矩形、菱形综合题
中考数学二轮专题复习-矩形、菱形及正方形及答案详解
中考数学二轮专题复习-矩形、菱形及正方形一、单选题1．下列四边形中，对角线互相垂直平分的是（）A．平行四边形、菱形B．矩形、菱形C．矩形、正方形D．菱形、正方形2．下列测量方案中，能确定四边形门框为矩形的是（）A．测量对角线是否互相平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量对角线是否相等D．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等3．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为（）A．B．C．D．4．如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相似的是（）A．甲与丙B．甲与乙C．乙与丙D．三个矩形都不相似5．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝，AE＝3，则tan∠DBE的值是（）A．B．2C．D．6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，E是边AB的中点，连结OE.若菱形ABCD的面积为24，AC＝8，则OE的长为（）A．B．3C．D．57．如图，在正方形ABCD中，E是边BC上一点，且BE：CE＝1：3，DE交AC于点F，若DE＝10，则CF等于()A．B．C．D．8．如图，矩形中，对角线交于点O，，则矩形的面积是（）A．2B．C．D．89．如图，将长、宽分别为6cm，cm的长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P．若∠α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（）A．cm2 B．（36）cm2C．cm2D．cm210．如图所示，反比例函数的图象经过矩形OABC的边AB的中点，则矩形OABC的面积为（）A．2B．4C．5D．811．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD ，垂足分别为点E，F，连结EF，则△AEF 的面积是（）A．B．C．D．12．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥EF，DF⊥EF，BE=2.5dm，DF=4dm，那么EF的长为（）A．6.5dm B．6dm C．5.5dm D．4dm13．将一矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上的F处，若，则的值为（）A．B．C．D．14．正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为（）A．6B．8C．10D．915．如图，在矩形ABCD中，对角线、BD交于C，，垂足为E，，那么的面积是（）A．B．C．D．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CI⊥HJ于点I，交AB于K，在图形的外部作矩形MNPQ，使点D，E，G和H，J都落在矩形的边上.已知矩形BJIK的面积为1，正方形ACDE的面积为4，则为（）A．B．C．D．17．如图，正方形的边长为a，点E在边上运动（不与点A，B重合），，点F在射线上，且与相交于点G，连接．则下列结论：①，② 的周长为 ，③；④当 时，G 是线段 的中点，其中正确的结论是（ ）A ．①②③B ．①④C ．①③④D ．①②③④ 18．如图，菱形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 上的点，AC 与EF 相交于点G ，若， ，则FG 的长为（ ）A ．B ．2C ．3D ．419．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，以△ABC 的各边为边分别作正方形BAHI ，正方形BCFG 与正方形CADE ，延长BG ，FG 分别交AD ，DE 于点K ，J ，连结DH ，IJ.图中两块阴影部分面积分别记为S 1，S 2.若S 1：S 2＝1：4，S 四边形边BAHE ＝18，则四边形MBNJ 的面积为（ ）A．5B．6C．8D．920．如图，在Rt△ABC中，∠CBA＝60°，斜边AB＝10，分别以△ABC的三边长为边在AB上方作正方形，S1，S2，S3，S4，S5分别表示对应阴影部分的面积，则S1+S2+S3+S4+S5＝（）A．50B．50C．100D．100二、填空题21．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC=OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是正方形，那么所添加的条件可以是(写出一个即可)22．如图，分别以Rt△ABC三边构造三个正方形，面积分别为S1，S2，S3，若S1=15，S3=39，则S2=.23．如图，在平面直角坐标系中，点A1（1，0）、A2（3，0）、A3（6，0）、A4（10，0）、……，以A1A2为对角线作第一个正方形A1C1A2B1，以A2A3为对角线作第二个正方形A2C2A3B2，以A3A4，为对角线作第三个正方形A3C3A4B3，……，顶点B1，B2，B3……都在第一象限，按照此规律依次下去，则点Bn的坐标为.24．如图，菱形ABCD的对角线，BD相交于点，，，以AB为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为.25．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为.26．建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为的正方形四周分别放置四个边长为的小正方形，构造了一个大正方形，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标.现将阴影部分图形面积记作，每一个边长为的小正方形面积记作，若，则的值是.27．如图，正方形ABCD的边长为4，P是边CD上的一动点，EF⊥BP交BP于G，且EF平分正方形ABCD的面积，则线段GC的最小值是.28．正方形ABCD的边长为4，点E是BC边上的一动点，连结AE，过点B作BF⊥AE于点F，以BF为边作正方形FBHG，当点E从B运动到C时，求CF的最短距离为；线段HG扫过的面积为29．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将△BCD沿射线BD平移长度a（a＞0）得到△B'C'D'，连接AB'，AD'，则当△AB'D'是直角三角形时，a的长为.30．如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝16，以PQ 为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为．三、计算题31．如图，在中，，D为的中点，，，连接交于点O.（1）证明：四边形为菱形；（2）若，，求菱形的高.32．如图，已知在矩形ABCD中，AB=6，BC=2，点E，F分别在边CD，AB上，且DE=BF.（1）求证:四边形AFCE是平行四边形；（2）若□AFCE是菱形，求菱形AFCE的边长.四、解答题33．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，AD＝BC，求证：四边形EFGH是菱形．34．如图，矩形ABCD中，BC=4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形A′B′C′D′，此时点B′恰好落在边AD上．连接B′B，若∠AB′B=75°，求旋转角及AB长．35．如图，△ABC中，点D是边AC的中点，过D作直线PQ∥BC，∠BCA的平分线交直线PQ于点E，点G是△ABC的边BC延长线上的点，∠ACG的平分线交直线PQ于点F．求证：四边形AECF是矩形．36．在几何探究问题中，经常需要通过作辅助线（如，连接两点，过某点作垂线，作延长线，作平行线等等）把分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的.（1）（探究发现）如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，，连接EF.通过探究，可发现BE，EF，DF之间的数量关系为（直接写出结果）.（2）（验证猜想）同学们讨论得出下列三种证明思路（如图1）：思路一：过点A作，交CD的延长线于点G.思路二：过点A作，并截取，连接DG.思路三：延长CD至点G，使，连接AG.请选择你喜欢的一种思路证明（探究发现）中的结论.（3）（迁移应用）如图2，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且，，设，试用含的代数式表示DF的长.37．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，D′，E′．设OO′＝t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．①如图②，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当≤S≤5 时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．38．阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边中，是边上一点(不含端点)，是的外角的平分线上一点，且.求证：.点拨：如图②，作，与的延长线相交于点，得等边，连接.易证：，可得；又，则，可得；由，进一步可得又因为，所以，即：.问题：如图③，在正方形中，是边上一点(不含端点)，是正方形的外角的平分线上一点，且.求证：.五、综合题39．将绕点A按逆时针方向旋转度，并使各边长变为原来的n倍，得，如图①，我们将这种变换记为.（1）如图①，对作变换得，则；直线与直线所夹的锐角为度；（2）如图②，中，，对作变换得，使点B、C、在同一直线上，且四边形为矩形，求和n的值；（3）如图③，中，，对作变换得，使点B、C、在同一直线上，且四边形为平行四边形，求和n的值. 40．如图（1）如图1，正方形ABCD与调研直角△AEF有公共顶点A，∠EAF＝90°，连接BE、DF，将△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的角为β，则＝；β＝；（2）如图2，矩形ABCD与Rt△AEF有公共顶点A，∠EAF＝90°，且AD＝2AB，AF＝2AE，连接BE、DF，将Rt△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的角为β，请求出的值及β的度数，并结合图2进行说明；（3）若平行四边形ABCD与△AEF有公共项点A，且∠BAD＝∠EAF＝α(0°＜α＜180°)，AD＝kAB，AF＝kAE(k≠0)，将△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的锐角的度数为β，则：①＝；②请直接写出α和β之间的关系式．答案解析部分【解析】【解答】解：∵平行四边形对角线互相平分，菱形对角线互相垂直平分，矩形对角线互相平分且相等，正方形对角线互相垂直平分且相等，∴A、B、C不符合题意，D符合题意.故答案为：D.【分析】根据平行四边形对角线互相平分，菱形对角线互相垂直平分，矩形对角线互相平分且相等，正方形对角线互相垂直平分且相等，即可得出答案.【解析】【解答】解：A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，而对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，∴选项A不符合题意；B、∵两组对边分别相等是平行四边形，∴选项B不符合题意；C、∵对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，∴对角线相等的四边形不是矩形，∴选项C不符合题意；D、∵对角线交点到四个顶点的距离都相等，∴对角线互相平分且相等，∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴选项D符合题意.故答案为：D.【分析】利用对角线互相平分且相等的四边形是矩形，可作出判断.【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD=90°，∴BD=2OH，∵OH=2，∴BD=4，∵OA=3，∴AC=6，∴菱形ABCD的面积．故答案为：A．【分析】根据菱形的性质和直角三角形斜边上的中线定理求出对角线的长即可求出菱形的面积。
初中数学 矩形、菱形与正方形测试题含答案
矩形、菱形与正方形测试题一、选择题1．能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（）．（A）AB∥CD，AD=BC; （B）∠A=∠B，∠C=∠D;（C）AB=CD，AD=BC; （D）AB=AD，CB=CD2．在给定的条件中，能画出平行四边形的是（）．（A）以60cm为一条对角线，20cm、34cm为两条邻边;（B）以6cm、10cm为对角线，8cm为一边;（C）以20cm、36cm为对角线，22cm为一边;（D）以6cm为一条对角线，3cm、10cm为两条邻边3．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）（A）对角线互相平分; （B）对角线相等;（C）对角线平分一组对角; （D）对角线互相垂直4．在下列说法中不正确的是（）（A）两条对角线互相垂直的矩形是正方形;（B）两条对角线相等的菱形是正方形;（C）两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形;（D）两条对角线垂直且相等的四边形是正方形5．下列说法不正确的是（）（A）对角线相等且互相平分的四边形是矩形;（B）对角线互相垂直平分的四边形是菱形;（C）一组对边平行且不等的四边形是梯形;（D）一边上的两角相等的梯形是等腰梯形6．不能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（）（A）AB=CD，AD=BC （B）AB//CD（C）AB=CD，AD∥BC （D）AB∥CD，AD∥BC7．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判定它为正方形的题设是（）（A）AO=CO，BO=DO; （B）AO=CO=BO=DO;（C）AO=CO，BO=DO，AC⊥BD; （D）AO=BO=CO=DO，AC⊥BD8．下列说法不正确的是（）（A）只有一组对边平行的四边形是梯形;（B）只有一组对边相等的梯形是等腰梯形;（C）等腰梯形的对角线相等且互相平分;（D）在直角梯形中有且只有两个角是直角9．如图1，在□ABCD中，MN分别是AB、CD的中点，BD分别交AN、CM于点P、Q，在结论：①DP=PQ=QB ②AP=CQ ③CQ=2MQ ④S △ADP=14S ABCD中，正确的个数为（）．（A）1 （B）2 （C）3 （D）4(1) (2) (3)10．如图2，在梯形ABCD中，AD∥CB，AD=2，BC=8，AC=6，BD=8，则梯形ABCD的面积为（）．（A）24 （B）20 （C）16 （D）12二、填空题11．在□ABCD中，AC与BD交于O，则其中共有_____对全等的三角形．12．矩形的对角线相交成的角中，有一个角是60°，这个角所对的边长为20cm，则其对角线长为_______，矩形的面积为________．13．一个菱形的两条对角线长分别为6cm，8cm，这个菱形的边长为_______，•面积S=______．14．如果一个四边形的四个角的比是3：5：5：7，则这个四边形是_____形．15．如图3，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，BC=8，AB=6，AD=5，则△CDE的周长是________．16．如图4，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠AEB=_______．(4) (5) (6)17．在长为1.6m，宽为1.2m的矩形铅板上，剪切如图5所示的直角梯形零件（•尺寸单位为mm），则这块铅板最多能剪出______个这样的零件．18．如图6，ABCD中，过对角线交点O，引一直线交BC于E，交AD于F，若AB=2.4cm，BC=4cm，OE=1.1cm，则四边形CDFE周长为________．19．已知等腰梯形的一个锐角等于60•°，•它两底分别为15cm，•49cm，•则腰长为_______．20．已知等腰梯形ABCD中AD∥BC，BD平分∠ABC，BD•⊥DC，•且梯形ABCD•的周长为30cm，则AD=_____．三、计算题21．如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，AD=3cm，BC=7cm，•DE•⊥BC 于E，试求DE的长．四、证明题22．如图，已知四边形ABCD中，AC=BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，求证：四边形EFGH是菱形．23．已知如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AM=MB，DN=NC．求证：MN∥BC，MN=12（BC+AD）．答案:1．（C） 2．（C） 3．（B） 4．（D） 5．（D）6．（C） 7．（D） 8．（C） 9．（C） 10．（A）11．4 12．40cm 4003cm213．5cm 24cm2 14．直角梯形15．15 16．15° •17．12 18．8.6cm 19．34cm20．如图，作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，∴AD=EF，设BE=x．则AB=2x，DC=2x，FC=x，∴BD平分∠ABC，∴∠DBC=30°．∴DC=12BC，∴BC=4x．∴EF=2x=AD．又∵AB+BC+CD+AD=30，∴4x+6x=30，x=3，∴AD=6（cm）．21．过D点作DF∥AC，交BC的延长线于点F，则四边形ACFD为平行四边形，•所以AC=DF，AD=CF．因为四边形ABCD为等腰梯形，所以AC=BD，所以BD=DF，又已知AC⊥BD，DF∥AC，•所以BD⊥DF，则△BDF为等腰直角三角形．又因为DF⊥BC，所以DE=12BF=12（BC+CF）=12（BC+AD）=12（7+3）=5（cm）．22．证明：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EF=12AC，HG=12AC，FG=12BD，EH=12BD．∴EF=HG=12AC，FG=EH=12BD．又∵AC=BD，∴EF=HG=FG=EH．∴四边形EFGH是菱形．23．证明：如图，连接AN并延长，交BC的延长线于点E．∵DN=NC，∠1=∠2，∠D=∠3，∴△ADN≌△ECN，∴AN=EN，AD=EC．又AM=MB，∴MN是△ABE的中位线．∴MN∥BC，MN=12BE（三角形中位线定理）∵BE=BC+CE=BC+AD，∴MN=12（BC+AD）．。
苏科版数学八年级下册 9.4矩形菱形正方形大题综合练习(含答案解析)
苏科版数学八年级下册9.4矩形菱形正方形大题综合练习1.如图菱形ABCD中，∠ADC=60°，M、N分别为线段AB，BC上两点，且BM=CN，且AN，CM所在直线相交于E.（1）证明△BCM≌△CAN；（2）∠AEM=________°；（3）求证DE平分∠AEC；（4）试猜想AE，CE，DE之间的数量关系并证明.【答案】（1）证明：如图1中，连接AC．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∵∠ADC=60°，∴△ACD，△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠B=∠ACN=60°，在△BCM和△CAN中，{BC=AC∠B=∠ACNBM=CN，∴△BCM≌△CAN（2）60（3）证明：如图2中，作DG⊥AN于G．DH⊥MC交MC的延长线于H．∵∠AEM=60°，∴∠AEC=120°，∵∠DGE=∠H=90°，∴∠GEH+∠GDH=180°，∴∠GDH=∠ADC=60°，∴∠ADG=∠CDH ，在△DGA 和△DHC 中，{∠DGA =∠H =90∘∠ADG =∠CDH DA =DC，∴△DGA ≌△DHC ，∴DG=DH ，∵DG ⊥AN ，DH ⊥MC ，∴∠DEG=∠DEH ．∴DE 平分∠AEC ．（4）证明：结论：EA+EC=ED ．理由如下：如图2中，由（3）可知，∠GED=60°，在Rt △DEG 中，∵∠EDG=30°，∴DE=2EG ，易知△DEG ≌△DEH ，∴EG=EH ，∴EA+EC=EG+AG+EH-CH ，∵△DGA ≌△DHC ，∴GA=CH ，∴EA+EC=2EG=DE ，∴EA+EC=ED.【解析】【解答】解：（2）如图1中，∵△BCM ≌△CAN ，∴∠BCM=∠CAN ，∴AEM=∠ACE+∠EAC=∠ACE+∠BCM=60°．故答案为60．【分析】(1)连接AC，因为∠ADC=60°，利用菱形四边相等的性质，可知△ADC为等边三角形，所以AC=BC ,又因为菱形的对角线平分一组对角，所以∠ACN=60°=∠B，因为BM=CN，所以△BCM≌△CAN；（2）因为∠AEM=∠CEN，对顶角相等，由全等可知∠AEM=∠CEN=∠B=60°；（3）过点D做AE、CM两边的垂线，利用角角边可得到△DHC≌△DGA，可得DH=DG，再用角平分线的性质，到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上；（4）由全等可知EA+EC=2EG，又因为在Rt△中30°的角所对的边等于斜边的一半，所以EA +EC=DE.2.综合：（1）如图1，纸片▱ABCD中，AD=5，S▱ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE'的位置，拼成四边形AEE'D，则四边形AEE'D的形状为A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 正方形（2）如图2，在（1）中的四边形纸片AEE'D中，在EE'上取一点F，使EF=4，剪下△AEF，剪下△AEF，将它平移至△DE'F'的位置，拼成四边形AFF'D．①求证：四边形AFF'D是菱形；②求四边形AFF'D的两条对角线的长．【答案】（1）C（2）解：如图2中，①证明：∵AD=5，S□ABCD=15，∴AE=3．又∵在图2中，EF=4，∴在Rt△AEF中，AF═5．∴AF=AD=5，又∵AF∥DF'，AF=DF，∴四边形AFF'D是平行四边形．∴四边形AFF'D是菱形．②解：连接AF'，DF，在Rt△DE'F中，∵E'F=E'E﹣EF=5﹣4=1，DE'=3，∴DF═√E′D2+E′F2= √10．在Rt△AEF'中，∵EF'=E'E+E'F'=5+4=9，AE=3，∴AF'═√AE2+EF′2= √32+92=3 √10【解析】【解答】（1）解：如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∵BE=CE′，∴AD∥EE′，AD=EE′，∴四边形AEE′D是平行四边形，∵∠AEE′=90°，∴四边形AEE′D是矩形，故选C．【分析】（1）根据矩形的判定方法即可判定；（2）①通过计算证明AF=AD=5，证明四边形AFF′D是平行四边形即可；②连接AF'，DF，分别利用勾股定理计算即可；3.