销售方面的数学公式及解析
2021届全国高考数学一轮复习知识巩固AB卷：专题13 统计、统计案例与概率(A卷)(含解析)
2021年全国高考数学一轮复习知识巩固AB卷（理科）专题13 统计、统计案例与概率（A卷）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．2019年夏季来临，某品牌饮料举行夏季促销活动，瓶盖内部分别印有标识“谢谢惠顾”、A B C标识的饮料数量之比标识B“再来一瓶”以及标识C“品牌纪念币一枚”，每箱中印有,,为3：1：2，若顾客购买了一箱（12瓶）该品牌饮料，则兑换“品牌纪念币”的数量为（）A．2 B．4 C．6 D．82．一般来说，一个班级的学生学号是从1开始的连续正整数，在一次课上，老师随机叫起班上8名学生，记录下他们的学号是：3、21、17、19、36、8、32、24，则该班学生总数最可能为（）A．39人B．49人C．59人D．超过59人3．某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编 从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：号分别为001,002,,599,60032 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号（）A．522B．324C．535D．5784．新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）．其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A、B、C、D、E五个等级．某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（ ） A ．获得A 等级的人数减少了 B ．获得B 等级的人数增加了1．5倍 C ．获得D 等级的人数减少了一半D ．获得E 等级的人数相同5．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则（ ） A ．270,75x s =<B ．270,75x s =>C ．270,75x s ><D ．270,75x s <>6．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[)50,60的同学有30人，则n 的值为（ ）A ．100B ．1000C ．90D ．9007．某公司新发明了甲、乙两种不同型号的手机，公司统计了消费者对这两种型号手机的评分情况，作出如下的雷达图，则下列说法不正确的是（ ）A ．甲型号手机在外观方面比较好B ．甲、乙两型号的系统评分相同C ．甲型号手机在性能方面比较好D ．乙型号手机在拍照方面比较好8．某企业的一种商品的产量与单位成本数据如下表：产量x （万件） 14 16 182022单位成本y （元/件）12107a3若根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为ˆ 1.1528.1yx =-+，则a 的值等于（ ） A ．4.5 B ．5C ．5.5D ．69．相关变量的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性回归直线方程，相关系数为．则（ ）A ．B ．C ．D ．10．为了判断高中生选修理科是否与性别有关．现随机抽取50名学生，得到如下列联表：根据表中数据，得到的观测值()22501320107 4.84423272030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，若已知，，则认为选修理科与性别有关系出错的可能性约为（ ） A ．B ．C ．D ．11．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡都送给丁的概率为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．1512．函数()()22846f x x x x =-++-≤≤，在其定义域内任取一点0x ，使()00f x ≥的概率是（ ） A ．310B ．23C ．35D ．45第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．某公司对2019年14月份的获利情况进行了数据统计，如下表所示：月份x 123 4利润y /万元5 6 6.58利用线性回归分析思想，预测出2019年8月份的利润为11.6万元，则y 关于x 的线性回归方程为__________．14．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：参照附表，在犯错误的概率最多不超过______(填百分比)的前提下，可认为“该种疫苗有预防埃博拉病毒感染的效果”． 参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++15．从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第三象限的概率为_____．16．如图，在边长为2的正方形中，以的中点为圆心，以为半径作圆弧，交边于点，从正方形中任取一点，则该点落在扇形中的概率为_____．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）本市摄影协会准备在2019年10月举办主题为“庆祖国70华诞——我们都是追梦人”摄影图片展．通过平常人的镜头记录国强民富的幸福生活，向祖国母亲的生日献礼．摄影协会收到了来自社会各界的大量作品，打算从众多照片中选取100张照片展出，其参赛者年龄集中在[25,85]之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如图：（1）根据频率分布直方图，求这100位摄影者年龄的样本平均数x和中位数m（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）为了展示不同年龄作者眼中的祖国形象，摄影协会按照分层抽样的方法，计划从这100件照片中评出20个最佳作品，并邀请作者参加“讲述照片背后的故事”座谈会．①在答题卡上的统计表中填出每组应抽取的人数；年龄[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)[75,85]人数②若从较年轻的前三组作者中选出2人把这些图片和故事整理成册，求这2人至少有一人的年龄在[35,45)的概率．18．（12分）国家学生体质健康测试专家组到某学校进行测试抽查，在高三年级随机抽取100名男生参加实心球投掷测试，测得实心球投掷距离（均在5至15米之内）的频数分布表如下（单位：米）：规定：实心球投掷距离在[)9,13之内时，测试成绩为“良好”，以各组数据的中间值代表这组数据的平均值ξ，将频率视为概率．（1）求ξ，并估算该校高三年级男生实心球投掷测试成绩为“良好”的百分比；（2）现在从实心球投掷距离在[)5,7，[)13,15之内的男生中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人参加提高体能的训练，求：在被抽取的3人中恰有两人的实心球投掷距离在[)5,7内的概率．19．（12分）已知某商品每件的生产成本x （元）与销售价格y （元）具有线性相关关系，对应数据如表所示：（1）求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（2）若该商品的月销售量z （千件）与生产成本x （元）的关系为221z x =-+，[2,10]x ∈， 根据（1）中求出的线性回归方程，预测当x 为何值时，该商品的月销售额最大．附：121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-．20．（12分）随着教育信息化2．0时代的到来，依托网络进行线上培训越来越便捷，逐步成为实现全民终身学习的重要支撑．最近某高校继续教育学院采用线上和线下相结合的方式开展了一次300名学员参加的“国学经典诵读”专题培训．为了解参训学员对于线上培训、线下培训的满意程度，学院随机选取了50名学员，将他们分成两组，每组25人，分别对线上、线下两种培训进行满意度测评，根据学员的评分(满分100分)绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断学员对于线上、线下哪种培训的满意度更高?并说明理由；（2）求50名学员满意度评分的中位数m，并将评分不超过m、超过m分别视为“基本满意”、“非常满意”两个等级．①利用样本估计总体的思想，估算本次培训共有多少学员对线上培训非常满意?②根据茎叶图填写下面的列联表：并根据列联表判断能否有99．5％的把握认为学员对两种培训方式的满意度有差异?附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，()20.0100.0050.0016.6357.87910.828P K kk≥．21．（12分）在边长为1的正六边形ABCDEF中，其中心为点O．（1）在正六边形ABCDEF的边上任取一点P，求满足OP在OE上的投影大于12的概率；（2）从A，B，C，D，E，F这六个点中随机选取两个点，记这两个点之间的距离为x，求x大于等于3的概率．22．（12分）某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y（万人）与年份x的数据：第x年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 旅游人数y（万人）300 283 321 345 372 435 486 527 622 800该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了y与x的两个回归模型：模型①：由最小二乘法公式求得y 与x 的线性回归方程50.8169.7y x =+；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线bxy ae =的附近．（1）根据表中数据，求模型②的回归方程bx y ae =．（a 精确到个位，b 精确到0．01）． （2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．回归方程①50.8169.7y x =+②bx y ae =1021()iii y y =-∑ 30407 14607参考公式、参考数据及说明： ①对于一组数据()()()1122,,,,,,n n v w v w v w ，其回归直线w v αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为121()(),()niii nii w w v v w v v v βαβ==--==--∑∑．②刻画回归效果的相关指数22121()1()nii i n ii yy R yy ==-=--∑∑．③参考数据： 5.46235e ≈， 1.43 4.2e ≈．x y u1021()ii xx =-∑()()101iii x x y y =--∑ ()()101iii x x uu =--∑表中1011ln ,10i i i i u y u u ===∑．专题13 统计、统计案例与概率 答 案+解 析第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】根据题意，“品牌纪念币一枚”的瓶数占全部瓶数的三分之一，即11243⨯=． 2．【答案】A【解析】因为随机抽样中，每个个体被抽到的机会都是均等的，所以110，1120，2130，3140，…，每组抽取的人数，理论上应均等；又所抽取的学生的学号按从小到大顺序排列为3、8、17、19、21、24、32、36，恰好使110，1120，2130，3140四组中各有两个，因此该班学生总数应为40左右，故选A ． 3．【答案】D【解析】第6行第6列的数开始的数为808，不合适，436，789不合适，535，577，348，994不合适，837不合适，522，535重复不合适，578合适，则满足条件的6个编号为436，535，577，348，522，578， 则第6个编号为578，故选D ． 4．【答案】B【解析】设2016年参加考试x 人，则2018年参加考试2x 人，根据图表得出两年各个等级的人数如下图所示：由图可知A ，C ，D 选项错误，B 选项正确，故本小题选B ． 5．【答案】A【解析】由题意，根据品滚石的计算公式，可得7050806070907050x ⨯+-+-==，设收集的48个准确数据分别记为1248,,,x x x ，则()()()()()2222212481757070706070907050x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦()()()2221248170707050050x x x ⎡⎤=-+-++-+⎣⎦， ()()()()()222222124817070708070707050s x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦ ()()()222124817070701007550x x x ⎡⎤=-+-++-+<⎣⎦， 故275s <．故选A ． 6．【答案】A【解析】由频率分布直方图可知，支出在[)50,60的同学的频率为0.03100.3⨯=，301000.3n ∴==，本题正确选项A ． 7．【答案】C【解析】从图中可得：甲型号手机在外观方面评分为90，乙型号手机在外观方面评分为85， 故A 正确；甲型号手机在系统方面评分为95，乙型号手机在系统方面评分也为95，故B 正确； 甲型号手机在性能方面评分为85，乙型号手机在外观方面评分为90，故C 错误； 甲型号手机在拍照方面评分为85，乙型号手机在拍照方面评分为90，故D 正确； 故选C ． 8．【答案】B 【解析】1416182022901855x，1210733255a ay ， x y ，在线性回归方程ˆ 1.1528.1yx =-+上， 1.151828.17.4y ，则32=7.45a，解得5a =，故选B ． 9．【答案】D【解析】由散点图得负相关，所以，因为剔除点后，剩下点数据更具有线性相关性，更接近，所以．故选D ．10．【答案】B【解析】由观测值，对照临界值得4．844>3．841，由于P （X 2≥3．841）≈0．05，∴认为选修理科与性别有关系出错的可能性为5%．故选B ． 11．【答案】C【解析】（甲送给丙、乙送给丁）、（甲送给丁，乙送给丙）、（甲、乙都送给丙）、（甲、乙都送给丁）共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，所以甲、乙将贺年卡送给同一人丁的情况一种， 概率是14，故选C ． 12．【答案】C【解析】由题意，知()00f x ≥，即200280x x -++≥，解得{}0024x x -≤≤，所以由长度的几何概型可得概率为4(2)36(4)5P --==--，故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】ˆ0.954yx =+ 【解析】设线性回归方程为ˆˆˆybx a =+，因为52x =，518y =， 由题意可得551ˆ288ˆ11.6ˆˆb a b a⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得ˆ0.95b =，ˆ4a =，即ˆ0.954y x =+，故答案为ˆ0.954yx =+． 14．【答案】5%【解析】由题意，计算观测值()2210010302040 4.762 3.84150503070K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，参照附表，可得：在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”． 故答案为5%．15．【答案】29【解析】试验发生包含的事件（k ，b ）的取值所有可能的结果有：（﹣1，﹣2）；（﹣1，1）；（﹣1，2）；（1，﹣2）；（1，1）；（1，2）；（2，﹣2）；（2，1）；（2，2）共9种结果．而当00k b <>⎧⎨⎩时，直线不经过第三象限，符合条件的（k ，b ）有2种结果，∴直线不过第三象限的概率29P =，故答案为29．16．【答案】π8【解析】如图，正方形面积，因为，故，所以π4AOM ∠=， 同理π4NOB ∠=，所以π2MON ∠=， 又，∴()212222ππMONS =⨯⨯=扇形． ∴从正方形中任取一点，则该点落在扇形中的概率为8ππ24P ==．故答案为π8．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）平均数60，中位数4557；（2）①详见解析，②35． 【解析】（1）在频率分布直方图中，这100位参赛者年龄的样本平均数300.05400.1500.15x =⨯+⨯+⨯600.35700.2800.1560+⨯+⨯+⨯=．设中位数为m ，由0.050.10.15(55)0.350.5m +++-⨯=，解得4557m =（或答55．57）． （2）①每组应各抽取人数如下表：②根据分层抽样的原理，年龄在前三组内分别有1人、2人、3人，设在第一组的是a ，在第二组的是1b ，2b ，在第三组的是1c ，2c ，3c ，列举选出2人的所有可能如下：1(,)a b ，2(,)a b ，1(,)a c ，2(,)a c ，3(,)a c ，12()b b ,，11(,)b c ，12(,)b c ，13(,)b c ，21(,)b c ，22(,)b c ，23(,)b c ，12(,)c c ，13(,)c c ，23(,)c c ，共15种情况．设“这2人至少有一人的年龄在区间[35,45]”为事件A ， 则93()155P A ==． 18．【答案】（1）平均值9.77ξ=，百分比62%；（2）0.6． 【解析】（1）根据平均值的定义得92340226681012149.77100100100100100ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 因为实心球投掷距离在[)9,13之内时，测试成绩为“良好”，所以40220.6262%100+==． （2）实心球投掷距离在[)5,7，[)13,15之内的男生分别有9，6人，用分层抽样的方法抽取5人，则分别抽取3，2人．从这5人中随机抽取3人参加提高体能的训练的总数为35C 10=，在被抽取的3人中恰有两人的实心球投掷距离在[)5,7的总数为2132C C 6=， 所以在被抽取的3人中恰有两人的实心球投掷距离在[)5,7内的概率为60.610p ==． 19．