05-3转动惯量的计算

aCX ….实际上正是质心的转动的切向加速度 . aCY ….实际上正是质心的转动的法向加速度 .
N XO N
YZ
β
NX = maCX 3g NY − mg = maCYα β = sin
由角量和线量的关系: 由角量和线量的关系
aCY
C
2L
aCX
mg
aCX = Rβ⊥ L 3g = sin 0 = 0 2 2L 2 aCY = Rω⊥
N XO N
YZ
β
N
NX
N NX NY
3）求N=？ ） ？
Ny
写成分量式： 写成分量式：
N + mg = maC
aCY
C
aCX
NX = maCX NY − mg = maCY
mg
求N，就得求 aC ，即C点的 ， 点的 C 加速度，现在 点作圆周运动， 加速度，现在C点作圆周运动 点作圆周运动， mg 可分为切向加速度和法向加速 度但对一点来说， 度但对一点来说，只有一个加 速度。故这时： 速度。故这时：
2
J = mr / 2
2
J = m(r12 + r22 ) / 2 J = mr / 2
2
J = ml 2 / 12
J = mr / 2
2
J = 2mr 2 / 5
J = 2mr 2 / 3
例题1 一长为l,质量为m的匀质细杆竖直放置 的匀质细杆竖直放置, 例题1 一长为 ,质量为 的匀质细杆竖直放置, 其下端与一固定铰链o相连,并可绕其转动.当其 其下端与一固定铰链o相连,并可绕其转动. 受到微小扰动时, 受到微小扰动时,细杆将在重力的作用下由静止 开始绕铰链o转动. 开始绕铰链o转动.试计算细杆转到与铅直线呈θ 角时的角加速度和角速度. 角时的角加速度和角速度. 解:受力分析 取任一状态, 取任一状态,由转动定律
J = ∫ r dm
2
A
O l
x
dx
有
J 0 = ∫ r 2 dm = ∫ λx 2 dx =
−l 2
l 2
λl 3
12
将 λ l = m 代入上式，得： 代入上式，
1 J 0 = ml 2 12
（2）当转轴通过棒的一端 并与棒垂直时 ）当转轴通过棒的一端A并与棒垂直时
A
x
O l dx
1 2 J 0 = ∫ r dm = ∫ λ x dx = ml 0 3
ω=
∫
θ
0
sin θ d θ
3g (1 − cos θ ) 2l
例题2 一个质量为M，半径为R的定滑轮 的定滑轮（ 例题 一个质量为 ，半径为 的定滑轮（当作均 匀圆盘）上面绕有细绳。 匀圆盘）上面绕有细绳。绳的一端固定在滑轮边 另一端挂一质量为m的物体而下垂 的物体而下垂。 上，另一端挂一质量为 的物体而下垂。忽略轴处 摩擦，求物体m由静止下落 由静止下落h高度时的速度和此时 摩擦，求物体 由静止下落 高度时的速度和此时 滑轮的角速度。 滑轮的角速度。 ω 对定滑轮M， 由转动定律， 解 ： 对定滑轮 ， 由转动定律 ， R O β 对于轴O， 对于轴 ，有
dJ = 2πr hρdr
3
代入得
1 4 J = ∫ dJ = ∫ 2πr hρdr = πR h ⋅ ρ 0 2 m ρ= 2 πR h
R 3
1 2 J = mR 2
J与h无关 与 无关 一个质量为m、半径为 的实心圆柱体对其中心 一个质量为 、半径为R的实心圆柱体对其中心 轴的转动惯量也与上述结果相同。 轴的转动惯量也与上述结果相同。
4mgh v = 2ah = 2m + M
这时滑轮转动的角速度
v ω= = R
4mgh 2m + M R
例题3 一质量为m、半径为R的均质圆柱 的均质圆柱， 例题 一质量为 、半径为 的均质圆柱，在水 平外力作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动， 平外力作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力 的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为l， 的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为 ，如图所 求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。 示。求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。 设静摩擦力f的方向如 解 ： 设静摩擦力 的方向如 图所示， 图所示，则由质心运动方程 圆柱对质心的转动定律： 圆柱对质心的转动定律：
J与质量大小、质量分布、转轴位置有关 与质量大小、质量分布、 与质量大小 演示程序： 演示程序： 影响刚体转动惯量的因素
例题1 求质量为m，长为l的均匀细棒对下面转轴 例题 求质量为 ，长为 的均匀细棒对下面转轴 的转动惯量： 转轴通过棒的中心并和棒垂直 转轴通过棒的中心并和棒垂直； 的转动惯量：(1)转轴通过棒的中心并和棒垂直； (2) 转轴通过棒的一端并和棒垂直。 转轴通过棒的一端并和棒垂直。 在棒上离轴x处 取一长度元dx（ 解：(1) 在棒上离轴 处，取一长度元 （如图所 示），如果棒的质量线密度为λ，则长度元的质 ），如果棒的质量线密度为λ 如果棒的质量线密度为 量为dm=λdx，根据转动惯量计算公式： 量为 ，根据转动惯量计算公式：