如图，正方形ABCD中，AB=4，P是CD边上的动点（P点不与C、D重合），过点P作直线与BC的延长线交于点E，与AD交于点F，且CP=CE，连接DE、BP、BF，设CP═x，△PBF 的面积为S1，△PDE的面积为S2．（1）求证：BP⊥DE．（2）求S1﹣S2关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．（3）分别求当∠PBF=30°和∠PBF=45°时，S1﹣S2的值．【答案】（1）解：如图1中，延长BP交DE于M．∵四边形ABCD是正方形，∴CB=CD，∠BCP=∠DCE=90°，∵CP=CE，∴△BCP≌△DCE，∴∠BCP=∠CDE，∵∠CBP+∠CPB=90°，∠CPB=∠DPM，∴∠CDE+∠DPM=90°，∴∠DMP=90°，∴BP⊥DE．（2）解：由题意S1﹣S2= 12（4+x）•x﹣12•（4﹣x）•x=x2（0＜x＜4）．（3）解：①如图2中，当∠PBF=30°时，∵∠CPE=∠CEP=∠DPF=45°，∠FDP=90°，∴∠PFD=∠DPF=45°，∴DF=DP，∵AD=CD，∴AF=PC，∵AB=BC，∠A=∠BCP=90°，∴△BAF≌△BCP，∴∠ABF=∠CBP=30°，∴x=PC=BC•tan30°= 4√3，3∴S1﹣S2=x2= 16．3②如图3中，当∠PBF=45°时，在CB上截取CN=CP，理解PN．由①可知△ABF≌△BCP，∴∠ABF=∠CBP，∵∠PBF=45°，∴∠CBP=22.5°，∵∠CNP=∠NBP+∠NPB=45°，∴∠NBP=∠NPB=22.5°，∴BN=PN= √2x，∴√2x+x=4，∴x=4 √2﹣4，∴S1﹣S2=（4 √2﹣4）2=48﹣32 √2．【解析】【分析】（1）首先延长BP交DE于M．然后依据SAS可证明△BCP≌△DCE，依据全等三角形的性质可得到∠BCP=∠CDE，由∠CBP+∠CPB=90°，∠CPB=∠DPM，即可推出∠CDE+∠DPM=90°；（2）根据题意可得到S1-S2=S△PBE-S△PDE，然后依据三角形的面积公式列出函数关系式即可；（3）分当∠PBF=30°和∠PBF=45°两种情形分别求出PC 的长，最后再利用（2）中结论进行计算即可.4.如图，在矩形ABCD 中，BC ＞AB ，∠BAD 的平分线AF 与BD ，BC 分别交于点E ，F ，点O 是BD 的中点，直线OK ∥AF ，交AD 于点K ，交BC 于点G ．（1）求证：△DOK ≌△BOG ；（2）探究线段AB 、AK 、BG 三者之间的关系，并证明你的结论；（3）若KD=KG ，BC=2 √2 ﹣1，求KD 的长度．【答案】（1）证明：∵在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠KDO=∠GBO ，∠DKO=BGO ．∵点O 是BD 的中点；∴DO=BO ．在△DOK 和△BOG 中， {∠KDO =∠GBO∠DKO =∠BGO DO =BO∴△DOK ≌△BOG （AAS ）．（2）解：AB+AK=BG ；证明如下：∵四边形ABCD 是矩形；∴∠BAD=∠ABC=90°，AD ∥BC ．又∵AF 平分∠BAD ，∴∠BAF=∠BFA=45°．∴AB=BF ．∵OK ∥AF ，AK ∥FG ，∴四边形AFGK 是平行四边形．∴AK=FG ．∵BG=BF+FG ；∴BG=AB+AK ．（3）解：∵四边形AFGK 是平行四边形．∴AK=FG ，AF=KG又∵△DOK ≌△BOG ，且KD=KG ，∴AF=KG=KD=BG ．设AB=a ，则AF=KG=KD=BG= √2 a ．∴AK=2 √2 ﹣1﹣ √2 a ，FG=BG ﹣BF= √2 a ﹣a ．∴2 √2﹣1﹣√2a= √2a﹣a．解得a=1．∴KD= √2a= √2．【解析】【分析】（1）在矩形ABCD中，AD∥BC，得到∠KDO=∠GBO，∠DKO=BGO，DO=BO，得到△DOK≌△BOG（AAS）；（2）四边形ABCD是矩形，得到∠BAD=∠ABC=90°，AD∥BC，又AF平分∠BAD，得到∠BAF=∠BFA=45°，AB=BF，由OK∥AF，AK∥FG，得到四边形AFGK 是平行四边形，得到AK=FG，BG=BF+FG，即BG=AB+AK；（3）四边形AFGK是平行四边形，得到AK=FG，AF=KG，又△DOK≌△BOG，且KD=KG，得到AF=KG=KD=BG，设AB=a，则AF=KG=KD=BG=√2a，得到AK=2√2﹣1-√2a，FG=BG﹣BF=√2a﹣a，解得a=1，得到KD=√2a=√2．5.综合题（1）感知：如图①，四边形ABCD、CEFG均为正方形．易知BE=DG．（2）探究：如图②，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且∠A=∠F．求证：BE=DG．（3）如图③，四边形ABCD、CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD的延长线上．若AE=3ED，∠A=∠F，△EBC的面积为8，则菱形CEFG的面积为________ ．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD、四边形CEFG均为正方形，∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCD﹣∠ECD=∠ECG﹣∠ECD，即∠BCE=∠DCG，在△BCE和△DCG中，{CB=CD∠BCE=∠DCGCE=CG，∴△BCE≌△DCG，∴BE=DG．（2）∵四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形，∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠A，∠ECG=∠F，∵∠A=∠F，∴∠BCD=∠ECG，∴∠BCD﹣∠ECD=∠ECG﹣∠ECD，即∠BCE=∠DCG，∴△BCE≌△DCG．，∴BE=DG．（3）20【解析】【解答】解：应用：∵四边形ABCD是菱形，S△EBC=8，∴S△AEB+S△EDC=8，∵AE=3DE，∴S△AEB=3S△EDC，∴S△EDC=6，S△EDC=2，∵△BCE≌△DCG，∴S△DGC=S△EBC=8，∴S△ECG=8+2=10，∴菱形CEFG的面积=2•S△EGC=20，故答案为20．【分析】感知：根据正方形的性质，得到BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，得到∠BCE=∠DCG，得到△BCE≌△DCG，BE=DG；探究：由四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形，得到BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠A，∠ECG=∠F，由∠A=∠F，得到∠BCE=∠DCG，△BCE≌△DCG，BE=DG；应用：由四边形ABCD是菱形，△EBC的面积为8，AE=3DE，得到S△AEB=3S△EDC，得到S△EDC=6，S△EDC=2，由△BCE≌△DCG，得到S△DGC=S△EBC=8，S△ECG=8+2=10，所以菱形CEFG的面积=2•S△EGC=20.6.如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y的正半轴上，点B的坐标为（3，4），一次函x+b的图象与边OC、AB分别交于点D、E，并且满足OD=BE．点M是线段DE 数y=23上的一个动点．（1）求b的值；（2）连结OM，若三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3，求点M的坐标；（3）设点N是x轴上方平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点N 的坐标．【答案】（1）解：y=23x+b中，令x=0，解得y=b，则D的坐标是（0，b），OD=b，∵OD=BE，∴BE=b，则E的坐标是（3，4﹣b），把E的坐标代入y=23x+b得4﹣b=﹣2+b，解得：b=3（2）解：S四边形OAED= 12（OD+AE）•OA= 12×（3+1）×3=6，∵三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3，∴S△ODM=1.5．设M的横坐标是a，则12×3a=1.5，解得：a=1，把x=a=1代入y=﹣23x+3得y=﹣23× 43+3= 73．则M的坐标是（1，73）（3）解：当四边形OMDN是菱形时，如图（1），M的纵坐标是32，把y= 32代入y=﹣23x+3，得﹣23x+3= 32，解得：x= 94，则M的坐标是（94，32），则N的坐标是（﹣94，32）；当四边形OMND是菱形时，如图（2）OM=OD=3，设M的横坐标是m，则纵坐标是﹣23m+3，则m2+（﹣23m+3）2=9，解得：m= 3613或0（舍去）．则M的坐标是（3613，1513）．则DM的中点是（1813，2713）．则N的坐标是（3613，5413）．故N的坐标是（﹣94，32）或（3613，5413）．【解析】【分析】（1）首先在一次函数的解析式中令x=0，即可求得D的坐标，则OD的长度即可求得，OD=b，则E的坐标即可利用b表示出来，然后代入一次函数解析式即可得到关于b的方程，求得b的值；（2）首先求得四边形OAED的面积，则△ODM的面积即可求得，设出M的横坐标，根据三角形的面积公式即可求得M的横坐标，进而求得M的坐标；（3）分成四边形OMDN是菱形和四边形OMND是菱形两种情况进行讨论，四边形OMDN 是菱形时，M是OD的中垂线与DE的交点，M关于OD的对称点就是N；四边形OMND是菱形，OM=OD，M在直角DE上，设出M的坐标，根据OM=OD即可求得M的坐标，则根据ON和DM的中点重合，即可求得N的坐标．7.如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2．（1）若DG=6，求AE的长；（2）若DG=2，求证：四边形EFGH是正方形．【答案】（1）解：∵AD=6，AH=2∴DH=AD﹣AH=4∵四边形ABCD是矩形∴∠A=∠D=90°∴在Rt△DHG中，HG2=DH2+DG2在Rt△AEH中，HE2=AH2+AE2∵四边形EFGH是菱形∴HG=HE∴DH2+DG2=AH2+AE2即42+62=22+AE2∴AE= =4（2）证明：∵AH=2，DG=2，∴AH=DG，∵四边形EFGH是菱形，∴HG=HE，在Rt△DHG和Rt△AEH中，，∴Rt△DHG≌Rt△AEH（HL），∴∠DHG=∠AEH，∵∠AEH+∠AHE=90°，∴∠DHG+∠AHE=90°，∴∠GHE=90°，∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质，利用勾股定理列出表达式：HG2=DH2+DG2，HE2=AH2+AE2，再根据菱形的性质，得到等式DH2+DG2=AH2+AE2，最后计算AE的长；（2）先根据已知条件，用HL判定Rt△DHG≌Rt△AEH，得到∠DHG=∠AEH，因为∠AEH+∠AHE=90°，∠DHG+∠AHE=90°，可得菱形的一个角为90°，进而判定该菱形为正方形．8.如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=8，BC=6，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP⊥AD 于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ．设运动时间为t秒．（1）AM=________，AP=________．（用含t的代数式表示）（2）当四边形ANCP为平行四边形时，求t的值（3）如图2，将△AQM沿AD翻折，得△AKM，是否存在某时刻t，①使四边形AQMK为为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由②使四边形AQMK为正方形，则AC等于．【答案】（1）8﹣2t；2+t（2）解：∵四边形ANCP为平行四边形时，CN=AP，∴6﹣t=8﹣（6﹣t），解得t=2（3）解：①存在时刻t=1，使四边形AQMK为菱形．理由如下：∵NP⊥AD，QP=PK，∴当PM=PA时有四边形AQMK为菱形，∴6﹣t﹣2t=8﹣（6﹣t），解得t=1，②要使四边形AQMK为正方形．∵∠ADC=90°，∴∠CAD=45°．∴四边形AQMK为正方形，则CD=AD，∵AD=8，∴CD=8，∴AC=8 √2．【解析】【解答】解：（1）如图1．∵DM=2t，∴AM=AD﹣DM=8﹣2t．∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，NP⊥AD于点P，∴四边形CNPD为矩形，∴DP=CN=BC﹣BN=6﹣t，∴AP=AD﹣DP=8﹣（6﹣t）=2+t；故答案为：8﹣2t，2+t．【分析】（1）由DM=2t，根据AM=AD﹣DM即可求出AM=8﹣2t；先证明四边形CNPD为矩形，得出DP=CN=6﹣t，则AP=AD﹣DP=2+t；（2）根据四边形ANCP为平行四边形时，可得6﹣t=8﹣（6﹣t），解方程即可；（3）①由NP⊥AD，QP=PK，可得当PM=PA时有四边形AQMK为菱形，列出方程6﹣t﹣2t=8﹣（6﹣t），求解即可，②要使四边形AQMK为正方形，由∠ADC=90°，可得∠CAD=45°，所以四边形AQMK为正方形，则CD=AD，由AD=8，可得CD=8，利用勾股定理求得AC即可．9.已知▱OABC的顶点A、C分别在直线x=2和x=4上，O为坐标原点，直线x=2分别与x轴和OC边交于D、E，直线x=4分别与x轴和AB边的交于点F、G．（1）如图，在点A、C移动的过程中，若点B在x轴上，①直线AC是否会经过一个定点，若是，请直接写出定点的坐标；若否，请说明理由．②▱OABC是否可以形成矩形？如果可以，请求出矩形OABC的面积；若否，请说明理由．③四边形AECG是否可以形成菱形？如果可以，请求出菱形AECG的面积；若否，请说明理由．（2）在点A 、C 移动的过程中，若点B 不在x 轴上，且当▱OABC 为正方形时，直接写出点C 的坐标．【答案】（1）解：①是，经过定点（3，0）．理由如下：如图1中，连接AC 交OB 于K ．∵四边形OABC 是平行四边形，∴OK=KB ，BC ∥OA ，BC=OA ，∴∠CBF=∠AOD ，在△DOA 和△FBC 中，{∠ODA =∠CFB =90°∠AOD =∠CBF OA =BC，∴△DOA ≌△FBC ，∴OD=FB=2，∴OB=6，∵OK=KB ，∴OK=3，∴K （3，0），∴直线AC 经过定点K （3，0）．②可以．利用如下：当∠OCB=90°时，四边形OABC 是矩形，由（1）可知△DOA ≌△FBC ，∴OD=BF=2，∵∠OCF+∠FCB=90°，∠FCB+∠CBF=90°，∴∠OCF=∠CBF，∵∠CFO=∠CFB，∴△CFO∽△BFC，∴CFBF = OFCF，∴CF2= 4CF，∴CF=2 √2，∴S矩形OABC=2•S△OBC=2× 12× 6×2√2=12 √2．③可以．理由如下：如图3中，易知当OE=EC=AE时，四边形AECG是菱形．由（1）可知，△DOA≌△FBC，∴AD=CF，∵DE= 12CF，设DE=x，则AD=CF=2x，OE=AE=3x，在Rt△ADE中，∵OE2=OD2+DE2，∴9x2=x2+4，∴x= √22，∴AE= 3√22，∴S菱形AECG=AE•DF= 3√22×2=3 √2（2）解：如图4中，当四边形OABC是正方形时，易证△DOA≌△FCO，∴OD=CF=2，∴点C坐标（4，2），根据对称性C′（4，﹣2）时，也满足条件．综上所述，点C坐标为（4，2）或（4，﹣2）【解析】【分析】（1）①是，经过定点（3，0）．如图1中，连接AC交OB于K，只要证明OD=FB=2，推出OB=6，即可解决问题．②当∠OCB=90°时，四边形OABC是矩形，由（1）可知△DOA≌△FBC，推出OD=BF=2，由△CFO∽△BFC，可得CFBF = OFCF，由此即可解决问题．③可以．如图3中，易知当OE=EC=AE时，四边形AECG是菱形．由（1）可知，△DOA≌△FBC，推出AD=CF，易知DE= 12CF，设DE=x，则AD=CF=2x，OE=AE=3x，在Rt△ADE中，根据OE2=OD2+DE2，列出方程即可解决问题．（2）如图4中，当四边形OABC是正方形时，易证△DOA≌△FCO，推出OD=CF=2，推出点C坐标（4，2），根据对称性C′（4，﹣2）时，也满足条件．10.如图1，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的顶点C、A分别在x、y轴上，A（0，6）、E（0，2），点H、F分别在边AB、OC上，以H、E、F为顶点作菱形EFGH（1）当H（﹣2，6）时，求证：四边形EFGH为正方形（2）若F（﹣5，0），求点G的坐标（3）如图2，点Q为对角线BO上一动点，D为边OA上一点，DQ⊥CQ，点Q从点B出发，沿BO方向移动．若移动的路径长为3，直接写出CD的中点M移动的路径长为________．【答案】（1）证明：如图1中，∵E（0，2），H（﹣2，6），∴OE=AH=2，∵四边形ABCO是正方形，∴∠HAE=∠EOF=90°，∵四边形EFGH是菱形，∴EH=EF，在Rt△AHE和Rt△OEF中，{AH=EOHE=EF，∴Rt△AHE≌△Rt△OEF，∴∠AEH=∠EFO，∵∠EFO+∠FEO=90°，∴∠AEH+∠FEO=90°，∴∠HEF=90°，∴四边形EFGH是正方形（2）解：如图1中，连接GE、FH交于点K．∵F（﹣5，0），E（0，2），∴OF=5，OE=2，EA=4，∵HE=EF，∴52+22=42+AH2，∴AH= √13，∴H（﹣√13，6），∵四边形EFGH是菱形，∴HK=KF，KE=KG，设G（m，n），则有m+02= −5−√132，n+22= 6+02，∴m=﹣5﹣√13，n=4，∴G（﹣5﹣√13，4）（3）3√22【解析】【解答】（3）解：如图2中，如图2中，作MN⊥CO于M．∵MN∥OD，CM=MD，∴CN=ON，∴MN垂直平分线段CO，∴点M在线段OC的垂直平分线上运动，如图3中，易知当点Q与B重合时，点M与BD的中点N重合，当BQ=3时，作EQ⊥BC于E，延长EQ交OA于F，延长OM交BC于H，连接NM（线段MN的长即为点M的运动轨迹的长），∵QC=QD，∠CEQ=∠QFD，易证∠ECQ=∠FQD，∴△EQC≌△FDQ，∴EQ=DF=BE= 3√22，CE=OF=6﹣3√22，∴DO=6﹣3 √2，∵CM=DM，∠CMH=∠OMD，∠CHM=∠DOM，∴△HMC≌△OMD，∴OM=HM，CH=OD=6﹣3 √2，BH=3 √2，∵ON=NB，∴MN= 12BH= 3√22，∴点M的运动的路径的长为3√22．故答案为3√2．2【分析】（1）只要证明Rt△AHE≌△Rt△OEF，推出∠AEH=∠EFO，由∠EFO+∠FEO=90°，推出∠AEH+∠FEO=90°，推出∠HEF=90°，即可解决问题．（2）如图1中，连接GE、FH交于点K．首先求出点H的坐标，设G（m，n），根据中点坐标公式，列出方程组即可解决问题．（3）如图2中，作MN⊥CO于M．由MN∥OD，CM=MD，推出CN=ON，推出MN 垂直平分线段CO，推出点M在线段OC的垂直平分线上运动，如图3中，易知当点Q与B 重合时，点M与BD的中点N重合，当BQ=3时，作EQ⊥BC于E，延长EQ交OA于F，延长OM交BC于H，连接NM（线段MN的长即为点M的运动轨迹的长），想办法求出BH 的长，即可利用三角形的中位线定理解决问题．11.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,点P,Q分别是AB, AC上的一动点,且满足BP=AQ,D 是BC的中点.（1）求证:△PDQ是等腰直角三角形.（2）当点P运动到什么位置时,四边形APDQ是正方形,并说明理由.【答案】（1）证明：连接AD.∵△ABC是等腰直角三角形,D是BC的中点,∴AD⊥BC,AD=BD=DC,∠DAQ=∠B,又∵BP=AQ,∴△BPD≌△AQD,∴PD=QD,∠BDP=∠ADQ,∵∠BDP+∠ADP=90°,∴∠ADP+∠ADQ=∠PDQ=90°,∴△PDQ为等腰直角三角形（2）解：当P点运动到AB的中点时,四边形APDQ是正方形;理由如下:由(1)知△ABD为等腰直角三角形,当P为AB的中点时,DP⊥AB,即∠APD=90°,又∵∠BAC=90°,∠PDQ=90°,∴四边形APDQ为矩形,AB,∴四边形APDQ为正方形又∵DP=AP= 12【解析】【分析】连接AD，根据直角三角形的性质可得AD=BD=DC，从而证明△BPD≌△AQD，得到PD=QD，∠ADQ=∠BDP，则△PDQ是等腰三角形；由∠BDP+∠ADP=90°，得出∠ADP+∠ADQ=90°，得到△PDQ是直角三角形，从而证出△PDQ是等腰直角三角形；若四边形APDQ是正方形，则DP⊥AB，得到P点是AB的中点．12.如图，在等边三角形ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边三角形ADE.（1）求∠CAE的度数；（2）取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．【答案】（1）解：在等边三角形ABC中，∵点D是BC边的中点，∴∠DAC＝30°.又∵△ADE为等边三角形，∴∠DAE＝60°.∴∠CAE＝∠DAE－∠DAC＝30°（2）解：由(1)知，∠EAF＝90°，由F为AB的中点知，∠CFA＝90°，∴CF∥EA.在等边三角形ABC中，CF＝AD.在等边三角形ADE中，AD＝EA.∴CF＝EA.∴四边形AFCE为平行四边形．又∵∠CFA＝90°，∴四边形AFCE为矩形．【解析】【分析】根据等边三角形三线合一的特点，易求得∠DAC=30°，则∠CAE=∠DAE-∠DAC．先证明四边形AECF是平行四边形，然后根据∠CFA=∠FAE=90°，由矩形的定义判定四边形AFCE是矩形.13.如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题：（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？【答案】（1）解：四边形ADEF是平行四边形．理由：∵△ABD，△EBC都是等边三角形．∴AD=BD=AB，BC=BE=EC∠DBA=∠EBC=60°∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA．∴∠DBE=∠ABC．在△DBE和△ABC中∵BD=BA∠DBE=∠ABCBE=BC，∴△DBE≌△ABC．∴DE=AC．又∵△ACF是等边三角形，∴AC=AF．∴DE=AF．同理可证：AD=EF，∴四边形ADEF平行四边形（2）解：∵四边形ADEF是矩形，∴∠FAD=90°．∴∠BAC=360°﹣∠DAF﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°．∴∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形（3）解：当∠BAC=60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．理由如下：若∠BAC=60°，则∠DAF=360°﹣∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣60°﹣60°﹣60°=180°．此时，点A、D、E、F四点共线，∴以A、D、E、F为顶点的四边形不存在【解析】【分析】可先证明△DBE≌△ABC ，又∵△ACF是等边三角形，∴AC=AF．∴DE=AF，同理可得AD=EF，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证四边形ADEF是平行四边形；若四边形ADEF是矩形，则∠DAF=90°，又有∠BAD=∠FAC=60°，可得∠BAC=150°，故∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；根据∠BAC=60°时，∠DAF=180°，此时D、A、F三点在同一条直线上，A，D，E，F为顶点的四边形就不存在.14.