第四章 第四节 课时限时检测

(时间60分钟，满分80分)
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．下面四个命题：
(1)0比－i 大；
(2)两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数时成立；
(3)x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1；
(4)如果让实数a 与a i 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．
其中正确命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：(1)中实数与虚数不能比较大小；
(2)两个复数互为共轭复数时其和为实数，但两个复数的和为实数时这两个复数不一定是共轭复数；
(3)x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1是错误的，因为没有标明x ，y 是否是实数；
(4)当a ＝0时，没有纯虚数和它对应．
答案：A
2．设复数ω＝－12＋32i ，则化简复数1ω
2的结果是( ) A ．－12－32
i B ．－12＋32i C.12＋32i D.12－32
i 解析：∵ω2＝⎝⎛⎭⎫－12＋32i 2＝14－34－32
i ＝－12－32i ， ∴1ω2＝1
－12－32i ＝－12＋32i. 答案：B
3．在复平面内，向量AB 对应的复数是2＋i ，向量CB 对应的复数是－1－3i ，则向量
CA 对应的复数为( )
A ．1－2i
B ．－1＋2i
C ．3＋4i
D ．－3－4i
解析：向量AB 对应的复数是2＋i ，
则BA 对应的复数为－2－i ，
∵CA ＝CB ＋BA ，
∴CA 对应的复数为(－1－3i)＋(－2－i)＝－3－4i.
答案：D
4．已知复数a ＝3＋2i ，b ＝4＋x i(其中i 为虚数单位)，若复数a b
∈R ，则实数x 的值为( ) A ．－6
B ．6 C.83 D ．－83
解析：由于a b ＝3＋2i 4＋x i ＝(3＋2i )(4－x i )(4＋x i )(4－x i )
＝12＋2x ＋(8－3x )i 16＋x 2
∈R ， 则8－3x ＝0，∴x ＝83
. 答案：C
5．若复数z ＝cos θ＋isin θ且z 2＋z －2＝1，则sin 2θ＝( )
A.12
B.14
C.34 D ．－14
解析：z 2＋z －2＝(cos θ＋isin θ)2＋(cos θ－isin θ)2＝2cos2θ＝1
⇒cos2θ＝12，所以sin 2θ＝1－cos2θ2＝14
. 答案：B
6．若M ＝{x |x ＝i n ，n ∈Z}，N ＝{x |1x ＞－1}(其中i 为虚数单位)，则M ∩(∁R N )＝( )
A ．{－1,1}
B ．{－1}
C ．{－1,0}
D ．{1}
解析：依题意M ＝{1，－1，i ，－i}，
N ＝{x |x ＞0或x ＜－1}，
所以∁R N ＝{x |－1≤x ≤0}，故M ∩(∁R N )＝{－1}．
答案：B
二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)
7．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA 和OB ，其中O 为坐标原点，
则|AB |＝________.
解析：由题意知A (1,1)，B (－1,3)，
故|AB |＝(－1－1)2＋(3－1)2＝2 2.
答案：2 2
8．已知复数z 1＝3－i ，z 2是复数－1＋2i 的共轭复数，则复数i z 1－z 24
的虚部等于________． 解析：i z 1－z 24＝i 3－i －－1－2i 4＝3i －110－－1－2i 4＝3＋16i 20，其虚部为45
. 答案：45
9．已知a ∈R ，则复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第________象限，复数z 对应点的轨迹是________．
解析：由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，
－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1，
得z 的实部为正数，z 的虚部为负数．
∴复数z 的对应点在第四象限．
设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R)，则⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2). 消去a 2－2a 得y ＝－x ＋2(x ≥3)，∴复数z 对应点的轨迹是一条射线，其方程为y ＝－x ＋2(x ≥3)．
答案：四 一条射线
三、解答题(共3个小题，满分35分)
10．实数m 分别取什么数值时？复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i
(1)与复数2－12i 相等；
(2)与复数12＋16i 互为共轭；
(3)对应的点在x 轴上方．
解：(1)根据复数相等的充要条件得
⎩⎪⎨⎪⎧
m 2＋5m ＋6＝2，m 2－2m －15＝－12.解之得m ＝－1. (2)根据共轭复数的定义得
⎩
⎪⎨⎪⎧ m 2＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16.解之得m ＝1. (3)根据复数z 对应点在x 轴上方可得m 2－2m －15＞0，
解之得m ＜－3或m ＞5.
11．若复数z 1与z 2在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，|z 1|＝2，求z 1.
解：设z 1＝a ＋b i ，则z 2＝－a ＋b i ，
∵z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，且|z 1|＝2，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧ (a ＋b i )(3－i )＝(－a ＋b i )(1＋3i )，a 2＋b 2＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－1，
b ＝1， 则z 1＝1－i 或z 1＝－1＋i.
12．已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i,8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}同时满足M ∩N M ，M ∩N ≠∅，求整数a 、b .
解：依题意得(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ，①
或8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i ，②
或(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝(a 2－1)＋(b ＋2)i.③
由①得a ＝－3，b ＝±2，
经检验，a ＝－3，b ＝－2不合题意，舍去．
∴a ＝－3，b ＝2.
由②得a ＝±3，b ＝－2.
又a ＝－3，b ＝－2不合题意．∴a ＝3，b ＝－2.
③中，a ，b 无整数解不符合题意．
综合①、②得a ＝－3，b ＝2或a ＝3，b ＝－2.。