2014-2015年山西省运城市康杰中学高二上学期期中数学试卷及答案(理科)

2014-2015学年山西省运城市康杰中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题.每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）直线3x+y﹣a=0与6x+2y+1=0的位置关系是（）A．相交B．平行C．重合D．平行或重合2．（5分）三个平面将空间最多能分成（）A．6部分B．7部分C．8部分D．9部分3．（5分）已知点M（3，﹣2，1），N（3，2，1），则直线MN平行于（）A．y轴 B．z轴 C．x轴 D．xoz坐标平面4．（5分）圆C1：（x+2）2+（y﹣2）2=4和圆C2：（x﹣2）2+（y﹣5）2=16的位置关系是（）A．外离B．相交C．内切D．外切5．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12 B．18 C．27 D．546．（5分）光线从点A（﹣2，）射到x轴上的B点后，被x轴反射，这时反射光线恰好过点C（1，2），则光线BC所在直线的倾斜角为（）A．B．C． D．7．（5分）在下列关于点P，直线l、m与平面α、β的命题中，正确的是（）A．若m⊥α，l⊥m，则l∥αB．若α⊥β，α∩β=m，P∈α，P∈l，且l⊥m，则l⊥βC．若l，m是异面直线，m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α∥βD．若α⊥β，且l⊥β，m⊥l，则m⊥α8．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC中点，则异面直线EF与AB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知A、B是x轴上的两点，点p的横坐标为3，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x﹣2y+1=0，则直线PB的方程是（）A．2x+y+4=0 B．2x+y﹣7=0 C．x﹣2y+4=0 D．x+2y﹣7=010．（5分）如图所示，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A﹣BCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中不正确的是（）A．平面ACD⊥平面ABD B．AB⊥CDC．平面ABC⊥平面ACD D．AB∥平面ABC11．（5分）若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，0）∪（0，）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）12．（5分）四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA⊥底面ABCD，PA=2AB，则四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积为（）A．24πB．8πC．6πD．36π二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的相应位置上）13．（5分）如图，p是二面角α﹣l﹣β内的一点（p∉α，p∉β），PA⊥α于点A，PB⊥β于点B，∠APB=35°，则二面角α﹣l﹣β的大小是．14．（5分）若a，b满足a+2b=1，则直线ax+3y+b=0必过定点的坐标是．15．（5分）如果实数x，y满足（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，则x2+y2+4的最小值为．16．（5分）下面四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）17．（10分）圆锥的底面半径为5cm，高为10cm，当它的内接圆柱的底面半径r 为何值时？此圆柱两底面积与侧面积之和S有最大值．18．（12分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1．19．（12分）△ABC中，已知C（2，5），∠A的平分线所在的直线方程是y=x，BC边上高线所在的直线方程是y=2x﹣1，试求顶点B的坐标．20．（12分）已知圆C与x轴相切，圆心C在射线3x﹣y=0（x＞0）上，直线x ﹣y=0被圆C截得的弦长为2（1）求圆C标准方程；（2）若点Q在直线l1：x+y+1=0上，经过点Q直线l2与圆C相切于p点，求|QP|的最小值．21．（12分）如图，三棱柱中ABC﹣A1B1C1，侧棱CC1⊥底面ABC，且侧棱和底面边长均为2，D是BC的中点（1）求证：平面AB1D⊥平面BB1C1C；（2）求证：A1B∥平面ADC1；（3）求直线C1A与平面AB1D所成角的正弦值．22．