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB的中点，点E在边BC上，AE=BE，点M是AE的中点，联结CM，点G在线段CM上，作∠GDN=∠AEB交边BC于N．（1）如图2，当点G和点M重合时，求证：四边形DMEN是菱形；（2）证明：如图1，当点G和点M、C不重合时，求证：DG=DN．【答案】（1）证明：如图2中，∵AM=ME．AD=DB，∴DM∥BE，∴∠GDN+∠DNE=180°，∵∠GDN=∠AEB，∴∠AEB+∠DNE=180°，∴AE∥DN，∴四边形DMEN是平行四边形，∵DM== BE，EM== AE，AE=BE，∴DM=EM，∴四边形DMEN是菱形（2）证明：如图1中，取BE的中点F，连接DM、DF．由（1）可知四边形EMDF是菱形，∴∠AEB=∠MDF，DM=DF，∴∠GDN=∠AEB，∴∠MDF=∠GDN，∴∠MDG=∠FDN，∵∠DFN=∠AEB=∠MCE+∠CME，∠GMD=∠EMD+∠CME，、在Rt△ACE中，∵AM=ME，∴CM=ME，∴∠MCE=∠CEM=∠EMD，∴∠DMG=∠DFN，∴△DMG≌△DFN，∴DG=DN【解析】【分析】（1）如图2中，首先证明四边形DMEN是平行四边形，再证明ME=MD 即可证明．（2）如图1中，取BE的中点F，连接DM、DF．只要证明△DMG≌△DFN即可．15.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，分别延长OB，OD到点E，F，使BE=DF，顺次连接A、E、C、F各点．（1）求证：∠FAD=∠EAB．（2）若∠ADC=130°，要使四边形AECF是正方形，求∠FAD的度数．【答案】（1）证明：∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴AD=AB，∠ADB=∠ABD，∴∠ADF=∠ABE，在△FAD与△EAB中，∴△FAD≌△EAB（SAS），∴∠FAD=∠EAB；（2）解：∵四边形AECF对角线互相垂直平分，∴只要∠EAF=90°即得四边形BFDE是正方形，∵∠ADC=130°，∴∠DAB=180°﹣130°=50°∴∠FAD+∠EAB=40°，∵∠FAD=∠EAB，∴∠FAD= ×40°=20°【解析】【分析】（1）由题意易证∠ADF=∠ABE，又因为DF=EB，AD=AB，于是可△FAD≌△EAB，；（2）由已知可得四边形AECF对角线互相垂直平分，只要∠EAF=90°即得四边形AECF是正方形，由∠FAD=∠EAB，再证得∠DAB=50°，可得∠FAD+∠EAB=40°，于是∠FAD= 1×40°=20°．216.某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD 为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：________，②BC，DC，CF之间的数量关系为：________；（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的①，②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB=2，CD=BC，请直接写出GE的长．【答案】（1）垂直；BC=CF+CD（2）解：CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC．理由如下：∵正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△DAB与△FAC中，{AD=AF∠BAD=∠CAFAB=AC，∴△DAB≌△FAC（SAS），∴∠ABD=∠ACF，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=45°．∴∠ABD=180°﹣45°=135°，∴∠BCF=∠ACF﹣∠ACB=135°﹣45°=90°，∴CF⊥BC．∵CD=DB+BC，DB=CF，∴CD=CF+BC ．（3）解：过A 作AH ⊥BC 于H ，过E 作EM ⊥BD 于M ，EN ⊥CF 于N ，如图3所示：∵∠BAC=90°，AB=AC ，∴BC= √2 AB=2 √2 ，AH= 12 BC= √2 ，∴CD= 14 BC= √22 ，CH= 12 BC= √2 ，∴DH= 3√22 ，由（2）证得BC ⊥CF ，CF=BD= 5√22 ，∵四边形ADEF 是正方形，∴AD=DE ，∠ADE=90°，∵BC ⊥CF ，EM ⊥BD ，EN ⊥CF ，∴四边形CMEN 是矩形，∴NE=CM ，EM=CN ，∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°，∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°，∴∠ADH=∠DEM ，在△ADH 与△DEM 中， {∠ADH =∠DEM∠AHD =∠DMEAD =DE， ∴△ADH ≌△DEM （AAS ），∴EM=DH= 3√22 ，DM=AH= √2 ，∴CN=EM= 3√22 ，EN=CM= 3√22 ，∵∠ABC=45°，∴∠BGC=45°，∴△BCG 是等腰直角三角形，∴CG=BC=2 √2 ，∴GN=CG ﹣CN= √22 ， ∴EG= √GN 2+EN 2 = (√22)(3√22)= √5 ． 【解析】【解答】解：（1）①正方形ADEF 中，AD=AF ，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF ，在△DAB 与△FAC 中， {AD =AF∠BAD =∠CAFAB =AC，∴△DAB ≌△FAC （SAS ），∴∠B=∠ACF ，∴∠ACB+∠ACF=90°，即BC ⊥CF ；故答案为：垂直；②△DAB ≌△FAC ，∴CF=BD ，∵BC=BD+CD ，∴BC=CF+CD ；故答案为：BC=CF+CD ；【分析】（1）①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质即可得到结论；②由正方形ADEF 的性质可推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质得到CF=BD ，∠ACF=∠ABD ，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论．（3）根据等腰直角三角形的性质得到BC= √2 AB=2 √2 ，AH= 12 BC= √2 ，求得DH= 3√22 ，根据正方形的性质得到AD=DE ，∠ADE=90°，根据矩形的性质得到NE=CM ，EM=CN ，由角的性质得到∠ADH=∠DEM ，根据全等三角形的性质得到EM=DH= 3√22 ，DM=AH= √2 ，等量代换得到CN=EM= 3√22 ，EN=CM= 3√22，根据等腰直角三角形的性质得到CG=BC=2 √2 ，根据勾股定理即可得到结论．17.如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AO=CO ，BO=DO ，且∠ABC+∠ADC=180°．（1）求证：四边形ABCD 是矩形．（2）DF ⊥AC ，若∠ADF ：∠FDC=3：2，则∠BDF 的度数是多少？【答案】（1）证明：∵AO=CO ，BO=DO ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形（2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2，∴∠FDC=36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO=90°﹣36°=54°，∵四边形ABCD是矩形，∴CO=OD，∴∠ODC=∠DCO=54°，∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°．【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，【解析】根据矩形的判定得出即可；（2）求出∠FDC的度数，根据三角形内角和定理求出∠DCO，根据矩形的性质得出OD=OC，求出∠CDO，即可求出答案．18.如图①，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PE=PA，PE交CD于F．（1）求证：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其它条件不变，若∠ABC=65°，则∠CPE=________度．【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，在△ABP和△CBP中，{AB＝BC∠ABP＝∠CBPPB＝PB，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∵PA=PE，∴PC=PE（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∵PA=PE，∴∠PAE=∠PEA，∴∠CPB=∠AEP，∵∠AEP+∠PEB=180°，∴∠PEB+∠PCB=180°，∴∠ABC+∠EPC=180°，∵∠ABC=90°，∴∠EPC=90°（3）115°【解析】【解答】（3）∠EPC=115°，理由：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，在△ABP和△CBP中，{AB＝BC∠ABP＝∠CBPPB＝PB，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴∠BAP=∠BCP，∵PA=PE，∴∠DAP=∠DCP，∴∠PAE=∠PEA，∴∠CPB=∠AEP，∵∠AEP+∠PEB=180°，∴∠PEB+∠PCB=180°，∴∠ABC+∠EPC=180°．∴∠CPE=180°-∠ABC=180°-65°=115°【分析】（1）根据正方形的性质得到△ABP≌△CBP，得到对应边相等，得到PC=PE；（2）由（1）知△ABP≌△CBP，得到对应边对应角相等，根据等边对等角和两直线平行同旁内角互补，求出∠CPE的度数；（3）根据菱形的性质，得到△ABP≌△CBP，得到得到对应边对应角相等，根据等边对等角和两直线平行同旁内角互补，求出∠CPE的度数.19.实践探究，解决问题如图1，△ABC中，AD为BC边上的中线，则S△ABD=S△ACD．（1）在图2中，E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，且AB=4，AD=8，则S阴影=________；（2）在图3中，E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴影和S平行四边形ABCD 之间满足的关系式为________；（3）在图4中，E、F分别为任意四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴影和S四边形ABCD之间还满足（2）中的关系式吗？若满足，请予以证明，若不满足，说明理由．解决问题：（4）在图5中，E、G、F、H分别为任意四边形ABCD的边AD、AB、BC、CD的中点，并且图中阴影部分的面积为20平方米，求图中四个小三角形的面积和（即S1+S2+S3+S4的值）．【答案】（1）16（2）S阴影=12S平行四边形ABCD（3）解：满足（2）中的关系式，理由如下：连接BD，由图1得S△EBD= 12 S△ABD同理S△BDF= 12S△BDC∴S四边形EBFD=S△EBD+S△BDF= 12S四边形ABCD（4）解：设四边形的空白区域分别为a，b，c，d 由上述性质可以得出：a+S2+S3= 12S△ACD①，c+S1+S4= 12S△ACB②，b+S2+S1= 12S△ABD③，d+S4+S3= 12S△ACD④，①+②+③+④得，a+S2+S3+c+S1+S4+b+S2+S1+d+S4+S3=S四边形ABCD⑤而S四边形ABCD=a+b+c+d+S1+S2+S3+S4+S阴影⑥所以联立⑤⑥得S1+S2+S3+S4=S阴影=20平方米．【解析】【解答】解：（1）∵E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，且AB=4，AD=8，∴S阴影= 12×8×4=16，故答案为：16；（2）∵E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，∴S阴影= 12S平行四边形ABCD；故答案为：S阴影= 12S平行四边形ABCD；【分析】（1）由矩形的性质容易得出结果；（2）由平行四边形的性质容易得出结果；（3）连接BD，由题意得出S△EBD= 12 S△ABD同理S△BDF= 12S△BDC，即可得出结论；（4）设四边形的空白区域分别为a，b，c，d，由（3）可以得出：a+S2+S3= 12S△ACD①，c+S1+S4= 12S△ACB②，b+S2+S1= 12S△ABD③，d+S4+S3= 12S△ACD④，进一步得出结论即可．20.如图，E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE＝DF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若BC＝10，∠BAC＝90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，∵BE=DF，∴AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形．（2）解：∵四边形AECF是菱形，如图所示：∴AE=EC，∴∠1=∠2，∵∠3=90°﹣∠2，∠4=90°﹣∠1，∴∠3=∠4，∴AE=BE，∴BE=AE=CE= 12BC=5．【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得出对边平行且相等，结合已知，可证出AECF是平行四边形；（2）利用菱形的邻边相等的性质，可证出BE=AE=CE= 12BC=5.。
2022年华东师大版八年级数学下册第十九章矩形、菱形与正方形综合练习练习题(精选含解析)
八年级数学下册第十九章矩形、菱形与正方形综合练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，矩形ABCD 的面积为1cm 2，对角线交于点O ；以AB 、AO 为邻边作平行四边形AOC 1B ，对角线交于点O 1；以AB 、AO 1为邻边作平行四边形AO 1C 2B ，…；依此类推，则平行四边形AO 2014C 2015B 的面积为（ ）cmA ．201312 B ．201412 C ．201512 D ．2016122、小明想判断家里的门框是否为矩形，他应该（ ）A ．测量三个角是否都是直角B ．测量对角线是否互相平分C ．测量两组对边是否分别相等D ．测量一组对角是否是直角3、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，对角线AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥AC 交BC 于点E ，EF ⊥BD 于点F ，则OE ＋EF 的值为（ ）A B ．2 C ．52 D ．4、如图，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接EB ，EC ，DB ，添加一个条件，不能使四边形DBCE 成为矩形的是（ ）A ．AB =BE B ．DE ⊥DC C ．∠ADB =90°D ．CE ⊥DE5ABCD 中，点E 是对角线AC 上一点，且EF AB ⊥于点F ，连接DE ，当22.5ADE ∠=︒时，EF =（ ）A ．1B ．2C 1D ．146、如图，点E 是正方形ABCD 的边DC 上一点，把△ADE 绕点A 顺时针旋转90°到△ABF 的位置，若四边形AECF 的面积为144．AE ＝13．则DE 的长为（ ）A ．BC ．4D ．57、如图，在菱形ABCD 中，P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PE BC ⊥于点E ．PF AB ⊥于点F ．若菱形ABCD 的周长为24，面积为24，则PE PF +的值为（ ）A ．4B ．245C ．6D ．4858、如图所示，四边形ABCD 是矩形，过点D 作对角线BD 的垂线，交BC 的延长线于点E ，取BE 的中点F ，连接DF ，DF ＝5，设AB ＝x ，AD ＝y ，则x 2+（y ﹣5）2的值为（ ）A ．10B ．25C ．50D ．759、如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45°后，得到正方形AB ′C ′D ′，边B 'C ′与DC 交于点O ，则∠DOB '的度数为（ ）A ．125°B ．130°C ．135°D ．140°10、如图，把一张长方形纸片ABCD 沿AF 折叠，使B 点落在B '处，若20ADB ∠=︒，要使AB BD '∥，则BAF ∠的度数应为（ ）A．20°B．55°C．45°D．60°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（10小题，每小题4分，共计40分）1、（1）两组对边分别______，菱形的四条边都______．几何语言：∵四边形ABCD是菱形∴AB∥CD，AD∥BCAB＝CD＝AD＝BC（2）菱形的两组对角______，邻角______几何语言：∵四边形ABCD是菱形∴∠BAD＝∠BCD，∠CBA＝∠ADC∠BAD＋∠ADC＝180°∠BCD＋∠CBA＝180°∠BAD＋∠CBA＝180°∠BCD＋∠ADC＝180°（3）菱形的对角线互相______，并且每一条对角线______一组对角．几何语言：∵四边形ABCD 是菱形∴AC ⊥BD ， AC 平分∠BAD ，∠BCD ， BD 平分∠ABC ，∠ADC（4）菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，有______条对称轴，其对称轴为两条对角线所在直线，对称中心为其______的交点．2、一个长方形的周长是22cm ，若这个长方形的长减少2cm ，宽增加3cm ，就可以成为一个正方形，则长方形的长是______cm ．3、如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，已知120AOD ∠=︒， 2.5cm AB =，则矩形对角线BD 的长为_______cm ．4、如图，矩形ABCD 的两条对角线AC ，BD 交于点O ，∠AOB ＝60°，AB ＝3，则矩形的周长为 _____．5、如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AB =1BC =，P 是线段AB 边上的动点（不与点A ，B 重合），将BCP 沿CP 所在直线翻折，得到B CP '△，连接B A '，当B A '取最小值时，则AP 的值为________．6、如图，正方形ABCD 中，E 为CD 上一动点（不含C 、)D ，连接AE 交BD 于F ，过F 作FH AE ⊥交BC 于H ，过H 作HG BD ⊥于G ，连接AH ，EH ．下列结论：①AF FH =；②45HAE ∠=︒；③FH 平分GHC ∠；④2BD FG =，正确的是__（填序号）．7、在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，其所对的对角线长为2，则菱形ABCD 的面积是__．8、如图，矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AD =60COB ∠=︒，BF AC ⊥，交AC 于点M ，交CD 于点F ，延长FO 交AB 于点E ，则下列结论：①FO FC =；②四边形EBFD 是菱形；③OBE CBF △△≌；④3MB =．其中结论正确的序号是______．9、如图在正方形ABCD 中，∠EAF 的两边分别交CB 、DC 延长线于E 、F 点且∠EAF ＝45°，如果BE ＝1，DF ＝7，则EF ＝__．10、如图，菱形ABCD 的周长为40，面积为80，P 是对角线BC 上一点，分别作P 点到直线AB ．AD 的垂线段PE ．PF ，则PE PF +等于______．三、解答题（5小题，每小题6分，共计30分）1、数学兴趣小组的同学发现：一些复杂的图形运动是由若干个图形基本运动组合形成的，如一个图形沿一条直线翻折后再沿这条直线的方向平移，这样的一种图形运动，大家讨论后把它称为图形的“翻移运动”，这条直线则称为（这次运动的）“翻移线”如图1，222A B C ∆就是由ABC ∆沿直线1翻移后得到的．（先翻折，然后再平移）(1)在学习中，兴趣小组的同学就“翻移运动”对应点（指图1中的A 与2A ，B 与2B …）连线是否被翻移线平分发生了争议．对此你认为如何？（直接写出你的判断）(2)如图2，在长方形ABCD 中，8BC =，点,E F 分别是边,BC AD 中点，点G 在边CD 延长线上，联结,AE FG ，如果GDF ∆是ABE ∆经过“翻移运动”得到的三角形．请在图中画出上述“翻移运动”的“翻移线”直线a ；联结AG ，线段AG 和直线a 交于点O ，若OGF ∆的面积为3，求此长方形的边长AB 的长．(3)如图3，M 是（2）中的长方形边BC 上一点，如果1BM =，ABM ∆先按（2）的“翻移线”直线a 翻折，然后再平移2个单位，得到111A B M ∆，联结线段11AA MM 、，分别和“翻移线”a 交于点K 和点H ，求四边形AKHM 的面积．2、如图，ABC 和DBC △中，90ACB DBC ∠=∠=︒，E 是BC 的中点，且ED AB ⊥于点F ，且AB DE =，CD 交AB 于点M ．(1)求证：2BD EC =；(2)求ACM △与BCM 的面积之比．3、如图，已知菱形ABCD 的对角线相交于点O ，延长AB 至点E ，使BE =AB ，连接CE ．(1)求证：BD=EC．(2)若∠E=57°，求∠BAO的大小．4、下面是小明设计的“作菱形ABCD”的尺规作图过程．求作：菱形ABCD．作法：①作线段AC；②作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O；③在直线l上取点B，以O为圆心，OB长为半径画弧，交直线l于点D（点B与点D不重合）；④连接AB、BC、CD、DA．所以四边形ABCD为所求作的菱形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．=，证明：OA OC=，OB OD∴．，∴四边形ABCD为菱形()（填推理的依据）．5、如图，已知在ABC 中，90A ∠=︒，求作正方形ADEF ，使得D ，E ，F 分别在AB ，BC ，AC 上．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】根据“同底等高”的原则可知平行四边形AOC 1B 底边AB 上的高等于BC 的12，则有平行四边形AOC 1B 的面积12，平行四边形AOC 2B 的边AB 上的高等于平行四边形AOC 1B 底边AB 上的高的12，则有平行四边形ABC 3O 2的面积212，…；由此规律可进行求解． 【详解】解：∵O 1为矩形ABCD 的对角线的交点，∴平行四边形AOC 1B 底边AB 上的高等于BC 的12，∴平行四边形AOC 1B 的面积=12×1=12，∵平行四边形AO 1C 2B 的对角线交于点O 2，∴平行四边形AOC 2B 的边AB 上的高等于平行四边形AOC 1B 底边AB 上的高的12，∴平行四边形ABC 3O 2的面积=12×12×1=212， …，依此类推，平行四边形ABC 2014O 2015的面积=201512cm 2．故答案为：C ．