中考数学苏科版专题训练(六)直角三角形的应用(含答案)
2017中考数学专题训练(六)直角三角形的应用 解直角三角形的应用是中考的必考内容之一，它通常以实际生活为背景，考查学生运用直角三角形知识建立数学模型的能力，解答这类问题的方法是运用“遇斜化直”的数学思想，即通过作辅助线(斜三角形的高线)把它转化为直角三角形问题，然后根据已知条件与未知元素之间的关系，利用解直角三角形的知识，列出方程来求解．
仰角、俯角问题
【例1】(2016宜宾中考)如图，CD是一高为4 m的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角α＝30°，从平台底部向树的方向水平前进3 m到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角β＝60°，求树高AB.(结果保留根号) 【解析】作CF⊥AB于点F，构造Rt△求解．
【学生解答】解：作CF⊥AB于点F，设AF＝x m，在Rt△ACF中，tan∠ACF＝AFCF，
则CF＝AFtan∠ACF＝xtanα＝xtan30°＝3x，在Rt△ABE中，AB＝x＋BF＝(4＋x)m，在Rt△ABE中，tan∠AEB＝ABBE，则BE＝ABtan∠AEB＝x＋4tan60°＝33(x＋4)m.∵CF－BE＝DE，即3x－33(x＋4)＝3.解得x＝33＋42.则AB＝33＋42＋4＝33＋122(m)．答：树高AB是33＋122 m.
1．(2016茂名中考)如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A点处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°，已知教学楼AB高4 m. (1)求教学楼与旗杆的水平距离AD；(结果保留根号) (2)求旗杆CD的高度． 解：(1)∵教学楼B点处观测到旗杆底端D的俯角是30°，∴∠ADB＝30°，在Rt△ADB中，∠BAD＝90°，∠ADB＝30°，AB＝4 m，∴AD＝ABtan∠ADB＝4tan30°＝43(m)．答：教学楼与旗杆的水平距离是43 m；(2)∵在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∠CAD＝60°，AD＝43 m，∴CD＝AD·tan60°＝43×3＝12(m)．答：旗杆CD的高度是12 m. 2．(2016泸州中考)如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处603 m的点D(点D与楼底C在同一水平面上)出发，沿斜面坡度为i＝1∶3的斜坡DB前进30 m到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度．(参考数据：sin53°≈0.8，
cos53°≈0.6，tan53°≈43，计算结果用根号表示，不取近似值)
解：如图，作BN⊥CD于点N，BM⊥AC于点M.在Rt△BDN中，BD＝30，BN∶ND＝1∶3，∴BN＝15，DN＝153，∵∠C＝∠CMB＝∠CNB＝90°，∴四边形CMBN是矩
形，∴CM＝BM＝15，BM＝CN＝603－153＝453，在Rt△ABM中，tan∠ABM＝AMBM＝43，∴AM＝603，∴AC＝AM＋CM＝603＋15.
方位角问题 【例2】(2016临沂中考)一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向，距离灯塔20海里的A处，它向东航行多少海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处？(参考数据：3≈1.732，结果精确到0.1)
【学生解答】解：如图，作AC⊥PC于点C，∠APC＝60°，∠BPC＝45°，AP＝20，在Rt△APC中，∵cos∠APC＝PCAP，∴PC＝20·cos60°＝10，∴AC＝202－102＝103，在Rt△PBC中，∵∠BPC＝45°，∴△PBC为等腰直角三角形，∴BC＝PC＝10，∴AB＝AC－BC＝103－10≈7.3(海里)．答：它向东航行约7.3海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处．
3．(2016眉山中考)如图，埃航MS804客机失事后，国家主席亲自发电进行慰问，埃及政府出动了多艘舰船和飞机进行搜救，其中一艘潜艇在海面下500 m的A点处测得俯角为45°的前下方海底有黑匣子信号发出，继续沿原方向直线航行2 000 m后到达B点，在B处测得俯角为60°的前下方海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C点距离海面的深度．(结果保留根号)
解：过C作CD⊥AB于D，交海面于点E，设BD＝x，∵∠CBD＝60°，∴tan∠CBD＝CDBD＝3，∴CD＝3x.∵AB＝2 000，∴AD＝x＋2 000，∵∠CAD＝45°，∴tan∠CAD＝CDAD
＝1，∴3x＝x＋2 000，解得x＝1 0003＋1 000，∴CD＝3(1 0003＋1 000)＝3 000＋1 0003，∴CE＝CD＋DE＝3 000＋1 0003＋500＝3 500＋1 0003.答：黑匣子C点距离海面的深度为(3 500＋1 0003)m. 坡度、坡比问题
【例3】如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°.已知A点的高度AB为3 m，台阶AC的坡度为1∶3(即AB∶BC＝1∶3)，且B，C，E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度．(测倾器的高度忽略不计)
【学生解答】解：在Rt△ABC中，tan∠ACB＝ABBC＝13＝33，∴∠ACB＝30°，∴∠BAC＝60°，∠PAC＝30°，∠ACD＝180°－∠ACB－∠DCE＝90°，∴∠DAC＝60°.在Rt△ABC中，∵∠ACB＝30°，∴AC＝2AB＝6.在Rt△ACD中，DC＝AC·tan∠DAC＝6×tan60°＝63.在Rt△CDE中，DE＝DC·sin∠DCE＝63×sin60°＝9( m)．答：树DE的高为9 m.
4．小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC的坡角为30°，AC的长为332 m，钓竿OA的倾斜角是60°，其长为3 m，若OA与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离．
解：延长OA交直线BC于点D.∵OA的倾斜角是60°，∴∠ODB＝60°，∠ACD＝30°，∠CAD＝180°－∠ODB－∠ACD＝90°.在Rt△ACD中，AD＝AC·tan∠ACD＝332×33＝32
(m)．∴CD＝2AD＝3 m．又∵∠O＝60°，∴△BOD为等边三角形，∴BD＝OD＝OA＋AD
＝3＋32＝4.5(m)．∴BC＝BD－CD＝4.5－3＝1.5(m)． 答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5 m.
生活中的解直角三角形问题
【例4】如图，伞不论张开还是收紧，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞架所成的角∠BAC，当伞收紧时，结点D与点M重合，且点A、E、D在同一条直线上，已知部分伞架的长度(单位： cm)如下：
伞架 DE DF AE AF AB AC
长度 36 36 36 36 86 86
(1)求AM的长； (2)当∠BAC＝104°时，求AD的长．(精确到1 cm，备用数据：sin52°≈0.788，cos52°≈0.615 7，tan52°≈1.279 9) 【学生解答】解：(1)由题意，得AM＝AE＋DE＝36＋36＝72(cm)．故AM的长为72
cm；(2)∵AP平分∠BAC，∠BAC＝104°，∴∠EAD＝12∠BAC＝52°.过点E作EG⊥AD于G，∵AE＝DE＝36，∴AG＝DG，AD＝2AG.在△AEG中，∵∠AGE＝90°，∴AG＝AE·cos∠EAG＝36·cos52°≈36×0.615 7＝22.165 2.∴AD＝2AG＝2×22.165 2≈44(cm)． 答：AD的长约为44 cm.
5．(2015重庆中考)某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中AB∥CD，大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N.观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角α为31°，渔船N的俯角β为45°.已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为30 m. (1)求两渔船M，N之间的距离；(结果精确到1 m) (2)已知坝高24 m，坝长100 m，背水坡AD的坡度i＝1∶0.25，为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度i＝1∶1.75，施工队施工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？(参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52)
解：(1)在直角△PEN中，EN＝PE＝30 m，ME＝PEtan31°≈50(m)，则MN＝EM－EN＝
20(m)．答：两渔船M、N之间的距离是20 m；(2)过点D作DN′⊥AH于点N′.由题意得：tan∠DAB＝4，tanH＝47.在直角△DAN′中，AN′＝DN′tan∠DAB＝244＝6(m)，在直角△DHN′
中，HN′＝DN′tanH＝2447＝42(m)．故AH＝HN′－AN′＝42－6＝36(m)．S△ADH＝12AH·DN′＝
432(m2)．故需要填筑的土石方是V＝SL＝432×100＝43 200(m3)．设原计划平均每天填筑x m3，则原计划43 200x天完成，则增加机械设备后，现在平均每天填筑2x m3.根据题意，得：
10x＋43 200x－10－20·2x＝43 200，解得：x＝864.经检验，x＝864是原方程的解． 答：施工队原计划平均每天填筑土石方864 m3.
