角平分线定理的多种证明方法
三角形内角平分线的性质定理的证明
三角形内角平分线的性质定理的证明一、定理 三角形内角平分线分对边为两部分与两邻边成比例.二、证明 已知：如图，2∠1∠=. 求证：BC AC BD AD =.方法一：利用平行线作等比代换.证明：作DE//BC ，DE 交AC 于点E ，则EC AE BD AD =.3∠2∠=，BCAC DE AE = 又2∠1∠=，∴3∠1∠=，于是DE=EC.∴BCAC DE AE BD AD == 方法二：应用平行线分线段成比例定理，等比代换中辅以等量代换.如图，作BE//DC ，BE 交AC 的延长线于点E ，则CEAC BD AD =，E ∠1∠=，3∠2∠=.又2∠1∠=，得E ∠3∠=，于是 BC=CE ， 则BC AC BD AD =. 方法三：进行逆推分析，若在AC 的延长线上作一个CE=BC ，则只要BE//DC.延长AC 到点E ，使CE=BC ，连接BE ，则）（E ∠3∠213∠+=.又∠ACB 212∠=， ∠E ∠3∠+=ACB ，∴3∠2∠=，于是 BE//DC. 则CE AC BD AD ==BCAC . 证法4：如图20.改变△ADC 的一个内角的大小，把它改造为△AEC ，使之与△BDC 相似并作等量代换.第一种情况：当BC AC ≠时，不妨设BC AC >，B CAB ∠∠<，以AC 为一边，在CAB ∠的同侧，作B CAE ∠∠=，AE 与CD 的延长线交于点E.又2∠1∠=，∴△ACE ∽△BCD. 则BCBD AC AE =，而E CAE B ∠∠-1∠-180∠-2∠-1804∠3∠=°=°==. ∴AE=AD ，于是 BC BD AC AD =，即BCAC BD AD =.第二种情况：当AC=BC 时，∵2∠1∠=，∴AD=BD ∴BC AC BD AD =. 方法五：这是把有一组角相等的一组三角形都改造成直角三角形，从而证明相似，进而作等比代换.请同学们动手试一试！方法六：这个面积法的关键是，把一组有关的三角形△ACD 和△BCD 的面积，用两种方式各表达一次，写成了等式.请同学们动手试一试！。
三角形角平分线几个结论的探究与证明
三角形角平分线几个结论的探究与证明摘要：在数学课程教学中，三角形角平分线解题过程中，对于三角形问题的应用非常重要，特别是三角形角平分线的结论，需要熟练掌握，才能提升解题的速度。
三角形的问题一般在填空、选择、解答题中都会涉及到，虽然难度和计算量都比较小，但是也需要学生们在做题的时候，能够更加快速地解决问题。
本文就三角形角平分线的几个结论进行探究和证明，以期在之后的解题过程中能灵活应用。
关键词：数学知识；三角形角平分线；角平分线证明三角形的角平分线是一条线段，关于三角形的内角、外角平分线以及交点问题中，需要了解三角形内角和、外角性质、两个外角与不相邻的内角之间的关系的知识。
在教学过程中教师要指导学生对三角形角平分线的基本图形做好总结，并对三角形角平分线的性质做好总结，积累相关知识，以解决复杂的数学问题。
一、三角形角平分线的定义和定理在三角形中，其中一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
由以上的定义可以得出三角形的角平分线是一条线段。
三角形共计有三个内角，也就是说三角形有三条角平分线，同时任意三角形的角平分线都在三角形的内部，三角形的三条角平分线，永远是交于三角形内部于一点的，我们将这个点称为内心。
另外，三角形共计有六个外角，也就是说三角形共计有六条外角平分线。
如果把一个角平分为两个角的线段，就叫做这个角的平分线。
三角形的三条角平分线相交于一个点，这个点就是三角形的内心，从内心到三角形的三边距离是相等的。
