高中数学 第四章 圆与方程 4.1.2 圆的一般方程教案 新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学
2019-2020学年新导学同步人教A版高中数学必修2_第4章 圆与方4.1.2
4.1.2 圆的一般方程知识导图学法指导1.准确把握圆的一般方程的结构形式，理解各个字母的意义；把握圆的一般方程与标准方程的互化；体会待定系数法求圆的一般方程的步骤．2．明确求动点的轨迹及轨迹方程的步骤，弄清楚轨迹与轨迹方程的区别．高考导航1.圆心坐标及半径长的确定或与直线方程的综合是考查的热点，多以选择题、填空题的形式出现，分值5分．2．考查动点的轨迹(方程)，各种题型均有可能出现，分值4～6分.知识点一 圆的一般方程1．二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，当D 2＋E 2－4F >0时，该方程叫作圆的一般方程．2．圆的一般方程下的圆心和半径：圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)表示的圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径长为D 2＋E 2－4F 2. 知识点二 求动点的轨迹方程的方法求动点的轨迹方程，就是根据题意建立动点的坐标(x ，y )所满足的关系式，并把这个方程化成最简形式，如果题目中没有坐标系，那么就要先建立适当的直角坐标系．求轨迹方程的一般步骤为：圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F为常数)具有以下特点：(1)x2，y2项的系数均为1；(2)没有xy项；(3)D2＋E2－4F>0.求过三点O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标．设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，所求圆过点O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)，的特殊位置的讨论．4.1.2。
人教新课标版数学高一- 人教A版必修二 4.1.2圆的一般方程
4.1.2 圆的一般方程问题导学一、圆的一般方程的定义活动与探究1判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．迁移与应用1．将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0 2．下列方程能表示圆的是________． (1)x 2＋y 2＋2x ＋1＝0；(2)x 2＋y 2＋2ay －1＝0； (3)x 2＋y 2＋20x ＋121＝0；(4)x 2＋y 2＋2ax ＝0．3．若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求实数m 的取值范围及圆心坐标和半径．形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法： (1)由圆的一般方程的定义，若D 2＋E 2－4F ＞0，则表示圆，否则不表示圆； (2)将方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0配方为⎝⎛⎭⎫x ＋D 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4求解． 二、求圆的一般方程活动与探究2△ABC 的三个顶点分别为A (－1,5)，B (－2，－2)，C (5,5)，求其外接圆的方程．迁移与应用求经过点C (－1,1)和D (1,3)且圆心在直线y ＝x 上的圆的一般方程．用待定系数法求圆的方程：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r ．(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出参数D ，E ，F ．三、求动点的轨迹方程活动与探究3已知动点M 到点A (2,0)的距离是它到点B (8,0)的距离的一半． (1)求动点M 的轨迹方程；(2)若N 为线段AM 的中点，试求点N 的轨迹．迁移与应用1．到两个点A (－1,2)，B (3，－4)的距离相等的点的轨迹方程是________． 2．自A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程．求动点的轨迹方程就是建立动点的横、纵坐标x ，y 的方程，因而，在求动点的轨迹方程时，先设出动点的坐标(x ， y )，再代入题目中给出的等量关系，化简即得动点的轨迹方程．当堂检测1．圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的周长为( )A ．2πB ．2πC ．22πD ．4π2．若圆x 2＋y 2－2kx －4＝0关于直线2x －y ＋3＝0对称，则k 等于( ) A ．32 B ．－32C ．3D ．－33．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为( ) A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(－1,0) D ．(0，－1)4．过三点O (0,0)，A (4,0)，B (0，－2)的圆的一般方程为________________．5．已知线段AB 的长为4，且端点A ，B 分别在x 轴与y 轴上，则线段AB 的中点M 的轨迹方程为__________．