人教高中数学必修五第二章数列练习题

数列基础知识点总结及训练

A 、1．概念与公式：

①等差数列：1°.定义：若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+称等差数列；

2°.通项公式：;)()1(1d k n a d n a a k n -+=-+= 3°.前n 项和公式：公式：.2

)

1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+=

②等比数列：1°.定义若数列q a a a n

n n =+1

}{满足

（常数）

，则}{n a 称等比数列；2°.通项公式：;1

1k

n k n n q

a q

a a --==3°.前n 项和公式：),1(1)

1(111≠--=--=q q

q a q q a a S n n n 当q=1时.1na S n =

2．简单性质：

①首尾项性质：设数列,,,,,:}{321n n a a a a a

1°.若}{n a 是等差数列，则;23121 =+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列，则.23121 =?=?=?--n n n a a a a a a ②中项及性质：

1°.设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且;2

b

a A +=

2°.设a ,G,b 成等比数列，则G 称a 、b 的等比中项，且.ab G ±= ③设p 、q 、r 、s 为正整数，且,s r q p +=+

1°. 若}{n a 是等差数列，则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列，则;s r q p a a a a ?=? ④顺次n 项和性质：

1°.若}{n a 是公差为d 的等差数列，∑∑∑=+=+=n

k n n k n

n k k

k

k a

a a 121

31

2,,

则组成公差为n 2d 的等差数列；

2°. 若}{n a 是公差为q 的等比数列，∑∑

∑=+=+=n k n

n k n

n k k

k k a a a 1

21

31

2,

,

则组成公差为q n

的等比数列. （注意：当q =－1，n 为偶数时这个结论不成立） ⑤若}{n a 是等比数列，

则顺次n 项的乘积：n n n n n n n a a a a a a a a a 3221222121,, ++++组成公比这2

n q 的等比数列. ⑥若}{n a 是公差为d 的等差数列,

1°.若n 为奇数，则,,:(2

1+==-=n n a a a a S S na S 中中中偶奇中即指中项注且而S 奇、S 偶指所有奇数项、

所有偶数项的和）；

2°.若n 为偶数，则.2

nd

S S =

-奇偶 （二）学习要点：

1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d ≠0的等差数列的通项公式是项n 的一次函数a n =an +b ;②公差d ≠0的等差数列的前n 项和公式项数n 的没有常数项的二次函数S n =an 2+bn ;③公比q ≠1的等比数列的前n 项公式可以写成“S n =a (1-q n )的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.

2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.

3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m （或a-m,a,a+m ）”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq 2(或

q

a

，a,aq )”③四数成等差数列，可设四数为“);3,,,3(3,2,,m a m a m a m a m a m a m a a ++--+++或”④四数成等比数列，可设四数为“),,,,(,,,3

3

32aq aq q a q

a aq aq aq a ±±或

”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验. 由递推公式求通项公式的方法

一、1()n n a a f n +=+型数列，（其中()f n 不是常值函数)

此类数列解决的办法是累加法，具体做法是将通项变形为1()n n a a f n +-=，从而就有

21321(1),(2),

,(1).n n a a f a a f a a f n --=-=-=-

将上述1n -个式子累加，变成1(1)(2)(1)n a a f f f n -=+++-，进而求解。

例1. 在数列{}n a 中,112,21,.n n n a a a n a +==+-求 解：依题意有213211,3,,23n n a a a a a a n --=-=-=-

逐项累加有221(123)(1)

1323(1)212

n n n a a n n n n +---=++

+-=

=-=-+，从而223n a n n =-+。

二、)(1n f a a n n ?=+型数列，（其中()f n 不是常值函数)

此类数列解决的办法是累积法，具体做法是将通项变形为

1

()n n

a f n a +=，从而就有32

12

1

(1),(2),,

(1)n

n a a a f f f n a a a -===- 将上述1n -个式子累乘，变成

1

(1)(2)(1)n

a f f f n a =???-，进而求解。

例2. 已知数列{}n a 中11123

,(2)321

n n n a a a n n --==?≥+，求{}n a 的通项公式。

解：当2n ≥时，324123113523

,,,,,57921n n a a a a n a a a a n --====+将这1n -个式子累乘，得到1

13(21)(21)n a a n n ?=-+，

从而21311(21)(21)341n a n n n ?=?=-+-，当1n =时，1211413a n ==-，所以2

1

41

n a n =-。 三、q pa a n n +=+1型数列

此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解，构造的办

法有两种，一是待定系数法构造，设)(1m a p m a n n +=++，展开整理1n n a pa pm m

+=+-，比较系数有

pm m b -=，所以1b m p =-，所以1

n

b a p +-是等比数列，公比为p ，首项为11b a p +-。二是用作差法直

接构造，1n n a pa q +=+,1n n a pa q -=+，两式相减有11()n n n n a a p a a +--=-，所以1n n a a +-是公比为p 的等比数列。

例3. 在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，有132n n a a -=+，求{}n a 的通项公式。 解法1：设13()n n a m a m -+=+，即有132n n a a m -=+

对比132n n a a -=+，得1m =，于是得113(1)n n a a -+=+，即31

1

1=++-n n

a a 所以数列{1}n a +是以112a +=为首项，以3为公比的等比数列 则1231n n a -=?-。 解法2：由已知递推式，得1132,32,(2)n n n n a a a a n +-=+=+≥，

上述两式相减，得113()n n n n a a a a +--=-，即31

1=---+n n n n a a a

a

因此，数列1{}n n a a +-是以214a a -=为首项，以3为公比的等比数列。所以1143n n n a a -+-=?，即

13243n n n a a -+-=?，所以1231n n a -=?-。

四、()n f pa a n n +=+1型数列（p 为常数） 此类数列可变形为

()1

11++++=n n n n n p n f p a p a ，则?

