abaqus动力学分析

目 录

第一章ABAQUS动力学问题概述 (1)

§1-1 动力学问题 (1)

§1-2 结构动力学研究的内容 (3)

§1-3 振动的分类 (4)

§1-4 结构动力学的研究方法 (5)

§1-5 动力学问题的基本方程 (5)

小结 (6)

§1-6

第2章结构特征值的提取 (7)

§2-1 问题的产生 (7)

§2-2 特征值的求解方法 (7)

§2-3 特征值求解器的比较 (8)

§2-4 重复的特征频率 (9)

§2-5 征值频率的提取 (9)

§2-6 频率输出 (12)

§2-7 有预载结构的频率 (16)

§2-8 复特征频率和刹车的啸声分析 (17)

第3章模态叠加法 (22)

§3-1 模态叠加法的基本概念 (22)

§3-2 模态叠加法的应用 (24)

第4章阻尼 (26)

§4-1 引言 (26)

§4-2 阻尼 (26)

§4-3

在ABAQUS中定义阻尼 (27)

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§4-4 阻尼选择 (31)

第5章稳态动力学分析 (33)

§5-1 稳态动力学简介 (33)

§5-2 分析方法 (35)

§5-3 激励和输出 (36)

§5-4 算例—轮胎的谐波激励稳态响应 (42)

第6章瞬态动力学分析 (49)

§6-1 引言 (49)

§6-2 模态瞬态动力学简介 (49)

§6-3 分析方法 (54)

§6-4 载荷和输出 (55)

§6-5 算例—货物吊车 (58)

第7章基础运动 (64)

§7-1 基础运动形式 (64)

§7-2 初级基础运动 (65)

§7-3 次级基础运动 (66)

§7-4 在ABAQUS中定义基础运动 (66)

§7-5 算例 (70)

第8章加速度运动的基线校准 (73)

§8-1 加速度基线调整和校准简介 (73)

§8-2 基线校准方法 (74)

§8-3 加速度基线校准步骤 (76)

§8-4 考虑基线校准的悬臂梁算例分析 (77)

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第1章

ABAQUS 动力学问题概述

§1-1 动力学问题的产生

在现代结构和机械设计中，通常需要考虑两类荷载的作用——静力荷载(static loading)和动力荷载(dynamic loading)，因此结构的设计也经常分为静力设计和动力设计两部分。对于静力设计和静力强度计算已不存在什么问题，通过传统的经验设计和类比设计方法，根据相关规范，使用一般的通用程序即可进行。但在工程中动力荷载作用事实上是普遍存在的，很多情况下仅仅进行静力计算将不能满足工程使用要求，必须作动力分析和动态设计。

动力这个词可以简单地被定义为大小、方向或作用点随时间而改变的任何荷载，而在动力作用下结构的反应亦即所产生的位移、内力、应力和应变也是随时间而改变的。可以认为静力荷载仅仅是动力荷载的一种特殊形式。由于荷载和响应随时间而变化，显然动力问题不像静力问题那样具有单一的解，而必须建立相应于时程中感兴趣的全部时间的一系列解答，因此动力分析显然要比静力分析更为复杂、且更消耗时间。

但是，静力问题与动力问题还有更重要的区别。如图1.1.1(a)所示，如果简支梁承受一静荷载P ，则它的弯矩、剪力及挠曲线形状直接依赖于给定的荷载，而且可以根据力的平衡原理用P 求出。而如果荷载P(t)是动力的，如图1.1.1(b)所示，则所产生的梁的位移与加速度有联系，这些加速度又产生与其反向的惯性力，于是梁的弯矩和剪力不仅要平衡外加荷载，而且还要平衡由于梁的加速度所引起的惯性力(inertial forces)。

结构或构件上的动力作用其实就是惯性力作用，动力作用的大小（或者说显著与否）直接与惯性力大小和惯性力随时间变化情况有关。根据牛顿第二定律可知，惯性力大小与结构或构件的质量(mass)和加速度(acceleration)分别成正比。结构加速度所引起的惯性力，是结构动力学问题的一个更重要的区别特征。 一般来说，如果惯性力是结构内部弹性力所平衡的全部荷载中的一个重要部分，则在求解时必须考虑问题的动力特征。如果运动非常缓慢，以致惯性力小到可以忽略不计的程度，则即使荷载和位移可能随时间变化而变化，但对任何瞬时的分析，仍可用近似静力(quasi-static)结构分析的方法来解决。对于有些情况下，虽然也存在着较大的惯性力，也仍然可以使用静力分析方法求解，例如离心荷载(centrifugal loading)。有时也可以通过在频域(frequency domain)内的频谱分析来研究一些工程振动问题，而没有必要进行考虑惯性力的全过程分析。

通过以下的例子进一步研究静力分析和动力分析的必要性，以及在动力分析中存在的困难。首先我们看如图1.1.2所示的浅拱（或扁壳）（shallow arch ），在图示荷载的作用下它的响应是不是动力问题呢？P P(t)

惯性力

(a) 静荷载 (b) 动荷载

图1.1.1 静动力荷载作用下的简支梁

5 回答时肯定的，因为在荷载增加到一定程度时，浅拱将发生跳跃(snap through)失稳，从一个平衡状态跳跃到另一个平衡状态，但其过程是一个不稳定的状态，结构中要释放一定的应变能，显然这部分应变能将转化为动能，使浅拱在一个平衡位置附近产生振动，这是一个动力问题，需要使用动力分析。但如果我们主要关心的不是跳跃失稳的振动过程，而仅仅关心振动停止后平衡状态下的位移，那么也可以简单的使用弧长法(arc-length method)对其进行静力求解（Risks ），可以求得在不稳定阶段的静态平衡解。在ABAQUS 中的输入命令为：

