动态优化

• 若资本 以常数b 为折旧率，则维持生产规模 的再投资率为 bK，此时优化问题转化为:
max e U [F ( K (t )) K (t ) bK (t )]dt
rt 0 T
s.t K (0) K0 , K (T ) 0
• 例3（自由竞争厂商问题）：不考虑生产成本， 假设厂商在资本存量为K 时，其利润率为 P(K) ，相应的产出率为F(K) 。同样假设它们 是二次可微的、单调增和凹的。公司几乎不 能控制产品的价格市场p ，因此有：P=kF • 令资本的折旧率为 b，使得：K I bK。令 以投资率I 增加投资的成本为C(I) ，该成本函 数为递增的凸函数。若投资物品的价格为c ， 则 C=cI。厂商问题归结为：
y1)
• 问题归结为：
1 in 2 g x0 s.t
x1
2 1 y dx ya
y ( x0 ) y0 , y ( x1) y1
C、静态问题的一般处理方法
• 由前面的分析可知，静态问题也可以分为 两种情形：一是单期问题，二是多期问题 。对于单期问题，可以用古典优化方法进 行处理。即，对于非约束问题直接用非约 束的非线性规划方法求解，对于约束问题 则可能涉及到等式约束和库恩-塔克条件求 解。对于动态问题，其的最大特点是，变 量的取值只对本期的目标函数值产生影响 ，因此，可以将该问题转化文一序列的单 期问题，用古典方法求解。
T
B 2 B B BT [c （ ） c2 t]dt c1 c2 1 T T T 2 0
2
• 例2（消费者问题）：假设代表性经济人 （agent）关于消费水平为C 的效用函数为 U(C) ，且效用函数满足二次连续可微，单调、 凹等假设，即满足： U (.) 0,U (0) 0 。其产出 函数F(.) 使得对于资本存量为 K时的产出率为 F(K) ，且生产函数满足二次连续可微，单调、 凹等假设 。则经济人的问题可以归结为优化 问题： T
◆ 2、单变量动态问题——连续情形：
连续情形下的“下一期”的含义并不清楚， 因此，连续情形下的“动态”并不直接， 通常假设本期利润依赖于即期的产出和即 期的生产率 x(t ) :
max F (t , x(t ), x(t )) dt
0 T
s.t x(t ) 0, x(0) x0
A 动态问题的更多的例子
动态优化
熊和平 武汉大学经济与管理学院
0、导言
• 动态优化问题是静态问题的延伸，在许多 经济问题如增长理论、资产定价理论中都 有广泛的应用。 • “动态经济学方法对于一个立志进行经济 学、金融学研究的人来讲是至关重要的。”
教材与参考书
• Kamien & Schwartz的Dynamic Optimization :The Calculus of Variations and Optimal Control • 龚六堂、苗建军《动态经济学方法》北京大 学出版社，2012 • Ljungqvist & Sargent《递归宏观经济理论》
• 动态规划（Dynamic programming） • 该理论同样在二十世纪50年代由Richard Bellman提出并发展。
D、动态问题的一般处理方法
• 动态问题处理的一般方法包括：变分法、 最优控制和动态规划。 • 变分法（the calculus of variations) 变分法是古典优化问题的一种直接推广， 它适用于所有相关函数为光滑且最优点为 内点的情形。在三种方法中，它的历史最 悠久，处理的问题最特殊，方法最简单和 直接，但对于一些特殊问题往往无能为力 。 • 。
max U (C (t )) dt
0
s.t K (0) K 0 , K (T ) 0 C (t ) F ( K (t )) K (t )
• 问题等价于：
max U [F ( K (t )) K (t )]dt
0 T
s.t K (0) K0 , K (T ) 0
max F ( x1, x2 ,..., xn ) s.t xi 0, i 1, 2,..., n
◆ 3、多期单变量问题——离散情形： 若考虑多期问题，则离散情形下为：
max F (t, xt )
t 1 T
s.t xt 0, t 1, 2,..., T
• 其中F (t , xt ) 为 t期产量为 xt时的利润，其最 x , x ,..., x 优解为 1 2 T 。该问题涉及多期问题， 但是，因为每一期的利润仅仅取决于当期 的产出，因此上述问题可以化归为一序列 的单期问题，仍然属于静态问题，每一期 只需要选择一定的产出水平以极大化当期 的利润。
1、引言
• 学习目的： 掌握动态优化的基本方法：主要是古典变分法和 最优控制理论； 学习建模方法：通过例子学习将实际问题数学化 处理的方法。 学习要求： 勤于动手，多作练习 尽量对阅读有关书籍，同时补充和复习静态优化 问题知识。
