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湘教版初中数学八上不等式的基本性质不等式的概念和基本性质一ppt课堂课件
湘教版（2012）初中数学八上4.1不等 式的基 本性质 不等式的概念和基本性质一 课件
不等式的基本性质 （inequality）
不等式的概念和基本性质一
湘教版（2012）初中数学八上4.1不等 式的基 本性质 不等式的概念和基本性质一 课件
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湘教版（2012）初中数学八上4.1不等 式的基 本性质 不等式的概念和基本性质一 课件
不等式的概念
例1、下列各式中哪些是不等式，哪些不是？
⑴ x+1=2
⑵ 5x-3＞1 ⑶ x-6
⑷ 11x-4≠6 ⑸ 7＞4
-1＜2
-1+ ( ) _＜__ 2+ ( ) -1- ( ) _＜__ 2- ( ) -1+ ( ) _＜__ 2+ ( ) -1- ( ) _＜__ 2- ( )
从中你可以发现什么规律？
湘教版（2012）初中数学八上4.1不等 式的基 本性质 不等式的概念和基本性质一 课件
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湘教版（2012）初中数学八上4.1不等 式的基 本性质 不等式的概念和基本性质一 课件
不等式的基本性质一
3、把下列不等式化为x＞a 或 x＜a的形式．
（1）2x＞x+1
（2）x-2＜3
（3）3x+7＞2x
（4）1x＞ 2 x 2
33
湘教版（2012）初中数学八上4.1不等 式的基 本性质 不等式的概念和基本性质一 课件
不等式的基本性质 （inequality）
不等式的概念和基本性质一
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不等式的概念
例1、下列各式中哪些是不等式，哪些不是？
⑴ x+1=2
⑵ 5x-3＞1 ⑶ x-6
⑷ 11x-4≠6 ⑸ 7＞4
-1＜2
-1+ ( ) _＜__ 2+ ( ) -1- ( ) _＜__ 2- ( ) -1+ ( ) _＜__ 2+ ( ) -1- ( ) _＜__ 2- ( )
从中你可以发现什么规律？
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不等式的基本性质一
3、把下列不等式化为x＞a 或 x＜a的形式．
（1）2x＞x+1
（2）x-2＜3
（3）3x+7＞2x
（4）1x＞ 2 x 2
33
湘教版（2012）初中数学八上4.1不等 式的基 本性质 不等式的概念和基本性质一 课件
不等式基本不等式ppt
2023
《不等式基本不等式ppt》
不等式的基本概念基本不等式及其应用基本不等式的证明方法基本不等式的应用举例基本不等式的扩展和深化
contents
目录
01
不等式的基本概念
不等式是用不等号连接两个表达式的数学式子，例如x + 2 > 5。它表示这两个表达式之间的关系，即x的值在某个范围内变动时，x + 2的值总是大于5。
总结词
拉格朗日不等式是关于数学期望与方差的定理，它表明在有限个数的线性组合中，方差越大，期望值与真实值之间的差异就越大。利用拉格朗日不等式证明法，我们可以将不等式转化为方差和期望值之间的关系，从而证明不等式的成立。此方法在概率论、统计学和经济学等领域中具有广泛的应用。
详细描述
利用拉格朗日不等式证明法
不等式的性质2
不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变。例如，如果x < y，那么-2x > -2y。
不等式的性质3
只含有一个未知数的不等式，例如x + 2 > 5。
一元不等式
含有两个未知数的不等式，例如x + y > 3。
二元不等式
未知数的最高次数大于3的不等式，例如x^3 + x^2 - 6x + 5 > 0。
详细描述
直接证明法需要通过对不等式的变形，以及利用已知的数学定理和性质，推导出与待证明的不等式等价的等式，从而证明不等式的成立。此方法需要掌握一定的数学技巧和推理能力，对于一些复杂的不等式可能需要较长的推导过程。
直接证明法
利用导数证明法
利用导数证明法是一种利用函数单调性和导数之间的关系，证明不等式的方法。
02
范德蒙公式的推广形式包括多个方面，例如将平方推广为任意正整数次幂，或者将实数推广为复数等。这些推广形式可以进一步拓展不等式的应用范围。
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
高考领航1高考数学理一轮配套课件：x41 第1课时 绝对值不等式
基础知识整合
典例重点突破
课时专项训练
高考总复习 数学
针对训练 3．设函数f(x)＝x2－2x，实数a满足|x－a|＜1.