中考数学分类(含答案)解直角三角形的应用
中考数学分类（含答案）解直角三角形应用一、选择题 1．（2010辽宁丹东市）如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树 的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m 二、填空题1．（2010山东济宁）如图，是一张宽m 的矩形台球桌ABCD ，一球从点M （点M 在长边CD 上）出发沿虚线MN 射向边BC ，然后反弹到边AB 上的P 点. 如果MC n =，CMN α∠=.那么P 点与B 点的距离为 .【答案】tan tan m n αα-⋅2．（2010重庆市潼南县）如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m ，则电梯楼的高BC 为 米（精确到0.1）.（参考数据：414.12≈732.13≈）【答案】82.0 3．（2010江西）如图，从点C 测得树的顶角为33º，BC ＝20米，则树高AB ＝ 米（用计算器计算，结果精确到0.1米）(第15题)13【答案】0.4．（2010 湖北孝感）如图，一艘船向正北航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B点，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是海里（不作近似计算）。
6【答案】35．（2010广东深圳）如图5，某渔船在海面上朝正方方向匀速航行，在A处观测到灯塔M 在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置。
【答案】156．（2010广东佛山）如图，AB是伸缩式的遮阳棚，CD是窗户，要想在夏至的政务时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB的长度是米。
苏科版九年级下册数学 下册 7.5解直角三角形练习
C BA 锐角三角函数章节------解直角三角形（含答案）知识梳理：1 三边之间的关系： a²+b²=c²2 两锐角之间的关系： ∠A+∠B=903. 边与角之间的关系：sinA=角A 的对边角A 的斜边 cosA=角A 的邻边角A 的斜边 tanA=角A 的对边角A 的邻边总结：由直角三角形中的已知元素求出其他未知元素的过程，叫做解直角三角形。
例题讲解：例1. 如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（ ）(A)．1 (B)．√ (C)．√22 (D)．2√例2、如果a 是锐角，且cosa=45，那么sina 的值是（ ）．（A ）925 （B ） 45 （C ）35 （D ）1625例3、等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）． （A ）513 （B ）1213 （C ）1013 （D ）512例4、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，下列式子中正确的是（ ）．（A ）sinA=sinB （B ）sinA=cosB（C ）tanA=tanB （D ）cotA=cotB例5、已知α为锐角，tan （90°－α）=√3，则α的度数为（ ）（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75°例6、如果∠a 是等边三角形的一个内角，那么cos a 的值等于（ ）．（A ）12 （B ）√22 （C ）√32 （D ）1例7、如图，在△ABC 中，若∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝√22，则BC ＝例8、如图，沿倾斜角为30︒的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC 为2m ， 那么相邻两棵树的斜坡距离AB 为 m 。
(精确到0.1m)例9、求值：sin 245°- cos60°+ tan60°·cos 230°例10、如图，某公路路基横断面为等腰梯形.按工程设计要求路面宽度为10米，坡角为60°， 路基高度为5.8米，求路基下底宽（精确到0.1米）.例11、如图，某一水库大坝的横断面是梯形ABCD ，坝顶宽CD ＝5米，斜坡AD ＝16米，坝高 6米，斜坡BC 的坡度i=1：3.求斜坡AD 的坡角∠A （精确到1分）和坝底宽AB ． （精确到0.1米）例12、某中学有一块三角形形状的花圃ABC,现可直接测到∠A=30°,AC=40米,BC=25米, 请你求出这块花圃可能的面积(结果保留根号)D CBA巩固练习：1．如图，在Rt△ABC 中，除∠C＝90°外，其余______个元素之间存在以下关系： (l)三边之间的关系：____________（也就是__________定理）；(2)两个锐角之间的关系：____________；(3)边角之间的关系：sin A ＝________，cos A ＝________，tan A ＝_________．2．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝30°，∠C ＝60°，AD ＝4，AB ＝3√3，则底BC 的长为_______．3．在△ABC 中，∠C ＝90°，a ＝3，c ＝2√3，则∠B ＝________．4．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝45°，c ＝6，则b ＝________．5．在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝√5，AC ＝√15，则∠A 的度数为 ( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°6．在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，则在下列边角之间的关系中，正确的是 ( )A ．b ＝c sin AB ．a ＝b tan AC ．a ＝b tan BD ．b ＝c cos B7．在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝13，则sin B 的值为 ( )A ．√1010B ．23C ．34D ．√10√10 8．如图，在△ABC 中，cosB=√22，sinC ＝35，AC ＝5，则△ABC 的面积是( )A ．212 B ．12 C ．14 D ．219．如图，为了测量河两岸A、B两点的距离，在与AB垂直的方向点C处测得AC＝a，∠ACB＝α，则AB的长为( ) A．a．sin α B．a．tan αC．a．cos αD．33 tan10.在Rt△ABC中，∠C＝90°．根据下列条件解直角三角形：(1)已知c＝20，∠A＝45°；(2)已知a＝36，∠B＝30°；(3)已知a＝19，c＝19√2；(4)a＝6√2，b＝66．11．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E点，EC＝1，sinB＝513．求四边形ABCD的周长．12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC的中点，∠ADC＝60°，AC＝√3，求△ABD的周长．13．如图，某居民楼I高20米，窗户朝南，该楼内一楼住户的窗台到地面的距离CM为2米，窗户CD高1.8米．现计划在I楼的正南方向距I楼30米处新建一居民楼Ⅱ．当正午时刻太阳光线与地面成30°角时，要使Ⅱ楼的影子不影响I楼所有住户的采光，新建Ⅱ楼最高只能盖多少米？14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＋c＝24，∠A－∠B＝30°，解此直角三角形．15．如图，在△ABC中∠C＝90°，∠A＝45°，D为AC上一点，∠BDC＝60°，AD＝2，求BC 的长．16．已知等腰三角形的底边长为20 cm，面积为100√3cm2，求此三角形各内角的度数．317．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，弧BC=弧BD，⊙O的切线BF与弦AD的，求线段AD、CD的长．延长线相交于点F，连接BC，若⊙O的半径为4，cos∠BCD＝3418.如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（取√3＝1.732，结果精确到1m）巩固练习答案：1．5 (1) a 2＋b 2 ＝c 2 勾股 (2) ∠A ＋∠B ＝90° (3)a c b c ab 2．103．30° 4．5．D 6．B 7．D 8．A 9．B10．(1)∠B ＝45°，a ＝10√b ＝10(2)∠A ＝60°，b ＝12，c ＝24 (3)∠A ＝45°，∠B ＝45°，b ＝19(4)∠A ＝30°，∠B ＝60°，c ＝11．可以求得边长为13，则四边形ABCD 的周长为52.12．△ABD的周长为3+13．新建居民楼Ⅱ最高只能盖（10√3＋2）米14. ∠A ＝60°，∠B ＝30°，a ＝，b ＝8，c ＝1615．BC＋116．三个内角分别为30°、30°、120°17．AD ＝6， CD ＝18. 设CE ＝x m ，则由题意可知BE ＝x m ，AE ＝(x ＋100)m ．在Rt △AEC 中，tan ∠CAE ＝AE CE ，即tan30°＝100+x x∴33100=+x x ，3x ＝3(x ＋100)解得x ＝50＋503＝136.6∴CD ＝CE ＋ED ＝(136.6＋1.5)＝138.1≈138(m)。
【2022】苏教版中考数学精编专题《相似三角形及应用》(含答案解析)
