概率与概率分布习题
思考题
1．有一种体育彩票的中奖规则时所选号码和顺序与摇奖结果一致。
每个位置上的中奖号码时0~9这十个数字中随机摇出的。
某期体育彩票摇奖现场的电视节目主持人说：“今年体育彩票开奖以来，在这个位置上，2这个数字出现了27次，是出现概率最大的数字“。
请问，该主持人的说法是否正确？
2．怎样理解频率和概率的关系？频率的极限是概率吗？
3．概率的三种定一个有什么应用场合和局限性？
4．全概率公式和逆概率公式分别用于什么场合？
5．离散型随机变量和连续型随机变量的概率分布的描述有些什么不同？
6．两个随机事件的独立性意味着什么？协方差和相关系数由何关系？
7．二项分布和超级和分布的适用场合有什么不同？它们的均值和方差有什么区别？
8．正态分布所描述的随机现象有什么特点？为什么许多随机现象服从或近似服从正态分布？
9．对于同一险种，为什么投保人越多，保险公司的相对风险越小？
练习题
1．某技术小组有12人，他们的性别和职称如下表所示。
现要产生一名幸运者。
试求这位幸运者分别是以下几种可能的概率：（1）女性；（2）工程师；（3）女工程师；（4）女性或工程师。
3．某种零件加工必须以此经过三道工序，从以往大量的生产纪录得知，第一、第二、第三道工序的次品率分别是0.2，0.1，0.1,并且每道工序是否产生次品与其他工序无关。
试求这种零件的次品率。
4．已知参加某项考试的全部人员合格的占80%，在合格人员中成绩优秀的只占15%。
试求任一参加考试人员成绩优秀的概率。
5．设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9？
6．已知某地区男子寿命超过55岁的概率为84%，超过70岁的概率为63%。
试求任一位刚过55岁生日的男子将会活到70岁以上的概率为多少。
7．一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。
则第二次取出的是次品的概率为多少？
8．某公司从甲乙丙三个企业采购了同一种产品，采购数量分别占总采购量的25%、30%和45%。
这三个企业产品的次品率分别为4%、5%、3%。
如果从这些产品中随机抽出以一件，试问：（1）抽出次品的概率是多少；（2）若发现抽出的产品是次品，则该产品来自丙厂的概率是多少？
9．一袋中装有m枚正品硬币，n枚次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）从袋中任取一枚，已知将它投掷r次，每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？
10．设M件产品中有件次品，从中任取两件，已知所取两件中有一件不是次品，则另
一件是次品的概率是多少？
11．一盒中有编号为1，2，3，4，5的五个球，从中随机地取3个，用X表示取出的3个球中的最大号码., 试写出X的分布律.
12．某商场某销售区域有6种商品。
假如每一小时内每种商品需要12分钟的咨询服务，而且每种商品是否需要咨询服务是相互独立的。
试求：（1）在同一时刻需要咨询的上品种数的均值是多少？（2）若该销售区域仅配有2名服务员，则因服务员不足而不能提供咨询服务的概率是多少？
13．某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X是服从λ=4的泊松分布，求
(1)每分钟恰有1次呼叫的概率；(2)每分钟只少有1次呼叫的概率；(3)每分钟最多有
1次呼叫的概率
14．一社区里15％的家庭没有孩子, 20％的家庭有1个孩子, 35％的家庭有2个孩子, 30％的家庭有3个孩子;假定每个家庭中任意一个孩子是男孩或女孩的机会相等且独立,如果从该社区随机选一个家庭,(1)求该家庭女孩数为1的概率.(2)已知该家庭只有一个女孩,求该家庭有2个孩子的概率.
15．某企业生产的某种电池寿命近似服从正态分布，且均值为200小时，标准差为30小时。
若规定寿命低于150小视为不合格品，试求：（1）该企业生产的电池的合格率是多少？（2）该企业生产的电池的寿命在200左右的多大范围内的概率不小于0.9. 16．假设打一次电话所用时间（单位：分）X服从参数为λ=0.2的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：（1）超过10分钟的概率；（2）10分钟到20分钟的概率。
17．一学校有5000名在校生，期末时每人以60%的概率去自习教室上自习，问自习教室至少设多少个座位，才能以97%的概率保证上自习的同学都有座位?
18．一批元件的寿命（以小时计）服从参数为0.004的指数分布，现有元件30只，一只在用，其余29只备用，当使用的一只损坏时，立即换上备用件，利用中心极限定理求30只元件至少能使用一年（8760小时）的近似概率。
随机变量及其概率分布典型例题
概率与数理统计课件
天津科技大学理学院数学系
第8讲 随机变量及其概率分布习题课
第8讲 随机变量及其概率分布习题课
教学目的：通过对随机变量(一维,二维为主)及其概率分布的归纳总结, 及典型
知识要点回顾：
1. 一维随机变量及其分布函数. 2. 离散型随机变量及其概率分
5. 二维随机变量(X,Y)及其分布
函数F(x,y).
6. 二维随机变量的边际分布函
布列.
3. 连续型随机变量及其概率密
数及边际概率密度.
7. 随机变量的独立性. 8. 随机变量函数的分布.
度函数.
4. 常用的随机变量.
1 1
0 0
e
x y
dxdy 1 e1 .
2
随机变量及其概率分布典型例题解析
X \Y 7.设二维随机变量 X , Y 的联合概率分布为 1 2 1 1
5 20 3 20 2 20 3 20
返回
2
6 20 1 20
.求(1) X Y ; (2) X Y 的概率分布.
1 1 P X k 2 1 k 3. 3 ,故 P X k 3 ,即 F k 3 ,从而
5) 3 x 6时，F x dx
dx 0dx 1.
6
0 x
1
解
1) 1
f x, y dxdy
题的分析讲解,使学生对概部分内容有较深的理解与认识.
教学重点：随机变量(离散型,连续型),分布函数,六个重要的分布(两点, 二
《概率论与数理统计》习题随机变量及其分布
第二章 随机变量及其分布一. 填空题1. 设随机变量X ～B(2, p), Y ～B(3, p), 若P(X ≥ 1) =95, 则P(Y ≥ 1) = _________. 解. 94951)1(1)0(=-=≥-==X P X P 94)1(2=-p , 31=p 2719321)0(1)1(3=⎪⎭⎫⎝⎛-==-=≥Y P Y P2. 已知随机变量X 只能取－1, 0, 1, 2四个数值, 其相应的概率依次为cc c c 162,85,43,21, 则c = ______. 解. 2,16321628543211==+++=c cc c c c 3. 用随机变量X 的分布函数F(x)表示下述概率: P(X ≤ a) = ________. P(X = a) = ________.P(X > a) = ________. P(x 1 < X ≤ x 2) = ________.解. P(X ≤ a) = F(a) P(X = a) = P(X ≤ a)－P(X < a) = F(a)－F(a －0) P(X > a) = 1－F(a) P(x 1 < X ≤ x 2) = F(x 2)－F(x 1)4. 设k 在(0, 5)上服从均匀分布, 则02442=+++k kx x 有实根的概率为_____.解. k 的分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧=051)(k f 其它50≤≤kP{02442=+++k kx x 有实根} = P{03216162≥--k k } = P{k ≤－1或k ≥ 2} =535152=⎰dk 5. 已知2}{,}{kbk Y P k a k X P =-===(k = 1, 2, 3), X 与Y 独立, 则a = ____, b = ____, 联合概率分布_____, Z = X + Y 的概率分布为_____. 解. 116,132==++a a a a . 4936,194==++b b b b(X, Y)的联合分布为ab = 216α, 539=α α249)3()1()3,1()2(==-===-===-=abY P X P Y X P Z P α66)2,1()3,2()1(=-==+-===-=Y X P Y X P Z Pα251)1,1()2,2()3,3()0(=-==+-==+-====Y X P Y X P Y X P Z P α126)2,3()1,2()1(=-==+-====Y X P Y X P Z P α723)1()3()1,3()2(==-===-====abY P X P Y X P Z P6. 已知(X, Y)联合密度为⎩⎨⎧+=0)sin(),(y x c y x ϕ 其它4,0π≤≤y x , 则c = ______, Y 的边缘概率密度=)(y Y ϕ______.解.12,1)sin(4/04/0+==+⎰⎰c dxdy y x c ππ所以⎩⎨⎧++=0)sin()12(),(y x y x ϕ 其它4,0π≤≤y x当 40π≤≤y 时))4cos()(cos 12()sin()12(),()(4y y dx y x dx y x y Y +-+=++==⎰⎰∞+∞-πϕϕπ所以⎪⎩⎪⎨⎧+-+=0))4cos()(cos 12()(y y y Y πϕ 其它40π≤≤y7. 设平面区域D 由曲线2,1,01e x x y xy ====及直线围成, 二维随机变量(X, Y)在D 上服从均匀分布, 则(X, Y)关于X 的边缘密度在x = 2处的值为_______. 解. D 的面积 =2121=⎰e dx x. 所以二维随机变量(X, Y)的密度为: ⎪⎩⎪⎨⎧=021),(y x ϕ 其它D y x ∈),(下面求X 的边沿密度:当x < 1或x > e 2时0)(=x X ϕ当1 ≤ x ≤ e 2时 ⎰⎰===∞+∞-x X xdy dy y x x 102121),()(ϕϕ, 所以41)2(=X ϕ.8. 若X 1, X 2, …, X n 是正态总体N(μ, σ2)的一组简单随机样本, 则)(121n X X X nX +++=服从______. 解. 独立正态分布随机变量的线性函数服从正态分布.μ==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n i i n i i X E n X n E 11)(11, nX D nX n D ni in i i 2121)(11σ==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==所以 ),(~2nN X σμ9. 如果(X, Y)的联合分布用下列表格给出,且X 与Y 相互独立, 则α = ______, β = _______.解.213161)1(,181)3(,91)2(,31)2(=+==+==+==++==Y P Y P Y P X P βαβα 132)3()2()1(=++==+=+=βαY P Y P Y P⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=======+++=======)181)(31()3()2()3,2()91)(31()2()2()2,2(ββαβαβααY P X P Y X P Y P X P Y X P两式相除得βαβα=++18191, 解得 βα2=, 92,91==αβ.10. 设(X, Y)的联合分布律为则 i. Z = X + Y 的分布律 ______. ii. V = X －Y 的分布律______. iii. U= X 2 + Y －2的分布律_______. 解.二. 单项选择题1. 如下四个函数哪个是随机变量X 的分布函数(A)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=221)(x F 0022≥<≤--<x x x , (B) ⎪⎩⎪⎨⎧=1sin 0)(x x F ππ≥<≤<x x x 00(C) ⎪⎩⎪⎨⎧=1sin 0)(x x F 2/2/00ππ≥<≤<x x x , (D) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=1310)(x x F 212100≥<≤<x x x解. (A)不满足F(+∞) = 1, 排除(A); (B)不满足单增, 排除(B); (D)不满足F(1/2 + 0) = F(1/2), 排除(D); (C)是答案.2. ),4,2,0(!/)( ===-k k e c k X P k λλ是随机变量X 的概率分布, 则λ, c 一定满足 (A) λ > 0 (B) c > 0 (C) c λ > 0 (D) c > 0, 且 λ > 0解. 因为),4,2,0(!/)( ===-k k e c k X P k λλ, 所以c > 0. 而k 为偶数, 所以λ可以为负. 所以(B)是答案.3. X ～N(1, 1), 概率密度为ϕ(x), 则(A)5.0)0()0(=≥=≤X P X p (B)),(),()(+∞-∞∈-=x x x ϕϕ (C) 5.0)1()1(=≥=≤X P X p (D) ),(),(1)(+∞-∞∈--=x x F x F 解. 因为E(X) = μ = 1, 所以5.0)1()1(=≥=≤X P X p . (C)是答案.4. X, Y 相互独立, 且都服从区间[0, 1]上的均匀分布, 则服从区间或区域上的均匀分布的随机变量是(A) (X, Y) (B) X + Y (C) X 2 (D) X －Y解. X ～⎩⎨⎧=01)(x ϕ 其它10≤≤x , Y ～⎩⎨⎧=01)(y ϕ 其它10≤≤y . 所以(X, Y)～⎩⎨⎧=01),(y x ϕ其它1,0≤≤y x .所以(A)是答案.5. 设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=120)(xx F 1100>≤<≤x x x 则(A) F(x)是随机变量X 的分布函数. (B) 不是分布函数.(C) 离散型分布函数. (D)连续型分布函数.解. 因为不满足F(1 + 0) = F(1), 所以F(x)不是分布函数, (B)是答案.6. 