*static, riks

ABAQUS 计算结果如图1.1.3所示，将得到一个由稳定平衡状态到不稳定状态，再到新的稳定平衡状态的荷载-位移曲线。

中可以建立如图1.1.4所示的分析模型。当

图1.1.5 拔出力-位移曲线 DISPLACEMENT –U1

R E A C T I O N F O R C E

图1.1.4 碰锁的分析模型

图1.1.3 浅拱的荷载-位移曲线 DISPLACEMENT -U2

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由上述分析可见动力问题在工程中是普遍存在的，应该根据我们要研究问题的特征，确定是采用动力分析，还是采用静力分析。有时复杂的动力问题不是我们关心的重点，那么就可以使用一些特殊的方法将动力问题转化为静力问题来进行求解，在这方面ABAQUS 程序具有十分强大的功能。当然ABAQUS 程序也提供了强大的动力分析方法和手段，本书的以后章节将重点介绍有关线性和非线性动力分析的内容。

§1-2 结构动力学研究的内容

如果假设由惯性力引起的运动与其它弹性内外力引起的运动相比小到可以忽略的程度，那么就可以使用静力分析。在静力问题中，没有惯性力的存在，内外力之间的平衡的：

0==?u

m I P && (1.2.1) 式中P 代表外力，I 代表内力，m 为质量，u &&为位移的二阶导数（即加速度）。当然对于特定问题，应由

使用者来判断是否可以忽略惯性力的影响。

当不能忽略惯性力的影响时，就应该使用动力分析方法来解决问题。此时由于加速度的存在，使结构的内外力之间不再保持平衡，而不平衡力在数值上应该等于惯性力的大小，即：

0≠=?u

m I P && (1.2.2) 我们还是回顾一下上节中浅拱的例子，如果考虑动力作用，将得到如图1.2.1所示的曲线。可见如果不考虑阻尼的影响，将得到一个荷载随位移往复振动的结果；而如果存在一定的阻尼，结构振动的衰减幅度将明显加快。但是对于非稳定状态的跳跃过程中荷载位移的详细信息只有通过Riks 静力方法才能得到。

现在来研究某单自由度质量弹簧系统。外荷载分别在基本周期的10％、100％和500％的范围内全部施加。从ABAQUS 程序动力分析的结果中可以看出在速率最快荷载的作用下，弹簧系统产生的响应是静态分析的2倍左右，如图1.2.2所示；在速率较慢荷载的作用下，将产生准静态响应。

接下来继续研究一个更为复杂的系统——离心转子，如图1.2.3所示。转子的速度在10秒内从0到650rad/sec(大约100转/秒)。此时的瞬态动力响应如何呢？此问题能被当作稳态问题用静力方法来分析吗？

我们可以通过对以下几项内容的研究来回答上述问题：(1)在10s 之内恒定的旋转加速度

(65rad/sec 2)引起的应力；(2)10s 之后恒定的旋转速度(650rad/sec)引起的向心力；(3)上述两项引起应力效应的迭加；(4)转子加速时间(10s)与结构振动的基本周期(f T 12==ωπ)的比较。上述前3项可以通过静态分析的方法得到，第4项可以通过自然频率分析的方法得到。

图1.2.1 浅拱的荷载-位移对比曲线 DISPLACEMENT -U2

R E A C T I O N F O R C E

-R F 2

图1.2.2 质量弹簧的荷载-位移对比曲线

对于静态分析，可以分别按照如下步骤进行操作：

步骤一：施加一个旋转加速度荷载，研究在这个荷载作用下的应力。

*DLOAD

rotor, ROTA, 65,

可以得到最大的Mises应力为0.17MPa。

步骤二：施加一个离心荷载，研究此荷载作用下的应力。

*DLOAD, op=new

rotor, CENTRIF, 650,

可以得到此时的最大Mises应力为34.4MPa。

图1.2.3 离心转子步骤三：同时施加旋转加速度荷载和离心荷载，相当于在t＝10s时存在

的荷载，可以得到此时的最大Mises应力为34.6MPa。

由此可见由最大旋转速度而产生的离心荷载下的应力(34.4MPa)远比由旋转加速度荷载而引起的应

力(0.17MPa)显著。因此如果某结构的应力是由稳定的旋转状态起控制作用，那么通过使用离心荷载进行静力分析就足够了。

荷载作用速度快慢将直接影响结构的瞬态动力响应，影响的大小取决于加速度荷载作用时间与结构基本周期的关系。通过对转子自然频率的提取分析可以得到结构的基本周期，它对应于结构的最低振动模态。

*FREQUENCY

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可以得到结构基频(最低频率)为840圈/s，结构基本周期(最大的振动周期)为0.0012s。可见荷载的施加周期10s与转子的基本振动周期0.0012s相比是一个漫长的过程，瞬态动力响应是十分微小的。

其实在很多实际工程问题都存在动力问题，但并不一定都需要瞬态动力分析，有时仅仅使用等效静力的稳态分析就足够了。因此在研究带有动力性质的问题是时必须适当考虑以下问题，采用适合的分析方法，才能得到满意的结果：