求证：|f(x)－f(a)|＜2|a|＋3. 证明：法一：∵f(x)＝x2－2x， ∴|f(x)－f(a)|＝|x2－2x－a2＋2a| ＝|(x－a)·(x＋a－2)| ＝|x－a||x＋a－2|＜|x＋a－2| ＝|(x－a)＋2a－2| ≤|x－a|＋|2a－2|＜1＋2|a|＋2＝2|a|＋3， ∴|f(x)－f(a)|＜2|a|＋3.
【解】 (1)因为32∈A，且12∉A，所以32－2＜a，且12－2≥a， 解得12＜a≤32.又因为 a∈N*，所以 a＝1. (2)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3， 当且仅当(x＋1)(x－2)≤0，即－1≤x≤2 时取到等号，所以 f(x)的 最小值为 3.
基础知识整合
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典例重点突破
课时专项训练
高考总复习 数学
∴
|a＋b| 1＋a2＋
1＋b2＜1.
∵a≠b，∴|a－b|＞0.
∴|f(a)－f(b)|＜|a－b|.
基础知识整合
典例重点突破
课时专项训练
高考总复习 数学
【归纳提升】 含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类 是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对 值符号转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等 式定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明； 另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考 虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一 元二次方程的根的分布等方法来证明．
基础知识整合
不等式完整PPT课件
学习 提示
与 只是符号，而不表示具体的数.
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• 问题：
• 一次函数的图像、一元一次方程与一元一次不等式之间 存在着哪些联系？
• 比如： • 一次函数：y=2x-6 • 一元一次方程：2x-6=0 • 一元一次不等式：2x-6>0或2x-6<0
• 归纳： • 观察函数y=2x-6的图像：
• 方程2x-6=0的解恰好是函数图像与x轴交点的横坐标；在x 轴上方的函数图像所对应的自变量x的取值范围，恰好是 不等式2x-6>0的解集{x|x>3}；在x轴下方的函数图像所对 应的自变量x的取值范围，恰好是不等式2x-6<0的解集 {x|x<3}．
念
ax2+bx+c＞（≥）0 或 ax2+bx+c＜（≤）0， 其中，a、b、c 为常数，且 a≠0.
如果一元二次不等式中的二次项系数是负数，即 a 0 ，则可
以根据不等式的性质，将不等式两边同乘以 1，使其二次
项系数化为正数，然后再求解.
（1）当方程 ax2+bx+c=0 的判别式=b2-4ac＞0 时，方程有两个不相等 的实数根 x1、x2（x1＜x2），此时不等式 ax2+bx+c＞0 的解集为（-∞， x1）∪（x2，+∞）；不等式 ax2+bx+c＜0 的解集为（x1，x2）.
x a(a 0) 型不等式来求解.这种方法称为“变量替换法”或
“换元法”.
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• 问题： • 资料显示：随着科学技术的发展，列车运行速度不断
提高．运行时速达200公里以上的旅客列车称为新时 速旅客列车．在北京与天津两个直辖市之间运行的， 设计运行时速达350公里的京津城际列车呈现出超越 世界的“中国速度”，使得新时速旅客列车的运行速度 值界定在200公里/小时与350 公里/小时之间．
《不等式》PPT课件
分析： 1.题目中的关键信息是什么？
答:速度v必须超过11.2公里/秒. 2.关键词是__超__过__，可以用__＞______符号表示.
