2015----2016学年度高二下学期数学期中考试题

2015----2016学年度高二下学期期中考试题数学（理）试题一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.若⎰=-kdx x x 020)32(，则正数k 的值为( )A ．0B ．1C ．0或1D ．2 2.在复平面内，复数z=ii213+-的共轭复数的虚部为（ ）3.下列命题中，真命题是（ ）(A)若q p ∧为假，则q p ∨为假 (B),xex R e x ∀∈>exx e R x >∈∀, (C)0=-b a 的充要条件是1=ba(D) 0,00≤∈∃x R x 4.已知(1+x )10=a 0+ a 1(1-x )+ a 2(1- x )2+…+ a 10(1- x )10，则a 8等于（ ） A ．－5 B ．5 C ．90 D ．1805.投掷红、蓝两个骰子，事件A=“红骰子出现4点”，事件B=“蓝骰子出现的点数是偶数”，则P （A|B ）=（ ） 61.A 31.B 121.C 21.D 6.某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，至少有2次击中目标的概率为（ ） 12581.A 12554.B 12536.C 12527.D 7.根据三角恒等变换，可得如下等式：cos cos θθ=； 2cos 22cos 1θθ=-； 3cos34cos 3cos θθθ=-；42cos 48cos 8cos 1θθθ=-+； 53cos516cos 20cos 5cos θθθθ=-+；依此规律，猜测642cos632cos cos cos 1m n θθθθ=++-，其中m n +=（ ） A ．30 B ．30- C ． 24 D ． 18-8.函数()f x 的导函数()f x '的图像如图所示，那么()f x 的图像最有可能的是（ ）53.D 53.-C iB 53.-i A 53.9.各项均为正数的等比数列{a n }中，13a ，321a ，22a 成等差数列，则1081311a a aa ++=（ ） A ．27B ．3C ．﹣1或3D ．1或2710.某班级有6名同学去报名参加校学生会的4项社团活动，若甲、乙两位同学不参加同一社团，每个社团都有人参加，每人只参加一个社团，则不同的报名方案数为（ ） A ．4320 B ．2400C ．2160D ．132011.如图，已知双曲线12222=-by a x （a ，b ＞0）的左右焦点分别为F 1F 2，|F 1F 2|=2，P 是双曲线右支上的一点，PF 1⊥PF 2，F 2P 与y 轴交于点A ，△APF 1的内切圆半径为22，则双曲线的离心率是( )12.已知)(x f 为定义在),(+∞-∞上的可导函数，且)()('x f x f <对于x R ∈恒成立且e 为自然对数的底，则（ ）)0()2012(),0()1(.2012f e f f e f A ⋅>⋅> )0()2012(),0()1(.2012f e f f e f B ⋅>⋅< )0()2012(),0()1(.2012f e f f e f C ⋅<⋅> )0()2012(),0()1(.2012f e f f e f D ⋅<⋅<二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.若θ∈（，），sin2θ=，则cos θ﹣sin θ的值是n 项和3132+=n n a S ,则4a =___________14.若数列{}n a 的前15.已知a ，b ＞0，且则（a+1）（b+2）的最小值为 ．16.设二次函数c bx ax x f ++=2)(（a,b,c 为常数）的导函数为)('x f ，对任意R x ∈，不等25.A 2.B 3.C 22.D 321=+ba式)()('x f x f ≥恒成立，则222ca b +的最大值为__________________. 一、解答题（本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，已知b Ac C a 232cos 2cos 22=+ （1）求证：c b a 、、成等差数列； （2）若，34,3==S B π求b .18.（本小题满分12分）十八届四中全会明确提出“以法治手段推进生态文明建设”，为响应号召，某市红星路小区的环保人士向该市政府部门提议“在全市范围内禁放烟花、炮竹”．为此，红星路小区的环保人士对该小区年龄在[15，75）的市民进行问卷调查，随机抽查了50人，并将调查情况进行整理后制成下表：年龄（岁） [15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65,75） 频数610 12 12 5 5 赞成人数 3610643（1）请估计红星路小区年龄在[15，75）的市民对“禁放烟花、炮竹”的赞成率和被调查者的年龄平均值；（2）若从年龄在[55，65）、[65，75）的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记被选4人中不赞成“禁放烟花、炮竹”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．