1、能量守恒，即有多少应变能量转化为了动能；

2、阻尼和动能，即在真实结构中能量是如何耗散的，如何控制和使用阻尼才能使结构的振动更加接近实际情况；

3、荷载，以何种速度施加荷载将直接影响计算结果。

§1-3 振动的分类

随着科学技术的飞速发展，各种工程结构和工业产品向大型、高速、大功率、高性能、高精度和轻结构方向发展，使得动力学问题越来越突出和严重。例如飞机由于强度破坏而引起的事故中，90％是由振动疲劳所至；高速喷气飞机的出现，促进了随机振动的研究；高层建筑的出现，必须事先对它进行结构响应计算和地震评估；大功率的气轮发电机组出现频繁的事故，促进了转子动力学发展；高速公路和高速汽车的发展，人们不得不研究侵彻问题和汽车碰撞动力学仿真；大型火箭导航陀螺的位置安排，必须考虑火箭的模态形状，在设计过程中必须做振动模态计算和试验分析；大型空间站及太阳能电池帆板的结构尺寸可以达到公里级，在微重力条件下的动力学行为无法在地面试验和观察，必须作精确的动力学仿真，因而促进了柔性结构动力学及展开动力学的发展。动力荷载的作用是随时间变化的，结构动力学就是研究结构在动荷载作用下产生响应的规律，或者说是研究结构、动荷载和响应三者的关系。

结构的动力响应可以是随时间变化的变形，如弹性变形和塑性变形等。但多数情况下的响应表现为振动，即结构在平衡位置附近往复运动。结构振动分类方法很多，如单自由度系统的振动、多自由度系统的振动和连续体的振动；线性振动和非线性振动等等。但从运动学的观点来看，可分为以下四种振动：

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1. 周期振动——振动量是时间的周期函数，可写为)()(T t x t x +=，其中T 为周期。周期振动中的一种典型振动为简谐振动，或称谐振动，可写为)cos()sin()(αω?ω+=+=t A t A t x 。周期振动可以用谐波分析的方法展开为一系列谐振动的叠加，其频谱为离散谱，而且都是基频的倍频关系；

2. 非周期振动——振动量是时间的非周期函数，其频谱一般为连续谱。也可为离散谱，但不是倍频关系，而是无理数关系。如衰减振动是一种具有连续谱的非周期振动；

3. 瞬态振动——由冲击引起结构系统的振动，一般发生在较短的时间内；

4. 随机振动——受偶然因素影响的一种不确定性的振动。

§1-4 结构动力学的研究方法

结构动力学的研究方法可分为分析方法(结构动力分析)和试验方法(结构动力试验)两大类。结构动力试验是产品设计和生产过程中不可缺少的环节，可直接检验产品的动力学性能，也为分析方法建立可靠的数学模型提供了必要的数据。

分析方法的首要任务是建模(modeling)，建模的过程是对问题去粗取精、去伪存真的过程。模型是抽象的，但能反应问题的本质。在结构动力学中，着重研究力学模型(物理模型)和数学模型。力学模型可分为连续模型和离散模型两大类，连续模型对应的数学模型是偏微分方程，离散模型对应的数学模型是常微分方程组或代数方程组。建模方法很多，一般可分为正问题建模方法与反问题建模方法。正问题建模方法所建立的模型称为分析模型(或机理模型)。因为在正问题中，对所研究的结构(系统)有足够的了解，这种系统称为白箱系统。我们可以把一个实际系统分解为若干个元素或元件(element)，对每个元素或元件直接应用力学原理建立方程(如平衡方程、本构方程、汉密尔顿原理等)，再考虑几何约束条件综合建立系统的数学模型。如果所取的元素是一无限小的单元，则建立的是连续模型；如果是有限的单元或元件，则建立的是离散模型。这是传统的建模方法，也称为理论建模方法。反问题建模方法适用于对系统了解(称黑箱系统——black box system)或不完全了解(称灰箱系统——gray box system)的情况，它必须对系统进行动力学试验，利用系统的输入(荷载)和输出(响应——response)数据，然后根据一定的准则建立系统的数学模型，这种方法称为系统辨识(system identification)或参数辨识(parameter identification)，它也称为试验建模方法，所建立的模型称为统计模型。

也可将上述正反两种问题建模方法相结合建立系统的数学模型，如对一些大型复杂结构，可以先利用有限元法建立系统的数学模型，然后再利用试验数据修改数学模型，使得修改后模型的输出与试验数据一致。一般来说，数学模型的规模越大，自由度越多，则模型的精度越高，但同时也带来了计算上的耗费越大，因此模型规模的选择要根据实际问题的需要来确定。例如美国土星5号运载火箭曾用有限元法离散为4种力学模型分别进行计算。

§1-5 动力学问题的基本方程

在动力平衡方程中，为了方便起见一般将惯性力一项隔离出来，单独列出，因此通常表达为：

0=?+P I u

M && (1.5.1) 其中M 为质量矩阵，通常是一个不随时间改变的常量；I 和P 是与位移和速度有关的向量，而与对时间的更高阶导数无关。因此系统是一个关于时间二级导数的平衡系统，而阻尼和耗能的影响将在I 和P 中体现。可以定义：

u

C Ku I &+= (1.5.2)

