九年级数学一元二次方程课件人教版
二 已知两根求作新的方程
以 x 1 , x 2 为两根的一元二次方程 (二次项系数为 为: 二次项系数为1)为 二次项系数为
x − ( x1 + x 2 ) x + x1 x 2 = 0
2
题4. 2 点p(m,n)既在反比例函数 y = − ( x > 0) 的 既在反比例函数
Hale Waihona Puke x图象上, 图象上 又在一次函数
{
x + y =1
x ⋅ y = −2
解法(二):设两数分别为一个一元二次方程 2 的两根则: a − a − 2 = 0 求得 a1 = 2, a 2 = −1 ∴两数为2,－１
四 求方程中的待定系数
题7 如果－1是方程 如果－ 是方程
2x − x + m = 0
2
的一个根，则另一个根是 的一个根，则另一个根是___ｍ=____。 ｍ -3 。
2kK2-2k-8=0
小结： 小结： 1、熟练掌握根与系数的关系； 、熟练掌握根与系数的关系； 2、灵活运用根与系数关系解决问题； 、灵活运用根与系数关系解决问题； 3、探索解题思路，归纳解题思想方法。 、探索解题思路，归纳解题思想方法。
题9 方程
mx − 2mx + m − 1 = 0(m ≠ 0)
的图象上, y = − x − 2 的图象上
则以m,n为根的一元二次方程为 二次项系数为 为根的一元二次方程为(二次项系数为 则以 为根的一元二次方程为 二次项系数为1): 2 由已知得, 解:由已知得 n = − 由已知得 即 m·n=－2 m m+n=－2 n = −m − 2
{
{
∴所求一元二次方程为: 所求一元二次方程为
x1 x 2 = 2m − 1 = 1
x1 + x 2 = m + 1 = 0
新知： 新知：
应用： 应用：一
题３
求值
x1 + x 2 =
2 1 2 2
2
则：
4
x1 ⋅ x 2 =
2
1
x + x = ( x1 + x 2 ) − 2x1x2 ＝ 14
( x1 − x 2 ) = ( x1 + x 2 ) − 4x1x2 ＝ 12
一元二次方程
根与系数的关系 系数的关系
基础知识
1.一元二次方程的标准形式 一元二次方程的标准形式
ax2+bx+c=0(a≠0)
2.两根和 两根和 3.两根积 两根积
x1+x2= － b/a x1·x2=c/a
题1
口答
１．下列方程的两根和与两根积各是多少？ 下列方程的两根和与两根积各是多少？ ⑴.X2－3X+1=0
2
有一个正根，一个负根， 有一个正根，一个负根，求m的取值范围。 的取值范围。 由已知, 解:由已知 由已知
{
△= 4m 2 − 4m(m − 1) > 0
m −1 x1 x 2 = <0 m
即
{
m>0 m-1<0
∴0<m<1
一正根，一负根 一正根，
两个正根
两个负根
{
△＞0 X1X2＜0
{
△≥0 X1X2＞0 X1+X2＞0
x + 2x − 2 = 0
2
题5
以方程X +3X-5=0的两个根的相反数为根的方程 以方程X2+3X-5=0的两个根的相反数为根的方程 是（ B ） B、 B、 D、 D、 3yy2－3y-5=0 3y＋ y2－3y＋5=0
A、y2＋3y-5=0 、 3yC、y2＋3y＋5=0 、 3y＋
分析:设原方程两根为 分析 设原方程两根为
时，
注意“ 不要漏写。 注意“－ ”不要漏写。
练习1 练习 已知关于x的方程 已知关于 的方程 x − ( m + 1) x + 2m − 1 = 0 此方程的两根互为相反数 当m= －1 时,此方程的两根互为相反数 此方程的两根互为相反数.
2
当m= 分析:1. 分析 2.
1
时,此方程的两根互为倒数 此方程的两根互为倒数 此方程的两根互为倒数.
4. x1 − x 2 =
( x1 − x 2 )
2
= ( x1 + x 2 ) − 4 x1 x 2
2
小结： 小结：
求与方程的根有关的代数式的值时, 求与方程的根有关的代数式的值时 一般先将所求的代数式化成含两根之和, 一般先将所求的代数式化成含两根之和 两根之积的形式,再整体代入 两根之积的形式 再整体代入. 再整体代入
2
另外几种常见的求值
x1 + x 2 1 1 1. + = x1 x 2 x1 x 2
2 2 2 x1 x 2 x1 + x 2 ( x1 + x 2 ) − 2 x1 x 2 = = 2. + x1 x 2 x1 x 2 x 2 x1
3.( x1 + 1)( x 2 + 1) = x1 x 2 + ( x1 + x 2 ) + 1
练习2 练习 (1)设 设 为 A. 1
x + x − 1 = 0 的两个实数根 1 1 x1 , x 2 则: x + x 的值为 A ) 的值为(
2
1 2
B. －1
C.
