《双曲线的标准方程和性质》中职数学拓展模块2.2ppt课件1【语文版】
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语文版中职数学拓展模块2.2《双曲线的标准方程和性质》word教案
双曲线的标准方程及简单的几何性质第一部分双曲线及其标准方程学习目标1、掌握双曲线的定义，理解双曲线标准方程的推导，能根据条件确定双曲线的标准方程。
2、培养的分析能力、归纳能力、推理能力。
3、进一步掌握双曲线的定义及其标准方程的求法，特别是要熟练掌握用定义法、待定系数法求双曲线标准方程的方法。
4、会利用双曲线的定义及其标准方程的知识解决实际问题。
5、培养分析能力、归纳能力、推理能力和数学的应用能力。
重点难点重点：双曲线的定义及其标准方程；难点：1、双曲线标准方程的推导；2、利用双曲线的定义及其标准方程的知识解决实际问题。
例题分析第一阶梯[例1]已知两定点F1（-5，0）、F2（5，0），求与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于6的点的轨迹方程。
分析：根据双曲线的定义可知，动点的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线，又由焦点位置可知，所求的点的轨迹方程是双曲线的标准方程。
解：由题意可知，所求点的轨迹是双曲线，其方程可设为，这里2a=6,2c=10.变题：如将本题条件中的6改为10，其余条件不变，求解本题。
解：由条件可知，所求点的轨迹是两条射线，其方程为y=0(x≤-5或x≥5)注意：在求解轨迹方程的问题时，要注意应用有关曲线的定义去判断所求的点的轨迹是什么曲线，如是已经研究过的曲线，则可用曲线的标准方程去求解。
[例2]分析：分别求出椭圆及双曲线的焦点即可。
证明：易得椭圆的两个焦点为（-4，0）、（4，0），双曲线的两个焦点也为（-4，0）、（4，0）。
[例3]分析迹是以B、C为两焦点，实轴长为6的双曲线的左支。
解：在△ABC中，|BC|=10，故项点A的轨迹是以B、C为两焦点，实轴长为6的双曲线的左支。
第二阶梯[例4]A、1 C、2解：+|PF2|2-|PF1||PF2|=16，因为∠F1PF2=90°，所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=20.所以评注：本题考查双曲线的基础知识以及计算能力和推理能力。
双曲线及其标准方程ppt课件
x2
y2
变式．给出曲线方程
＋
＝1.
4＋k 1－k
(1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围；
(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围.
y2 x2
例 5．已知双曲线 C 的方程是 － ＝1，其上下焦点分别是 F2，
16 20
F1，点 M 在双曲线 C 上，且|MF1|＝9，则|MF2|＝________.
归纳总结
y
图形
y
P
P
x
O
F1
F1 O F2
方程
焦点
a,b,c之间的关系
F2
x
x2 y2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
y2 x2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c)，F2(0,c)
c2=a2+b2
a，b大小不定
椭圆与双曲线的区别
O
焦点在对应轴上
x2 y2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
① 方程用“－”号连接；
y
F2
F1
y2 x2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
② c2=a2+b2 ；
③分母是a2, b2, 且a>0, b>0，但a, b大小不定；
④ 如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上；
如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上.