设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 它们的分布函数为)(),(y F x F Y X , 则Z = max(X, Y)的分布函数是(A) )(z F Z = max{)(),(z F z F Y X } (B) )(z F Z = max{|)(||,)(|z F z F Y X } (C) )(z F Z = )()(z F z F Y X (D) 都不是解. }{}),{max()()(z Y z X P z Y X P z Z P z F Z ≤≤=≤=≤=且 )()()()(z F z F z Y P z X P Y X =≤≤因为独立. (C)是答案.7. 设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 其分布函数分别为)(),(y F x F Y X , 则Z = min(X, Y)的分布函数是(A) )(z F Z = )(z F X (B) )(z F Z = )(z F Y(C) )(z F Z = min{)(),(z F z F Y X } (D) )(z F Z = 1－[1－)(z F X ][1－)(z F Y ] 解. }{1}),{min(1)(1)()(z Y z X P z Y X P z Z P z Z P z F Z >>-=>-=>-=≤=且 )](1)][(1[1)](1)][(1[1z F z F z Y P z X P Y X ---=≤-≤--因为独立 (D)是答案.8. 设X 的密度函数为)(x ϕ, 而,)1(1)(2x x +=πϕ 则Y = 2X 的概率密度是(A))41(12y +π (B) )4(22y +π (C) )1(12y +π (D) y arctan 1π 解. )2()2(}2{)()(yF y X P y X P y Y P y F X Y =≤=≤=≤= )4(2)2(112121)2()2()]([)(22''y y y y F y F y X X Y Y +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛==ππϕϕ (B)是答案.9. 设随机变量(X, Y)的联合分布函数为⎩⎨⎧=+-0),()(y x e y x ϕ 其它0,0>>y x , 则2YX Z +=的分布密度是(A) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-021)()(y x Z e Z ϕ 其它0,0>>y x (B) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-0)(2y x Z e z ϕ 其它0,0>>y x(C) ⎩⎨⎧=-04)(2z Z ze Z ϕ 00≤>z z (D) ⎪⎩⎪⎨⎧=-021)(zZ eZ ϕ 00≤>z z解. 2YX Z +=是一维随机变量, 密度函数是一元函数, 排除(A), (B).21210=⎰∞+-dz e z , 所以(D)不是答案. (C)是答案. 注: 排除法做单项选择题是经常使用而且很有效的方法. 该题也可直接计算Z 的密度:当z < 0时0)(=z F Z当z ≥ 0时⎰⎰≤+=≤+=≤+=≤=zy x Z dxdy y x z Y X P z YX P z Z P z F 2),()2()2()()(ϕ =12222020+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----⎰⎰z z z xz y x e ze dx dy e e==)()('z F z ZZ ϕ⎩⎨⎧-042z ze 00≤>z z , (C)是答案.10. 设两个相互独立的随机变量X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 则下列结论正确的是(A) P{X + Y ≤ 0} = 1/2 (B) P{X + Y ≤ 1} = 1/2 (C) P{X －Y ≤ 0} = 1/2 (D) P{X －Y ≤ 1} = 1/2解. 因为X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 且X 和 Y 相互独立, 所以 X + Y ～ N(1, 2), X －Y ～ N(－1, 2) 于是P{X + Y ≤ 1} = 1/2, (B)是答案.11. 设随机变量X 服从指数分布, 则Y = min{X, 2}的分布函数是(A) 是连续函数 (B) 至少有两个间断点 (C) 是阶梯函数 (D) 恰好有一个间断点 解. 分布函数:))2,(m i n (1))2,(m i n ()()(y X P y X P y Y P y F Y >-=≤=≤= 当y ≥ 2时101))2,(m i n (1)(=-=>-=y X P y F Y 当0 ≤ y < 2时)2,(1))2,(m i n (1)(y y X y X P y F Y >>-=>-= ye y X P y X P λ--=≤=>-=1)()(1当y < 0时)2,(1))2,(m i n(1)(y y X y X P y F Y >>-=>-= 0)()(1=≤=>-=y X P y X P于是 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-011)(yY e y F λ 0202<<≤≥y y y 只有y = 2一个间断点, (D)是答案.三. 计算题1. 某射手有5发子弹, 射击一次的命中率为0.9, 如果他命中目标就停止射击, 不命中就一直到用完5发子弹, 求所用子弹数X 的分布密度. 解. 假设X 表示所用子弹数. X = 1, 2, 3, 4, 5.P(X = i) = P(前i －1次不中, 第i 次命中) = 9.0)1.0(1⋅-i , i = 1, 2, 3, 4.当i = 5时, 只要前四次不中, 无论第五次中与不中, 都要结束射击(因为只有五发子弹). 所以 P(X = 5) = 4)1.0(. 于是分布律为2. 设一批产品中有10件正品, 3件次品, 现一件一件地随机取出, 分别求出在下列各情形中直到取得正品为止所需次数X 的分布密度.i. 每次取出的产品不放回; ii. 每次取出的产品经检验后放回, 再抽取; iii. 每次取出一件产品后总以一件正品放回, 再抽取.解. 假设A i 表示第i 次取出正品(i = 1, 2, 3, …) i.13)()1(1===A P X P1331210)()|()()2(11212⋅====A P A A P A A P X P1331221110)()|()|()()3(11223321⋅⋅====P P A P A P X P1331221111)()|()|()|()4(1122334⋅⋅⋅===A P A A P A A P A A P X Pii. 每次抽取后将原产品放回1310133)()()()()(11111---⎪⎭⎫⎝⎛====k k k k k A P A P A P A A A p k X P , (k = 1, 2, …)iii. 每次抽取后总以一个正品放回X 1 2 3 4p13101311133⋅ 1312132133⋅⋅ 1331321311⋅⋅⋅ 1310)()1(1===A P X P1331311)()|()()2(11212⋅====A P A A P A A P X P1331321312)()|()|()()3(112123321⋅⋅====A P A A P A A A P A A A P X P 1331321311)()|()|()|()4(1121231234⋅⋅⋅===A P A A P A A A P A A A A P X P3. 随机变量X 的密度为⎪⎩⎪⎨⎧-=01)(2x cx ϕ 其它1||<x , 求: i. 常数c; ii. X 落在)21,21(-内的概率. 解. πππϕ1,22|arcsin 21)(110112====-==⎰⎰-∞+∞-c c c x c dx xc dx x3162|a r c s i n 211))2/1,2/1((2/102/12/12=⋅==-=-∈⎰-ππππx x dxX P 4. 随机变量X 分布密度为i. 2102)(x x -⎪⎩⎪⎨⎧=πϕ 其它1||<x , ii. ⎪⎩⎪⎨⎧-=02)(x x x ϕ 其它2110≤≤<≤x x求i., ii 的分布函数F(x).解. i. 当x ≤ 1时 ⎰⎰∞-∞-===x xdt dt t x F 00)()(ϕ当－1< x < 1时 ⎰⎰∞--++-=-==x x x x xdt t dt t x F 21arcsin 1112)()(212πππϕ 当x ≥ 1时⎰⎰∞--=-==xdt t dt t x F 112)()(112πϕ所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=121arcsin 110)(2x x xx F ππ 1111≥<<--≤x x xii. 当x < 0时 ⎰⎰∞-∞-===x xdt dt t x F 00)()(ϕ当0 ≤ x < 1时 ⎰⎰∞-===x x x t d t dt t x F 2)()(2ϕ当1 ≤ x < 2时 122)2()()(2110-+-=-+==⎰⎰⎰∞-x x dt t tdt dt t x F x xϕ当2 ≤ x 时 1)2()()(2110⎰⎰⎰∞-=-+==x dt t tdt dt t x F ϕ所以 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+-=112220)(22x x x x F 221100≥<≤<≤<x x x x5. 设测量从某地到某一目标的距离时带有的随机误差X 具有分布密度函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3200)20(exp 2401)(2x x πϕ, －∞ < x < +∞ 试求: i. 测量误差的绝对值不超过30的概率;ii. 接连独立测量三次, 至少有一次误差的绝对值不超过30的概率.解. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3200)20(exp 2401)(2x x πϕ, －∞ < x < +∞, 所以X ～N(20, 402). i. {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-<-=<<-=<25.0402025.13030)30|(|X P X P X P )25.1()25.0(-Φ-Φ=1)25.1()25.0()25.1(1()25.0(-Φ+Φ=Φ--Φ= 18944.05987.0-+== 0.4931.(其中Φ(x)为N(0, 1)的分布函数)ii. P(至少有一次误差的绝对值不超过30) = 1－P(三次误差的绝对值都超过30) =88.012.01)4931.0(13=-=- 6. 设电子元件的寿命X 具有密度为⎪⎩⎪⎨⎧=0100)(2x x ϕ 100100≤<x x问在150小时内, i. 三只元件中没有一只损坏的概率是多少? ii. 三只电子元件全损坏的概率是多少? iii. 只有一个电子元件损坏的概率是多少?解. X 的密度⎪⎩⎪⎨⎧=0100)(2x x ϕ 100100≤<x x . 所以31100)150(1501002==<⎰dx x X P . 令p = P(X ≥ 150) = 1－31= 32.i. P(150小时内三只元件没有一只损坏) =2783=p ii. P(150小时内三只元件全部损坏) =271)1(3=-piii. P(150小时内三只元件只有一只损坏) =943231213=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛c7. 对圆片直径进行测量, 其值在[5, 6]上服从均匀分布, 求圆片面积的概率分布. 解. 直径D 的分布密度为⎩⎨⎧=01)(d ϕ其它65≤≤d假设42D X π=, X 的分布函数为F(x).)()()(2x D P x X P x F ≤=≤=π当x ≤ 0时, F(x) = 0 当x > 0时⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤=≤=πππx D xP x D P x X P x F 44)()()(2 当时即425,54ππ<<x xF(x) = 0 当时即πππ925,645≤≤≤≤x x⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤=≤=πππx D xP x D P x X P x F 44)()()(2=54145-=⎰ππxdt x当 x > 9π时1)()(65===⎰⎰∞-dt dt t x F x ϕ所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=1540)(πxx F ππππ99425425>≤≤<x x x密度⎪⎩⎪⎨⎧==01)(')(x x F x πϕ 其它ππ9425≤≤x8. 已知X 服从参数 p = 0.6的0－1分布在X = 0, X = 1下, 关于Y 的条件分布分别为表1、表2所示表1 表2Y 1 2 3 Y 1 2 3 P(Y|X = 0)41 21 41 P(Y|X = 1) 21 61 31 求(X, Y)的联合概率分布, 以及在Y ≠ 1时, 关于X 的条件分布.解. X 的分布律为(X, Y)3.05321)1()1|1()1,1(=⋅=======X P X Y P Y X P 1.05361)1()1|2()2,1(=⋅=======X P X Y P Y X P2.05331)1()1|3()3,1(=⋅=======X P X Y P Y X P1.05241)0()0|1()1,0(=⋅=======X P X Y P Y X P2.05221)0()0|2()2,0(=⋅=======X P X Y P Y X P1.05241)0()0|3()3,0(=⋅=======X P X Y P Y X P所以Y 的分布律为5.06.03.0)1()1,0()1|0(==≠≠==≠=Y P Y X P Y X P5.06.03.0)1()1,1()1|1(==≠≠==≠=Y P Y X P Y X P所以9. 