【答案】（1）ˆ46y x =-；（2）预计当6x =时，该商品的销售额最大为162元．【解析】（1）根据题意，5678 6.54x +++==，15172127204y +++==，41515617721827540i ix y=⨯+⨯+⨯+⨯=∑，42222215678174i x =+++=∑，所以414222145404 6.52041744 6.54i ii x y x yb x x--⨯⨯===-⨯-∑∑，所以204 6.56a y bx =-=-⨯=-， 所以y 关于x 的线性回归方程ˆ46yx =-． （2）依题意，销售额2()(221)(46)896126([2,10])f x x x x x x =-+-=-+-∈． 其对称轴为9662(8)x =-=⨯-，又因为()f x 为开口向下的抛物线，故当6x =时()f x 最大， 最大值()836966126162f x =-⨯+⨯-=． 答：预计当6x =时，该商品的销售额最大为162元．20．【答案】（1）对线下培训满意度更高；（2）①84人，②有把握． 【解析】（1）对线下培训满意度更高．理由如下：①由茎叶图可知：在线上培训中，有72%的学员满意度评分至多79分，在线下培训中，有72%的学员评分至少80分．因此学员对线下培训满意度更高．②由茎叶图可知：线上培训满意度评分的中位数为76分，线下评分的中位数为85分．因此学员对线下培训满意度更高．③由茎叶图可知：线上培训的满意度评分平均分高于80分；线下培训的平均分低于80分，因此学员对线下培训满意度更高．④由茎叶图可知：线上培训的满意度评分在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布；线下培训的评分分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布，又两种培训方式打分的分布区间相同，故可以认为线下培训评分比线上培训打分更高，因此线下培训的满意度更高． 以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． （2）由茎叶图知798079.52m +==． ①参加线上培训满意度调查的25名学员中共有7名对线上培训非常满意，频率为725， 又本次培训共300名学员，所以对线上培训满意的学员约为73008425⨯=人． ②列联表如下：于是2250(181877)9.6825252525k ⨯-⨯==⨯⨯⨯，因为9.687.879>，所以有99.5%的把握认为学员对两种培训方式的满意度有差异． 21．【答案】（1）13；（2）35． 【解析】（1）OD ，OF 在OE 上的投影为cos cos OD OD OE OF OF OE 〈〉=〈〉,,11cos602=⨯︒=， ∴当P 在线段FE （除点F ）和线段ED （除点D ）上运动时，OP 在OE 上的投影大于12，∴OP 在OE 上的投影大于12的概率2163p ==．（2， 选出的两个点不相邻有9种，（A ，C ），(A ，D )，(A ，E )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，E )， (D ，F )，(C ，F )；六个点中随机选取两个点，总共有15种：（A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )；(93155P x ∴≥==． 22．【答案】（1）0.11235x y e =；（2）见解析． 【解析】（1）对bxy ae =取对数，得ln ln y bx a =+， 设ln u y =，ln c a =，先建立u 关于x 的线性回归方程，()()()10110219.000.10883iii i i x x u u b x x==--==≈-∑∑， 6.050.108 5.5 5.456 5.46c u bx =-≈-⨯=≈，5.46235c a e e =≈≈，∴模型②的回归方程为0.11235x y e =．（2）由表格中的数据，有30407>14607，即101022113040714607()()i i i i y y y y ==>--∑∑，即10102211304071460711()()iii i y y y y ==-<---∑∑，2212R R <，模型①的相关指数21R 小于模型②的22R ，说明回归模型②的拟合效果更好．2021年时，13x =，预测旅游人数为0.1113 1.43235235235 4.2987y e e ⨯==≈⨯=（万人）．。
2020年高考数学一轮复习专题6.5相关系数及回归方程练习(含解析)
6.5 相关系数及回归方程两个变量间的相关关系：①有关概念：相关关系与函数关系不同．函数关系中的两个变量间是一种确定性关系．相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系．如果一个变量的值由小变大时另一个变量的值由小变大，这种相关称为正相关；如果一个变量的值由小变大时另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关；如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系．②回归方程： 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据的回归方程，其中是待定参数． 的计算公式.考向一 样本中心【例1-1】某种产品的广告费支出与销售额之间有如下对应数据（单位：百万元），根据下表求出关于的线性回归方程为，则表中的值为（ ）A. B. C. D.y bx a =+1122()()()n n x y x y x y ，，，，，，a b 、a b 、1122211()()()()nni i i ii i nni ii i x x y y x y nx yb x x xn x a y bx====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑x y y x 6.5175ˆ.yx =+a 505456.564【答案】B【解析】根据规律知道回归直线一定过样本中心，故得到，将坐标代入方程得到的值为.故答案为：B. 【例1-2】已知表中数据y 与x 有较好的线性关系，通过计算得到y 关于x 的线性回归方程为ˆˆ1.05yx a =+，则相应于下列各点的残差中绝对值最小的是（ ）A ．（2，4）B ．（4，6）C ．（8，10）D ．（10，12.5）【答案】D【解析】ˆˆˆ6,8.3,8.3 1.056,2, 1.052x y aa y x ==∴=⨯+∴=∴=+， 相应于点(2,4),(4,6),(8,10),(10,12.5)的残差分别为0.1,0.2,0.4,0---，故选D.【举一反三】1．“关注夕阳、爱老敬老”—某马拉松协会从2013年开始每年向敬老院捐赠物资和现金.下表记录了第x 年(2013年是第一年)与捐赠的现金y (万元)的对应数据，由此表中的数据得到了y 关于x 的线性回归方程.ˆ035ymx =+，则预测2019年捐赠的现金大约是( ) A ．5万元B ．5.2万元C ．5.25万元D ．5.5万元【答案】C5,196x y a ==+6.5175ˆ.yx =+a 54【解析】由已知得，29t =， 所以样本点的中心点的坐标为(4.5,3.5)，代入.ˆ035ymx =+， 得3.5 4.50.35m =+，即0.7m =，所以0.7035ˆ.x y=+， 取7x =，得ˆ0.770.35 5.25y=⨯+=， 预测2019年捐赠的现金大约是5.25万元.2．某同学将收集到的6组数据对，制作成如图所示的散点图（各点旁的数据为该点坐标），并由这6组数据计算得到回归直线l ：y bx a =+$$$和相关系数r ．现给出以下3个结论：①0r >；②直线l 恰过点D ；③1b >． 其中正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】A【解析】由图像可得，从左到右各点是上升排列的，变量具有正相关性，所以0r >，①正确； 由题中数据可得: 1.5 2.4 3.54 5.8 6.846x +++++==， 2.1 2.8 3.3 3.5 4.35 3.56y +++++==，所以回归直线过点(4,3.5)D ，②正确；又61621()()10.360.514120.14()iii ii x x yy b x x ==--==≈<-∑∑，③错误.故选A 3．有一散点图如图所示，在5个(,)x y 数据中去掉(3,10)D 后，下列说法正确的是（ ）A ．残差平方和变小B ．相关系数r 变小C ．相关指数2R 变小D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱【答案】A【解析】∵从散点图可分析得出：只有D 点偏离直线远，去掉D 点，变量x 与变量y 的线性相关性变强， ∴相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，故选：A.考向二回归方程【例2】某人经营淡水池塘养草鱼，根据过去40期的养殖档案，该池塘的养殖重量X （百斤）都在20百斤以上，其中不足40百斤的有8期，不低于40百斤且不超过60百斤的有20期，超过60百斤的有12期．根据统计，该池塘的草鱼重量的增加量y （百斤）与使用某种饵料的质量x （百斤）之间的关系如图所示．（1）根据数据可知y 与x 具有线性相关关系，请建立y 关于x 的回归方程ˆˆˆybx a =+；如果此人设想使用某种饵料10百斤时，草鱼重量的增加量须多于5百斤，请根据回归方程计算，确定此方案是否可行？并说明理由．（2）养鱼的池塘对水质含氧量与新鲜度要求较高，某商家为该养殖户提供收费服务，即提供不超过3台增氧冲水机，每期养殖使用的冲水机运行台数与鱼塘的鱼重量X 有如下关系：若某台增氧冲水机运行，则商家每期可获利5千元；若某台冲水机未运行，则商家每期亏损2千元．视频率为概率，商家欲使每期冲水机总利润的均值达到最大，应提供几台增氧冲水机？ 附：对于一组数据()()()1122,,,,n n x y x y x y ，其回归方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ˆni ii ni i x y nxy bx nx ==-=-∑∑()()()121,niii ni i x x y y x x ==--=-∑∑ˆˆay bx =- 【答案】（1）337y 1313x =+$当10x =时，此方案可行．（2）应提供2台增氧冲水机 【解析】（1）依题意，5,4,x y ==()()5126iii x x y x =--=∑()()()515213ˆ,13iii i i x x y y bx x ==--∴==-∑∑337ˆ451313a y bx =-=-⨯=$所以3371313y x =+$当10x =时，67ˆ513y=>，故此方案可行． （2）设盈利为Y ，安装1台时，盈利5000Y =， 安装2台时，12040,3000,5X Y p <<==；440,10000,5X Y p ==…． 14()300010000860055E Y ∴=⨯+⨯=安装3台时，12040,1000,5X Y p <<==； 4060,8000,X Y =剟3;5P =160,15000,5X Y P >==. 13()1000800055E Y ∴=⨯+⨯11500080005+⨯=.86008000>，故应提供2台增氧冲水机．【举一反三】1．李克强总理在2018年政府工作报告指出，要加快建设创新型国家，把握世界新一轮科技革命和产业变革大势，深入实施创新驱动发展战略，不断增强经济创新力和竞争力.某手机生产企业积极响应政府号召，大力研发新产品，争创世界名牌.为了对研发的一批最新款手机进行合理定价，将该款手机按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(),(1,2,,6)i i x y i =，如表所示：已知611606i i y y ===∑.（1）若变量,x y 具有线性相关关系，求产品销量y （百件）关于试销单价x （千元）的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+；（2）用（1）中所求的线性回归方程得到与i x 对应的产品销量的估计值i y .当销售数据(),i i x y 对应的残差的绝对值ˆ1i i y y -≤时，则将销售数据(),i i x y 称为一个“好数据”.现从6个销售数据中任取3个子，求“好数据”个数ξ的分布列和数学期望()E ξ.（参考公式：线性回归方程中ˆˆ,ba 的估计值分别为1221ˆˆˆ,)ni ii nii x y nxyb ay bx xnx =-=-==--∑∑. 【答案】(1) ˆ482yx =-+ (2)见解析 【解析】（1）由611606i i y y ===∑，可求得48t =，故11910ni ii x y==∑，=1980nx y ，21199ni i x ==∑，2=181.5nx ，代入可得122119101980704199181.517.5ni ii ni i x y nx yb x nx==---====---∑∑，ˆˆ604 5.582ay bx =-=+⨯=， 所以所求的线性回归方程为ˆ482yx =-+． （2）利用（1）中所求的线性回归方程ˆ482yx =-+可得，当13x =时，170y =；当24x = 时，266y =；当35x =时，362y =；当46x =时，458y =；当57x =时，554y =；当68x =时，650y =．与销售数据对比可知满足||1(1,2,,6)i i y y i -≤=的共有4个“好数据”：(3,70)、(4,65)、(5,62)、(6,59) 于是ξ的所有可能取值为1,2,31242361(1)5C C P C ξ===，2142363(2)5C C P C ξ===，3042361(3)5C C P C ξ===， ∴ξ 的分布列为：所以1232555E ξ=⨯+⨯+⨯=．考向三 非线性回归【例3】近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表所示：根据以上数据，绘制了如图所示的散点图．（1）根据散点图判断，在推广期内，y a bx =+与(,xy c d c d =⋅均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表l 中的数据，求y 关于x 的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；（3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如表所示：已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客，享受7折优惠的概率为16，享受8折优惠的概率为13，享受9折优惠的概率为12．根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，估计一名乘客一次乘车的平均费用． 参考数据：其中lg i i u y =，7117i i u u ==∑.【答案】（1）xy c d =⋅适宜作为扫码支付的人数y 关于活动推出天数x 的回归方程类型；（2）y 关于x 的回归方程式为：0.25ˆ 3.4710xy=⨯，第8天使用扫码支付的人次为347人次；（3）1.66元.【解析】（1）根据散点图判断，x y c d =⋅适宜作为扫码支付的人数y 关于活动推出天数x 的回归方程类型；（2）由（1）知回归方程为x y c d =⋅，两边同时取常用对数得：()lg lg lg lg xy c dc d x =⋅=+⋅，设lg y u =，lg lg u c d x ∴=+⋅，又4x =， 1.54u =，721140i i x ==∑，7172221750.1274 1.547lg 0.2514074287i ii i i x u xu d x x==--⨯⨯∴====-⨯-∑∑，把样本中心点()4,1.54代入lg lg u c d x =+⋅，即1.54lg 0.254c =+∙，解得：4ˆl 0.5gc=， 0.5405ˆ.2ux ∴=+， lg 0.540.25y x ∴=+，y ∴关于x 的回归方程式为：()0.540.250.540.250.2510101040ˆ 3.71xx x y +==⨯=⨯，把8x =代入上式得，23.4734ˆ107y=⨯=， 活动推出第8天使用扫码支付的人次为347人次；（3）记一名乘客乘车支付的费用为Z ，则Z 的取值可能为：2，1.8，1.6，1.4， 则()20.1P Z==，()11.80.30.152P Z ==⨯=， ()11.60.60.30.73P Z ==+⨯=，()11.40.30.056P Z ==⨯=； 分布列为：所以，一名乘客一次乘车的平均费用为：20.1 1.80.15 1.60.7 1.40.05 1.66⨯+⨯+⨯+⨯=（元）． 【举一反三】1．为方便市民出行，倡导低碳出行.某市公交公司推出利用支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，在推广期内采用随机优惠鼓励市民扫码支付乘车.该公司某线路公交车队统计了活动推广期第一周内使用扫码支付的情况，其中 （单位：天）表示活动推出的天次， （单位：十人次）表示当天使用扫码支付的人次，整理后得到如图所示的统计表1和散点图. 表1：（1）由散点图分析后，可用作为该线路公交车在活动推广期使用扫码支付的人次关于活动推出天次的回归方程，根据表2的数据，求此回归方程，并预报第8天使用扫码支付的人次（精确到整数）.表2：表中，.（2）推广期结束后，该车队对此期间乘客的支付情况进行统计，结果如表3.表3：统计结果显示，扫码支付中享受5折支付的频率为，享受7折支付的频率为，享受9折支付的频率为.已知该线路公交车票价为1元，将上述频率作为相应事件发生的概率，记随机变量为在活动期间该线路公交车搭载乘客一次的收入（单位：元），求的分布列和期望.参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为参考数据：，，.【答案】(1) ，人次为2447 (2)见解析【解析】（1）由题意得，，，关于的线性回归方程为，关于的回归方程为，当时，，第8天使用扫码支付的人次为2447；（2）由题意得的所有取值为0.5，0.7，0.9，1，，，，，的分布列为：1．有下列说法：①若某商品的销售量y （件）关于销售价格x （元/件）的线性回归方程为5350y x =-+，当销售价格为10元时，销售量一定为300件；②线性回归直线y bx a =+$$$一定过样本点中心(,)x y ；③若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1；④在残差图中，残差点比较均匀落在水平的带状区域中即可说明选用的模型比较合适，与带状区域的宽度无关；⑤在线性回归模型中，相关指数2R 表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，2R 越接近于1，表示回归的效果越好；其中正确的结论有几个（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】①当销售价格为10时，销售量的预估值为300件，但预估值与实际值未必相同，①错误； ②由最小二乘法可知，回归直线必过(),x y ，②正确；③若两个随机变量为负相关，若线性相关性越强，相关系数r 越接近1-，③错误； ④残差图中，带状区域越窄，模型拟合度越高，④错误；⑤相关指数2R 越接近1，拟合度越高，则在线性回归模型中，回归效果越好，⑤正确. 可知正确的结论为：②⑤，共2个本题正确选项：B2．已知下表为x 与y 之间的一组数据，若y 与x 线性相关，则y 与x 的回归直线y bx a =+必过点( )A ．(2,2)B ．(1.5,0)C ．(1,2)D ．(1.5,4)【答案】D【解析】由题可得32x =，4y =， 22223333(0)(14)(1)(34)(2)(54)(3)(74)102222ˆ233335(0)(1)(2)(3)2222b --+--+--+--===-+-+-+-，3ˆ4212a=-⨯=，则回归方程为ˆ21yx =+，将A ，B ，C ，D 四项分别代入方程，只有（1.5，4）这个点在直线上，故选D 。