【苏教版】中考数学精编专题汇编专题1 相似三角形及应用学校：___________姓名：___________班级：___________1.【江苏省南通市九年级上学期期末】下列条件不能判定△ABC 与△DEF 相似的是（ ）A ．B ． ,C ． ∠A=∠D ，∠B=∠E D ．，∠B=∠E【考点定位】相似三角形的判定．2. 【江苏省徐州市中考模拟】直线l 1∥l 2∥l 3，且l 1与l 2的距离为1，l 2与l 3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A ，B ，C 恰好分别落在三条直线上，AC 与直线l 2交于点D ，则线段BD 的长度为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A ．【解析】分别过点A 、B 、D 作AF ⊥l 3，BE⊥l 3，DG⊥l 3，先根据全等三角形的判定定理得出△BCE≌△ACF，故可得出CF 及CE 的长，在Rt△ACF 中根据勾股定理求出AC 的长，再由相似三角形的判定得出△CDG∽△CAF，故可得出CD 的长，在Rt△BCD 中根据勾股定理即可求出BD 的长．分别过点A 、B 、D 作AF⊥l 3，BE⊥l 3，DG⊥l 3，AB BC AC DE EF DF ==AB BCDE EF=A D ∠=∠AB BCDE EF=254253203154∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AC=BC，∵∠EBC+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAF=90°，∴∠EBC=∠ACF，∠BCE=∠CAF， 在△BCE 与△ACF 中，，【考点定位】1.相似三角形的判定与性质；2.平行线之间的距离；3.全等三角形的判定与性质；4.等腰直角三角形．3.【江苏省淮安市中考】如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a ，b 与l 1、l 2、l 3分别相交于A 、B 、C 和点D 、E 、F ．若，DE =4，则EF 的长是（ ）A．B ．C ．6D ．10 【答案】C ．EBC ACF BC ACBCE CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩32=BC AB 38320【考点定位】平行线分线段成比例．4.【江苏省南京市中考】如图所示，△ABC 中，DE ∥BC ，若，则下列结论中正确的是（ ） A ．B ．C ．D ． 【答案】C ．【考点定位】相似三角形的判定与性质．5.【江苏省南通市九年级上学期期末】若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：3，则△ABC 与△A′B′C′的面积之比为 ．【答案】1：9．【解析】∵△ABC ∽△A′B′C′，相似比为1：3，∴△A BC 与△A′B′C′的面积之比为1：9．故答案为：1：9．【考点定位】相似三角形的性质．6.【江苏省扬州市中考】如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A 、B 、C 都在横格线上，若线段AB =4 cm ，则线段BC = c m【答案】1212AD DB =12AE EC =12DE BC =1=3ADE ABC △的周长△的周长1=3ADE ABC △的面积△的面积【考点定位】平行线分线段成比例7.【江苏省常州市中考】如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ：DB =1：2，DE =2，则BC 的长是 ．【答案】6．【考点定位】相似三角形的判定与性质．8.【江苏省无锡市中考】已知：如图，AD 、BE 分别是△ABC 的中线和角平分线，AD ⊥BE ，AD ＝BE ＝6，则AC的长等于 ．【答案】952BACDE故答案为：952【考点定位】全等三角形的判定及性质；相似三角形的判定及性质；勾股定理.9.【江苏省苏州中考一模】如图，在平面直角坐标系中，已知点A （0，6），B （8，0）．点P 从A 点出发，以每秒1个单位的速度沿AO 运动；同时，点Q 从O 出发，以每秒2个单位的速度沿OB 运动，当Q 点到达B 点时，P 、Q 两点同时停止运动． （1）求运动时间t 的取值范围；（2）t 为何值时，△POQ 的面积最大？最大值是多少？（3）t 为何值时，以点P 、0、Q 为顶点的三角形与Rt △AOB 相似？【答案】(1) 0≤t ≤4；(2) 当t=3时，△POQ 的面积最大，最大值是9．(3) 当t 为或时，以点P 、0、Q 为顶点的三角形与Rt △AOB 相似． 【解析】试题分析：（1）由点Q 从O 出发，以每秒2个单位的速度沿O B 运动，当Q 点到达B 点时，P 、Q 两点同时停止运动，可得：2t=8，解得：t=4，进而可得：0≤t ≤4；1251811（2）先根据三角形的面积公式，用含有t 的式子表示△POQ 的面积=-t 2+6t ，然后根据二次函数的最值公式解答即可；试题解析：（1）∵点A （0，6），B （8，0），∴OA=6，OB=8，∵点Q 从O 出发，以每秒2个单位的速度沿OB 运动，当Q 点到达B 点时，P 、Q 两点同时停止运动， ∴2t=8，解得：t=4， ∴0≤t ≤4；（2）根据题意得：经过t 秒后，AP=t ，OQ=2t ，∴OP=OA-AP=6-t ， ∵△POQ 的面积=•OP •OQ ，即△POQ 的面积=×（6-t ）×2t=-t 2+6t ． ∵a=-1＜0，∴△POQ 的面积有最大值，当t=-=3时，△POQ 的面积的最大值==9，即当t=3时，△POQ 的面积最大，最大值是9． （3）①若Rt △POQ ∽Rt △AOB 时， ∵Rt △POQ ∽R t △AOB ，∴，即，解得：t= ②若Rt △QOP ∽Rt △AOB 时， ∵Rt △QOP ∽Rt △AOB ，∴，即，解得：t=． 所以当t 为或时，以点P 、0、Q 为顶点的三角形与Rt △AOB 相似． 【考点定位】相似三角形与一次函数综合题．10.【江苏省南京市中考】如图，△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且．（1）求证：△ACD ∽△CBD ； （2）求∠ACB 的大小．12122ba244ac b a - PO OQ AO OB =6268t t -=125 PO OQ OB AO =6286t t -=18111251811AD CDCD BD=【答案】（1）证明见试题解析；（2）90°．【解析】【考点定位】相似三角形的判定与性质．专题2 圆的有关计算及圆的综合学校：___________姓名：___________班级：___________1.【江苏省南通市九年级上学期期末】如图，⊙O 中，OA ⊥BC ，∠A OB=52°，则∠ADC 的度数为（ ）A ．36°B ．26°C ． 38°D ．46°【答案】D ． 【解析】故选D.【考点定位】1.圆周角定理；2.垂径定理.2.【江苏省江阴市九年级下学期期中】一个圆锥底面直径为2，母线为4，则它的侧面积为（ ） A ． B．C ．D ．【答案】C.【解析】根据圆锥的侧面积公式S=πrl 可得这个圆锥的侧面积为π×1×4=4π.故选C. 【考点定位】圆锥的侧面积公式.3.【江苏省苏州市区中考】如图，⊙O 上A 、B 、C 三点，若∠B=50，∠A=20°，则∠AOB 等于（ ） A 、30° B 、50° C 、70° D 、60°【答案】D ．2π12π4π8π【解析】先根据圆周角定理得出∠ACB=∠AOB ，再由三角形内角和定理即可得出结论．∵∠AOB 与∠ACB是同弧所对的圆心角与圆周角，∠B=50，∠A=20°，∴∠ACB=∠AOB ．∴180°-∠AOB-∠A=180°-∠ACB-∠B ，即180°-∠AOB-20°=180°-∠AOB-50°，解得∠AOB=60°．故选D ．【考点定位】圆周角定理．4.【江苏省南通市九年级上学期期末】某个圆锥的侧面展开图形是一个半径为6cm ，圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的底面半径为（ ）cm ． A 、2B 、3C 、4D 、5【答案】A ．故选A.【考点定位】弧长的计算.5.【江苏省苏州市中考一模】如图，AB 是⊙O 的切线，切点为B ，AO 交⊙O 于点C ，且AC=OC ，若⊙O 的半径为5，则图中阴影部分的面积是 .． 【解析】直接利用切线的性质结合勾股定理得出AB 的长，再利用锐角三角函数关系得出∠BOC 的度数，结合阴影部分的面积为：S △OBA -S 扇形BOC 求出即可．连接OB ，∵AB 是⊙O 的切线，切点为B ，∴∠OBBA=90°，∵AC=OC ，⊙O 的半径为5，∴AC=5，AB=5，∴∠A=30°，则∠BOC=60°，∴图中阴影部分的面积为：S △OBA -S 扇形BOC =×BO ×AB-．故答案为：121212625π312605360π⨯536225π. 【考点定位】1.扇形面积的计算；2.切线的性质．6.【江苏省徐州中考】13.圆锥底面圆的半径为3m ，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为 m． 【答案】6．【考点定位】圆锥的计算．7.【江苏省中考】已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是 ． 【答案】27π．【考点定位】扇形面积的计算．8.【江苏省南京市中考二模】已知等腰△ABC 中，AB=AC=13cm ，BC=10cm ，则△ABC 的内切圆半径为 cm ． 【答案】. 【解析】如图，设△ABC 的内切圆半径为r ，由勾股定理得AD=12，再由切线长定理得AE=8，根据勾股定理求得r 即可．如图，∵AB=AC=13cm ，BC=10cm ，∴BD=5cm ，∴AD=12cm ，根据切线长定理，AE=AB-BE=AB-BD=13-5=8，设△ABC 的内切圆半径为r ，∴AO=12-r ，∴（12-r ）2-r 2=64，解得r=.故答案为：. 【考点定位】1.三角形的内切圆与内心；2.等腰三角形的性质．9.【江苏省苏州中考一模】如图所示，D 是以AB 为直径的半圆O 上的一点，C 是弧AD 的中点，点M 在AB 上，AD 与CM 交于点N ，CN=AN ．625π103103103（1）求证：CM⊥AB；（2）若BD=2，求半圆的直径．【答案】（1）证明见解析；（2）6．【解析】试题解析：（1）证明：如图1，连接BC，则∠ACB=90°，∵CN=AN，∴∠NCA=∠NAC，∴∠MCA=∠DAC，∵C是弧AD的中点，∴∠ABC=∠DAC，∴∠MCA=∠ABC，∵∠CAB=∠BAC，∴△ABC∽△ACM，∴∠AMC=90°，∴CM⊥AB；（2）解：如图2，连接CD，作CE⊥BD，交BD的延长线于E，在△CMB与△BCE中，，【考点定位】1.相似三角形的判定与性质；2,全等三角形的判定与性质；2.圆周角定理．10.【江苏省无锡市中考】已知：如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且BC ＝6cm ，AC ＝8cm ，∠ABD ＝45º．（1）求BD 的长；（2）求图中阴影部分的面积．【答案】(1)BD ＝52cm;(2)S 阴影＝25π－504cm 2． 【解析】MBC CBE CMB CEB BC BC ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩【考点定位】圆周角定理的推论；勾股定理；扇形的面积公式.专题3 图形的变换、视图与投影学校：___________姓名：___________班级：___________1. 