设随机变量X 与Y 相互独立, 并在区间[0, 9]上服从均匀分布, 求随机变量YXZ =的分布密度.解. X ～⎪⎩⎪⎨⎧=091)(x X ϕ 其它90≤≤x , Y ～⎪⎩⎪⎨⎧=091)(x Y ϕ 其它90≤≤y因为X, Y 相互独立, 所以(X, Y)联合密度为(X, Y)～⎪⎩⎪⎨⎧=0811),(y x ϕ 其它9,0≤≤y x , )()()(z X Y P z Z P z F Z ≤=≤= 当 z ≤ 0时0)(=z F Z 当 0 < z < 1时z z dxdy Xz Y P z X Y P z Z P z F D Z 219928181)()()()(1=⋅⋅==≤=≤=≤=⎰⎰ 当z ≥ 1时⎰⎰=≤=≤=≤=2811)()()()(D Z dxdy Xz Y P z X Y P z Z P z F zz 211)992181(811-=⋅-⋅=所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2'21210)()(zz F z Z Z ϕ 1100≥<<≤z z z 10. 设(X, Y)的密度为⎩⎨⎧--=0)1(24),(y x y y x ϕ 其它1,0,0<+>>y x y x求: i.)21|(),|(),(=x y x y x X ϕϕϕ, ii. )21|(),|(),(=y x y x y Y ϕϕϕ 解.i.⎰∞+∞-=dy y x x X ),()(ϕϕ当x ≤ 0 或 x ≥ 1时0),()(==⎰∞+∞-dy y x x X ϕϕ当0 < x < 1时310)1(4)1(24),()(x dy y x y dy y x x x X -=--==⎰⎰-∞+∞-ϕϕ所以 ⎩⎨⎧-=0)1(4)(3x x X ϕ 其它10<<x所以 ⎪⎩⎪⎨⎧---==0)1()1(6)(),()|(3x y x y x y x x y X ϕϕϕ 其它1,0,0<+>>y x y x 所以 ⎩⎨⎧-==0)21(24)21|(y y x y ϕ 其它210<<yii.⎰∞+∞-=dx y x y Y ),()(ϕϕ当y ≤ 0 或 y ≥ 1时0),()(==⎰∞+∞-dx y x y Y ϕϕ当0 < y < 1时210)1(12)1(24),()(y y dx y x y dx y x y y Y -=--==⎰⎰-∞+∞-ϕϕ所以 ⎩⎨⎧-=0)1(12)(2y y y Y ϕ 其它10<<y所以 ⎪⎩⎪⎨⎧---==0)1()1(2)(),()|(2y y x y y x y x Y ϕϕϕ其它1,0,0<+>>y x y x 所以 ⎩⎨⎧-==0)21(4)21|(x y x ϕ 其它210<<x。
概率计算练习题随机变量的分布函数与概率密度函数
概率计算练习题随机变量的分布函数与概率密度函数随机变量是概率论中的重要概念，它是一种随机现象的数值表示。
概率计算是概率论的核心内容之一，通过计算随机变量的分布函数和概率密度函数，我们可以更好地理解和分析随机事件的发生概率。
本文将通过一系列练习题来帮助读者巩固对随机变量的分布函数和概率密度函数的理解。
练习题一：离散型随机变量设随机变量X的分布列为：X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4----------------------------------P(X=x) | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.2 | 0.21. 求随机变量X的分布函数F(x)。
解析：分布函数F(x)定义为P(X≤x)，根据分布列可以求得如下分布函数：F(0) = P(X≤0) = 0.2F(1) = P(X≤1) = 0.2 + 0.3 = 0.5F(2) = P(X≤2) = 0.2 + 0.3 + 0.1 = 0.6F(3) = P(X≤3) = 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.2 = 0.8F(4) = P(X≤4) = 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.2 + 0.2 = 12. 求随机变量X的概率密度函数f(x)。
解析：概率密度函数f(x)只对连续型随机变量有意义，对于离散型随机变量，f(x)恒为0。
因此，对于该题中给定的随机变量X，概率密度函数f(x)不存在。
练习题二：连续型随机变量设随机变量Y的密度函数f(y)如下：f(y) = 0.5，0≤y≤2f(y) = 0，其他1. 求随机变量Y的分布函数F(y)。
解析：分布函数F(y)定义为P(Y≤y)，根据密度函数可以求得如下分布函数：F(y) = ∫[0, y] f(t)dt根据密度函数的定义域可知，在区间[0, y]上f(t)=0.5，因此：F(y) = ∫[0, y] 0.5dt = 0.5y，0≤y≤2F(y) = ∫[0, y] 0dt = 0，其他2. 求随机变量Y在区间[1, 2]上的概率P(1 ≤ Y ≤ 2)。
概率练习题含答案
第一章 随机事件及其概率 练习： 1. 判断正误（1）必然事件在一次试验中一定发生，小概率事件在一次试验中一定不发生。
（B ） （2）事件的对立与互不相容是等价的。
（B ） （3）若()0,P A = 则A =∅。
（B ）（4）()0.4,()0.5,()0.2P A P B P AB ===若则。
（B ）（5）A,B,C 三个事件至少发生两个可表示为AB BC AC ⋃⋃（A ） （6）考察有两个孩子的家庭孩子的性别，{()Ω=两个男孩（，两个女孩),(一个男孩，}一个女孩)，则P {}1=3两个女孩。
（B ） （7）若P(A)P(B)≤，则⊂A B 。
（B ）（8）n 个事件若满足,,()()()i j i j i j P A A P A P A ∀=，则n 个事件相互独立。
（B ）（9）只有当A B ⊂时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。
（A ）2. 选择题（1）设A, B 两事件满足P(AB)=0，则CA. A 与B 互斥B. AB 是不可能事件C. AB 未必是不可能事件D. P(A)=0 或 P(B)=0 （2）设A, B 为两事件，则P(A-B)等于(C )A. P(A)-P(B)B. P(A)-P(B)+P(AB)C. P(A)-P(AB)D. P(A)+P(B)-P(AB)（3）以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为(D) A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”B. “甲乙两种产品均畅销”C. “甲种产品滞销”D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”（4）若A, B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是(A ) A. P(A ∪B)=P(A) B. P(AB)=P(A)C. P(B|A)=P(B)D. P(B-A)=P(B)-P(A) （5）设(),(),()P A B a P A b P B c ⋃===，则()P AB 等于(B )A.()a c c + B . 1a c +-C. a b c +-D. (1)b c -（6）假设事件A 和B 满足P(B|A)=1, 则(B)A. A 是必然事件 B . (|)0P B A = C. A B ⊃ D. A B ⊂ （7）设0<P(A)<1，0<P(B)<1, (|)(|)1P A B P A B += 则(D )A. 事件A, B 互不相容B. 事件A 和B 互相对立C. 事件A, B 互不独立 D . 事件A, B 互相独立8.,,.,,.D ,,.,,.,,1419.(),(),(),(),()37514131433.,.,.,.,37351535105A B A AB A B B AB A B C AB A B D AB A B P B A P B A P AB P A P B A B C φφφφ≠=≠====对于任意两个事件必有（C ）若则一定独立；若则一定独立；若则有可能独立；若则一定不独立；已知则的值分别为：(D)三解答题1.(),(),(),(),(),(),().P A p P B q P AB r P A B P AB P A B P AB ===设求下列事件的概率：解：由德摩根律有____()()1()1;P A B P AB P AB r ⋃==-=-()()()();P AB P B AB P B P AB q r =-=-=-()()()()(1)()1;P A B P A P B P AB p q q r r p ⋃=+-=-+--=+-________()()1[()()()]1().P AB P A B P A P B P AB p q r =⋃=-+-=-+-2.甲乙两人独立地对同一目标射击一次，命中率分别是0.6和0.5，现已知目标被命中，求它是甲射击命中的概率。
概率习题
概率习题习 题 1.11. 写出下列随机试验的样本空间：（1）一粒骰子掷两次，观察两次点数的和：（2）观察某电话交换台在单位时间内收到的呼叫次数k ：（3）观察茶炉的水温o C T ：（4）同时投三枚硬币，观察其正面（H 表示正面，T 表示反面）向上的情况：2. 写出下列随机试验的样本空间：（1）连续投一枚硬币，直至出现正面为止： （2）某路口一小时内通过的机动车辆数：（3）某城市一天内的用电量： （4）平面直角坐标上点的坐标：3. 甲、乙、丙三人向同一目标各射击一发子弹，用,,A B C 分别表示甲、乙、丙击中目标，试用,,A B C 表示以下事件：（1）只有甲击中目标： （2）甲，乙两人中只有一人击中目标：（3）甲未击中目标： （4）甲，乙两人中至少有一人击中目标：4. 已知,A B 是样本空间Ω中的两个事件，且{, , , , , , , }a b c d e f g h Ω=，{, , , }A b d f h =，{ , , , , , }B b c d e f g =. 试求：（1）AB ： （2）A B ： （3）A B -： （4）AB ：5. 已知,A B 是样本空间Ω中的两个事件，且{|19}x x Ω=<<，{|46}A x x =<≤，{|37}B x x =<≤. 试求：（1）AB ： （2）A B ： （3）A B -： （4）AB ：6. 从一批产品中抽出三件，设i A ={抽出的第i 件是正品}，(1,2,3)i =，用i A 表示下列事件：（1）{只有第一件是正品}： （2）{恰有一件为正品}： （3）{至少有一件为正品}：（4）{至少有两件为正品}： （5）{恰有两件为正品}： （6）{没有一件为正品}：7. 在一次射击中， A ={命中2至4环}，B ={命中3至5环}，C ={命中5至7环}，写出下列事件：（1）AB ：（2）A B ：（3）()A B C ：（4）A BC ： 8. 判断事件的关系：,,,A A B AB A B - .9. 判断下列事件的关系（x ∈R ）：（1）{}{}x a x a εε-<-<与；（2）{}{}x x δδ>≤与；（3）{2}{2}x x δδ>+-≤与；10. 判断下列等式是否成立？并加以说明.（1）A B B A -= ；（2）()A B B A -= ；（3）()()A B C A B C --=- ；11. 写出图1.1.6（1）（2）（3）中阴影所表示的事件.12. 设ABC ≠∅，在图上表示以下事件： （1） A B C C -；（2） ()A B C ；（3） AB BC ；（4） AB AC BC - .习 题 1.21. 一批产品由90件正品和10件次品组成，从中任取两件，求：(1)取得两件正品的概率；（2）至少有一件正品的概率.2. 一批产品由95件正品和5件次品组成，连续从中抽取两件，第一次取出后不再放回. 求：（1）第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率；（2）抽得一件为正品，一件为次品的概率.3. 从0,2,3,4,5,6这六个数中任取三个数，求取得的三个数字能组成三位数且为偶数的概率.4. 已知某城市中有55%的住户订日报，65%的住户订晚报，且至少订这两种报中一种的住户比同时订两种报的住户多一倍，求同时订两种报的住户占百分之几.5. 从0到9十个数字中任取三个不同的数字，求：三个数字中不含0或5的概率.6. 10把钥匙中有3把能打开一把锁，现任取两把，求能打开锁的概率.7. 一盒中有10只蓝色球， 5只红色球，现一个一个地全部取出. 求第一个取出的是蓝色球，最后一个取出的也是蓝色球的概率.8. 把12枚硬币任意投入三只盒中，求第一只盒子中没有硬币的概率.9. 把7个编号的同类型的球投进4个编号的盒子中，每个球被投进任何一个盒子中都是等可能的. 求第一个盒子恰有2个球的概率.10. 从5副不同的手套中任意取4只手套，求其中至少有两只手套配成1副的概率.11. 一副没有王牌的扑克牌共52张，不放回抽样，每次一张，连续抽取4张，计算下列事件的概率：（1）四张牌花色各异；（2）四张牌中只有两种花色；（3）四张牌中有三种花色.12. 掷三枚均匀的骰子，已知它们出现的点数各不相同，求其中有一枚骰子的点数为4的概率.13. 一间宿舍内住有8位同学，求他们之中至少有2个人的生日在同一个月份的概率.14. 四个人参加聚会，由于下雨他们各带一把雨伞. 聚会结束时每人各取走一把雨伞，求他们都没拿到自己雨伞的概率.15. 有四个人等可能的被分配到六个房间中的任一间中. 求：（1）四个人都分配到不同房间的概率；（2）有三个人分配到同一房间的概率.16. 一袋中有n个黑球和2个白球，现从袋中随机取球，每次取一球，求第k次和第k+1次都取到到黑球的概率.17. n个人围一圆桌坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率.18. 6个人各带一把铁锹参加植树，休息时铁锹放在一起，休息后每人任取一把铁锹继续劳动，求至少一个人拿对自己带来的铁锹的概率.19. 两艘轮船都要停靠同一泊位，它们可能在一昼夜的任意时间到达，设两船停靠泊位的时间分别需要1小时与2小时，求一艘轮船停靠泊位时，另一艘轮船需要等待的概率.20. 平面上画有间隔为d 的等距平行线，向平面任意投掷一枚长为l 的针，求针与平行线相交的概率.习题1.31. 某种动物的寿命在20年以上的概率为0.8，在25年以上的概率为0.4. 