[考研类试卷]考研数学二(向量)模拟试卷14.doc
考研数学二(选择题)模拟试卷82(题后含答案及解析)
考研数学二（选择题）模拟试卷82(题后含答案及解析) 题型有：1.1．设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs 线性表示，则( )A．当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关。
B．当r＞s时，向量组Ⅱ必线性相关。
C．当r＜s时，向量组Ⅰ必线性相关。
D．当r＞s时，向量组Ⅰ必线性相关。
正确答案：D解析：因为向量组Ⅰ可由向量组Ⅱ线性表示，故r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)≤s。
又因为当r＞s时，必有r(Ⅰ)＜r，即向量组Ⅰ的秩小于其所含向量的个数，此时向量组Ⅰ必线性相关，所以应选D。
知识模块：向量2．设非齐次线性方程组Ax=b有两个不同解β1和β2，其导出组的一个基础解系为α1，α2，c1，c2为任意常数，则方程组Ax=b的通解为A．c1α1+c2(α1+α2)+(β1-β2)B．c1α1+c2(α1-α2)+(β1+β2)C．c1α1+c2(β1+β2)+(β1-β2)D．c1α1+c2(β1-β2)+(β1+β2)正确答案：B解析：因α1，α1-α2是与基础解系α1，α2等价的线性无关向量组，故α1，α1-α2也是Ax=0的基础解系，又由(Aβ1+Aβ2)=(B+B)=b知(β1+β2)是Ax=B的一个解，由解的结构即知(B)正确．知识模块：线性方程组3．在中，无穷大量是A．①②．B．③④．C．②④．D．②．正确答案：D解析：本题四个极限都可以化成的形式，其中n=2，3，故只需讨论极限要选该极限为+∞的，仅当n=3并取“+”号时，即．选D．知识模块：极限、连续与求极限的方法4．设X1，X2，…，Xn相互独立同分布，每个分布函数均为F(x)，记X=min(X1，…，Xn)，Y=max(X1，…，Xn)，则(X，Y)的分布函数F(x，y)当y ＞x时在(x，y)处的值为( )A．[F(x)F(y)]nB．[F(y)]n一[F(y)一F(x)]nC．[F(y)]n一[F(y)一F(x)F(y)]n．D．[r(x)]n一[F(x)一F(y)]n．正确答案：B解析：r(x，y)=P{X≤x，Y≤y}=P{x≤+∞，Y≤y}一P{X＞x，Y≤y} =P{Y≤y}一P{X＞x，y≤y}=P{max(X1，X2，…，Xn)≤y}-P{min(X1，X2，…，Xn)＞x，max(X1，X2，…，Xn)≤y}=[F(y)]n一P{X1＞x，…，Xn＞x，X1≤y，…，Xn≤y}=[F(y)]n一P{x＜X1≤y，x＜X2≤y，…，x＜Xn≤y}=[F(y)]n一P{x＜X1≤)，}P{x＜X2≤y}…P{x＜Xn≤y}=[F(y)]n一[F(y)-F(x)]n (y＞x)．知识模块：概率论与数理统计5．二元函数f(x，y)=在点(0，0)处A．连续，偏导数存在B．连续，偏导数不存在C．不连续，偏导数存在D．不连续，偏导数不存在正确答案：C 涉及知识点：多元函数微积分6．设函数f(x)与g(x)在[0，1]上连续，且f(x)≤g(x)，且对任何c∈(0，1) A．．B．．C．．D．．正确答案：D 涉及知识点：一元函数积分学7．设f(x)=其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处( )A．极限不存在B．极限存在，但不连续C．连续，但不可导D．可导正确答案：D解析：=f(0)=0，f(x)在x=0点连续．所以f-’(0)=0．故f+’(0)=0，从而f’(0)存在，且f’(0)=0，应选(D)．知识模块：一元函数微分学8．设函数f(x)=则在点x=0处f(x)( )．A．不连续B．连续但不可导C．可导但导数不连续D．导数连续正确答案：D解析：因为=f(0)=0，所以f(x)在x=0处连续；知识模块：一元函数微分学9．设f(x)连续，且f’(0)>0，则存在δ>0，使得( )．A．f(x)在(0，δ)内单调增加B．f(x)在(-δ，0)内单调减少C．对任意的x∈(-δ，0)，有f(x)>f(0)D．对任意的x∈(0，δ)，有f(x)>f(0)正确答案：D解析：因为f’(0)=>0，所以由极限的保号性，存在δ>0，当0>0，当x∈(-δ，0)时，f(x)f(0)，应选(D) 知识模块：高等数学部分10．已知三阶矩阵A与三维非零列向量α，若向量组α，Aα，A2α线性无关，而A3α=3Aα—2A2α，那么矩阵A属于特征值λ= —3的特征向量是( )A．αB．Aα+2αC．A2α—AαD．A2α+2Aα—3α正确答案：C解析：由已知A3α+2A2α—3Aα=0，即有(A+3E)(A2α—Aα)=0=O(A2α—Aα)。
2022年考研《数学(二)》模拟考试题
2022年考研《数学（二）》模拟考试题姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分得分评卷人得分一、单选题(1~10小题，每小题5分，共50分。
下列每小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求的。
)1【单选题】：设函数f（x）=ax-blnx（a ＞0）有2个零点，则的取值范围（）。
2【单选题】：设函数f（x）=secx在x=0处的2次泰勒多项式为1+ax+bx2，则（）。
3【单选题】：设函数f（x，y）可微，且f（x+1，ex）=x（x+1）2，f（x，x2）=2x2lnx，则df（1，1）=（）。
4【单选题】：设函数f（x）在区间[1，1]上连续，则=（）。
5【单选题】：二次型f（x1，x2，x3）=（x1+x2）2+（x2+x3）2-（x3-x1）2的正惯性指数与负惯性指数依次为（）。
6【单选题】：设3阶矩阵A（α1，α2，α3），B（β1，β2，β3），若向量组α1，α2，α3可以由向量组β1，β2线性表出，则（）。
7【单选题】：已知矩阵，若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q，使PAQ为对角矩阵，则P，Q可以分别为（）。
8【单选题】：当x→＞0时，是x7的（）。
9【单选题】：函数在x=0处（）。
