证明三角平分线判定方法
三角平分线模型定理
三角平分线模型定理1.引言1.1 概述三角平分线模型定理是三角形中一个重要的几何定理，它涉及到三角形的平分线以及与之相关的性质。
在我们的日常生活和实际应用中，三角形是非常常见的图形，所以了解和掌握三角形的性质和定理对我们的学习和应用都有重要的意义。
本文旨在介绍三角平分线的定义和性质，以及三角平分线模型定理。
首先，我们将给出三角平分线的定义。
三角形的平分线是指从三角形的一个顶点引出的直线，将对立边分成两个相等的线段。
这个定义非常直观和容易理解，同时也是我们后续讨论的基础。
接着，我们将探讨三角平分线的性质。
首先，三角形的三条平分线的交点被称为三角形的内心，该内心与三个顶点的连线的交点分别是三角形的三条边的中点。
这一性质的直观解释是，平分线将对立边分成相等的线段，所以三条平分线的交点就是三个中点的共同点。
除此之外，我们还将研究三角平分线模型定理。
该定理是一个重要的几何定理，它给出了三角形内心与三角形的三个顶点之间的距离关系。
根据三角平分线模型定理，内心到三角形每条边的距离等于该边上相邻两边的长度之差的一半。
这一定理的应用范围广泛，在许多几何问题的解决中都起到了关键的作用。
通过对三角形平分线的概念、性质和模型定理的深入了解，我们将能够更好地理解和运用三角形的相关知识。
本文将系统地介绍这些内容，帮助读者全面掌握三角平分线的概念和定理，并为读者进一步探索几何学和应用数学提供基础知识。
下面将详细讨论三角平分线的定义和性质，以及三角平分线模型定理，以便读者对这一主题有更清晰和全面的理解。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构：本文主要包含引言、正文和结论三个部分。
引言部分：引言部分将对本文的内容进行概述，并介绍文章的结构和目的。
正文部分：正文部分将包括两个小节，分别是“三角平分线的定义和性质”和“三角平分线的模型定理”。
1. 三角平分线的定义和性质：这一小节将详细介绍三角平分线的定义和相关的性质。
证明三角平分线判定方法
证明三角平分线判定方法三角形是初中数学中比较重要的一个分支，它是由三条边和三个角组成。
在学习三角形的过程中，我们经常会涉及到三角形的中位线、高线，而其中最重要的就是三角形的平分线。
如何判断一个线段是三角形的平分线呢？在本文中，我们将证明三角形平分线的判定方法。
首先，我们需要明确三角形平分线的定义。
在三角形ABC 中，如果一条直线AD从角A出发，且过角A的另一边(即BC)，并且将角A分成两个相等的角，那么AD就是三角形ABC的平分线。
接下来，我们介绍三角形平分线判定方法的证明。
具体证明过程如下：1. 假设线段AD是三角形ABC的平分线，且相交于BC点E。
2. 证明角AED和角AEB相等，在三角形ABD中，由平分线的定义可知角BDA等于角EDA，而由直角相等可知角BDE等于角ADB。
因此，角BDE加上角BDA等于角EDA加上角ADB。
移项可得：角BDE等于角AED。
3. 证明角AEC和角BEA相等。
同样，在三角形ABC中，因为角BED和角DEA相等（因为AD是平分线），所以角AEC 等于角BED加上角BEA，而角BED已经通过前面的证明与角AED相等，因此可得角AEC等于角AED加上角BEA。
代入前一个结论，可得角BEA等于角BDE，即角AEC等于角BEA。
4. 证明线段AD平分BC。
在三角形ABC中，由角BEA等于角AEC可知，三角形ABE与三角形AEC相似，因此可以得到AB÷AC=AE÷EB，即AB×EB=AC×AE。
同时，因为角BED等于角AED（证明过程中已经得出），所以三角形BED与三角形AED 也相似，因此得到BD÷DE=BE÷AE，即BD×AE=DE×BE。
结合这两个式子，可得BD×AC=DC×AB，即线段AD平分线段BC。
通过以上证明过程，我们可以得出：如果一条直线AD从角A出发，且过角A的另一边(即BC)，并且将角A分成两个相等的角，那么AD就是三角形ABC的平分线。
三角形内角平分线的性质定理的证明