现有一该种动物的寿命已超过20年，求它能活到25年以上的概率.2. 在100件产品中有5件是次品，从中不放回地抽取3次，每次抽1件.求第三次才取得次品的概率.3. 有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的.其中甲厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品占20%，三厂产品中合格品率分别为95%、90%、85%，现从这批产品中随机抽取一件，求该产品为合格品的概率.4. 一袋中有黄球10个，红球6个. 若不放回取球两次，每次取一球. 求下列事件的概率：（1）两次都取到黄球；（2）第二次才取到黄球；（3）第二次取到黄球.5. 一城市位于甲、乙两河的交汇处，若有一条河流泛滥，该市就会受灾，已知在某季节内，甲、乙两河泛滥的概率均为0.01，且当甲河泛滥时引起乙河泛滥的概率为0.5. 求在此季节内该市受灾的概率.6. 在下列条件下，求：(|),(|),(),()P A B P B A P AB P AB.（1）已知()0.4,()0.3,()0.18===；P A P B P AB（2）已知()0.4,()0.3==，且A，B互不相容.P A P B7. 某体育比赛采用五局三胜制，甲方在每一场比赛中胜乙方的概率是0.6（假定没有和局），求甲方最后取胜的概率.8. 设两箱内装有同种零件，第一箱装50件，有10件一等品，第二箱装30件，有18件一等品，先从两箱中任挑一箱，再从此箱中前后不放回地任取2个零件，求：（1）取出的零件有一个为一等品的概率；（2）在先取的是一等品的条件下，后取的仍是一等品的条件概率.9. 设玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1，0.1. 一顾客选出一箱玻璃杯，随机查看4只，若无残次品，该顾客则购买此箱玻璃杯，否则不买. 求：（1）顾客买此箱玻璃杯的概率；（2）若顾客购买了此箱玻璃杯，箱中确实无残次品的概率.10. 某年级三个班报名参加志愿者的人数分别为10人、15人、25人，其中女生的分别为3人、7人、5人. 现随机地从一个班报名的学生中先后选出两人，求：（1）先选出的是女生的概率；（2）已知后选出的是男生，而先选出的是女生的概率.11. 某产品的合格品率为97%时则达到行业标准. 商家批量验收时，将“达标的产品”拒收的概率为0.02，误接收“未达标产品”的概率为0.05. 求一批产品被接收，此批产品确已达标的概率.12. 一盒中有12个乒乓球，其中9个是新的. 第一次比赛时从中任取3个来用，比赛后仍放回盒中，第二次比赛时再从盒中任取3个. 求：（1）第二次取出的球皆为新球的概率；（2）若第二次取的球皆为新球，求第一次取到的是新球的概率.13. 某人忘记了某电话号码的最后一个数字，但知最后一个数字为奇数，求拨号不超过3次而接通电话的概率.14. 某仓库有同样规格的产品12箱，其中甲、乙、丙三个厂生产的产品分别为6箱、4箱、2箱，且三个厂的次品率分别为8%、6%、5%. 现从12箱中任取一箱，再从该箱中任取一件产品，求取到一件次品的概率.15. 第一箱中有2个白球和6个黑球，第二箱中有4个白球与2个黑球. 现从第一个箱中任取出两球放到第二个箱中，然后从第二个箱中任意取出一球，求此球是白球的概率.16. 设袋中有n个黑球，m个白球，现从袋中依次随机取球，每次取一个球，观察颜色后放回，并加入1个同色球和2个异色球. 求第二次取到黑色球且第三次取到白色球的概率.习题1.41. 已知() 0.4,()=0.3P A B P A B=，且A、B相互独立，试求：(|),(),P A P B(), (), ()P AB P AB P A B .2. 甲、乙两人各自向同一目标射击，已知甲命中目标的概率为 0.7，乙命中目标的概率为0.8 求：(1)甲、乙两人同时命中目标的概率；(2)恰有一人命中目标的概率；(3)目标被命中的概率.3. 甲、乙二人约定，将一枚匀称的硬币掷三次，若至少出现两次正面，则甲胜；否则乙胜. 求甲胜的概率.4. 一批产品中有10%的次品，现从中依次有放回抽取5件产品，求这5件产品中恰好有2件次品的概率.5. 甲、乙二人进行棋类比赛，假设没有和棋，每盘甲胜的概率为p ，乙胜的概率为1-p . 每盘胜者得1分，输者得0分. 比赛独立地进行到有一人首先超过对方2分时结束，多得二分者为赢家. 求甲为赢家的概率.6. 一汽车沿一街道行驶，要经过三个有信号灯的路口，每个信号灯工作都是相互独立，且红、黄、绿信号显示时间的比例为2:1:2，求此车通过三个路口时遇到一次红灯的概率.7. 甲、乙、丙三人同时独立的向一飞机射击，他们击中飞机的概率分别为0.4，0.5，0.7. 设若只有一人击中，飞机坠毁的概率为0.2，若恰有两人击中，飞机坠毁的概率为0.5，若三人均击中，飞机坠毁的概率为0.8. 求飞机坠毁的概率.8. 某厂生产的仪器，经检验可直接出厂的占0.7，需调试的占0.3，调试后可出厂的占0.8，调试后仍不能出厂的占0.2. 现新生产(2)n n ≥台仪器（设每台仪器的生产过程相互独立），求：（1）全部能出厂的概率；（2）恰有两台不能出厂的概率；（3）至少两台不能出厂的概率.9. 5个元件工作独立，每个原件正常工作的概率为p ，求以下系统正常工作的概率.（1）串联；（2）并联；（3）桥式连接（如图1.4.1）.10. 已知一条昆虫生产n 个卵的概率为,(0,1,2,,0)!n n p e n n λλλ-==> ，设一个虫卵孵化为成虫的概率为(01)p p <<. 若卵的孵化是相互独立的，求此昆虫的下一代有k 条成虫的概率.习题2.11. 设随机变量X 的分布列为(),(1,2,3)6kP X k k ===，求(1) (2)P X >；(3)P X ≤；(1.5 2.5)P X ≤≤.2. 设随机变量X 的分布列为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛8141214321 a ，求（1）常数a ；（2）(24)P X <≤；（3）( 1.5)P X >. 3. 有1000件产品，其中900件是正品，100是次品. 现从中有放回取5次，每次取1件，求这5件所含次品数的分布列.4. 在10件产品中有3件次品，从中任取2件，用随机变量X 表示取到的次品数，试写出X 的分布列及分布函数.5. 设随机变量X 的概率分布为(1)0.2,(2)0.3,(3)0.5P X P X P X ======，求X 分布函数()F x .6. 甲、乙、丙三人参加志愿者服务，每人在周一至周五任选两天，记X 为这三人周五参加志愿服务的人数，求X 的分布列.7. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，直到有一人投中为止，假定甲、乙二人投篮的命中率分别为0.4及0.5， 求（1）二人投篮总次数Z 的概率分布；(2)甲投篮次数X 的概率分布，(3)乙投篮次数Y 的概率分布.8. 设随机变量X 的密度函数为 2,01()0,x x f x ⎧=⎨⎩ ； 其它.≤≤，求1()2P X ≤；1(2)4P X <≤.9. 设随机变量X 的密度函数为2e , 0()0,0.x a x f x x -⎧=⎨<⎩； ≥，求（1）常数a ；（2）(3)P X >. 10. 设随机变量X 的密度函数为22, (1)()0, .a x x f x x a π⎧<<+∞⎪+=⎨⎪⎩；≤，求常数a 的值，如果()0.5P a x b <<=，求b 的值.11. 设随机变量X 的密度函数为3e , 0()0, 0.x k x f x x -⎧>=⎨⎩≤；，求(1)常数k ；(2)X 的分布函数()F x ；(3)12P X ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭. 12. 设随机变量X 的分布函数为3e ,0()0,0x A x F x x -⎧-=⎨<⎩≥，求（1）常数A ；（2）(12)P X -<≤；（3）X 的密度函数. 13. 设随机变量X 的绝对值不大于1，(1)0.125P X =-=，(1)0.25P X ==，在事件{11}A X =-<<出现的条件下，X 在区间(1,1)-内的任意子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比，求X 的分布函数()F x .习题2.21. 已知随机变量X 的分布列为()0.1P X m ==，2,4,,18,20, m = 求()E X .2. 某大学一社团有32名同学，年龄分布如下： 年龄17 18 19 20 21 22 P2/32 7/32 a 8/32 4/32 1/32求该班同学的平均年龄.3. 甲、乙两台车床生产同一种零件，一天生产中次品数的概率分布分别是甲的次品数0 1 2 3 概率0.4 0.3 0.2 0.1乙的次品数0 1 2 3 概率 0.3 0.5 0.2 0 如果两台机床的产量相同，问哪台机床好？4. 盒中有5个球，其中有3白2黑，从中随机抽取2个球，求抽得白球数X 的期望.5. 射击比赛，每人射4次（每次一发），约定全部不中为0分，只中1弹得15分，中2弹得30分，中3弹得55分，中4弹得100分. 甲每次射击命中率为0.6，求他得分的期望.6. 某射手每次射击打中目标的概率都是0.8，现连续向同一目标射击，直到第2次击中为止. 求射击次数X 的期望.7. 已知随机变量ξ的分布列为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-4.01.03.02.05 1 0 2 ， 求()E ξ，(23)E ξ-，2()E ξ，2(23)E ξξ-+.8. 设随机变量X 的密度函数为2111()10.x f x x ⎧-⎪=π-⎨⎪⎩， ； ， 其它≤≤ 求()E X . 9. 设随机变量X 的密度函数为201()0.x x f x ⎧=⎨⎩， ； ， 其它≤≤ 求()E X ，(23)E X -，2()E X ，2(23)E X X -+.10. 对球的直径作近似测量，设其值在区间],[b a 上均匀分布，求球体积的均值.11. 某水果商店，冬季每周购进一批苹果. 已知该店一周苹果销售量X (单位：kg) 服从U [1 000,2 000]. 购进的苹果在一周内售出，1kg 获纯利1.5元；一周内没售出，1kg 需付耗损、储藏等费用0.3元. 问一周应购进多少(kg)苹果，商店才能获得最大的平均利润.12. 设商店经销某种商品的每周需求量X 服从区间 [10,30]上的均匀分布，而进货量为区间 [10,30]中的某一个整数，商店每售一单位商品可获利500元，若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏损100元，若供不应求，则从外部调剂供应，此时每售出一单位商品仅获利300元，求此商店经销这种商品每周进货量为多少，可使获利的期望不少于9 280元.13. 已知随机变量的X 概率密度函数为2222.e ,0() 0,0xa x x f x a x -⎧⎪>=⎨⎪⎩；≤ 求随机变量1Y X =的数学期望.习题2.31. 某流水线上生产产品的不合格率为0.2，各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时即停机检修. 设开机后第一次停机检修时已生产的产品个数为X ，求X 方差.2. 已知X 的分布列为()2,(1,2,)k P X k a k === ，求常数a 及E (X ).3. 设随机变量X 的概率分布为(1)0.2,(2)0.3,(3)P X P X P X a ======.（1）写出其分布函数；（2）求X 的期望与方差.4. 设10只同种电器元件中有2只废品，装配仪器时，从这批元件中任取1只，若取到废品，则扔掉重新取1只，求在取到正品之前，已取出的废品数X 的概率分布、数学期望及方差.5. 某设备由三大部件构成，设备运转时，各部件需调整的概率为3.0,2.0,1.0，若各部件的状态相互独立，求同时需调整的部件数X 的期望与方差.6. 设||1~()e ,.2x X f x x -=-∞<<+∞ 求(),()E X D X .7. 已知随机变量22 0, 10.50.5, 10~()0.50.5, 01 1, 1.x x x x X F x x x x x <-⎧⎪++-<⎪=⎨+-<⎪⎪⎩；；；≤≤≥，求(),()E X D X . 8. 设随机变量X 服从参数为0.7的0-1分布，求2(2)D X X -.9. 设随机变量X 的密度函数为243()0.a x a f x x x a ⎧⎪=⎨⎪<⎩， ； ， ≥， 求2(),(),()3E X D X D X a -.10. 设随机变量X 服从[0,]π2上的均匀分布，cos Y X =，求Y 的期望与方差. 11. 在n 次独立重复试验中, 成功率为0.75, 要使―试验成功的频率在0.74~0.76之间‖ 的概率不小于0.90，则至少要进行多少次试验?12. 设X 为非负连续型随机变量, 期望存在，应用切比雪夫不等式证明：对任意正实数a 恒有{}1()P X a E X a <-≥.习题2.41. 设随机变量~(,)X B n p ，已知2()6,()8.4E X E X ==，求两个参数n 与p 的值.2. 设随机变量X 的分布律为P {X=0.3}=0.2，P {X=0.6}=0.8，用切比雪夫不等式估计|X - E (X )|<0.2的概率.3. 设X 服从泊松分布，且已知2(1)(2)P X P X ===，求(3)P X =及()D X .4. 在一个繁忙的交通路口，设单独一辆汽车发生意外事故的概率为p ＝0.000 1. 如果某段时间内有1 000辆汽车通过这个路口，问这段时间内，该路口至少发生1起意外事故的概率是多少？5. 一本5万字的学生用书，按常规允许出错率为0.000 1，试求该书不多于10个错误的概率.6. 某工厂生产的一批零件，合格率为95%，今从中抽取1 000件，试求下列事件的概率：（1）被检验的1 000件中恰好有40件不合格品；（2）不合格的件数不少于40件；（3）不合格的件数在40到60之间.7. 大型设备在任何长为t 的时间内，发生故障的次数N (t )服从参数为λt 的泊松分布，求（1）相继两次故障之间的时间间隔T 的概率分布；（2）在设备已无故障工作8小时的情况下，再无故障工作8小时的概率.8. 某车间有同类设备100台，各台设备工作互不影响. 如果每台设备发生故障的概率是0.01，且一台设备的故障可由一个人来处理，问至少配备多少维修工人，才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01.9. 