10【单选题】：有一圆柱底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm/s，-3cm/s，当底面半径为10cm，高为5cm时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为（）。
二、填空题(11~16小题，每小题5分，共30分。
)11【问答题】：______。
12【问答题】：设函数y=y（x）由参数方程______。
13【问答题】：设函数z=z（x，y）由方程（x+1）z+ylnz-arctan（2xy）=1确定，则______。
14【问答题】：已知函数______。
15【问答题】：______。
16【问答题】：多项式f（x）=中x3项的系数为______。
2023年考研数学(二)真题(试卷+答案)
2023年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）（科目代码：302）（考试时间：上午8:30-11:30）考生注意事项1.答题前，考生须在试题册指定位置填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。
2.选择题答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。
3.填（书）写部分必须使用黑色签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B 铅笔填涂。
4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。
2023年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、选择题：1～10小题,每小题5分,共50分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的． （1）函数1ln(e )1y x x =+-的渐近线为（ ） （A ）e y x =+. （B ）1e y x =+. （C ）y x =.（D ）1ey x =-.（2）0()(1)cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的一个原函数为（ ）（A）),0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧⎪≤=⎨+->⎪⎩（B）)1,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧⎪+≤=⎨+->⎪⎩（C）),0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧⎪≤=⎨++>⎪⎩（D）)1,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧⎪+≤=⎨++>⎪⎩（3）设数列{}n x ，{}n y 满足1112x y ==，1sin n n x x +=，21n n y y +=，当n →∞时（ ） （A ）n x 是n y 的高阶无穷小 （B ）n y 是n x 的高阶无穷小 （C ）n x 是n y 的等价无穷小 （D ）n x 是n y 的同阶但非等价无穷小（4）微分方程0y ay by '''++=的解在(,)-∞+∞有界，则,a b 的取值范围为（ ） （A ）0,0a b <> （B ）0,0a b >>（C ）0,0a b => （D ）0,0a b =<（5）由确定，则（ ）（A ）()f x 连续，()0f '不存在（B ）()0f '存在，()f x '在0x =处不连续 （C ）()f x '连续，()0f ''不存在 （D ）()0f ''存在，()f x ''在0x =处连续 （6）若函数()121()ln f dx x x +∞+=⎰αα在若0=αα处取得最大值，则0α是( )（A ）1ln ln 2-（B ）lnln2- （C ）1ln 2（D ）ln2（7）设函数2()()x f x x a e =+.若()f x 无极值点，但有拐点，则a 的取值范围为( )（A ）[0,1) （B ）[1,)+∞ （C ）[1,2) （D ）[2,)+∞（8）已知A ，B 都为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，*M 为矩阵M 的伴随矩阵，则*⎛⎫⎪⎝⎭A E OB 为( )（A ）****⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭A B B A OB A（B ）****⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭A B A B OB A （C ）****⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B A B A OA B（D ）****⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B A A B OA B（9）设二次型222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--，则该二次型的规范形为（ ）（A ）2212y y + （B ）2212y y - （C ）2221234y y y +-（D ）222123y y y +-（10）设121221,31αα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、122150,91ββγ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、既可由12αα、线性表示，也可由12ββ、线性表示，则γ为（ ） （A ）33,4R k k ⎛⎫⎪⎪⎝⎭∈⎪（B ）35,10R k k ⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭∈（C ）-11,2R k k ⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭∈（D ）15,8R k k ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭∈⎪二、填空题：11～16小题,每小题5分,共30分． （11）设22()ln(1),()cos x f x ax bx x g x e x =+++=-，且()f x 与()g x 为等价无穷小，则ab = . （12）设()y x =⎰，则此曲线的弧长为 .