悉的题目，以此告诉学生构造辅助圆来解决问题是一种常见的解题方法，那
么构造辅助圆还可以解决哪些类型的题目呢？带着这样的疑问，学生会主动寻找解决问题的
方法，从而提升学生学习新知识的主动性，实现构造圆解决问题的思路.
本题可从两个方面入手解决:1.利用等边对等角；2.利用构造辅助圆将问题转化为圆中圆周角
与圆心角的关系.
想达到的效果是:学生习惯于利用前者，少数人有
了引例中的方法意识，开始从圆的定义出发构造辅助圆.初步让学生尝到新方法的甜头.从而
强化辅助圆的意识.
让学生复习90°的圆周角所对的弦是直径，从而为例题构造辅助圆做铺垫.
通过直角顶点的分类，并
利用直径所对的圆周角是直角，很快就能找到满足条件的点P；
构造辅助圆也可以将问题转化为圆中的计算问题。
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