x
F1 O
F2
结论：已知F1，F2分别是双曲线C：
【高教版】中职数学拓展模块：2.2《双曲线》ppt课件(3)
巩 固 知 识 典 型 例 题
解题关键是判断双 曲线的焦点在哪个数 轴．方法是观察标准 方程中含x项与含y项的 系数的符合，如果含x 项（或含y项）的系数 为正数，那么焦点在x 轴（或y轴）上，并且 该项的分母为a2 ．
例2 求下列双曲线的焦点坐标和焦距．
x2 y2 1；（2） y 2 x2 4． （1） 144 25
从实验中发现：笔尖（即
点M）在移动过程中，与两个 定点F1、F2 的距离之差的绝对 值始终保持不变（等于拉链两 边的长度之差）．
M
我们将平面内到两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值为 常数（小于 F1 F2 ）的点的轨迹（或集合）叫做双曲线. 这两
动 脑 思 考 探 索 新 知
个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距． 实验画出的图形就是双曲线．下面我们根据实验的步骤 来研究双曲线的方程． 取过焦点 F1、F2的直线为x轴，线段 F1F2 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如 图，设双曲线的焦距为2c，则 两个焦点 F1、F2 的坐标分别为 （－c，0），（c，0）．
第2章
椭圆、双曲线、抛物线
2.2
双曲线
我们先来做一个实验． 取一条两边长度不等的拉链（如图），将拉链的两边分别 固定在两个定点F1、F2 （拉链两边的长度之差小于 F1、F2的距离）
创 设 情 境 兴 趣 引 入
上，把铅笔尖固定在拉链锁口处，慢慢拉开拉链，使铅笔尖慢 慢移动，画出图形的一部分；再将拉链的两边交换位置分别固 定在 F1、F2 处，用同样的方法 可以画出图形的另一部分．
设M(x，y)为双曲线上的任意一点，M与两个焦点F1、F2 的距离之差的绝对值为2a，则
MF1 MF2 2a，
职高数学拓展模块(高教版)课件：双曲线及其标准方程[1]
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0 垂直平分线
12 不存在
1、定义：平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对 值等于常数（小于 F1F2 ）的点的轨迹叫做双曲线。 2、双曲线的标准方程
(1)焦点在 x 轴上
x2 y2 1, 2 2 a b (a 0 , b 0 )
(2)焦点在 y 轴上
y2 x2 1, 2 2 a b (a 0 , b 0 )
x2 y 2 (4) 1(m 0, n 0) m n
F1( 6,0), F2 ( 6,0)
(2)a 2, b 2, c 2 , F1(2,0), F2 (2,0)
F1 (0, 7 ), F2 (0, 7 )
(4)a m, b n , c m n , F1( m n ,0), F2 ( m n ,0)
2
F1 (0,-c)
两种标准方程的特点
y
M
M o
y
F2
F1
F2
x
F1
x
y x x y 1 a 0 ， b 0 1 a 0 ， b 0 2 2 a b a 2 b2 ① 方程用“-”号连接。 ② a , b 大小不定。
2 2
2
2
a b 。 如何确定焦点位置？？ 2 ④如果 x 的系数是正的，则焦点在 x 轴上； 2 如果 y 的系数是正的，则焦点在 y 轴上。
双曲线的一支 （2）若常数2a=0,轨迹是什么? 垂直平分线 （3）若2a= F1F2 轨迹是什么？ 两条射线 （4）若2a> F1F2 轨迹是什么？
不存在
二、如何求双曲线的标准方程？
以F1,F2所在的直线为X轴， 1. 建系. 线段F1F2的中点为原点建立 直角坐标系, 设M（x , y）, 双曲线的 2.设点． 焦距为2c（c>0）,常数=2a(a>0）, 则F1(-c,0),F2(c,0)，
中职数学 拓展模块 第2章 椭圆、双曲线和抛物线
(1)6x2 10 y2 60; (2) x2 y2 1; 16 9
(3) x2 y2 1. 95
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）长轴长为20，离心率为 3/5 ； （2）a=4，b=1，焦点在y轴上. 3.方程x2+2y2－2x+12y+15=0表示的图形是不是椭圆？如果 是，求出它的对称中心坐标、对称轴方程以及离心率.
9 16 y2 x2 (4) 1; 93 (5) y2 x2 1. 9 16
2.2 双曲线
练一练
2.求下列双曲线的标准方程：
（1）以椭圆 x2 y2 1 的焦点为顶点，顶点为焦点；
8
（2）过点(3,9
5
2)且
c
10 ;
a3
（3）经过点(3,2 7) 和(6 2,7).