高一数学变量相关试题答案及解析
高一数学变量相关试题答案及解析1.在一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为_______.【答案】1【解析】由于所有的样本数据都在直线上数据样本的相关系数为1【考点】样本数据的相关系数.2.已知与之间的一组数据为0123则与的回归直线方程必过定点_____【答案】【解析】,.【考点】回归直线过样本点的中心.3.已知回归直线的斜率的估计值是1．23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线的方程是() A．B．C．D．【答案】C【解析】设回归直线方程为，∵样本点的中心为，∴，解得，∴回归直线方程为，故选C．【考点】线性回归方程．4.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司前5天监测到的数据：第天12345被感染的计算机数量（台）则下列函数模型中能较好地反映计算机在第天被感染的数量与之间的关系的是 ( )A． B． C． D．【答案】C.【解析】本题的五组数据的平均数所构成的点（3,62）四个选项，只有B,C选项较符合。
又因为B选项x=4,5时y的误差较大，所以排除B，即选C.【考点】1.线性回归问题.2.平均数是回归中心要考虑.3.估算的思想.5.下列对一组数据的分析，不正确的说法是A．数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定B．数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定C．数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定D．数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定【答案】B【解析】由方差（标准差）的概念知，数据方差（标准差）越小，样本数据分布越集中、稳定，数据极差越小，只是说明数据的最大和最小的差别小，并不代表数据的分布集中情况，故选C 【考点】本题考查了统计的运用点评：掌握极差、平均数、标准差、方差的概念是解决此类问题的关键，属基础题6.变量x，y有观测数据(xi ，yi)(i＝1,2，，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据( ui，vi)(i ＝1,2，，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断．A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关【答案】C【解析】由题图1可知，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关，由题图2可知，u随v的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关．【考点】散点图．点评：本题考查散点图，是通过读图来解决问题，考查读图能力，是一个基础题，本题可以粗略的反应两个变量之间的关系，是不是线性相关，是正相关还是负相关．7.某公司的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有下列对应数据：由资料显示对呈线性相关关系。
大学市场营销学考试练习题及答案321
大学市场营销学考试练习题及答案31.[单选题]物流系统中总成本的数学公式为D=T+FW+FW+对W+S，其中丁代表 。
A)总运输成本B)总固定仓储费C)总变动仓储费D)总成本答案:A解析:2.[单选题]成本加成定价法的核心问题是A)如何计算成本的百分比B)如何确定单位产品的目标利润额C)如何确定附加于成本基础上的加成百分比D)如何计算单位产品的价格答案:C解析:3.[单选题]一般日常生活用品,适合于选择()做广告。
A)人员B)专业杂志C)电视D)公共关系答案:C解析:4.[单选题]【 】的目的是使研究者通过深入消费者的生活，去探索消费者无法言传的需要A)行为数据法B)人类学研究法C)头脑风暴法D)实验法答案:B解析:5.[单选题]某企业对降价竞销总是强烈反击，但对增加广告预算等方面却不予理会，该企业属于A)从容型竞争者B)选择型竞争者C)强劲型竞争者D)随机型竞争者6.[单选题]（ ）是指产品或品牌信息在各种娱乐节目及非商业传播中的策略性展示，即将产品作为背景、道具或者情景在电影、电视等娱乐节目或项目中予以呈现。
A)植入式广告B)实验式广告C)说服式广告D)提醒式广告答案:A解析:7.[单选题]企业盈利的关键在于()A)提高产品的生产效率B)改进产品的质量C)满足顾客需要D)提升管理水平答案:C解析:无8.[单选题]适用于新产品市场的导入期和成长期初期的广告目标类型是A)说服型B)通知型C)提醒型D)劝导型答案:B解析:9.[单选题]从企业价值链以及构成看，旗下游环节的中心是（）A)创造产品价值B)创造顾客价值C)技术创新D)产品创新答案:B解析:10.[单选题]同样一瓶饮料在便利店、自动售货机、高档餐厅的售价都不一样，这种定价策略属于A)顾客细分定价B)渠道差别定价C)位置差别定价D)时间差别定价答案:B11.[单选题]通过企业标志、媒体、气氛和事件来使消费者得到一种企业形象与众不同的感觉，这种市场定位是A)服务定位B)人员定位C)产品定位D)形象定位答案:D解析:12.[单选题]“市场成长率/市场占有率”矩阵中有四个象限，其中（）类业务单位是指成长率较高、市场占有率较低的战略业务单位。
北京市第一五六中学2025届数学七上期末经典试题含解析
北京市第一五六中学2025届数学七上期末经典试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在平面直角坐标系中，点(-3，-2)在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．如图，某同学用剪刀沿虚线将三角形剪掉一个角，发现四边形的周长比原三角形的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）A ．两点之间，线段最短B ．经过一点，有无数条直线C ．两条直线相交，只有一个交点D ．经过两点，有且只有一条直线3．甲、乙两地相距300千米，从甲地开出一辆快车，速度为100千米/时，从乙地开出一辆慢车，速度为 65千米/时，如果两车相向而行，慢车先开出1小时后，快车开出，那么再经过多长时间两车相遇？若设再经过x 小时两车相遇，则根据题意列方程为（ ）A ．()10010065300x ++=B ．()100165300x x -+=C ．()6510065300x ++=D ．()6510065300x +-=4．如图，公园里修建了曲折迂回的桥，这与修一座直的桥相比，不仅可以容纳更多的游人，而且延长了游客观光的时间，增加了游人的路程，用你所学的数学的知识能解释这一现象的是（ ）A ．经过一点有无数条直线B ．两点确定一条直线C ．两点之间，线段最短D ．直线最短5．在算式（﹣1）□（﹣2）的□中填上运算符号，使结果最小，这个运算符号是（ ）A ．加号B ．减号C ．乘号D ．除号6．今年参加国庆70周年阅兵的受阅官兵约15000名，是近几次阅兵中规模最大的一次，将15000用科学计数法表示为( )A ．51.510⨯B ．50.1510⨯C ．.41510⨯D ．31510⨯7．如图，有理数a 在数轴上的位置如图所示，下列各数中，大小一定在0至1之间的是（ ）A ．aB ．1a +C ．1-aD ．1a- 8．当x 分别取值12019，12018，12017，⋯，12，1，2，⋯，2017，2018，2019时，计算代数式22122x x -+的值，将所得结果相加，其和等于( )A ．1B ．20192C ．1009D ．09． “校园足球”已成为灵武市第四张名片，这一新闻获得2400000的点击率，2400000这个数用科学记数法表示，结果正确的是() A ．30.2410⨯ B ．62.410⨯ C ．52.410⨯ D ．42410⨯10．下列四个数中最小的数是A ．B ．C ．0D ．511．据统计，2019年全国高考人数再次突破千万，高达1031万人．数据1031万用科学记数法可表示为( ) A ．60.103110⨯ B ．71.03110⨯ C ．81.03110⨯ D ．910.3110⨯12．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，不正确．．．的是（ ） A ．若a b =，则0a b -=B ．若a b =，则ac bc =C ．若a b c c =，则a b =D ．若a b =，则1a b= 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在同一平面内，直线AB 与直线CD 相交于点O ，40AOC ∠=︒，射线OE CD ⊥，则∠BOE 的度数为________︒．14．如图，在一个三角形三个顶点和中心处的每个“〇”中各填有一个式子，如果图中任意三个“〇”中的式子之和均相等，那么a 的值为_____．15．往返于,A B 两地的客车，中途停靠C D E F G 、、、、五个站，要准备______种车票．16．如果小明向东走6米，记作+6米，则他向西走4米记作__________．17．一个书包的标价为115元，按8折出售仍可获利15%，该书包的进价为_____元．三、解答题 （本大题共7小题，共64分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．（5分）先化简，再求值：1（x 1y +3xy ）﹣3（x 1y ﹣1）﹣1xy ﹣1，其中x ＝﹣1，y ＝1．19．（5分）某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜爱情况，对读者作了一次问卷调查，要求读者选出最喜欢的一个版面，将所得数据整理绘制成了如下的条形统计图：（1）请写出从条形统计图中获得的一条信息；（2）请根据条形统计图中的数据补全扇形统计图（要求：第二版与批三版相邻），并说明这两幅统计图各有什么特点？ （3）请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议．20．（8分）阅读理解：如图，A ．B ．C 为数轴上三点，若点C 到A 的距离是点C 到B 的距离的1倍，我们就称点C 是（A ，B ）的好点．例如，如图1，点A 表示的数为－1，点B 表示的数为1．表示数1的点C 到点A 的距离是1，到点B 的距离是1，那么点C 是（A ，B ）的好点；又如，表示数0的点D 到点A 的距离是1，到点B 的距离是1，那么点D 就不是（A ，B ）的好点，但点D 是（B ，A ）的好点．知识运用：如图1，M 、N 为数轴上两点，点M 所表示的数为－1，点N 所表示的数为2．（1）数 所表示的点是（M ，N ）的好点；（1）现有一只电子蚂蚁P 从点N 出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向左运动，运动时间为t ．当t 为何值时，P 、M 、N 中恰有一个点为其余两点的好点？21．（10分）如图，在△ABC 中，10AB cm =，6AC cm =，D 是BC 的中点，E 点在边AB 上，△BDE 与四边形ACDE的周长相等．（1）求线段AE的长．（2）若图中所有线段长度的和是53cm，求12BC DE的值．22．（10分）“中国梦”是中华民族每一个人的梦，也是每一个中小学生的梦，各中小学开展经典诵读活动，无疑是“中国梦”教育这一宏大乐章里的响亮音符，学校在经典诵读活动中，对全校学生用A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级进行评价，现从中抽取若干个学生进行调查，绘制出了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：（1）共抽取了名学生进行调查；（2）将图甲中的条形统计图补充完整；（3）求出图乙中B等级所占圆心角的度数；（4）根据抽样调查的结果，请你估计该校2000名学生中有多少名学生获得A等级的评价．23．（12分）你知道生你养你的亲爱的母亲的生日吗?下面图一，图二是某校调查部分学生是否知道母亲生日的扇形统计图和条形统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）求本次被调查学生的人数，并补全条形统计图；（2）若学校共有2700名学生，你估计这所学校有多少名学生知道母亲的生日?（3）通过对以上数据的分析，你有何感想?(用一句话来表达)参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、C【分析】根据各象限内点的坐标的符号特征即可得到答案．【详解】∵横坐标为负，纵坐标为负，∴点P（-3，-2）在第三象限，故选C．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，熟记是解题的关键.四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）.2、A【分析】根据线段的性质，即可得到答案．【详解】∵两点之间，线段最短，∴AD+AE＞DE，∴∆ABC 的周长＞四边形BCED 的周长．故选A ．【点睛】本题主要考查线段的性质，掌握“两点之间线段最短”是解题的关键．3、C【分析】根据两车相遇共行驶270千米列出方程即可．【详解】解：设经过x 小时两车相遇，依题意得()6510065300x ++=．故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解相遇问题中的等量关系．4、C【分析】利用两点之间线段最短进而分析得出答案．【详解】这样做增加了游人在桥上行走的路程，理由：利用两点之间线段最短，可得出曲折迂回的九曲桥增加了游人在桥上行走的路程．故选：C ．【点睛】此题主要考查了两点之间线段最短，正确将实际问题转化为数学知识是解题关键．5、A【分析】将运算符号填入算式中，计算即可得到结果．【详解】（﹣1）+（﹣2）＝﹣1﹣2＝﹣3；﹣1﹣（﹣2）＝﹣1+2＝1；（﹣1）×（﹣2）＝2；﹣1÷（﹣2）＝0.5，﹣3＜0.5＜1＜2，则这个运算符号为加号．故选：A ．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数混合运算的法则是解题的关键．6、C【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】15000=1.5×104，故选：C【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．7、D【分析】由已知可得a<-1或a<-2，由此可以判断每个选项是正确还是错误．【详解】解：由绝对值的意义及已知条件可知|a|>1，∴A错误；∵a<-1，∴a+1<0，∴B错误；∵a<-2有可能成立，此时|a|>2，|a|-1>1，∴C错误；由a<-1可知-a>1，因此101a<-<，∴D正确．故选D．【点睛】本题考查有理数的应用，熟练掌握有理数在数轴上的表示、绝对值、倒数及不等式的性质是解题关键．8、D【分析】先把x=n和1x=n代入代数式，并对代数式化简求值，得到它们的和为0，然后把x=1代入代数式求出代数式的值，再把所得的结果相加求出所有结果的和．【详解】解：设22x-1f(x)=2x+2，将x=n和1x=n代入代数式，222222221()-11n-1n-11-nnf(n)f()===01n2n+22n+22n+22()+2n+++，∴111f()+f()+f()+f(2)+f(2018)+f(2019)=0 201920182…+?+，则原式=221-1f (1)==02+2， 故选：D ．【点睛】本题考查的是代数式的求值，本题的x 的取值较多，并且除x=1外，其它的数都是成对的且互为倒数，把互为倒数的两个数代入代数式得到它们的和为0，原式即为x=1代入代数式后的值．9、B【解析】解：将2400000用科学记数法表示为：2.4×1．故选B ． 点睛：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．10、A【解析】负数＜0＜正数；负数的绝对值越大，该数越小.【详解】解：＜-3＜0＜5，故选择A.【点睛】本题考查了有理数的比较大小.11、B【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为10n a ⨯，其中110a ≤<，n 为整数，据此判断即可．【详解】解：将1031万用科学记数法可表示为71.03110⨯．故选B ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．12、D【分析】根据等式的基本性质对各选项进行逐一判断即可．【详解】解：A 、若a b =，则0a b -=，本选项正确，不符合题意；B 、若a b =，则ac bc =，本选项正确，不符合题意；C 、若a b c c=，则a b =，本选项正确，不符合题意； D 、若a b =，只有当0a b =≠时，1a b =才成立，故本选项错误，符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查的是等式的基本性质，熟知等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解答此题的关键．