高考导数讲义一零点问题

高考导数讲义一：零点问题

例1、设函数

（I ）求曲线在点处的切线方程；

（II ）设，若函数有三个不同零点，求c 的取值范围；

（III ）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.

解：（I ）由()32f x x ax bx c =+++，得()2

32f x x ax b '=++．

因为()0f c =，()0f b '=，

所以曲线()y f x =在点()()

0,0f 处的切线方程为y bx c =+． （II ）当4a b ==时，()3

2

44f x x x x c =+++，

所以()2

384f x x x '=++．

令()0f x '=，得23840x x ++=，解得2x =-或23

x =-

． ()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞上的情况如下：

所以，当0c >且32027c -

<时，存在()14,2x ∈--，222,3x ⎛

⎫∈-- ⎪⎝

⎭，

32,03x ⎛⎫

∈- ⎪⎝⎭

，使得()()()1230f x f x f x ===．

由()f x 的单调性知，当且仅当320,

27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

时，函数()32

44f x x x x c =+++有三个不同零点． （III ）当2

4120a b ∆=-<时，()2

320f x x ax b '=++>，(),x ∈-∞+∞，

此时函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增，所以()f x 不可能有三个不同零点．

当2

4120a b ∆=-=时，()2

32f x x ax b '=++只有一个零点，记作0x ．

当()0,x x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在区间()0,x -∞上单调递增；

()3

2

.f x x ax bx c =+++().y f x =()()

0,0f 4a b ==()f x 2

30a b -＞().f x

当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间()0,x +∞上单调递增． 所以()f x 不可能有三个不同零点．

综上所述，若函数()f x 有三个不同零点，则必有24120a b ∆=->． 故230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要条件．

当4a b ==，0c =时，230a b ->，()()2

32442f x x x x x x =++=+只有两个不同 零点， 所以230a b ->不是()f x 有三个不同零点的充分条件． 因此230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件．

例2.设函数()2

ln 2

x f x k x =-，0k >． （I ）求()f x 的单调区间和极值；

（II ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(

上仅有一个零点．

【答案】（I ）单调递减区间是，单调递增区间是)+∞；极小值(1ln )

2

k k f -=；（II ）证明详见解析. 【解析】

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（I ）先对()f x 求导，令'

()0f x =解出

x ，将函数的定义域断开，列表，分析函数的单调性，所以由表格知当x =

小值；（II ）利用第一问的表，知f 为函数的最小值，如果函数有零点，只需最小值(1ln )

02

k k -≤，从而解出k e ≥，下面再分情况分析函数有几个零点.

试题解析：（Ⅰ）由()2

ln 2x f x k x =-，（0k >）得 2'

()k x k

f x x x x

-=-=.

由'

()0f x =解得x =

()f x 与'()f x 在区间(0,)+∞上的情况如下：

所以，()f x 的单调递减区间是，单调递增区间是)+∞；

()f x 在x =(1ln )

2

k k f -=

.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln )

2

k k f -=. 因为()f x 存在零点，所以

(1ln )

02

k k -≤，从而k e ≥.

当k e =时，()f x 在区间上单调递减，且0f =，

所以x =

()f x 在区间上的唯一零点.

当k e >时，()f x 在区间上单调递减，且1(1)02f =>，02

e k

f -=<，

所以()f x 在区间上仅有一个零点.

综上可知，若()f x 存在零点，则()f x 在区间上仅有一个零点.

考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值、函数零点问题.

【名师点晴】本题主要考查的是导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和函数的零点，属于难题．利用导数求函数()f x 的单调性与极值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③求方程()0f x '=的所有实数根；④列表格．证明函数仅有一个零点的步骤：①用零点存在性定理证明函数零点的存在性；②用函数的单调性证明函数零点的唯一性． 例3.设函数()2ln x

f x e

a x =-.

（I ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数； （II ）证明：当0a >时()2

2ln f x a a a

≥+. 【答案】（I ）当0a 时，()f x 没有零点；当0a 时，()f x 存在唯一零点.（II ）见解析

【解析】

试题分析：（I ）先求出导函数，分0a 与0a 考虑()f x '的单调性及性质，即可判断出零点个数；（II ）由（I ）

可设()f x 在0+

，的唯一零点为0x ，根据()f x '的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即