2.2 双曲线
2.2.2 双曲线的性质
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第2章 椭圆、双曲线和抛物线
2.2 双曲线
2.2.1 双曲线的定义与标准方程
在画板上选取两定点F1，F2，将拉 链（拉链的两边等长）拉开一段，其中 一边固定在F1处，在另一边上截取一段A F2（并使A F2小于F1，F2之间的距离）， 而后固定在F2处，把笔尖放在拉链口处 （即点M处），于是随着拉链的逐渐打 开或闭拢，笔尖就徐徐画出一条曲线； 同理，将拉链的两边交换位置，可画出 另外一支曲线，如图2-6所示.
可得椭圆的标准方程为 （2-1）
2.1 椭圆
我们把方程（2-1）叫作椭圆的标准方程 .它 表示椭圆的焦点在x轴上，且焦点为F1（-c，0）， F2（c，0），其中c>0，
(3) x2 y2 1. 95
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）长轴长为20，离心率为 3/5 ； （2）a=4，b=1，焦点在y轴上. 3.方程x2+2y2－2x+12y+15=0表示的图形是不是椭圆？如果 是，求出它的对称中心坐标、对称轴方程以及离心率.
9 16 y2 x2 (4) 1; 93 (5) y2 x2 1. 9 16
2.2 双曲线
练一练
2.求下列双曲线的标准方程：
（1）以椭圆 x2 y2 1 的焦点为顶点，顶点为焦点；
8
（2）过点(3,9
5
2)且
c
10 ;
a3
（3）经过点(3,2 7) 和(6 2,7).
2.2 双曲线
2.2.2 双曲线的性质
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第2章 椭圆、双曲线和抛物线
2.2 双曲线
2.2.1 双曲线的定义与标准方程
在画板上选取两定点F1，F2，将拉 链（拉链的两边等长）拉开一段，其中 一边固定在F1处，在另一边上截取一段A F2（并使A F2小于F1，F2之间的距离）， 而后固定在F2处，把笔尖放在拉链口处 （即点M处），于是随着拉链的逐渐打 开或闭拢，笔尖就徐徐画出一条曲线； 同理，将拉链的两边交换位置，可画出 另外一支曲线，如图2-6所示.
可得椭圆的标准方程为 （2-1）
2.1 椭圆
我们把方程（2-1）叫作椭圆的标准方程 .它 表示椭圆的焦点在x轴上，且焦点为F1（-c，0）， F2（c，0），其中c>0，
《双曲线》中职数学(拓展模块)2.2ppt课件1【人教版】
发电厂冷却塔的外形
回顾椭圆的画法：
想想双曲线怎样画？
取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板上。
M
M
F1
F2
|MF1|+|MF2|=2a
y M
F1 O F2
x
F1
F2
|MF2|-|MF1|=常数（右边） |MF1|-|MF2|=2a |MF1|-|MF2|=常数}（左边） |MF2|-|MF1|= 2a
即： 2a ＞2c （ a ＞c）
y
M
x
F1
O F2
|MF1|-|MF2|=2a |MF2|-|MF1|= 2a
2.推导双曲线标准
| |MF1|-|MF2| | =2a
或|MF1|-|MF2|=±2a
y
F1 (-c,0) O
M
x F2 (c,0)
2.3-2
由定义可知，双曲线就是集合
P={M||MF1|-|MF2|=2a}.
M F2 (c,0x)
编者语
• 要如何做到上课认真听讲？
•
我们都知道一个人的注意力集中时间是有限的，一节课45分钟如何保持时时刻刻都能认真听讲不走神呢？
•
1、往前坐
•
坐的位置越靠后，注意力就越难集中。老师不会注意到你的事实可以让你不再紧张，放心去做别的事情。坐在后面，视线分散，哪怕你是在看老师，如果有人移动，你的视线就会飘到那个同学的后脑勺上去，也就无法集中注意力。 而且，坐在后面很
x2
y2
a2 c2 a2 1.