设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，求E (X 2).10. 已知X 服从参数为2的泊松分布，求随机变量 Z=3X -2的数学期望.11. 某保险公司规定，如果一年内某事件A 发生，则公司赔偿客户一笔款a 元，公司估算一年内A 发生的概率为p ，那么为使公司收益的期望值等于a /10，该公司应向客户收取多少保险金？12. 某种商品每件表面上的疵点数X 服从泊松分布，平均每件上有0.8个疵点. 若规定表面不超过一个疵点的为一等品，价值十元，表面疵点数大于1不多于4的为二等品，价值8元.某件表面疵点数是4个以上着为废品，求产品价值的均值和方差.习题2.51. 某机械零件的指标值ξ在［90，110］上服从均匀分布，求（1）ξ的密度函数、分布函数；（2）ξ取值于区间（92.5，107.5）内的概率.2. 某类电子元件的使用寿命X 服从以1/1 000λ=的指数分布， 求（1）随机变量X 的密度函数；（2）这类元件使用寿命1000小时以上的概率.3. 设一电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立且无故障工作时间均服从参数为>0λ的指数分布. 当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，求电路正常工作的时间T 的概率分布.4. 设某仪器有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：小时）均服从同一指数分布，其参数为1/600，求在仪器使用的最初200小时内，至少有一只电子元件损坏的概率.5. 两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布，先开动其中的一台，当发生故障时，自动停机，另一台自动开机. 求两台记录仪无故障工作的总时间T 的密度函数)(t f 、期望与方差.6. 设ξ服从(0,1)N ，求（1）( 1.5)P ξ≤；（2）(2)P ξ>；（3）( 1.8)P ξ-≤； （4）(13)P ξ-<≤；（5）(||2)P ξ≤. 7. 设ξ服从(5,9)N ，求(10)P ξ<，(210)P ξ<≤. 8. 设ξ服从2(1,0.6)N ，求(0)P ξ>，(0.2 1.8)P ξ<<.9. 某校电器班学生期末考试的数学成绩X 近似服从正态分布2(75,10)N ，求数学成绩在85分以上的学生约占该班学生的百分之几？10. 将一温度调节器放置在储存着某种液体的容器中，调节器定在0C d ，液体的温度X (0C )服从2(,0.5)N d . （1）若90d =，求(89)P X <；（2）若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99，问d 至少为多少？11. 对某地抽样调查的结果表明，考生的外语成绩（按百分制计）近似服从正态分布，平均分为72，且96分以上的考生数占2.3%，求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.12. 设测量误差X ～N (0,100)，求在100次独立重复测量中至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率，并用泊松分布求其近似值（精确到0.01）.13. 某种电子元件在电源电压不超过200伏、200伏～240伏及超过240伏的三种情况下，损坏率依次为0.1，0.001及0.2，设电源电压2~(200,25)X N ，求（1）此种电子元件的损坏率；（2）此种电子元件损坏时，电源电压在200至240伏的概率.习题2.61. 已知X 分布列（下表），求212Y X =的分布列.X -2 –1 0 1 2 P1/6 1/4 1/6 1/4 1/62. 已知随机变量ξ的分布列为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-25.013.02.005.037.073101， （1）求η＝2－ξ的分布列； （2）求η＝3＋ξ2分布列.3. 已知X 服从参数为1的指数分布，求(0)Y aX b a =+>密度函数和分布函数.4. 已知随机变量X 的密度函数为114()2ln 2 0x f x x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩， ； ， 其它.， 且2Y X =-， 试求Y 的密度函数.5. 设随机变量 e , 0~()0, 0.x X x X f x x -⎧=⎨<⎩；≥， 求e XY =的密度函数)(y f Y .6. 设随机变量X 在区间[1,2]上服从均匀分布，求2eXY =的密度函数()f y .7. 已知随机变量X 的密度函数为2(),()(e e)xxf x x -=-∞<<+∞π+，求随机变量函数()Y g X =的概率分布，其中 1, 0()1, 0.x g x x ⎧=⎨-<⎩；≥8. 设X 服从[a ,b ]上的均匀分布，证明X αβ+服从[,]a b αβαβ++上的均匀分布.9. 设随机变量~(0,1)X N ，求Y X =及2Y X =的密度函数. 10. 已知随机变量X 的密度函数为()0, 0()0, X f x x f x >π⎧=⎨⎩；其它.≤≤求sin Y X =的密度函数()Y f y .习题3.11. 在10件产品中有2件一等品，7件二等品和1件次品. 从这10件产品中任意抽取3件，用X 表示其中的一等品数，Y 表示其中的二等品数，求(,)X Y 的分布列.2. 一射手进行射击，命中率为(01)p p <<. 以X 表示首次击中目标时射击的次数，以Y 表示第二次击中目标时射击的次数. 求X 与Y 的联合概率分布.3. 设离散随机变量(,)X Y 的分布列为, (0,1,2,3,0,1,2)30ij i j p i j +===.求(1){2,2}P X Y>≤；(2){}P X Y >；(3){4}P X Y +=.4. 设(,)X Y 的密度函数为e 0(,)0y x y f x y -⎧<<=⎨⎩，；，其它.，求(1)P X Y +≤.5. 设(,)X Y 的密度函数为, 04,0 (,)Axy x y x f x y ⎧⎪=⎨⎪⎩；0, 其它.≤≤≤≤，求：(1)常数A ；(2){1,1}P XY ≤≤.6. 设(,)X Y 的密度函数为, 0101(,) 0 , . cxy x y f x y ⎧=⎨⎩，；其它≤≤≤≤，求：(1)常数c ；(2) (,)X Y 的联合分布函数.7. 设(,)X Y 的密度函数为21, 0102(,)30 , . x xy x y f x y ⎧+⎪=⎨⎪⎩，；其它≤≤≤≤， 求：(1) (,)X Y 的联合分布函数；(2)(1)P X Y +≤.8. 设随机变量(,)X Y 的分布函数为333, 0,0(,)0x y x y c x y F x y ----⎧--+=⎨⎩；其它≥≥, .，求：(1)常数c ；(2) (,)X Y 联合密度函数(,)f x y .9. 设随机变量(,)X Y 的分布函数为0, 0 0, 01,01(,), 1,01 , 1,01 1, 1,1x y xy x y F x y Ay x y x y x x y <<⎧⎪⎪⎪=>⎨⎪>⎪>>⎪⎩或≤≤≤≤≤≤≤≤求：(1)常数A ；(2) (,)X Y 联合密度函数(,)f x y .10. 袋中有2只白球和3只黑球，从中连取两次，每次取一只. 定义下列随机变量：1, 0, X ⎧=⎨⎩第一次取到白球；第一次取到黑球. 1, 0, Y ⎧=⎨⎩第二次取到白球；第二次取到黑球. 分别就有放回抽取和无放回抽取两种情形，求：(1) (,)X Y 的联合分布列；(2)两次摸到同样颜色的概率.习题3.21. 已知(,)X Y 的联合分布函数为2111(,)arctan arctan (arctan arctan )24F x y x y x y =⋅+++ππ求：（1）(1,1)F ；（2）(0,1)P X Y ≤≤；（3）判断随机变量X 与Y 的独立性. 2. 已知(,)X Y 的联合分布函数为()1e e e 0,0(,) 0x y x y x y F x y ---+⎧--+>>=⎨⎩， ；， 其它. ，求：（1）边缘分布函数；（2）联合密度函数及边缘密度函数；（3）判断X 与Y 的独立性.3. 某电子仪器由两个部件构成，其寿命(单位:千小时)X 与Y 的联合分布函数为0.50.5()1e e 00(,) 0 x x y x y F x y --+⎧--=⎨⎩.，，；，其它≥≥（1）判断X 与Y 是否独立？（2）求两部件的寿命都超过100小时的概率；5. 随机变量(,)X Y 在区域},|),{(d y c b x a y x <<<<上服从均匀分布，求(,)X Y 的联合密度函数与边缘密度函数，判断随机变量,X Y 是否独立.4. 离散随机变量),(ηξ的联合分布列如下求),(ηξ的边缘分布列，并判断ξ与η独立性. 6. 随机变量(,)X Y 的联合密度函数为sin() 0,0(,)22 0A x y x y f x y ππ⎧+<<<<⎪=⎨⎪⎩， ；， 其它. ，求：（1）系数A ；（2）,X Y 的边缘密度函数.7. 设某公交车起点站上车的人数X 服从参数为(>0)λλ的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率(01)p p <<，且中途下车与否相互独立. 以Y 表示在中途下车的人数，求二维随机变量(,)X Y 的概率分布.8. 甲、乙两人各自独立进行两次射击，命中率分别为0.2，0.5，求甲、乙命中次数X 与Y 的联合概率分布.9. 一台机器制造直径为ξ的圆轴，另台一机器制造内径为η的轴衬，已知),(ηξ的联合密度函数为00004 0.490.51,0.510.53(,) 0 x y p x y <<<<⎧=⎨⎩.， ；， 其它. ，若0.0040.36ηξ<-<，则轴与轴衬相“适衬”. 求任一轴与任一轴衬“适衬”的概率.10. 设二维正态随机变量(,)X Y ，对于下列三组参数，写出(,)X Y 的联合密度函数与边缘密度函数.1μ2μ1σ2σρ（1） 3 0 1 1 0.5 （2） 1 1 0.5 0.5 0.5 （3）1210.511. 在第4题的题设下，求(|2)P ηξ=，(|2)P ξη=，(1|5)P ξη==.12. 已知X 的分布列为：(0)0.6, (1)0.4P X P X ====. 且在0,1X X ==条件下关于Y 的条件分布如下，求,X Y 的联合分布.|1Y X =0 1|0Y X = 0 1(|0)P Y X =2/3 1/3(|1)P Y X =1/2 1/2习题3.31. 设随机变量(,)X Y 的分布列为Y X 0 1 2 3 4 0 1 2 30.1 0.05 0.01 0.02 0.01 0.04 0.06 0.02 0.03 0.04 0.13 0.08 0.01 0.05 0.03 0.08 0.11 0.05 0.06 0.02求：（1）max(,)M X Y =和min(,)m X Y =分布列；（2）M m +的分布列.2. 设某种商品一周的需要量为X ，其密度函数为e 0()0 0.x x x f x x -⎧>=⎨⎩≤， ；， ,如果各周的需要量是互相独立的. 求：（1）两周的需要量的密度函数；（2）三周的需要量的密度函数.3. 设随机变量(,)X Y 的密度函数为e 0(,) 0 .y x x y f x y -⎧<<=⎨⎩， ；， 其它，求max(,)M X Y =和min(,)m X Y =的密度函数.4. 设随机变量(,)X Y 的密度函数为01,01(,) 0 .x y x y f x y +⎧=⎨⎩， ；， 其它≤≤≤≤，求max(,)M X Y =和min(,)m X Y =的分布函数.5. 设随机变量(,)X Y 的密度函数为301,0(,) 0 .x x y x f x y <<<<⎧=⎨⎩， ；， 其它， 求Z X Y =-的密度函数.6. 设随机变量,X Y 相互独立，它们的概率密度分别为2, 01()0, X x x f x ⎧=⎨⎩；其它.≤≤ ，2, 01()0, Y y y f y ⎧=⎨⎩；其它.≤≤，求Z X Y =+的密度函数.7. 设随机变量X 与Y 相互独立且2~(,), ~[X N Y U μσ-π,π]. 求Z X Y =+的概率密度函数. 8. 设随机变量X 与Y 相互独立，其概率密度函数分别为101()0X x f x ⎧=⎨⎩≤≤，；，其它.， e 0()00.y Y y f y y -⎧>=⎨⎩，；，≤， 求2Z X Y =+的概率密度函数.9. 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度(2)2e 0,0(,)0 x y x y f x y -+⎧>>=⎨⎩，；， 其它.求随机变量2Z X Y =+的分布函数.10. 设随机变量X 与Y 相互独立，分布函数分别为21e , 0() 0, 0.xX x F x x -⎧⎪->=⎨⎪⎩；≤ 31e , 0() 0, 0.y Yy F y y -⎧⎪->=⎨⎪⎩；≤， 求Z X Y =+的概率密度函数.11. 设随机变量X 与Y 相互独立，~(1,2), ~(0,1)X N Y N ，求23Z X Y =-+的密度函数.12. 设随机变量X 和Y 的联合分布是{(,)|13,13}G x y x y =≤≤≤≤上的均匀分布，求随机变量||U X Y =+的概率密度.习题3.41. 设两个随机变量ξ与η相互独立且同分布，其分布律为1(),(1,2,3)3P k k ξ===又max (,), min(,)X Y ξηξη==.（1）写出(,)X Y 的分布列；（2）求()E X . 2. 设X 与Y 的联合密度为()e 0,0(,)0 x y x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它.，；，， 求)(Y X P <及)(XY E .3. 设随机变量X 与Y 的联合分布为15.015.02.025.015.01.0),()1,2()0,2()1,1()0,1()1,0()0,0(),(y Y x X P Y X ==求：（1）X 的概率分布；（2）Y X +的概率分布；（3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=)(2sin Y X Z π的数学期望.4. 