力争利用所学知识阅读金融类原文文献。
A、问题与例子
• 本章的主要目的是介绍动态优化的含义， 为此，我们将它与经典的优化问题进行比 较。同时，也强调两者的联系。我们简单 地回顾该领域发展历史和一些经典的例子。
• 例子解析之三：耐用品的租赁问题 K ：准备出租的耐用品之存量； P(K) ：存量为 的耐用品的租金； C(I) ：生产成本或需要的附加单位 • 例子解析之四：健康问题 K ：健康状况或健康资本； P(K) ：健康资本为 的盈利或相应的好处； C(I) ：保持健康状况的花费
• 例4（最短距离问题）：已知平面内的两点 (a,A)和( b,B)，找出它们之间的最短距离。 • 假定最短距离的连线为x(t) ，则该问题归结 为：
2 min {c1[ x (t )] c2 x(t )} dt 0 T
s.t x(0) 0, x(T ) B, x(t ) 0
B x(t ) • 一个可能的生产计划为： ，则 T t B B x(t ) dt t, (0 t T ) T T 0
总成本为：
• 动态问题的目标是寻找一个函数，该函数 描述的是随着时间的变化状态变量的变化 轨迹，有时也称为路径。
◆ 1单变量动态问题——离散情形： 若公司的每期产品不仅仅影响当期的利润， 而且还影响下一期的利润，则上述问题变 为真正的动态问题：
max F (t, xt , xt 1)
t 1 T
s.t xt 0, t 1, 2,..., T
• 第一个重要问题是牛顿提出并解决的最速 降线问题
• 第二类重要问题是要求测地线，即曲面上 两点之间长度最短的路径。 • 第三类问题是称为等周问题
• 最优控制（Optimal contral） • 最优控制理论由俄国数学家Pontryagin及其 合作者于二十世纪50年代晚期提出来的， 它将变分法一般化，使得理论可以适用于 边界问题，可视为类似Kuhn-Tucker理论。
一、什么是动态优化问题？ 所谓动态问题是这样一类问题，该问题 往往涉及不同时期的不同状态，而且不同时 期的状态可能对其后某些时期的结果产生影 响。与动态问题相对应的是静态问题，静态 情形下往往只涉及当其，不同时期的状态对 其后的结果不会产生影响。静态优化问题是 古典的优化问题，而动态优化问题则是研究 动态情形下的优化问题。
max e rt [P( K ) C ( K ＋bK )]dt
0 T
s.t K (0) K0 , K (T ) 0
• ◆例子解析之一：人力资本问题 K ：人力资本； P(K) ：具有人力资本 的收益； C(I) ：教育或训练成本 • 例子解析之二：公司商誉问题 K ：公司商誉之存货； P(K) ：商誉为 时公司的最大盈利率； C(I) ：为增加公司商誉而进行的广告和 推销的费用
max F ( x)
x 0
这是一个简单的单期单变量优化问题。 该问题的目标是找到一个数x ，若F(x) 具有 特殊的函数形式，则 x可以被确定，否则只 能由F(x) 来描述x 的特征；若F(x)连续可微， 则有:
F (x ) 0
◆ 2、单期多变量问题： 若公司生产多个产品，则上述问题为单期 多变量优化问题：
min x(t ) dt
0 T
s.t

T
0
1 ( x(t )) 2 dt L
x(0) 0, x(T ) 0
x (t )
o
T
• 例6（最速降线问题－the brachistochrone problem）：一质量为m 的质点，在重力作 用下，从点A以非零初速度 沿曲线下滑到定 点B，A、B两定点不在同一铅直线上。不考 虑曲线上的摩擦力和空气的阻力，试确定 一条曲线，使质点下滑的时间最短。
max F ( x1t , x2t ,..., xnt )
t 1 T
s.t xit 0, i 1, 2,..., n; t 1, 2,..., T
max F ( x1(t ), x2 (t ), x3 (t ))
D
s.t xi 0, i 1, 2, 3
（二）动态问题dynamic problem
◆ 4、多期单变量问题——连续情形： 若上述多期问题中，考虑的是每时每刻的 产量刻利润，则问题转化为：
max F (t , x(t )) dt
0 T
s.t x(t ) 0,
0t T
该问题的最优解是函数 x(t)，它是计划期间每 一时点公司的最优产出率，即生产速度
(5b)
• 我们还可以写出多变量的多期问题：
• 例1（订单问题）：某公司收到B个单位的 订单，要求在T时交货。已知公司生产该产 品的单位生产成本随产出率线性增加，单 位时间对一个单位产品的储存成本为常数 。求最优的生产计划。
记： t时刻的累计产量为 x(t)，等于累积库存量 生产率为x’(t) ; 一个可行计划必定满足 x(0)=0和x(T)=B 公司的问题归结为：