由双曲线的定义可知2c>2a， 即c>a所以c2-a2>0.类比椭圆标准方 程的建立过程，
y
M
x F1(0) O F2 (c,0)
回顾椭圆的画法：
想想双曲线怎样画？
取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板上。
M
M
F1
F2
|MF1|+|MF2|=2a
y M
F1 O F2
x
F1
F2
|MF2|-|MF1|=常数（右边） |MF1|-|MF2|=2a |MF1|-|MF2|=常数}（左边） |MF2|-|MF1|= 2a
即： 2a ＞2c （ a ＞c）
y
M
x
F1
O F2
|MF1|-|MF2|=2a |MF2|-|MF1|= 2a
2.推导双曲线标准
| |MF1|-|MF2| | =2a
或|MF1|-|MF2|=±2a
y
F1 (-c,0) O
M
x F2 (c,0)
2.3-2
由定义可知，双曲线就是集合
P={M||MF1|-|MF2|=2a}.
M F2 (c,0x)
编者语
• 要如何做到上课认真听讲？
•
我们都知道一个人的注意力集中时间是有限的，一节课45分钟如何保持时时刻刻都能认真听讲不走神呢？
•
1、往前坐
•
坐的位置越靠后，注意力就越难集中。老师不会注意到你的事实可以让你不再紧张，放心去做别的事情。坐在后面，视线分散，哪怕你是在看老师，如果有人移动，你的视线就会飘到那个同学的后脑勺上去，也就无法集中注意力。 而且，坐在后面很
x2
y2
a2 c2 a2 1.
由双曲线的定义可知2c>2a， 即c>a所以c2-a2>0.类比椭圆标准方 程的建立过程，
y
M
x F1(0) O F2 (c,0)
人教版中职数学(拓展模块)2.2《双曲线》ppt课件3
的点的轨迹是什么呢？
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=常数
②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=常数 由①②可得：
| |MF1|-|MF2| | = 常数
（差的绝对值）
上面 两条合起来叫做双曲线
双曲线在生活中 ☆.☆
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
则 S△F1MF2＝12r1r2sin 60°＝9 3.
方法感悟
1．对双曲线定义的理解
双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)，不要漏了绝 对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线．
解题时，也要注意“绝对值”这一个条件，若去掉定义中的 绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支．
83
为3
.
2. y2-2x2=1的焦点为(0,
6 2
)
、焦距是6 .
3.方程(2+)x2+(1+)y2=1表示双曲线的充要条件 是 -2<<-1 .
练习巩固:
下列方程各表示什么曲线? (1) (x 3)2 y2 (x 3)2 y2 4
方程表示的曲线是双曲线
(2) (x 3)2 y2 (x 3)2 y2 5
此即为 焦点在x 轴上的 双曲线 的标准
方程
若建系时,焦点在y轴上呢?
y
y
M
M
F2 x
F1 O F2 x
O
b2 1
(a 0，b 0)
问题
1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
看 x2 , y2 前的系数，哪一个为
正，则在哪一个轴上
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=常数
②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=常数 由①②可得：
| |MF1|-|MF2| | = 常数
（差的绝对值）
上面 两条合起来叫做双曲线
双曲线在生活中 ☆.☆
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
则 S△F1MF2＝12r1r2sin 60°＝9 3.
方法感悟
1．对双曲线定义的理解
双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)，不要漏了绝 对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线．
解题时，也要注意“绝对值”这一个条件，若去掉定义中的 绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支．
83
为3
.
2. y2-2x2=1的焦点为(0,
6 2
)
、焦距是6 .
3.方程(2+)x2+(1+)y2=1表示双曲线的充要条件 是 -2<<-1 .