19.如图1,在直角梯形ABCD 中,90ADC ∠=︒,//CD AB ,4,2AB AD CD ===, M 为线段AB 的中点.将ADC ∆沿AC 折起,使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何体D ABC -,如图所示.(1) 求证:BC ⊥平面ACD ；(2) 求二面角A CD M --的余弦值.20.（本小题满分12分）一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图①，②，③，④分别是制作该作品前四步时对应的图案，按照如此规律，第n 步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为()f n ．① ② ③ ④（1）求出()2f ，()3f ，()4f ，()5f 的值；（2）利用归纳推理，归纳出()1f n +与()f n 的关系式； （3）猜想()f n 的表达式，并写出推导过程．21.（本小题满分12分）设M 是焦距为2的椭圆E ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）上一点，A 、B是椭圆E 的左、右顶点，直线MA 与MB 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2=21- （1）求椭圆E 的方程；（2）若P 是直线x=2上任意一点，从P 向椭圆E 作切线，切点分别为C 、D ，求证直线CD 恒过定点，并求出该定点坐标．22.（本小题满分12分）设函数11ln )(--+-=xaax x x f ． （Ⅰ）当1=a 时，过原点的直线与函数)(x f 的图象相切于点P ，求点P 的坐标；（Ⅱ）当210<<a 时，求函数)(x f 的单调区间； （Ⅲ）当31=a 时，设函数1252)(2--=bx x x g ，若对于e x ,01（∈∀]，∈∃2x [0，1] 使)(1x f ≥)(2x g 成立，求实数b 的取值范围.（e 是自然对数的底，13+<e ）。

试卷答案1.B2.D3.D4.D5.A6.A7.B8.A9.A10.D 11.B 12.A 13.415-14.-8 15.950 16.222-.17.解析：（1）由正弦定理得：B A C C A sin 232cos sin 2cossin 22=+即B A C C Asin 232cos 1sin 2cos 1sin =+++ ∴B C A C A C A sin 3sin cos cos sin sin sin =+++ 即B C A C A sin 3)sin(sin sin =+++ ∵B C A sin )sin(=+ ∴B C A sin 2sin sin =+ 即b c a 2=+ ∴c b a 、、成等差数列。

（2）∵3443sin 21===ac B ac S ∴16=ac 又ac c a ac c a B ac c a b 3)(cos 2222222-+=-+=-+=由（1）得：b c a 2=+ ∴48422-=b b ∴162=b 即4=b18.(1)解：赞成率为320.6450= 被调查者的平均年龄为 20×0.12 + 30×0.2 + 40×0.24 + 50×0.24 + 60×0.1 + 70×0.1 = 43(2)解：由题意知：224322559(0)50C C P C C ξ===1221143432225524(1)50C C C C C P C C ξ+===1112243242225515(2)50C C C C C P C C ξ+=== 124222552(3)50C C P C C ξ===∴ξ的分布列为：∴2415261235050505E ξ=⨯+⨯+⨯=． 19.（1）由已知可得22AC BC ==,从而222AC BC AB +=,故AC BC ⊥∵面ADE ⊥面ABC ,面ADE 面ABC AC =,BC ⊂面ABC ,从而BC ⊥平面ACD （2）建立空间直角坐标系O xyz -如图所示,则(0,2,0)M ,(2,0,0)C -，(0,0,2)D(2,2,0)CM = ,(2,0,2)CD =设1(,,)n x y z =为面CDM 的法向量,则1100n CM n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即220220x y x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,解得y x z x =-⎧⎨=-⎩ ξ1 2 3 P950 2450 1550 250令1x =-,可得1(1,1,1)n =- 又2(0,1,0)n =为面ACD 的一个法向量∴12121213cos ,3||||3n n n n n n ⋅<>===∴二面角A CD M --的余弦值为33. 