【江苏省苏州市中考一模】下列腾讯QQ表情中，不是轴对称图形的是（）【答案】C．【解析】根据轴对称图形的概念求解．A、是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选C．【考点定位】轴对称图形．2.【江苏省徐州市中考模拟】下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）【答案】D．【考点定位】1.中心对称图形；2.轴对称图形．3. 【江苏省淮安市中考】如图所示物体的主视图是（）A． B． C． D．【答案】C．【考点定位】简单组合体的三视图．4.【江苏省常州市中考】下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】B．故选B.【考点定位】轴对称图形．5.【江苏省常州市中考】将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是【答案】8cm2 .故答案为：8cm 2.【考点定位】1．翻折变换（折叠问题）；2．最值问题．6.【江苏省江阴市中考】如图，Rt ΔABC 中，AB=9，BC=6，∠B=900，将ΔABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN的长为【答案】 4. 【解析】 故答案为：4.【考点定位】翻折变换；勾股定理. 7.【江苏省苏州市区中考】在R t △ABC 中，斜边AB=4，∠B=60°，将△ABC 绕点B 旋转60°，顶点C 运动的路线长是 （结果保留π）．【答案】.【解析】将△ABC 绕点B 旋转60°，顶点C 运动的路线长是就是以点B 为圆心，B C 为半径所旋转的弧，根据弧长公式即可求得．∵AB=4，∴BC=2，所以弧长=.故答案为：. 【考点定位】1.弧长的计算；2.旋转的性质．8.【江苏省扬州市2015年中考数学试题】如图，已知Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AC =6，BC =4，将△ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°得到△DEC ，若点F 是DE 的中点，连接AF ，则AF = 23π602180π⨯=23π23π【答案】5【考点定位】旋转的性质9.【江苏省徐州市中考】如图，在方格纸上建立平面直角坐标系，每个小正方形的边长为1．（1）画出△AOB关于x轴对称的△A1OB1．（2）画出将△AOB绕点O顺时针旋转90°的△A2OB2，并判断△A1OB1和△A2OB2在位置上有何关系？若成中心对称，请直接写出对称中心坐标；如成轴对称，请直接写出对称轴的函数关系式．（3）若将△AOB绕点O旋转360°，试求出线段AB扫过的面积．【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；△A1OB1和△A2OB2是轴对称关系，对称轴为：y=﹣x．（3）2.5π．【解析】试题解析：（1）如图所示：．（2）如图所示：△A1OB1和△A2OB2是轴对称关系，对称轴为：y=﹣x．（3）过点O作OE⊥AB，线段AB2﹣π（）2=5π﹣2.5π=2.5π． 【考点定位】1.作图-旋转变换；2.扇形面积的计算；3.作图-轴对称变换．10.【江苏省南京市中考二模试题】△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，矩形DEFG 中，EF=4，FG ＞12．（1）如图①，点A 是FG 的中点，FG ∥BC ，将矩形DEFG 向下平移，直到DE 与BC 重合为止．要研究矩形DEFG 与△ABC 重叠部分的面积，就要进行分类讨论，你认为如何进行分类，写出你的分类方法（无需求重叠部分的面积）．（2）如图②，点B 与F 重合，E 、B 、C 在同一直线上，将矩形DEFG 向右平移，直到点E 与C 重合为止．设矩形DEFG 与△ABC 重叠部分的面积为y ，平移的距离为x ．①求y 与x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②在给定的平面直角坐标系中画出y 与x 的大致图象，并在图象上标注出关键点坐标．2【考点定位】几何变换综合题．。
专题7.2 解直角三角形及其应用九大题型举一反三苏科版原卷版
专题7.2 解直角三角形及其应用【九大题型】【苏科版】【题型1 网格中解直角三角形】 (1)【题型2 坐标系中解直角三角形】 (2)【题型3 直接解直角三角形】 (4)【题型4 化斜为直解非直角三角形】 (5)【题型5 在四边形中解直角三角形】 (6)【题型6 解直角三角形的应用（坡度坡比问题）】 (7)【题型7 解直角三角形的应用（俯角仰角问题）】 (9)【题型8 解直角三角形的应用（方向角问题）】 (11)【题型9 解直角三角形的应用（实物建模问题）】 (13)【例1】（江苏省江阴市澄江片2022-2023学年九年级下学期期中考试数学试题）如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为120°，A、B、C都在格点上，则tan∠ABC的值是________________．【变式1-1】（2022年四川省广元市万达实验学校中考模拟数学试题）如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为_______．【变式1-2】（2022年福建省中考数学模拟试卷（六））如图，△ABC的三个顶点在边长为1的正方形网格的格点上，则sin∠BAC=____．【变式1-3】（2022年中考数学一轮复习讲练测（北京））如图所示的正方形网格中，A，B，C是网格线交点，∠CAB的度数为__．【题型2 坐标系中解直角三角形】x+3交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直【例2】（2022·江苏·九年级专题练习）如图，直线y=34x+3上，若N点在第二象限内，则tan∠AON的值为角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰落在直线y=34（ ）A ．17B ．16C ．15D ．18【变式2-1】（2022年黑龙江省佳木斯市前进区九年级中考三模数学试题）如图，在平面直角坐标系中，点A 1的坐标是(0,−1)，点A 1，A 2，A 3，A 4，A 5…所在直线与x 轴交于点B 0(−2,0)，点B 1，B 2，B 3，B 4…都在x 轴上，△A 1B 1B 2，△A 2B 2B 3，△A 3B 3B 4，…都是等腰直角三角形，则等腰直角三角形A 2022B 2022B 2023的腰长A 2022B 2022为_______________．【变式2-2】（2022·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为(10，4)，四边形ABEF 是菱形，且tan ∠ABE =43．若直线l 把矩形OABC 和菱形ABEF 组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l 的解析式为（ ）A ．y =3xB ．y =−34x +152C ．y =−2x +11D ．y =−2x +12【变式2-3】（2022·河南·模拟预测）在平面直角坐标系中，点A ，B 分别在y 轴和x 轴上，∠ABO =60°,CD为△AOB的中位线，过点D向x轴作垂线段，垂足为E，可得矩形CDEO．将矩形CDEO沿着x轴向右平移，设斜边AB所在直线与矩形所围直角三角形的面积为S．已知点B的坐标为(6,0)，当S=CDEO 顶点D的坐标为__________．【题型3 直接解直角三角形】【例3】（2022年广东省深圳市宝安区中考数学备考冲刺题--模拟卷（四））如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，∠BAC的角平分线EA与∠BCA的角平分线CD相交于点O，已知BD=4，OC则OE=_________．【变式3-1】（2022-2023中考1年模拟数学分项汇编）如图，在Rt△ABC中，AB=BC=4，以AB为边作等边三角形ABD，使点D与点C在AB同侧，连接CD，则CD=______．【变式3-2】（安徽省亳州市2022-2023学年九年级上学期教学质量调研三数学试题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB ＝90°，CE 是斜边AB 上的中线，过点E 作EF ⊥AB 交AC 于点F ．若BC ＝4，tan ∠CEF =34，则AC 的长为__________．【变式3-3】（2022·湖北武汉·一模）在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 为AB 上一点．（1）如图1，若CD ⊥AB ，求证：AC 2=AD ·AB ；（2）如图2，若AC =BC ，EF ⊥CD 交CD 于H ，交AC 于F ，且FH HE =49，求AD BD 的值；（3）如图3，若AC =BC ，点H 在CD 上，∠AHD =45°，CH =3DH ，则tan ∠ACH 的值为________．【题型4 化斜为直解非直角三角形】【例4】（福建省泉州市第一中学2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题）如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，AD 平分∠BAC ，点E 在BA 的延长线上，∠AEC =90°，ED =EC ，DE 交AC 于点K ，若EC =10，tan ∠AED =12，则AK =_______．【变式4-1】（2022·湖北武汉·中考真题）如图．在△ABC 中，∠ACB=60°，AC=1，D 是边AB 的中点，E 是边BC 上一点．若DE 平分△ABC 的周长，则DE 的长是_____．【变式4-2】（2022·江苏省洪泽县黄集中学一模））如图，在△ABC中，∠C=150°，AC=4，tanB=18．（1）求BC的长；（2）利用此图形求tan15°的值.【变式4-3】（2022·四川广元·模拟预测）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出的一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形有两角对应相等，我们把这条线段叫做这个三角形的“优美分割线”．（1）如图，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的“优美分割线”．（2）在△ABC中，∠A＝46°，CD为△ABC的“优美分割线”且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．