答： v ＞ 11.2.
动脑筋
飞船返回地球时
（1）天气的能见度s不小于10公里，怎样表示s和10之间 的关系？
分析：关键词是_不__小__于_，可以用_≥_______符号表示.
符号“≥”读作“大于或等于”，也可读作“不小于”； 符号“≤”读作“小于或等于”，也可读作“不大于”； 符号“≠”读作“不等于”.
小知识
不等式分为严格不等式与非严格不等式.一般地，用 纯粹的大于号、小于号“>”“<”连接的不等式称为严 格不等式，用不小于号“≥” （大于或等于号）、不大 于号)“≤”（小于或等于号）连接的不等式称为非严格 不等式，或称广义不等式.
不相等的关系问题，如果是两个具体的数，我们可以直接比 较出大小关系，并表示出来.那么对于无法比较大小的式子，我 们又如何找出大小关系并表示呢？
例如，如果小明的身高为155cm，小聪的身高为xcm，且小 明比小聪矮，那我们又如何用不等号“>”或 “<”来表示它 们的高度之间的关系呢？
题目里面表示不等量关系的关键是什么？“矮”.“矮” 代表小明的身高小于小聪的身高.“小于”转化为符号则可 表示为x>155 或155<x.
动脑筋
1. 处于平衡状态的托盘天平的右盘放上一质量为50g的砝码， 左盘放上一个圆球后向左倾斜，问圆球的质量xg与质量为50g 的砝码之间具有怎样的关系？
分析：天平平衡时左右托盘所放物品质量相同.分别放入物体后向左倾斜则 代表左盘圆球的质量大于右盘砝码的质量，也就是xg大于50g，“大于”可以用 符号“>”来表示，则结果可以表示.
答:速度v必须超过11.2公里/秒. 2.关键词是__超__过__，可以用__＞______符号表示.
答： v ＞ 11.2.
动脑筋
飞船返回地球时
（1）天气的能见度s不小于10公里，怎样表示s和10之间 的关系？
分析：关键词是_不__小__于_，可以用_≥_______符号表示.
符号“≥”读作“大于或等于”，也可读作“不小于”； 符号“≤”读作“小于或等于”，也可读作“不大于”； 符号“≠”读作“不等于”.
小知识
不等式分为严格不等式与非严格不等式.一般地，用 纯粹的大于号、小于号“>”“<”连接的不等式称为严 格不等式，用不小于号“≥” （大于或等于号）、不大 于号)“≤”（小于或等于号）连接的不等式称为非严格 不等式，或称广义不等式.
不相等的关系问题，如果是两个具体的数，我们可以直接比 较出大小关系，并表示出来.那么对于无法比较大小的式子，我 们又如何找出大小关系并表示呢？
例如，如果小明的身高为155cm，小聪的身高为xcm，且小 明比小聪矮，那我们又如何用不等号“>”或 “<”来表示它 们的高度之间的关系呢？
题目里面表示不等量关系的关键是什么？“矮”.“矮” 代表小明的身高小于小聪的身高.“小于”转化为符号则可 表示为x>155 或155<x.
动脑筋
1. 处于平衡状态的托盘天平的右盘放上一质量为50g的砝码， 左盘放上一个圆球后向左倾斜，问圆球的质量xg与质量为50g 的砝码之间具有怎样的关系？
分析：天平平衡时左右托盘所放物品质量相同.分别放入物体后向左倾斜则 代表左盘圆球的质量大于右盘砝码的质量，也就是xg大于50g，“大于”可以用 符号“>”来表示，则结果可以表示.
基本不等式ppt课件
a b
12 3
1 4b 3a 1
＋
8＋ a ＋ b ≥ 8＋2
5a b(a＋2b)＝5
5
4b 3a
4b 3a 8＋4 3
(当且仅当 a ＝ b ，
·
＝
5
a b
8＋4 3
2 3
即 2b＝ 3a 时取等号)，∴ ＋ 的最小值为
.故选 B.
a b
5
22．(多选)(2021·湖南省长沙市长郡中学上学期适应性调查考试)小王从
n 4m 9
4m·n ＝2，
2
1
当且仅当 n＝3，m＝6时取等号．故选 C.