【点睛】本题主要考查矩形的性质与平行四边形的性质，熟练掌握矩形的性质与平行四边形的性质是解题的关键．2、A【解析】【分析】根据矩形的判定方法解题．【详解】解：A 、三个角都是直角的四边形是矩形，∴选项A 符合题意； B 、对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴选项B 不符合题意，C 、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴选项C 不符合题意；D 、一组对角是直角的四边形不是矩形，∴选项D 不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查矩形的判定方法，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．3、A【解析】【分析】依据矩形的性质即可得到BOC ∆的面积为2，再根据BOC COE BOE S S S∆=+，即可得到OE EF +的值． 【详解】解：2AB =，4BC =，∴矩形ABCD 的面积为8，AC =12BO CO AC ∴==对角线AC ，BD 交于点O ，BOC ∴∆的面积为2，EF OB ⊥，EO AC ⊥，BOC COE BOE S S S ∆∴=+，即11222CO EO OB EF =⨯+⨯，12)2EO EF ∴=+，)4EO EF +=，∴+EO EF故选：A．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等且互相平分．4、B【解析】【分析】先证明四边形BCED为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，又∵AD=DE，∴DE∥BC，且DE=BC，∴四边形BCED为平行四边形，A、∵AB=BE，DE=AD，∴BD⊥AE，∴□DBCE为矩形，故本选项不符合题意；B、∵DE⊥DC，∴∠EDB=90°+∠CDB＞90°，∴四边形DBCE不能为矩形，故本选项符合题意；C、∵∠ADB=90°，∴∠EDB =90°，∴□DBCE 为矩形，故本选项不符合题意；D 、∵CE ⊥DE ，∴∠CED =90°，∴□DBCE 为矩形，故本选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定等知识，判定四边形BCED 为平行四边形是解题的关键．5、C【解析】【分析】证明67.5CDE CED ∠=∠=︒，则CD CE =AC 的长，得2AE =，证明AFE ∆是等腰直角三角形，可得EF 的长．【详解】 解：四边形ABCD 是正方形，AB CD BC ∴==90B ADC ∠=∠=︒，45BAC CAD ∠=∠=︒， 22AC AB ，22.5ADE ∠=︒，9022.567.5CDE ∴∠=︒-︒=︒，4522.567.5CED CAD ADE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，CDE CED ∴∠=∠，CD CE ∴==2AE ∴=EF AB ⊥，90AFE ∴∠=︒，AFE ∴∆是等腰直角三角形，1EF ∴，故选：C ．【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是在正方形中学会利用等腰直角三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．6、D【解析】【分析】由旋转性质得△ABF ≌△ADE ，再根据全等三角形的性质得到S 正方形ABCD =S 四边形AECF =144进而求得AD =12，再利用勾股定理求解DE 即可．【详解】解：∵△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABF ，∴△ABF ≌△ADE ，∴S △ABF =S △ADE ，∴S 正方形ABCD =S 四边形AECF =144，∴AD =12，在Rt△ADE 中，AE =13，AD =12，由勾股定理得：DE ，【点睛】本题考查旋转性质、全等三角形的性质、正方形的面积公式、勾股定理，熟练掌握旋转性质，得出S 正方形ABCD =S 四边形AECF 是解答的关键．7、A【解析】【分析】连接BP ，通过菱形ABCD 的周长为24，求出边长，菱形面积为24，求出ABC S的面积，然后利用面积法，=+ABC ABP CBP S S S ，即可求出PE PF +的值．【详解】解：如图所示，连接BP ，∵菱形ABCD 的周长为24，∴2446AB BC ==÷=，又∵菱形ABCD 的面积为24，∴24212=÷=ABCS ， ∴12=+=ABC ABP CBP SS S ， ∴111222⋅+⋅=AB PF BC PE ，∴()1122⋅+=AB PE PF ，∵6AB =，∴4PE PF +=，故选：A ．【点睛】本题主要考查菱形的性质，解题关键在于添加辅助线，通过面积法得出等量关系．8、B【解析】【分析】根据题意知点F 是Rt△BDE 的斜边上的中点，因此可知DF =BF =EF =5，根据矩形的性质可知AB =DC =x ，BC =AD =y ，因此在Rt△CDF 中，CD 2+CF 2=DF 2，即可得答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，AB =x ，AD =y ，∴CD =AB =x ，BC =AD =y ，∠BCD =90°，又∵BD ⊥DE ，点F 是BE 的中点，DF =5，∴BF =DF =EF =5，∴CF =5-BC =5-y ，∴在Rt△DCF 中，DC 2+CF 2=DF 2，即x 2+（5-y ）2=52=25，∴x 2+（y -5）2=x 2+（5-y ）2=25，故选：B ．【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半、矩形的性质、勾股定理，做题的关键是利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出BF 的长度．9、C【解析】【分析】连接B ′C ，根据题意得B ′在对角线AC 上，得∠B 'CO =45°，由旋转的性质证出∠OB 'C 是直角，得=45B CO '∠︒，即可得出答案．【详解】解：连接B ′C ，如图所示，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC 平分∠BAD ，∵旋转角∠BAB ′=45°，∠BAC =45°，∴B ′在对角线AC 上，∴∠B 'CO =45°，由旋转的性质得：90AB C B ''∠=∠=︒，AB '=AB =1，∴45B OC '∠=︒∴18045135DOB '∠=︒-︒=︒故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质等知识；熟练掌握正方形的性质和旋转的性质是解题的关键．10、B【解析】【分析】设直线AF 与BD 的交点为G ，由题意易得90DAB ∠=︒，则有70ABD ∠=︒，由折叠的性质可知BAF B AF '∠=∠，由平行线的性质可得B AF BGA '∠=∠，然后可得BAF BGA ∠=∠，进而问题可求解．【详解】解：设直线AF 与BD 的交点为G ，如图所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴90DAB ∠=︒，∵20ADB ∠=︒，∴70ABD ∠=︒，由折叠的性质可知BAF B AF '∠=∠，∵AB BD '∥，∴B AF BGA '∠=∠，∴BAF BGA ∠=∠， ∴180552ABG BAF ︒-∠∠==︒； 故选B ．【点睛】本题主要考查折叠的性质及矩形的性质，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键．二、填空题1、 平行 相等 相等 互补 垂直 平分 两 对角线【解析】略2、8【解析】【分析】设这个长方形的长为xcm ，则长方形的宽为()11x -cm ，由题意得长2-=宽+3．进而得到方程2113x x -=-+，解方程即可得到答案．【详解】解：设这个长方形的长为x cm ，由题意得：2113x x -=-+，216,x ∴=解得：8,x =答：这个长方形的长为8.cm故答案为：8【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，抓住关键语句，表示出正方形的边长，进而利用正方形边长相等得到方程．3、5【解析】【分析】由矩形的性质可证△AOB为等边三角形，可求BO=AB的长，即可求BD的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=CO=BO=DO，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，且AO=BO，∴△ABO为等边三角形，∴AO=BO=AB=2.5，∴BD=5，故答案为：5．【点睛】本题考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是本题的关键，①矩形的对边平行且相等；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等且互相平分．4、663##6【解析】【分析】根据矩形性质得出AD＝BC，AB＝CD，∠BAD＝90°，OA＝OC＝12AC，BO＝OD＝12BD，AC＝BD，推出OA＝OB＝OC＝OD，得出等边三角形AOB，求出BD，根据勾股定理求出AD即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，OA＝OC＝12AC，BO＝OD＝12BD，AC＝BD，∴OA＝OB＝OC＝OD，∵∠AOB ＝60°，OB ＝OA ，∴△AOB 是等边三角形，∵AB ＝3，∴OA ＝OB ＝AB ＝3，∴BD ＝2OB ＝6，在Rt △BAD 中，AB ＝3，BD ＝6，由勾股定理得：AD ＝∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝∴矩形ABCD 的周长是AB +BC +CD +AD ＝故答案为：【点睛】本题考查了矩形性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，关键是求出AD 的长．5【解析】【分析】根据翻转变换的性质可知BC ＝C B '＝1，当A 、B '、C 三点在一条直线上时，A B '有最小值，根据题意作图，过P 点作PH ⊥BC ，PQ ⊥AC ，得到四边形PQCH 是正方形，利用面积法求出PQ 的长，再根据勾股定理求出AP 的长．【详解】解：∵在ABC 中，90ACB ∠=︒，AB =1BC =∴AC2=由翻转变换的性质可知：BC＝C B'＝1，故当A、B'、C三点在一条直线上时，A B'有最小值，过P点作PH⊥BC，PQ⊥AC，∴∠ACB=∠PHC=∠PQC=90°∴四边形PQCH是矩形∵翻转∴△BCP≌△B'CP∴PH=PQ∴四边形PQCH是正方形设PQ=x，则PH=x∵S△ABC=S△APC+S△PBC∴111222BC AC BC PH PQ AC ⨯=⨯+⨯即1111212 222x x⨯⨯=⨯⨯+⨯解得x=2 3∴AQ=2-23=43∴AP【点睛】本题主要考查的是翻转变换的性质、线段的性质，根据题意找到B '的位置是解题的关键．6、①②④【解析】【分析】连接FC ，延长HF 交AD 于点L ．可证ADF CDF ∆∆≌，进而可得FHC FCH ∠=∠，由此可得出FH AF =；再由FH AF =，即可得出45HAE ∠=︒；连接AC 交BD 于点O ，则2BD OA =，证明AOF FGH ≌，即可得出OA GF =，进而可得2BD FG =；过点F 作MN BC ⊥于点N ，交AD 于点M ，由于F 是动点，FN 的长度不确定，而FG OA =是定值，即可得出FH 不一定平分GHC ∠．【详解】解：如图，连接FC ，延长HF 交AD 于点L ．∵BD 为正方形ABCD 的对角线∴45ADB CDF ∠=∠=︒，AD CD =在ADF 和CDF 中45AD CD ADB CDF DF DF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()ADF CDF SAS ∆∆≌∴AF FC =，DCF DAF ∠=∠∵90AFL ∠=︒，90ALH LAF ∠+∠=︒ ，ALH FHC ∠=∠∴90LHC DAF ∠+∠=︒∵DCF DAF ∠=∠，90FCD FCH ∠+∠=︒∴FHC FCH ∠=∠∴FH FC =∴AF FH =故①正确；∵90AFH ∠=︒，AF FH =∴AFH 是等腰直角三角形∴45HAE ∠=︒故②正确；连接AC 交BD 于点O ，则2BD OA =∵90AFO GFH GHF GFH ∠+∠=∠+∠=︒∴AFO GHF ∠=∠在AOF 和FGH 中90AFO GHF AOF FGH AF FH ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()AOF FGH AAS ∆∆≌∴OA GF =∴22BD OA GF ==故④正确．过点F 作MN BC ⊥于点N ，交AD 于点M ，F 是动点∵FN 的长度不确定，而FG OA =是定值∴FN 不一定等于FGFH ∴不一定平分GHC ∠故③错误；故答案为：①②④．【点睛】本题考查了正方形性质，全等三角形判定和性质，角平分线性质和判定，等腰三角形的性质与判定等，熟练掌握全等三角形判定和性质，合理添加辅助线构造全等三角形是解题关键．7、【解析】【分析】根据菱形的性质证得△ABD 是等边三角形，得到OB ，利用勾股定理求出OA ，由菱形的性质求出菱形的面积．【详解】解：如图所示：在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，其所对的对角线长为2，AD AB ∴=，AC BD ⊥，BO DO =，AO CO =，ABD ∴∆是等边三角形，则2AB AD ==，故1BO DO ==，则AO =AC =则菱形ABCD 的面积122=⨯⨯故答案为：【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确得出菱形的另一条对角线的长是解题关键．8、①②③④【解析】【分析】由矩形的性质及垂直平分线的判定和性质可证明①；根据全等三角形的判定和性质及菱形的判定和性质可证明②；由菱形的性质及全等三角形的判定可证明③；根据矩形的性质，含30︒角的直角三角形的性质，勾股定理可证明④．【详解】解：∵四边形ABCD 为矩形，∴AC BD =，∴OA OC OD OB ===，∵60COB ∠=︒，∴OBC 为等边三角形，∴OB BC OC ==，60OBC ∠=︒，∵BF AC ⊥，∴OM MC =，∴FM 是OC 的垂直平分线，∴FO FC =，故①正确；∵AB CD ∥，∴DFE BEF ∠=∠，在DOF 与BOE 中，DOF BOE DFE BEF OD OB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴DOF BOE ≅，∴DF BE =，∵AB CD ∥，∴四边形EBFD 为平行四边形，由①得OBC 为等边三角形，∴60OBC OCB ∠=∠=︒，∴30ACD BCD OCB ∠=∠-∠=︒，∵OD OC =，∴30ACD BDC ∠=∠=︒，∵BF AC ⊥，OBC 为等边三角形，∴30DBE ∠=︒，∴DBF BDC ∠=∠∴DF BF =，∴四边形EBFD 为菱形，②正确；由②可得：OB EF ⊥，∴90BOE BCF ∠=∠=︒，∵AB CD ∥，∴30EBO BDC ∠=∠=︒，∴30EBO FBC ∠=∠=︒，在OBE 与CBF 中，EBO FBC BO BCBOE BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴OBE CBF ≅，③正确；∵四边形ABCD 为矩形，∴BC AD ==∵BF AC ⊥，30FBC ∠=︒，∴12CM BC ==∴3MB ==，④正确，∴正确结论为：①②③④，故答案为：①②③④．【点睛】题目主要考查矩形的性质，菱形的判定定理，全等三角形的判定和性质，含30︒角的直角三角形的性质，勾股定理等，理解题意，综合运用这些性质是解题关键．9、6【解析】【分析】根据题意把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°到AD ，交CD 于点G ，证明△AEF ≌△AGF 即可求得EF ＝DF ﹣BE ＝7﹣1＝6．【详解】解：如图，把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°到DA ，交CD 于点G ，由旋转的性质可知，AG ＝AE ，DG ＝BE ，∠DAG ＝∠BAE ，∵∠EAF ＝45°，∴∠DAG +∠BAF ＝45°，又∵∠BAD ＝90°，∴∠GAF ＝45°，在△AEF 和△AGF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEF ≌△AGF （SAS ）∴EF ＝GF ，∵BE＝1，DF＝7，∴EF＝GF＝DF﹣DG＝DF﹣BE＝7﹣1＝6.故答案为：6．【点睛】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，构造全等三角形是解题的关键，注意旋转性质的应用．10、8【解析】【分析】直接利用菱形的性质得出AB=AD=10，S△ABD=12.5，进而利用三角形面积求法得出答案．【详解】解：∵菱形ABCD的周长为40，面积为80，∴AB=AD=10，S△ABD=40，∵分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，∴12×AB×PE+12×PF×AD=40，∴12×10（PE+PF）=40，∴PE+PF=8．故答案为：8．【点睛】此题主要考查了菱形的性质，正确得出12×AB×PE+12×PF×AD=S△ABD是解题关键．三、解答题1、 (1)“翻移运动”对应点（指图1中的A 与2A ，B 与2)B ⋯连线被翻移线平分(2)3(3)11或10【解析】【分析】（1）画出图形，即可得出结论；（2）作直线EF ，即为“翻移线”直线a ，再由“翻移运动”的性质和三角形面积关系求解即可；（3）分两种情况：①ABM ∆先按（2）的“翻移线”直线a 翻折，然后再向上平移2个单位，②ABM ∆先按（2）的“翻移线”直线a 翻折，然后再向下平移2个单位，由“翻移运动”的性质、梯形面积公式和三角形面积公式分别求解即可．(1)解：如图1，连接2AA ，2BB ⋯，则“翻移运动”对应点（指图1中的A 与2A ，B 与2)B ⋯连线被翻移线平分；(2)解：作直线EF ，即为“翻移线”直线a ，如图2所示：四边形ABCD 是长方形，AB CD ∴=，8AD BC ==，由“翻移运动”的性质得：AB DC GD ==，142AF DF AD ===，O 是AG 的中点，3AOF OGF S S ∆∆∴==， ΔΔ26AFG OGF S S ∴==，AF DF =，ΔΔ6GDF AFG S S ∴==，Δ114622GDF S DG DF DG ∴=⨯=⨯⨯=， 3DG ∴=，3AB ∴=；(3)解：分两种情况：①ABM ∆先按（2）的“翻移线”直线a 翻折，然后再向上平移2个单位，如图3所示：设ABE ∆翻折后的三角形为DCP ∆，连接1PM ，则1112A D B C M P ===，同（2）得：1112KF A D ==，1112HE M P ==，4BE =，1BM =，3ME BE BM ∴=-=，∴四边形AKHM 的面积=梯形ABEK 的面积ABM -∆的面积HME -∆的面积111(331)4313111222=⨯++⨯-⨯⨯-⨯⨯=； ②ABM ∆先按（2）的“翻移线”直线a 翻折，然后再向下平移2个单位，如图4所示：设ABE ∆翻折后的三角形为DCP ∆，连接1PM ，则1112A D B C M P ===，同（2）得：1112KF A D ==，1112HE M P ==，4BE =，1BM =，3ME BE BM ∴=-=，∴四边形AKHM 的面积=梯形AFEM 的面积AFK -∆的面积HME +∆的面积111(34)3413110222=⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯=； 综上所述，四边形AKHM 的面积为11或10．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了长方形的性质、“翻移运动”的性质、梯形面积公式、三角形面积公式等知识，本题综合性强，解题的关键是熟练掌握“翻移运动”的性质和长方形的性质．2、 (1)见解析 (2)12【解析】【分析】（1）易证DEB A ∠=∠，即可证明ACB EBD ∆≅∆，得出BC BD =，根据点E 是BC 的中点即可解题；（2）过点M 作,BC AC 的垂线，交于点,P Q ，证四边形PMQC 为矩形，再证得四边形PMQC 为正方形，得出MP MQ =，根据ACM BCM S AC S BC=． (1)解：证明：90DEB ABC ∠+∠=︒，90A ABC ∠+∠=︒，DEB A ∴∠=∠， 在ACB ∆和EBD ∆中，ACB DBE A DEB AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AAS；∴∆≅∆，()ACB EBD∴=，BC BD点E是BC的中点，∴=，2EC BC∴=；2BD EC(2)BC AC的垂线，交于点,P Q，解：过点M作,∴∠=︒，MP QC MQ PC MPC//,//,90∴四边形PMQC为矩形，=∠=︒，BC BD DBC,90∴△为等腰直角三角形，BCD∴∠=︒，MCP45∴为等腰直角三角形，CPM∴=，CP MP∴四边形PMQC为正方形，∴=，MP MQ11,22ACM BCM SAC MQ S BC MQ =⋅=⋅， ACMBCM S AC S BC ∴=， 12AC BC =， 12ACMBCMSS ∴=． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，等腰直角三角形，正方形的判定及性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定及性质，同时利用等量代换的思想进行求解．3、 (1)见解析(2)33°【解析】【分析】（1）由菱形的性质可得AB =CD =BE ，AB //CD ，可证四边形BECD 是平行四边形，可得BD =EC ；（2）由平行四边形的性质可得BD //CE ，可得∠ABO =∠E =57°，菱形的性质可求∠BAO 的大小．(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =CD ，AB //CD又∵BE =AB ，∴BE =CD ，BE //CD ，∴四边形BECD 是平行四边形∴BD =EC(2)∵四边形BECD是平行四边形，∴BD//CE，∴∠ABO=∠E=57°又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOB=90°∴∠BAO+∠ABO=90°∴∠BAO=90°-∠ABO=33°【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键．，对角线互相垂直的平行四边形为菱形4、（1）见解析；（2）四边形ABCD为平行四边形，BD AC【解析】【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；（2）先证明四边形ABCD为平行四边形，然后利用对角线垂直可判断四边形ABCD为菱形．【详解】解：（1）如图，四边形ABCD为所作；（2）完成下面的证明．=，证明：OA OC=，OB OD∴四边形ABCD为平行四边形，BD AC⊥，∴四边形ABCD为菱形（对角线互相垂直的平行四边形为菱形）．⊥，对角线互相垂直的平行四边形为菱形．故答案为四边形ABCD为平行四边形，BD AC【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定．5、见解析【解析】【分析】作△ABC的角平分线AE，作线段AE的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点F．四边形ADEF即为所求．【详解】解：如图：四边形ADEF即为所求．【点睛】本题考查了基本作图，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．。