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如果其中刚度矩阵K 和阻尼矩阵C 为常数，系统的求解将是一个线性的问题；否则将需要求解非线性系统。可见线性动力问题的前提是假设I 是与节点位移和速度是线性相关的。

如果把公式(1.5.2)代入公式(1.5.1)中，则有

P Ku u C u

M =++&&& (1.5.3) 上述平衡方程是动力学中最一般的通用表达形式，它适合于描述任何力学系统的特征，并且包含了所有可能的非线性影响。如果方程中的第一项——惯性力——足够小时，可以令其为0，则方程简化为静力平衡方程的形式。

求解上述动力问题需要对运动方程在时域内积分，ABAQUS 中提供了很多有效的积分方法，我们将在以后的各章节中详细介绍。空间有限单元的离散化可以把空间和时间上的偏微分基本控制方程组在某一时间上转化为一组耦合的、非线性的、普通微分方程组。

线性动力问题是建立在结构内各节点的运动和变形足够小的假设基础之上的，能够满足线性叠加原理，且系统的各阶频率都为常数。因此结构系统的响应可以由每个特征向量的线性叠加而得到，通常所说的模态叠加法就是由此而来的。

在ABAQUS 中根据线性分析的基本思想，总结归纳后得出了线性摄动分析的概念。概括来说，线性响应就是基于在某预加荷载状态下的小扰动分析，可参考图1.5.1。这个概念在某些情况下（如旋转电机分析中）是十分重要的，因为此时系统恒定的旋转将产生应力硬化现象，这将显著改变此系统的切相刚度。因此在ABAQUS 中将允许对所研究的、整体上呈非线性的系统，在局部进行线性化处理。而且这种摄动分析过程可以在非线性响应分析过程中的不同时间点上反复进行操作。

§1-6 小结

在静力分析中，结构响应与施加在结构上的荷载和边界条件有关，使用有限元方法可以求解得到应力、应变和位移在空间上的分布规律；在动力分析中，结构响应不但与荷载和边界条件有关，还和结构的初始状态有关，在时域的任何一点上都可以使用有限元法求解空间上的应力、应变和位移，然后可以使用一些数值积分技术来求解得到时域中各个点上的响应。

某特定系统动力分析方法的选择在很大程度上依赖于是否需要详细考虑非线性的影响。如果系统是非线性的，应该选择使用在时域上的直接积分法，甚至对于稳定的荷载作用也因该使用直接积分法才能得到时域内的全部结果。其优点是可以得到分析模型在所有时间点上详细全面的计算结果，但缺点是计算分析的代价可能比较昂贵。对于动力问题，如果系统能够被合理地线性化，最好选择使用模态分析的方法，因为程序对线性问题分析的效率是较高的，而且同时在频域和时域范围内求解将更加有助于洞察系统的动力特性。

P

u

u 线性扰动响应 P (u )实际的

非线性响应

图1.5.1 关于初始状态u 0的线性摄动分析

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第2章

结构特征值的提取

§2-1 问题的产生

对于自由振动方程在数学上讲就是固有（特征）值方程(eigen-equations)。特征值方程的解不仅给出了特征值(eigenvalues)，即结构的自振频率和特征矢量——振型或模态(eigenmodes)，而且还能使结构在动力荷载作用下的运动方程解耦，即所谓振型分解法或叫振型叠加法(modal summation methods)。因此，特征值问题的求解技术，对于解决结构振动问题来说，是非常重要的。

特征值或特征频率的提取是建立在一个无阻尼自由振动系统上的，即振动方程中没有阻尼项的影响

0=+Ku u

M && (2.1.1) 特征值和结构振动模态描述了结构在自由振动下的振动特点和频率特征。

通过使用振型分解法解得振型和频率，就能够很容易地求得任何线性结构的响应。而且通常在实际问题中，只需要考虑前面几个振型就能获得相当精度的解。结构动力学的实际问题涉及面很广，对于只有几个自由度的力学模型，只需要考虑一个或两个自由度就能求得动力响应的近似解，而对于具有几百个甚至上千个自由度的高度复杂有限元模型，就需要考虑数十个甚至上百个振型对响应的影响。为了适应不同问题的需要，逐渐产生了各种求解特征值问题的技术。据此，ABAQUS/Standard 提供了大量的求解方法可供使用。

通常所说的特征值就是指结构的各阶固有频率(ω )，特征向量就是对应某个振动频率的振动模态(φ )。公式(2.1.2)给出了对特征方程的表达形式，通过对其求解即可得到各阶频率和模态。

()02=?N MN MN M K

φω (2.1.2) 其中MN K 为刚度矩阵，如果基本状态下包括了几何非线性的影响，则刚度矩阵中也包括了初始刚度的贡献；MN M 为质量矩阵。

可见如果结构系统共有N dof 个自由度，那么就可通过上述方程解得N dof 个特征值和特征向量。当然结构系统是可以被约束的，也可以是不被约束的。对于受约束的系统，在ABAQUS/Standard 中预加荷载的影响是可以被考虑的。

由结构动力学可知，绝大多数情况下，刚度矩阵K 和质量矩阵M 都是对称的和正半定的，其固有振型相对于质量和刚度矩阵具有正交性，可用模态坐标使方程简化，而且频率　和特征向量　都是实数。而对于非对称的情况，可以通过复模态理论来使方程解耦，计算其特征值问题，这一点在本章2-8节中还要介绍。