答案：课前预习导学【预习导引】1．定点定长圆心半径2．(x－a)2＋(y－b)2＝r2预习交流1提示：圆的标准方程是由圆心坐标与半径确定的，因此求圆的标准方程只需求出圆心坐标与半径．3．点在圆外点在圆上点在圆内预习交流2提示：判断点与圆的位置关系有两种方法：①将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较：若|CM|＝r，则点M在圆上；若|CM|＞r，则点M在圆外；若|CM|＜r，则点M在圆内．②可利用圆的标准方程来确定：点M(m，n)在圆C上⇔(m－a)2＋(n－b)2＝r2；点M(m，n)在圆C外⇔(m－a)2＋(n－b)2＞r2；点M(m，n)在圆C内⇔(m－a)2＋(n－b)2＜r2．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：第(1)题可直接利用圆的标准方程求解，第(2)题可先利用两点间距离公式求出半径，再用圆的标准方程求解．解：(1)∵圆心为(2,3)，半径为2，即a＝2，b＝3，r＝2，∴圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4．(2)方法一：∵圆的半径r＝|CP|＝(5－8)2＋(1＋3)2＝5，圆心在点(8，－3)，∴圆的方程是(x－8)2＋(y＋3)2＝25．方法二：∵圆心为C(8，－3)，故设圆的方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝r2．又∵点P(5,1)在圆上，∴(5－8)2＋(1＋3)2＝r2，∴r2＝25，∴所求圆的方程是(x－8)2＋(y＋3)2＝25．迁移与应用 1．B2．解：设圆心C (a ，b )，半径为r ，则由中点坐标公式，得a ＝4＋62＝5，b ＝9＋32＝6．再由两点距离公式，得r ＝|CP 1|＝(4－5)2＋(9－6)2＝10．∴所求圆的方程是(x －5)2＋(y －6)2＝10．活动与探究2 思路分析：先求出两直线的交点坐标即圆心坐标，再求出半径并写出方程，求出A ，B ，C 各点与圆心的距离，分别与半径比较，判断出点与圆的位置关系．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －1＝0，x －2y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，∴圆心M 的坐标为(0,1)．半径r ＝|MP |＝52＋(1－6)2＝52．∴圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝50． ∵|AM |＝(2－0)2＋(2－1)2＝5＜r ，∴点A 在圆内． ∵|BM |＝(1－0)2＋(8－1)2＝50＝r ，∴点B 在圆上． ∵|CM |＝(6－0)2＋(5－1)2＝52＞r ，∴点C 在圆外．∴圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝50． 点A 在圆内，点B 在圆上，点C 在圆外． 迁移与应用 1．B 2．(1，＋∞)活动与探究3 思路分析：解答本题，可用待定系数法，设出圆的标准方程求解，也可根据圆的几何性质求出圆的圆心坐标和半径．解：方法一：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2． 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2，a －2b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10.∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10．方法二：由A (2，－3)，B (－2，－5)得，AB 的中点为(0，－4)，k AB ＝12，∴AB 的垂直平分线的方程为y ＋4＝－2x ，即2x ＋y ＋4＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋4＝0，x －2y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.∴圆心为(－1，－2)，半径r ＝(2＋1)2＋(－3＋2)2＝10．故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10． 方法三：设点C 是圆心，∵点C 在直线l 上，∴设点C (2b ＋3，b )． 又∵|CA |＝|CB |，∴(2b ＋3－2)2＋(b ＋3)2＝(2b ＋3＋2)2＋(b ＋5)2，解得b ＝－2，∴圆心为C (－1，－2)，半径r ＝10，故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10．迁移与应用 1．x 2＋(y ＋4)2＝52．解：方法一：由题意得圆心在x 轴上．设圆心坐标为M (a,0)，则|MA |＝|MB |，即(a －5)2＋(0－2)2＝(a －3)2＋(0＋2)2， 解得a ＝4．所以圆心坐标为(4,0)，半径r ＝|MA |＝5． 所以圆的标准方程为(x －4)2＋y 2＝5．方法二：线段AB 的垂直平分线方程为y ＝－12(x －4)，即x ＋2y －4＝0．令y ＝0，得x＝4，所以圆心坐标为(4,0)，半径r ＝|MA |＝5．所以圆的标准方程为(x －4)2＋y 2＝5． 【当堂检测】 1．D 2．C 3．A 4．(x ＋2)2＋(y －1)2＝25 5．