练习巩固:
下列方程各表示什么曲线? (1) (x 3)2 y2 (x 3)2 y2 4
方程表示的曲线是双曲线
(2) (x 3)2 y2 (x 3)2 y2 5
此即为 焦点在x 轴上的 双曲线 的标准
方程
若建系时,焦点在y轴上呢?
y
y
M
M
F2 x
F1 O F2 x
O
b2 1
(a 0，b 0)
问题
1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
看 x2 , y2 前的系数，哪一个为
正，则在哪一个轴上
【优质课件】高教版中职数学拓展模块2.2双曲线2优秀课件.ppt
解：把方程化为标准方程 y2 x2 1 16 9
可得实半轴长a=4，虚半轴长b=3
焦点坐标为（0，-5）、（0，5）
离心率 e c 5 a4
渐进线方程为 y 4 x 3
例2 已知双曲线顶点间的距离是16，离心率e
5， 4
焦点在x轴上，中心在原点，写出双曲线的方
程，并且求出它的渐近线和焦点坐标.
解：3焦点为 2 5，0 ，
设所求双曲线方程为 x2 y2 10 m 20
20 m m
能够生在同一个平面。然而我
们又无缘,漫漫长路无交点.为何
看不见,等式成立要条件。难到
正如书上说的,无限接近不能达
到。为何看不见,明月也有阴晴
圆缺,此事古难全,但愿千里共婵
娟。”
4
一、研究双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0)
的简单几何性质
1、范围
y
x2 a2
≥
1, 即x 2
≥
解：
x2 y2 1
64 36
渐近线方程为y 3 x 4
焦点F1(10,0), F2 (10,0)
思考:一个双曲线的渐近线的方程为:y 3 x ,它的
离心率为 5 或 5 .
4
43
练习
(1) ：x2 8 y2 32 的实轴长8 2虚轴长为___4__ 顶点坐标为 4 2,0 ,焦点坐标为_____6_,_0__
B1
(3)渐近线对双曲线的开口的影响 y b x a
A2
ax
y b x a
双曲线上的点与这两
直线有什么位置关系呢?
5、离心率
可得实半轴长a=4，虚半轴长b=3
焦点坐标为（0，-5）、（0，5）
离心率 e c 5 a4
渐进线方程为 y 4 x 3
例2 已知双曲线顶点间的距离是16，离心率e
5， 4
焦点在x轴上，中心在原点，写出双曲线的方
程，并且求出它的渐近线和焦点坐标.
解：3焦点为 2 5，0 ，
设所求双曲线方程为 x2 y2 10 m 20
20 m m
能够生在同一个平面。然而我
们又无缘,漫漫长路无交点.为何
看不见,等式成立要条件。难到
正如书上说的,无限接近不能达
到。为何看不见,明月也有阴晴
圆缺,此事古难全,但愿千里共婵
娟。”
4
一、研究双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0)
的简单几何性质
1、范围
y
x2 a2
≥
1, 即x 2
≥
解：
x2 y2 1
64 36
渐近线方程为y 3 x 4
焦点F1(10,0), F2 (10,0)
思考:一个双曲线的渐近线的方程为:y 3 x ,它的
离心率为 5 或 5 .
4
43
练习
(1) ：x2 8 y2 32 的实轴长8 2虚轴长为___4__ 顶点坐标为 4 2,0 ,焦点坐标为_____6_,_0__
B1
(3)渐近线对双曲线的开口的影响 y b x a
A2
ax
y b x a
双曲线上的点与这两
直线有什么位置关系呢?
5、离心率
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本 讲 栏 目
解析 椭圆1x62 ＋y92＝1 的焦点在 x 轴上，且 a＝4，b＝3，c＝
开
7，所以焦点为(± 7，0)，顶点为(±4,0).于是双曲线经过点
关
(± 7，0)，焦点为(±4,0)，则 a′＝ 7，c′＝4，所以 b′2
＝9，所以双曲线的标准方程为x72－y92＝1.