三角形内角平分线的定理是，三角形的内角平分线，对边成两条线段，这两条线段与这个角的两边是成比例的。
三角形内角的平分线定理如下：在Rt△ABC 中，若点D按照边AB和边AC的比内分边BC，则线段AD是∠BAC的平分线。
三角形外角平分线的定理如下：在Rt△ABC中，若点D按照边AB和边CD的比外分边BC，则线段AD是Rt△ABC的角∠BAC的外角平分线。
说明三角形的三条角平分线相交于一点，且这个点到三条边的距离相等[1]。
角平分线三个定理
角平分线三个定理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：角平分线三个定理是几何学中非常重要的定理之一，它们可以帮助我们更好地理解和运用角平分线的性质。
本文将详细介绍这三个定理的含义和推理过程。
第一个定理是角平分线定理。
所谓角平分线定理指的是：如果一条直线将一个角分成两个大小相等的角，那么这条直线就是这个角的平分线。
换句话说，如果一条直线BD分割一个角ABC，且∠ABD≌∠CBD，则BD就是∠ABC的平分线。
证明这个定理的方法比较简单，可以通过相似三角形或等角相等辅助线的方法进行。
通过这三个定理，我们可以更深入地了解角平分线的性质，进而应用到解决各种与角平分线相关的几何问题中。
熟练掌握和灵活运用这三个定理对于提高我们的几何学水平至关重要。
希望通过本文的介绍，读者们能够更好地理解和掌握角平分线的性质，从而在学习和工作中取得更好的成绩。
愿大家在几何学的道路上不断进步，探索出更多有趣的数学定理和问题！第二篇示例：角平分线三个定理是解析几何中非常重要的定理，对于角平分线的性质进行了深入的研究和总结。
在平面几何中，角平分线是连接一个角的两边中点的线段，将这个角分成两个相等的角。
下面我们来详细介绍一下角平分线的三个定理。
第一个角平分线定理是角平分线定理，它的表述如下：若一条线段从一个角内的顶点引出，又将这个角分成两个相等的小角。
这个定理是解析几何中最基本的定理之一，也是很多其他定理的基础。
通过角平分线定理，我们可以得出许多结论和推论，解决很多关于角平分线的问题。
第二个角平分线定理是角平分线的长度比定理，它的表述如下：如果一条角平分线把一个角分成两个相等的小角，则这条角平分线上的一点到角的两边的距离分别等于这两条边的比值。
这个定理在解决角平分线长度问题时非常有用，能够帮助我们准确计算角平分线的长度。
通过这三个角平分线定理，我们可以更好地理解和运用角平分线的性质，解决各种与角平分线相关的问题。
在解析几何的学习中，掌握这些定理能够提高我们的解题能力和几何思维，帮助我们更好地理解平面几何知识，为进一步学习提供良好的基础。
三角形角平分线的三个定理证明
三角形角平分线的三个定理证明今天我们来聊聊三角形的角平分线，不知道大家有没有听过这个名字？别着急，别皱眉头，咱们今天就用轻松的方式聊聊它的三个定理。
嗯，对了，别一听到“定理”就想着这些东西都很难。
其实说白了，就是一些数学小规律，咱们捋顺了，分分钟能掌握！三角形的角平分线，就好比一个人站在三角形的顶点，把顶点的角一分为二，这两部分就叫做“角平分线”。
所以说，角平分线其实就是把角给“平分”了。
就像咱们吃饭的时候，大家都吃的差不多，没谁吃得特别多，也没谁吃得特别少，吃到最后大家都差不多，能吃个七八分饱。
这就是角平分线的第一步，它把角“分得很均匀”。
好啦，咱们先来看看第一个定理——角平分线定理。
这个定理说的是：在一个三角形里，如果你把其中一个角分成两个相等的角，那么角平分线就会把对边分成两段，比例就和另外两个边的长度成正比。
说起来可能有点绕，不过理解一下其实很简单。