(x －2)2＋y 2＝10 4．1．2 圆的一般方程 课前预习导学 【预习导引】1．x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 ⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2 r ＝D 2＋E 2－4F 2预习交流1 提示：不是．只有当D 2＋E 2－4F ＞0时，该方程才表示圆； 当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2； 当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程不表示任何图形． 2．坐标(x ，y )预习交流2 提示：求动点轨迹方程的步骤是： (1)设出动点M 的坐标为(x ，y )；(2)根据条件列出关于x ，y 的关系式f (x ，y )＝0； (3)化简f (x ，y )＝0． 课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：解答本题可直接利用D 2＋E 2－4F ＞0是否成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数．解：方法一：由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0可知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20，∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2． 因此，当m ＝2时，它表示一个点； 当m ≠2时，原方程表示圆， 此时，圆的圆心为(2m ，－m )， 半径为r ＝12D 2＋E 2－4F ＝5|m －2|．方法二：原方程可化为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝5(m －2)2， 因此，当m ＝2时，它表示一个点； 当m ≠2时，原方程表示圆， 此时，圆的圆心为(2m ，－m )， 半径为r ＝5|m －2|．迁移与应用 1．C 2．(2)(4)3．解：将方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0写成标准方程为(x ＋m )2＋(y －1)2＝1－5m ，由1－5m ＞0得m ＜15．所以实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，15，圆心坐标为(－m ，1)，半径r ＝1－5m ．活动与探究2 思路分析：由于所求的圆过三个点，因而选用一般式，从而只要确定系数D ，E ，F 即可；注意到三角形外接圆的圆心为各边的垂直平分线的交点，所以也可先求圆心，再求半径，从而求圆的方程．解：方法一：设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0．则由题意有 ⎩⎪⎨⎪⎧－D ＋5E ＋F ＋26＝0，－2D －2E ＋F ＋8＝0，5D ＋5E ＋F ＋50＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－2，F ＝－20.故所求的圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －20＝0．方法二：由题意可求得AC 的中垂线方程为x ＝2，BC 的中垂线方程为x ＋y －3＝0． ∴圆心P 是两条中垂线的交点(2,1)．∴半径r ＝|AP |＝(2＋1)2＋(1－5)2＝5．∴所求的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝25， 即x 2＋y 2－4x －2y －20＝0．迁移与应用 解法一：设方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧－D 2＝－E 2，2－D ＋E ＋F ＝0，10＋D ＋3E ＋F ＝0.∴D ＝E ＝－2，F ＝－2．∴方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0．解法二：线段CD 的垂直平分线方程为x ＋y －2＝0． 又∵圆心在直线y ＝x 上，∴解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，y ＝x得圆心坐标为(1,1)．则半径r ＝(1＋1)2＋(1－1)2＝2．∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4， 则一般方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0．活动与探究3 思路分析：(1)已知动点M 到两定点的距离满足特定关系，求动点的轨迹方程，可以设出点M 的坐标，然后根据条件列出方程，化简可得轨迹方程．(2)N 点随M 点运动而运动，将M 点坐标用A ，N 两点坐标表示，再将M 点坐标代入(1)中的轨迹方程，即得N 的轨迹方程，从而得点N 的轨迹．解：(1)设动点M 的坐标为(x ，y )，∵A (2,0)，B (8,0)，|MA |＝12|MB |，∴(x －2)2＋y 2＝14[(x －8)2＋y 2]．化简得x 2＋y 2＝16，即动点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝16．(2)设点N 的坐标为(x ，y )， ∵A (2,0)，N 为线段AM 的中点， ∴点M 的坐标为(2x －2,2y )． 