（3）在△ABC中，∠A＝30°，AC＝6，CD为△ABC的“优美分割线”，且△ACD是等腰三角形，求线段BD 的长．【题型5 在四边形中解直角三角形】【例5】（2022年广东省深圳市南山区南山外国语学校中考二模质量检测数学试题（5月））如图，在菱形ABCD中，AB＝30，∠BCD=120°，点E在CD上，且DE＝10，BE交AC于点F，连接DF．现给出以下结论：①△ABF≌△ADF；②AF:CF=3:2；③S△DEF ④sin∠AFD=19正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④【变式5-1】（2022·广东·深圳市海滨中学模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，CE⊥AB，且AE=BE，连接DE，若AB=CD=CE=2，则tan∠DEC=_____．【变式5-2】（2022·上海市静安区教育学院附属学校九年级期中）如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使得点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F．G分别在边AB．AD上，则sin∠EFG=__________ ．【变式5-3】（河南省郑州市中原区中原区第一中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试题）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=8，点E是线段AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A′处(A′在矩形内部)，如果A′恰在矩形的某条对称轴上，则AE的长为__________．【题型6 解直角三角形的应用（坡度坡比问题）】【例6】（2022·重庆八中九年级期末）为了消防安全，学校在校园广场步行梯（折线ABCD）处新建了学生宿舍安全通道（折线AEF），其剖面示意图如图所示，广场步行梯AB，CD的坡角都是32°，且AB=6米，CD=4米，水平部分BC=2.4米；新建安全通道中水平部分AE=3.9米，步梯EF的坡度i≈0.62（即坡角的正切值）．新建安全通道顶端点F到广场步行梯底部所在水平面DG的距离DF的长约为（）（结果精确到0.1米，参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.63）A．8.8米B．9.0米C．9.4米D．9.6米【变式6-1】（2022·四川资阳·九年级期末）如图，在操场上的A处，测得旗杆顶端N点的仰角是30°，前进20米后到达旗台的底端B处，测得旗杆顶端N点的仰角是45°，继续沿着坡比为BC上升到C处，此时又测得旗杆顶端N点的仰角是60°，旗杆MN垂直于水平线AD，点A、B、D在同一直线上，CM//AD，求旗杆MN的高度．【变式6-2】（2022·浙江嘉兴·九年级专题练习）为了监控危险路段的车辆行驶情况，通常会设置电子眼进行区间测速．如图电子眼位于点P处，离地面的铅垂高度PQ为11米；离坡AB的最短距离是11.2米，坡AB的坡比为3：4；电子眼照射在A处时，电子眼的俯角为30°，电子眼照射在坡角点B处时，电子眼的俯角为70°．（A、B、P、Q在同一平面内）(1)求路段BQ的长；（sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75），结果保留整数）(2)求路段AB(3)如图的这辆车看成矩形KLNM，车高2米，当PA过M点时开始测速，PB过M点时结束测速，若在这个测速路段车辆所用的时间是1.5秒．该路段限速5米/秒，计算说明该车是否超速？【变式6-3】（2022·上海市罗山中学九年级期中）图1是某区规划建设的过街天桥的侧面示意图，等腰梯形ABCD的上底BC表示主跨桥，两腰AB，CD表示桥两侧的斜梯，A，D两点在地面上，已知AD＝40m，设计桥高为4m，设计斜梯的坡度为1：2.4．点A左侧25m点P处有一棵古树，有关部门划定了以P为圆心，半径为3m的圆形保护区．(1)求主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和；(2)为了保证桥下大货车的安全通行，桥高要增加到5m，同时为了方便自行车及电动车上桥，新斜梯的坡度要减小到1：4，新方案主跨桥的水平位置和长度保持不变．另外，新方案要修建一个缓坡MN作为轮椅坡道，坡道终点N在左侧的新斜梯上，并在点N处安装无障碍电梯，坡道起点M在AP上，且不能影响到古树的圆形保护区．已知点N距离地面的高度为0.9m，请利用表中的数据，通过计算判断轮椅坡道的设计是否可行．表：轮椅坡道的最大高度和水平长度坡度1：201：161：121：101：8最大高度（m） 1.200.900.750.600.30水平长度（m）24.0014.409.00 6.00 2.40【题型7 解直角三角形的应用（俯角仰角问题）】【例7】（2022·重庆巴蜀中学九年级）如图，巴蜀中学旁边高36米的高楼AB正对着斜坡CD，点E在斜坡处．已知斜坡的坡角∠DCG为30°，AB⊥BC，若点A、B、C、D、E在同一平面内，从点E处测得楼顶A 的仰角α为37°，楼底B的俯角β为24°，现计划在斜坡中点E处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线BC的平台EF和一条新的斜坡DF，使新斜坡DF1．某施工队承接这项任务，为尽快完成任务，增加了人手，实际工作效率提高到原计划的1.5倍，结果比原计划提前2天完成任务，施工队原计划平均每天修建_________米？（结果保留1位小数）（参考数据：cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，tan24°≈0.45，cos24°≈0.91）【变式7-1】（2022·四川广元·中考真题）如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为75°，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°．已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为45米，小区楼房BC的高度为（1）求此时无人机的高度；（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据：tan75°=2+tan15°=【变式7-2】（2022·山东聊城·中考真题）我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称为“宋塔唐槐”（如图①）．数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图②所示，当无人机从位于塔基B点与古槐底D点之间的地面H点，竖直起飞到正上方45米E点处时，测得塔AB的顶端A和古槐CD的顶端C的俯角分别为26.6°和76°（点B，H，D三点在同一直线上）．已知塔高为39米，塔基B与树底D的水平距离为20米，求古槐的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）【变式7-3】（2022·四川自贡·九年级专题练习）某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中AB∥CD，大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N．观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角α为31°，渔船N的俯角β为45°．已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为30米．(1)求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；(2)已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i=1:0.25，为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度i=1:1.75，完成这项工程需填筑土石方多少立方米？（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52）【题型8 解直角三角形的应用（方向角问题）】【例8】（2022·河南·漯河市郾城区第二初级实验中学一模）在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到来自故障船C的求救信号，已知A、B相距100+1)海里，C在A的北偏东60°方向上，C在B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得C正好在观测点D的南偏东75°方向上．(1)求AC和AD（运算结果若有根号，保留根号）；(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触1.41≈1.73）【变式8-1】（2022·黑龙江·大庆市庆新中学九年级阶段练习）如图，一艘军舰在A处测得小岛P位于南偏东60°方向，向正东航行40海里后到达B处，此时测得小岛P位于南偏西75°方向，求小岛P离观测点B 的距离．【变式8-2】（2022·内蒙古·乌海市第二中学九年级期末）如图，线段EF与MN表示某一段河的两岸，EF 平行MN．综合实践课上，同学们需要在河岸MN上测量这段河的宽度（EF与MN之间的距离），已知河对岸EF上有建筑物C、D，且CD＝30米，同学们首先在河岸MN上选取点A处，用测角仪测得C建筑物位于A北偏东45°方向，再沿河岸走10米到达B处，测得D建筑物位于B北偏东55°方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度，（用非特殊角的三角函数或根式表示即可）【变式8-3】（2022·山东泰安·模拟预测）因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览，当船在A处时，船上游客发现岸上P1处的临皋亭和P2处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶600m到达B处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向；当游船继续向正东方向行驶400m 到达C 处时，游客发现临皋亭在北偏西60°方向．则临皋亭P 1处与遗爱亭P 2处之间的距离为 _____．