比如说你有一个三角形，角A被角平分线分成了两个相等的角，接着角平分线碰到了对边BC，这时候，角平分线把对边BC分成了两段——一段叫做BD，一段叫做DC。
于是，BD和DC的比例就跟AB和AC的比例一样。
所以，简单来说，角平分线把对边分得“恰如其分”，好像是两个好朋友，他们不争不抢，分得刚刚好。
怎么说呢？简直就是“分蛋糕分得不多不少”。
这个定理，其实很直白，理解起来就像你吃一块蛋糕，吃到自己的一块，剩下的也给大家分得差不多，公平又公正。
接下来我们来说第二个定理，角平分线的外角定理。
听着名字可能有点“高大上”，但说白了就是，三角形外面的某些角也能有它的分法。
这里的关键点是，三角形的一条角平分线延伸到外面，它和外面的对边之间有一个特殊的关系。
你看，假如角平分线从角A出发，穿过三角形的外边，这时候，外面这个角的大小恰好等于它与角平分线的内角的加和的一半。
也就是说，它跟内部的角平分线内外的配合得当，像是一对搭档，互相配合，默契十足。
所以，这个定理就像我们常说的“知己知彼，百战不殆”，内外呼应，整体协作，效果好到飞起。
角的平分线问题的求解方法
角的平分线问题的求解方法角的平分线问题是数学中常见的一个几何问题，它涉及到如何找到一个角的平分线。
解决这个问题的方法有很多种，下面将介绍几种常见的求解方法。
方法一：三角形相似法在平面几何中，我们知道如果两个三角形的对应角相等，那么它们的对应边的比例也相等。
利用这个性质，我们可以通过构造一个辅助三角形，来找到角的平分线。
具体操作如下：1. 以角的顶点为圆心，任意取一点作为辅助点，画出一条射线。
2. 以辅助点为顶点，分别与角的两边交点作为辅助三角形的另外两个顶点。
3. 连接辅助点与角的顶点，形成一个辅助三角形。
4. 利用辅助三角形与原角的相似关系，可以得到角的平分线。
方法二：角平分线定理角平分线定理是解决角的平分线问题的另一种方法。
根据角平分线定理，一个角的平分线将这个角分成两个相等的角。
具体操作如下：1. 以角的顶点为圆心，画一个圆。
2. 在圆上取两个点，分别与角的两边交点。
3. 连接圆心与这两个交点，形成两个角。
4. 这两个角是相等的，因此它们的平分线也是相等的，即为所求的角的平分线。
方法三：三角函数法三角函数法是一种利用三角函数来求解角的平分线问题的方法。
通过利用正弦、余弦和正切函数的性质，可以得到角的平分线的具体位置。
具体操作如下：1. 根据已知角的大小，利用正弦、余弦和正切函数计算出角的正弦值、余弦值和正切值。
2. 根据正弦、余弦和正切函数的定义，可以得到角的平分线与角的两边的关系。
3. 利用三角函数的性质，可以确定角的平分线的位置。
以上是几种常见的角的平分线问题的求解方法，每种方法都有其特点和适用范围。
在实际问题中，可以根据具体情况选择合适的方法来求解角的平分线。
通过熟练掌握这些方法，我们可以更好地理解和应用角的平分线问题，提高解题的效率和准确性。
总结起来，解决角的平分线问题可以采用三角形相似法、角平分线定理和三角函数法等多种方法。
这些方法各有特点，可以根据具体情况选择合适的方法来求解。
角平分线定理
角平分线定理角平分线定理，又称为角的平分线定理，是在几何学中非常重要的一个定理。
它是指任意一个角的平分线能将该角分成两个大小相等的角。
在几何学中，一个角是由两条线段或射线的公共端点确定的，通常用字母来表示，如角ABC。
下图是一个角的示意图：（图片省略）在图中，顶点为点B，角ABC由线段BA和线段BC确定。
现在将角ABC的内部画一条直线AD，使得角BAD和角DAC的大小相等。
即使得∠BAD=∠DAC。
根据角平分线定理，我们可以得出以下结论：1. 任意一个角都有且仅有一个平分线。
2. 该平分线将角分成两个大小相等的角。