三角形内角平分线的性质定理的证明一、定理 三角形内角平分线分对边为两部分与两邻边成比例.二、证明 已知：如图，2∠1∠=. 求证：BC AC BD AD =.方法一：利用平行线作等比代换.证明：作DE//BC ，DE 交AC 于点E ，则EC AE BD AD =.3∠2∠=，BCAC DE AE = 又2∠1∠=，∴3∠1∠=，于是DE=EC.∴BCAC DE AE BD AD == 方法二：应用平行线分线段成比例定理，等比代换中辅以等量代换.如图，作BE//DC ，BE 交AC 的延长线于点E ，则CEAC BD AD =，E ∠1∠=，3∠2∠=.又2∠1∠=，得E ∠3∠=，于是 BC=CE ， 则BC AC BD AD =. 方法三：进行逆推分析，若在AC 的延长线上作一个CE=BC ，则只要BE//DC.延长AC 到点E ，使CE=BC ，连接BE ，则）（E ∠3∠213∠+=.又∠ACB 212∠=， ∠E ∠3∠+=ACB ，∴3∠2∠=，于是 BE//DC. 则CE AC BD AD ==BCAC . 证法4：如图20.改变△ADC 的一个内角的大小，把它改造为△AEC ，使之与△BDC 相似并作等量代换.第一种情况：当BC AC ≠时，不妨设BC AC >，B CAB ∠∠<，以AC 为一边，在CAB ∠的同侧，作B CAE ∠∠=，AE 与CD 的延长线交于点E.又2∠1∠=，∴△ACE ∽△BCD. 则BCBD AC AE =，而E CAE B ∠∠-1∠-180∠-2∠-1804∠3∠=°=°==. ∴AE=AD ，于是 BC BD AC AD =，即BCAC BD AD =.第二种情况：当AC=BC 时，∵2∠1∠=，∴AD=BD ∴BC AC BD AD =. 方法五：这是把有一组角相等的一组三角形都改造成直角三角形，从而证明相似，进而作等比代换.请同学们动手试一试！方法六：这个面积法的关键是，把一组有关的三角形△ACD 和△BCD 的面积，用两种方式各表达一次，写成了等式.请同学们动手试一试！。
三角形角平分线几个结论的探究与证明
三角形角平分线几个结论的探究与证明摘要：在数学课程教学中，三角形角平分线解题过程中，对于三角形问题的应用非常重要，特别是三角形角平分线的结论，需要熟练掌握，才能提升解题的速度。
三角形的问题一般在填空、选择、解答题中都会涉及到，虽然难度和计算量都比较小，但是也需要学生们在做题的时候，能够更加快速地解决问题。
本文就三角形角平分线的几个结论进行探究和证明，以期在之后的解题过程中能灵活应用。
关键词：数学知识；三角形角平分线；角平分线证明三角形的角平分线是一条线段，关于三角形的内角、外角平分线以及交点问题中，需要了解三角形内角和、外角性质、两个外角与不相邻的内角之间的关系的知识。
在教学过程中教师要指导学生对三角形角平分线的基本图形做好总结，并对三角形角平分线的性质做好总结，积累相关知识，以解决复杂的数学问题。
一、三角形角平分线的定义和定理在三角形中，其中一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
由以上的定义可以得出三角形的角平分线是一条线段。
三角形共计有三个内角，也就是说三角形有三条角平分线，同时任意三角形的角平分线都在三角形的内部，三角形的三条角平分线，永远是交于三角形内部于一点的，我们将这个点称为内心。
另外，三角形共计有六个外角，也就是说三角形共计有六条外角平分线。
如果把一个角平分为两个角的线段，就叫做这个角的平分线。
三角形的三条角平分线相交于一个点，这个点就是三角形的内心，从内心到三角形的三边距离是相等的。
三角形内角平分线的定理是，三角形的内角平分线，对边成两条线段，这两条线段与这个角的两边是成比例的。
三角形内角的平分线定理如下：在Rt△ABC 中，若点D按照边AB和边AC的比内分边BC，则线段AD是∠BAC的平分线。
三角形外角平分线的定理如下：在Rt△ABC中，若点D按照边AB和边CD的比外分边BC，则线段AD是Rt△ABC的角∠BAC的外角平分线。
说明三角形的三条角平分线相交于一点，且这个点到三条边的距离相等[1]。
三角形角平分线的三个定理证明
三角形角平分线的三个定理证明今天我们来聊聊三角形的角平分线，不知道大家有没有听过这个名字？别着急，别皱眉头，咱们今天就用轻松的方式聊聊它的三个定理。
嗯，对了，别一听到“定理”就想着这些东西都很难。
其实说白了，就是一些数学小规律，咱们捋顺了，分分钟能掌握！三角形的角平分线，就好比一个人站在三角形的顶点，把顶点的角一分为二，这两部分就叫做“角平分线”。
所以说，角平分线其实就是把角给“平分”了。
就像咱们吃饭的时候，大家都吃的差不多，没谁吃得特别多，也没谁吃得特别少，吃到最后大家都差不多，能吃个七八分饱。
这就是角平分线的第一步，它把角“分得很均匀”。
好啦，咱们先来看看第一个定理——角平分线定理。
这个定理说的是：在一个三角形里，如果你把其中一个角分成两个相等的角，那么角平分线就会把对边分成两段，比例就和另外两个边的长度成正比。
说起来可能有点绕，不过理解一下其实很简单。
比如说你有一个三角形，角A被角平分线分成了两个相等的角，接着角平分线碰到了对边BC，这时候，角平分线把对边BC分成了两段——一段叫做BD，一段叫做DC。
于是，BD和DC的比例就跟AB和AC的比例一样。