设)1(~E Y 且0,(1,2)1,.k Y k X k Y k ⎧==⎨>⎩；≤，求：（1）1X 与2X 的联合概率分布；（2）)(21X X E +.5. 设随机变量X 和Y 的联合分布在以点(0,1)、(1,0)、(1,1)为顶点的三角形区域D 上服从均匀分布，求随机变量U X Y =+的方差.6. 设Y X Z 2131+=，其中,21),4,0(~),3,1(~22-=XY N Y N X ρ求：（1）(),()E Z D Z ；（2）XZ ρ；（3）X 与Z 是否相互独立.7. 设X 与Y 在圆域222x y r+≤上服从联合均匀分布，（1）求X 与Y 的相关系数ρ；（2）判断X 与Y 的独立性.8. 假设二维随机变量),(21X X 在矩形{(,)|02,01}G x y x y =≤≤≤≤上服从均匀分布，记01.X Y U X Y ⎧=⎨>⎩，；，≤，0212.X Y V X Y ⎧=⎨>⎩，；，≤（1）求U 和V 的联合分布；（2）求U 和V 的相关系数r .9. 设一商店经销某种商品，每周的进货量X 与顾客对该商品的需求量Y 是两个相互独立的随机变量，均服从区间]20,10[上的均匀分布.此商店每售出一个单位的商品，可获利1 000元，若需求量超过了进货量，可从其它商店调剂供应，此时售出的每单位商品，仅获利500元，求此商店经销这种商品每周获利的期望.10. 设一箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80、10、10件，现从中任取一件，且10i i X ⎧=⎨⎩，抽到等品；，其它.，3,2,1=i . 求：（1）二元随机变量1X 与2X 的联合分布； （2）1X 与2X 的相关系数ρ.11. 设随机变量),(Y X 的联合密度函数为)],(),([21),(21y x y x y x f ϕϕ+=，其中),(1y x ϕ和),(2y x ϕ都是二维正态密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为31和31-，它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是零，方差都是1. （1）求随机变量X 和Y 的密度函数)(1x f 和)(2y f ，及X 和Y 的相关系数ρ. （2）判断X 和Y 的独立性.12. 设B A ,是随机事件，定义随机变量：11.A X A ⎧=⎨-⎩，若出现；，若不出现，1,1,B Y B ⎧=⎨-⎩若出现；若不出现.证明随机变量X 和Y 不相关的充要条件是A 与B 相互独立.。
考试练习题常用概率分布教学提纲
考试练习题常用概率分布第四章选择题：1．二项分布的概率分布图在 条件下为对称图形。
A ．n > 50B ．π=0.5C ．n π=1D ．π=1E ．n π> 52．满足 时，二项分布B （n,π）近似正态分布。
A ．n π和n （1－π）均大于等于5B ．n π或n （1－π）大于等于5C ．n π足够大D ．n > 50E ．π足够大3. 的均数等于方差。
A ．正态分布B ．二项分布C ．对称分布D ．Poisson 分布E ．以上均不对4．标准正态典线下，中间95%的面积所对应的横轴范围是 。
A ．－∞到+1.96B ．－1.96到+1.96C ．－∞到+2.58D ．－2.58到+2.58E ．－1.64到+1.645．服从二项分布的随机变量的总体均数为 。
A ．n （1－π）B ．（n －1）πC ．n π（1－π）D ．n π 6．服从二项分布的随机变量的总体标准差为 。
A . B .（1-π）（1-π）（ -）π1 C . D . π（1-π）（π 7.设X 1,X 2分别服从以λ1,λ2为均数的Poisson 分布,且X 1与X 2独立,则X 1+X 2服从以为方差的Poisson 分布。
A . B.λ2λ12+2λ2λ1+ C . D . 2λ2λ1+（） 2λ2λ1+（） E .λ2λ12+2 8．满足 时，Poisson 分布Ⅱ（λ）近似正态分布。
A．λ无限大 B．λ>20 C．λ=1 D．λ=0 E．λ=0.59．满足时，二项分布B（n，π）近似Poisson分布。
A．n很大且π接近0 B．n→∞ C．nπ或n（1－π）大于等于5D．n很大且π接近0.5 E．π接近0.510．关于泊松分布，错误的是。
A．当二项分布的n很大而π很小时，可用泊松分布近似二项分布B．泊松分布均数λ唯一确定C．泊松分布的均数越大，越接近正态分布D．泊松分布的均数与标准差相等E．如果X1和X2分别服从均数为λ1和λ2的泊松分布，且相互独立。
(完整)概率复习题及答案
〈概率论〉试题一、填空题1．设A、B、C是三个随机事件。
试用A、B、C分别表示事件1）A、B、C 至少有一个发生2）A、B、C 中恰有一个发生3）A、B、C不多于一个发生2．设A、B为随机事件，，，.则＝3．若事件A和事件B相互独立, ，则4。
将C，C,E,E,I，N，S等7个字母随机的排成一行,那末恰好排成英文单词SCIENCE的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0。
5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量分布律为则A=______________7。
已知随机变量X的密度为,且，则________________8。
设～，且,则_________9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为_________ 10。
若随机变量在(1，6）上服从均匀分布，则方程x2+x+1=0有实根的概率是11.设，，则12。
用（)的联合分布函数F（x,y）表示13。
用（）的联合分布函数F（x，y）表示14.设平面区域D由y = x , y = 0 和x = 2 所围成，二维随机变量(x,y）在区域D上服从均匀分布，则（x，y）关于X的边缘概率密度在x = 1 处的值为。
15。
已知，则＝16.设，且与相互独立,则17。
设的概率密度为，则＝18。
设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在［0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N(0，22），X3服从参数为=3的泊松分布,记Y=X1－2X2+3X3，则D（Y）=19。
设，则20.设是独立同分布的随机变量序列,且均值为,方差为,那么当充分大时，近似有~ 或～。
特别是，当同为正态分布时，对于任意的，都精确有~ 或～.21.设是独立同分布的随机变量序列，且,那么依概率收敛于。
22.设是来自正态总体的样本，令则当时～。
23。
设容量n = 10 的样本的观察值为(8，7，6,9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，样本方差=24。
概率论与数理统计随机变量及其分布习题课
01 排列及其逆序数
解 以X表示此人外出时电话铃响的次数, 由题意知X~π(2t), t表示外出的总时间，则X的的分布律为
当t=10/60=1/6时， （1）
，故所求概率为
（2）设外出最长时间为t（单位：h）， 因为X~π(2t)，
3
01 排列及其逆序数
因此无电话打进的概率为
，
要使
即
，
解之得
0.3466小时约为21分钟，因此，某人应控制外出时间小
16
01 排列及其逆序数
ꢀ例8 设随机变量
,记
， 则A. p随着 μ的增加而增加
C. p随着μ的增加而减少
B. p随着 σ的增加而增加 D. p随着σ的增加而减少
解
因为 为单调增函数, p σ
,
所以 随着 的增加而增加
应选B.
17
01 排列及其逆序数
ꢀ例9 测量某距离时,随机误差X(单位:cm)具有密度函数：
则性。
6
01 排列及其逆序数 ꢀ例3 设随机变量X的概率密度为 为X的分布函数, 求 解 由题意知,X的分布函数为
因此，
F(x)
7
01 排列及其逆序数 ꢀ例4 设某加油站每周补给一次油,如果这个加油站每 周的销售量(单位:千升)为一随机变量,其密度函数为
试问该加油站的储油罐需要多大,才能把一周内断油的概 率控制在5%以下?
，求
解 当y≤0时,Y的密度函数为 当y>0时,Y的分布函数为
的分布. ；
对上式两边关于y求导，得
20
01 排列及其逆序数 即
这是伽玛分布
的概率密度函数.
21
01 排列及其逆序数
ꢀ例11 设电流I是一个随机变量,它均匀分布在9A~11A 之间.若此电流通过2Ω的电阻,在其上消耗的功率W=2I2, 求W的概率密度.
概率论与数理统计+第二章+随机变量及其分布+练习题答案
滨州学院《概率论与数理统计》（公共课）练习题第二章 随机变量及其分布一、填空题 10.712设一本书的各页的印刷错误个数X 服从泊松分布律．已知有一个和两个印刷错误的页数相同，则随意抽查的4页中无印刷错误的概率p = 0.0003 ．3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=≤=．若，；，若；，若；，若 3 1 324544 21 51 1 0 }{)(x x x x x X x F P 4{}12525.032)05.0()02(25.0=-=---=<≤F F X P ． 例2.11设随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其它06310)(9231x x x f ;若k 使得32)(=≥k X P ，则k 的取值范围是 . 【[1,3]】例2.13 设X 服从二项分布),(p n B ，且已知)2()1(===X P X P ，)3(2)2(===X P X P ，则)4(=X P ＝ . 【24310】 例2.14若随机变量X 服从正态分布)0)(,(2>σσμN ，且二次方程042=++X y y 无实根的概率是21，则=μ . 【4】2.22 （1）24310；（2）4；（3）2922；（4）649；（5）)0(2)1(ln 221)(+∞<<--=y y Y I e y y f π〖选择题〗1 [ C ]2 [ C ]3 [ C ]例2.1 【C 】例2.2 【A 】 例2.3 【B 】例2.5 【A 】例2.16设随机变量X ,Y 相互独立均服从正态分布)4,1(N , 若概率21)1(=<-bY aX P ,则(A)1,2==b a(B) 2,1==b a(C) 1,2=-=b a(D) 2,1-==b a 【A 】例2.18 设X 为随机变量, 若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=01020232X A 的特征根全为实数的概率为0.5, 则(A)X 服从区间[0,2]上的均匀分布 (B) X 服从二项分布B(2, 0.5) (C) X 服从参数为1的指数分布 (D) X 服从标准正态分布 【A 】2.23 （1）A ；（2）B ；（3）C ；（4）C ；（5）B 解答题〗 〖解答题〗例2.30解 不妨假设正立方体容器的边长为１．引进事件：{}0==X A ，即事件A 表示“小孔出现在容器的下底面”．由于小孔出现在正立方体的6个侧面是等可能的，易见 61)(=A P ．从而，{}61===)(0A X P P．对于任意x ＜0，显然()=x F ０；而()610=F ．由于小孔出现的部位是随机性，可见对于任意)75.0,0(∈x ，有(){}{}．641646100xx x X X x F +=+=≤<+≤=P P 该式中4x 表示容器的四个侧面x 以下的总面积，而容器6个侧面的总面积为６．对于任意x ≥0.75，显然()1=x F．于是，最后得()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤+<=．若若若 75.0 , 1 , 75.00 , 641, 0 , 0 x x x x x F例2.31（分布函数）解 因X 服从指数分布，且21==λX E (百小时)，故分布参数λ=0.5，故X的分布函数为()⎩⎨⎧≤>-=-．，若；，若0 0 0 e 15.0x x x G x 易见，{}1.0min ，X Y=．设)(y F 是Y 的分布函数，则对于y <0，)(y F =0；对于y >0.1，)(y F =1；对于1.00≤≤y ,有{}{}．，y y G y X y X y Y y F 5.0e 1)(}1.0 min{}{)(--==≤=≤=≤=P P P 于是，{}.10 min ，X Y=的分布函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-<=-．，若，若，，若 1.0 1 , 1.00 e 1 0 0 5.0y y y y F y例2.33解 试验次数X 是一随机变量．为求X 的概率分布，引进事件：j B ={第j 次试验成功}（j =1,2,…,n ）．显然P(j B ) = p ．而由于试验的独立性，知事件n B B B ,,,21 …相互独立．设试验进行到成功或n 次为止，则X 的可能值为1,2,…,n 且1}1{B X==；对于2≤k ≤n－1，．；；；，111111112111)(}{ )(}1{)12()(}{}{ }{------======-≤≤=======k n k k k n k k q B B n X p B X n k pq B B B k X B B B n X B B B k X P P P P P P于是，X 的概率分布为有限几何分布：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1121321~n n q pq pq pq pn n X ． 例2.35解 以ν表示抽到的30件产品中不合格品的件数，则ν服从参数为（30，0.02）的二项分布：．；；4545.0}0{1}1{3340.002.098.030}1{5455.098.0}0{2930==-=≥=⨯⨯=====ννννP P P P1) 不合格品不少于两件的概率．1205.002.098.03098.01}1{}0{1}2{2930=⨯⨯--==-=-=≥=ννναP P P2) 在已经发现一件不合格品的条件下，不合格品不少于两件的条件概率{}．2652.0}1{}2{}1{}2,1{12≈≥≥=≥≥≥=≥≥=νννννννβP P P P P 例2.36解 由条件知每台设备出现故障的概率为0.08．