又点M 在圆x 2＋y 2＝16上，∴(2x －2)2＋4y 2＝16，即(x －1)2＋y 2＝4．∴点N 的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆． 迁移与应用 1．2x －3y －5＝02．解：设P (x ，y )，O 为原点，连接OP ，当x ≠0时，OP ⊥AP ，即k OP ·k AP ＝－1，∴y x ·yx －4＝－1，即x 2＋y 2－4x ＝0．①当x ＝0时，P 点坐标(0,0)是方程①的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内的部分)．【当堂检测】 1．C 2．B 3．D 4．x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0 5．x 2＋y 2＝4。
2014年人教A版必修二教案 4.1.2 圆的一般方程
4.1.2 圆的一般方程教学目标1．讨论并掌握圆的一般方程的特点，并能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心的坐标和半径．2．能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题，解题过程中能分析和运用圆的几何性质．3．通过对圆的一般方程的特点的讨论，培养学生严密的逻辑思维和严谨的科学态度；通过例题的分析讲解，培养学生分析问题的能力．教学重点与难点圆的一般方程的探求过程及其特点是教学重点；根据具体条件选用圆的方程为教学难点．教学过程一、复习并引入新课师：请大家说出圆心在点(a，b)，且半径是r的圆的方程．生：(x－a)2+(y－b)2=r2．师：以前学习过直线，直线方程有哪几种？生：直线方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式．师：直线方程的一般式是Ax+By+C=0吗？生A：是的．生B：缺少条件A2+B2≠0．师：好！那么圆的方程有没有类似“直线方程的一般式”那样的“一般方程”呢？(书写课题：“圆的一般方程”的探求)二、新课师：圆是否有一般方程？这是个未解决的问题，我们来探求一下．大家知道，我们认识一般的东西，总是从特殊入手．如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式，两点式……)展开整理而得到的．想求圆的一般方程，怎么办？生：可仿照直线方程试一试！把标准形式展开，整理得x 2+y 2－2ax －2by+a 2+b 2－r 2=0．令D=－2a ，E=－2b ，F=a 2+b 2－r 2，有：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0．(*)师：从(*)式的得来过程可知，只要是圆的方程就可以写成(*)的形式．那么能否下结论：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0就是圆的方程？生A ：不一定．还得考虑：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0能否写成标准形式．生B ：也可以像直线方程一样，要有一定条件．师：那么考虑考虑怎样去寻找条件？生：配方．师；请大家动手做，看看能否配成标准形式？(放手让同学讨论，教师适当指导，然后由同学说，教师板书．) ()∆-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+.4422:*2222F E D E y D x ）式配方得将（ 1．当D 2+E 2－4F ＞0时，比较(△)式和圆的标准方程知：(*)式表示以 为半径的圆；为圆心，F E D E D 4212,222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 2．()()()有时也叫点圆，式表示一个点即式只有实数解时，当⎪⎭⎫ ⎝⎛--*-=-=*=-+22,2,204.22E D E y D x F E D 3．当D 2+E 2－4F ＜0时，(*)式没有实数解，因而它不表示任何图形．教师总结：当D 2+E 2－4F ＞0时，方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫圆的一般方程．师：圆的一般方程有什么特点？生A：是关于x、y的二元二次方程．师：刚才生A的说法对吗？生B：不全对．它是关于x、y的特殊的二元二次方程．师：特殊在什么地方？(通过争论与举反例后，由教师总结)师：1．x2，y2系数相同，且不等于零．2．没有xy这样的二次项．(追问)：这两个条件是“方程Ax2+By2+Dx+Ey+F=0表示圆”的什么条件？生：必要条件．师：还缺什么？生：D2+E2－4F＞0．练习：判断以下方程是否是圆的方程：①x2+y2－2x+4y－4=0②2x2+2y2－12x+4y=0③x2+2y2－6x+4y－1=0④x2+y2－12x+6y+50=0⑤x2+y2－3xy+2y+5y=0⑥x2+y2－12x+6y+F=0三、应用举例师：先请大家比较一下圆的标准方程(x－a)2+(y－b)2=r2与一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在应用上各有什么优点？生：标准方程的几何特征明显——能看出圆心、半径；一般方程的优点是能从一般的二元二次方程中找出圆的方程．师：怎样判断用“一般方程”表示的圆的圆心、半径．