（13）已知(,),2zz z x y e xz x y =+=-，求22z x∂=∂ .（14）23532x y y =+确定()y y x =，则()y y x =在1x =处的法线斜率为 . （15） 函数)(x f 满足⎰==-+200)(,)()2(dx x f x x f x f ，则⎰=31)(dx x f .（16）方程组13123123121202ax x x ax x x x ax ax bx +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩ 有解，已知0111412a a a =，则 11120a a a b = .三、解答题：17～22小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本题目满分10分） 设曲线)(:x y y L =)(e x >经过点)0,(2e ，L 上任一点),(y x P 到y 轴距离等于该点处的切线在y 轴上的截距. （1）求)(x y ;（2）在L 上求一点使该点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积最小并求此最小面积.（18）（本题满分12分） 求函数2cos (,)e2yx f x y x =+的极值.（19）（本题满分12分）已知平面区域{(,)|01}D x y y x =≤≤≥（1）求平面区域D 的面积; （2）求D 绕x 轴旋转一周的旋转体体积.（20） (本题满分12分)设平面有界区域D位于第一象限，曲线22221,2,,x y xy x y xy y +-=+-==0y =围成，求221.3Ddxdy x y +⎰⎰ （21） (本题满分12分)函数()f x 在[,]a a -上具有二阶连续导数. 证明： （1）若(0)0f =, 则存在(,)a a ξ∈-使得21()[()()]f f a f a a ξ''=+-. （2）若()f x 在(,)a a -取极值，则存在(,)a a η∈-使得21()()()2f f a f a a η''+-.（22）(本题满分12分)已知112321233232x x x x A x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭对所有x 均成立.（1）求矩阵A ;（2）求可逆矩阵P 和对角阵Λ，使得1P AP -=Λ.参考答案一、选择题二、填空题 （11）【答案】2-（12）【答案】43π（13）【答案】32-. （14）【答案】 119-（15）【答案】12（16）【答案】8 三、解答题（17）【答案】（1）x x x x y 2ln )(+-=，（2）)21,(2323e e ，3min e S =（18）【答案】极小值为2(,2)2e f e k π-=-.（19）【答案】（1）ln(1（2）(1)4ππ-（20）. （21）【答案】（Ⅰ）泰勒公式在0=x 处展开； （Ⅱ）泰勒公式在极值点处展开.（22）【答案】（1）111211011A⎛⎫⎪=-⎪⎪-⎝⎭;（2）410301121P⎛⎫⎪= ⎪⎪--⎝⎭，212⎛⎫⎪Λ=-⎪⎪-⎝⎭.。
考研数学二(线性方程组、矩阵的特征值与特征向量)模拟试卷1(题
考研数学二（线性方程组、矩阵的特征值与特征向量）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设n元齐次线性方程组Ax＝0的系数矩阵A的秩为r，则Ax＝0有非零解的充分必要条件是A．r＝n．B．r≥n．C．r＜n．D．r＞n．正确答案：C 涉及知识点：线性方程组2．设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax＝0仅有零解的充分条件是A．A的列向量线性无关．B．A的列向量线性相关．C．A的行向量线性无关．D．A的行向量线性相关．正确答案：A 涉及知识点：线性方程组3．设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，对于线性方程组(I)：Ax＝0和(Ⅱ)：ATAx＝0必有A．(Ⅱ)的解是(I)的解，(I)的解也是(Ⅱ)的解．B．(Ⅱ)的解是(I)的解，但(I)的解不是(Ⅱ)的解．C．(I)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(I)的解．D．(I)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(I)的解．正确答案：A 涉及知识点：线性方程组4．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组(AB)x＝0A．当n＞m时仅有零解．B．当n＞m时必有非零解．C．当m＞n时仅有零解．D．当m＞n时必有非零解．正确答案：D 涉及知识点：线性方程组5．设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠0，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次线性方程组Ax＝b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax＝0的基础解系A．不存在．B．仅含一个非零解向量．C．含有两个线性无关的解向量．D．含有三个线性无关的解向量．正确答案：B 涉及知识点：线性方程组6．设A是m×n矩阵，Ax＝0是非齐次线性方程组Ax＝b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是A．若Ax＝0仅有零解，则Ax＝b有唯一解．B．若Ax＝0有非零解，则Ax＝b有无穷多解．