以ν表示10台设备中同时出现故障的台数，则ν服从参数为（10，0.08）的二项分布．需要安排的值班人数k 应满足条件：95.0}{≥≤k νP ．需要对不同的k 进行试算．首先，设k =１和k ＝２，相应得{}{}{}{}{}{}．，95.09599.008.092.008.092.01092.021281.008.092.01092.010128210910910≥≈⨯⨯+⨯⨯+==+≤=≤≈⨯⨯+==+==≤C ννννννP P P P P P因此，至少需要安排2个人值班．例2.37解 设X ——一周5个工作日停用的天数；Y ——一周所创利润．X 服从参数为(5,0.2)的二项分布．因此，有．，，，057.0205.0410.0328.01}3{205.08.02.010}2{410.08.02.05}1{328.08.0}0{3245=---=≥=⨯⨯===⨯⨯=====X X X X P P P P一周所创利润Y 是X 的函数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-====３．，若２，，若１，，若，，若X X X X Y 2 2 7 0 10 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-328.0410.0205.0057.010722~Y ． 例2.38(二项分布)解 设n ——至少出现一件不合格品所要生产产品的件数，则n 件产品中不合格品的件数n ν服从参数为（n ，0.01）的二项分布；按题意，n 应满足条件．， 0729.29899.0ln 05.0ln 95.099.01}0{1}1{≈≥≥-==-=≥n nn n ννP P 于是，为至少出现一件不合格品的概率超过95%，最少需要298.0729×3≈895分，将近14小时55分．例3.41解 由条件知X +Y 是一日内到过该商店的顾客的人数，服从参数为λ的泊松分布．设X ——一日内到过该商店的顾客中购货的人数．由条件知，在一日内有n 个顾客到过该商店的条件下，购货人数的条件概率分布为{}()．；),2,1,0(1m n m p p C n Y X m X mn m m n ≥=-==+=- P由全概率公式可见，对于m =0,1,2,…，有{}{}{}()[]()()()()[]()()[]()()()．p mp mk km m n mn m mn nmn mm nmn n mn mm nmn m p m p p k m p p m n m p n p p C n p p Cn Y X n Y X m Xm X λλλλλλλλλλλλλλλ---∞=-∞=--∞=--∞=--∞===-=--=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==+=+===∑∑∑∑∑e ! e e ! 1!1e!1!1e!!1ee ! 110P P P于是，一日内到过该商店的顾客中购货的人数X 服从参数为p λ的泊松分布．同理，Y 服从参数为)1(p -λ的泊松分布．例2.44 解 以()t ν表示t =90天内售出的电冰箱台数．可以假设()t ν服从参数为t λ的泊松分布．由条件知()λν77E ==56，从而λ=8（台）．这样，()t ν服从参数为t λ=8t 的泊松分布： (){}()() ,2,1,0 e !88===-k k t k t tkνP ．随机变量X 的可能值为自然数m =0,1,2,…．记t a λ=．由全概率公式，有{}(){}(){}()()()()()()()()， pa m pa a a m k k a m m n mn ammn a n m n m m nmn m pa m pa k qa m pa m n qa m pan a q p C n a n a m X m X ---∞=-∞=--∞=--∞====-=======∑∑∑∑e !e e ! ! e!! e ! e ! 0ννP P P 其中6.390805.0=⨯⨯==t p pa λ．因此返修件数X 服从参数为3.6的泊松分布：{}() ,2,1,0 e !6.36.3===-m m m X m P ．例2.47解 由条件知{}{}{}{}，⎪⎭⎫ ⎝⎛--≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-≤--=≤≤-=≤-≤--=≤--=>-=310821)36(310821310823108310812011 1 025.0a a a X a X a a X a a a X a a X ΦΦΦP P P P P其中()x Φ是标准正态分布函数．由熟知的事实()975.096.1=Φ，可见．；；94.5696.131082 0.975031082≈≈-≈⎪⎭⎫⎝⎛-a a a Φ 例2.48 解 由条件知()210,0~N X．设ν为100次独立重复测量中事件{}6.19 >X 出现的次数，则{}05.096.1106.19 =⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=>=X X p P P ．易见ν服从参数为(100 , 0.05)的二项分布，近似服从参数为5的泊松分布．因此{}{}{}{}{}()．87.05.125115.125105.095.0299100 05.095.010095.012101313555529899100≈++-=---≈⨯⨯⨯-⨯⨯--==-=-=-=<-=≥=----e e e e ννννναP P P P P 〖证明题〗例2.52（分布函数）证明 只需验证)()()(21x bF x aF x F +=满足分布函数的三条基本性质．由条件知a 和b 非负且a +b =1．由于)(1x F 和)(2x F 都是分布函数，可见对于任意，有1)()()(021=+≤+=≤b a x bF x aF x F对于任意实数21x x <，由于)2,1)(()(21=≤i x F x F i i ，可见，)()()()()()(2222112111x F x bF x aF x bF x aF x F =+≤+=即)(x F 单调不减．由)(1x F 和)(2x F 的右连续性，可见)(x F 也右连续．最后，．；1)(lim )(lim )(lim 0)(lim )(lim )(lim 2121=+==+=+∞→+∞→+∞→-∞→-∞→-∞→x F b x F a x F x F b x F a x F x x x x x x于是)()()(21x bF x aF x F +=也是分布函数．例2.53（分布函数） 证明 指数分布函数为)0(e 1)(≥-=-x x F x λ设}{P )(y Y y G ≤=为Y=)(X F 的分布函数．由于分布函数)(x F 的值域为(0,1)，可见当0≤y时0)(=y G ；当1≥y 时1)(=y G ．设10<<y ，有．y y F y X y y Y y G X =⎪⎭⎫⎝⎛--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--≤=≤-=≤=-)1ln(1)1ln(1}e 1{}{)(λλλP P P 于是，)(y G 是区间(0,1)上的均匀分布函数，从而Y=例2.4 【π2=C ；5)arctan 2(πe】例2.6 连续型随机变量X 的分布函数为：x B A x F arctan )(+=，∞<<∞-x试求：（1）常数A 、B ；（2）)11(<<-X P ；（3）随机变量X 的概率密度.【（1）π1,21==B A ；（2）21；（3）)1(12x +π】 例2.7 设随机变量X 具有对称的密度函数，即)()(x f x f =-，证明对任意的0>a ，有（1）⎰-=-=-adx x f a F a F 0)(21)(1)(（2）1)(2)|(|-=<a F a X P (3) ))(1(2)|(|a F a X P -=>问题3: 已知实际背景, 求随机变量的分布律与分布函数(或密度函数)例2.8 一袋中装有4个球，球上分别记有号码1,2,3,4。
概率习题
第一章 随机事件与概率习题1.1 P92. 在抛三枚硬币的试验中写出下列事件的集合表示:A=”至少出现一个正面”; B=”最多出现一个正面”; C=”恰好出现一个正面”; D=”出现三面相同”.5. 设X 为随机变量,其样本空间为},20{≤≤=ΩX 记事件}15.0{≤<=X A , }5.125.0{<≤=X B ,写出下列各事件：（1）B A ，（2）B A ，（3）AB ，（4）B A .6. 对飞机进行两次射击,每次射一弹,设A={恰有一弹击中飞机},B={至少有一弹击中飞机},C={两面三刀弹都击中飞机},D={两面三刀弹都没击中飞机}.又设随机变量X 为击中飞机的次数,试用X 表示事件A,B,C,D 中哪些是互不相容的事件?哪些是对立的事件?9. 请叙述下列事件的对立事件: (1) A=”掷两枚硬币,皆为正面”; (2) B=”射击三次,皆命中目标”;(3) C=”加工四个零件,至少有一个合格品”.习题1.2 P283. 任取两个正整数,求它们的和为偶数的概率.11. 口袋中有10个球,分别标有号码1至10,现从中不返回地任取3个,记下取出球的号码,试求: (1) 最小号码为5的概率; (2) 最大号码为5的概率.12. 掷三颗骰子，求以下事件的概率： (1)所得的最大点数小于等于5; (2)所得的最大点数等于5.15. 5个人在第一层进入十一层楼的电梯,假如每个人以相同的概率走出任一层(从第二层开始),求此5个人在不同楼层走出的概率.20. 将3个球随机地放入4个杯子中去,求杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率各为多少?22. 将n 个完全相同的球(这时也称球是不可辨的)随机地放入N 个盒子中,试求:(1) 某个指定的盒子中恰好有k 个球的概率; (2) 恰好有m 个空盒的概率;(3) 某指定的m 个盒子中恰好有j 个球的概率.23. 在区间(0,1)中随机地取两个数,求事件”两数之和小于6/5”的概率.24. 甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼夜内到达的时间是等可能的. 如果甲船的停泊时间是一小时,乙船的停泊时间是两小时,求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率是多少?27. 设一个质点落在xoy 平面上由x 轴y 轴及直线x+y=1所围成的三角形内,而落在这三角形内各点处的可能性相等,即落在这三角形内任何区域上的概率与这区域的面积成正比,试求此质点落在直线x=1/3的左边的概率是多少?习题1.3 P364. 从0,1,2,…,9等十个数字中任意选出三个不同的数字,试求下列事件的概率: (1)};50{1和三个数字中不含=A (2)};50{2或三个数字中不含=A (3)}.50{3但不含三个数字中含=A8. 从数字1,2,…,9中可重复地任取n 次, 求n 次所取数字的乘积能被10整除的概率.10. 甲掷硬币n+1次, 乙掷n 次. 求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率.14. 某班n 个战士各有1支归个人保管使用的枪, 这些枪的外形完全一样, 在一次夜间紧急集合中, 每人随机地取了1支枪, 求至少有1人拿到自己的枪的概率. 18.设2/1)()(==B P A P , 试证)()(,B A P AB P =19. 对任意的事件A, B, C, 证明: (1));()()()(A P BC P AC P AB P ≤-+ (2))()()(BC P AC P AB P ++1)()()(-++≥C P B P A P22. 证明:(1);1)()()(-+≥B P A P AB P (2)≥)(21n A A A P )1()()()(21--+++n A P A P A P n习题1.4 P484. 设某种动物由出生活到10岁的概率为0.8, 而活到15岁的概率为0.4. 问现年为10岁的这种动物能活到15岁的概率是多少?6. 设n 件产品中有m 件不合格品, 从中任取两件, 已知两件中有一件是不合格品, 求另一件也是不合格品的概率 .9. 已知,3.0)(=A P ,4.0)(=B P 5.0)(=B A P ,求)|(B A B P13. 甲口袋有a 个黑球,b 个白球, 乙口袋有n 个黑球,m 个白球.(1) 从甲口袋任取1个球放入乙口袋, 然后再从乙口袋任取1个球,试求最后从乙口袋取出的是黑球的概率.(2) 从甲口袋任取2个球放入乙口袋, 然后再从乙口袋任取1个球, 试求最后从乙口袋取出的是黑球的概率.16. 钥匙掉了, 掉在宿舍里,掉在教室里,掉在路上的概率分别是40%,35%和25%,而掉在上述三处地方被找到的概率分别是0.8,0.3和0.1, 试求找到钥匙的概率.18. 有两箱零件, 第一箱装50件, 其中10件是一等品; 第二箱装30件, 其中18件是一等品, 现从两箱中随意挑出一箱,然而从该箱中先后任取两个零件,(1) 第一次取出的零件是一等品的概率;(2) 在第一次取出的是一等品的条件下,第二次取出的零件仍然是一等品的概率.19. 学生在做一道有4个选项的单项选择题时,如果他不知道总是的正确答案时,就作随机猜测. 现从卷面上看题是答对了, 试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率.(1) 学生知道正确答案和胡乱猜测的概率是1/2. (2) 学生知道正确答案的概率是0.2.27. 设P(A)>0, 试证)()(1)|(A P B P A B P -≥28. 若事件A 与B 互不相容, 且0)(≠B P , 证明:)(1)()|(B P A P B A P -=31. 设ε-==1)(,)(B P p A P , 证明:εεε-≤≤--1)|(1pB A P p习题1.5 P553. 甲乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.7,现已知目标被击中,求它是甲射中的概率.5. 在一小时内甲,乙,丙三台机床需维修的概率分别是0.9,0.8和0.85,求一小时内(1) 没有一台机床需要维修的概率; (2) 至少有一台机床不需要维修的概率; (3) 至多只有一台机床需要维修的概率.6. 设321,,A A A 相互独立,且3/1)(=i A P ,I=1,2,3. 