对于某些工程问题，例如在稳态响应或者是长期响应占主导的动力问题中，我们经常可以遇到只需要考虑系统的最低频率和模态的情况，此时求解过程简单，将节省大量的计算费用。 §2-2 特征值的求解方法

在求解特征值问题时，大致有两种情况，一种是求解结构系统特征方程的全部特征值问题，即所有的特征值和对应的特征向量；另一种是求解部分特征值问题，即部分（通常是最小或最大的一些）特征值和对应的特征向量。这是因为，在结构动力学中，往往矩阵的阶数都很高，有时不可能，而且也没有必要求解全部特征值和特征向量。在求解方法上，也分为两大类，一类是直接求解法(Direct methods)，另一类是向量迭代求解法(Iterative methods)。

直接求解法包括Householder QR和Givens两种求解技术。这种方法可以用来研究需要求解所有特征值和特征向量的自由度较少的系统，计算工作量是较大。计算过程中结构的特征矩阵可以被转化为一个对称的对角阵形式，可以很容易地同时求解出所有特征值。对于较大的系统可以通过缩减技术来提高计算效率，例如Guyan缩减法在求解时就可以有效地减少结构的自由度数目。

向量迭代方法包括反向迭代法(inverse iteration)、子空间迭代法(subspace iteration)和兰佐斯迭代法(Lanczos technique)等。使用迭代法可以求解较大结构系统的少数特征值问题，计算时间依据结构自由度的大小和需要提取的特征值个数而定。在ABAQUS中提供了两种提取特征值的求解器：Lanczos 特征值求解器和子空间迭代求解器。

使用文件输入时，可以使用如下命令：

*FREQUENCY, EIGENSOLVER=SUBSPACE

*FREQUENCY, EIGENSOLVER=LANCZOS

使用主菜单输入时选择Step Create: Frequency: Basic: Eigensolver: Lanczos or Subspace

§2-3 特征值求解器的比较

1.效率的比较

对于需要求解多自由度系统的大量特征模态时，Lanczos特征值求解器在整体上速度更快。例如对于某噪声控制问题，处于临界状态时在某个需要研究的范围内可能有几百个特征值，而严格的设计恰恰要求对此范围内的频率特性进行分析，此时就比较适合使用Lanczos特征值求解器。

对于需要求解不超过20个特征值的问题，使用子空间迭代法可能更快，反之效率可能不高。

2.终止原则和精确性的比较

Lanczos特征值求解器允许计算到特征值真正的误差限制点时才终止，可以满足正常的终止原则。对于多数问题，相对误差为1.E-12量级，因此Lanczos求解器的计算结果精度一般要比子空间迭代法高。Lanczos求解器的计算时间线性依赖于需要提取的特征值的数量。

而子空间迭代法的终止与否是通过判断从一次迭代到下一次迭代过程中特征值的相对变化来实现的，如果相对变化小于1.E-5则认为问题已经收敛，结束计算。

3.重启动分析

Lanczos求解器允许在特征值提取过程中使用重启动分析(restart analysis)。在需要求解更多模态的下一步分析中，允许使用先前已经得到的特征模态结果。而且在重新进行的Lanczos求解过程中，特征值的数量、频率范围和终止收敛点都相对独立于上一步的求解过程。如果新的求解过程中需要上一次计算已经得到的结果时，程序此时会自动调用，而不是进行不必要的重新计算。

而应用子空间迭代法求解器计算特征值问题时是不允许进行重启动的。

应指出，在使用重启动时，应该事先或者以模型数据的形式，或者计算一个通用分析步来设置好边界条件。如果在上一步特征值提取的历程数据中设置了边界条件，重启动的新一步中不会读取和使用任何上一步的原始边界条件数据。也应该注意对于某特定模型，任何边界条件的变化都可能影响其特征值的计算结果，因为这些变化可能导致模型刚度或质量矩阵的变化，因此使用重启动时一定要注意边界条件的一致性。

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4. Lanczos 特征值求解器的限制条件

Lanczos 特征值求解器不能用于结构屈曲分析工程中，因为在屈曲临界点处刚度矩阵是非正定的。类似的情况还有：

含有杂交单元的模型；

含有分布耦合单元的模型；

含有接触对或接触单元的模型；

模型的预加荷载超过分支屈曲荷载的情况。

§2-4 重复的特征频率

我们知道不同的特征向量之间对于质量矩阵和刚度矩阵都是正交的，即主振型之间没有惯性耦合和弹性耦合，可以表达成公式(2.4.1)和公式(2.4.2)的形式。

0=βαφφM T

(2.4.1) 0=βαφφK T

(2.4.2) 其中αφ和βφ为不同的特征向量，即βα≠。可以证明任何两个特征向量之间的线性组合仍然是特征向量。

如果某结构的特征频率是不同的，那么相应的特征向量也是独立的。但如果特征频率是重复的，即在某个值上存在对应很多不同振型的相同频率，则这时的特征向量就不再是单一的了。ABAQUS 可以很好区分和处理这种重复的模态，但当想要得到一个自由结构的刚体模态时，也必须谨慎的加以区分。刚体结构在整体坐标系下有平动和转动之分，分析后得到的特征向量通常是这些理想模态的混合体。例如平面内（二维）一个独立单元的0频率(w 1, 2, 3 =0)对应的模态表现为如图2.4.1所示的形式。