C．若Ax＝b有无穷多个解，则Ax＝0仅有零解．D．若Ax＝b有无穷多个解，则Ax＝0有非零解．正确答案：D 涉及知识点：线性方程组7．非齐次线性方程组Ax＝b中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则A．r＝m时，方程组Ax＝b有解．B．r＝n时，方程组Ax＝b有唯一解．C．m＝n时，方程组Ax＝b有唯一解．D．r＜n时，方程组Ax＝b有无穷多解．正确答案：A 涉及知识点：线性方程组8．设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组Ax＝b的三个解向量，且r(A)＝3，α1＝(1，2，3，4)T，α2＋α3＝(0，1，2，3)T，C表示任意常数，则线性方程组Ax＝b的通解x为A．B．C．D．正确答案：C 涉及知识点：线性方程组9．设A为n阶可逆矩阵，λ是A的一个特征值，则A的伴随矩阵A*的特征值之一是A．λ－1｜A｜n．B．λ－1｜A｜．C．λ｜A｜．D．λ｜A｜n．正确答案：B 涉及知识点：矩阵的特征值与特征向量10．设λ＝2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于A．．B．．C．．D．．正确答案：B 涉及知识点：矩阵的特征值与特征向量11．设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵．已知n维列向量α是A 的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P－1AP)T属于特征值λ的特征向量是A．P－1α．B．PTα．C．Pα．D．(P－1)Tα．正确答案：B 涉及知识点：矩阵的特征值与特征向量12．n阶矩阵A具有n个不同的特征值是A与对角矩阵相似的A．充分必要条件．B．充分而非必要条件．C．必要而非充分条件．D．既非充分也非必要条件．正确答案：B 涉及知识点：矩阵的特征值与特征向量13．设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则A．λE－A＝λE－B．B．A与B有相同的特征值和特征向量．C．A与B都相似于一个对角矩阵．D．对任意常数t，tE－A与tE－B相似．正确答案：D 涉及知识点：矩阵的特征值与特征向量14．设矩阵．已知矩阵A相似于B，则r(A－2E)与r(A－E)之和等于A．2．B．3C．4D．5正确答案：C 涉及知识点：矩阵的特征值与特征向量填空题15．若线性方程组有解，则常数a1，a2，a3，a4应满足条件________．正确答案：a1＋a2＋a3＋a4＝0；涉及知识点：线性方程组16．设其中ai≠aj(i≠j，i，j＝1，2，…，n)，则线性方程ATx＝B的解是________．正确答案：利用克莱姆法则，得唯一解(1，0，…，0)T；涉及知识点：线性方程组17．设A＝(aij)3×3是实正交矩阵，且a11＝1，b＝(1，0，0)T，则线性方程组Ax＝b的解是________．正确答案：(1，0，0)T；涉及知识点：线性方程组18．设方程有无穷多个解，则a＝________．正确答案：-2 涉及知识点：线性方程组19．矩阵的非零特征值是_______．正确答案：4；涉及知识点：矩阵的特征值与特征向量20．矩阵的非零特征值是_______．正确答案：4．涉及知识点：矩阵的特征值与特征向量解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(填空题)模拟试卷14(题后含答案及解析)
考研数学二（填空题）模拟试卷14(题后含答案及解析) 题型有：1.1．若A=，则｜A｜=________．正确答案：0解析：利用公式“r(AB)≤r(B)及A≠0，则r(A)≥1”，易见本题中r(A)=1，所以｜A｜=0．或作矩阵乘法，由A中两行元素成比例而知｜A｜=0．知识模块：行列式2．=__________。
正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学3．设K，L，δ为正的常数，则=________．正确答案：KδL1－δ解析：属1∞型极限．原式=，而因此，原式= 知识模块：极限、连续与求极限的方法4．齐次方程组有非零解，则λ=________。
正确答案：一3或一1解析：系数矩阵的行列式｜A｜==一(λ+3)(λ+1)，所以当λ=一3或一1时，方程组有非零解。
知识模块：线性方程组5．已知y〞＋(χ＋e2y)y′3＝0，若把χ看成因变量，y看成自变量，则方程化为_______，并求此方程通解为_______．正确答案：原方程化为χ〞y－χ＝e2y，通解为：χ＝C1ey＋C2e－y＋e2y 涉及知识点：常微分方程6．设n(n≥3)阶方阵A＝的秩为n－1，则a＝________．正确答案：解析：r(A)＝n－1，｜A｜＝[1＋(n－1)a](1－a)n-1＝0，或a＝1，而当a＝1时有r(A)＝1≠n－1，故必有a＝知识模块：矩阵7．若函数在处取得极值，则a=__________．正确答案：2解析：f’(x)=acosx+cos3x，因为极值点，则a=2．这时f”(x)=-2sinx-3sin3x，故为极大值点．知识模块：一元函数微分学8．曲线在点(0，0)处的切线方程为_________.正确答案：y=一2x解析：方程两边对x求导，可得即(0，0)点切线的斜率为一2．因此点(0，0)处的切线方程为y一0=(一2).(x一0)，即y=一2x。
知识模块：一元函数微分学9．设A为n阶方阵，任何n维列向量都是方程组的解向量，则R(A)=________。