5 D.
5 5
回顾：
• • • • • • • • • 一般形式: 一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0) 变形得 X2+b/ax+c/a=0(a≠0) 根据根与系数的关系 X1+X2=- b/a X1•x2=c/a 可以替换成： 可以替换成： X2-(X1+X2)x+(X1•x2)=0
（还有其他解法吗？)
题8 已知方程 x 2 + kx + k + 2 = 0 的两个实数根 2 的值。 是 x1, x 2 且 x12 + x 2 = 4 求k的值。 解：由根与系数的关系得 X1+X2=-k， X1×X2=k+2 又 X12+ X2 2 = 4 即( X 1+ K 2X2)2 -2X1X2=4 2(k+2） 2(k+2）=4 解得：k=4 或k=－2 解得： － 4k∵ △= K2-4k-8 当k=4时， △＜0 k=4时 当k=-2时，△＞0 k=k=∴ k=-2
练习: 练习 1.以2和 －３为根的一元二次方程 以 和 （二次项系数为１）为： 二次项系数为１
x
2
+
x
−
6
=
0
已知两个数的和与积， 三 已知两个数的和与积，求两数 题6 已知两个数的和是1，积是-2，则两 2和-1 。 个数是 解法(一):设两数分别为x,y则: 解得: { x=2 或 y=－1 ｘ＝－1 { y=2
1.x1 + x 2 = 3 2 2.x1 + x 2 = 3
⑵.3X2－2X=2
x1 x 2 = 1
2 x1 x 2 = − 3
小结： 小结：
在使用根与系数的关系时，应注意： 在使用根与系数的关系时，应注意： ⑴不是一般式的要先化成一般式； 不是一般式的要先化成一般式；
b 在使用X ⑵在使用 1+X2=－ － a
{
△≥0 X1X2＞0 X1+X2＜0
• • • • • •
本节总结： 本节总结： 一 求值 二 已知两根求作新的方程 X2-(x1+x2)x+(x1x2)x=0 三 已知两个数的和与积求两个数 四 求方程中的 待定系数
新方程的两根之和为 ( − x1 ) + ( − x 2 )
=3 新方程的两根之积为( − x1 ) ⋅ ( − x 2 ) = −5
x1 , x 2 则: x1 + x 2 = −3, x1 x 2 = −5
求作新的一元二次方程时: 求作新的一元二次方程时 1.先求原方程的两根和与两根积 先求原方程的两根和与两根积. 先求原方程的两根和与两根积 2.利用新方程的两根与原方程的两根之 利用新方程的两根与原方程的两根之 间的关系,求新方程的两根和与两根积 求新方程的两根和与两根积. 间的关系 求新方程的两根和与两根积 (或由已知求新方程的两根和与两根积 或由已知求新方程的两根和与两根积) 或由已知求新方程的两根和与两根积 3.利用新方程的两根和与两根积 利用新方程的两根和与两根积, 利用新方程的两根和与两根积 求作新的一元二次方程. 求作新的一元二次方程
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人教版数学九年级上册一元二次方程的根与系数的关系课件
课堂小结
若方程x2+px+q=0有两个实根x1，x2，则
x1+x2=-p, x1x2=q.
若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则
x1
x2
b a
,
x1 x2
c a
.
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
(2)当 Rt△ABC 为等腰直角三角形时，关于 x 的一元二次 方程 x2＋kx＋12＝0 的两根相等，则Δ＝k2－4×12＝0，解得 k ＝±4 3 ，∵两直角边长的和为－k＞0，∴k＝－4 3 ，∴两 直角边长为 2 3 ，2 3 ，∴斜边长为 2 3 × 2 ＝2 6 ， ∴Rt△ABC 的周长为 2 3 ＋2 3 ＋2 6 ＝4 3 ＋2 6
2．已知a，b是方程x2＋3x－1＝0的两根，则a2b＋ab2的值是__3__．
3．已知关于x的一元二次方程x2－3x＋k＋1＝0，它的两根之积 为－4，则k的值为( D ) A．－1 B．4 C．－4 D．－5
4．已知关于x的一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另 一根为( C ) A．2 B．3 C．4 D．8
已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，两根分
b b2 4ac
别为x1= 2a
b b2 4ac
，x2=
2a
ห้องสมุดไป่ตู้
b b2 4ac b b2 4ac 2b b
x1+x2=
2a
2a
2a a
。 ，
b b2 4ac b b2 4ac
•
2a
2a
(b)2 (b2 4ac) c
人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数与一元二次方程PPT课件
新知探究
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的
根有什么关系?