生：.4212222F E D r E D -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--，，圆心 生B ：不用死记，配方即可．师：两种形式的方程各有特点，我们应对具体情况作具体分析、选择．四．例题讲解例1．求过三点12(0,0),(1,1),(4,2)O M M 的圆的方程；分析：由于12(0,0),(1,1),(4,2)O M M 不在同一条直线上，因此经过12,,O M M 三点有唯一的圆．解：法一：设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，∵12,,O M M 三点都在圆上，∴12,,O M M 三点坐标都满足所设方程，把12(0,0),(1,1),(4,2)O M M 代入所设方程，得：02042200F D E F D E F =⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩解之得：860D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以，所求圆的方程为22860x y x y +-+=．法二：也可以求1OM 和2OM 中垂线的交点即为圆心，圆心到O 的距离就是半径也可以求的圆的方程：22860x y x y +-+=．法三：也可以设圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=将点的坐标代入后解方程组也可以解得22(4)(3)25x y -++=例2．已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，求线段AB 中点M 的坐标(,)x y 中,x y 满足的关系？并说明该关系表示什么曲线？解：设点A 的坐标是00(,)x y ，由于点B 的坐标是(4,3)，且M 是AB 的中点，所以0043,22x y x y ++==（＊） 于是，有0024,23x x y y =-=-因为点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，所以点A 的坐标满足方程22(1)4x y ++=，即2200(1)4x y ++=（＊＊）将（＊）式代入（＊＊），得22(241)(23)4x y -++-=， 整理得2233()()122x y -+-=所以,x y 满足的关系为：2233()()122x y -+-= 其表示的曲线是以33(,)22为圆心，１为半径的圆．说明：该圆就是M 点的运动的轨迹；所求得的方程就是M 点的轨迹方程：点M 的轨迹方程就是指点M 的坐标(,)x y 满足的关系式． 五、小结注意一般式的特点：1°x 2，y 2系数相等且不为零；2°没有xy 这样的项； 3°D 2+E 2－4F ＞0．另外，大家考虑：D 2+E 2－4F 有点像什么？像判别式，它正是方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0是否是圆的方程的判别式．如D 、E 确定了，则与F 的变化有关．六、作业：1．求下列各圆的一般方程：①过点A(5，1)，圆心在点C(8，－3)；②过三点A(－1，5)，B(5，5)，C(6，－2)．2．求下列各圆的圆心坐标和半径：①x2+y2－2x－5=0②x2+y2+2x－4y－4=0③x2+y2+2ax＝0④x2+y2－2by－2b2＝0设计思想这是一节介绍新知识的课，而且这节课还非常有利于展现知识的形成过程．因此，在设计这节课时，力求“过程、结论并重；知识、能力、思想方法并重”在整个探求过程中充分利用了“旧知识”及“旧知识的形成过程”，并用它探求新知识．这样的过程，既是学生获得新知识的过程，更是培养学生能力的过程．。
人教A版高中数学必修二《圆的标准方程》教学设计
一、内容及其解析
本节课的教学内容是圆的标准方程，圆是平面解析几何中重要的几何模型，是研究圆锥曲线与方程的重要基础.
坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。通过建立平面直角坐标系,把点和坐标、曲线和方程联系起来.因此在教学过程中，要始终贯穿坐标法中一重要思想,在学习圆与方程这一章节后,使学生初步形成坐标法的基本思想和步骤.用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素:点、直线、圆；然后对坐标和方程进行代数运算；最后将代数运算结果“翻译”成相应的几何结论。
解此方程组,得
所以 的外接圆的方程是
练习2：已知圆心为 的圆经过点 ，且圆心 在直线 上，求圆心为 的圆的标准方程.
设计意图：进一步强化圆的标准方程的运用，使学生在不同的背景中熟悉常见的几何模型，能根据题设条件选择适当的方法来解决问题.
师生活动：激活学生思维，借助图形，让学生分析题设的几何特征，描述本题的算法，教师同步展示解答过程.启发引导学生思考教科书第120页的问题，归纳求圆的标准方程的两种方法.最后可以让学生尝试运用另一种方法解答问题7和问题8.
半径 的大小等于圆上任意一点 到圆心 的距离,
圆心为 的圆就是集合
由两点间距离公式,点 的坐标适合的条件可以表示为
式两边平方,得
(1)
若点 在圆上,则由上述讨论知,点 的坐标适合方程(1);反之,若点 的坐标适合方程(1),这说明点 与圆心 的距离为 ,即点 在圆心为 的圆上.我们把方程(1)称为圆心为 ,半径为 的圆的方程,把它叫做圆的标准方程.
3.能力素养：重点提升学生的数学抽象、数学建模、直观想象能力。通过具体事例，让学生在自己的操作与思考中，抽象并概括圆的标准方程的概念、建立圆的标准方程的代数模型，学会利用几何图形理解和解决数学问题.关注现代信息技术工具的运用.