考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编14(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编14(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．等于A．∫01ln2xdxB．2∫12lnxdxC．2∫12ln(1+x)dxD．∫12ln2(1+x)dx正确答案：B解析：故应选(B)．2．设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“MN”表示“M的充分必要条件是N”，则必有A．F(x)是偶函数f(x)是奇函数．B．F(x)是奇函数f(x)是偶函数．C．F(x)是周期函数f(x)是周期函数．D．F(x)是单调函数f(x)是单调函数．正确答案：A解析：直接法若F(x)是连续函数f(x)的原函数，且F(x)是偶函数，则F(一x)=F(x)，式两端对x求导得一F’(一x)=F(x)即一f(一x)=f(x)故f(x)为奇函数．反之，若f(x)为奇函数，则G(x)=∫0xf(t)dt是f(x)的一个原函数，又G(一x)=∫0一xf(x)dt∫0xf(u)du=G(x)则G(x)是偶函数，由于F(x)也是f(x)的原函数，则F(x)=G(x)+CF(x)亦是偶函数，故应选(A)．3．设f(x)是奇函数，除x=0外处处连续，x=0是其第一类间断点，则∫0xf(t)dt 是A．连续的奇函数．B．连续的偶函数．C．在x=0间断的奇函数．D．在x=0间断的偶函数．正确答案：B解析：直接法由于f(x)是奇函数，则∫0x(t)dt是偶函数，又由于f(x)除x=0外处处连续，且x=0是其第一类间断点，则f(x)在任何一个有限区间上可积，从而∫0xf(t)出为连续函数，故应选(B)．4．如图，连续函数y=f(x)在区间[一3，一2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[一2，0]，[0，2]上的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设F(x)=f∫0x(t)dt，则下列结论正确的是A．B．C．D．正确答案：C解析：根据定积分的几何意义知，也可用排除法：由定积分的几何意义知也可利用f(x)是奇函数，则F(x)=∫0xf(t)出为偶函数，从而则(A)(B)(D)均不正确，故应选(C)．5．如图，曲线段的方程为y=f(x)，函数f(x)在区间[0，a]上有连续的导数，则定积分∫0xxf’(x) dx等于A．曲边梯形ABOD的面积．B．梯形ABOD的面积．C．曲边三角形ACD的面积．D．三角形ACD面积．正确答案：C解析：∫0a(x)dx=∫0af(x)=xf(x)|0a一∫0af(x)dx=af(a)一∫0af(x) dx其中af(a)应等于矩形ABOC的面积，∫0af(x)如应等于曲边梯形ABOD的面积，则∫0axf’(x)dx应等于曲边三角形ACD的面积．6．设函数y=f(x)在区间[一1，3]上的图形为则函数F(x)=∫0xf(t)dt的图形为A．B．C．D．正确答案：D解析：由题设知，当x∈(一1，0)时F’(x)=f(x)，而当x∈(一1，0)时f(x)=1＞0，即F’(x)＞0，从而F(x)单调增，显然(A)选项是错误的，因为(A)选项中F(x)在(一1，0)中单调减．由于F(x)=∫0xf(t)dt，则F(0)=0，显然(C)选项错误．由于当x∈(2，3]时f(x)=0，则当x∈(2，3]时F(x)=∫0xf(t)dt=∫02f(t)dt+∫2xf(t)dt=∫02f(t) dt+∫2x0dt=F(2)则(B)是错误的，(D)是正确的．7．设m，n均是正整数，则反常积分的收敛性A．仅与m的取值有关．B．仅与n的取值有关．C．与m，n的取值都有关．D．与m，n的取值都无关．正确答案：D解析：故原反常积分的敛散性与m和n的取值无关．8．设则I，J，K的大小关系为A．I＜J＜K．B．I＜K＜J．C．J＜I＜K．D．K＜J＜I．正确答案：B解析：当x∈(0，)时，sinx＜cosx＜1＜cotx，而lnx为单调增的函数，则lnsinx ＜lncosx ＜lncotx x∈故应选(B)．填空题9．=________．正确答案：解析：10．设函数f(x)=在x=0处连续，则a=________．正确答案：解析：由于f(x)在x=0处连续，则f(x)=a，而11．广义积分=________．正确答案：解析：12．∫01e一xsinnxdx=________．正确答案：0．解析：13．已知∫一∞+∞ek|x|dx=1，则k=________．正确答案：一2．解析：1=∫一∞+∞ek|x| dx=2∫0+∞ekxdx=，(k＜0)k=一2．14．当0≤θ≤π时，对数螺线r=eθ的弧长为________．正确答案：(eπ一1)．解析：所求弧长为解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(解答题)模拟试卷14(题后含答案及解析)
考研数学二（解答题）模拟试卷14(题后含答案及解析) 题型有：1.1．设f(x)在(一∞，+∞)内是连续的偶函数，证明F(x)=∫0x(x一t)f(t)dt也是偶函数．正确答案：由已知条件f(一x)=f(x)，F(一x)=∫0-x(-x-t)f(t)dt，令t=一u，则F(-x)=∫0x(一x+u)d(一u)d(一u)=∫0x(x—u)f(u)du=F(x)，故F(x)=∫0x(x-t)f(t)dt也是偶函数．涉及知识点：函数、极限、连续2．设a1=2，an+1=存在并求其极限值．正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续3．设n阶矩阵(1)求A的特征值和特征向量；(2)求可逆矩阵P，使P-1AP 为对角矩阵．正确答案：(1)1°当b≠0时，｜λE-A｜==[λ-1-(n-1)b][λ-(1-b)]n-1．故A 的特征值为λ1=1+(n-1)n，λ2=…=λn=1-b．对于λ1=1+(n-1)b，设对应的一个特征向量为ξ1，则ξ1=[1+(n-1)b]ξ1解得ξ1=(1，1，…，1)T，所以，属于λ1的全部特征向量为kξ1=k(1，1，…，1)T，其中k为任意非零常数．对于λ2=…=λn=1-b，解齐次线性方程组[(1-b)E-A]x=0，由解得基础解系为ξ2=(1，-1，0，…，0)T，ξ3=(1，0，-1，…，0)T，…，ξn=(1，0，0，…，-1)T．故属于λ2=…=λn的全部特征向量为k2ξ2+k3ξ3+…+knξn，其中k1，k2，…，kn为不全为零的任意常数．2°当b=0时，A=E，A的特征值为λ1=λ2=…=λn=1，任意n维非零列向量均是特征向量．(2)1°当b≠0时，A有n个线性无关的特征向量，令矩阵P=[ξ1，ξ2，…，ξn]，则有P-1AP=diag(1+(n-1)b，1-b，…，1-b)．2°当b=0时，A=E，对任意n阶可逆矩阵P，均有P-1AP=E．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量4．求极限正确答案：0 涉及知识点：高等数学5．已知α1=(1，2，1，1，1)T，α2=(1，—1，1，0，1)T，α3=(2，1，2，1，2)T是齐次线性方程组Ax=0的解，且R(A)=3，试写出该齐次线性方程组Ax=0。