2

1

图2.4.1 平面问题中0频率的模态

图2.5.1 发动机组的模型和网格划分

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§2-5 特征频率的提取

下面通过一个发动机组的例子来说明特征频率的计算和提取过程。模型及网格划分情况如图2.5.1所示，划分网格时使用10节点的四面体单元(C3D10)。材料为钢材，使用线弹性模型。结构未被约束。

对于动力分析，必须定义材料的弹性性质和密度等，方法如下：

*MATERIAL,NAME=Steel

*ELASTIC

101354.,0.25

*DENSITY

7.20E-9

材料密度为7.20E-9T/mm 3，菜单中的定义方法如图2.5.2所示。

进行的特征值提取的数据输入过程可以通过下面菜单交互式输入来完成，如图2.5.3所示。

上述定义过程也可以通过如下关键字的输入来完成。

求解器

100阶频率

S

定义频移值S 用来克服在提取未被约

束结构自然频率时数值计算上的奇异

图2.5.3 特征值提取问题的数据输入方法

图2.5.2 材料密度的定义方法

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*STEP

*FREQUENCY,EIGENSOLVER=LANCZOS

100, , ,-810000.

:

:

*END STEP

如果需要使用子空间迭代求解器，则需要把LANCZOS 改为SUBSPACE 。第三行后面的两个空格用来定义感兴趣的频率范围，-180000为频移值。

如果选择使用了Lanczos 特征值求解器，用户可以根据需要指定最小的和（或）最大的频率，ABAQUS 将在指定的范围内按照指定的个数提取出特征值，如果在指定范围内特征值的实际个数少于所指定的特征值的个数，则ABAQUS 将把指定频率范围内的所有特征值全部提取出来。如果选择使用了Lanczos 特征值求解器，用户也可以定义频率的最大值，ABAQUS 将在最大值以下的范围内按照指定的个数提取特征值。

在*FREQUENCY 中还可以选择以下参数，选择方法如图2.5.4所示。

NORMALIZATION ：用来控制特征向量是如何正交化的，对于每个特征向量来说，或者是最大位移为1、或者广义质量为1。

PROPERTY EVALUATION ：指定在频率提取过程中如何考虑如粘弹性、弹簧和阻尼器等依频率特性变化而变化的材料特性。

由于所分析问题的复杂程度不同，必须对问题的大小、内存和硬盘的使用进行正确估计，如下表所示。 节点个数

640285 单元个数

402441 结构自由度个数

1920855 需要求解的特征值个数

100 最大的波前个数

7626 每次迭代时的浮点运算精度

2.82e+12 使用的最小内存

1.66 GB 最小输入/输出使用的内存

3 GB 因子文件大小

9.187 GB Lanczos 矢量文件大小 7.013 GB

其它临时文件大小 16.042 GB

使用IBM B80计算机进行计算，系统时钟为375MHz 。内存为4GB ，交换缓冲区为4GB ，硬盘空间为180GB 。因此在定义内存的使用时可以把预处理器使用内存设置为750MB ，Standard 求解器使用图2.5.4 特征值分析中的其它参数

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内存设置为2000MB ，如图2.5.5所示。

经过计算得到，发动机组结构的前10阶非刚体特征模态如图2.5.6所示。

§2-6 频率输出

我们以一个悬臂梁的例子来说明与频率输出有关的一些问题。悬臂梁如图2.6.1所示，梁的长度L ＝36in ，弹性模量E ＝10Msi ，截面高度h ＝2in ，截面宽度b ＝1in ，材料密度ρ＝0.0003。通过理论分析(参见 Blevins, “Formulas for Natural Frequency and Mode Shape,” Krieger Publishing Co., 1995.)可知梁的自振频率为

图2.5.6 发动机组的前10阶模态图示 模态1 模态2 模态3

模态4 模态5 模态6

模态7 模态8 模态9 模态

10

图2.5.5内存的设置

16

A EI L ρω2

2

...)875.1(= (2.6.1)

在ABAQUS/CAE 中，为了计算此悬臂梁的特征模态，选择梁单元来进行特征值分析。参数的定义和输入方法参见上节，最后可以得到悬臂梁的各阶模态，其中的第2阶和第4阶模态形式如图2.6.2所示，而第1阶和第3阶模态产生在垂直于纸面的平面内。

模型质量表如下：

TOTAL MASS OF MODEL

2.1600000E-02

LOCATION OF THE CENTER OF MASS OF THE MODEL

18.00000 0.0000000 0.0000000

MOMENTS OF INERTIA ABOUT THE ORIGIN

I(XX) I(YY) I(ZZ)

9.0000000E-03 9.331200 9.331200

PRODUCTS OF INERTIA ABOUT THE ORIGIN

I(XY) I(XZ) I(YZ)

0.000000 0.000000 0.000000

MOMENTS OF INERTIA ABOUT THE CENTER OF MASS

I(XX) I(YY) I(ZZ)

9.0000000E-03 2.332800 2.332800

PRODUCTS OF INERTIA ABOUT THE CENTER OF MASS

I(XY) I(XZ) I(YZ)

0.000000 0.000000 0.000000

各阶频率的计算结果如下：

图2.6.1 悬臂梁 模态2：45.5Hz 模态4：285.2Hz 图2.6.2 悬臂梁的振动模态

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(RAD/TIME) (CYCLES/TIME)