20.（1）图①中只有一个小正方形，得f （1）=1；图②中有3层，以第3层为对称轴，有1+3+1=5个小正方形，得f （2）=5； 图③中有5层，以第3层为对称轴，有1+3+5+3+1=13个小正方形，得f （3）=13； 图④中有7层，以第4层为对称轴，有1+3+5+7+5+3+1=25个小正方形，得f （4）=25； 图⑤中有9层，以第5层为对称轴，有1+3+5+7+9+7+5+3+1=41个小正方形，得f （5）=41； （2）∵f （1）=1； f （2）=5；f （3）=13；f （4）=25；f （5）=41； ∴f （2）-f （1）=4=4×1； ∴f （3）-f （2）=8=4×2； ∴f （4）-f （3）=12=4×3； ∴f （5）-f （4）=16=4×4； …∴f （n ）-f （n-1）=4×（n-1）=4n-4．∴f （n+1）与f （n ）的关系式：f （n+1）-f （n ）=4n ． （3）猜想f （n ）的表达式：2n 2-2n+1． 由（2）可知f （2）-f （1）=4=4×1； f （3）-f （2）=8=4×2； f （4）-f （3）=12=4×3； f （5）-f （4）=16=4×4； …∴f （n ）-f （n-1）=4×（n-1）=4n-4．将上述n-1个式子相加，得f （n ）=4（1+2+3+4+…+（n-1）） =4× =2n 2-2n+1．f （n ）的表达式为：2n 2-2n+1．21.（1）解：设A （﹣a ，0），B （a ，0），M （m ，n ），则+=1，即n 2=b 2•，由k 1k 2=﹣，即•=﹣，即有=﹣，即为a 2=2b 2，又c 2=a 2﹣b 2=1， 解得a 2=2，b 2=1． 即有椭圆E 的方程为+y 2=1；（2）证明：(椭圆E ： +=1（a ＞b ＞0）上点N （x 0，y 0）处切线方程为+=1证明略)设点P （2，t ），切点C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）， 则两切线方程PC ，PD 分别为：+y 1y=1，+y 2y=1，由于P 点在切线PC ，PD 上，故P （2，t ）满足+y 1y=1， +y 2y=1，得：x 1+y 1t=1，x 2+y 2t=1，故C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）均满足方程x+ty=1， 即x+ty=1为CD 的直线方程．令y=0，则x=1，故CD 过定点（1，0）．22.解析：函数)(x f 的定义域为)0(∞+，，211)(xaa x x f ---=' （Ⅰ）设点)0)(,(000>x y x P ，当1=a 时，1ln )(--=x x x f ，则1ln 000--=x x y ，11)(-='x x f ，∴000001ln 11)(x x x x x f --=-=' 解得20e x =，故点P 的坐标为)1(22e e -， （Ⅱ）221)(x a ax ax x f -++-='22)1)(1()1)(1(x a ax x a x a ax x ----=+---=∵210<<a ∴011>--aa∴当10<<x ，或a ax ->1时0)(<'x f ，当aa x -<<11时，0)(>'x f故当210<<a 时，函数)(x f 的单调递增区间为)1,1(aa -； 单调递减区间为)1,0(，),1(+∞-aa（Ⅲ）当31=a 时，1323ln )(-+-=xx x x f 由（Ⅱ）可知函数)(x f 在)10，（上是减函数，在)21，（上为增函数，在]2(e ，上为减函数，且32)1(-=f ，ee ef 323)(+-= ∵ee e e ef e f 3)1(3322)1()(22--=+-=-，又13+<e ，∴3)1(2<-e ，∴)1()(f e f >，故函数)(x f 在],0(e 上的最小值为32-若对于],01e x （∈∀，]1,0[2∈∃x 使 )(1x f ≥)(2x g 成立⇔)(x g 在]1,0[上的最小值不大于)(x f 在],0(e 上的最小值32-（*）又125)(1252)(222---=--=b b x bx x x g ，]1,0[∈x①当0<b 时，)(x g 在]1,0[上为增函数，32125)0()]([min ->-==g x g 与（*）矛盾②当10≤≤b 时，125)()]([2min --==b b g x g ，由321252-≤--b 及10≤≤b 得，121≤≤b ③当1>b 时，)(x g 在]1,0[上为减函数，3212172127)1()]([min -<-<-==b g x g ，此时1>b 综上，b 的取值范围是），∞+21[。