（12分）已知点A的坐标为，点B在圆O：x2+y2=7上运动，以点B 为一端点作线段BM，使得点A为线段BM的中点．（1）求线段BM端点M轨迹C的方程；（2）已知直线x+y﹣m=0与轨迹C相交于两点P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点O，求实数m的值．2014-2015学年山西省运城市康杰中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题.每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）直线3x+y﹣a=0与6x+2y+1=0的位置关系是（）A．相交B．平行C．重合D．平行或重合【解答】解：∵3×2=1×6，∴当a=﹣时，两直线重合，当a≠﹣时，两直线平行，∴直线3x+y﹣a=0与6x+2y+1=0的位置关系为平行或重合，故选：D．2．（5分）三个平面将空间最多能分成（）A．6部分B．7部分C．8部分D．9部分【解答】解：三个平面两两平行时，可以把空间分成4部分，当两个平面相交，第三个平面同时与两个平面相交时，把空间分成8部分．所以空间中的三个平面最多能把空间分成8部分．故选：C．3．（5分）已知点M（3，﹣2，1），N（3，2，1），则直线MN平行于（）A．y轴 B．z轴 C．x轴 D．xoz坐标平面【解答】解：点M（3，﹣2，1），N（3，2，1），则=（0，4，0），与y轴平行，所以直线MN平行于y轴．故选：A．4．（5分）圆C1：（x+2）2+（y﹣2）2=4和圆C2：（x﹣2）2+（y﹣5）2=16的位置关系是（）A．外离B．相交C．内切D．外切【解答】解：两个圆的圆心分别为C1（﹣2，2）、C2：（2，5），半径分别为2、4，两圆的圆心距C1 C2 ==5，大于半径之差而小于半径之和，故两个圆相交，故选：B．5．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12 B．18 C．27 D．54【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，棱柱的底面面积S=×（4+5）×3=，棱柱的高h=4，故棱柱的体积V=Sh=54，故选：D．6．（5分）光线从点A（﹣2，）射到x轴上的B点后，被x轴反射，这时反射光线恰好过点C（1，2），则光线BC所在直线的倾斜角为（）A．B．C． D．【解答】解：点A关于x轴的对称点为A′（﹣2，﹣），A′在直线BC上，∴直线BC的斜率是k BC===；∴直线BC的倾斜角是．故选：B．7．（5分）在下列关于点P，直线l、m与平面α、β的命题中，正确的是（）A．若m⊥α，l⊥m，则l∥αB．若α⊥β，α∩β=m，P∈α，P∈l，且l⊥m，则l⊥βC．若l，m是异面直线，m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α∥βD．若α⊥β，且l⊥β，m⊥l，则m⊥α【解答】解：对于A．若m⊥α，l⊥m，则l⊂α或l∥α，故A错；对于B．若α⊥β，α∩β=m，P∈α，P∈l，且l⊥m，则l⊂β或l⊥β，则B错；对于C．若l，m是异面直线，m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则平移异面直线l到l'⊂α内，则由线面平行的判定定理可得，l'∥β，又m∥β，l'和m相交，则由面面平行的判定定理可得，α∥β，则C正确；对于D．α⊥β，l⊥β，m⊥l则m⊂α或m∥α，故D错．故选：C．8．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC中点，则异面直线EF与AB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，将EF平移到AC，连结B1C，则∠B1AC为异面直线AB1与EF所成的角，∵三角形B1AC为等边三角形，∴故异面直线AB1与EF所成的角60°，∴cos∠B1AC=．故选：A．9．（5分）已知A、B是x轴上的两点，点p的横坐标为3，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x﹣2y+1=0，则直线PB的方程是（）A．2x+y+4=0 B．2x+y﹣7=0 C．x﹣2y+4=0 D．x+2y﹣7=0【解答】解：已知点p的横坐标为3，点p在直线x﹣2y+1=0上，所以：求得点p的纵标为：2，所以：p（3，2），直线PA的方程为x﹣2y+1=0，则：A（﹣1，0），由于|PA|=|PB|求出B（5，0），根据p（3，2），B（7，0），求得直线PB的方程为：x+2y﹣7=0．故选：D．10．（5分）如图所示，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A﹣BCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中不正确的是（）A．平面ACD⊥平面ABD B．