研一研·问题探究、课堂更高效
本 讲 栏 目 开
轴，建立平面直角坐标系，设所求双曲线方程的标准形式为 ax22－by22＝1 (a>0，b>0)， ∵a＝25,2c＝|AB|
＝ 1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝50 7，
关 ∴c＝25 7，b2＝c2－a2＝3 750，
故双曲线的标准方程为6x225－3 y7250＝1.
(D )
本 讲 栏 目 开 关
2．2.1 双曲线及其标准方程
【学习要求】
1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程.
本 讲
2.掌握双曲线的标准方程.
栏 目
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.
开 关
【学法指导】
本节课的学习要运用类比的方法，在与椭圆的联系与区别
中建立双曲线的定义及标准方程.
F1(－4,0)、F2(4,0)的距离之差，|F1F2|＝8，
∴|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|，
故点 P 的轨迹是双曲线的右支.
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点二 双曲线的标准方程
问题 1 类比椭圆的标准方程推导过程，思考怎样求双曲线
的标准方程？
答案 (1)建系：以直线 F1F2 为 x 轴，F1F2 的中点为原点建立
填一填·知识要点、记下疑难点
1.双曲线的定义
本 讲
把平面内与两个定点 F1，F2 的距离的 差的绝对值
等
栏 目
于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定
开 关
点叫做 双曲线的焦点
， 两焦点间的距离
叫做双曲
线的焦距.
填一填·知识要点、记下疑难点
2.双曲线的标准方程
焦点在 x 轴上
本 讲 栏 目
＝|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线；当 2a>|F1F2|时，满足条
件的点不存在.
研一研·问题探究、课堂更高效
问题 4 已知点 P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各
条件下点 P 的轨迹是什么图形？ (1)| x＋52＋y2－ x－52＋y2|＝6；
(2) x＋42＋y2－ x－42＋y2＝6.
因为|PA|－|PB|＝340×2＝680>0，所以 x>0.
因此炮弹爆炸点的轨迹(双曲线)方程为 115x2600－44y4200＝1 (x>0).
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小结 (1)解答与双曲线有关的应用问题时，不但要准确把握
本 题意，了解一些实际问题的相关概念，同时还要注意双曲线
讲 栏
的定义及性质的灵活应用.
方程.
解 如图，建立直角坐标系 xOy，使 A，B 两点在
x 轴上，并且坐标原点 O 与线段 AB 的中点重合.
本 讲
设爆炸点 P 的坐标为(x，y)，
栏 目
则|PA|－|PB|＝340×2＝680，
开 关
即 2a＝680，a＝340.又|AB|＝800，
所以 2c＝800，c＝400，b2＝c2－a2＝44 400.
探究点三 与双曲线定义有关的应用问题 例 2 已知双曲线的方程是1x62 －y82＝1，点 P 在双曲线上，且
到其中一个焦点 F1 的距离为 10，点 N 是 PF1 的中点，求
|ON|的大小(O 为坐标原点).
本 解 设双曲线另一个焦点为 F2，连接 PF2，ON 是三角形 PF1F2
讲 的中位线，
定理，同时要注意整体运算思想的应用.
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跟踪训练 2 如图，从双曲线x32－y52＝1 的左焦
点 F 引圆 x2＋y2＝3 的切线 FP 交双曲线右支
于点 P， T 为切点，M 为线段 FP 的中点，O
本
为坐标原点，则|MO|－|MT|等于
(C )
讲 栏
A. 3
B. 5
C. 5－ 3
目 开 关
则3a22 －b92＝1， 2a52 －1861b2＝1，
解得ab22＝ ＝19， 6，
∴双曲线的方程为1y62 －x92＝1.
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(2)方法一 设双曲线方程为xa22－by22＝1.
由题意易求得 c＝2 5.
又双曲线过点(3 2，2)，∴3 a222－b42＝1.
目 开
(2)实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着
关 的变量范围.