二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13、50°或130°【分析】先根据垂直的定义求出∠DOE=90°，然后根据对顶角相等求出∠DOB 的度数，再根据角的和差求出∠BOE 的度数．【详解】解：如图1：∵OE ⊥CD ，∴∠DOE=90°，∵40AOC ∠=︒，∴∠DOB=40AOC ∠=︒°，∴∠BOE=90°-40°=50°，如图2：∵OE ⊥CD ，∴∠DOE =90°，∵40AOC ∠=︒，∴∠DOB=40AOC ∠=︒°，∴∠BOE=90°+40°=130°，故答案为：50°或130°．【点睛】本题考查了垂线的定义，对顶角相等，要注意领会由垂直得直角这一要点．14、1【分析】由图中任意三个“〇”中的式子之和均相等，即可得出关于a 的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】依题意，得：3﹣a+2+b＝3﹣a+2a+b，解得：a＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查图形类规律、一元一次方程，解题的关键是掌握图形类规律的基本解题方法.15、42【分析】先求出线段的条数，再计算车票的种类.【详解】∵,A B两地的客车，中途停靠C D E F G、、、、五个站，∴同一条线段上共有7个点，共有线段7(71)212⨯-=条，∵每两个站点之间有两种车票，即每条线段有两种车票，∴共有车票21242⨯=种，故答案为：42.【点睛】此题考查线段的条数计算公式：n个点之间的线段共有(1)2n n-条.16、-4米【分析】先弄清题意，根据相反意义的量的含义得出即可．【详解】∵向东走6米记作+6米，∴向西走4米记作-4米，故答案为：-4米．【点睛】本题主要考查了正数和负数的意义，能理解题意是解答此题的关键．17、1【分析】设该书包的进价为x元，根据销售收入-成本=利润，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】设该书包的进价为x元，根据题意得：115×0.8-x=15%x，解得：x=1．答：该书包的进价为1元．故答案为1．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共64分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18、﹣x1y+4xy+1，-13【分析】原式去括号再合并即可得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值．【详解】原式=1x1y+6xy﹣3x1y+3﹣1xy﹣1=﹣x1y+4xy+1，当x=﹣1、y=1时，原式=﹣（﹣1）1×1+4×（﹣1）×1+1=﹣4×1﹣16+1=﹣8﹣16+1=﹣13．【点睛】本题考查了整式的加减运算-化简求值，解题的关键是熟练的掌握整式的加减运算.19、（1）5000人；（2）见解析;（3）见解析.【解析】（1）答案不唯一，只要符合题意即可，如可以从参加调查的人数或各版所占的百分比等方面；（2）结合条形图与扇形图的特点回答；（3）由统计图可知，喜欢第二版的人数少，可以提一些改进文章质量的建议，答案不唯一，合理即可．【详解】解：（1）如：参加调查的人数为5000人；（2）如图所示：第一版所占比例为：1500100%30% 150050020001000⨯=+++，第二版所占比例为：500100%10% 1500500020001000⨯=+++，条形统计图能清楚地表示出喜欢各版面的读者人数．扇形统计图能清楚地表示出喜欢各版面的读者人数占所调查的总人数的百分比．（3）如：建议改进第二版的内容，提高文章质量，内容更贴近读者，形式更活泼些．说明：只要意义说到、表达基本正确即可得满分．【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．20、（4）4；（4）当t=4，4，2.5，9时，P 、M 、N 中恰有一个点为其余两点的好点．【解析】试题分析：（4）设所求数为x ，由好点的定义列出方程x ﹣（﹣4）=4（2﹣x ），解方程即可；（4）由好点的定义可知分四种情况：①P 为【M ，N 】的好点；②P 为【N ，M 】的好点；③M 为【N ，P 】的好点；④M 为【P ，N 】的好点．设点P 表示的数为y ，由好点的定义列出方程，进而得出t 的值．试题解析：解：（4）设所求数为x ，由题意得x ﹣（﹣4）=4（2﹣x ），解得x=4，故答案为4；（4）设点P 表示的数为2﹣4t ，分四种情况讨论：①当P 为【M ，N 】的好点时．PM=4PN ，即6﹣4t=4×4t ，t=4；②当P 为【N ，M 】的好点时．PN=4PM ，即4t=4（6﹣4t ），t=4；③当M 为【N ，P 】的好点时．MN=4PM ，即6=4（4t ﹣6），t=2.5；④当M 为【P ，N 】的好点时．MP=4MN ，即4t ﹣6=44，t=9；综上可知，当t=4，4，2.5，9时，P 、M 、N 中恰有一个点为其余两点的好点．考点：4．一元一次方程的应用；4．数轴；4．几何动点问题；2．分类讨论．21、（1）2AE cm =；（2）272cm ． 【分析】（1）由△BDE 与四边形ACDE 的周长相等可得BE AE AC =+，根据线段的和差关系列方程即可得答案； （2）找出图中所有的线段，再根据所有线段长度的和是53cm ，求出2BC DE +，即可得解．【详解】（1）∵△BDE 与四边形ACDE 的周长相等，∴BD DE BE AC AE CD DE ++=+++，∵BD DC =，∴BE AE AC =+，设AE x =cm ，则106x x -=+，解得：2x =，∴2AE cm =．（2）图中共有8条线段．它们的和为22AE EB AB AC DE BD CD BC AB AC BC DE +++++++=+++．∵图中所有线段长度的和是53cm ，∴2253AB AC BC DE +++=，∴()()253253210627BC DE AB AC +=-+=-⨯+=，∴12722BC DE cm+=．【点睛】本题考查了三角形的周长和线段及解一元一次方程，正确理解各线段的和差关系及一元一次方程的解法是解题关键．22、（1）100；（2）详见解析；（3）126°；（4）估计有1000名学生获得A等级的评价．【分析】（1）用C等级的人数除以总人数其所占百分比可得调查总人数；（2）根据各等级人数之和等于总人数求得B等级人数，据此可补全条形图；（3）用360°乘以B等级人数占总人数的比例；（4）用总人数乘以样本中A等级人数占总人数的比例可得．【详解】（1）抽取调查的学生总人数为10÷10%＝100，故答案为100；（2）B等级的人数为100﹣50﹣10﹣5＝35（人），画条形统计图如图：（3）图乙中B等级所占圆心角的度数360°×35100＝126°；（4）2000×50100＝1000，答：估计有1000名学生获得A等级的评价．【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．23、（1）90，见解析；（2）1500；（3）尊敬父母是中华民族的传统美德，我们应把这一美德继续发扬光大【分析】（1）根据记不清的人数与圆心角的度数即可求出总人数，进而可求出知道与不知道的人数，再画图即可解答．（2）利用样本估计总体的知识解答即可．【详解】（1）本次调查的学生人数有：1203090360÷=（人）“不知道”学生的人数有：904010360⨯=（人）“知道”学生的人数有：9020050360⨯=（人）故补全的条形统计图如图所示：（2）27002001500360⨯=（人）∴估计这所学校有1500名学生知道母亲的生日；（3）尊敬父母是中华民族的传统美德，我们应把这一美德继续发扬光大．【点睛】本题考查的是条形统计图、扇形图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．。
(常考题)北师大版初中数学八年级数学上册第六单元《数据的分析》测试题(含答案解析)(4)
一、选择题1．小明在计算一组数据的方差时，列出的公式如下222221(7)(8)(8)(8)s x x x x n⎡=-+-+-+-+⎣2(9)x ⎤-⎦，根据公式信息，下列说法中，错误的是（ ） A ．数据个数是5B ．数据平均数是8C ．数据众数是8D ．数据方差是152．某天7名学生在进入校门时测得体温（单位℃）分别为：36.5，36.7，36.4，36.3，36.4，36.2，36.3，对这组数据描述正确的是（ ）A ．众数是36.4B ．中位数是36.3C ．平均数是36.4D ．方差是1.93．某专卖店专销售某品牌运动鞋，店主对上一周中不同尺码的运动鞋销售情况统计如下：A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差4．在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到互不相等的五个得分．若去掉一个最低分，平均分为x ；去掉一个最高分，平均分为y ；同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为z ，则（ ） A ．y z x >>B ．x z y >>C ．y x z >>D ．z y x >>5．某排球队6名场上队员的身高（单位：cm ）是180，184，188，190，190，194．现用两名身高分别为185cm 和188cm 的队员换下场上身高为184cm 和190cm 的队员．与换人前相比，场上队员的身高（ ） A ．平均数变小，众数变小 B ．平均数变小，众数变大 C ．平均数变大，众数变小 D ．平均数变大，众数变大6．某手表厂抽查了10只手表的日走时误差，数据如下表所示：则这10只手表的平均日走时误差（单位：秒）是（ ）A ．0B ．0.6C ．0.8D ．1.17．某班七个兴趣小组人数分别为 4，4，5，5，x ，6，7．已知这组数据的平均数是 5?，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A ．4，4 B ．4，5 C ．5，4D ．5，58．为了解某电动车一次充电后行驶的里程数（千米），抽检了10辆车统计结果是：200、210、210、210、220、220、220、220、230、230，则这组数据中众数和中位数分别是（）A．220，220 B．220，210 C．200，220 D．230，2109．某校书法兴趣小组20名学生日练字页数如表所示：这些学生日练字页数的众数、平均数分别是（）日练字页数23456人数26543A．3页，4页B．3页，5页C．4页，4页D．4页，5页10．在学校的一次年级数学统考中，八(1)的平均分为110 分，八(2)的平均分为90分，若两个班的总分相同，则两个班的平均分是（）A．80分B．99分C．100分D．110分11．帅帅收集了南街米粉店今年6月1日至6月5日每天的用水量(单位：吨)，整理并绘制成如下折线统计图．下列结论正确的是( )A．极差是6 B．众数是7 C．中位数是5 D．方差是8 12．某学校生物兴趣小组11人到校外采集标本，其中3人每人采集4件，4人每人采集3件，4人每人采集5件，则这个兴趣小组平均每人采集标本（）A．3件B．4件C．5件D．6件二、填空题13．甲、乙、丙、丁四人各进行了6次跳远测试，他们的平均成绩相同，方差分别是S甲2=0.65，S乙2=0.55，S丙2=0.50，S丁2=0.45，则跳远成绩最稳定的是____．14．甲、乙两名同学参加“古诗词大赛”活动，五次比赛成绩的平均分都是85分，若两人比赛成绩的方差分别为S2甲=1.25和S2乙=3，则成绩比较稳定的是__________（填甲或乙）．15．若一组数据6，x，2，3，4的平均数是4，则这组数据的方差为______．16．数据-3、-1、0、4、5的方差是_________．17．已知7，11，8，8，8，6，7，6，9，10．这10个数据的方差是________．18．某校男子足球队的年龄分布如图所示，则根据图中信息可知这些队员年龄的中位数是__________岁．19．小明本学期平时测验，期中考试和期末考试的数学成绩分别是135分、135分、122分．如果这3项成绩分别按30%、30%、40%的比例计算，那么小明本学期的数学平均分是_____．20．若一组数据123,,n x x x x ⋯⋯的平均数是a ，方差是b ，则1232323,2323n x x x x ---⋯⋯-、的平均数是_____________，方差是__________．三、解答题21．某校为了了解初中学生每天的睡眠时间（单位为小时），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如图统计图．请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次接受调查的初中学生人数为 人，扇形统计图中的m ＝ ，条形统计图中的n ＝ ；（2）求统计调查的初中学生每天睡眠时间的平均数和方差．22．某学校倡导全校1200名学生进行经典诗词背诵活动，并在活动之后举办经典诗词大赛，为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之后，随机抽取部分学生调查“一周诗词背诵数量”，根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示．大赛结束后一个月，再次抽查这部分学生“一周诗词背诵数量”，绘制成统计表：一周诗词背诵数量3首4首5首6首7首8首人数101015☆2520（1）求本次调查抽取的学生人数，并补全上面的条形统计图；（2）活动启动之初学生“一周诗词背诵数量”的中位数是__________首；（3）估计大赛后一个月该校学生一周诗词背诵6首（含6首）以上的人数比活动启动之初一周诗词背诵6首（含6首）以上的人数多了多少人？23．某区举办中学生科普知识竞赛，各学校分别派出一支代表队参赛．知识竞赛满分为100分，规定85分及以上为“合格”，95分及以上为“优秀”现将A，B两个代表队的竞赛成绩分布图及统计表展示如下：组别平均分中位数方差合格率优秀率A队88906170%30%B队a b7175%25%（2）小明的成绩虽然在本队排名属中游，但是竞赛成绩低于本队的平均分，那么小明应属于哪个队？（3）从平均分、合格率、优秀率、队内成绩的整齐性等方面进行综合评价，你认为集体奖应该颁给哪一队？24．2020年是特殊的一年，这一年我们经历了新型冠状病毒肺炎疫情，举国上下众志成城，共同抗疫．口罩成为人们防护防疫的必备武器．西安某药店有3000枚口罩准备出售，从中随机抽取了一部分口罩，根据它们的价格（单位：元），绘制出如图的统计图．请根据相关信息，解答下列问题：（1）图①中m的值为________；（2）统计的这组数据的中位数为________；众数为________；（3）根据样本数据，估计这3000枚口罩中，价格为1.8元的口罩有多少枚？25．为了解学生参加体育活动的情况，某地对九年级学生每天参加体育活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，根据图示，请回答下列问题：（1）求被抽样调查的学生总数和每天体育活动时间为1.5小时的学生数；（2）每天体育活动时间的中位数；（3）该校共有3500名学生，请估计该地九年级每天体育活动时间超过1小时的学生有多少人？26．某学校开展了“远离新冠珍爱生命”的防“新冠”安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．80≤x＜85，B．85≤x＜90，C．90≤x＜95，D．95≤x≤100）．下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：80，86，99，96，90，99，100，82，89，99；抽取的八年级10名学生的竞赛成绩没有低于80分的，且在C组中的数据是：94，94，90．根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述图表中a ，b ，c 的值；（2）计算d 的值，并判断七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更稳定？请说明理由； （3）该中学七、八年级共2160人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动获得成绩优秀（x≥95）的学生人数是多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据题目中的方差公式，众数的定义以及平均数的求法即可进行判断； 【详解】根据方差的公式可知样本容量为5，故A 正确；样本的平均数为：78889=85++++ ，故B 正确；样本的众数为8，故C 正确；样本的方差为：()()()()()22222212788888898558=s ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦，故D 错误； 故选：D ． 【点睛】本题考查了方差、样本容量、平均数、众数，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的方差、样本容量、平均数以及众数．2．C解析：C 【分析】按照众数，中位数，平均数，方差的定义计算判断即可． 【详解】∵这组数据为36.5，36.7，36.4，36.3，36.4，36.2，36.3， ∴平均数0.10.300.100.20.136.47x ++-+--=+=36.4，∴选项C 正确；∵36.3，36.4都出现了2次， ∴数据的众数为36.3和36.4， ∴选项A 错误；∵按从小到大进行排序为36.2，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7， ∴数据的中位数为36.4， ∴选项B 错误；∵方差为2222220.10.300.100.10.247175S ++++++==， ∴选项D 错误； 故选：C ． 【点睛】本题考查了数据的集中趋势特征量的计算和离散度特征量的计算，熟记定义和公式是解题的关键．3．C解析：C 【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数． 【详解】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数． 故选：C ． 【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．4．