AB⊥CDC．平面ABC⊥平面ACD D．AB∥平面ABC【解答】解：∵BD⊥CD，平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD，∵CD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABD，故A正确；∵平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，∴AB⊥AD，又CD⊥平面ABD，∴AB⊥CD，又AD∩CD=D，∴AB⊥平面ACD，∵CD⊂平面ACD，∴AB⊥CD，故B正确；∵AB⊥平面ACD，AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD，故C正确；∵AB⊂平面ABC，∴AB∥平面ABC不成立，故D错误．故选：D．11．（5分）若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，0）∪（0，）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）【解答】解：由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径r=1；C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0，由直线y﹣mx﹣m=0可知：此直线过定点（﹣1，0），在平面直角坐标系中画出图象如图所示：直线y=0和圆交于点（0，0）和（2，0），因此直线y﹣mx﹣m=0与圆相交即可满足条件．当直线y﹣mx﹣m=0与圆相切时，圆心到直线的距离d==r=1，化简得：m2=，解得m=±，而m=0时，直线方程为y=0，即为x轴，不合题意，则直线y﹣mx﹣m=0与圆相交时，m∈（﹣，0）∪（0，）．故选：B．12．（5分）四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA⊥底面ABCD，PA=2AB，则四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积为（）A．24πB．8πC．6πD．36π【解答】解：如图所示，连接AC，BD相交于点O1．取PC的中点，连接OO1．则OO1∥PA．∵PA⊥底面ABCD，∴OO1⊥底面ABCD．可得点O是四棱锥P﹣ABCD外接球的球心．因此PC是外接球的直径．∵PC2=PA2+AC2==24．∴四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积为24π．故选：A．二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的相应位置上）13．（5分）如图，p是二面角α﹣l﹣β内的一点（p∉α，p∉β），PA⊥α于点A，PB⊥β于点B，∠APB=35°，则二面角α﹣l﹣β的大小是145°．【解答】解：如图所示，平面PAB与l相交于点O，连接OA，OB．∵PA⊥α于点A，∴PA⊥l．同理可得PB⊥l．又PA∩PB=P．∴l⊥平面PAOB．∴l⊥OA，l⊥OB．∴∠AOB是二面角α﹣l﹣β的平面角．∵∠APB=35°，∴∠AOB=145°．故答案为：145°．14．（5分）若a，b满足a+2b=1，则直线ax+3y+b=0必过定点的坐标是（，﹣）．【解答】解：∵a+2b=1，∴a=1﹣2b，∴（1﹣2b）x+3y+b=0，即（1﹣2x）b+x+3y=0，依题意知，，解得：，故答案为：（，﹣）．15．（5分）如果实数x，y满足（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，则x2+y2+4的最小值为9．【解答】解：∵实数x，y满足（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，∴，0≤θ＜2π，∴x2+y2+4=（2+cosθ）2+（2+sinθ）2+4=4+4cosθ+cos2θ+4+4sinθ+sin2θ+4=9+4+4sin（θ+α），∴x2+y2+4的最小值为9．故答案为：9．16．（5分）下面四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是①④【解答】解：①连结BC，则平面ABC∥平面MNP，所以AB∥平面MNP．所以①正确．②取底面正方形对角线的中点O，则ON∥AB，所以AB与面PMN相交，不平行，所以②不合适．③AB与面PMN相交，不平行，所以③不合适．④因为AB∥NP，所以AB∥平面MNP．所以④正确．故答案为：①④．三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）17．（10分）圆锥的底面半径为5cm，高为10cm，当它的内接圆柱的底面半径r 为何值时？此圆柱两底面积与侧面积之和S有最大值．