2019届中考数学复习《矩形、菱形、正方形》专项训练题含答案
2019届初三数学中考复习矩形、菱形、正方形专项复习练习1．已知平行四边形ABCD，AC，BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是( )A．∠BAC＝∠DCA B．∠BAC＝∠DACC．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADB2. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC＝( )A．5 B．4 C．3.5 D．33. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2，∠ABC＝60°，则BD的长为( )A．2 B．3 C. 3 D．2 34. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是( )A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠BAC＝∠DAC5. 下列说法：①四边相等的四边形一定是菱形；②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形；③对角线相等的四边形一定是矩形；④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分．其中正确的有( )A．4个 B．3个 C．2个 D．1个6. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF.若EF＝2，BD＝2，则菱形ABCD的面积为( )A．2 2 B. 2 C．6 2 D．8 27. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，C E∥BD，DE∥AC，AD＝23，DE＝2，则四边形OCED 的面积( )A．2 3 B．4 C．4 3 D．88. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC ＝23，∠AEO＝120°，则FC的长度为( )A．1 B．2 C. 2 D. 39. 如图，矩形纸片ABCD中，AD＝4 cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点O，若AO＝5 cm，则AB的长为( )A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm10. 如图，在△ABC中，点D是边BC上的点，(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是( )A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形11. 如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CE＝2DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF 交边BC于G，连接AG、CF.下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③EG＝DE＋BG；④AG∥CF；⑤S△FGC ＝3.6.其中正确结论的个数是( )A．2个B．3个C．4个D．5个12. 在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为_______________________．13. 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是___________．14. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝10，则菱形ABCD的面积为_______．15. 如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC＝2BF，连接AE，EF.若AB＝2，AD＝3，则cos∠AEF的值是____．16. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE，AF.(1)证明：AF＝CE；(2)当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．参考答案：1---11 CBDCC AAACD D12. 45°或105°13. ①③④14. 3015.2 216. 解：(1)在△ABC中，点D，E分别是边BC，AB上的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC，DE＝12 AC，∵EF＝2DE，∴EF∥AC，EF＝AC，∴四边形ACEF是平行四边形，∴AF＝CE(2)当∠B＝30°时，四边形ACEF为菱形．理由：在△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝60°，AC＝12AB＝AE，∴△AEC为等边三角形，∴AC＝CE，又∵四边形ACEF为平行四边形．∴四边形ACEF为菱形2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，已知////AB CD EF，那么下列结论正确的是（）A．AD BCDF CE=B．BC DFCE AD=C．CD BCEF BE=D．CD ADEF AF=2．已知二次函数y=（x+m）2–n的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=mnx的图象可能是（）A. B. C. D.3．如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC．给出下列结论：①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④BE2=2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（）A.①③④B.②④C.①②③D.①②③④4．下列所述图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是A．正三角形B．平行四边形C．正五边形D．圆5．在的环湖越野赛中，甲乙两选手的行程(单位：)随时间(单位：)变化的图象如图所示，根据图中提供的信息，下列说法中，错误的是：( )A.出发后1小时，两人行程均为；B.出发后1.5小时，甲的行程比乙多；C.两人相遇前，甲的速度小于乙的速度；D.甲比乙先到达终点.6．下列运算正确的是（）A. B. C. D.7．在数列3、12、30、60……中，请你观察数列的排列规律，则第5个数是( )A．75 B．90 C．105 D．1208．估计的值应在（）A．8和9之间B．9和10之间C．10和11之间D．11和12之间9．下列形状的地砖中，不能把地面作既无缝隙又不重叠覆盖的地砖是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．长方形10．下列说法正确的个数是（）①一组数据的众数只有一个②样本的方差越小，波动性越小，说明样本稳定性越好③一组数据的中位数一定是这组数据中的某一数据④数据：1，1，3，1，1，2的众数为4 ⑤一组数据的方差一定是正数．A．0个B．1个C．2个D．4个11．八年级6班的一个互助学习小组组长收集并整理了组员们讨论如下问题时所需的条件：如图所示，在四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，____，求证：四边形AECF是平行四边形. 你能在横线上填上最少且简捷的条件使结论成立吗？条件分别是：①BE＝DF；②∠B＝∠D；③BAE＝∠DCF；④四边形ABCD是平行四边形．其中A、B、C、D四位同学所填条件符合题目要求的是（）A．①②③④B．①②③C．①④D．④12．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（）A ．43π-B ．83π-C ．83π-D ．843π- 二、填空题13．在实数范围内分解因式：24x -=______________________.14．将一个含有45°角的直角三角板摆放在矩形上，如图所示，若∠1=40°，则∠2=________．15．将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是__________．16．如果在五张完全相同的纸片背后分别写上平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形，打乱后随机抽取其中一张，那么抽取的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率等于_____． 17．如图，已知第一象限内的点A 在反比例函数上，第二象限的点B 在反比例函数上，且OA ⊥OB ，，则k 的值为________________ .18．从0，1，2，3这四个数字中任取3个数，取得的3个数中不含2的概率是________ 三、解答题19．某贮水塔在工作期间，每小时的进水量和出水量都是固定不变的．从凌晨4点到早8点只进水不出水，8点到12点既进水又出水，14点到次日凌晨只出水不进水．下图是某日水塔中贮水量y （立方米）与x （时）的函数图象．（1）求每小时的进水量；（2）当8≤x≤12时，求y与x之间的函数关系式；（3）从该日凌晨4点到次日凌晨，当水塔中的贮水量不小于28立方米时，直接写出x的取值范围．20．某小区应政府号召,开展节约用水活动,效果显著.为了了解该小区节水情况,随机对小区的100户居民节水情况进行抽样调查,其中3月份较2月份的节水情况如图所示.（1）补全统计图;（2）计算这100户居民3月份较2月份的平均节水量;（3）已知该小区共有5000户居民,根据上面的计算结果,估计该小区居民3月份较2月份共节水多少吨?21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上一点，tan∠DBC=43，且BC=6，AD=4．求cosA的值．22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）若直角△ABC的两直角边AB、AC的长是该方程的两个实数根，斜边BC的长为3，求m的值．23．定义：若一个三角形一条边上的高长为这条边长的一半，则称该三角形为这条边上的“半高”三角形，这条高称为这条边上的“半高”，如图，△ABC是BC边上的“半高”三角形．点P在边AB上，PQ∥BC交AC于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，连接MQ．（1）请证明△APQ为PQ边上的“半高”三角形．（2）请探究BM，PM，CN之间的等量关系，并说明理由；（3）若△ABC的面积等于16，求MQ的最小值24．“全民阅读”活动，是中央宣传部、中央文明办和新闻出版总署贯彻落实关于建设学习型社会要求的一项重要举措．读书必须要讲究方法，只有按照一定的方法去阅读，才能取得事半功倍的效果．常用的阅读方法有：A．圈点批注法；B．摘记法；C．反思法：D．撰写读后感法；E．其他方法．某县某中学张老师为了解本校学生使用不同阅读方法读书的情况，随机抽取部分本校中学生进行了调查，通过数据的收集、整理绘制成以下不完整的统计图表，请根据图表中的信息解答下列问题：中学生阅读方法情况统计表（1）请你补全图表中的a，b，c数据：a＝，b＝，c＝；（2）若该校共有中学生960名，估计该校使用“反思法”读书的学生有人；（3）小明从以上抽样调查所得结果估计全县6000名中学生中有1200人采用“撰写读后感法”读书，你同意小明的观点吗？请说明你的理由．（4）该校决定从本次抽取的“其他方法”4名学生（记为甲，乙，丙，丁）中，随机选择2名成为学校阅读宣讲志愿者，请你用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到甲和乙的概率．25．（某中学九年级学生共600人，其中男生320人，女生280人．该校对九年级所有学生进行了一次体育模拟测试，并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表：（1）a＝； b＝；（2）若将该表绘制成扇形统计图，那么Ⅲ类所对应的圆心角是°；（3）若随机抽取的学生中有64名男生和56名女生，请解释“随机抽取64名男生和56名女生”的合理性；（4）估计该校九年级学生体育测试成绩是40分的人数．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．()()22x x +- 14．85° 15．47° 16．3517． 18．14三、解答题19．（1）每小时的进水量为5立方米；（2）当8≤x≤12时，y ＝3x+1；（3）3792x 剟. 【解析】 【分析】（1）由4点到8点只进水时，水量从5立方米上升到25立方米即能求每小时进水量；（2）由图象可得，8≤x≤12时，对应的函数图象是线段，两端点坐标为（8，25）和（12，37），用待定系数法即可求函数关系式；（3）由（2）的函数关系式即能求在8到12点时，哪个时间开始贮水量不小于28立方米，且能求出每小时的出水量；14点后贮水量为37立方米开始每小时减2立方米，即能求等于28立方米的时刻 【详解】解：（1）∵凌晨4点到早8点只进水，水量从5立方米上升到25立方米 ∴（25﹣5）÷（8﹣4）＝5（立方米/时） ∴每小时的进水量为5立方米．（2）设函数y ＝kx+b 经过点（8，25），（12，37）8251237k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：31k b =⎧⎨=⎩∴当8≤x≤12时，y ＝3x+1 （3）∵8点到12点既进水又出水时，每小时水量上升3立方米 ∴每小时出水量为：5﹣3＝2（立方米） 当8≤x≤12时，3x+1≥28，解得：x≥9 当x ＞14时，37﹣2（x ﹣14）≥28，解得：x≤372∴当水塔中的贮水量不小于28立方米时，x 的取值范围是9≤x≤372【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题关键是理解图象中横纵坐标代表的意义并结合题意分析图象的每个分段函数．20．（1）见解析；（2）这100户居民3月份较2月份的平均节水量为1.48 t ；（3）估计该小区5000户居民3月份较2月份共节水7400 t.【解析】【分析】（1）从图中可获得节水量在0.4-0.8t 的有5户，0.8-1.2t 的有20户，1.6-2.0t 的有30户，2.0-2.4t 的有10户，样本共100户，可求得节水1.2-1.6t 的有35户，补全图形即可；（2）运用加权平均数公式把组中值当作每组数据，户数看成权，可求得平均节水量；（3）利用样本估计总体可得结果.【详解】解：(1)100-5-20-30-10=35(户).∴节水1.2~1.6吨的有35户.补全统计图如下.(2)由统计图得每小组中的组中值分别为0.40.82+=0.6,0.8 1.22+=1.0,1.2 1.62+=1.4,1.6 2.02+=1.8,2.0 2.42+=2.2, 所以这100户居民3月份较2月份的平均节水量 =0.65 1.020 1.435 1.830 2.210100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=1.48(t). 答:这100户居民3月份较2月份的平均节水量为1.48 t;(3)由题意可得1.48×5000=7400(t).答:估计该小区5000户居民3月份较2月份共节水7400 t.【点睛】本题考查从统计图表中获取信息的能力，加权平均数的应用和统计中用样本估计总体的思想．21 【解析】【分析】先在Rt △BDC 中，利用锐角三角函数的定义求出CD 的长，由AC=AD+DC 求出AC 的长，然后在Rt △ABC 中，根据勾股定理求出AB 的长，从而求出 cosA 的值．【详解】解：在Rt △BDC 中， tan ∠DBC=43， 且BC=6 ， ∴ tan ∠DBC=DC BC =6DC =43， ∴CD=8，∴AC=AD+DC=12，在Rt △ABC 中，，∴ cosA =ACAB =5. 【点睛】本题主要考查解直角三角形．熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．22．(1)见解析；（2【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式和非负数的性质即可得到结论；（2）根据勾股定理和一元二次方程根的判别式解方程即可得到结论．【详解】（1）∵△＝[﹣（m+2）]2﹣4×2m＝（m ﹣2）2≥0，∴不论m 为何值，该方程总有两个实数根；（2）∵AB 、AC 的长是该方程的两个实数根，∴AB+AC ＝m+2，AB•AC＝2m ，∵△ABC 是直角三角形，∴AB 2+AC 2＝BC 2，∴（AB+AC ）2﹣2AB•AC＝BC 2，即（m+2）2﹣2×2m＝32，解得：m ，∴m又∵AB•AC＝2m ，m 为正数，∴m【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．23．(1)见解析；（2）2PM ＝BM+CN ，理由见解析；（3）5. 【解析】【分析】（1）根据平行相似，证明△APQ ∽△ABC ，利用相似三角形对应边的比等于对应高的比：PQ AK BC AR =，由“半高”三角形的定义可结论；（2）证明四边形PMNQ 是矩形，得PQ ＝MN ，PM ＝KR ，代入AR ＝12BC ，可得结论；（3）先根据△ABC 的面积等于16，计算BC 和AR 的长，设MN ＝x ，则BM+CN ＝8﹣x ，PM ＝QN ＝12（8﹣x ），根据勾股定理表示MQ ，配方可得最小值．【详解】（1）证明：如图，过A 作AR ⊥BC 于R ，交PQ 于K ，∵△ABC 是BC 边上的“半高”三角形，∴AR ＝12BC ， ∵PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC ， ∴PQ AK BC AR=， ∴AK AR 1PQ BC 2==， ∴AK ＝12PQ ， ∴△APQ 为PQ 边上的“半高”三角形．（2）解：2PM ＝BM+CN ，理由是：∵PM ⊥BC ，QN ⊥BC ，∴∠PMN ＝∠MNQ ＝∠MPQ ＝90°，∴四边形PMNQ 是矩形，∴PQ ＝MN ，PM ＝KR ，∵AK ＝12PQ ，AR ＝12BC ， ∴AK+RK ＝12（BM+MN+CN ）， 12PQ+PM ＝12BM+12MN+12CN ， ∴2PM ＝BM+CN ；（3）解：∵△ABC 的面积等于16， ∴12BC AR ⋅＝16， ∵AR ＝12BC ， 1122BC BC ⋅⋅＝16， BC ＝8，AR ＝4，设MN ＝x ，则BM+CN ＝8﹣x ，PM ＝QN ＝12（8﹣x ），∵MQ ==∴当x ＝85时，MQ 有最小值是5．【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是新定义：“半高”三角形，涉及到相似三角形的性质和判定、三角形面积、勾股定理及新定义的理解和运用等知识，解决问题的关键是作辅助线解决问题．24．（1）32，8，10%；（2）96；（3）1200人；（4）16. 【解析】【分析】(1)先根据“摘记法”的频数及其频率求得总人数，再根据频数、频率与总数间的关系可得a 、b 、c 的值；(2)总人数乘以样本中“反思法”学生所占比例可得；(3)利用总人数乘以撰写读后感法的百分比即可解答（4）用树状图表示出四人中随机抽取两人有12种可能，即可解答【详解】解：（1）本次调查的学生有：20÷25%＝80，a ＝80×40%＝32，b ＝80×（100﹣40﹣25﹣20﹣5）%＝80×10%＝8，c ＝（100﹣40﹣25﹣20﹣5）%＝10%，故答案为：32，8，10%；（2）若该校共有中学生960名，估计该校使用“反思法”读书的学生有：960×10%＝96人，故答案为：96；（3）同意小明的观点；理由如下：全县6000名中学生中采用“撰写读后感法”读书的有：6000×20%＝1200人；（4）树状图如图所示，∵从四人中随机抽取两人有12种可能，恰好是甲和乙的有2种可能， ∴抽取两人恰好是甲和乙的概率是21=126．【点睛】此题考查树状图法，扇形统计图，解题关键在于看懂图中数据25．（1）a ＝54；b ＝0.45； （2）72°；（3）“随机抽取64名男生和56名女生”比较合理；（4）该校九年级学生体育测试成绩是40分的人数约为180人．【解析】【分析】（1）先利用一类的频数除以频率计算出总频数c，再用总频数减去其余三类，即可得到a，再用a的频数除以总频数即可得到b（2）圆周角为360°，第三类占总数的0.2，所以第三类的圆心角=360°×0.2（3）根据九年级学生共600人，其中男生320人，女生280人进行反推即可解答（4）利用总人数乘频率即可解答【详解】（1）总频数=36÷0.3=120，a的频数=总频数-36-24-6=54，b频率=54÷120=0.45，a＝54；b＝0.45；（2）0．2×360°=72°；（3）∵6432056280== 120600120600，，∴“随机抽取64名男生和56名女生”比较合理；（4）0.3×600＝180(人)答：该校九年级学生体育测试成绩是40分的人数约为180人．【点睛】此题考查了频数分布表，圆周角，用样本估计总体，熟练掌握运算法则是解题关键2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（）A.此抛物线的解析式是y=﹣15x2+3.5B.篮圈中心的坐标是（4，3.05）C.此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）D.篮球出手时离地面的高度是2m2．下列等式一定成立的是（）A．2a﹣a＝1 B．a2•a3＝a5C．（2ab2）3＝2a3b6D．x2﹣2x+4＝（x﹣2）23．某店在开学初用880元购进若干个学生专用科学计算器，按每个50元出售，很快就销售一空，据了解学生还急需3倍数量这种计算器，由于量大，每个进价比上次优惠1元，该店又用2580元购进所需计算器，该店第一次购进计算器的单价为（）A.20元B.42元C.44元D.46元4．二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（）A．0＜t＜5 B．﹣4≤t＜5 C．﹣4≤t＜0 D．t≥﹣45．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝4，则△CEF的周长为（）A.8B.9.5C.10D.11.56．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么的值是（）A. B. C. D.7．如图，AB∥CD，直线MN与AB、CD分别交于点E、F，FG平分∠EFD，EG⊥FG于点G，若∠CFN＝110°，则∠BEG＝( )A．20°B．25°C．35°D．40°8．如图1，等边△ABD与等边△CBD的边长均为2，将△ABD沿AC方向向右平移k个单位到△A′B′D′的位置，得到图2，则下列说法：①阴影部分的周长为4；②当k＝当k；正确的是( )A．①B．①②C．①③D．①②③9．