M0 + M1 = Jβ
4）列方程： 解： ）列方程：
M0 + M1 = Jβ
M+ M0
分离变量： 分离变量：
M1=–aω ω M0 + M1 M0 − aω β= = J J dω M0 − aω = 1 M0 − aω t dt J − (ln )=
a
dω dt = M0 − aω J ω t dt dω ∫0 M0 − aω = ∫0 J
M0
J
M0 − aω =e M0
−
at J
例）设一细杆的质量为m，长为 ，一端支以 设一细杆的质量为 ，长为L， 枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。 枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。 求： ）当杆与铅直方向成α角时的角加速度： 当杆与铅直方向成α角时的角加速度： 1 2 ）当杆过铅直位置时的角速度： 当杆过铅直位置时的角速度： 时的角速度 3 ) 当杆过铅直位置时，轴作用于杆上的力。 当杆过铅直位置时 轴作用于杆上的力。 N Y 已知： ， 已知：m，L Z L 求：βα，ω⊥，N XO 解：1） ） 以杆为研究对 α 象 受力： mg， （ 受力： ，N（不产生 mg 对轴的力矩） 对轴的力矩） 建立OXYZ坐标系 坐标系 建立
θ
P o
1 M 外 = mgl sinθ = Jβ 2
1 2 ∵ J = ml 3
3g β = sin θ 2l
dω dω dθ 3g β= = = sinθ d t dθ d t 2l
3g ω dω = sin θ d θ 2l
初始条件为：θ=0，ω=0 初始条件为： ，
ω
∫
0
3g ω dω = 2l
L 3g 3g = = 2 L 2
2
3g ω⊥ = L
N XO N
YZ
β
aCY
C
aCX
代入(1)、（2 式中： 代入(1)、（2）式中： (1)、（
NY − mg = maCY ⋯(2) 3g aCX = 0 aCY = 2
β
l f ac
F

F − f = maC
F l + f R = JC β
纯滚动条件为： 纯滚动条件为： a C = R β
1 2 圆柱对质心的转动惯量为： 圆柱对质心的转动惯量为： J C = mR 2
联立以上四式，解得： 联立以上四式，解得：
2F ( R + l ) aC = 3mR
由此可见
R − 2l f = F 3R
R r
dr
O
解：如图所示，将圆盘看成许多薄圆环组成。取 如图所示，将圆盘看成许多薄圆环组成。 任一半径为r，宽度为dr的薄圆环 的薄圆环， 任一半径为 ，宽度为 的薄圆环，此薄圆环的转 动惯量为
dJ = r dm
2
dm为薄圆环的质量。以 ρ表示圆盘的质量体密度 为薄圆环的质量。 为薄圆环的质量
dm = ρdV = ρ ⋅ 2πrhdr
建立OXYZ坐标系（并以Z轴为转动量的正方向） 建立OXYZ坐标系（并以Z轴为转动量的正方向） OXYZ坐标系 N XO α
M Y
Z
L
r
mg
α = 0则β = 0 α = π / 2则β = 3g / 2L M mg sin α 3g ∴β = = = sin α 1 2 J 2L mL 3
r∵J = mL ×F 故取正值。 故取正值。 3
∴J = ∫ dJ
1 2 2 2 = ∫ ρπ(R − Z ) dZ 2 −R
4 8 2 3 5 2 m= ρ πR = ρπR = mR 3 15 5
R
（1）平行轴定理
JC JD
J D = J C + md 2
d
C
（2）薄板的正交轴定理
z o x y
Jz = Jx + Jy
常见刚体的转动惯量
J = mr
2
2
其体积： 其体积：
2 2 2
dV = πr dZ = π (R − Z )dZ 2 2 其质量： 其质量： dm = ρdV = ρπ (R − Z )dZ
1 2 1 其转动惯量： 其转动惯量： = r dm = ρπ (R2 − Z 2 )2 dZ dJ 2 2
1 2 dJ = r dm 2 1 2 2 2 = ρπ (R − Z ) dZ 2
当 l < R 2时， > 0，静摩擦力向后； f 静摩擦力向后； 当 l > R 2时， < 0，静摩擦力向前。 f 静摩擦力向前。
例一静止刚体受到一等于M N.m)的不变力矩的 例一静止刚体受到一等于M0（N.m)的不变力矩的 作用,同时又引起一阻力矩M M1与刚体转动的 作用,同时又引起一阻力矩M1， M1与刚体转动的 角速度成正比, (Nm),(a为常数 为常数) 角速度成正比,即| M1 |= aω(Nm),(a为常数)。又 已知刚体对转轴的转动惯量为J, J,试求刚体角速度 已知刚体对转轴的转动惯量为J,试求刚体角速度 变化的规律。 变化的规律。 ω 已知： 已知：M0 J M1= –aω ω|t=0= 0 求：ω（t）=？ ） ？ 解： 1）以刚体为研究对象； ）以刚体为研究对象； M+ 2）分析受力矩 ） M0 J M1 3）建立轴的正方向； ）建立轴的正方向； 4）列方程： ）列方程：