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)
一元二次方程ax2+bx+c=0
与x轴的公共点的个数
(a≠0)的根的情况
b2-4ac>0
有两个
有两个不相等的实数根
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
P(2,-2)
重复上述过程，不断缩小根的范围，根所在两端的值就越来越
接近根的值.因而可以作为根的近似值。
尝试求出方程y = 2 − 2 − 2两个根的近似值？
课堂练习
1. 抛物线 = 2 + 2 − 3与轴的交点个数有(
. 0个
. 1个
Ｃ．2个
C ).
Ｄ．3个
【分析】解二次函数 = 2 + 2 − 3得1 =
第二十二章 二次函数
2 2 . 2 二次函数与一元二次方程
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.二次函数与一元二次方程之间的联系。
2.二次函数的图象与x轴交点的三种位置关系。
3.利用二次函数图象求它的实数根。
重点难点
重点：让学生理解二次函数与一元二次方程之间的联系。
难点：让学生理解函数图象交点问题与对应方程间的相互转化，及用图象求方程
x1=x2 =-
x
2
与x轴没有
交点
一元二次方程
ax2+bx+c=0
（a≠0）的根
x
没有实数根
新知探究
人教版数学九年级上册一元二次方程的根与系数的关系课件(共20页)
解：x1+x2=3，x1x2=1；
x1+x2=
2 3
，x1x2=
2；
3
(3)2x2－9x＋5＝0； (4)4x2－7x＋1＝0；
x1+x2=
9 2
，x1x2=
5 2
； x1+x2=
7 4
，x1x2=
1 4
；
(5)2x2＋3x＝0；
x1+x2=
3 2
，x1x2=0；
(6)3x2＝1．
x1+x2=0，x1x2=
结论：
一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根为x1，x2，
那么x1+x2＝
b a
，x1x2＝
c a
上面这种关系通常称为韦达定理.
如果二次项系数为1时，一元二次方程的 标准情势为：x2+px+q＝0，这时韦达定理又 是怎样的？
x1+x2＝－p，x1x2＝q.
（1）
1 x1
1 x2
；（2）
x12
x.22
解：∵x1，x2是方程x2-5x-7=0的两根.
则x1+x2=5，x1x2=-7.
(1) 1 1 x1 x2 5 5 x1 x2 x1 x2 7 7
(2) x12 x22 x12 2 x1 x2 x22 2 x1 x2 ( x1 x2 )2 2 x1 x2 52 2 (7)
解：设其中一个数为x，则另一个数为(8-x). 根据题意，得x(8-x)=9.75，整理， 得x2-8x+9.75=0. 解得x1=6.5, x2=1.5. 当x=6.5时，8-x=1.5；当x=1.5时，8-x=6.5. ∴这两个数是6.5－7=0的两根，不解方程 求下列各式的值：
人教版九年级初中数学上册第二十一章一元二次方程-解一元二次方程(配方法)PPT课件
2
B.x 2 6 x 8 0，x 2 6 x 9 8 9， x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0，x x 3， x 2 x 3 ， x
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.理解配方法的概念，并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点：用配方法解一元二次方程。
难点：用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程？
第二十一章 一元二次方程
课 程 结 束
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
C.大于等于1
的值（ C ）
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值。
【解题过程】 解：∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0，
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤：
（1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
（2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
B.x 2 6 x 8 0，x 2 6 x 9 8 9， x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0，x x 3， x 2 x 3 ， x
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.理解配方法的概念，并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点：用配方法解一元二次方程。
难点：用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程？
第二十一章 一元二次方程
课 程 结 束
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
C.大于等于1
的值（ C ）
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值。
【解题过程】 解：∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0，
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤：
（1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
（2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
人教版九年级数学上册一元二次方程的根与系数的关系课件(共18张)
则
x1 b
b2 4ac 2a
x2 b
b2 4ac 2a
一元二次方程根与系数关系的证明：
x1 b b2 4ac 2a
b b2 4ac xx2=
2a
2b b
=
=
2a a
b b2 4ac
+
2a
b b2 4ac b b2 4ac
2
2 3
4 3
4 3
2x2－3x+1=0
1
1
3
1
2
2
2
6x2+7x-3=0
3
2
1 3
7 6
1 2
❖ 问形如ax2+bx+c=0(a≠0)的一元二次方程的两根的和、
积分别与系数a,b,c有何关系？
x1
x2
b a
,
x1
•
x2
c a
❖ 推理验证：
❖ （1）从因式分解法可知：方程(x-x1)(x-x2)=0
由根与系数的关系得：x1+x2＝
∴( k 1)2 4 k 3 1
k 1 2
x1x2＝
k 3 2
2
2
解得k1=9,k2= -3
当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。
2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且 x12+x22=4，求k的值。
解：由方程有两个实数根，得
使它的两个根是：
31 3
，2
1 2
解：所求的方程是：
x2 (3 1 2 1)x (3 1) (2 1) 0
32
32
即：
x2 5 x 25 0
人教版初中数学九年级上册精品教学课件 第21章 一元二次方程 21.1 一元二次方程
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
7
8
2.某公园里有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出部分区域
栽种鲜花(如图).原空地一边减少了1 m,另一边减少了2 m,剩余空
地的面积为18 m2,求原正方形空地的边长.设原正方形空地的边长
为x m,则可列方程为(
)
A.(x+1)(x+2)=18
B.x2-3x+16=0
m2+m的值等于
.