若x是不等于1的实数，我们把11x-称为x的差倒数，如2的差倒数是11x-＝﹣1，﹣1的差倒数为11(1) --＝12，现已知x1＝13，x2是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，x4是x3的差倒数，…，依此类推，则x2019的值为（）A．﹣13B．﹣2 C．3 D．410．如图，已知直线y＝34x﹣6与x轴、y轴分别交于B、C两点，A是以D（0，2）为圆心，2为半径的圆上一动点，连结AC、AB，则△ABC面积的最小值是（）A．26 B．24 C．22 D．2011．华为手机Mate X在5G网络下能达的理论下载速度为603 000 000B/s，3秒钟内就能下载好1GB的电影，将603 000 000用科学计数法表示为（）A．603×610B．6.03×810C．60.3×710D．0.603×91012．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，折叠△ABC使得点C落在AB边上的E处，连接DE、CE，下列结论：①△DEB是等腰直角三角形；②AB＝AC+CD；③BE BDAC AB；④S△CDE＝S△BDE．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题13．定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线被称为：“直角抛物线”．如图，直线l：y＝15x+b经过点M(0，14)，一组抛物线的顶点B1(1，y1)，B2(2，y2)，B3(3，y3)，…B n(n，y n) (n为正整数)，依次是直线l上的点，第一个抛物线与x轴正半轴的交点A1(x1，0)和A2(x2，0)，第二个抛物线与x轴交点A2(x2，0)和A3(x3，0)，以此类推，若x1＝d(0＜d＜1)，当d为_____时，这组抛物线中存在直角抛物线．14．如图，点为等边内一点，若，，，则的度数是__________．15．如图，正三角形ABC的边长为2，点A，B的圆上，点C在圆内，将正三角形ABC绕点A 逆时针旋转，当边AC第一次与圆相切时，旋转角为_____．16．抛物线 221y x =-的顶点坐标是________．17．命题“若a ＝b ，则a 3＝b 3．”是真命题．它的逆命题“若a 3＝b 3，则a ＝b”是_____（填真或假）命题．18．如图，直线y 1＝mx 经过P(2，1)和Q(－4，－2)两点，且与直线y 2＝kx ＋b 交于点P ，则不等式kx ＋b ＞mx ＞－2的解集为_________________．三、解答题19．关于x 的一次函数y ＝ax+b 与反比例函数y ＝k x（x ＞0）的图象交于点A （m ，4）和点B （4，1）． （1）求m 的值和反比例函数的解析式；（2）求一次函数的解析式．20．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，A （0，4），B （8，0），C （8，4）．（1）试说明四边形AOBC 是矩形．（2）在x 轴上取一点D ，将△DCB 绕点C 顺时针旋转90°得到△D'CB'（点D'与点D 对应）．①若OD ＝3，求点D'的坐标．②连接AD'、OD'，则AD'+OD'是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值及此时点D'的坐标；若不存在，请说明理由．21．抛物线L ：y ＝a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）（常数a≠0）与x 轴交于点A （x 1，0），B （x 2，0），与y 轴交于点C ，且x 1•x 2＜0，AB ＝4，当直线l ：y ＝﹣3x+t+2（常数t ＞0）同时经过点A ，C 时，t ＝1．（1）点C 的坐标是 ；（2）求点A ，B 的坐标及L 的顶点坐标；（3）在如图2 所示的平面直角坐标系中，画出L 的大致图象；（4）将L 向右平移t 个单位长度，平移后y 随x 的增大而增大部分的图象记为G ，若直线l 与G 有公共点，直接写出t 的取值范围．22．从沈阳到大连的火车原来的平均速度是180千米/时，经过两次提速后平均速度为217.8干米/时，这两次提速的百分率相同．（1）求该火车每次提速的百分率；（2）填空：若沈阳到大连的铁路长396千米，则第一次提速后从甲地到乙地所用的时间比提速前少用了小时．23．立定跳远是嘉兴市体育中考的抽考项目之一，某校九年级（1），（2）班准备集体购买某品牌的立定跳远训练鞋．现了解到某网店正好有这种品牌训练鞋的促销活动，其购买的单价y（元/双）与一次性购买的数量x（双）之间满足的函数关系如图所示．（1）当10≤x＜60时，求y关于x的函数表达式；（2）九（1），（2）班共购买此品牌鞋子100双，由于某种原因需分两次购买，且一次购买数量多于25双且少于60双；①若两次购买鞋子共花费9200元，求第一次的购买数量；②如何规划两次购买的方案，使所花费用最少，最少多少元？24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）请用直尺和圆规作∠ABC的平分线，交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；（2）在（1）作出的图形中，若∠A＝30°，BC，则点D到AB的距离等于．25．设a ，b 是任意两个不等实数，我们规定满足不等式a≤x≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a ，b]．对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m≤x≤n 时，有m≤y≤n，我们就称此函数闭区间[m ，n]上的“闭函数”．如函数y ＝﹣x+4．当x ＝1时，y ＝3；当x ＝3时，y ＝1，即当1≤x≤3时，有1≤y≤3，所以说函数y ＝﹣x+4是闭区间[1，3]上的“闭函数”（1）反比例函数2019y x是闭区间[1，2019]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由． （2）若二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣k 是闭区间[1，2]上的“闭函数”，求k 的值；（3）若一次函数y ＝kx+b （k≠0）是闭区间[m ，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式（用含m ，n 的代数式表示）．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．1120、1320、32014．150°15．75°16．（0，-1）17．真18．－4＜x ＜2三、解答题19．（1）m ＝1，y ＝4x ；（2）y ＝﹣x+5； 【解析】【分析】（1）把B 点坐标代入反比例函数解析式，即可求出m 的值，从而求出反比例函数的解析式和m 的值；（2）求得A 点坐标，进而把A 、B 点的坐标代入一次函数y ＝kx+b 的解析式，就可求出a 、b 的值，从而求得一次函数的解析式．【详解】（1）∵点B （4，1）在反比例函数y ＝k x （x ＞0）的图象上， ∴1＝4k ， ∴k ＝4． ∴反比例函数的解析式为y ＝4x∵点A（m，4）在反比例函数y＝4x的图象上，∴4＝4m，∴m＝1．（2）点A（1，4）和点B（4，1）在一次函数y＝ax+b的图象上，∴4 41 a ba b+=⎧⎨+=⎩解得15 ab=-⎧⎨=⎩∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5．【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，能够熟练运用待定系数法求得函数的解析式是解题的关键．20．（1）见解析；（2）①D'的坐标为（4，9），②AD'+OD'，点D'的坐标是（4，2）．【解析】【分析】（1）根据矩形的判定证明即可；（2）①当点D在原点右侧时，根据旋转的性质和矩形的性质解答即可；②当点D在原点左侧时，根据旋转的性质和矩形的性质解答即可．【详解】（1）∵A（0，4），B（8，0），C（8，4）．∴OA＝4，BC＝4，OB＝8，AC＝8，∴OA＝BC，AC＝OB，∴四边形AOBC是平行四边形，∵∠AOB＝90°，∴▱AOBC是矩形；（2）∵▱AOBC是矩形，∴∠ACB＝90°，∠OBC＝90°，∵△D'CB'将△DCB绕点C顺时针旋转90°得到（点D'与点D对应），∴∠D'B'C＝∠DBC＝90°，B'C＝BC＝4，D'B'＝DB，∠BCB'＝90°，即点B'在AC边上，∴D'B'⊥AC，①如图1，当点D在原点右侧时：D'B'＝DB＝8﹣3＝5，∴点D'的坐标为（4，9）；②如图2，当点D在原点左侧时：D'B'＝DB＝8+3＝11，∴点D'的坐标为（4，15），综上所述：点D'的坐标为（4，9）或（4，15）．AD'+OD'，点D'的坐标是（4，2）．【点睛】此题考查四边形的综合题，关键是根据旋转的性质和矩形的性质解答．21．(1) 点C的坐标是（0，3）; （2）A（1，0），B（﹣3，0），L的顶点坐标为（﹣1，4）；(3)见解析；（4）t≥1 2【解析】【分析】(1)把t＝1代入y＝﹣3x+t+2，令x＝0，求得相应的y值，即可得到点C的坐标；(2)根据待定系数法，可得函数解析式；(3)根据描点法，可得函数图象；(3)根据平移规律，可得G的解析式，根据函数与不等式的关系，可得答案．【详解】(1)直线的解析式为y＝﹣3x+3，当x＝0时，y＝3，即C点坐标为(0，3)，故答案为：(0，3)；(2)当y＝0时，﹣3x+3＝0，解得x1＝1，即A(1，0)，由点A(x1，0)，B(x2，0)，且x1•x2＜0，AB＝4，得1﹣x2＝4，解得x2＝﹣3，即B(﹣3，0)；L：y＝a(x﹣1)(x+3)，将C(0，3)坐标代入L，得a＝﹣1，∴L的解析式为y＝﹣(x﹣1)(x+3)，即y＝﹣(x+1)2+4，∴L的顶点坐标为(﹣1，4)；(3)函数图象如图所示：；(4)L向右平移t个单位的解析式为y＝﹣(x+1﹣t)2+4，a＝﹣1＜0，当x≤t﹣1时，y随x的增大而增大．若直线l与G有公共点时，则有当x＝﹣1+t时，G在直线l的上方，即﹣(t﹣1+1﹣t)2+4≥﹣3(t﹣1)+t+2，解得t≥12．【点睛】本题考查了二次函数综合题，解(1)的关键是利用自变量与函数值的对应关系；解(2)的关键是待定系数法；解(3)的关键是描点法，解(4)的关键是利用函数值的大小得出不等式，还利用了函数图象平移的规律．22．（1）该火车每次提速的百分率为10%．（2）0.2．【解析】【分析】(1)设该火车每次提速的百分率为x，根据提速前的速度及经两次提速后的速度，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；(2)利用第一次提速后的速度＝提速前的速度×(1+提速的百分率)可求出第一次提速后的速度，再利用少用的时间＝两地间铁路长÷提速前的速度﹣两地间铁路长÷第一次提速后的速度，即可求出结论．【详解】(1)设该火车每次提速的百分率为x，依题意，得：180(1+x)2＝217.8，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1(舍去)，答：该火车每次提速的百分率为10%；(2)第一次提速后的速度为180×(1+10%)＝198(千米/时)，第一次提速后从甲地到乙地所用的时间比提速前少用的时间为396396180198-＝0.2(小时)，故答案为：0.2．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23．（1）y＝150﹣x；（2）①第一批购买数量为30双或40双．②第一次买26双，第二次买74双最省钱，最少9144元．【解析】【分析】（1）若购买x双（10＜x＜60），每件的单价＝140﹣（购买数量﹣10），依此可得y关于x的函数关系式；（2）①设第一批购买x双，则第二批购买（100﹣x）双，根据购买两批鞋子一共花了9200元列出方程求解即可．分两种情况考虑：当25＜x≤40时，则60≤100﹣x＜75；当40＜x＜60时，则40＜100﹣x＜60．②把两次的花费与第一次购买的双数用函数表示出来．【详解】解：（1）购买x双（10＜x＜60）时，y＝140﹣（x﹣10）＝150﹣x．故y关于x的函数关系式是y＝150﹣x；（2）①设第一批购买x双，则第二批购买（100﹣x）双．当25＜x≤40时，则60≤100﹣x＜75，则x（150﹣x）+80（100﹣x）＝9200，解得x1＝30，x2＝40；当40＜x＜60时，则40＜100﹣x＜60，则x（150﹣x）+（100﹣x）[150﹣（100﹣x）]＝9200，解得x＝30或x＝70，但40＜x＜60，所以无解；答：第一批购买数量为30双或40双．②设第一次购买x双，则第二次购买（100﹣x）双，设两次花费w元．当25＜x≤40时w＝x（150﹣x）+80（100﹣x）＝﹣（x﹣35）2+9225，∴x＝26时，w有最小值，最小值为9144元；当40＜x＜60时，w＝x（150﹣x）+（100﹣x）[150﹣（100﹣x）]＝﹣2（x﹣50）2+10000，∴x＝41或59时，w有最小值，最小值为9838元，综上所述：第一次买26双，第二次买74双最省钱，最少9144元．【点睛】考查了一元二次方程的应用，根据实际问题列一次函数关系式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．24．（1）作图见解析；（2）1.【解析】【分析】（1）根据角平分线的尺规作图可得；（2）作DE⊥AB于E，设DE＝DC＝x，由∠A＝30°，BC AD＝2DE＝2x，AB＝2BC＝由BC2+AC2＝AB2得到关于x的方程，解之可得．【详解】（1）如图所示，BD即为所求；。
人教版八年级下册数学 18.2矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明 习题精选(含答案)
矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明习题精选矩形的性质和判定1．矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，则短边的和为15，则短边的长是________。
2．如图32-3-1，设矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别为S1、S2，则二者的大小关系是：S1____S2。
3．如果矩形一个角的平分线分一边为4 cm和3 cm两部分，那么矩形的周长为_______。
4．现有一张长为40cm, 宽为20 cm的长方形纸片（如图32-3-2所示），要从中剪出长为18 cm，宽为12 cm的长方形纸片，则最多能剪出___张。
5．矩形的一条较短边的长为5 c m，两条对角线的夹角为60°，则它的对角线的长等于_____ cm。
6．如图32-3-3，在矩形ABCD中，CE⊥BD于E，∠DCE：∠ECB=3：1，则∠ACE=____度。
7．下列说法中正确的是( )A．一个角是直角，两条对角线相等的四边形是矩形。
B．一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形。
C．对角线互相垂直的平行四边开是矩形。
D．一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形。
8．四边形ABCD的对角线相交于O，在下列条件中，不能说明它为矩形的是（）A．AB=CD,AD=BC, BAD=90°B．AO=CO，BO=DO，AC=BDC．∠BAD=∠ABC=90°, ∠BAD+∠ADC=180°D．∠BAD=∠BCD, ∠ABC+∠ADC=180°★菱形的性质和判定9．己知菱形的锐角是60°，边长是20 cm，则较长对角线是_____。
10．菱形两条对角线的长分别为6 cm和8 cm，它的高为______。
11．菱形的一个内角是120°，平分这个内角的一条对角钱长为13 cm，则菱形的周长是____。
12．菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是32°，则菱形较小的内角是_____。
矩形菱形正方形练习题和答案
一、性质1、下列性中.矩形具有而质平行四边形不一定具有的是（）A 、对边相等B 、对角相等C 、对角线相等D 、对边平行2 .在矩形ABCD 中.NAOD=130°.则NACB=__3 .已知矩形的一条对角线长是8cm.两条对角线的一个交角为60°.则矩形的周长为4 .矩形ABCD 被两条对角线分成四个小三角形.如果四个小三角形的周长的和是86cm.对角线是13cm.那么矩形的周长是5 .如图所示.矩形ABCD 中.AE ，BD 于E.Nk BAE=30°.BE=1cm.那么DE 的长为 6、直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm 和6cm.则它的面积为7、已知.在Rt△ABC 中出口为斜边AC 上的中线.若NA=35°.那么NDBC 二。
8、如图.矩形ABCD 中.AC 与8口交于。
点.BELAC 于E.CFLBD 于F.求证：BE=CF. 9 .如口图.△ABC 中.NACB=90度.点D 、E 分别为AC 、AB 矩形的习题精选AB的中点.点F在BC延长线上.且/CDF=NA.求证：四边形DECF是平行四边形；10.已知：如图.在aABC中.NBACW90°NABC=2NC.AD±AC.交BC或CB的延长线D。
试说明：DC=2AB.11、在4ABC中.NC=90O.AC=BC.AD=BD.PE^AC于点E.PFLBC于点F。
求证：DE=DF二、判定1、下列检查一个门框是否为矩形的方法中正确的是（C）A.测量两条对角线.是否相等B.测量两条对角线.是否互相平分他用曲尺测量门框的三个角.是否都是直角口.用曲尺测量对角线.是否互相垂直2、平行四边形ABCD.E是CD的中点.4人8£是等边三角形.求证：四边形ABCD是矩形3、在平行四边形ABCD中.对角线AC、BD相交于O.EF过点O.且AF，BC. 求证：四边形AFCE是矩形4、平行四边形ABCD中.对角线AC、8口相交于点。
矩形菱形正方形练习题
矩形菱形正方形练习题一、填空题1、在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．2、在矩形中，如果AB=2,BC=1.,那么AC= ．3、如图，将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠，使点B落在边AD的中点G处，那么四边形BCFE的面积等于．4、如图，甲，乙，丙，丁四个长方形拼成正方形EFGH,中间阴影为正方形，已知，甲、乙、丙、丁四个长方形面积的和是32cm²，四边形ABCD的面积是20cm²．问甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和是______．5、如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是．6、如图，在矩形ABCD中，点F为边CD上一点，沿AF折叠，点D恰好落在BC边上的E点处，若AB=3，BC=5，则的值为．7、如图4，正方形ABCD的边长为2，AE＝EB，MN＝1，线段MN的两端在CB、CD上滑动，当CM＝时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似。
8、矩形中，，，边绕旋转使得点落在射线上处，那么的度数为．9、已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2，EC＝1 （如图所示），把线段AE绕点A 旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为．10、如图4，边长为1的菱形ABCD的两个顶点B、C恰好落在扇形AEF的弧EF上时，弧BC 的长度等于（结果保留）．11、在矩形中，如果AB=2,BC=1,BE⊥AC,AE= .12、如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为正方形，应添加的条件是．13、如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠AEB= .14、如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_______.15、如图，以O为顶点的两条抛物线分别经过正方形的四个顶点A、B、C、D，则阴影部分的面积为______二、选择题16、对角线互相平分且相等的四边形是（）．菱形；．矩形；．正方形；．等腰梯形．17、若一个菱形的一条边长为4cm，则这个菱形的周长为（）（A）20cm （B）18cm （C）16cm （D）12cm18、如图，将边长为12cm的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD上的E点，折痕为MN．若CE的长为8cm，则MN的长为A．12cm B．12．5cm C． cm D．13．5cm19、若一个菱形的一条边长为4cm，则这个菱形的周长为（）（A）20cm （B）18cm （C）16cm （D）12cm20、如图，顺次连结四边形ABCD各中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（）A．AB∥DC B．AB＝DC C．AC⊥BD D．AC＝BD21、已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的有（）①当AB=BC时，它是菱形②当AC⊥BD时，它是菱形③当∠ABC=90时，它是矩形④当AC=BD 时，它是正方形 A．1组 B．2组 C．3组 D．4组22、下列命题中，真命题是（）A．矩形的对角线相互垂直B．顺次连结四边形各边中点所得到的四边形是矩形 C．等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形23、如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长是（）．A．1.6 B．2.5 C．3 D．3.424、如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，过点P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点．设AC＝2，BD＝1，AP＝x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象大致形状是（）．25、如图，在正方形纸片ABCD中，E，F分别是AD、BC的中点，沿过点B的直线折叠，使点C落在EF上，落点为N，折痕交CD边于点M，BM与EF交于点P，再展开．则下列结论中：①CM＝DM；②∠ABN＝30°；③AB2＝3CM2；④△PMN是等边三角形．正确的有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个26、已知四边形中，，如果添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是（）．（A）；（B）；（C）；（D）.27、菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为( )A．2 B．2C．4 D．428、已知四边形中，，如果添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是（）．（A）；（B）；（C）；（D）.29、在下列命题中，真命题是（）（A）两条对角线相等的四边形是矩形（B）两条对角线互相垂直的四边形是菱形（C）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形（D）两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形30、如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为( ) A．