【解答】解：如图，△SAB是圆锥的轴截面，其中SO=10，OB=5，设圆锥内接圆柱的底面半径O1C=r，∵△SOB∽△SO′C′，∴=，∴SO1=•O1C=r，=2r，001=10﹣2r，∴圆柱两底面积与侧面积之和S=2π（10﹣2r）r+2πr2=2π（10r﹣r2），∵001=10﹣2r＞0，0＜r＜5，∴不存在r的值，使圆柱两底面积与侧面积之和S有最大值．18．（12分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1．【解答】证明：如图所示，连接AB1，B1C，BD，因为DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以DD1⊥AC，又因为BD⊥AC，DD1∩BD=D，所以AC⊥平面BDD1B1，所以AC⊥BD1，同理可证BD1⊥B1C，又AC∩B1C=C，所以BD1⊥平面AB1C．…（8分）．因为EF⊥A1D，又A1D∥B1C，所以EF⊥B1C，因为EF⊥AC，AC∩B1C=C所以EF⊥平面AB1C，所以EF∥BD1．…（12分）19．（12分）△ABC中，已知C（2，5），∠A的平分线所在的直线方程是y=x，BC边上高线所在的直线方程是y=2x﹣1，试求顶点B的坐标．【解答】解：依条件，由解得A（1，1）．因为∠A的平分线所在的直线方程是y=x，所以点C（2，5）关于y=x的对称点C'（5，2）在边AB所在的直线上．所以AB边所在的直线方程为整理得x﹣4y+3=0 …（6分）又BC边上高线所在的直线方程是y=2x﹣1所以BC边所在的直线的斜率为﹣．BC边所在的直线的方程是整理得x+2y﹣12=0…（10分）联立，解得…（12分）20．（12分）已知圆C与x轴相切，圆心C在射线3x﹣y=0（x＞0）上，直线x﹣y=0被圆C截得的弦长为2（1）求圆C标准方程；（2）若点Q在直线l1：x+y+1=0上，经过点Q直线l2与圆C相切于p点，求|QP|的最小值．【解答】解：（1）因为圆心C在射线3x﹣y=0（x＞0）上，设圆心坐标为（a，3a），且a＞0，圆心（a，3a）到直线x﹣y=0的距离为又圆C与x轴相切，所以半径r=3a设弦AB的中点为M，则|AM|=在RtAMC中，得解得a=1，r2=9故所求的圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣3）2=9 …（6分）（2）如图，在Rt△QPC中，|QP|=，所以，当|QC|最小时，|QP|有最小值；所以QC⊥l1于Q点时，|QC|min==所以，|QP|min=…..（12分）21．（12分）如图，三棱柱中ABC﹣A1B1C1，侧棱CC1⊥底面ABC，且侧棱和底面边长均为2，D是BC的中点（1）求证：平面AB1D⊥平面BB1C1C；（2）求证：A1B∥平面ADC1；（3）求直线C1A与平面AB1D所成角的正弦值．【解答】（1）证明：因为CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD因为△ABC是正三角形，D是BC的中点，所以BC⊥AD，又BC∩CC1=C，所以AD⊥平面BB1CC1，因为AD⊂平面AB1D，所以平面AB1D⊥平面BB1C1C．（2）证明：如图，连接A1C交AC1于点O，连接OD由题得四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点，又D为BC的中点，所以A1B∥OD因为OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1所以A1B∥平面ADC1；（3）由（1）得平面AB1D⊥平面B1C1D，在平面B1C1D内过C1作C1E⊥B1D于E，连接AE，则∠C1AE为直线C1A与平面AB1D所成角，在△C1B1D中，，所以C1E===，在Rt△C1CA中，CC1=CA=2，得C1A=2，所以sin∠C1AE==×=．22．（12分）已知点A的坐标为，点B在圆O：x2+y2=7上运动，以点B 为一端点作线段BM，使得点A为线段BM的中点．（1）求线段BM端点M轨迹C的方程；（2）已知直线x+y﹣m=0与轨迹C相交于两点P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点O，求实数m的值．【解答】解：（1）设B（x0，y0），M（x，y）∵A是BM中点，∴3=x0+x，0=y0+y∴x0=3﹣x，y0=﹣y代入x02+y02=7∴（3﹣x）2+y2=7即（x﹣3）2+y2=7…（6分）（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线x+y﹣m=0与轨迹C，消去y得2x2﹣（6+2m）x+m2+2=0∴x1+x2=3+m，x1x2=（m2+2）/2…（9分）∵以PQ为直径的圆经过坐标原点O∴⊥，∴x1x2+y1y2=0∴x1x2+（﹣x1+m）（﹣x2+m）=0∴2x1x2﹣m（x1+x2）+m2=0∴m2+2﹣m（3+m）+m2=0∴m2﹣3m+2=0∴（m ﹣1）（m ﹣2）=0 ∴m=1或2…（12分）。