MODE NO EIGENVALUE FREQUENCY GENERALIZED COMPOSITE MASS MODAL DAMPING 1 20445. 142.99 22.757 5.40000E-03 0.0000 2 81780. 285.97 45.514 5.40000E-03 0.0000 3 8.02960E+05 896.08 142.62 5.40000E-03 0.0000 4 3.21184E+06 1792.2 285.23 5.40000E-03 0.0000 5 6.29535E+06 2509.1 399.33 5.39997E-03 0.0000 6 1.72843E+07 4157.4 661.68 4.49857E-03 0.0000 7 2.41746E+07 4916.8 782.53 5.39987E-03 0.0000 8 2.51814E+07 5018.1 798.66 5.39997E-03 0.0000 9 6.34620E+07 7966.3 1267.9 1.08000E-02 0.0000 10 6.60620E+07

5.39965E-03 0.0000

将结构振动方程按正交化原理可以简化成若干个假想的与模态α有关的单自由度体系，方程如下： ααααααP kq q c q

m =++&&& (2.6.2) 其中广义质量是一个数学上的中间量，没有明确的物理意义。

i T i i M m φφ= (2.6.3)

有关广义质量矩阵的计算方法、相关理论知识和其它参量的意义可参见附录1的内容。

公式(2.6.4)给出了振型参与系数的表达形式

j T i i

ij MT m φ1=Γ (2.6.4) 其中j T 代表整体结构的刚体模态向量。振型参与系数代表了某个振型在某个自由度方向上振动的参与程度，它可以帮助使用者选择在某种给定荷载作用下最能代表某响应的模态。当设定基底运动来计算具有惯性荷载的模型时，也常常使用振型参与系数，有关内容将在第7章讨论。

在本例中计算得到的各个振型参与系数ij Γ如下，其中沿列的方向为i ，沿行的方向为j 。其中由于计算舍去误差，产生了许多近似为0的无穷小数值，可以视为0。

MODE NO X-COMPONENT Y-COMPONENT Z-COMPONENT X-ROTATION Y-ROTATION Z-ROTATION 1 1.16098E-16 -5.31945E-17 1.5660 -1.16204E-16 -40.955 4.36320E-16 2 -5.87938E-18 1.5660 -6.79618E-16 8.88258E-20 1.57866E-14 40.955 3 -1.00136E-15 1.43326E-16 -0.86787 -8.64429E-16 6.5352 1.41999E-15 4 -4.25759E-15 -0.86787 -6.22473E-15 -4.51600E-15 2.65510E-14 -6.5352 5 -7.82337E-15 -9.72395E-15 0.50885 -9.12654E-15 -2.3340 -6.45957E-14 6 -7.63261E-15 -2.22581E-14 -2.13728E-14 1.2734 6.62988E-14 -1.00812E-13

7 7.04653E-14 6.70174E-13 -0.36380 -7.75658E-14 1.1911 3.12708E-12

序号i 特征值ω 2 频率ω 广义质量m i

阻尼，以后讨论

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8 -4.03433E-14 0.50885 4.76181E-13 1.68286E-14 -1.58293E-12 2.3340

9 1.2732 -5.56129E-12 -1.27299E-12 -1.71292E-11 1.70052E-12 -9.53263E-12

10 -1.80870E-12 6.41429E-12 0.28295 1.86502E-11 -0.72053 1.01045E-11

有效模态质量给出了整体模型质量在某模态代表的不同自由度方向上是如何分布的。它的计算表达式为

()2ij

i eff ij m m Γ= (2.6.5) 对于平动模态，所有有效模态质量之和应该近似等于结构整体质量，即： 结构整体质量≈∑i eff ij m

(2.6.6)

如果上式不能成立，说明所求得的模态还不够多，尚需要继续进行模态分析。

在本例中计算得到的各个有效模态质量eff

ij m 如下，其中沿列的方向为i ，沿行的方向为j 。

MODE NO X-COMPONENT Y-COMPONENT Z-COMPONENT X-ROTATION Y-ROTATION Z-ROTATION 1 7.27851E-35 1.52802E-35 1.32424E-02 7.29178E-35 9.0577 1.02803E-33

2 1.86663E-37 1.32424E-02 2.49416E-3

3 4.26061E-41 1.34577E-30 9.0577

3 5.41465E-33 1.10929E-3

4 4.06729E-03 4.03508E-33 0.23063 1.08884E-32

4 9.78863E-32 4.06729E-03 2.09235E-31 1.10129E-31 3.80677E-30 0.23063

5 3.30506E-31 5.10595E-31 1.39822E-03 4.49783E-31 2.94163E-02 2.25319E-29

6 2.62072E-31 2.22869E-30 2.05492E-30 7.29512E-03 1.97736E-29 4.57194E-29

7 2.68123E-29 2.42526E-27 7.14677E-04 3.24881E-29 7.66042E-03 5.28034E-26

8 8.78889E-30 1.39822E-03 1.22443E-27 1.52927E-30 1.35305E-26 2.94163E-02

9 1.75083E-02 3.34021E-25 1.75013E-26 3.16883E-24 3.12312E-26 9.81407E-25

10 1.76644E-26 2.22158E-25 4.32302E-04 1.87816E-24 2.80330E-03 5.51312E-25

通过计算可知结构的总质量为2.16E-02。Y 方向弯曲模态2和4的贡献为(1.32424E-02)+

(4.06729E-03)=1.73097E-02，为总质量的80％。

最后结构的特征值、特征频率、广义质量和振型发生方向的计算结果如下所示。

MODE NO EIGENVALUE FREQUENCY GENERALIZED MASS

(RAD/TIME) (CYCLES/TIME)