[考研类试卷]考研数学二(多元函数微积分学)模拟试卷14.doc
[考研类试卷]考研数学二（多元函数微积分学）模拟试卷14一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 设其中函数f可微，则=( )（A）2yf'(xy)。
（B）一2yf'(xy)。
（C）（D）2 设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)取得极小值，则下列结论正确的是( )（A）f(x0，y)在y=y0处的导数大于零。
（B）f(x0，y)在y=y0处的导数等于零。
（C）f(x0，y)在y=y0处的导数小于零。
（D）f(x0，y)在y=yo0处的导数不存在。
3 设函数f(x，y)可微，且对任意x，y都有则使不等式f(x1，y1)＜f(x2，y2)成立的一个充分条件是( )（A）x1＞x2，y1＜y2。
（B）x1＞x2，y1＞y2。
（C）x1＜x2，y1＜y2。
（D）x1＜x2，y1＞y2。
4 设函数f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足f(0)＞0，g(0)＜0，且f'(0)=g'(0)=0，则函数z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是( )。
（A）f''(0)＜0，g''(0)＞0。
（B）f''(0)＜0，g''(0)＜0。
（C）f''(0)＞0，g''(0)＞0。
（D）f''(0)＞0，g''(0)＜0。
5 设函数z=f(x，y)的全微分为dz=xdx+ydy，则点(0，0)( )（A）不是f(x，y)的连续点。
（B）不是f(x，y)的极值点。
（C）是f(x，y)的极大值点。
（D）是f(x，y)的极小值点。
6 设f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φy'(x，y)≠0。
已知(x0,y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )（A）若f x'(x0，y0)=0，则f y'(x0，y0)=0。
[考研类试卷]考研数学二(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷21.doc
[考研类试卷]考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷21一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 n阶方阵A有n个互不相同特征值是A与对角矩阵相似的（A）充分必要条件．（B）充分而非必要的条件．（C）必要而非充分条件．（D）既非充分也非必要条件．2 设A、B都是n阶矩阵，则A与B相似的一个充分条件是（A）r(A)=r(B)．（B）｜A｜=｜B｜．（C）A与B有相同的特征多项式．（D）A、B有相同的特征值λ1，…，λn，且λ1，…，λn互不相同．3 设n阶矩阵A与B相似，则（A）λE-A=λE-B．（B）A与B有相同的特征值和特征向量．（C）A和B都相似于同一个对角矩阵．（D）对任意常数t，tE-A与tE-B都相似．4 与矩阵D=相似的矩阵是二、填空题5 设α1=(1，0，-2)T和α2=(2，3，8)T都是A的属于特征值2的特征向量，又向量β=(0，-3，-10)T，则Aβ=_______.6 设4阶矩阵A与B相似，A的特征值为，则行列式｜B-1-E｜=_______．7 设向量α=(1，0，-1)T，矩阵A=ααT，a为常数，n为正整数，则行列式｜aE-A n｜=_______．8 设可逆方阵A有一个特征值为2，则(A2)-1必有一个特征值为_______．9 设可逆方阵A有特征值λ，则(A*)2+E必有一个特征值为_______．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
10 设λ为可逆方阵A的特征值，且x为对应的特征向量，证明：(1)λ≠0；(2)为A-1的特征值，且x为对应的特征向量；(3)为A*的特征值，且x为对应的特征向量．11 设3阶方阵A的特征值为2，-1，0，对应的特征向量分别为α1，α2，α3，若B=A3-2A2+4E，试求B-1的特征值与特征向量．12 已知向量α=(1，k，1)T是A=的伴随矩阵A*的一个特征向量，试求k 的值及与α对应的特征值λ．13 设3阶矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=3，对应的特征向量依次为ξ1=，ξ2，ξ3=，又向量β=(1)将β用ξ1，ξ2，ξ3线性表出；(2)求A nβ(n为正整数)．14 设矩阵A=，｜A｜=-1，A的伴随矩阵A*有一个特征值为λ0，属于λ0的一个特征向量为α=(-1，-1，1)T．求a，b，c和λ0的值．15 已知ξ=是矩阵A=的一个特征向量．(1)试确定a，b的值及特征向量ξ所对应的特征值；(2)问A能否相似于对角阵?说明理由．16 设λ1，λ2是n阶矩阵A的两个不同特征值，x1，x2分别是属于λ1，λ2的特征向量．证明：x1+x2不是A的特征向量．17 设A=有3个线性无关的特征向量，求x与y满足的关系．18 设3阶矩阵A的特征值为-1，1，1，对应的特征向量分别为α1=(1，-1，1)T，α2=(1，0，-1)T，α3=(1，2，-4)T，求A100．19 设3阶矩阵A与对角阵D=相似，证明：矩阵C=(A-λ1E)(A-λ2E)(A-λ3E)=O．20 设矩阵A=相似．(1)求a，b的值；(2)求一个可逆矩阵P，使P-1AP=B．21 设A=，问当k取何值时，存在可逆矩阵P，使得P-1AP成为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵．22 已知矩阵A=有3个线性无关的特征向量，λ=2是A的2重特征值．试求可逆矩阵P，使P-1AP成为对角矩阵．23 下列矩阵是否相似于对角矩阵?为什么?24 设n阶矩阵A≠0，存在某正整数m，使A m=O，证明：A必不相似于对角矩阵．25 设A为3阶矩阵，3维列向量α，Aα，A2α线性无关，且满足3Aα-2A2α-A3α=0，令矩阵P=[α，Aα，A2α]， (1)求矩阵B，使AP=PB； (2)证明A相似于对角矩阵．26 设A为3阶矩阵，｜A｜=6，｜A+E｜=｜A-2E｜=｜A+3E｜=0，试判断矩阵(2A)*是否相似于对角矩阵，其中(2A)*是(2A)的伴随矩阵．27 设A、B均为n阶矩阵，且AB=A-B，A有n个互不相同的特征值λ1，λ2，…，λn，证明：(1)λi≠-1(i=1，2，…，n)； (2)AB=BA； (3)A的特征向量都是B的特征向量； (4)B可相似对角化．28 设A=已知线性方程组Ax=β有解但解不唯一．试求：(1)a 的值；(2)正交矩阵Q．使Q T AQ为对角矩阵．29 设矩阵A=，B=P-1A*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵．30 设矩阵A=的特征值之和为1，特征值之积为-12(b＞0)．(1)求a、b 的值；(2)求一个可逆矩阵P，使P-1AP=A为对角矩阵．31 设矩阵A=可逆，向量α=是矩阵A*的一个特征向量，λ是α对应的特征值．其中A*是A的伴随矩阵．试求a、b和λ的值．32 设α=(a1，2，…，a n)T是R n中的非零向量，方阵A=ααT．(1)证明：对正整数m．存在常数t．使A m=t m-1A，并求出t；(2)求一个可逆矩阵P，使P-1AP=A为对角矩阵．33 设n阶矩阵(1)求A的特征值和特征向量；(2)求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．34 设三阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值，若α1=(1，1，0)T，α2=(2，1，1)T，α3=(-1，2，-3)T都是A的属于特征值6的特征向量． (1)求A 的另一特征值和对应的特征向量； (2)求矩阵A．35 设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，α3=2α2+3α3 (Ⅰ)求矩阵B，使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B； (Ⅱ)求矩阵A的特征值； (Ⅲ)求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．36 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解，求出矩阵A及(A-E)6．。
考研数学二(填空题)高频考点模拟试卷14(题后含答案及解析)
考研数学二（填空题）高频考点模拟试卷14(题后含答案及解析) 题型有：1.1．设f(x)=ax(a＞0，a≠1)，则正确答案：解析：f(1)f(2)…f(n)=a1+2+…+n=则知识模块：高等数学2．=__________。
正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学3．设f′(3)＝2．则＝_______．正确答案：－3 涉及知识点：一元函数微分学4．正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续5．设f(x)=在点x=0处连续，则常数a=________．正确答案：－2解析：f(x)在x=0连续=f(0)．由于因此a=－2．知识模块：极限、连续与求极限的方法6．设f(χ)＝，则∫01(χ)dχ＝_______．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学7．设f(χ)有任意阶导数且f′(χ)＝f3(χ)，则f(n)(χ)＝_______．正确答案：(2n－1)!!f2n+1(χ)．涉及知识点：一元函数的导数与微分概念及其计算8．设z＝z(χ，y)由方程z－mz＝φ(y－nz)所确定(其中m，n为常数，φ为可微函数)，则＝_______．正确答案：1 涉及知识点：多元函数微积分9．设，则常数＝_______。
正确答案：2；涉及知识点：一元函数积分学10．＝_______．正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续11．设f’(0)=1，f(0)=0，则=________．正确答案：解析：原式= 知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算12．＝_______。
正确答案：－3；涉及知识点：行列式13．∫0+∞x7dx=_______正确答案：3解析：知识模块：高等数学部分14．行列式的第4行元素的余子式之和的值为_______．正确答案：－28．涉及知识点：行列式15．积分=______。
正确答案：1一sin1解析：积分区域D如图所示，则有=∫01(1一y)sinydy=1一sin1。
知识模块：多元函数微积分学16．设A，B都是三阶矩阵，A相似于B，且｜E-A｜=｜E-2A｜=｜E-3A｜=0，则｜B-1+2E｜=______．正确答案：60解析：因为｜E-A｜=｜E-2A｜=｜E-3A｜=0，所以A的三个特征值为，1，又A～B，所以B的特征值为，1，从而B-1的特征值为1，2，3，则B-1+2E的特征值为3，4，5，故｜B-1+2E｜=60．知识模块：线性代数17．积分∫02dx∫x2e－y2dy=_________。
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[考研类试卷]考研数学二（向量）模拟试卷14
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 若α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性无关，则( )．
（A）α1可由α2，α3线性表示