所以，简单来说，角平分线把对边分得“恰如其分”，好像是两个好朋友，他们不争不抢，分得刚刚好。
怎么说呢？简直就是“分蛋糕分得不多不少”。
这个定理，其实很直白，理解起来就像你吃一块蛋糕，吃到自己的一块，剩下的也给大家分得差不多，公平又公正。
接下来我们来说第二个定理，角平分线的外角定理。
听着名字可能有点“高大上”，但说白了就是，三角形外面的某些角也能有它的分法。
这里的关键点是，三角形的一条角平分线延伸到外面，它和外面的对边之间有一个特殊的关系。
你看，假如角平分线从角A出发，穿过三角形的外边，这时候，外面这个角的大小恰好等于它与角平分线的内角的加和的一半。
也就是说，它跟内部的角平分线内外的配合得当，像是一对搭档，互相配合，默契十足。
所以，这个定理就像我们常说的“知己知彼，百战不殆”，内外呼应，整体协作，效果好到飞起。
初中数学三角形内外角平分线有关命题的证明及应用
三角形内外角平分线一.命题的证明及应用在中考常有与三角形内外角平分线有关的题目，若平时不注意总结是很难一下子解决的．下面来一起学习一下．命题 1 如图１，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°+∠A．证明：如图１：∵∠1＝∠，∠２＝∠，∴2∠1＋2∠2＋∠A＝180°①∠1＋∠2＋∠D=180°②①－②得：∠1＋∠2＋∠A＝∠D③由②得：∠1＋∠2=180°－∠D④把③代入④得：∴180°－∠D＋∠A＝∠D∠D=90°+∠A．点评利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180°，不难证明.命题2 如图２，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°－∠A．证明：如图２：∵DB和DC是△ABC的两条外角平分线，∴∠D=180°－∠1－∠2=180°－（∠DBE+∠DCF）=180°－（∠A+∠4+∠A+∠3）=180°－（∠A+180°）=180°－∠A－90°=90°－∠A；点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和以及三角形的内角和等于180°，可以证明.命题3 如图3，点E是△ABC一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则∠E=∠A．证明：如图3：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠A+2∠1=2∠4①∠1+∠E=∠4②①×代入②得：∠E=∠A．点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和，很容易证明.命题4如图４，点E是△ABC一个内角平分线BE与一个外角平分线CE的交点，证明:AE是△ABC的外角平分线.证明：如图3：∵BE是∠ABC的平分线,可得：EH=EFCE是∠ACD的平分线, 可得：EG=EF∴过点E分别向AB、AC、BC所在的直线引垂线，所得的垂线段相等.即EF=EG=EH∵EG=EH∴AE是△ABC的外角平分线．点评利用角平分线的性质和判定能够证明．应用上面的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题，下面来一起看．例1如图5，PB和PC是△ABC的两条外角平分线．①已知∠A=60°，请直接写出∠P的度数.②三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？解析：①由命题2的结论直接得：∠P=90°－∠A=90°－×60°=60°②根据命题2的结论∠P=90°－∠A，知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都是锐角，则该三角形是锐角三角形．点评此题直接运用命题2的结论很简单．同时要知道三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．例２如图6，在△ABC中，延长BC到D,∠ABC与∠ACD的角平分线相较于点，∠BC与∠CD的平分线交与点，以此类推，…，若∠A=96°，则∠= 度．解析：由命题③的结论不难发现规律∠∠A．可以直接得：∠=×96°=3°．点评此题是要找出规律的但对要有命题③的结论作为基础知识．例３（203陕西第一大题填空题第八小题，此题３分）如图7，△ABC的外角∠ACD 的平分线CP的内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________．