这个定理的证明有多种方法，下面我们将介绍一种简单的方式：首先，我们可以构造一个角ABC，并在内部画一条直线AD。
我们假设∠BAD=∠DAC。
接下来，我们需要证明∠BAD=∠DAC。
这可以通过以下步骤来实现：1. 根据角的定义，∠BAD由线段BA和线段BD确定，∠DAC由线段DA和线段DC确定。
我们可以得出∠BAD=∠BA和∠DAC=∠DA。
2. 因为∠BAD=∠DAC，所以∠BA=∠DA。
3. 由于角BAD和角DAC的两条边相等，根据三角形的性质，我们可以得出∠BAD=∠DAC。
通过以上证明，我们可以得出结论：角ABC的平分线AD将角ABC分成两个大小相等的角BAD和DAC。
在实际应用中，角平分线定理在解决各种几何问题时起着重要的作用。
例如，在建筑工程中，我们需要确保两条墙壁的相交角度相等，以保证建筑物的结构牢固。
而角平分线定理提供了一个简单而可靠的方法来实现这一目标。
总结来说，角平分线定理是几何学中的重要定理，它指出任意一个角的平分线能将该角分成两个大小相等的角。
这个定理在解决几何问题中有着广泛的应用，为我们提供了一个简单而可靠的工具。
无论是在学术研究中还是日常生活中，了解和应用角平分线定理都将对我们有着积极的影响。
证明角平分线的方法
证明角平分线的方法
证明一个角的平分线，首先需要明确一个定义：角平分线是将一个角分成两个相等的角的线段。
下面给出两种常见的证明方法：
方法一：利用角的差角定理证明
设在角AOB上有一条角平分线OC，要证明∠AOC = ∠BOC。
1.连接线段OA和OB。
2.延长线段OC，使其与线段OA和OB相交于点D和E。
3.利用角的差角定理，我们可以得到∠AOC = ∠AOD - ∠COD，∠COB = ∠BOE - ∠COE。
4.由于角平分线OC将角AOB平分，所以∠AOD = ∠BOE。
5.将刚才得到的等式带回第3步的两个等式中，可以得到∠AOC = ∠BOC。
因此，通过角的差角定理，可以证明角平分线OC将角AOB平分。
方法二：利用三角形的相似性证明
设在角AOB上有一条角平分线OC，要证明∠AOC = ∠BOC。
1.连接线段OA和OB。
2.作线段OD ⊥OC，OE ⊥OC。
3.利用三角形的相似性，可以得到AOD ∼BOE。
4.由于我们假设OC是角AOB的平分线，所以根据定义，∠AOD = ∠BOE。
5.由于AOD ∼BOE，所以∠AOC = ∠BOC。
因此，通过三角形的相似性，可以证明角平分线OC将角AOB平分。
以上是两种常见的证明角平分线的方法，希望能对你有所帮助。
证明角平分线的三种方法
分析 ： 要证 明 Ｏ Ａ平分 ０到
Ｃ 只要证 明点 ，
。
．
ｃ两边 的距 离相等即可．
・ ． ．
Ａ Ｄ是等腰 △Ａ Ｃ底边上 的高． Ｂ Ｄ平分 Ｂ ． ＡＣ
证 明 ： ＡＢ Ｅ和 ＡＣ Ｄ中 ， 在 Ｏ Ｏ
・ ． ‘
‘ ．
Ｄ ＝ ＬＯ Ｃ ０ ， Ｏ ＝（ Ｃ Ｏ， 胎 Ｄ ＝９ 。 ＬＢ Ｅ ＿ Ｏ
分析 ： 证 明 Ａ 要 Ｄ平 分 ＬＢ ， ＡＣ 只要 证 明
Ｄ＝ ＬＣ ＡＤ 即可 ．
证明 ： 由ＬＤ Ｃ ＬＤ Ｂ， 册 ＝Ｄ ． Ｂ ＝ Ｃ 得 Ｃ
・ ．
Ｂ＝ Ａ ＡＤ ＝ ＡＤ 、 Ｃ、 ＤＢ＝ ＤＣ ，
・
．
．
ＡＡ Ｄ ＡＡ Ｄ（Ｓ ） Ｂ Ｃ ＳＳ ．
Ｄ ： Ｃ ＡＤ．
Ａ Ｄ垂直平 分 Ｂ ， Ｃ
Ｄ ＝ ＤＣ．
Ｃ，
证明： Ｃ 由 Ｆ平分 ＬＢ Ｅ， Ｃ 得点
的平 分线上．
・ ． ．
・
． ．
Ａ Ｄ是等腰 ＡＡ Ｃ顶角 的平 分线． Ｂ
・
．
．
点 Ｆ到 Ａ ｃ边 的距 离等于 点 Ｆ到 Ｂ Ｃ边
‘ ．
．
的距 离 ．
’ ．
‘
ＢＥ ＝ ＣＥ ，
Ａ Ｅ坌 ０ ＡＣ Ｄ（ Ａ ） Ｏ Ａ Ｓ．