B解析：B 【分析】根据题意，可以判断x 、y 、z 的大小关系，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得，去掉一个最低分，平均分为x ，此时x 的值最大；若去掉一个最高分，平均分为y ，则此时的y 一定小于同时去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为z ，故x z y>>，故选：B．【点睛】本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确算术平均数的含义．5．A解析：A【分析】根据平均数的计算公式、众数的定义即可得．【详解】185188373+=，184190374+=，374373>，∴由平均数计算公式得：与换人前相比，场上队员的身高的平均数变小，换人前的众数为190，换人后队员的身高为180，185，188，188，190，194，其众数为188，∴与换人前相比，场上队员的身高的众数变小，故选：A．【点睛】本题考查了平均数、众数，熟记公式和定义是解题关键．6．D解析：D【分析】利用加权平均数公式计算解答．【详解】这10只手表的平均日走时误差是031422311.110⨯+⨯+⨯+⨯=，故选：D．【点睛】此题考查加权平均数计算公式，熟记公式及正确理解表格的含义是解题的关键．7．B解析：B【分析】根据众数、算术平均数、中位数的概念，结合题意进行求解．【详解】解：∵这组数据的平均数是5，∴4455677x++++++=5，解得：x=4，这组数据按照从小到大的顺序排列为：4，4，4，5，5，6，7，则众数为：4，中位数为：5．故选：B．【点睛】本题考查了众数、算术平均数、中位数的知识：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．8．A解析：A【分析】根据众数与中位数的定义，找出出现次数最多的数，把这组数据从小到大排列，求出最中间两个数的平均数即可．【详解】数据220出现了4次，最多，故众数为220，重新排序后为：200、210、210、210、220、220、220、220、230、230，排序后位于第5和第6位的数均为220，故中位数为220，故选：A．【点睛】本题考查了众数与中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．9．A解析：A【分析】人数最多的即为众数，通过平均数的公式可求解平均数．【详解】日练字3页的人数有6人，最多，故众数为：3平均数=22364554634 26543⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=++++故选：A．【点睛】本题考查众数和平均数的求解，本题的平均数类似于求解加权平均数．10．B解析：B【分析】设一班总人数为m，二班总人数为n，总成绩为y，根据已知条件列式即可；【详解】设一班总人数为m ，二班总人数为n ，总成绩为y ， 则110y m =，90y n =， ∴11090m n =，得到911m n =， ∴两个班的平均分9110901109018011999201111n n m nn m nn n n ⨯++====++． 故答案是B ． 【点睛】本题主要考查了平均数的知识点，准确分析是解题的关键．11．D解析：D 【分析】根据极差、众数、中位数及方差的定义，依次计算各选项即可作出判断． 【详解】解：由图可知，6月1日至6月5日每天的用水量是：5，7，11，3，9． A ．极差1138=-=，结论错误，故A 不符合题意； B ．众数为5，7，11，3，9，结论错误，故B 不符合题意；C ．这5个数按从小到大的顺序排列为：3，5，7，9，11，中位数为7，结论错误，故C 不符合题意；D ．平均数是()57113957++++÷=，方差()()()()()2222221577711737975S ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦8=．结论正确，故D 符合题意． 故选D ． 【点睛】本题考查了折线统计图，重点考查了极差、众数、中位数及方差的定义，根据图表准确获取信息是解题的关键．12．B解析：B 【分析】根据加权平均数的计算公式，先列出算式，再进行计算即可． 【详解】解：∵3人每人采集4件，4人每人采集3件，4人每人采集5件， ∴则这个兴趣小组平均每人采集标本是（4×3+3×4+5×4）÷11=4（件）． 故选：B ． 【点睛】本题考查了加权平均数，用到的知识点是加权平均数的计算公式，关键是找出权重，根据公式列出算式．二、填空题13．丁【分析】根据方差的意义求解可得【详解】解：∵S甲2=065S乙2=055S 丙2=050S丁2=045∴S丁2＜S丙2＜S乙2＜S甲2∵他们的平均成绩相同∴跳远成绩最稳定的是丁故答案为：丁【点睛】本解析：丁．【分析】根据方差的意义求解可得．【详解】解：∵S甲2=0.65，S乙2=0.55，S丙2=0.50，S丁2=0.45，∴S丁2＜S丙2＜S乙2＜S甲2，∵他们的平均成绩相同，∴跳远成绩最稳定的是丁．故答案为：丁．【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．14．甲【分析】根据方差的意义即可求得答案【详解】∵S甲2=125S乙2=3∴S 甲2＜S乙2∴甲的成绩比较稳定故答案为：甲【点睛】此题考查方差的意义掌握方差的意义是解题的关键即方差越大其数据波动越大即成绩解析：甲【分析】根据方差的意义即可求得答案．【详解】∵S甲2=1.25，S乙2=3，∴S甲2＜S乙2，∴甲的成绩比较稳定，故答案为：甲．【点睛】此题考查方差的意义，掌握方差的意义是解题的关键，即方差越大其数据波动越大，即成绩越不稳定．15．2【分析】先由平均数的公式计算出x的值再根据方差的公式计算即可【详解】解：∵数据6x234的平均数是4∴（6+x+2+3+4）÷5=4解得：x=5∴这组数据的方差是（6-4）2+（5-4）2+（2-解析：2【分析】先由平均数的公式计算出x 的值，再根据方差的公式计算即可．【详解】解：∵数据6，x ，2，3，4的平均数是4，∴（6+x+2+3+4）÷5=4，解得：x=5，∴这组数据的方差是15[（6-4）2+（5-4）2+（2-4）2+（3-4）2+（4-4））2]=2； 故答案为：2．【点睛】本题考查方差的定义与意义：一般地设n 个数据，x 1，x 2，…x n 的平均数和方差，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．也考查了平均数． 16．2【分析】根据公式求出这组数据的平均数与方差【详解】这组数据的平均数是：方差是故答案为：92【点睛】本题考查了求数据的平均数与方差的问题解题时利用平均数与方差的公式进行计算即可解析：2．【分析】根据公式求出这组数据的平均数与方差．【详解】这组数据的平均数是：(3)(1)04515x -+-+++== 方差是2222221[(31)(11)(01)(41)(51)]9.25s =--+--+-+-+-=．故答案为：9.2．【点睛】本题考查了求数据的平均数与方差的问题，解题时利用平均数与方差的公式进行计算即可． 17．4【分析】先计算出平均数再根据方差的定义计算即可【详解】解：∵平均数∴方差故答案为：24【点睛】本题考查求方差掌握方差的定义是解题的关键 解析：4【分析】先计算出平均数，再根据方差的定义计算即可．【详解】解：∵平均数72118362910810x ⨯++⨯+⨯++==， ∴方差()()()()()()2222222178211888368298108 2.410s ⎡⎤=-⨯+-+-⨯+-⨯+-+-=⎣⎦， 故答案为：2.4．【点睛】本题考查求方差，掌握方差的定义是解题的关键．18．【分析】由图得到男子足球队的年龄及对应的人数再根据中位数的概念即可得答案【详解】由图可知：13岁的有2人14岁的有6人15岁的有8人16岁的有3人17岁的有2人18岁的有1人∵∵足球队共有队员2+6解析：15【分析】由图得到男子足球队的年龄及对应的人数，再根据中位数的概念即可得答案．【详解】由图可知：13岁的有2人，14岁的有6人，15岁的有8人，16岁的有3人，17岁的有2人，18岁的有1人，∵∵足球队共有队员2+6+8+3+2+1=22人，∴中位数是11名和第12名的平均年龄，∵把这组数据从小到大排列11名和第12名的年龄分别是15岁、15岁，∴这些队员年龄的中位数是15岁，故答案为：15【点睛】本题考查了求一组数据的中位数．求中位数时一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果数据有偶数个，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；熟练掌握中位数的等于是解题关键．19．8【分析】按照所给的比例进行计算即可小明本学期的数学学习成绩=平时测试×30+期中考试×30+期末考试×40【详解】小明本学期的数学学习成绩=135×30+135×30+122×40=1298（分）解析：8【分析】按照所给的比例进行计算即可，小明本学期的数学学习成绩=平时测试×30%+期中考试×30%+期末考试×40%．【详解】小明本学期的数学学习成绩=135×30%+135×30%+122×40%=129.8（分）．故答案为129.8．【点睛】本题考查了加权平均数的计算．平均数等于所有数据的和除以数据的个数．权的大小直接影响结果．20．4b【分析】根据平均数和方差的变化规律即可得出答案【详解】∵数据x1x2…xn的平均数是a∴数据2x1-32x2-3…2xn-3的平均数是；∵数据x1x2…xn的方差是b∴数据2x1-32x2-3…a 4b解析：23根据平均数和方差的变化规律，即可得出答案．【详解】∵数据x1、x2、…、x n的平均数是a，∴数据2x1-3、2x2-3、…、2x n-3的平均数是23a-；∵数据x1、x2、…、x n的方差是b，∴数据2x1-3、2x2-3、…、2x n-3的方差是224b b⋅=，故答案为：23a-；4b．【点睛】本题考查了平均数与方差，关键是掌握平均数与方差的计算公式和变化规律：若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变．三、解答题21．（1）40，25，15；（2）平均数：7，方差：1.15【分析】（1）根据5h的人数和所占的百分比，可以求得本次接受调查的初中学生人数，然后即可计算出m和n的值；（2）根据统计图中的数据，可以得到平均数，计算出方差．【详解】解：（1）本次接受调查的初中学生有：4÷10%＝40（人），m%＝10÷40×100%＝25%，即m＝25，n＝40×37.5%＝15，故答案为：40，25，15；（2）由条形统计图可得，x＝140×（5×4+6×8+7×15+8×10+9×3）＝7，s2＝140[（5﹣7）2×4+（6﹣7）2×8+（7﹣7）2×15+（8﹣7）2×10+（9﹣7）2×3]＝1.15．【点睛】本题考查了扇形统计图及条形统计图的信息关联、平均数和方差，熟练掌握概念和求法是解题的关键．22．（1）45，图见解析；（2）4.5首；（3）450人【分析】（1）根据5首的人数和在扇形统计图中所对圆心角的度数，可以求得本次抽取的学生人数，然后可以计算出4首的人数，从而可以将条形统计图补充完整；（2）根据统计图中的数据，可以得到中位数；（3）根据统计图中的数据，可以计算出大赛后一个月该校学生一周诗词背诵6首（含6首）以上的人数比活动启动之初一周诗词背诵6首（含6首）以上的人数．解：（1）20÷60360=120人， 背诵4首的学生有：120×135360=45（人）， 补全的条形统计图如图所示；（2）活动启动之初学生“一周诗词背诵数量”的中位数是（4+5）÷2=4.5（3）☆=120-10-10-15-25-20=40人，1200×（402520161311120120++++-）=450（人） 所以，大赛后一个月该校学生一周诗词背诵6首（含6首）以上的人数比活动启动之初一周诗词背诵6首（含6首）以上的人数多了450人．【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．23．（1）87a =，85b =；（2）B 队；（3）A 队【分析】（1）结合条形图中的数据，再根据平均数和中位数的概念求解即可（2）由A 队的中位数为90分高于平均分88分，B 队的中位数85分低于平均数87分可得答案（3）从平均分，合格率，优秀率及方差的意义即可解答【详解】（1）B 对成绩的平均分702803856904952100387236423a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==+++++ 中位数8585852b +== （2）A 队的中位数为90分高于平均分88，B 队的中位数为85分低于平均分87， ∴小明应属于B 队．（3）应该颁给A 队．理由如下：①A组的平均分和中位数高于B队，优秀率也高于B队，说明A队的总体平均水平高于B 队；②A队的中位数高于B队，说明A队高分段学生较多；③虽然B队合格率高于A队，但A队方差低于B队，即A队的成绩比B队的成绩整齐．所以集体奖应该颁给A队．【点睛】本题考查了条形统计图，中位数，平均数，以及方差，读懂题意，熟练掌握平均数，中位数的概念以及方差的意义是解题关键．24．(1)28，（2）1.5元，1.8元；（3）960【分析】（1）根据扇形统计图中的数据，可以计算出m%的值，从而可以得到m的值；（2）根据条形统计图中的数据可以得到这组数据的众数和中位数；（3）根据统计图中的数据，可以计算出质量为1.8元的约多少枚．【详解】解：（1）m%＝1﹣10%﹣22%﹣32%﹣8%＝28%，即m的值是28，故答案为：28；（2）本次调查了5+11+14+16+4＝50枚，中位数是：1.5元，众数是1.8元；故答案为：1.5元，1.8元；（3）3000×32%＝960（枚），答：价格为1.8元的约960枚．故答案为：960．【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、平均数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．25．（1）500人，120人；（2）1小时；（3）1400人【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图可以求得被调查学生总数和1.5小时的学生数；（2）根据条形统计图可以得到这组数据的中位数；（3）用样本中超过1小时的比例乘以总人数3500，即可得该校九年级每天体育活动时间超过1小时的学生有多少人．【详解】解：（1）由条形统计图和扇形统计图可得，0.5小时的有100人占被调查总人数的20%，故被调查的人数有：100÷20%=500（人），1.5小时的人数有：500×24%=120（人）；（2）由（1）可知被调查学生500人，∴中位数是第250和251对应的数的平均数，由条形统计图可得，中位数是1小时；（3）∵12080500+×3500= 1400（人）， ∴该地九年级每天体育活动时间超过1小时的学生约为1400人．【点睛】本题考查中位数、用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．26．（1）a ＝40，b ＝94，c ＝99；（2）52，八年级的成绩较稳定，见解析；（3）估计参加此次竞赛活动获得成绩优秀的学生有972人【分析】（1）根据扇形统计图的制作方法可求出“D 组”所占的百分比，即可求出a 的值，根据中位数、众数的意义可求出b 、c 的值；（2）先求出七年级的方差，再根据方差进行分析得出答案；（3）求出样本中的优秀率，进而得到总体的优秀率，再求出总体中的优秀人数．【详解】解：（1）∵八年级成绩在“C 组”的有3人，占3÷10＝30%，∴“D 组”所占的百分比为1﹣10%﹣20%﹣30%＝40%，∴a ＝40，∵八年级10名同学成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是94，∴中位数是94，即b ＝94，∵七年级10名学生成绩出现次数最多的是99，∴众数是99，即c ＝99 ，∴a ＝40，b ＝94，c ＝99；（2）()()()2222180-9286-92399-9210S ⎡⎤=⨯+++⨯⎣⎦七 =52 ，即：d=52， ∵50.4＜52，∴八年级的成绩较稳定；（3）抽取的10名八年级学生中，成绩优秀的有 10×40%=4（人），抽取的10名七年级学生中，成绩优秀的有5人，∴抽取的20名学生中，成绩优秀的共有9人∴2160×920＝972（人） 答：估计参加此次竞赛活动获得成绩优秀的学生有972人．【点睛】本题考查扇形统计图、中位数、众数、平均数、方差以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数、方差的意义和计算方法是正确解答的关键．。
2019年贵州省黔西南州中考数学试题及参考答案(word解析版)