关闭
6
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
7
8
7.把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并分别写出它们的二
次项系数、一次项系数和常数项.
(1)8x2-2x=1+2x;
(2)(y-1)(y-2)=1.
关闭
解 (1)一般形式:8x2-4x-1=0,二次项系数、一次项系数和常数项分别为
8,-4,-1.
6.在-4,-3,-2,-1,2,3中,属于方程x2+x-6=0的根的是 -3,2
.
互动课堂理解
1.一元二次方程的识别
【例1】 下列方程中,是关于x的一元二次方程的是(
2
A.3(x+1) =2(x+1)
B.
1 2
)
1
+ -2=0
C.ax2+bx+c=0
D.x2+2x=x2-1
解析:选项A中的方程,整理后符合一元二次方程的概念;选项B中
21.1 一元二次方程
快乐预习感知
1.等号两边都是整式,只含有 一个 未知数(一元),并且未知数的
人教版九年级数学上册《一元二次方程》PPT优秀课件
③
①都是整式方程; ②都只含一个未知数; ③未知数的最高次数都是2.
那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？ 它们有什么共同特点呢？
知识要点
一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知
数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是 ax2+bx +c = 0(a，b，c为常数， a≠0)
想一想： 还有其他的方法吗？试说明原因. (20-x)(32-2x)=570
32-2x
32
20-x 20
归纳小结
建立一元二次方程模型的一般步骤
审
审题，弄 清已知量 与未知量 之间的关 系
设 设未知数
找
找出等量 关系
列
根据等量 关系列方 程
随堂演练
1.下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( D )
解：当x＝－3时，左边＝9－(－3)－2＝10， 则左边≠右边， 所以－3不是方程x2－x－2＝0的解； 下面几个数同理可证. 经检验得－1，2为原方程的根.
获取新知
知识点三：建立一元二次方程模型
问题 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三条宽相等 的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空 地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积 为570m2，问小路的宽应为多少？
4.如图,在一块长12 m,宽8 m的矩形空地上,修建同样宽的两条互 相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分栽种 花草,且栽种花草的面积为77 m2.设道路的宽为x m,则根据题意, 可列方程为 (12-x)(8-x)=77.
样的正方形，再将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的
人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)
解：设小道的宽度为x米，得(20－2x)(10－x)＝120整理得x2-要建造一个长10m，宽5m玻璃顶观景亭，如图所示在它的四角建造四个截面为正方形的承重柱. 已知需要用到玻璃的面积为45m2，那么承重柱的宽度多少？
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
人教版数学九年级上册22.2 二次函数和一元二次方程课件(共55张PPT)
当已知二次函数 y 值，求自变量 x值时，可以看作是解对应的一 元二次方程.相反地，由解一元二次方程，又可看作是二次函数值 为0时，求自变量x的值
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系 课件(共17张PPT) 人教版数学九年级上册
求 a 的值及该方程的另一个根.
解：由方程有两个实数根，得 Δ = a2 - 4 ≥0，
即 a ≥ 2或a ≤ -2.
由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2a，x1 x2 = 16.
∴
x1 x2
x1 x2
1
1
1
x1
x2
x1 x2
16
解得 a = 8
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
x1 x2 x12 x22 ( x1 x2 )2 2 x1 x2
3.
;
x2 x1
x1 x2
x1 x2
4.( x1 1)( x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1;
5. x1 x2 ( x1 x2 )2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 .
21.2.4 一元二次方程
的根与系数的关系
九年级上
学习目标
目
录
新课引入
新知学习
随堂练习
课堂小结
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
学习目标
1. 了解一元二次方程的根与系数的关系. （2022年版课标将*删除）
2. 会用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题.
21.2.4 一元二次方程Βιβλιοθήκη 与系数的关系7－9
(2) x1＋x2＝－ ，x1 x2＝ ＝－3.
3
3
(3)方程化为 4x2－5x＋1＝0，∴
x1＋x2＝－
1
5 5
= ， x1 x2＝ .
4
4 4
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
1
1