2 B．2C．4 D．431、如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是（）. A．2＋ B．2＋2C．12 D．1832、在下列命题中，正确的是（）A．一组对边平行的四边形是平行四边形B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形33、如图，在菱形ABCD中，点E、 F分别是AB、AC的中点，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长是（）A. 24B. 18C. 12D. 634、正方形、正方形和正方形的位置如图所示，点在线段上，正方形的边长为4，则的面积为（）A.10B.12C.14D.1635、如图，四边形的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是( )A. B. C. D.36、下列四边形：①正方形、②矩形、③菱形，对角线一定相等的是A．①②③ B．①② C．①③ D．②③37、如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，AE=3，则tan∠DBE的值是（）A．B．2 C．D．38、一个正方形的面积等于10,则它的边长a满足A. 3＜a＜4B. 5＜a＜6C.7＜a＜8D. 9＜a＜1039、如图，矩形ABCD的对角线AC⊥OF，边CD在OE上，∠BAC＝70°，则∠EOF等于（）A. 10°B. 20°C. 30°D. 70°40、如图，在正方形ABCD中，AB＝3㎝．动点M自A点出发沿AB方向以每秒1㎝的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD—DC—CB以每秒3㎝的速度运动，到达B点时运动同时停止．设△AMN的面积为y（㎝2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是41、如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形三、简答题42、如图，在正方形中，为对角线上一点，联结、，延长交于点．（1）求证：；（2）当时，求证：．43、已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°, ∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由．如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）44、矩形纸片中，，现将这张纸片按下列图示方式折叠，是折痕．（1）如图1，P，Q 分别为，的中点，点的对应点在上，求和的长；（2）如图2，，点的对应点在上，求的长；（3）如图3，，点的对应点在上．①直接写出的长（用含的代数式表示）；②当越来越大时，的长越来越接近于▲．45、已知：如图，菱形中，分别是上的点，且CE=CF．求证：．46、如图，⊙O 的直径AB =8，C 为圆周上一点，AC =4，过点C 作⊙O 的切线l ，过点B 作l 的垂线BD ，垂足为D ，BD 与⊙O 交于点 E ． (1) 求∠AEC 的度数； （2）求证：四边形OBEC 是菱形．47、在正方形ABCD 中，O 是AD 的中点，点P 从A 点出发沿A →B →C →D 的路线匀速运动，移动到点D 时停止。
矩形、菱形、正方形综合测试题
矩形、菱形、正方形辅导练习题（一）一、复习矩形、菱形、正方形有关的性质和判定方法。
二、例题讲解例1、如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，△ABE是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形。
例2、已知如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AE=2。
求：（1）∠ABC的度数；（2）对角线AC、BD的长；（3）菱形ABCD的面积。
例3、如图①，四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.(1) 求证：DE－BF = EF．(2) 当点G为BC边中点时, 试探究线段EF与GF之间的数量关系，并说明理由．(3) 若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）．三、 巩固提高 （一）选择题1、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）.A 、 对角线相等B 、 对边相等C 、 对角相等D 、 对角线互相平分 2、下列对矩形的判定：“（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（4）有四个角是直角的四边形是矩形；（5）四个角都相等的四边是矩形；（6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形；（7）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（8）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形”中,正确的个数有（ ） A 、3 个 B 、4个 C 、5个 D 、6个 3、下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是( ) A 、对边平行且相等 B 、对角线互相平分C 、内角和等于外角和D 、每一条对角线所在直线都是它的对称轴 4、下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是( )A 、对角线互相平分的四边形B 、对角线互相垂直且平分的四边形C 、对角线相等的四边形D 、对角线相等且互相垂直的四边形 5、已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不一定正确的是( )A 、AB=CDB 、AC=BDC 、当AC ⊥BD 时，它是菱形 D 、当∠ABC=90°时，它是矩形 6、正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）。
矩形、菱形、正方形(解答题)专练(详细答案)
9.4 矩形、菱形、正方形（解答题）1．如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．2．如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD 的延长线于点F，求证：DF=BE．3．如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD，再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点D′未到达点B时，A′C′交CD于E，D′C′交CB于点F，连接EF，当四边形EDD′F为菱形时，试探究△A′DE的形状，并判断△A′DE与△EFC′是否全等？请说明理由．4．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE，CF，求证：△ADE≌△CDF．5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；（2）若AC=8，BD=6，求△ADE的周长．6．如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP=FP=6，EF=6，∠BAD=60°，且AB＞6．（1）求∠EPF的大小；（2）若AP=10，求AE+AF的值；（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE 的延长线于点F．（1）求证：四边形ECBF是平行四边形；（2）当∠A=30°时，求证：四边形ECBF是菱形．8．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD（1）求∠AOD的度数；（2）求证：四边形ABCD是菱形．9．如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：（1）∠CEB=∠CBE；（2）四边形BCED是菱形．10．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点E是AC的中点，AC=2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC．求证：四边形ADCF是菱形．11．如图，在四边形ABCF中，∠ACB=90°，点E是AB边的中点，点F恰是点E 关于AC所在直线的对称点．（1）证明：四边形CFAE为菱形；（2）连接EF交AC于点O，若BC=10，求线段OF的长．12．如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF．（1）四边形ABEF是；（选填矩形、菱形、正方形、无法确定）（直接填写结果）（2）AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF=10，则AE的长为，∠ABC=°．（直接填写结果）13．如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB=，∠DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）14．如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）．（2）连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．15．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积．16．如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．（1）求证：CP=AQ；（2）若BP=1，PQ=2，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．17．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB=AO，求∠ABD的度数．18．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．19．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．20．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．21．如图，将平行四边形ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，连接DE，交边BC于点F．（1）求证：△BEF≌△CDF；（2）连接BD、CE，若∠BFD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．22．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC．结合小敏的思路作答（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题：（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．23．如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H．（1）求证：△PHC≌△CFP；（2）证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．24．已知，如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为BA延长线上一点，且CE=AF．连接DE、DF．求证：DE=DF．25．如图，在正方形ABCD中，点E（与点B、C不重合）是BC边上一点，将线段EA绕点E顺时针旋转90°到EF，过点F作BC的垂线交BC的延长线于点G，连接CF．（1）求证：△ABE≌△EGF；=2S△ECF，求BE．（2）若AB=2，S△ABE26．已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ 于点P．（1）求证：AP=BQ；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．27．在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（﹣6，0）．如图1，正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．（1）如图2，若α=60°，OE=OA，求直线EF的函数表达式．（2）若α为锐角，tanα=，当AE取得最小值时，求正方形OEFG的面积．（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，△OEP的其中两边之比能否为：1？若能，求点P的坐标；若不能，试说明理由28．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．（1）已知EO=，求正方形ABCD的边长；（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．29．如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：AE=EF．30．如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连结CE、DF．求证：CE=DF．答案与解析1．（2016•安顺）如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．【分析】第（1）问要证明三角形全等，由平行四边形的性质，很容易用SAS证全等．第（2）要求菱形的面积，在第（1）问的基础上很快知道△ABE为等边三角形．这样菱形的高就可求了，用面积公式可求得．【解答】（1）证明：∵在▱ABCD中，AB=CD，∴BC=AD，∠ABC=∠CDA．又∵BE=EC=BC，AF=DF=AD，∴BE=DF．∴△ABE≌△CDF．（2）解：∵四边形AECF为菱形，∴AE=EC．又∵点E是边BC的中点，∴BE=EC，即BE=AE．又BC=2AB=4，∴AB=BC=BE，∴AB=BE=AE，即△ABE为等边三角形，▱ABCD的BC边上的高为2×sin60°=，∴菱形AECF的面积为2．【点评】考查了全等三角形，四边形的知识以及逻辑推理能力．（1）用SAS证全等；（2）若四边形AECF为菱形，则AE=EC=BE=AB，所以△ABE为等边三角形．2．（2016•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．【分析】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．【解答】证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt△CDF与Rt△CBE中，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴DF=BE．【点评】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．3．（2016•荆州）如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD，再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点D′未到达点B时，A′C′交CD于E，D′C′交CB于点F，连接EF，当四边形EDD′F为菱形时，试探究△A′DE的形状，并判断△A′DE与△EFC′是否全等？请说明理由．【分析】当四边形EDD′F为菱形时，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′．先证明CD=DA=DB，得到∠DAC=∠DCA，由AC∥A′C′即可得到∠DA′E=∠DEA′由此即可判断△DA′E的形状．由EF∥AB推出∠CEF=∠EA′D，∠EFC=∠A′D′C=∠A′DE，再根据A′D=DE=EF即可证明．【解答】解：当四边形EDD′F为菱形时，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′．理由：∵△BCA是直角三角形，∠ACB=90°，AD=DB，∴CD=DA=DB，∴∠DAC=∠DCA，∵A′C′∥AC，∴∠DA′E=∠A，∠DEA′=∠DCA，∴∠DA′E=∠DEA′，∴DA′=DE，∴△A′DE是等腰三角形．∵四边形DEFD′是菱形，∴EF=DE=DA′，EF∥DD′，∴∠C′EF=∠DA′E，∠EFC′=∠C′D′A′，∵CD∥C′D′，∴∠A′DE=∠A′D′C′=∠EFC′，在△A′DE和△EFC′中，，∴△A′DE≌△EFC′．【点评】本题考查平移、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．4．（2016•淮安）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE，CF，求证：△ADE≌△CDF．【分析】由菱形的性质得出AD=CD，由中点的定义证出DE=DF，由SAS证明△ADE ≌△CDF即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∵点E、F分别为边CD、AD的中点，∴AD=2DF，CD=2DE，∴DE=DF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS）．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定、菱形的性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．5．（2016•苏州）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D 作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；（2）若AC=8，BD=6，求△ADE的周长．【分析】（1）根据平行四边形的判定证明即可；（2）利用平行四边形的性质得出平行四边形的周长即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴AE∥CD，∠AOB=90°，∵DE⊥BD，即∠EDB=90°，∴∠AOB=∠EDB，∴DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，∴AO=4，DO=3，AD=CD=5，∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE=CD=5，DE=AC=8，∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18．【点评】此题考查平行四边形的性质和判定问题，关键是根据平行四边形的判定解答即可．6．（2016•枣庄）如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP=FP=6，EF=6，∠BAD=60°，且AB＞6．（1）求∠EPF的大小；（2）若AP=10，求AE+AF的值；（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．【分析】（1）根据锐角三角函数求出∠FPG，最后求出∠EPF．（2）先判断出Rt△PME≌Rt△PNF，再根据锐角三角函数求解即可，（3）根据运动情况及菱形的性质判断求出AP最大和最小值．【解答】解：（1）过点P作PG⊥EF于点G，如图1所示．∵PE=PF=6，EF=6，∴FG=EG=3，∠FPG=∠EPG=∠EPF．在Rt△FPG中，sin∠FPG===，∴∠FPG=60°，∴∠EPF=120°．（2）过点P作PM⊥AB于点M，作PN⊥AD于点N，如图2所示．∵AC为菱形ABCD的对角线，∴∠DAC=∠BAC，AM=AN，PM=PN．在Rt△PME和Rt△PNF中，PM=PN，PE=PF，∴Rt△PME≌Rt△PNF，∴ME=NF．又AP=10，∠PAM=∠DAB=30°，∴AM=AN=APcos30°=10×=5，∴AE+AF=（AM+ME）+（AN﹣NF）=AM+AN=10．（3）如图，当△EFP的三个顶点分别在AB，AD，AC上运动，点P在P′，P之间运动，∴P′O=PO=3，AO=9，∴AP的最大值为12，AP的最小值为6，【点评】此题是菱形的性质题，主要考查了菱形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数，解本题的关键是作出辅助线．7．（2016•三明）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE的延长线于点F．（1）求证：四边形ECBF是平行四边形；（2）当∠A=30°时，求证：四边形ECBF是菱形．【分析】（1）利用平行四边形的判定证明即可；（2）利用菱形的判定证明即可．【解答】证明：（1）∵D，E分别为边AC，AB的中点，∴DE∥BC，即EF∥BC．又∵BF∥CE，∴四边形ECBF是平行四边形．（2）∵∠ACB=90°，∠A=30°，E为AB的中点，∴CB=AB，CE=AB．∴CB=CE．又由（1）知，四边形ECBF是平行四边形，∴四边形ECBF是菱形．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定与性质，利用平行四边形的判定以及菱形的判定是解题关键．8．（2016•抚顺）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD（1）求∠AOD的度数；（2）求证：四边形ABCD是菱形．【分析】（1）首先根据角平分线的性质得到∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，然后根据平行线的性质得到∠DAB+∠CBA=180°，从而得到∠BAC+∠ABD=（∠DAB+∠ABC）=×180°=90°，得到答案∠AOD=90°；（2）根据平行线的性质得出∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，根据角平分线定义得出∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，求出∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，根据等腰三角形的判定得出AB=BC=AD，根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，即可得出答案．【解答】解：（1）∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，∵AE∥BF，∴∠DAB+∠CBA，=180°，∴∠BAC+∠ABD=（∠DAB+∠ABC）=×180°=90°，∴∠AOD=90°；（2）证明：∵AE∥BF，∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，∴∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，∴AB=BC，AB=AD∴AD=BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD=AB，∴四边形ABCD是菱形．