（计算结果保留根号）【题型9 解直角三角形的应用（实物建模问题）】【例9】（2022·浙江温州·八年级期中）图1是一张可调节靠椅，调节示意图如图2，已知两支脚AB ＝AC ＝10分米，BC ＝12分米，O 为AC 上固定连接点，靠背OD ＝10分米．档位为Ⅰ档时，OD ∥AB ．档位为Ⅱ档时，OD ⊥AC ．当靠椅由Ⅰ档调节为Ⅱ档时，EF ＝________分米．【变式9-1】（2022·浙江·金华市南苑中学九年级期中）图1是一种儿童可折叠滑板车，该滑板车完全展开后示意图如图2所示，由车架AB−CE−EF 和两个大小相同的车轮组成，已知CD =25cm ，DE =17cm ，cos ∠ACD =45，当A ，E ，F 在同一水平高度上时，∠CEF =135°，则AC =______cm ；为方便存放，将车架前部分绕着点D 旋转至AB //EF ，如图3所示，则d 1−d 2为______cm ．【变式9-2】（2022·江西景德镇·九年级期中）如图1是一个水龙头的示意图，类似于字母“F ”的形状，将其抽象成如图2所示的截面图形，线段BE 是一根固定的轴，线段AB ，CD 均垂直于线段BE ，出水口在点D 处，AB 为自来水开关，AB ⊥BC 即为无水状态，将AB 绕点B 逆时针向上转动即是开水．若已知BC =10cm ，AB =20cm ，CD =30cm ．（参考数据，精确到0．1，sin34°=0.56，cos34°=0.83≈1.414=1.732，25.0792=629）(1)求出水龙头不开时，点A与出水口的距离；(2)当BA向上旋转34°时，即是最大出水量，求出最大出水量时，点A与出水口的距离．【变式9-3】（2022·江苏宿迁·一模）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，如图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB=120mm，支撑板长CD=80mm，底座长DE=90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB=40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．(1)若∠DCB=80°，∠CDE=60°，求点A到直线DE的距离；(2)为了观看舒适，在（1）的条件下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B 落在直线DE上．画出图形，并求CD旋转的角度；（参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，．计算结果均精确到0.1）。
初中数学三角形专题训练50题(含答案)
初中数学三角形专题训练50题含答案(单选、填空、解答题)一、单选题1．如图，已知⊙O的半径为R，C、D是直径AB的同侧圆周上的两点，AC的度数为100°，BC=2BD，动点P在线段AB上，则PC＋PD的最小值为（）C D RA．R B2．如图，在⊙ABCD中，连接AC，⊙ABC＝⊙CAD＝45°，AB＝2，则BC的长是()AB．2C．D．43．如图点P是⊙BAC内一点，PE⊙AB于点E，PF⊙AC于点F，PE＝PF，则直接得到⊙PEA⊙⊙PFA的理由是（）A．HL B．ASA C．AAS D．SAS【答案】A【详解】解：⊙PE⊙AB于点E，PF⊙AC于点F，⊙⊙PEA＝⊙PFA=90°，⊙PE=PF，AP=AP，⊙⊙PEA⊙⊙PFA（HL）；4．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A 在y 轴上，已知B(﹣3，0)、C(2，0)，则点D 的坐标为（ ）A ．(4，5)B ．(5，4)C ．(5，3)D ．(4，3)5．适合下列条件的ABC ∆中，是直角三角形的共有（ ）⊙6a =，45A ∠=︒；⊙32A ∠=，58B ∠=︒；⊙2a =，2b =，4c =；⊙7a =，24b =，25c =.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】根据构成直角三角形三边关系的条件：三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，最长边所对的角为直角，判定即可.【详解】⊙6a =，45A ∠=︒，不能判定ABC ∆中是直角三角形；⊙3258A B ︒︒==∠，∠，A B ∠∠=︒+90，是直角三角形；⊙2222222a b c +=+≠，不能判定ABC ∆中是直角三角形；⊙()()22222272425a b c +=+==，是直角三角形；【点睛】此题主要考查构成直角三角形条件的判定，熟练掌握，即可解题.=，点N在CD上，且6．如图，已知四边形ABCD是矩形，点M在BC上，BM CD=与BN交于点P，则:DN CM DM,DM BN=（）A2B．C D．27．如图，已知正方形的面积为25，且AB比AC大1，BC的长为()A．3B．4C．5D．6【答案】A8．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，若ABC A B C ''△≌△，且点A '恰好落在AB 上，则ACA ∠'的度数为（ ）A ．30°B ．45°C ．50°D ．60° 【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质可得A C AC '=，从而得到60AA CA ，即可求解．【详解】解：⊙90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，⊙⊙A =60°，⊙ABC A B C ''△≌△，⊙A C AC '=，⊙60AA C A ，⊙60ACA '∠=︒．故选：D【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．9．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，1=30∠︒，2=50∠︒，3=∠（ ）度A ．10B ．20C ．30D ．50 【答案】B 【分析】根据两直线平行，同位角相等求出⊙2的同位角，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解．【详解】解：如图：⊙⊙2=50°，直尺的两边互相平行，⊙⊙4=⊙2=50°，⊙⊙1=30°，⊙⊙3=⊙4-⊙1=50°-30°=20°．故选：B ．【点睛】本题考查了两直线平行，同位角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．10．在ABC 中，若90A C ∠+∠=︒，则（ ）．A ．BC AB AC =+B ．222AC AB BC =+ C ．222AB AC BC =+D ．222BC AB AC =+【答案】B【分析】由⊙A +⊙C =90°可得⊙B =90°，于是可确定AC 是Rt⊙ABC 的斜边，再根据勾股定理即得答案．【详解】解：⊙⊙A +⊙C =90°，⊙⊙B =90°，⊙AC 是Rt⊙ABC 的斜边，222【点睛】本题考查了勾股定理和三角形的内角和定理，由题意确定AC 是Rt ⊙ABC 的斜边是解题的关键．11．如图，直线AB CD ∥，AE CE ⊥于点E ，若140EAB ∠=︒，则ECD ∠的度数是（ ）A ．120°B ．130°C ．150°D ．160° 【答案】B 【分析】延长AE ，与DC 的延长线交于点F ，根据平行线的性质，求出⊙AFC 的度数，再利用外角的性质求出⊙ECF ，从而求出⊙EC D ．【详解】解：延长AE ，与DC 的延长线交于点F ，⊙AB ⊙CD ，⊙⊙A +⊙AFC =180°，⊙⊙EAB =140°，⊙⊙AFC =40°，⊙AE ⊙CE ，⊙⊙AEC =90°，而⊙AEC =⊙AFC +⊙ECF ，⊙⊙ECF =⊙AEC -⊙F =50°，⊙⊙ECD =180°-50°=130°，故选：B ．【点睛】本题考查平行线的性质和外角的性质，正确作出辅助线和正确利用平行线的性质是解题的关键．12．如图，在ABC 中，AB AC =，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E 、F ，下面给出的四个结论，其中正确的有（ ）．距离相等的点到DE 、DF 的距离也相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D 【分析】由等腰三角形“三线合一”可知AD⊙BC ，BD=DC ，得到AD 上的点到B 、C 两点的距离相等，根据角平分线性质定理可知DE=DF ，根据HL 证直角三角形全等，得到AE=AF ，从而得到AD 平分EDF ∠，即可得出答案．【详解】解：⊙AB AC =，AD 是BAC ∠的平分线，⊙AD⊙BC ，BD=DC ，⊙AD 上的点到B 、C 两点的距离相等，⊙⊙正确；⊙AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，⊙DE=DF ，⊙EDA=⊙FDA ，⊙AD 平分⊙EDF ，⊙⊙正确；在直角△AED 和直角△AFD 中，AD AD DE DF=⎧⎨=⎩ ⊙⊙AED⊙⊙AFD ，⊙AE=AF ，⊙AD 平分⊙BAC ，又⊙AD 是BAC ∠的平分线，⊙到AE 、AF 距离相等的点到DE 、DF 的距离也相等，⊙⊙、⊙正确，故选D ．【点睛】本题考查了全等三角形的证明和性质，角平分线性质，等腰三角形的性质的应用，对条件的合理利用是解题的关键．13．如图，BO 、CO 分别平分⊙ABC 、⊙ACB ，OD ⊙BC 于点D ，OD ＝2，⊙ABC 的周长为28，则⊙ABC 的面积为（ ）A ．28B ．14C ．21D ．7在BOD 和△OEB OBE BO ∠=∠∠==BOD △≌△OE =OD =21122AB OE BC OD AC OF ++ )AB BC AC OD ++ 282⨯故选：A．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积等知识，关键是根据条件构造适合角平分线性质定理条件的辅助线．14．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分CD，垂足为点E，则BAD∠=（）A．100°B．120°C．135°D．150°【答案】B【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出AC=AD，再利用菱形的性质以及等边三角形的判定与性质得出答案．【详解】解：⊙AE垂直且平分边CD，⊙AC=AD，⊙四边形ABCD是菱形，⊙AD=DC，⊙ACB=⊙ACD，⊙⊙ACD是等边三角形，⊙⊙ACD=60︒，⊙⊙BCD=120︒．⊙⊙BAD=⊙BCD=120︒，故选：B．【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，得出⊙ACD是等边三角形是解题关键．