2
3
3．设 x＞0，则函数 y＝x＋
－2的最小值为( A )
2x＋1
A．0
1
B．2
解析
2≥2
C．1
3
D．2
1
2
3
由 于 x>0 ， 则 y ＝ x ＋
－ ＝ x＋2 ＋
2
2x＋1
1
x＋ ·
2
m· n 4
二、高考小题
13．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为 4 的是( C )
A．y＝x ＋2x＋4
4
B．y＝|sin x|＋|sin x|
C．y＝2 ＋2
4
D．y＝ln x＋
ln x
2
x
2－x
15．(2020·上海高考)下列不等式恒成立的是( B )
A．a2＋b2≤2ab
C．a＋b≥2 |ab|
命题中正确的是( AB )
A．若 P＝1，则 S 有最小值 2
B．若 S＋P＝3，则 P 有最大值 1
12 3
1 4b 3a 1
＋
8＋ a ＋ b ≥ 8＋2
5a b(a＋2b)＝5
5
4b 3a
4b 3a 8＋4 3
(当且仅当 a ＝ b ，
·
＝
5
a b
8＋4 3
2 3
即 2b＝ 3a 时取等号)，∴ ＋ 的最小值为
.故选 B.
a b
5
22．(多选)(2021·湖南省长沙市长郡中学上学期适应性调查考试)小王从
n 4m 9
4m·n ＝2，
2
1
当且仅当 n＝3，m＝6时取等号．故选 C.
2
3
3．设 x＞0，则函数 y＝x＋
－2的最小值为( A )
2x＋1
A．0
1
B．2
解析
2≥2
C．1
3
D．2
1
2
3
由 于 x>0 ， 则 y ＝ x ＋
－ ＝ x＋2 ＋
2
2x＋1
1
x＋ ·
2
m· n 4
二、高考小题
13．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为 4 的是( C )
A．y＝x ＋2x＋4
4
B．y＝|sin x|＋|sin x|
C．y＝2 ＋2
4
D．y＝ln x＋
ln x
2
x
2－x
15．(2020·上海高考)下列不等式恒成立的是( B )
A．a2＋b2≤2ab
C．a＋b≥2 |ab|
命题中正确的是( AB )
A．若 P＝1，则 S 有最小值 2
B．若 S＋P＝3，则 P 有最大值 1
不等式ppt课件
不等式的应用场景
01
02
03
04
数学领域
解决各种不等关系的问题，如 最值、范围等。
物理领域
描述物理现象和规律，如力学 、电磁学等。
经济领域
描述经济变量之间的关系，如 价格、成本等。
实际生活
描述日常生活中的不等关系， 如时间、距离等。
02
不等式的类型
算术平均数与几何平均数的不等式
总结词
算术平均数与几何平均数的不等式是一种基本的不等式，它反映了平均值与方 差之间的关系。
实际应用定义
描述实际生活中两个量之 间的不等关系，如价格、 距离等。
不等式的性质
加法单调性
即同向不等式相加，不等号不 改变方向。
反身性
任何实数都大于它本身。
传递性
如果a>b，b>c，则a>c。
乘法单调性
即不等式乘以一个正数，不等 号不改变方向；乘以一个负数 ，不等号改变方向。
非空性
不等式的两边都可以取无穷大 或无穷小。
03
不等式的证明方法
利用导数证明不等式
总结词
导数是一阶导数的简称，它描述了函数在某一点的变化率， 可以用来判断函数的单调性和凹凸性，从而帮助我们证明不 等式。
详细描述
首先，我们需要找到不等式两边的函数，然后求导，通过比 较导数值的大小来判断函数的单调性，从而得出不等式的证 明结论。
利用拉格朗日中值定理证明不等式
详细描述
柯西不等式表明，对于任何实数x 和y，都有$x^2+y^2 \geq 2xy$ ，当且仅当x=y时等号成立。这 个不等式在解决一些最优化问题 时非常有用。