高考数学第四章圆与方程4.2.1直线与圆的位置关系课件新人教A版必修2
3.研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在.过一点求圆的切线方 程时，要考虑该点是否在圆上.当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆 外时，切线有两条.
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编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
|1＋4－5＋ 5|
圆心 C 到直线 AB 的距离 d＝|CP|＝
12＋22 ＝1.
在 Rt△ACP 中，|AP|＝ r2－d2＝2，故直线被圆截得的弦长|AB|＝4.
解析答案
数学思想
数形结合思想
例 4 直线 y＝x＋b 与曲线 x＝ 1－y2有且只有一个交点，则 b 的取值范
围是( ) A.|b|＝ 2 C.－1≤b＜1
线的距离等于
12－222＝0，即圆心(1，2)位于直线 kx－y＝0 上.
于是有k－2＝0，即k＝2，
因此所求直线方程是2x－y＝0.
解析答案
课堂小结 1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质 进行判断，一般计算较简单.而代数法则是通过解方程组进行消元，计算 量大，不如几何法简捷. 2.一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长 的一半，圆的半径构成的直角三角形.还可以联立方程组，消去 y，组成 一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长 l＝
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题型探究
重点突破
题型一 直线与圆的位置关系的判断 例1 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0. 当m为何值时，圆与直线 (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点.
人教A高中数学必修二4.1.2 圆的一般方程
人教版高中数学必修2
4.1.2圆的一般方程
复习回顾:
1、圆的标准方程是什么？ 2、其中圆心的坐标和半径各是什么？
思考:
● 将圆的标准方程展开会得怎样 的式子？
思考:
● 将圆的标准方程展开会得怎样的式
子？
x a 2 y b 2r2
展开、整理
x 2 y 2 2 a 2 x b a y 2 b 2 r 2 0
22
2
另外：
⑵ 当 D2E24F0时，①式表示点( D , E )
22
⑶ 当 D2E24F0时，①式不表示图形.
圆的一般方程:
x2y2Dx E y F0
(D2E24F0)
其中：圆心为 ( D , E ) ，
22
半径为 1 D2 E2 4F 。
2
1. 求下列各方程表示的圆的圆心坐标 和半径长：
参变量简单化
x2y2Dx E y F0 ①
结论:
● 任何圆都可以（展开）用形如：
x2y2Dx E y F0
二元二次方程表示.
思考:
● 反之是否成立？
即：x2y2Dx E y F0
是否一定表示圆？
思考:
● 形如：x2y2Dx E y F0
的二元二次方程是否一定表示圆？
这个圆的半径长和圆心坐标。
同步练习：
1.求过三点 A (0,0),B (6,0),C (0,8)的圆的方 程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标。
所求圆的方程为：
x2y26x8y0
半径为 r1 D2E24F5 2
圆心为 3 , 4
结论：在使用待定系数法求圆方程时，何 时选择圆标准方程，何时选择圆的一般方 程？
2020版人教A数学必修2：4.1.2 圆的一般方程
0 3 0 3E F 0,
F 3,
则圆 M 的一般方程为 x2+y2-2x-3=0,即(x-1)2+y2=4.
答案:(x-1)2+y2=4
2.已知一圆过 P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在 y 轴上截得的线段长为 4 3 ,求圆的方程.
解:法一 待定系数法
设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,将 P,Q 的坐标分别代入上式,
2
3.对方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的说明
方程
条件
图形
D2+E2-4F<0 不表示任何图形
x2+y2+Dx +Ey+F=0
D2+E2-4F=0 D2+E2-4F>0
表示一个点(- D ,- E ) 22
表示以(- D ,- E )为圆心, 22
以 1 D2 E2 4F 为半径的圆 2
程 x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0 表示的圆的个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:(1)根据题意,若方程 x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0 表示圆, 则有 a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,解得-2<a< 2 ,
3
又由 a∈{-2,0,1, 2 },则 a=0; 3
点坐标公式得 x= x0 3 (x≠3 且 x≠1),y= y0 0 ,于是有 x0=2x-3,y0
2
2
=2y. 由(1)知,点 C 在圆(x-1)2+y2=4(x≠3 且 x≠-1)上运动,将 x0,y0 代入该方 程得(2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+y2=1. 因此动点 M 的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(x≠3 且 x≠1).