2019年贵州省黔西南州中考数学试题及参考答案与解析（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题10小题，每题4分，共40分）1．下列四个数中，2019的相反数是（）A．﹣2019 B．C．﹣D．201902．举世瞩目的港珠澳大桥于2018年10月24日正式开通营运，它是迄今为止世界上最长的跨海大桥，全长约55000米．55000这个数用科学记数法可表示为（）A．5.5×103B．55×103C．0.55×105D．5.5×1043．某正方体的平面展开图如图，由此可知，原正方体“中”字所在面的对面的汉字是（）A．国B．的C．中D．梦4．观察下列图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．下列四个运算中，只有一个是正确的．这个正确运算的序号是（）①30+3﹣3＝﹣3；②﹣＝；③（2a2）3＝8a5；④﹣a8÷a4＝﹣a4A．①B．②C．③D．④6．如果3ab2m﹣1与9ab m+1是同类项，那么m等于（）A．2 B．1 C．﹣1 D．07．在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（）A．2cm，3cm，4cm B．3cm，6cm，76cm C．2cm，2cm，6cm D．5cm，6cm，7cm 8．平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，现从以下四个关系①AB＝BC；②AC＝BD；③AC ⊥BD；④AB⊥BC中随机取出一个作为条件，即可推出平行四边形ABCD是菱形的概率为（）A．B．C．D．19．若点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y210．如图，在一斜边长30cm的直角三角形木板（即Rt△ACB）中截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF 后，剩余部分的面积为（）A．200cm2B．170cm2C．150cm2D．100cm2二、填空题（本大题10小题，每题3分，共30分）11．一组数据：2，1，2，5，3，2的众数是．12．分解因式：9x2﹣y2＝．13．如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为．14．已知是方程组的解，则a+b的值为．15．某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是元．16．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为．17．下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2019个图案与第1个至第4个中的第个箭头方向相同（填序号）．18．从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了150次，其中有50次摸到黑球，已知囗袋中仅有黑球10个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有个白球．19．如图所示，一次函数y＝ax+b（a、b为常数，且a＞0）的图象经过点A（4，1），则不等式ax+b ＜1的解集为．20．三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B 在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是．三、解答题（本大题6小题，共80分）21．（12分）（1）计算：|﹣|+（﹣1）2019+2﹣1﹣（π﹣3）0；（2）解方程：1﹣＝22．（12分）如图，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A、B．（1）若∠A＝30°，求证：PA＝3PB；（2）小明发现，∠A在一定范围内变化时，始终有∠BCP＝（90°﹣∠P）成立．请你写出推理过程．23．（14分）某地区在所有中学开展《老师，我想对你说》心灵信箱活动，为师生之间的沟通增设了一个书面交流的渠道．为了解两年来活动开展的情况，某课题组从全地区随机抽取部分中学生进行问卷调查．对“两年来，你通过心灵信箱给老师总共投递过封信？”这一调查项设有四个回答选项，选项A：没有投过；选项B：一封；选项C：两；选项D：三封及以上．根据接受问卷调查学生的回答，统计出各选项的人数以及所占百分比，分别绘制成如下条形统计图和扇形统计图：（1）此次抽样调查了名学生，条形统计图中m＝，n＝；（2）请将条形统计图补全；（3）接受问卷调查的学生在活动中投出的信件总数至少有封；（4）全地区中学生共有110000名，由此次调查估算，在此项活动中，全地区给老师投过信件的学生约有多少名？24．（14分）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种士特产每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价x（元）与该士特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：x（元）15 20 30 …y（袋）25 20 10 …若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？25．（12分）某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个实，数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，例如M{1，2，9}＝＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min（3，1，1}＝1．请结合上述材料，解决下列问题：（1）①M{（﹣2）2，22，﹣22}＝，②min{sin30°，cos60°，tan45°}＝；（2）若min（3﹣2x，1+3x，﹣5}＝﹣5，则x的取值范围为；（3）若M{﹣2x，x2，3}＝2，求x的值；（4）如果M{2，1+x，2x}＝min{2，1+x，2x}，求x的值．26．（16分）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P 为第二象限内抛物线上的动点．（1）抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为；（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与解析一、选择题（本大题10小题，每题4分，共40分）1．下列四个数中，2019的相反数是（）A．﹣2019 B．C．﹣D．20190【知识考点】相反数；零指数幂．【思路分析】根据相反数的概念解答即可．【解答过程】解：2019的相反数是﹣2019，故选：A．【总结归纳】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．2．举世瞩目的港珠澳大桥于2018年10月24日正式开通营运，它是迄今为止世界上最长的跨海大桥，全长约55000米．55000这个数用科学记数法可表示为（）A．5.5×103B．55×103C．0.55×105D．5.5×104【知识考点】科学记数法—表示较大的数．【思路分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答过程】解：55000这个数用科学记数法可表示为5.5×104，故选：D．【总结归纳】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．某正方体的平面展开图如图，由此可知，原正方体“中”字所在面的对面的汉字是（）A．国B．的C．中D．梦【知识考点】正方体相对两个面上的文字．【思路分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【解答过程】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，由此可知，原正方体“中”字所在面的对面的汉字是的．故选：B．【总结归纳】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．4．观察下列图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【知识考点】轴对称图形；中心对称图形．【思路分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答过程】解：①不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；②是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；③是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；③是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．故选：B．【总结归纳】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5．下列四个运算中，只有一个是正确的．这个正确运算的序号是（）①30+3﹣3＝﹣3；②﹣＝；③（2a2）3＝8a5；④﹣a8÷a4＝﹣a4A．①B．②C．③D．④【知识考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的加减法．【思路分析】直接利用负指数幂的性质以及二次根式的加减运算法则、积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．【解答过程】解：①30+3﹣3＝1+＝1，故此选项错误；②﹣无法计算，故此选项错误；③（2a2）3＝8a6，故此选项错误；④﹣a8÷a4＝﹣a4，正确．故选：D．【总结归纳】此题主要考查了负指数幂的性质以及二次根式的加减运算、积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．6．如果3ab2m﹣1与9ab m+1是同类项，那么m等于（）A．2 B．1 C．﹣1 D．0【知识考点】同类项．【思路分析】根据同类项的定义，含有相同的字母，并且相同字母的指数也相同，列出等式，直接计算即可．【解答过程】解：根据题意，得：2m﹣1＝m+1，解得：m＝2．故选：A．【总结归纳】本题主要考查同类项的定义，熟记同类项的定义是解决此题的关键．7．在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（）A．2cm，3cm，4cm B．3cm，6cm，76cm C．2cm，2cm，6cm D．5cm，6cm，7cm 【知识考点】三角形三边关系．【思路分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断．【解答过程】解：A、2+3＞4，能组成三角形；B、3+6＞7，能组成三角形；C、2+2＜6，不能组成三角形；D、5+6＞7，能够组成三角形．故选：C．【总结归纳】本题考查了能够组成三角形三边的条件．注意：用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．8．平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，现从以下四个关系①AB＝BC；②AC＝BD；③AC ⊥BD；④AB⊥BC中随机取出一个作为条件，即可推出平行四边形ABCD是菱形的概率为（）A．B．C．D．1【知识考点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；概率公式．【思路分析】菱形的判定：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．【解答过程】解：根据平行四边形的判定定理，可推出平行四边形ABCD是菱形的有①或③，概率为．故选：B．【总结归纳】本题考查了菱形及概率，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．9．若点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y2【知识考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【思路分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．【解答过程】解：∵点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，∴y1＝﹣＝，y2＝﹣＝，y3＝﹣，又∵﹣＜＜，∴y3＜y1＜y2．故选：C．【总结归纳】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值是解题的关键．10．如图，在一斜边长30cm的直角三角形木板（即Rt△ACB）中截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF 后，剩余部分的面积为（）A．200cm2B．170cm2C．150cm2D．100cm2【知识考点】正方形的性质；相似三角形的应用．【思路分析】设AF＝x，则AC＝3x，利用正方形的性质得EF＝CF＝2x，EF∥BC，再证明△AEF ∽△ABC，利用相似比得到BC＝6x，所以AB＝3x，则3x＝30，解得x＝2，然后用△ABC的面积减去正方形的面积得到剩余部分的面积．【解答过程】解：设AF＝x，则AC＝3x，∵四边形CDEF为正方形，∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝＝，∴BC＝6x，在Rt△ABC中，AB＝＝3x，∴3x＝30，解得x＝2，∴AC＝6，BC＝12，∴剩余部分的面积＝×6×12﹣（4）2＝100（cm2）．故选：D．【总结归纳】本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，利用对应边成比例求相应线段的长．也考查了正方形的性质．二、填空题（本大题10小题，每题3分，共30分）11．一组数据：2，1，2，5，3，2的众数是．【知识考点】众数．【思路分析】根据众数的定义即一组数据中出现次数最多的数，即可得出答案．【解答过程】解：在数据2，1，2，5，3，2中2出现3次，次数最多，所以众数为2，故答案为：2．【总结归纳】此题考查了众数，众数是一组数据中出现次数最多的数．12．分解因式：9x2﹣y2＝．【知识考点】因式分解﹣运用公式法．【思路分析】利用平方差公式进行分解即可．【解答过程】解：原式＝（3x+y）（3x﹣y），故答案为：（3x+y）（3x﹣y）．【总结归纳】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．13．如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为．【知识考点】等腰三角形的性质．【思路分析】根据三角形的内角和得出∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝104°，根据等腰三角形两底角相等得出∠BAD＝∠ADB＝（180°﹣∠B）÷2＝70°，进而根据角的和差得出∠DAC＝∠BAC ﹣∠BAD＝34°．【解答过程】解：∵∠B＝40°，∠C＝36°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝104°∵AB＝BD∴∠BAD＝∠ADB＝（180°﹣∠B）÷2＝70°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝34°故答案为：34°．【总结归纳】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等边对等角是解题的关键．14．已知是方程组的解，则a+b的值为．【知识考点】二元一次方程组的解．【思路分析】把代入方程组得：，相加可得出答案．【解答过程】解：把代入方程组得：，①+②得：3a+3b＝3，a+b＝1，故答案为：1．【总结归纳】本题考查了二元一次方程组的解，属于基础题，关键是把未知数替换为a和b后相加即可．15．某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是元．【知识考点】一元一次方程的应用．【思路分析】设这种商品的进价是x元，根据提价之后打八折，售价为2240元，列方程解答即可．【解答过程】解：设这种商品的进价是x元，由题意得，（1+40%）x×0.8＝2240．解得：x＝2000，故答案为2000【总结归纳】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程解答．16．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为．【知识考点】勾股定理．【思路分析】根据勾股定理求出BC，根据正方形的面积公式计算即可．【解答过程】解：由勾股定理得，BC＝＝，∴正方形ABCD的面积＝BC2＝3，故答案为：3．【总结归纳】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．17．下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2019个图案与第1个至第4个中的第个箭头方向相同（填序号）．【知识考点】规律型：图形的变化类；生活中的旋转现象．【思路分析】根据图形可以看出4个图形一循环，然后再2019÷4＝504…3，从而确定是第3个图形．【解答过程】解：2019÷4＝504…3，故第2019个图案中的指针指向与第3个图案相同，故答案为：3【总结归纳】主要考查了图形的变化类，学生通过特例分析从而归纳总结出规律是解决问题的关键．18．从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了150次，其中有50次摸到黑球，已知囗袋中仅有黑球10个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有个白球．【知识考点】用样本估计总体．【思路分析】先由频率＝频数÷数据总数计算出频率，再由题意列出方程求解即可．【解答过程】解：摸了150次，其中有50次摸到黑球，则摸到黑球的频率是＝，设口袋中大约有x个白球，则＝，解得x＝20．故答案为：20．【总结归纳】考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是得到关于黑球的概率的等量关系．19．如图所示，一次函数y＝ax+b（a、b为常数，且a＞0）的图象经过点A（4，1），则不等式ax+b ＜1的解集为．【知识考点】一次函数与一元一次不等式．【思路分析】由于一次函数y＝ax+b（a、b为常数，且a＞0）的图象经过点A（4，1），再根据图象得出函数的增减性，即可求出不等式ax+b＜1的解集．【解答过程】解：函数y＝ax+b的图象如图所示，图象经过点A（4，1），且函数值y随x的增大而增大，故不等式ax+b＜1的解集是x＜4．故答案为：x＜4．【总结归纳】本题考查了一次函数与不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．20．三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B 在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是．【知识考点】含30度角的直角三角形；勾股定理．【思路分析】过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝45°，进而可得出答案．【解答过程】解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝10 ，∵AB∥CF，∴BM＝BC×sin30°＝＝5，CM＝BC×cos30°＝15，在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°，∴MD＝BM＝5 ，∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5 ．故答案是：15﹣5．【总结归纳】本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．三、解答题（本大题6小题，共80分）21．（12分）（1）计算：|﹣|+（﹣1）2019+2﹣1﹣（π﹣3）0；（2）解方程：1﹣＝【知识考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解分式方程．