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跟踪训练 3 2008 年 5 月 12 日，四川汶川发生里
氏 8.0 级地震，为了援救灾民，某部队在如图所
示的 P 处空降了一批救灾药品，今要把这批药品
沿道路 PA、PB 送到矩形灾民区 ABCD 中去，已知 PA＝
栏 目 开
所以|ON|＝12|PF2|，因为||PF1|－|PF2||＝8，|PF1|＝10，
关 所以|PF2|＝2 或 18，|ON|＝12|PF2|＝1 或 9.
小结 双曲线的定义是解决与双曲线有关的问题的主要依
据.在应用时，一是注意条件||PF1|－|PF2||＝2a (0<2a<|F1F2|) 的使用，二是注意与三角形知识相结合，经常利用正、余弦
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跟踪训练 1 (1)过点(1,1)且ba＝ 2的双曲线的标准方程是
A.x12－y2＝1
B.y12－x2＝1
(D )
2
2
本 讲 栏 目
C.x2－y12＝1 2
D.x12－y2＝1 或y12－x2＝1
2
2
开 关
解析
由于b＝ a
2，∴b2＝2a2.当焦点在 x 轴上时，设双曲线
选择一点，分别固定在点 F1，F2 上，把笔尖放在点 M 处，
本 讲
拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线
栏 目
满足什么条件？
开 关
答案 如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|
＝常数；如果改变一下位置，使|MF2|－|MF1|＝常
数，可得到另一条曲线.
结论 平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常 数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲 线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
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令 c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为
ax22－by22＝1 (a>0，b>0).
②
(5)从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方
程②；以方程②的解 (x，y)为坐标的点到双曲线两个焦
本 点(－c,0)，(c,0)的距离之差的绝对值为 2a，即以方程②的解
本 讲
又∵a2＋b2＝(2 5)2，∴a2＝12，b2＝8.
栏 目 开
故所求双曲线的方程为1x22 －y82＝1.
关
方法二 设双曲线方程为16x－2 k－4＋y2 k＝1 (－4<k<16)，
将点(3 2，2)代入得 k＝4，
∴所求双曲线方程为1x22 －y82＝1.
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小结 (1)双曲线标准方程的求解方法是“先定型，后计算”.
注意到点 C 的坐标为(25 7，60)，
故 y 的最大值为 60，此时 x＝35， 故界线的曲线方程为6x225－3 y7250＝1 (25≤x≤35，y>0).
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1.已知 A(0，－5)、B(0,5)，|PA|－|PB|＝2a，当 a＝3 或 5 时，
P 点的轨迹为
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问题 2 双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差
的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？
答案 若没有绝对值，动点的轨迹就成了双曲线的一支.
本 讲
问题 3 双曲线的定义中，为什么要限制到两定点距离之差
栏 目
的绝对值为常数 2a,2a<|F1F2|?
开 关
答案 只有当 2a<|F1F2|时，动点的轨迹才是双曲线；当 2a
100 km，PB＝150 km，BC＝60 km，∠APB＝60°，试在
本 讲
灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路 PA
栏 目
送药较近，而另一侧的点沿道路 PB 送药较近，请说明这
开 关
一界线是一条什么曲线？并求出其方程.
解 矩形灾民区 ABCD 中的点可分为三类，第一类沿道路 PA
送药较近，第二类沿道路 PB 送药较近，第三类沿道路 PA 和
先看焦点所在的坐标轴是 x 轴还是 y 轴，从而设出相应的标
准方程.
本 讲
(2)在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，
栏 目
或可直接设双曲线的方程为 Ax2＋By2＝1 (AB<0).
开 关
(3)与双曲线xa22－yb22＝1 共焦点的双曲线的标准方程可设为
a2x－2 λ－b2y＋2 λ＝1(－b2<λ<a2).
本 平面直角坐标系.
讲
栏 (2)设点：设 M(x，y)是双曲线上任意一点，且双曲线的焦点
目 开
坐标为 F1(－c,0)，F2(c,0).
关 (3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a，
可得 x＋c2＋y2－ x－c2＋y2＝±2a.