人教A版高中数学必修2《四章 圆与方程 第四章 圆与方程(通用)》教案_12
第一讲 直线与圆教学设计课 时： 1课时 命题人： 审题人： 班级： 姓名：[高考定位] 考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题．直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中等，一般以选择题、填空题的形式出现，有时也会出现解答题，多考查其几何图形的性质或方程知识．一、学情分析本班为高三文科普通班，数学基础薄弱，数学思维较差。
因此本节课主要是讲解创新导学案上的知识点。
以便于让学生通过做题巩固知识，建立基础的数学思维。
二、教学分析教学目的1．两直线位置关系的判断及平行线的距离公式2．圆的方程及有关圆的对称性问题3.灵活运用直线与圆、圆与圆的位置关系处理最值问题教学重点1．圆的方程及有关圆的对称性问题2.灵活运用直线与圆、圆与圆的位置关系处理最值问题教学难点1.灵活运用直线与圆、圆与圆的位置关系处理最值问题三、教学过程（1）学生自主看相应知识点（2）考点分析考点一、直线与方程主讲第三题3、在平面直角坐标系内，过定点P 的直线:10l ax y +-=与过定点Q 的直线:30m x ay -+=相交于点M ，则22MP MQ +=（ ）A B .5C .10D做题反思：注意题中隐含条件l m ⊥，即222MP MQ PQ +=考点二 圆的方程1．已知圆222:2C x y kx y k +++=-，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为（ ）A ．()0,1B ．()0,1-C ．()1,0D ．()1,0-2. 圆()2224x y -+=关于直线y x =对称的圆的方程是（ ）A. (()2214x y -+-=B.((224x y +-=B.()2224x y +-= D.()(2214x y -+-= 3．在平面直角坐标系xoy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点()()1,0,1,2A B -．在圆C 上存在点P ，使得2212PA PB +=，则点P 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4做题反思:注意方程组、函数、转化及化归的思想考点三 直线与圆、圆与圆的位置关系1.圆:222210x y x y +--+=上的点到直线2x y -=距离的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．1D ．2+2.过抛物线24y x =的焦点且倾斜角为60的直线被圆2240x y x +-+=截得的弦长是 .3.已知圆()2222:22100C x y ax by a b a +--++-=<0y -+=上，且圆C 0y +=的距离的最大值为1则22a b +的值为 .做题反思：圆上的点到动点及定直线的距离可转化为圆心到点或到直线的距离加减半径得到，圆的弦长通常转化为勾股定理求解。
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圆的一般方程
例3 点P(10,0),Q 为圆x 2+y 2
=16上一动点.当Q 在圆上运动时,求PQ 的中点M 的轨迹方程.
活动:学生回想求曲线方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,此题可利用平面几何的知识,见中点作中线,利用中线定长可得方程,再就是利用求曲线方程的办法来求.
图1
解法一:如图1,作MN∥OQ 交x 轴于N, 那么N 为OP 的中点,即N(5,0). 因为|MN|=
2
1
|OQ|=2(定长). 所以所求点M 的轨迹方程为(x-5)2
+y 2
=4.
点评:用直接法求轨迹方程的关键在于找出轨迹上的点应满足的几何条件,然后再将条件代数化.但在许多问题中,动点满足的几何条件较为隐蔽复杂,将它翻译成代数语言时也有困难,这就需要我们探讨求轨迹问题的新方法.转移法就是一种很重要的方法.用转移法求轨迹方程时,首先分析轨迹上的动点M 的运动情况,探求它是由什么样的点控制的. 解法二:设M(x,y)为所求轨迹上任意一点Q(x 0,y 0).
因为M 是PQ 的中点,所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=.2.102,20,2100000y y x x y y x x 即(*) 又因为Q(x 0,y 0)在圆x 2
+y 2
=16上,所以x 02
+y 02
=16.将(*)代入得 (2x-10)2
+(2y)2
=16.
故所求的轨迹方程为(x-5)2
+y 2
=4.
点评:相关点法步骤:①设被动点M(x,y),主动点Q(x 0,y 0).
②求出点M 与点Q 坐标间的关系⎪⎩⎪⎨⎧==).
,(),
,(002001y x f y y x f x (Ⅰ)。