试求321,,A A A 中 (1) 至少出现一个的概率; (2) 恰好出现一个的概率; (3) 最多出现一个的概率.8. 假设7.0)(,4.0)(==B A P A P , 在以下情况下求)(B P : (1) A, B 不相容; (2) A, B 独立;(3) B A ⊂.14. 每次射击命中率为0.2, 试求:射击多少次才能使至少击中一次的概率不小于0.9?22. 设A,B,C 三事件相互独立, 试证A-B 与C 独立.23. 设0<P(B)<1, 试证事件A 与B 独立的充要条件是)|()|(B A P B A P =第二章 随机变量及其分布习题2.1 P732. 一颗骰子抛两次,以X 表示两次中所得的最小点数.(1) 试求X 的分布列;(2) 写出X 的分布函数, 并作图.4. 有3个盒子,第一个盒子装有1个白球,4个黑球; 第二个盒子装有2个白球,3个黑球; 第三个盒子装有3个白球,2个黑球. 现任取一个盒子,从中任取3个球. 以X 表示所取到的白球数. (1) 试求X 的概率分布列;(2) 取到的白球数不少于2个的概率是多少?6. 设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<=.6,1;63,2/1;31,3/1;10,4/1;0,0)(x x x x x x F试求X 的概率分布列及P(X<3),P(X ≤3),P(X>1),P(X≥1).11. 如果X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤=其他,021,210,)(x x x x x p试求P(X ≤1.5).13. 设连续随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1;10,;0,0)(2x x Ax x x F试求(1) 系数A;(2) X 落在区间(0.3,0.7)内的概率; (3) X 的密度函数.15. 设随机变量X 和Y 同分布,X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0;20,83)(2其他x x x p 已知事件A={X>a}和B={Y>a 独立, 且P(A ∪B)=3/4,求常数a.16. 设连续随机变量X 的密度函数p(x)是一个偶函数,F(x)为X 的分布函数, 求证对任意实数a>0, 有 (1);)(5.0)(1)(0⎰-=-=-adx x p a F a F(2);1)(2)|(|-=<a F a X P (3))].(1[2)|(|a F a X P -=>习题2.2 P81试求E(X)和E(3X+5).5. 用天平称某种物品的质量(砝码仅允许放在一个盘中), 现有三组砝码(甲)1,2,2.5,10(g); (乙)1,2,3,4,10(g); (丙)1,1,2,5,10(g), 称重时只能使用一组砝码. 问:当物品的质量为1g, 2g, …, 10g 的概率是相同的, 用哪一组砝码称重所用的平均砝码数最少?7. 对一批产品进行检查, 如查到第a 件全为合格品, 就认为这批产品合格;若在前a 件中发现不合格品即停止检查,且认为这批产品不合格. 设产品的数量很大, 可认为每次查到不合格品的概率都是p, 问每批产品平均要查多少件?11. 设随机变量X 的分布函数如下, 试求E(X).⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<≤<=--.1,211;10,21;0,2)()1(21x e x x e x F x x12. 某工程队完成某项工程的时间X(单位:月)是一个随机变量,它的分布列为(1) 试求该工程队完成此项工程的平均月数;(2) 设该工程队所获利润为Y=50(13-X),单位为万元. 试求工程队的平均利润;(3) 若该工程队高速安排,完成该项工程的时间1X (单位:月)的分布为则其平均利润可增加多少?13. 设随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0;0,2cos 21)(其他πx x x p 对X 独立重复观察4次,Y 表示观察值大于π/3的次数,求Y 2的数学期望.习题2.3 P884. 设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<≤<=--,1,211;10,21;0,2)()1(21x ex x e x F x x试求Var(X).5. 设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<-+=,,0;10,1;01,1)(其他x x x x x p试求Var(3X+2).7. 设随机变量X 仅在区间[a,b]上取值,试证.)2()(,)(2a b X Var b X E a -≤≤≤9. 设g(x)为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数,且E(g(X))存在,证明:对任意的ε>0,有.)())(()(εεg X g E X P ≤>11. 已知正常成人男性每升血液中的白细胞数平均是7.3×109,标准差是0.7×109. 试利用切比雪夫不等式估计每升血液中的白细胞数在5.2×109至9.4×109之间的概率的下界. 习题2.4 P1013. 某优秀射手命中10环的概率为0.7, 命中9环的概率为0.3. 试求该射手三次射击所是的环数不少于29环的概率.5. 设随机变量X~b(n,p),已知E(X)=2.4, Var(X)=1.44, 求两个参数n 与p 各为多少?7. 一批产品的不合格品率为0.02, 现从中任取40件进行检查,若发现两件或两件以上不合格品就拒收这批产品. 分别用以下方法求拒收的概率:(1)用二项分布作精确计算;(2)用泊松分布作近似计算.9. 已知某商场一天来的顾客数X 服从参数为λ的泊松分布,而每个来到商场的顾客购物的概率为p,证明:此商场一天内购物的顾客数服从参数为λp 的泊松分布.12. 设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=.,0;10,2)(其他x x x p 以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件{X ≤1/2}出现的次数,试求P(Y=2).13. 某产品的不合格品率为0.1,每次随机抽取10件进行检验,若发现其中不合格品数多于1, 就去调整设备.若检验员每天检验4次,试问每天平均要高速几次设备.习题2.5 P1153. 设K 服从(1,6)上的均匀分布,求方程012=++Kx x 有实根的概率.6. 设某种商品每周的需求量X 服从区间(10,30)上均匀分布,而商店进货数为区间(10,30)中的某一整数,商店每销售1单位商品可获利500元;若供大于求则削价处理,每处理1单位商品亏损100元;若供不应求,则可从外部调剂供应,此时每1单位商品仅获利300元.为使商店所获利润期望值不少于9280元,试确定最少进货量.10. 某种设备的使用寿命X(以年讲)服从指数分布,其平均寿命为4年.制造此种设备的厂家规定,若设备在使用一年之内损坏,则可以予以调换.如果设备制造厂每售出一台设备可赢利100元,而调换一台设备制造厂需花费300元.试求每台设备的平均利润.11. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以min 计)服从指数分布,其密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>=-.,0;0,51)(5其他x e x p x某顾客在窗口等待服务,若超过10min,他就离开,他一个月要到银行5次,以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数,试求P(Y ≥1).13. 设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤>=-.0,0;0,)(x x e x p x λλ(λ>0)20. 设X~N(3,22),(1)求P(2<X≤5);(2)求P(|X|>2);(3)确定c合得P(X>c)=P(X<c).23. 从甲地飞往乙地的航班,每天上午10:10起飞,飞行时间X服从均值是4h,标准差是20min的正态分布.(1)该机在下午2:30以后到达乙地的概率是多少?(2)该机在下午2:20以前到达乙地的枝率是多少?(3)该机在下午1:50至2:30之间到达乙地的概率是多少?24. 某单位招聘员工,共有10000人报考.假设考试以下有1151人.现按考试成绩从高分到低分依次录用2500人,试问被录用者最低分为多少?30. 设随机变量X~N(μ,σ2),求E|X-μ|.习题2.6 P123试求Y=X与Z=|X|的分布列.3. 设随机变量X服从(-1,2)上的均匀分布,记⎩⎨⎧<-≥=.0,1;0,1XXY试求Y的分布列.7. 设随时机变量X服从区间(1,2)上的均匀分布,试求XeY2=的密度函数.8. 设随机变量X服从区间(0,2)上的均匀分布,(1)求Y=X 2的密度函数.(2)P(Y<2).13. 设),(~2σμN X ,求Xe Y =的数学期望与方差.15. 设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤>=-.0,0;0,)(x x e x p x 若若试求以下Y 的密度函数(1) Y=2X+1; (2)Xe Y =; (3)2X Y =.17.设),(~2σμLN X ,试证:).,(~ln 2σμN X Y =第三章 多维随机变量及其分布习题3.1 1432. 100件产品中有50件一等品,30件二等品,20件三等品.从中不放回地抽取5件,以X,Y 分别表示取出的5件中一等品,二等品的件数,求(X,Y)的联合分布列.5. 设随机变量(X,Y)的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<--=.,0;42,20),6(),(其他y x y x k y x p 试求(1) 常数k;(2) P(X<1,Y<3); (3) P(X<1.5); (4) P(X+Y ≤.6. 设随机变量(X,Y)的联合密度函数为⎩⎨⎧>>=+-.,0;0,0,,()43(其他y x ke yP x p y x 试求(1) 常数k;(2) (X,Y)的联合分布函数F(x,y); (3) P(0<X ≤1,0<Y ≤2).11. 设二维随时机变量(X,Y)的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+=.,0;20,10,3),(2其他y x xyx y x p 求P(X+Y ≥1).13. 设二维随时机变量(X,Y)的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=.,0;20,10,21),(其他y x y x p 求X 与Y 中至少有一个小于0.5的概率.习题3.2 P1534.设平面区域D 由曲线及直线y=1/x 及直线y=0,x=1,x=e2所围成,二维随机变量(X.,Y)在区域D 上服从均匀分布,试求X 的边际密度函数.6. 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0;10,6),(2其他x y x y x p试求边际密度函数).()(y p x p Y X 和12. 设X 与Y 是两个相互独立的随机变量, X~U(0,1), Y~Exp(1). 试求(1)X 与Y 的联合密度函数; (2)P(Y ≤X); (3)P(X+Y ≤1).14. 设随机变量(X,Y)的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<=.,0;10,||,1),(其他y y x y x p 试求(1)边际密度函数)()(y p x p Y X 和;(2)X 与Y 是否独立?16. 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为p(x,y). 证明:X 与Y 相互独立的充要条件是p(x,y)可分离变量,即p(x,y)=h(x)g(y). 又问h(x),g(y)与边际密度函数有什么关系?习题3.3 P163试分别求U=max(X,Y)和V=min(X,Y)的分布列.已知P(XY=0)=1,试求Z=max(X,Y)的分布列.5. 设X 和Y 为两个随机变量,且.74)0()0(,73)0,0(=≥=≥=≥≥Y P X P Y X P 试求).0),(max(≥Y X P6. 设X 与Y 的联合密度函数为⎩⎨⎧>>=+-.,0;0,0,),()(其他y x e y x p y x试求以下随机变量的密度函数(1)Z=(X+Y)/2;(2)Z=Y-X.8. 某种商品一周的需要量是一个随机变量,其密度函数为⎩⎨⎧≤>=-.0,0;0,)(1t t te t p t 设各周的需要量是相互独立的,试求 (1) 两周需要量的密度函数)(2x p ; (2) 三周需要量的密度函数).(3x p10. 设二维随机变量(X,Y)在矩形}10,20|),{(≤≤≤≤=y x y x G上服从均匀分布,试求边长分别为X 和Y 的矩形面积Z 的密度函数. 16. 设随机变量n X X X ,,,21 相互独立,且)(~i i Exp X λ,试证:nin i X X X X P λλλλ+++== 2121)),,,min((18. 设随机变量X 与Y 独立同分布,其密度函数为⎩⎨⎧≤>=-.0,0;0,)(x x e x p x (1) 求)/(Y X X V Y X U +=+=与的联合密度函数);,(,v u p V U (2) 以上的U 与V 独立吗?19. 设随机变量X 与Y 相互独立,且).,(~),,(~21λαλαGa Y Ga X 试证:U=X+Y 与C=X/Y 相互独立.习题3.4 P1812. 求掷n 颗骰子出现点数之和的数学期望与方差.3. 从数字0,1,…,n 中任取两个不同的数字,求这两个数字之差的绝对值的数学期望.5. 盒中有n 个不同的球,其上分别写有数字1,2,…,n.每次随机抽出一个,记下其号码,放回去再抽.直到抽到有两个不同的数字为止.求平均抽球次数.9. 设521,,X X X 是独立同分布的随机变量，其共同密度函数为⎩⎨⎧<<=其他,0;10,2)(x x x p使求),,,max(521X X X Y =的密度函数、数学期望和方差。