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，能得出四边形ABCD是平行四边形是解此题的关键．9．（2016•沈阳）如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：（1）∠CEB=∠CBE；（2）四边形BCED是菱形．【分析】（1）欲证明∠CEB=∠CBE，只要证明∠CEB=∠ABD，∠CBE=∠ABD即可．（2）先证明四边形CEDB是平行四边形，再根据BC=BD即可判定．【解答】证明；（1）∵△ABC≌△ABD，∴∠ABC=∠ABD，∵CE∥BD，∴∠CEB=∠DBE，∴∠CEB=∠CBE．（2））∵△ABC≌△ABD，∴BC=BD，∵∠CEB=∠CBE，∴CE=CB，∵CE∥BD，∴四边形CEDB是平行四边形，∵BC=BD，∴四边形CEDB是菱形．【点评】本题考查全等三角形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键，记住平行四边形、菱形的判定方法，属于中考常考题型．10．（2016•聊城）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点E是AC的中点，AC=2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC．求证：四边形ADCF是菱形．【分析】先证明△AEF≌△CED，推出四边形ADCF是平行四边形，再证明△AED ≌△ABD，推出DF⊥AC，由此即可证明．【解答】证明：∵AF∥CD，∴∠AFE=∠CDE，在△AFE和△CDE中，，∴△AEF≌△CED．∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形．由题意知，AE=AB，∠EAD=∠BAD，AD=AD，∴△AED≌△ABD．∴∠AED=∠B=90°，即DF⊥AC．∴四边形ADCF是菱形．【点评】本题考查菱形的判定、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．11．（2016•德阳）如图，在四边形ABCF中，∠ACB=90°，点E是AB边的中点，点F恰是点E关于AC所在直线的对称点．（1）证明：四边形CFAE为菱形；（2）连接EF交AC于点O，若BC=10，求线段OF的长．【分析】（1）根据直角三角形的性质得到CE=AB=EA，根据轴对称的性质得到AE=AF，CE=CF，得到CE=EA=AF=CF，根据菱形的判定定理证明结论；（2）根据菱形的性质得到OA=OC，OE=OF，根据三角形中位线定理求出OE，得到答案．【解答】（1）证明：∵∠ACB=90°，点E是AB边的中点，∴CE=AB=EA，∵点F是点E关于AC所在直线的对称点，∴AE=AF，CE=CF，∴CE=EA=AF=CF，∴四边形CFAE为菱形；（2）解：∵四边形CFAE为菱形；∴OA=OC，OE=OF，∴OE=BC=5，∴OF=5．【点评】本题考查的是菱形的判定和性质、轴对称的性质，掌握四条边相等的四边形是菱形、菱形的对角线垂直且互相平分是解题的关键．12．（2016•梅州）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF．（1）四边形ABEF是菱形；（选填矩形、菱形、正方形、无法确定）（直接填写结果）（2）AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF=10，则AE的长为10，∠ABC=120°．（直接填写结果）【分析】（1）先证明△AEB≌△AEF，推出∠EAB=∠EAF，由AD∥BC，推出∠EAF=∠AEB=∠EAB，得到BE=AB=AF，由此即可证明．（2）根据菱形的性质首先证明△AOB是含有30°的直角三角形，由此即可解决问题．【解答】解：（1）在△AEB和△AEF中，，∴△AEB≌△AEF，∴∠EAB=∠EAF，∵AD∥BC，∴∠EAF=∠AEB=∠EAB，∴BE=AB=AF．∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形∵AB=AF，∴四边形ABEF是菱形．故答案为菱形．（2）∵四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，BO=OF=5，∠ABO=∠EBO，∵AB=10，∴AB=2BO，∵∠AOB=90°∴∠BA0=30°，∠ABO=60°，∴AO=BO=5，∠ABC=2∠ABO=120°．故答案为，120．【点评】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的性质、作图﹣基本作图等知识，解题的关键是全等三角形的证明，想到利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．13．（2016•贺州）如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB=，∠DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）【分析】（1）由过AC的中点O作EF⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF，AE=CE，OA=OC，然后由四边形ABCD是矩形，易证得△AOF≌△COE，则可得AF=CE，继而证得结论；（2）由四边形ABCD是矩形，易求得CD的长，然后利用三角函数求得CF的长，继而求得答案．【解答】（1）证明：∵O是AC的中点，且EF⊥AC，∴AF=CF，AE=CE，OA=OC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFO=∠CEO，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（AAS），∴AF=CE，∴AF=CF=CE=AE，∴四边形AECF是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=，在Rt△CDF中，cos∠DCF=，∠DCF=30°，∴CF==2，∵四边形AECF是菱形，∴CE=CF=2，∴四边形AECF是的面积为：EC•AB=2．【点评】此题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质以及三角函数等知识．注意证得△AOF≌△COE是关键．14．（2016•衢州）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）．（2）连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．【分析】（1）分别以B、D为圆心，比BD的一半长为半径画弧，交于两点，确定出垂直平分线即可；（2）连接BE，DF，四边形BEDF为菱形，理由为：由EF垂直平分BD，得到BE=DE，∠DEF=∠BEF，再由AD与BC平行，得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到BE=BF，再由BF=DF，等量代换得到四条边相等，即可得证．【解答】解：（1）如图所示，EF为所求直线；（2）四边形BEDF为菱形，理由为：证明：∵EF垂直平分BD，∴BE=DE，∠DEF=∠BEF，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠BFE，∴∠BEF=∠BFE，∴BE=BF，∵BF=DF，∴BE=ED=DF=BF，∴四边形BEDF为菱形．【点评】此题考查了矩形的性质，菱形的判定，以及作图﹣基本作图，熟练掌握性质及判定是解本题的关键．15．（2016•扬州）如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积．【分析】（1）首先由矩形的性质和折叠的性质证得AB=CD，AD∥BC，∠ANF=90°，∠CME=90°，易得AN=CM，可得△ANF≌△CME（ASA），由平行四边形的判定定理可得结论；（2）由AB=6，AC=10，可得BC=8，设CE=x，则EM=8﹣x，CM=10﹣6=4，在Rt △CEM中，利用勾股定理可解得x，由平行四边形的面积公式可得结果．【解答】（1）证明：∵折叠，∴AM=AB，CN=CD，∠FNC=∠D=90°，∠AME=∠B=90°，∴∠ANF=90°，∠CME=90°，∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD∥BC，∴AM=CN，∴AM﹣MN=CN﹣MN，即AN=CM，在△ANF和△CME中，，∴△ANF≌△CME（ASA），∴AF=CE，又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形；（2）解：∵AB=6，AC=10，∴BC=8，设CE=x，则EM=8﹣x，CM=10﹣6=4，在Rt△CEM中，（8﹣x）2+42=x2，解得：x=5，∴四边形AECF的面积的面积为：EC•AB=5×6=30．【点评】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理和勾股定理等，综合运用各定理是解答此题的关键．16．（2016•遵义）如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．（1）求证：CP=AQ；（2）若BP=1，PQ=2，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．【分析】（1）由矩形的性质得出∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，证出∠E=∠F，AE=CF，由ASA证明△CFP≌△AEQ，即可得出结论；（2）证明△BEP、△AEQ是等腰直角三角形，得出BE=BP=1，AQ=AE，求出PE=BP=，得出EQ=PE+PQ=3，由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出AQ=AE=3，求出AB=AE﹣BE=2，DQ=BP=1，得出AD=AQ+DQ=4，即可求出矩形ABCD 的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，∴∠E=∠F，∵BE=DF，∴AE=CF，在△CFP和△AEQ中，，∴△CFP≌△AEQ（ASA），∴CP=AQ；（2）解：∵AD∥BC，∴∠PBE=∠A=90°，∵∠AEF=45°，∴△BEP、△AEQ是等腰直角三角形，∴BE=BP=1，AQ=AE，∴PE=BP=，∴EQ=PE+PQ=+2=3，∴AQ=AE=3，∴AB=AE﹣BE=2，∵CP=AQ，AD=BC，∴DQ=BP=1，∴AD=AQ+DQ=3+1=4，∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×4=8．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．17．（2016•广州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB=AO，求∠ABD的度数．【分析】首先证明OA=OB，再证明△ABO是等边三角形即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴AO=OB，∵AB=AO，∴AB=AO=BO，∴△ABO是等边三角形，∴∠ABD=60°．【点评】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键，属于基础题，中考常考题型．18．（2016•岳阳）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．【分析】由四边形ABCD为矩形，得到四个角为直角，再由EF与FD垂直，利用平角定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形BEF与三角形CFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，∵EF⊥DF，∴∠EFD=90°，∴∠EFB+∠CFD=90°，∵∠EFB+∠BEF=90°，∴∠BEF=∠CFD，在△BEF和△CFD中，，∴△BEF≌△CFD（ASA），∴BF=CD．【点评】此题考查了矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键．19．（2016•福州）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．【分析】（1）由折叠性质得∠MAN=∠DAM，证出∠DAM=∠MAN=∠NAB，由三角函数得出DM=AD•tan∠DAM=即可；（2）延长MN交AB延长线于点Q，由矩形的性质得出∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得出∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，得出∠MAQ=∠AMQ，证出MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，证出∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出NQ=4，AQ=5，即可求出△ABN的面积；（3）过点A作AH⊥BF于点H，证明△ABH∽△BFC，得出对应边成比例=，得出当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，由折叠性质得：AD=AH，由AAS证明△ABH≌△BFC，得出CF=BH，由勾股定理求出BH，得出CF，即可得出结果．【解答】解：（1）由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠MAN=∠DAM，∵AN平分∠MAB，∠MAN=∠NAB，∴∠DAM=∠MAN=∠NAB，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，∴∠DAM=30°，∴DM=AD•tan∠DAM=3×tan30°=3×=；（2）延长MN交AB延长线于点Q，如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，∴∠MAQ=∠AMQ，∴MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，∵∠ANM=90°，∴∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得：AQ2=AN2+NQ2，∴（x+1）2=32+x2，解得：x=4，∴NQ=4，AQ=5，∵AB=4，AQ=5，=S△NAQ=×AN•NQ=××3×4=；∴S△NAB（3）过点A作AH⊥BF于点H，如图2所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠HBA=∠BFC，∵∠AHB=∠BCF=90°，∴△ABH∽△BFC，∴=，∵AH≤AN=3，AB=4，∴当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，如图3所示：由折叠性质得：AD=AH，∵AD=BC，∴AH=BC，在△ABH和△BFC中，，∴△ABH≌△BFC（AAS），∴CF=BH，由勾股定理得：BH===，∴CF=，∴DF的最大值=DC﹣CF=4﹣．【点评】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键．20．（2016•吉林）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，再根据平行四边形的判定定理得四边形AODE为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形AODE是矩形．【解答】证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE为平行四边形，∴四边形AODE是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定以及菱形的性质，还考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．21．（2016•南通）如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，连接DE，交边BC于点F．（1）求证：△BEF≌△CDF；（2）连接BD、CE，若∠BFD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．【分析】（1）先根据平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，再由BE=AB得出BE=CD，根据平行线的性质得出∠BEF=∠CDF，∠EBF=∠DCF，进而可得出结论；（2）根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，∠A=∠DCB，再由AB=BE，可得CD=EB，进而可判定四边形BECD是平行四边形，然后再证明BC=DE即可得到四边形BECD是矩形【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∵AB=CD，AB∥CD．∵BE=AB，∴BE=CD．∵AB∥CD，∴∠BEF=∠CDF，∠EBF=∠DCF，在△BEF与△CDF中，∵，∴△BEF≌△CDF（ASA）；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∠A=∠DCB，∵AB=BE，∴CD=EB，∴四边形BECD是平行四边形，∴BF=CF，EF=DF，∵∠BFD=2∠A，∴∠BFD=2∠DCF，∴∠DCF=∠FDC，∴DF=CF，∴DE=BC，∴四边形BECD是矩形．【点评】此题主要考查的值矩形的判定及平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对边相等；对角相等；对角线互相平分．22．（2016•兰州）阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC．结合小敏的思路作答（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题：（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．【分析】（1）如图2，连接AC，根据三角形中位线的性质得到EF∥AC，EF=AC，然后根据平行四边形判定定理即可得到结论；（2）由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG=BD，HG=AC，于是得到当AC=BD时，FG=HG，即可得到结论；（3）根据平行线的性质得到GH⊥BD，GH⊥GF，于是得到∠HGF=90°，根据矩形的判定定理即可得到结论．【解答】解：（1）是平行四边形，证明：如图2，连接AC，∵E是AB的中点，F是BC的中点，∴EF∥AC，EF=AC，同理HG∥AC，HG=AC，综上可得：EF∥HG，EF=HG，故四边形EFGH是平行四边形；（2）AC=BD．理由如下：由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG=BD，HG=AC，∴当AC=BD时，FG=HG，∴平行四边形EFGH是菱形，（3）当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形；理由如下：同（2）得：四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，GH∥AC，∴GH⊥BD，∴GH⊥GF，∴∠HGF=90°，∴四边形EFGH为矩形．【点评】此题主要考查了中点四边形，关键是掌握三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．23．（2016•台州）如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H．（1）求证：△PHC≌△CFP；（2）证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．【分析】（1）由矩形的性质得出对边平行，再根据平行线的性质得出相等的角，结合全等三角形的判定定理AAS即可得出△PHC≌△CFP；（2）由矩形的性质找出∠D=∠B=90°，再结合对边互相平行即可证出四边形PEDH 和四边形PFBG都是矩形，通过角的正切值，在直角三角形中表示出直角边的关系，利用矩形的面积公式即可得出两矩形面积相等．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，AD∥BC．∵PF∥AB，∴PF∥CD，∴∠CPF=∠PCH．。
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E B D
F C
C F G B A D E
7、以△ABC的三边在BC同侧分别作三个等边三角形 ABC的三边在BC同侧分别作三个等边三角形 的三边在BC ABD， ,△ACF,试回答下列问题 试回答下列问题： △ABD，△BCE ,△ACF,试回答下列问题： 四边形ADEF是什么四边形？ ADEF是什么四边形 （1）四边形ADEF是什么四边形？ ABC满足什么条件时 四边形ADEF是矩形？ 满足什么条件时， ADEF是矩形 （2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？ ABC满足什么条件时 四边形ADEF是菱形？ 满足什么条件时， ADEF是菱形 （3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？
E D
F A B
C
D E F
C
3、如图，AD∥BC，BD垂直平分 ， 、如图， ∥ ， 垂直平分 垂直平分AC， 四边形ABCD一定是菱形吗？若是，请说 一定是菱形吗？ 四边形 一定是菱形吗 若是， D 明理由。 明理由。
提示:
角边角） △AOD≌△COB（角边角） ≌ AD=BC A
┐
O B
C
ABCD中 AD=2AB， 4、如图，已知在□ABCD中，AD=2AB，E、F 如图， 在直线AB AB上 AE=AB=BF，证明:CE⊥DF. 在直线AB上，且AE=AB=BF，证明:CE⊥DF.
D M C
N
E
A
B
F
5、如图在菱形ABCD中,CE⊥AB,CF⊥AD. 、如图在菱形 中 ⊥ ⊥ 相等吗？ 则CE与CF相等吗？说明理由。 与 相等吗 说明理由。 BE与DF呢？ 与 呢
B A E F D
C
6、已知，如图， ∠ ABC中， ∠ ACB= 900, 、已知，如图， 中 BF平分∠ ABC，CD垂直于 于D，和BF交于 平分∠ 垂直于AB于 ， 平分 ， 垂直于 交于 点G ， GE ∥ CA.求证：CE和FG互相垂直平分。 求证： 和 互相垂直平分 求证
2、如图，Rt△ABC中，∠ACB=900， 、如图， △ 中 垂直平分BC，垂足为D， ∠BAC=600，DE垂直平分 ，垂足为 ，交 垂直平分 AB于E，又点 在DE的延长线上，且AF=CE， 的延长线上， 于 ，又点F在 的延长线上 ， 求证：四边形ACEF是菱形。 B 是菱形。 求证：四边形 是菱形