【思路分析】（1）原式利用绝对值的代数意义，乘方的意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答过程】解：（1）原式＝﹣1+﹣1＝﹣1；（2）去分母得：2x+2﹣x+3＝6x，解得：x＝1，经检验x＝1是分式方程的解．【总结归纳】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．22．（12分）如图，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A、B．（1）若∠A＝30°，求证：PA＝3PB；（2）小明发现，∠A在一定范围内变化时，始终有∠BCP＝（90°﹣∠P）成立．请你写出推理过程．【知识考点】切线的性质．【思路分析】（1）由PC为圆O的切线，利用弦切角等于夹弧所对的圆周角得到∠BCP＝∠A，由∠A的度数求出∠BCP的度数，进而确定出∠P的度数，再由PB＝BC，AB＝2BC，等量代换确定出PB与PA的关系即可；（2）由三角形内角和定理及圆周角定理即可确定出两角的关系．【解答过程】解：（1）∵AB是直径∴∠ACP＝90°，∵∠A＝30°，∴AB＝2BC∵PC是⊙O切线∴∠BCP＝∠A＝30°，∴∠P＝30°，∴PB＝BC，BC＝AB，∴PA＝3PB（2）∵点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A、B，∴∠BCP＝∠A，∵∠A+∠P+∠ACB+∠BCP＝180°，且∠ACB＝90°，∴2∠BCP＝180°﹣∠P，∴∠BCP＝（90°﹣∠P）【总结归纳】本题考查了切线的性质，内角和定理，圆周角定理，以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．23．（14分）某地区在所有中学开展《老师，我想对你说》心灵信箱活动，为师生之间的沟通增设了一个书面交流的渠道．为了解两年来活动开展的情况，某课题组从全地区随机抽取部分中学生进行问卷调查．对“两年来，你通过心灵信箱给老师总共投递过封信？”这一调查项设有四个回答选项，选项A：没有投过；选项B：一封；选项C：两；选项D：三封及以上．根据接受问卷调查学生的回答，统计出各选项的人数以及所占百分比，分别绘制成如下条形统计图和扇形统计图：（1）此次抽样调查了名学生，条形统计图中m＝，n＝；（2）请将条形统计图补全；（3）接受问卷调查的学生在活动中投出的信件总数至少有封；（4）全地区中学生共有110000名，由此次调查估算，在此项活动中，全地区给老师投过信件的学生约有多少名？【知识考点】全面调查与抽样调查；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．【思路分析】（1）由B选项人数及其所占百分比求得总人数，再用总人数乘以对应百分比可得m、n的值；（2）先求出C选项的人数，继而可补全图形；（3）各选项次数乘以对应人数，再求和即可得；（4）利用样本估计总体思想求解可得．【解答过程】解：（1）此次调查的总人数为150÷30%＝500（人），则m＝500×45%＝225，n＝500×5%＝25，故答案为：500，225，25；（2）C选项人数为500×20%＝100（人），补全图形如下：（3）1×150+2×100+3×25＝425，答：接受问卷调查的学生在活动中投出的信件总数至少有425封，故答案为：425；（4）由此次调查估算，在此项活动中，全地区给老师投过信件的学生约有110000×（1﹣45%）＝60500（名）．【总结归纳】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．24．（14分）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种士特产每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价x（元）与该士特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：x（元）15 20 30 …y（袋）25 20 10 …若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？【知识考点】二次函数的应用．【思路分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式即可（2）利用每件利润×总销量＝总利润，进而求出二次函数最值即可．【解答过程】解：（1）依题意，根据表格的数据，设日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为y＝kx+b得，解得故日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为：y＝﹣x+40（2）依题意，设利润为w元，得w＝（x﹣10）（﹣x+40）＝﹣x2+50x+400整理得w＝﹣（x﹣25）2+225∵﹣1＜0∴当x＝2时，w取得最大值，最大值为225故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．【总结归纳】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，根据每天的利润＝一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．25．（12分）某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个实，数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，例如M{1，2，9}＝＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min（3，1，1}＝1．请结合上述材料，解决下列问题：（1）①M{（﹣2）2，22，﹣22}＝，②min{sin30°，cos60°，tan45°}＝；（2）若min（3﹣2x，1+3x，﹣5}＝﹣5，则x的取值范围为；（3）若M{﹣2x，x2，3}＝2，求x的值；（4）如果M{2，1+x，2x}＝min{2，1+x，2x}，求x的值．【知识考点】解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值；算术平均数．【思路分析】（1）①根据平均数的定义计算即可．②求出三个数中的最小的数即可．（2）根据不等式解决问题即可．（3）构建方程即可解决问题．（4）把问题转化为不等式组解决即可．【解答过程】解：（1）①M{（﹣2）2，22，﹣22}＝，②min{sin30°，cos60°，tan45°}＝；故答案为：，．（2）∵min（3﹣2x，1+3x，﹣5}＝﹣5，∴，解得﹣2≤x≤4，故答案为﹣2≤x≤4．（3）∵M{﹣2x，x2，3}＝2，∴＝2，解得x＝﹣1或3．（4）∵M{2，1+x，2x}＝min{2，1+x，2x}，又∵＝x+1，∴，解得1≤x≤1，∴x＝1．【总结归纳】本题考查不等式组，平均数，最小值等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．26．（16分）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P 为第二象限内抛物线上的动点．（1）抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为；（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），即可求解；（2）S△CPD：S△BPD＝1：2，则BD＝BC＝×＝2，即可求解；（3）∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，则∠OHE＝45°，故OH＝OE＝1，即可求解；（4）利用S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝8，即可求解．【解答过程】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）∵OB＝OC，∴∠CBO＝45°，∵S△CPD：S△BPD＝1：2，∴BD＝BC＝×＝2，y D＝BDsin∠CBO＝2，则点D（﹣1，2）；（3）如图2，设直线PE交x轴于点H，∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，∴∠OHE＝45°，∴OH＝OE＝1，则直线HE的表达式为：y＝﹣x﹣1…②，联立①②并解得：x＝（舍去正值），故点P（，）；（4）不存在，理由：连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，直线BC的表达式为：y＝x+3，设点P（x，﹣x2﹣2x+3），点H（x，x+3），则S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝×3×3+（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）×3＝8，整理得：3x2+9x+7＝0，解得：△＜0，故方程无解，则不存在满足条件的点P．【总结归纳】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、一元二次方程应用、图象的面积计算等，难度不大．。
1996考研数学三真题及超详细答案解析
1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1)【答案】()1ln dxx y +【解析】方法1：方程yx y =两边取对数得ln ln ln yx y y y ==,再两边求微分,()()11ln 1ln 1dx y dy dy dx x x y =+⇒=+()()ln 10x y +≠. 方法2：把yx y =变形得ln y yx e =,然后两边求微分得()()()ln ln 1ln 1ln y y y dx e d y y y y dy x y dy ==+=+,由此可得 ()1.1ln dy dx x y =+(2)【答案】C【解析】由()arcsin x f x dx x C =+⎰,两边求导数有()1()arcsin ()xf x x f x '==⇒=于是有1()dx f x ⎰212==⎰ ()2112x =--C =.(3)【答案】0c a≥(或2ax c =),b 任意 【解析】对2y ax bx c =++两边求导得()0022y ax b,y x ax b,''=+=+ 所以过()00x ,y 的切线方程为()()0002y y ax b x x ,-=+-即()()()200002y ax bx c ax b x x .-++=+-又题设知切线过原点()00,,把0x y ==代入上式,得2200002ax bx c ax bx ,---=--即20ax c.=由于系数0a ≠,所以,系数应满足的关系为0c a≥(或2ax c =),b 任意. (4)【答案】()1000T,,,【解析】因为A 是范德蒙行列式,由i j a a ≠知()0ijA a a =-≠∏.根据解与系数矩阵秩的关系,所以方程组T A X B =有唯一解.根据克莱姆法则,对于2111112122222133332111111111n n n n n nnn x a a a x a a a x a a a x a a a ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 易见 1230n D A ,D D D .=====所以TA XB =的解为12310n x ,x x x =====,即()1000T,,,,.【相关知识点】克莱姆法则：若线性非齐次方程组11112211211222221122,,.n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 或简记为 112nij ji j a xb ,i ,,,n ===∑其系数行列式1112121222120n n n n nna a a a a a D a a a =≠,则方程组有唯一解12j j D x ,j ,,,n.D==其中j D 是用常数项12n b ,b ,,b 替换D 中第j 列所成的行列式,即1111111121212212111,j ,j n ,j ,j n j n n,j nn,j nna ab a a a a b a a D a a b a a -+-+-+=.(5)【答案】(4.412,5.588) 【解析】可以用两种方法求解：(1)已知方差220.9σ=,对正态总体的数学期望μ进行估计,可根据 因2(,0.9)XN μ,设有n 个样本,样本均值11ni i X X n ==∑,有20.9(,)XN n μ,将其标准化,~(0,1)XN 得：)1,0(~1N nX μ-由正态分布分为点的定义21P uαα⎫⎪<=-⎬⎪⎭可确定临界值2αu ,进而确定相应的置信区间22(x u x u αα-+.(2)本题是在单个正态总体方差已知条件下,求期望值μ的置信区间问题. 由教材上已经求出的置信区间22x u x u αα⎛-+ ⎝,其中21,(0,1)P U u UN αα⎧⎫<=-⎨⎬⎩⎭,可以直接得出答案.方法1：由题设,95.01=-α,可见.05.0=α查标准正态分布表知分位点.96.12=αu 本题9n =, 5X =,因此,根据 95.0}96.11{=<-nX P μ,有 1.96}0.95P <=,即 {4.412 5.588}0.95P μ<<=,1故μ的置信度为0.95的置信区间是(4.412,5.588) .方法2：由题设,95.01=-α,22222{}{}2()10.95,()0.975P U u P u U u u u ααααα<=-<<=Φ-=Φ=查得.96.12=αu20.9σ=,9n =, 5X =代入22(x u x u nnαα-+得置信区间(4.412,5.588).二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)【答案】(D)【解析】方法1：由题设知,积分区域在极坐标系cos ,sin x r y r θθ==中是(),|0,0cos ,2D r r πθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭即是由221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭与x 轴在第一象限所围成的平面图形,如右图.由于D 的最左边点的横坐标是0,最右点的横坐标是1, 下边界方程是0y ,=上边界的方程是2y x x =-,从而D 的直角坐标表示是(){}2010D x,y |x ,y x x ,=≤≤≤≤-故(D)正确.方法2：采取逐步淘汰法.由于(A)中二重积分的积分区域的极坐标表示为()1,|0,0sin ,2D r r πθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭而(B)中的积分区域是单位圆在第一象限的部分, (C)中的积分区域是正方形(){}0101x,y |x ,y ,≤≤≤≤所以,他们都是不正确的.故应选(D).(2)【答案】(A) 【解析】由于级数21nn u∞=∑和21nn v∞=∑都收敛,可见级数()221nn n uv ∞=+∑收敛.由不等式222n n n nu v u v ≤+及比较判别法知级数12n nn u v∞=∑收敛,从而12n nn u v∞=∑收敛.又因为()2222n n nnn n u v u v u v ,+=++即级数()21n n n u v ∞=+∑收敛,故应选(A).设()21112n n u ,v n ,,n ===,可知(B)不正确. 设()21112n u n ,,n n=-=,可知(C)不正确.设()()11112n nn u ,v n ,,nn--==-=,可知(D)不正确.注：在本题中命题(D)“若级数1nn u∞=∑收敛,且(1,2,)n n u v n ≥=,则级数1n n v ∞=∑也收敛.”不正确,这表明：比较判别法适用于正项级数收敛(或级数绝对收敛)的判别,但对任意项级数一般是不适用的.这是任意项级数与正项级数收敛性判别中的一个根本区别. (3)【答案】(C)【解析】伴随矩阵的基本关系式为AA A A A E **==, 现将A *视为关系式中的矩阵A ,则有()A A A E ****=. 方法一：由1n A A-*=及1()AA A*-=,可得 121()().n n A A A A AA A A--****-=== 故应选(C).方法二：由()A A A E ****=,左乘A 得1()()n AA A AA -***=,即1()()n A E A AA -**=.故应选(C). (4)【答案】(D)【解析】本题考查对向量组线性相关、线性无关概念的理解.若向量组12,,,s γγγ线性无关,即若11220s s x x x γγγ+++=,必有120,0,,0s x x x ===.既然1,,m λλ与1,,m k k 不全为零,由此推不出某向量组线性无关,故应排除(B)、(C).一般情况下,对于1122110,s s s s k k k l l αααββ++++++=不能保证必有11220,s s k k k ααα+++=及110,s s l l ββ++=故(A)不正确.由已知条件,有()()()()1111110m m m m m m k k λαβλαβαβαβ+++++-++-=,又1,,m λλ与1,,m k k 不全为零,故1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++--线性相关.故选(D).(5)【答案】(B) 【解析】依题意()()()()()12121212)(,.()()()()()P A A B P A B P A B P A B A B P A B P A B P B P B P B P B P B +⎡⎤++⎣⎦=+=因()0P B >,故有()()1212)(P A B A B P A B P A B +=+.因此应选(B).注：有些考生错误地选择(D).他们认为(D)是全概率公式,对任何事件B 都成立,但是忽略了全概率公式中要求作为条件的事件12,A A 应满足12()0,()0P A P A >>,且12,A A 是对立事件.【相关知识点】条件概率公式：()(|)()P AB P B A P A =.三、(本题满分6分)【解析】(1) 由于()g x 有二阶连续导数,故当0x ≠时,()f x 也具有二阶连续导数,此时,()f x '可直接计算,且()f x '连续；当0x =时,需用导数的定义求(0)f '.