解析：此题直接运用命题４的结论可以知道ＡＰ是△ABC的一个外角平分线，结合命题３的结论知道∠BAC=2∠BPC, CAP=(180°－∠BAC )= (180°－2∠BPC )=50°．点评对命题3、4研究过的读者此题不难，否则将是一道在考试的时候花时间也不一定做的出来的题目．例４(2003年山东省)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交与E点，连接AE，则∠AEB= 度．解析：有题目和命题４的结论可以知道AE是△ABC的一个外角平分线, 结合命题2的结论知道∠AEB=∠ACB－∠ACB=90°－×90°=45°点评从上面的做题过程来看题目中给出的“∠A=30°”这个条件是可以不用的．二.角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、已知角平分线，构造三角形例题、如图所示，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F。
三角形三条角平分线交点定理
三角形三条角平分线交点定理1. 引言三角形是几何学中的基本概念之一，研究三角形的性质对于几何学的发展具有重要意义。
在研究三角形时，我们常常会遇到一些特殊点和线，它们与三角形的关系可以揭示出许多有趣的性质和定理。
本文将介绍一个与三角形相关的重要定理——三角形三条角平分线交点定理。
2. 定理表述给定一个任意三角形ABC，分别作边AB、AC上的两条内角平分线AD和AE，以及边BC上的一条外角平分线BF。
则AD、AE和BF交于一点。
3. 定理证明为了证明这个定理，我们需要用到一些基本几何知识和方法。
步骤1：构造辅助线首先，我们需要构造两条辅助线来帮助证明。
我们在顶点A处引入边BC上的内切圆，并设其切点为D’、E’。
此外，在顶点B和C处分别引入边AC和AB上的外切圆，并分别设其切点为F’、F”。
如下图所示：步骤2：证明三边相等根据内切圆的性质，我们知道AD’和AE’是三角形ABC的两条角平分线，因此它们与边BC垂直。
同样地，根据外切圆的性质，BF’和BF”也与边BC垂直。
由于直角三角形中两条垂直线段互相平分对应的弧长，我们可以得出以下结论： - 弧BD’ = 弧CD’ - 弧BE’ = 弧CE’ - 弧BF’ = 弧CF”再根据弧长定理可知： - BD’ = CD’ - BE’ = CE’ - BF’ = CF”又因为D’E’||BC，所以我们可以得到以下结论： - AD’/AD = AE’/AE - BD’/BD = BE’/BE根据内切圆的性质，我们还可以得到以下结论： - AD’/BD’ = AE’/BE’综上所述，我们可以得出以下等式： 1. AD/BD = AE/BE 2. BD/CD = BE/CE 3. AD’/BD’ = AE’/BE’ 4. AD/BD = AD’/BD’ 5. AE/BE = AE’/BE’步骤3：证明交点存在根据步骤2的结果，我们可以得出以下结论： - 三角形ABD与三角形ABD’相似（共边AB，∠BAD = ∠BAD’，AD/BD = AD’/BD’） - 三角形ACE与三角形ACE’相似（共边AC，∠CAE = ∠CAE’，AE/CE = AE’/CE’）由于相似三角形的性质，我们知道∠ADB = ∠ADB’，∠AEC = ∠AEC’。
角平分线的性质和判定角平分线画法角平分线的三个基本公式
一、角的平分线性质定理1.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
2.到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
3.三角形的三条角平分线交于一点，称作内心。
内心到三角形三边的距离相等；4.三角形一个角的平分线，把对边所分成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。
判定：角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上。
二、角平分线画法方法11、以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边于点M、N。
2、分别以点M、N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P。
3、作射线OP。
射线OP即为角平分线。
方法21、在两边OA、OB上分别截取OM、OC和ON、OD，使OM=ON，OC=OD。
2、连接CN与DM，相交于P。
3、作射线OP。