15．如图中字母A所代表的正方形的面积为（）【详解】试题分析：根据勾股定理的几何意义解答．解：根据勾股定理以及正方形的面积公式知：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，所以A=289﹣225=64．故选D．16．三角形的三边长为a，b，c，且满足22-=-，则这个三角形是（）()2a b c abA．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形【答案】C【分析】先利用完全平方公式化简已知等式，再根据勾股定理的逆定理即可得．【详解】由22a b c ab-=-得：222()2-+=-，a ab bc ab22即222a b c，+=,,a b c为三角形的三边长，∴这个三角形是直角三角形，故选：C．【点睛】本题考查了完全平方公式、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．17．如图，⊙ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D，E，若⊙BAC+⊙DAE=150°，则⊙BAC的度数是（）A．105B．110C．115D．120【答案】B【分析】根据垂直平分线性质，⊙B=⊙DAB，⊙C=⊙EAC．则有⊙B+⊙C+2⊙DAE=150°，即180°-⊙BAC+2⊙DAE=150°，再与⊙BAC+⊙DAE=150°联立解方程组即可．【详解】⊙⊙ABC的两边AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E，⊙DA=DB，EA=EC，⊙⊙B=⊙DAB，⊙C=⊙EAC．⊙⊙BAC+⊙DAE=150°，⊙⊙⊙B+⊙C+2⊙DAE=150°．⊙⊙B+⊙C+⊙BAC=180°，⊙180°-⊙BAC+2⊙DAE=150°，即⊙BAC-2⊙DAE=30°．⊙由⊙⊙组成的方程组150230BAC DAEBAC DAE∠+∠=︒⎧⎨∠-∠=︒⎩，解得⊙BAC=110°．故选B．【点睛】此题考查了线段的垂直平分线、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，解题的关键是得到⊙BAC和⊙DAE的数量关系.18．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，4）、P（﹣1，0），B为y轴上的动点，以AB为边构造⊙ABC，使点C在x轴上，⊙BAC＝90°，M为BC的中点，则PM 的最小值为（）A B C D【答案】C【分析】作AH⊙y轴，CE⊙AH，证明⊙AHB⊙⊙CEA，根据相似三角形的性质得到AE ＝2BH，求出点M的坐标，根据两点间的距离公式用x表示出PM，根据二次函数的性质解答即可．【详解】解：如图，过点A作AH⊙y轴于H，过点C作CE⊙AH于E，则四边形CEHO是矩形，⊙OH＝CE＝4，⊙⊙BAC＝⊙AHB＝⊙AEC＝90°，19．如图，在ABC 和ADE 中，36CAB DAE ∠=∠=︒，AB AC =，AD AE =．连接CD ，连接BE 并延长交AC ，AD 于点F ，G ．若BE 恰好平分ABC ∠，则下列结论错误的是（ ）A ．ADC AEB ∠=∠B ．//CD ABC ．DE GE=D ．2BF CF AC =⋅ 【答案】C 【分析】根据SAS 即可证明DAC EAB △≌△，再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的性质，结合相似三角形的判定和性质，即可一一判断【详解】,,36AB AC AD AE CAB DAE ==∠=∠=︒DAC EAB ∴∠=∠AB AC=∴∠=ABCBE平分∴∠=ABEDAC△≌△∴∠ACD∴∠=ACDAD AE=∴∠=ADE∠=DGE∠即ADE∴≠DE GE∠=ABCCFB∴∠=∴=BC BF∴△∽△ABCBF CF∴=AB BC=AB ACBF CF∴=AC BF2=BF CF故答案选：【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角20．如图，在Rt△ABC中，⊙ACB＝90°，点D是AB边的中点，过D作DE⊙BC于点E，点P是边BC上的一个动点，AP与CD相交于点Q．当AP＋PD的值最小时，AQ 与PQ之间的数量关系是（）A．AQ＝52PQ B．AQ＝3PQ C．AQ＝83PQ D．AQ＝4PQ⊙MN =PE ，ND =PC ，在△DNQ 和△CPQ 中，NDQ QCP NQD PQC DN PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊙⊙DNQ ⊙⊙CPQ ，⊙NQ =PQ ，⊙AN =NP ，⊙AQ =3PQ故选：B ．【点睛】本题考查轴对称最短问题、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是利用对称找到点P 位置，熟练掌握平行线的性质，属于中考常考题型．解两条线段之和最小（短）类问题，一般是运用轴对称变换将处于直线同侧的点转化为直线异侧的点，从而把两条线段的位置关系转换，再根据两点之间线段最短来确定方案，使两条线段之和转化为一条线段．二、填空题21．在Rt⊙ABC 中，⊙C ＝90°，若a =6，b =8，则c =________．【答案】10【详解】根据勾股定理2223664100c a b =+=+=c 为三角形边长，故c=10.22．在半径为5的圆中，弧所对的圆心角为90°，则弧所对的弦长是________．【点睛】本题考查利用半径和圆心角求弦长，难度不大，掌握勾股定理是解题的关键．23．在ABC 中，AB AC =，CD 是AB 边上的高，40ACD ∠=︒，则B ∠的度数为______．【答案】65︒或25︒【分析】分两种情况：当D 在线段AB 上时，根据题意，得出90ADC ∠=︒，再根据三角形的内角和定理，得出50A ∠=︒，再根据等边对等角，得出B ACB ∠=∠，再根据三角形的内角和定理，计算即可得出B ∠的度数；当D 在线段AB 的延长线上时，根据题意，得出90ADC ∠=︒，再根据三角形的内角和定理，得出50A ∠=︒，再根据等边对等角，得出B ACB ∠=∠，再根据三角形的外角的性质，计算即可得出B ∠的度数，综合即可得出答案．【详解】解：如图，当D 在线段AB 上时，⊙CD 是AB 边上的高，⊙90ADC ∠=︒，又⊙40ACD ∠=︒，⊙180904050A ∠=︒-︒-︒=︒，⊙AB AC =，⊙B ACB ∠=∠，⊙218018050130B A ∠=︒-∠=︒-︒=︒，⊙65B ∠=︒；如图，当D 在线段BA 的延长线上时，⊙CD 是AB 边上的高，⊙90ADC ∠=︒，又⊙40ACD ∠=︒，⊙180904050DAC ∠=︒-︒-︒=︒，⊙AB AC =，⊙B ACB ∠=∠，又⊙2DAC B ACB B ∠=∠+∠=∠，⊙250B ∠=︒，⊙25B ∠=︒，综上所述，B ∠的度数为65︒或25︒．故答案为：65︒或25︒．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、等边对等角、三角形的外角的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，分类讨论．24．如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为4，则勒洛三角形的周长为：_________．25．边长为2的等边三角形的高与它的边长的比值为___________．【详解】解：等边三角形的边长是26．在Rt⊙ABC中，⊙C＝90°，⊙A＝30°，BC＝2，则AC＝_______ ．27．如图，在四边形ABCD中，90∠=︒，2A==，BC=CD=AD AB∠的度数为________．ABC28．如图，在O 中，弦2BC =，点A 是圆上一点，且30BAC ∠=︒，则O 的半径是________．【答案】2【分析】连接OB ，OC ，先由圆周角定理求出BOC ∠的度数，再由OB OC =判断出BOC 是等边三角形，故可得出结论．【详解】解：连接OB ，OC ，⊙30BAC ∠=︒，⊙260BOC BAC ∠=∠=︒，⊙OB OC =，⊙BOC 是等边三角形，⊙2OB BC ==．故答案为：2【点睛】本题考查了圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键．29．如果等腰三角形的两边长分别为5cm 和10cm ，那么它的周长等于___________cm ．【答案】25【分析】分5cm为腰和10cm为腰，两种情况求解．【详解】解：因为等腰三角形的两边长分别为5cm和10cm，当腰长为5cm时，三边长分别为5cm,5cm,10cm，+，因为55=10所以三角形不存在；当腰长为10cm时，三边长分别为5cm,10cm,10cm，+＞，因为51010所以三角形存在；++=，所以三角形的周长为5101025(cm)故答案为：25．【点睛】本题考查了等腰三角形周长的分类计算，正确进行分类和判定三角形的存在性是解题的关键．30．等腰三角形的一边长为3，周长为15，则该三角形的腰长是______．31．如图，⊙O的半径为5cm，△ABC内接于⊙O，BC＝5cm，则⊙A的度数为_____°．【答案】3032．如图，AD 、AE 分别是⊙ABC 的角平分线和高，⊙B =60°，⊙C =70°，则⊙EAD =______．【答案】5︒【分析】根据角平分线的性质及三角形内角和定理进行求解．【详解】解：由题意可知，⊙B =60°，⊙C =70°，所以18013050A ∠=-=°，所以25BAD ∠=°，在三角形BAE 中，906030BAE ∠=-=°，所以⊙EAD=5°故答案为：5°．【点睛】本题属于对角平分线和角度基本知识，解题的关键是进行变换求解．33．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AB、BC 上，且⊙EOF＝90°，则S四边形OEBF⊙S正方形ABCD＝___.34．图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC，BD （点A与点B重合），点O是夹子转轴位置，O E⊙AC于点E，OF⊙BD于点F，OE=OF=1cm，AC=BD=6cm，CE=DF，CE:AE=2:3.按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动．(1)当E，F两点的距离最大值时，以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长是_____cm．(2)当夹子的开口最大（点C与点D重合）时，A，B两点的距离为_____cm．35．