三 、 用 角 平 分 线 约 判 定 定理 证 。 利 ｆ ｝ห้องสมุดไป่ตู้
ＯＢ＝ ＯＣ ，
・
． ．
例 ５ 如 图 ５Ｃ ． Ｆ和 日 Ｆ分别 平 分 △ＡＢ Ｃ 的两个外角． 求证 ： ＡＦ平分 ＬＢ Ｃ Ａ．
。 ． ．
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三角形内角平分线定理的多种证明方法
已知，如图，AM为△ABC的角平分线，求证AB／AC=MB／MC
证明：方法一：（面积法）
三角形ABM面积S=(1/2)*AB*AM*sin∠BAM,
三角形ACM面积S=(1/2)*AC*AM*sin∠CAM,
所以三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=AB:AC
又三角形ABM和三角形ACM是等高三角形，面积的比等于底的比，
即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM
所以AB／AC=MB／MC
方法二（相似形）
过C作CN平行于AB交AM的延长线于N
三角形ABM相似三角形NCM,
AB/NC=BM/CM,
又可证明∠CAN=∠ANC
所以AC=CN，所以AB／AC=MB／MC
方法三（相似形）
过M作MN平行于AB交AC于N
三角形ABC相似三角形NMC,
AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC
又可证明∠CAM=∠AMN
所以AN=MN，所以AB/AC=AN/NC 所以AB／AC=MB／MC
方法四（正弦定理）
作三角形的外接圆，AM交圆于D，
由正弦定理，得，
AB/sin∠BMA=BM/sin∠BAM,
AC/sin∠CMA=CM/sin∠CAM
又∠BAM=∠CAM，∠BMA+∠AMC=180
sin∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC,
所以AB／AC=MB／MC
阅读下面材料，按要求完成后面作业。
三角形内角平分线性质定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
已知：△ABC中，AD是角平分线（如图1），求证：=。
分析：要证=，一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在的三角形相似，现在B、D、C在一条直线，△ABD与△ADC不相似，需要考虑用别的方法换比。
在比例式=中，AC恰好是BD、DC、AB的第四比例项，
所以考虑过C作CE∥AD交BA的延长线于E，从而得到BD、DC、AB的
第四比例项AE，这样，证明=，就可转化证=。
（1）完成证明过程：
证明：
（2）上述证明过程中，用到了哪些定理（写对两个即可）
答：用了：①____________；②_____________。
（3）在上述分析和你的证明过程中，主要用到了下列三种数学思想的哪一种：①数形结合思想②转化思想③分类讨论思想答：____________。
（4）用三角形内角平分线定理解答问题：
如图2，△ABC中，AD是角平分线，AB=5cm，AC=4cm，BD=7cm，求BC之长。
（1）证明：过点C作CE//AD交BA的延长线于点E，
则∠E=∠BAD=∠DAC=∠ECA，所以AE=AC，由CE//AD，
可得=，∴=。
（2）两直线平行，同位角相等；等腰三角形的判定；三角形相似的判定的定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（3）②；
（4）“略”。