排序不等式
总结词
排序不等式是一种基于排序原理的不 等式，它反映了有序实数之间的差值 与乘积之间的关系。
高中数学不等式 PPT课件 图文
性质8 如果a＞b＞0，那么 n a n b（n∈N，n≥2）
绝对值不等式的基本性质
a 0
绝对 值不 等式
a
b
a
b
a b
a
b
基本 性质
a
n
an
a b ab a b
a1
a2
an
a1
a2
an
不等式的解法
(1)一元一次不等式：ax
x
a, (a
0)
x
a, 或x
a
公式法
f(x) g(x) f(x) g(x),或f(x) f(x) g(x) g(x) f(x) g(x)
a b ab a b
g(x)
a1 a2 an a1 a2 an
平方法f(x) g(x) f 2 (x) g2 (x) 划分区域讨论法：适合于两个或两个以上绝对值号的不等式
利用绝对值的几何意义:
(6)指数不等式：
af(x)ag(x) f(fx()x ) g(g x()x(),0(, a a 1)1)
(7)对数不等式：
f(x) 0
g(x) 0
(a 1)
loga f (x)
logag(x)
fg((fxx())x)
0 0
g(x) (0
a 1)
f(x) g(x)
不等式的证明方法
证明不等式的主要方法
（1） 比较法
绝对值不等式的基本性质
a 0
绝对 值不 等式
a
b
a
b
a b
a
b
基本 性质
a
n
an
a b ab a b
a1
a2
an
a1
a2
an
不等式的解法
(1)一元一次不等式：ax
x
a, (a
0)
x
a, 或x
a
公式法
f(x) g(x) f(x) g(x),或f(x) f(x) g(x) g(x) f(x) g(x)
a b ab a b
g(x)
a1 a2 an a1 a2 an
平方法f(x) g(x) f 2 (x) g2 (x) 划分区域讨论法：适合于两个或两个以上绝对值号的不等式
利用绝对值的几何意义:
(6)指数不等式：
af(x)ag(x) f(fx()x ) g(g x()x(),0(, a a 1)1)
(7)对数不等式：
f(x) 0
g(x) 0
(a 1)
loga f (x)
logag(x)
fg((fxx())x)
0 0
g(x) (0
a 1)
f(x) g(x)
不等式的证明方法
证明不等式的主要方法
（1） 比较法
基本不等式ppt课件
a+b
当且仅当a
2
= b时，等号成立.
思考：如图，是圆的直径，点是上一点， = ，
D
= .过点作垂直于的弦，连接，.
a+b
ab
2
半径 = _______________，则
= _______________
与大小关系怎么样？
a+b
≥
(1)当积xy等于定值P时，
≥
2
证明：∵ x，y都是正数， ∴
1 2
时，积有最大值 .
4
xy.
p， ∴ x + y ≥ 2 p，
积定和最小
当且仅当x = y时，上式等号成立.
于是，当x = y时，和x + y有最小值2 p.
(2)当和x + y等于定值S时， xy ≤
S
，∴xy
2
当且仅当x = y，上式等号成立.
2
2
∴x +
4
]
2−x
4
，得x
2−x
4
的最大值为−2.
x−2
+ 2 ≤ −2 (2 − x)(
4
)
2−x
+ 2 = −2，
= 0或x = 4(舍去)，即x = 0时等号成立.
练习巩固
练习2：已知0 < < 1,求 1 − 的最大值.
解：∵0 < < 1，∴ 1 − x > 0
∴ 1 − ≤
∴x +
4
x+4
− 4 ≥ 2 (x + 4) ∙
4
，即x
x+4
4
的最小值为0.