如图，直线L 1、L 2、L 3分别过正方形ABCD 的三个顶点A 、D 、C ，且相互平行，若L 1、L 2的距离为1，L 2、L 3的距离为2，则正方形的边长为__________．AED DFC ≌，从而可得度．【详解】如图，过D ⊙123////L L L⊙13,EF L EF L ⊥⊥⊙AED DFC ≌1,DE CF AE DF ===22AD AE ED =+=故答案为：5．【点睛】本题考查了正方形与平行线的问题，掌握平行线的性质、全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键．36．正方形ABCD 中．E 是AD 边中点．连接CE ．作⊙BCE 的平分线交AB 于点F ．则以下结论：⊙⊙ECD =30°．⊙⊙BCF 的外接圆经过点E ；⊙四边形AFCD 的面积是⊙BCF⊙BF AB =．其中正确的结论有 _____．（请填写所有正确结论的序号），易证BCF GCF ≅37．菱形ABCD中，AD＝4，⊙DAB＝60°，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD上的点，且DH＝FB，DE＝BG，当四边形EFGH为正方形时，DH＝____．38．已知菱形ABCD中，AC=6cm，BD=4cm．若以BD为边作正方形BDEF，则AF=__cm．⊙如图1,正方形BDEF在点A一侧时,延长CA交EF于点M.39．如图，正方形ABCD中，2AB=，AC，BD交于点O．若E，F分别是边AB，BC上的动点，且OE OF∆周长的最小值是__________．⊥，则OEF40．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ＝3cm ，BD ，AC ⊙CD ，⊙O 是△ABD 的外接圆，则AB 的弦心距等于_____cm ．【答案】116##516【分析】设AC、BD的交点为G，作圆的直径AN，连接BN，过点O作OF⊙AB于点三、解答题41．如图，AD⊙BC，⊙BAC＝70°，DE⊙AC于点E，⊙D＝20°.(1)求⊙B的度数，并判断⊙ABC的形状；(2)若延长线段DE恰好过点B，试说明DB是⊙ABC的平分线．【答案】（1）⊙ABC是等腰三角形，⊙B＝40°；（2）见解析.【详解】分析：(1)、根据Rt⊙ADE的内角和得出⊙DAC=70°，根据平行线的性质得出⊙C=70°，从而根据有两个角相等的三角形是等腰三角形得出答案；(2)、根据等腰三角形底边上的三线合一定理得出DB为顶角的角平分线．详解：解：(1)⊙DE⊙AC于点E，⊙D＝20°，⊙⊙CAD＝70°，⊙AD⊙BC，⊙⊙C＝⊙CAD＝70°，又⊙⊙BAC＝70°，⊙⊙BAC＝⊙C，⊙AB＝BC，⊙⊙ABC是等腰三角形，⊙⊙B＝180°－⊙BAC－⊙C＝180°－70°－70°＝40°.(2)⊙延长线段DE恰好过点B，DE⊙AC，⊙BD⊙AC，⊙⊙ABC是等腰三角形，⊙DB是⊙ABC的平分线．点睛：本题主要考查的是等腰三角形的判定及性质，属于基础题型．明确等腰三角形底边上的三线合一定理是解决这个问题的关键．42．如图，小雪坐着轮船由点A出发沿正东方向AN航行，在点A处望湖中小岛M，测得小岛M在点A的北偏东60°，航行100米到达点B时，此时测得小岛M在点B的北偏东30°，求小岛M到航线AN的距离．Rt BDM 中，12BD MB ==2MD MB =答：小岛M 到航线【点睛】本题考查了方向角问题，勾股定理，等腰三角形的判定，含43．如图，BD 是⊙ABC 的高，AE 是⊙ABC 的角平分线，BD 交AE 于F ，若⊙BAC ＝44°，⊙C ＝80°，求⊙BEF 和⊙AFD 的度数．【答案】⊙BEF＝102°；⊙AFD＝68°【分析】根据BD是⊙ABC的高，AE是⊙ABC的角平分线，求得⊙ADB＝90°，⊙BAE＝⊙EAD＝22°，根据三角形内角和定理即可求得⊙BEF和⊙AFD的度数．【详解】解：⊙BD是⊙ABC的高，AE是⊙ABC的角平分线，⊙BAC＝44°，⊙C＝80°，⊙⊙ADB＝90°，⊙BAE＝⊙EAD＝22°，⊙⊙CBA＝180°﹣44°﹣80°＝56°，⊙⊙BEF＝180°﹣22°﹣56°＝102°，⊙AFD＝180°﹣90°﹣22°＝68°．【点睛】本题考查了三角形的高，角平分线，三角形内角和定理的应用，掌握三角形的高，角平分线的意义是解题的关键．44．（1）如图，90∠=∠=︒，O是AC的中点，求证：OB ODABC ADC=．（2）解方程：2430-+=．x x⊙()()130x x --=，即10,30x x -=-=，解得：121,3x x ==．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，解一元二次方程，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半，一元二次方程的解法是解题的关键．45．如图，点E 在边长为10的正方形ABCD 内，6AE =，8BE =，请求出阴影部分的面积，AEB S =四边形ABCD =10ABCD ⨯AEB S =【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟知勾股定理的逆定理是解题的关键．46．图（a ）、图（b ）是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．请在图（a ）、图（b ）中，分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合．具体要求如下：（1）画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形；（2）画一个面积为16的等腰直角三角形．47．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB=DC，在四个论断“EA=ED，EF⊙AD，AB=DC，FB=FC”中选择二个作为已知条件，另一个作为结论，构成真命题（补充已知和求证），并进行证明．已知、如图，点A，B，C，D在同一条直线上，．求证、．证明、．【答案】见解析【分析】已知：EA=ED ，EF⊙AD ，AB=DC ，求证FB=FC ．想办法证明EF 是线段BC 的垂直平分线即可．（答案不唯一）【详解】已知：如图，EA=ED ，EF⊙AD ，AB=DC ，求证FB=FC ．理由：延长EF 交BC 于H ．⊙EA=ED ，EF⊙AD ，⊙AH=HD ，⊙AB=DC ，⊙BH=CH ，⊙FH⊙BC ，⊙FB=FC ．故答案为EA=ED ，EF⊙AD ，AB=DC ；FB=FC ；延长EF 交BC 于H ．⊙EA=ED ，EF⊙AD ，⊙AH=HD ，⊙AB=DC ，⊙BH=CH ，⊙FH⊙BC ，⊙FB=FC ．【点睛】此题考查等腰三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于开放性题目．48．如图，已知60AOB ∠︒=，OC 平分AOB ∠，CD ⊥OA 于点D ．(1)实践与操作：作OC的垂直平分线分别交OA于点E；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）(2)连接CE，若DE的长为1，求OC的长．（1）解：如图所示，49．正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，A（-2，3），B（-3，1），C（-1，2），现将△ABC平移先向右平移3个单位长度，再向下平移2单位长度．(1)请画出平移后的A B C '''（点B C ''、分别是B 、C 的对应点）；(2)写出点A B C '''、、三点的坐标；(3)求A B C '''的面积． 【答案】(1)画图见解析 (2)A '（1，1），B '（0，-1），C '（2，0）(3)1.5【分析】（1）根据所给的平移方式作图即可；（2）根据平移方式即可求出A 、B 、C 对应点A B C '''、、三点的坐标；（3）用A B C '''所在的正方形面积减去周围三个小三角形面积即可得到答案． （1）解：如图所示，A B C '''即为所求；（2）解：⊙A B C '''是△ABC 向右平移3个单位长度，向下平移2个单位长度得到的，A （-2，3），B （-3，1），C （-1，2），⊙A '（1，1），B '（0，-1），C '（2，0）；（3）50．如图1，Rt⊙ABC中，⊙ABC＝90°，P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作⊙O交BC于点D，与AC的另一个交点为E（点E在点P右侧），连结DE、BE，已知AB＝3，BC＝6．（1）求线段BE的长；（2）如图2，若BP平分⊙ABC，求⊙BDE的正切值；（3）是否存在点P，使得⊙BDE是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的CP的长；若不存在，请说明理由．。
中考数学复习方案 第25课时 解直角三角形及其应用课件 苏科版
第25课时 │ 归类示例
这时观测到城市 P 位于海检船的南偏西 36.9°方向，求 此时海检船所在 B 处与城市 P 的距离？
参考数据：sin36.9°≈35，tan36.9°≈34，sin67.5° ≈
1123，tan67.5°≈152
图 25－4
·江苏科技版
第25课时 │ 归类示例
图 25－3
·江苏科技版
第25课时 │ 归类示例
[解析] 据题目中的俯角可以求出∠BAC＝60°，∠ABC＝30°， ∠BAD＝30°，进而得到∠ACB＝90°，利用 AB＝6 千米求得 BC 的 长，然后求得 C、D 两点间的水平距离，进而求得 C、D 之间的距离．
解：在
Rt△ABD
中，∵∠BAD＝30°，∴BD＝AB·tan30°＝6×
图 25－5
·江苏科技版
第25课时 │ 归类示例
[解析] 由题意通过作辅助线构造两个有公共边的直角三角形，再 由解直角三角形的知识可求得山坡 AB 的长，要使得李强和庞亮同时 到达山项，只要将庞亮登到山顶的时间算出即可得李强的速度．
解：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，
在
Rt△ADC
中，tanC＝
·江苏科技版
第25课时 │ 归类示例
► 类型之四 利用直角三角形解决坡度问题
命题角度： 1．利用直角三角形解决坡度和坡角问题 2．将实际问题转化为直角三角形问题
例 4 庞亮和李强相约周六去登山，庞亮 从北坡山脚 C 处出发，以 24 米/分钟的速度攀 登，同时，李强从南坡山脚 B 处出发．如图 25－5，已知小山北坡的坡度 i＝1∶ 3，北坡 坡长为 240 米，南坡的坡角是 45°.问李强以什 么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶 A？(将 山路 AB、AC 看成线段，结果保留根号)