当0x ≠时, 22[()]()()()(1)().x x xx g x e g x e xg x g x x e f x x x ---''+-+-++'== 当0x =时,由导数定义及洛必达法则,有2000()()()(0)1(0)lim lim lim 222x x x x x x g x e g x e g x e g f x x ---→→→'''''-+--'==洛洛. 所以 2()()(1),0,()(0)1,0.2xxg x g x x e x x f x g x -'⎧-++≠⎪⎪'=⎨''-⎪=⎪⎩(2) ()f x '在0x =点的连续性要用定义来判定.因为在0x =处,有200()()(1)lim ()lim xx x xg x g x x e f x x -→→'-++'=0()()()(1)lim 2x xx g x xg x g x e x e x--→''''+-+-+=0()(0)1lim (0)22x x g x e g f -→''''--'===. 而()f x '在0x ≠处是连续函数,所以()f x '在(,)-∞+∞上为连续函数.四、(本题满分6分) 【解析】由()z f u =可得(),()z u z u f u f u x x y y∂∂∂∂''==∂∂∂∂. 在方程()()xyu u p t dt ϕ=+⎰两边分别对,x y 求偏导数,得()(),()().u u u u u p x u p y x x y yϕϕ∂∂∂∂''=+=-∂∂∂∂ 所以()(),1()1()u p x u p y x u y u ϕϕ∂∂-==''∂-∂-. 于是 ()()()()()()()01()1()z z p x p y p x p y p y p x f u x y u u ϕϕ⎡⎤∂∂'+=-=⎢⎥''∂∂--⎣⎦.五、(本题满分6分)【分析】题的被积函数是幂函数与指数函数两类不同的函数相乘,应该用分部积分法. 【解析】方法1:因为21(1)111x x x x x xe x dxdx xd e e e e-----=-++++⎰⎰⎰分部积分1(1)1111ln(1),1x x x x x x x x x e x dx d e e e e e x e C e---=-=-+++++=-+++⎰⎰所以20lim ln(1)ln 2.(1)1x x x x x x xe xe dx e e e -+∞-→+∞⎡⎤=-++⎢⎥++⎣⎦⎰而 lim ln(1)lim ln (1)11x x x x xxx x x xe xe e e e e e -→+∞→+∞⎡⎤⎧⎫⎡⎤-+=-+⎨⎬⎢⎥⎣⎦++⎣⎦⎩⎭lim ln(1)1x x xx xe x e e -→+∞⎧⎫=--+⎨⎬+⎩⎭lim001xx xe →+∞-=-=+,故原式ln 2=.方法2:220001(1)(1)1x x x x x xe xe dx dx xd e e e -+∞+∞+∞-==-+++⎰⎰⎰0000011111(1)ln(1)ln 2.1xx x x xx x x xdx dx e dx e e e e d e e e+∞-+∞+∞+∞-+∞+∞---=-+==++++=-+=-+=+⎰⎰⎰⎰六、(本题满分5分)【分析】由结论可知,若令()()x xf x ϕ=,则()()()x f x xf x ϕ''=+.因此,只需证明()x ϕ在[0,1]内某一区间上满足罗尔定理的条件.【解析】令()()x xf x ϕ=,由积分中值定理可知,存在1(0,)2η∈,使112201()()()2xf x dx x dx ϕϕη==⎰⎰,由已知条件,有1201(1)2()2()(),2f xf x dx ϕηϕη==⋅=⎰于是(1)(1)(),f ϕϕη==且()x ϕ在(,1)η上可导,故由罗尔定理可知,存在(,1)(0,1),ξη∈⊂使得()0,ϕξ'=即()()0.f f ξξξ'+=【相关知识点】1.积分中值定理：如果函数()f x 在积分区间[ ,]a b 上连续,则在[ ,]a b 上至少存在一个点ξ,使下式成立：()()()()baf x dx f b a a b ξξ=-≤≤⎰.这个公式叫做积分中值公式. 2.罗尔定理：如果函数()f x 满足(1)在闭区间[ ,]a b 上连续； (2)在开区间()a,b 内可导；(3)在区间端点处的函数值相等,即()()f a f b =, 那么在()a,b 内至少有一点ξ(a b ξ<<),使得()0f ξ'=.七、(本题满分6分)【分析】利用函数的单调性的判定,如果在x 的某个区间上导函数()0f x '≥,则函数()f x 单调递增,反之递减.【解析】(1)设售出商品的销售额为R ,则()()22(),().ab c p b aR pQ p c R p p b p b -+'==-=++ 令0,R '=得00p b ==>.当0p <<时,0R '>,所以随单价p 的增加,相应销售额R 也将增加.当p >时,有0R '<,所以随单价p 的增加,相应销售额R 将减少. (2)由(1)可知,当p =时,销售额R 取得最大值,最大销售额为2maxR b c ⎡⎤⎫⎥=-=⎪⎪⎥⎭⎥⎦.八、(本题满分6分) 【解析】令y z x =,则dy dz z x dx dx=+. 当0x >时,原方程化为dzz xz dx +=dx x =-,其通解为1ln(ln z x C =-+ 或C z x+=. 代回原变量,得通解(0)y C x =>.当0x <时,原方程的解与0x >时相同,理由如下: 令t x =-,于是0t >,而且dy dy dx dydt dx dt dx =⋅=-===.从而有通解(0)y C t =>,即(0)y C x =<.综合得,方程的通解为y C =.注：由于未给定自变量x 的取值范围,因而在本题求解过程中,引入新未知函数yz x=后得=从而,应当分别对0x >和0x <求解,在类似的问题中,这一点应当牢记.九、(本题满分8分)【分析】本题的(1)是考查特征值的基本概念,而(2)是把实对称矩阵合同于对角矩阵的问题转化成二次型求标准形的问题,用二次型的理论与方法来处理矩阵中的问题. 【解析】(1)因为3λ=是A 的特征值,故31001300313138(2)0,00311311011y E A y y ------==⋅=-=-----所以2y =.(2)由于TA A =,要2()()T T AP AP P A P ==Λ,而21000010000540045A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是对称矩阵,故可构造二次型2T x A x ,将其化为标准形Ty y Λ.即有2A 与Λ合同.亦即2T P A P =Λ.方法一：配方法.由于 22222123434558T x A x x x x x x x =++++22222212334444222212344816165()55255495(),55x x x x x x x x x x x x x =+++++-=++++那么,令1122334444,,,,5y x y x y x x y x ===+=即经坐标变换 1122334410000100,400150001x y x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦有 222221234955Tx A x y y y y =+++. 所以,取 10000100400150001P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,有 211()()595T T AP AP P A P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 方法二：正交变换法.二次型22222123434558T x A x x x x x x x =++++对应的矩阵为21000010000540045A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 其特征多项式231000010(1)(9)005445E A λλλλλλλ---==------.2A 的特征值12341,1,1,9λλλλ====.由21()0E A x λ-=,即12340000000000044000440x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦,和24()0E A x λ-=,即12348000080000044000440x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,分别求得对应1,2,31λ=的线性无关特征向量123(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,1)T T T ααα===-,和49λ=的特征向量4(0,0,1,1)Tα=.对123,,ααα用施密特正交化方法得123,,βββ,再将4α单位化为4β,其中：1234(1,0,0,0),(0,1,0,0),,T T T Tββββ====. 取正交矩阵[]123410000100000,,,P ββββ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢==⎢⎢⎢⎢⎣, 则 1221119T P A P P A P -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 即 211()()19T T AP AP P A P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦.十、(本题满分8分)【解析】证法1： (定义法)若有一组数12,,,,,t k k k k 使得1122()()()0,t t k k k k ββαβαβα+++++++= (1)则因12,,,t ααα是0AX =的解,知0(1,2,,)i A i t α==,用A 左乘上式的两边,有12()0t k k k k A β++++=. (2) 由于0A β≠,故120t k k k k ++++=. 对(1)重新分组为121122()0t t t k k k k k k k βααα++++++++=. (3)把(2)代入(3)得 11220t t k k k ααα+++=.由于12,,,t ααα是基础解系,它们线性无关,故必有120,0,,0t k k k ===.代入(2)式得:0k =. 因此向量组12,,,,t ββαβαβα+++线性无关.证法2： (用秩)经初等变换向量组的秩不变.把第一列的-1倍分别加至其余各列,有()()1212,,,,,,,,.t t ββαβαβαβααα+++→ 因此 ()()1212,,,,,,,,.t t r r ββαβαβαβααα+++=由于12,,,t ααα是基础解系,它们是线性无关的,秩()12,,,t r t ααα=,又β必不能由12,,,t ααα线性表出(否则0A β=),故()12,,,,1t r t αααβ=+.所以 ()12,,,, 1.t r t ββαβαβα+++=+即向量组12,,,,t ββαβαβα+++线性无关.十一、(本题满分7分)【解析】设一周5个工作日内发生故障的天数为X ,则X 服从二项分布即(5,0.2)B . 由二项分布的概率计算公式,有{}500.80.32768,P X ==={}14510.80.20.4096,P X C ==⋅= {}232520.80.20.2048,P X C ==⋅={}{}{}{}310120.05792.P X P X P X P X ≥=-=-=-==设一周内所获利润Y (万元),则Y 是X 的函数,且10,0,5,1,()0,2,2,3.X X Y f X X X =⎧⎪=⎪==⎨=⎪⎪-≥⎩若若若若由离散型随机变量数学期望计算公式,100.3276850.409620.05792 5.20896EY =⨯+⨯-⨯=(万元).【相关知识点】1.二项分布的概率计算公式：若(,)Y B n p ~,则{}(1)kkn kn P Y k C p p -==-, 0,1,,k n =.2.离散型随机变量数学期望计算公式：{}1()nkk k E X xP X x ==⋅=∑.十二、(本题满分6分)【解析】一枚色子(骰子)接连掷两次,其样本空间中样本点总数为36.设事件1A =“方程有实根”,2A =“方程有重根”,则{}221404B A B C C ⎧⎫=-≥=≤⎨⎬⎩⎭.用列举法求有利于i A 的样本点个数(1,2i =),具体做法见下表:有利于的意思就是使不等式24B C ≤尽可能的成立,则需要B 越大越好,C 越小越好.当B 取遍由古典型概率计算公式得到11246619(),3636p P A ++++===2111().3618q P A +===【相关知识点】古典型概率计算公式：().i i A P A =有利于事件的样本点数样本空间的总数十三、(本题满分6分) 【解析】依题意,12,,,n X X X 独立同分布,可见22212,,,n X X X 也独立同分布.由(1,2,3,4)k k EX a k ==及方差计算公式,有224222242222242211,(),111,().ii i i n nn i n i i i EX a DX EX EX a a EZ EX a DZ DX a a n nn====-=-====-∑∑ 因此,根据中心极限定理n U =的极限分布是标准正态分布,即当n 充分大时,n Z 近似服从参数为2422(,)a a a n-的正态分布. 【相关知识点】1.列维-林德伯格中心极限定理,又称独立同分布的中心极限定理：设随机变量12,,,n X X X 独立同分布,方差存在,记μ与2σ()0σ<<+∞分别是它们相同的期望和方差,则对任意实数x ,恒有1lim )(),ni n i P X n x x μ→∞=⎫-≤=Φ⎬⎭∑ 其中()x Φ是标准正态分布函数.2.方差计算公式：22()()()D X E X E X =-.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.售罄率=(一个周期内)销售件数/进货件数:
畅销的产品是不需促销的，只有滞销的产品才需要促销。
滞销产品可通过售罄率来确定。
一般而言，服装的销售生命周期为3个月，鞋子为5个月。
如果在三个月内，不是因为季节、天气等原因，衣服的售罄率低于60％，则大致可判断此产品的销售是有问题的，当然也不必等到三个月后才可以确定，一般而言，三个月内，第一个月尺码、配色齐全，售罄率会为40～50％，第二个月约为20～25％，第三个月因为断码等原因，售罄率只会有5～10％。
当第一个月的售罄率大大低于40％时，且无其他原因时，就有必要特别关注，加强陈列或进行推广了。
2.存货周转率=(一个周期内)销售货品成本/存货成本
库存天数=365天÷商品周转率
侧重于反映企业存货销售的速度，它对于研判特定企业流动资金的运用及流转状况很有帮助。
其经济含义是反映企业存货在一年之内周转的次数。
从理论上说，存货周转次数越高，企业的流动资产管理水平及产品销售情况也就越好。
3.库销比=(一个周期内)本期进货量/期末库存
是一个检测库存量是否合理的指标,如月库销比,年平均库销比等,计算方法:月库销比,月平均库存量/月销售额年平均库销比, 年平均库
存量/年销售额,比率高说明库存量过大,销售不畅,过低则可能是生
产跟不上.
4.存销比=(一个周期内)库存/周期内日均销量
存销比的设置是否科学合理，一是决定了订单供货是否能够真正实现向订单生产延伸；二是企业是否能够真正做到适应市场、尊重市场，响应订单；三是在管理时库存企业能否真正做到满足市场、不积压、不断档。
5.销售增长率==(一周期内)销售金额或数量／(上一周期)销售金额或数量－1
类似:环比增长率=（报告期－基期）/基期×100％
6.动销率=动销品项数/库存品项数*100%
动销品项：为本月实现销售的所有商品（去除不计毛利商品）数量库存金额：为月度每天总库有库存的所有商品销售金额的平均值（吊牌零售额）
7.交叉比率=毛利率×周转率
交叉比率通常以每季为计算周期，交叉比率低的优先淘汰商品。
交叉比率数值愈大愈好，因它同时兼顾商品的毛利率及周转率，其数值愈大，表示毛利率高且周转又快。
8.销售毛利率=实现毛利额/实现销售额*100%。
9.品类支持率=某品类销售数或金额÷全品类销售数或金额×10 0%
10.客单价=总销售金额÷总销售件数
1、增长率=（本期—上期）/上期*100%
经常使用的数据，是数据分析的主要环节，通过增长率可以清晰反映门店各项经营指标与同期的增比情况，便于公司对门店的运行做相关调整。
2、毛利率（倒扣率）=(销售额—销售成本)/销售额*100％
毛利率是衡量商品毛利水平的指标，对门店日常经营有重要的指导作用，通过毛利率计算何以知道那些是门店高毛利商品应该做重点推广，那些是敏感商品不能断货等。
另外毛利率的高低也是衡量当地购买能力的依据。
门店食品毛利率应该15%左右，针织25—35%；杂品20—25%；洗涤15—18%
3、毛利=销售额* 毛利率=销售金额—销售成本=进价—售价
毛利是经营中很重要的一个指标，是门店利润来源，是我们发展的基础。
每一个人都必须关注这个指标。
毛利是考核门店经营业绩的主要依据，是对店长能力的考核。
4、平均库存=（期初库存+期末库存）/2=每日库存之和/天数
平均库存可以直白的告诉门店还有多少商品，是否应该加大或减少进货数量，在经营中非常重要。
公司对门店有库存考核。
5、周转率=本期销售数量/本期平均库存*100％
6、库存周转次数=本期销售额/本期平均库存
库存周转次数说明商品流通是否顺畅。
通过库存周转次数计算何以降低或减少滞销商品出现，加大资金周转率。
通则规定：食品年周转次数不能小于12次，百货不能小于4次，针织不能小于6次。
7、库存周转天数= 30（365）/库存周转次
库存周转天数说明一个商品从进入门店需要多常时间可以销售出去，也就是什么时间能将商品变为销售款。
如果周转天数过长有可能变为滞销商品，应该考虑变换陈列位置、加大促销力度、申请返货等等
8、人均销售=销售/人数
这个指标说明人员分配是否合理、劳效如何，是门店对员工考核的基本依据，可以反映员工销售能力以及员工销售热情进行的考核。
可以根据人均销售门店向人力资源部提出人员增减变动情况。
也是控制门店开支的主要依据。
9、人均毛利=毛利/人数
这个指标说明员工为企业盈利能力，尽量提高这个指标。
也是门店人员变动的依据。
10、营业毛利=毛利—费用（收入及计提、运杂费、差旅费、修理费、办公费、资产租金、水电费、租赁费、低值易耗品摊销、物料消耗、劳动保险、财产保险、业务招待费等等）
营业毛利也就是我们通常说的利润。
是对门店店长考核的最主要指标，是店长能力的考核。
营业毛利表示：门店为公司创造的盈利情况，直接关系公司发展前景，与各位息息相关。
11、单位面积销售=销售/面积
是衡量门店经营水平的重要指标，说明你的面积利用是否合理。
是对门店基础能力的考核。
要求门店店长对这个基数加大提升。
12、单位面积毛利=毛利/面积
是衡量门店经营水平的重要指标，说明你的门店面积是否值钱，店长是否一直在让你门店面积升值。