人口增长模型的确定

数学建模论文

第 1 套

论文题目：人口增长模型的确定组别：

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题目：人口增长模型的确定

摘要

针对问题一，本文建立了Malthus人口指数增长模型。由于人口数量较少时，人口的增长率可以看成常数，所以在预测人口数量较少时，Malthus人口指数增长模型能够比较准确的预测人口数量。由预测结果可以看出，Malthus模型在人口数量不是很大的1800年到1960年预测与实际相近，但在1960年以后预测结果与实际人口相差很大，这说明Malthus模型并不能准确的预测美国人口，因此在问题二种对该模型进行了改进。

针对问题二，本文建立了logistic人口增长模型。由于受到自然资源和生态环境的限制，人口的增长不能超过环境所能容纳的最大人口数量，所以当人口数量到达环境容纳量时，增长率应为0。从预测结果来看，从1790年到1980年Logistic模型的预测数据和实际数据基本吻合。从1990年的预测结果来看，其与实际结果非常相近，更加趋近于实际数据。在一定程度上，Logistic模型从一定程度上克服了指数增长的不足，更能准确地预测美国人口的增长。但随着时间的推移，Logistic模型的预测结果与实际结果的差距越来越大，因此这种模型也只适用于对最近几个十年的人口进行预测。

针对问题三，本文应用问题一和问题二的模型。用这两种模型分析中国同时期的人口数量。由预测结果来看，Malthus模型预测1790年到1980年之间的中国人口数量，与实际数据相差甚大，在1840-1940年之间，实际人口增长明显下降，而Logistic模型更加拟合实际人口数量。在2010年，Logistic模型预测的人口数量为16亿，这与实际的人口数量13.4亿相差较大，这种差距是由中国在90年代实行的计划生育政策造成的。

综上所述，Logistic模型能够比较准确的对人口进行预测，但是任何一种模型都有其适用范围，也只能最近几年的人口，如果要预测更远的未来的人口，还需要考虑更多的不确定因素。

关键词：人口增长模型，Malthus模型，logistic模型，人口预测

一、问题重述

1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。

表1 人口记录表

.试

用

以

上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。

2.如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测，并对两次预测结果进行对比分析。

3.查阅资料找出中国人口与表1同时期的人口数量，用以上建立的两个模型进行人口预测与分析。

二、问题分析

针对问题一，题目中已经给出了1790-1980年间美国每隔10年的人口记录，现需建立Malthus人口指数增长模型，拟合实际人口数量。再根据已建立的模型对接下来的每隔十年预测五次人口数量，最后可以查找1990年、2000年和2010年的实际人口与预测的结果进行比较，对模型进行检验。

针对问题二，由于人口的变化受到多方面因素的影响，所以实际人口往往不是以指数形式增长的，而更可能是增长到一定程度后逐渐趋于平稳的，为此我们可以采用Logistic阻滞增长模型对人口进行预测和分析。

针对问题三，可以查阅到与表1同时期的中国人口数据，然后用再用Malthus模型和Logistic模型对中国人口进行预测，并与实际人口数据进行对比，寻找一种更适合中国人口预测的模型。

三、问题假设

1、假设不会发生大的灾难或疾病使人口数量急剧减少；

2、假设政策对生育率不进行干预；

3、假设人口数量的变化是封闭的，即人口数量的增加与减少只取决于人口中个体的生育与死亡，且每个个体具有同样的生育能力与死亡率；

4、假设人口数量仅受自然资源与环境条件所限制。

四、变量说明

五、模型建立与求解

5.1 模型一的建立与求解

假设x (t )表示t 时刻的人口的人口数，且x (t )连续可微。在Malthus 模型中人口的增长率为常数。人口数量的变化是封闭的，即人口的增长与减少只取决于人口中个体的生育与死亡，且每个个体具有同样的生育率与死亡率。由假设，由t 到t t +∆时刻的人口增量为：

()()()x t t x t rx t t +∆-=∆

于是得

(0)dx

rx dt x x ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 其解为

0()rt x t x e =

5.2 模型二的建立与求解

由于地球上的资源是有限的，它只能提供一定数量生命生存所需的条件。随着人口的增加，自然资源、环境等条件对人口再增长的限制作用越来越明显。如果在人口较小时，可以把增长率r 看成常数，当人口增加到一定数量之后，就应该把r 看成随着人口增加而减小的量。即将增长率r 表示为人口x (t )的函数r (x )，且r (x )为x 的减函数，由此建立logistic 模型。

假设r (x )为x 的线性函数，即。sx r x r -=)(自然资源与环境所能容纳的最大人口数量为x m ，即当m x x =时，人口的增长率为0。由假设可得

)1()(m

x x

r x r -

=

则有，

0(1)()

m dx

x r x dt x x t x

⎧=-⎪

⎨⎪=⎩

式（）是一个可分离变量的方程，其解为

()

011)(0t t r m m

e x x x t x --⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+=

六、结果分析

6.1 问题一

采用Malthus 模型对问题一求解，所得预测结果如图1和表2所示：

图1 Malthus 模型预测结果

表2 Malthus 模型预测结果

年份

1990 2000

2010 2020 2030 Malthus 预测人口（106） 405.53

502.40 622.41 771.08 955.26 实际人口（106）

248.71 281.42

308.74

由图1可知，在1930年之前，美国的人口可以认为是以指数模型增长的；而在1930年到1940年之间，人口增长缓慢，这可能是第二次世界大战对美国人口产生了影响；1940年之后，人口增长逐渐趋于缓慢，不再以指数模型进行增长，这与美国人口的生活观念和生活方式的转变有一定的关系。由表2可知，Malthus 模型的预测结果与实际人口相差很大，这说明Malthus 模型并不能用于预测美国人口，因此该模型还需要进一步改进。 6.2 问题二

采用Logistic 模型对问题二求解，所得预测结果如图2和表3所示：