1 20445. 142.99 22.757 5.40000E-03 Z bend 1

2 81780. 285.97 45.514 5.40000E-0

3 Y bend 1

3 8.02960E+05 896.08 142.62 5.40000E-03 Z bend 2

4 3.21184E+06 1792.2 285.23 5.40000E-03 Y bend 2

5 6.29535E+0

6 2509.1 399.33 5.39997E-03 Z bend 3

6 1.72843E+0

7 4157.4 661.6

8 4.49857E-03 Torsion 1

7 2.41746E+07 4916.8 782.53 5.39987E-03 Z bend 4

8 2.51814E+07 5018.1 798.66 5.39997E-03 Y bend 3

9 6.34620E+07 7966.3 1267.9 1.08000E-02 Axial 1

10 6.60620E+07 8127.9 1293.6 5.39965E-03 Z bend 5

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通过上述振型参与系数和有效模态质量，可以识别哪个振型（模态）对所要研究的荷载作用方向是有用的。本例题中，如荷载是沿着Y 方向作用的，则第2和第4阶振型的贡献是较大的，第8振型也有一定贡献，必要时可以考虑，而其它振型是没有任何贡献的。

§2-7 有预载结构的频率

对于某个结构来说，如果被预先施加外荷载，其自振频率通常是会发生变化的。比如结构在拉力作用下刚度会增加；而在压力作用下刚度会降低。因此频率会依据先前荷载作用历史状态的变化而变化。在ABAQUS 中可以使用线性摄动的方法，计算在任何荷载步时、或在任何荷载作用状态下结构的自然频率。

摄动法是以先前状态为基准的线性求解步，它的计算并不会对原来的计算过程产生任何影响，即摄动步在时程上占用的时间为0，这样通过摄动法求解得到某一荷载作用状态下的特征频率和特征向量后，对非线性分析的时间历程不会产生影响。当前进行的摄动法模态分析中使用的是与先前时程步骤中相同的边界条件。非0的边界条件和荷载都是关于基本状态的扰动，换句话说，它们是与基本状态是有关的。有关更详细的内容，读者可参考ABAQUS 分析用户手册的6.1.2节。

下面介绍一个跳跃失稳的浅拱例子，如图2.7.1所示。步骤如下：

步骤1：对未加荷载结构频率的计算；

步骤2：在浅拱结构中心施加32 lbf 步骤3：在32 lbf 刻进行频率计算；

步骤4中点竖向位移达到14 in ； 步骤5步骤6：在50 lbf 次进行频率计算。

经过计算可以得到浅拱的荷载位移曲线如图率计算点，图中还给出了各点的基本频率为：载对其基频的影响。图2.7.3

Mode 1: 52.7Hz

Mode 1: 12.4Hz

31.7A C

B

图2.7.2 浅拱的荷载位移曲线

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§2-8 复特征频率和刹车的啸声分析

在前面各节讲述的多自由度响应的问题中，认为质量矩阵和刚度矩阵都是正定对称的；而且认为系统阻尼是比例阻尼，是一种可解耦阻尼；同时结构固有模态（振型）相对于质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵都具有正交性。因此可用模态坐标使方程简化，这种理论称为实模态理论。但是如果刚度矩阵和阻尼矩阵是非对称的，则不能用常规方法将方程解耦，这时必须用复模态解耦，称这种方法为复模态理论(complex modal theory)。

复特征值理论使用投影法(projection method)来提取系统的复特征值(complex eigenvalues)。有限元模型的特征值问题可以用以下公式来表达：

0)(2=++N MN MN MN K C M φμμ (2.8.1)

其中MN M 是质量矩阵，通常是对称的和半正定的；MN C 是阻尼矩阵；MN K

是刚度矩阵，可以包括预载荷和阻尼的影响，因此有可能是非对称的；μ是复特征值；N φ是复特征向量，即振动模态；上标M 和N 代

表自由度。

在ABAQUS/Standard 中，复特征值的提取过程使用子空间投影法，而且在复特征值提取过程之前，一般先进行具有对称刚度矩阵的无阻尼系统的特征值和特征模态的计算。全部的子空间都被缺省地作为基本矢量，ABAQUS/Standard 在考虑用户对子空间的各种规定之后，通常计算出投影空间内所有的有效复模态。用户指定的需要求解的特征模态数不能超过投影子空间的维数。在复特征值提取过程中，为了能够计入刚度矩阵或阻尼矩阵非对称的影响，程序能够自动使用非对称矩阵求解和存储方法。如果用户强行指定了对称矩阵的求解技术和存储方法，矩阵非对称性的影响将被忽略。

输入文件如下：

*COMPLEX FREQUENCY

在菜单中的输入方法如下：

Create Step: Linear perturbation: Complex frequency: Number of eigenvalues requested: All or Value

下面以一个刹车啸声分析(Brake Squeal Analysis)的例子说明复特征值求解器的应用过程。采用TRW 汽车刹车的实物和模型，如图2.8.1所示。计算得到的复特征频率和复模态的动画可以说明刹车啸声噪音的产生时某频率下结构的变形状态。

的形状

0 lbf 时的原始形状 1的形状

模态1的形状

50 lbf （a ）A 点的模态1 （b ）B 点的模态1

（c ）C 点的模态1

图2.7.3 不同荷载作用时刻浅拱的第一模态