（B）α4可由α1，α2，α3线性表示
（C）α4可由α1，α3线性表示
（D）α4可由α1，α2线性表示
2 设向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则向量组( )．
（A）α1＋α2，α2＋α3，α3＋α4，α4＋α1线性无关
（B）α1－α2，α2－α3，α3－α4，α4－α1线性无关
（C）α1＋α2，α2＋α3，α3＋α4，α4－α1线性无关
（D）α1＋α2，α2＋α3，α3－α4，α4－α1线性无关
3 向量组α1，α2，…，αm线性无关的充分必要条件是( )．
（A）向量组α1，α2，…，αm，β线性无关
（B）存在一组不全为零的常数k1，k2，…，k m，使得k1α1＋k2α2＋…＋k mαm≠0（C）向量组α1，α2，…，αm的维数大于其个数
（D）向量组α1，α2，…，αm的任意一个部分向量组线性无关
4 设向量组α1，α2，…，αm线性无关，β1可由α1，α2，…，αm线性表示，但β2不可由α1，α2，…，αm线性表示，则( )．
（A）α1，α2，…，αm-1，β1线性相关
（B）α1，α2，…，αm-1，β1，β2线性相关
（C）α1，α2，…，αm，β1＋β2线性相关
（D）α1，α2，…，αm，β1＋β2线性无关
5 设n维列向量组α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件是( )．
（A）向量组α1，α2，…，αm可由向量组β1，β2，…，βm线性表示
（B）向量组β1，β2，…，βm可由向量组α1，α2，…，αm线性表示
（C）向量组α1，α2，…，αm与向量组β1，β2，…，βm等价
（D）矩阵A＝(α1，α2，…，αm)与矩阵B＝(β1，β2，…，βm)等价
6 设α1，α2，α3线性无关，β1可由α1，α2，α3线性表示，β2不可由α1，α2，α3线性表示，对任意的常数k有( )．
（A）α1，α2，α3，kβ1＋β2线性无关
（B）α1，α2，α3，kβ1＋β2线性相关
（C）α1，α2，α3，β1＋kβ2线性无关
（D）α1，α2，α3，β1＋kβ2线性相关
7 设n阶矩阵A＝(α1，α2，…，αn)，B＝(β1，β2，…，βn)，AB＝(γ1，γ2，…，
γn)，记向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αn；(Ⅱ)：β1，β2，…，βn；(Ⅲ)：γ1，γ2，…，γn，若向量组(Ⅲ)线性相关，则( )．
（A）(Ⅰ)，(Ⅱ)都线性相关
（B）(Ⅰ)线性相关
（C）(Ⅱ)线性相关
（D）(Ⅰ)，(Ⅱ)至少有一个线性相关
8 设向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αs的秩为r1，向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βs的秩为r2，且向量组(Ⅱ)可由向量组(Ⅰ)线性表示，则( )．
（A）α1＋β1，α2＋β2，…，αs＋βs的秩为r1＋r2
（B）向量组α1－β1，α2－β2，…，αs－βs的秩为r1－r2
（C）向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩为r1＋r2
（D）向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩为r1
9 向量组α1，α2，…，αs线性无关的充要条件是( )．
（A）α1，α2，…，αs都不是零向量
（B）α1，α2，…，αs中任意两个向量不成比例
（C）α1，α2，…，αs中任一向量都不可由其余向量线性表示
（D）α1，α2，…，αs中有一个部分向量组线性无关
10 设A为n阶矩阵，且｜A｜＝0，则A( )．
（A）必有一列元素全为零
（B）必有两行元素对应成比例
（C）必有一列是其余列向量的线性组合
（D）任一列都是其余列向量的线性组合
二、填空题
11 设线性相关，则a＝_______．
12 设向量组α1，α2，α3线性无关，且α1＋aα2＋4α3，2α1＋α2－α3，α2＋α3线性相关，则a＝_______．
13 设，且α，β，γ两两正交，则a＝
_______，b＝_______．
14 设A＝(α1，α2，α3，α4)为4阶方阵，且AX＝0的通解为X＝k(1，1，2，－
3)T，则α2由α1，α3，α4表示的表达式为_______．
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15 设向量组α1，α2，α3线性无关，证明：α1＋α2＋α3，α1＋2α2＋3α3，α1＋4α2＋9α3线性无关．
16 设α1，…，αm，β为m＋1个n维向量，β＝α1＋…＋αm(m＞1)．证明：若
α1，…，αm线性无关，则β－α1，…，β－αm线性无关．
17 设α1，α2，…，αn(n≥2)线性无关，证明：当且仅当n为奇数时，α1＋α2，α2＋α3，…，αn＋α1线性无关．
18 设α1，…，αn为n个m维向量，且m＜n．证明：α1，…，αn线性相关．
19 证明：若一个向量组中有一个部分向量组线性相关，则该向量组一定线性相关．
20 n维列向量组α1，…，αn-1线性无关．且与非零向量β正交．证明：α1，…，αn-，β线性无关．
1
21 设向量组α1，…，αn为两两正交的非零向量组，证明：α1，…，αn线性无关，举例说明逆命题不成立．
22 设A为n×m矩阵，B为m×n矩阵(m×n)，且AB＝E．证明：B的列向量组线性无关．
23 设α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn线性无关，而向量组α1，α2，…，αm，γ线性相关．证明：向量γ，可由向量组α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn线性表示．
24 设向量组线性相关，但任意两个向量线性无关．求参数t．
25 设α1，α2，…，αn为n个线性无关的n维向量，且与向量β正交．证明：向量β为零向量．
26 设A为n阶矩阵，α1，α2，α3为n维列向量，其中α1≠0，且Aα1＝α1，Aα2＝α1＋α2，Aα3＝α2＋α3，证明：α1，α2，α3线性无关．。