射线OP即为角平分线。
三、角平分线定义1、从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
2、三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）。
三角形的角平分线是一条线段。
由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。
三角形的角平分线交点一定在三角形内部。
三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。
三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。
四、角的平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
1、角的平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
五、角平分线的性质：角平分线上的点，到角两边的距离相等定理：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。
垂直于两边为最短距离。
角平分线能得到相同的两个角。
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
逆定理：到角两边的距离相等的点在角平分线上。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
证明三角平分线判定方法
三角形其中一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
下面小编给大家带来证明三角平分线判定方法，希望能帮助到大家!
1.角平分线线上的点到角两边的距离相等。
若射线AD是∠CAB的角平分线，求证：CD=BD
∵∠DCA=∠DBA
∠CAD=∠BAD
AD=AD
∴△ACD≌△ABD
∴CD=BD
2.三角形内角平分线分对边所成的两条线段，和两条邻边成比例
在三角形ABC中，当AD是顶角A的角平分线交底边于D时，BD/CD=AB/AC。
证明：
如图，AD为△ABC的角平分线，过点D向边AB,AC分别引垂线DE,DF.则DE=DF。
S△ABD：S△ACD=BD/CD
又因为S△ABD：S△ACD=[(1/2)AB×DE]：[(1/2)AC×DF]=AB：AC
所以BD/CD=AB/AC。
1.角平分线可以得到两个相等的角。
2.角平分线上的点到角两边的距离相等。
3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。
三角形的内心到三角形三边的距离相等。
4.三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。
1.以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边于点M，N。
2.分别以点M，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P。
3.作射线OP。
射线OP即为所求。
证明：连接PM,PN在△POM和△PON中
∵OM=ON,PM=PN,PO=PO
∴△POM≌△PON(SSS)∴∠POM=∠PON，即射线OP为角AOB的角平分线
当然，角平分线的作法有很多种。
下面再提供一种尺规作图的方法供参考：
1.在两边OA、OB上分别截取OM、OC和ON、OD，使OM=ON，OC=OD;
2.连接CN与DM，相交于P;
3.作射线OP。
3.射线OP即为所求。
三角形中的性质。
1.三角形的三条角平分线交于一点，且到各边的距离相等.这个点称为内心 (即以此点为圆心可以在三角形内部画一个内切圆)。
2.三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
3.若AD是△ABC的角平分线，则 BD/DC=AB/AC 。
4.证明：作CE∥AD交BA延长线于E。
∵CE∥AD
∴△BDA∽△BCE
∴BA/BE=BD/BC
∴ BA/AE=BD/DC
∵CE∥AD
∴∠BAD=∠E,∠DAC=∠ACE
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD∴∠BAD=∠CAD=∠ACE=∠E即∠ACE=∠E∴AE=AC又
∵BA/AE=BD/DC∴BA/AC=BD/DC
以上均为阶段知识点及证法，详见“角平分线定理”“三角形角平分线”。