?????n n p a 可用累加法求出，由此求得n a . 例4已知数列{}n a 满足1111,32n n n a a a ++==+,求n a . 解:将已知递推式两边同除以12n +得

1131222n n n n a a ++=?+,设2n n n a b =,故有1

3

2(2)2

n n b b ++=?+，1

5322

n n n

b -?=-,从而11532n n n a -+=?-. 例5．已知数列{}n a 满足111

1,2,21,.2

n n n a n a a n a -=≥=+-当时求

解:作n n b a An B =++,则n n a b An B =--,11(1)n n a b A n B --=---代入已知递推式中

得:11111

(2)(1)2222

n n b b A n A B -=++++-.

令1

202111022A A B ?+=????+-=??46

A B =-???

=? 这时112n n b b -=且46n n b a n =-+ 显然,132n n b -=,所以1

3

462n

n a n -=+-. 五、C

Ba Aa a n n

n +=

型数列（C B A ,,为非零常数）

这种类型的解法是将式子两边同时取倒数,把数列的倒数看成是一个新数列,便可顺利地转化为

1n n a pa q +=+型数列。

例6．已知数列{}n a 满足1122,2

n

n n a a a a +==

+,求n a . 解:两边取倒数得:

11112n n a a +=+,所以1111(1)22n n n a a =+-?=，故有2n a n

=。 六、n n n qa pa a +=++12型数列（,p q 为常数）

这种类型的做法是用待定糸数法设()n n n n a a a a λχλ-=--=+112构造等比数列。 例7．数列{}n a 中，,3,221==a a 且()2,211≥∈+=++-n N n a a a n n n ，求n a .

C 、求数列前n 项和

一. 公式法: 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本

最重要的方法。 (1) 等差：d n n na a a n S n n 2

)1(2)(11-+=+=

;

等比：?????≠--=--==)

1(11)1()1(111

q q q a a q

q a q na S n n n ;

(2) 6

)12)(1(3212222++=++++n n n n ;

2

3333]2

)1([

321+=++++n n n

数列部分测试题

一、选择题 1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （ ）

（A ）为常数数列 （B ）为非零的常数数列 （C ）存在且唯一 （D ）不存在

2.、在等差数列{}n a 中，41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列，则{}n a 的通项公式为 （ ）

（A ）13+=n a n （B ）3+=n a n （C ）13+=n a n 或4=n a （D ）3+=n a n 或4=n a 3、已知c b a ,,成等比数列，且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项，

则y

c

x a +的值为 （ ） （A ）

2

1

（B ）2- （C ）2 （D ） 不确定 4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列，x 是a ,b 的等比中项，y 是b ,c 的等比中项，那么2

x ，2

b ，2

y 三个数（ ） （A ）成等差数列不成等比数列 （B ）成等比数列不成等差数列

（C ）既成等差数列又成等比数列 （D ）既不成等差数列，又不成等比数列

5、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 242

12+=+,则此数列的通项公式为 （ ） （A ）22-=n a n （B ）28-=n a n （C ）12-=n n a （D ）n n a n -=2

6、已知))((4)(2

z y y x x z --=-，则 （ ）（A ）z y x ,,成等差数列 （B ）z y x ,,成等比数列 （C ）

z y x 1,1,1成等差数列 （D ）z

y x 1

,1,1成等比数列 7、数列{}n a 的前n 项和1-=n

n a S ，则关于数列{}n a 的下列说法中，正确的个数有 （ ）

①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也

可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列 （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1

8、数列1

?,161

7,815,413,21,前n 项和为

（ ） （A ）1212+-n n （B ）212

112+-+n n （C ）1212+--n n n （D ）212112

+--+n n n

9、若两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足

5524-+=

n n B A n n ，则13

513

5b b a a ++的值为 （ ） （A ）

97 （B ）78 （C ）2019 （D ）8

7

10、已知数列{}n a 的前n 项和为252

+-=n n S n ,则数列{}

n a 的前10项和为 （ ）

（A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）60

11、已知数列{}n a 的通项公式5+=n a n 为, 从{}n a 中依次取出第3，9，27，…3n

, …项，按原来的顺序排成一个新

的数列，则此数列的前n 项和为 （ ）

（A ）2

)133(+n n （B ）53+n

（C ）23103-+n n （D ）231031-++n n

12、下列命题中是真命题的是 ( ) A ．数列{}n a 是等差数列的充要条件是q pn a n +=(0≠p )

B ．已知一个数列{}n a 的前n 项和为a bn an S n ++=2

,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列 C ．数列{}n a 是等比数列的充要条件1

-=n n ab

a

D ．如果一个数列{}n a 的前n 项和c ab S n

n +=)1,0,0(≠≠≠b b a ,则此数列是等比数列的充要条件是0=+c a

二、填空题

13、各项都是正数的等比数列{}n a ，公比1≠q 875,,a a a ,成等差数列，则公比q = 14、已知等差数列{}n a ，公差0≠d ,1751,,a a a 成等比数列，则18

6217

51a a a a a a ++++=

15、已知数列{}n a 满足n n a S 4

1

1+

=,则n a = 16、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为 三、解答题

17、已知数列{}n a 是公差d 不为零的等差数列，数列{}

n b a 是公比为q 的等比数列，46,10,1321===b b b ，求公比

q 及n b 。

18、已知等差数列{}n a 的公差与等比数列{}n b 的公比相等，且都等于d )1,0(≠>d d ,11b a = ，

333b a =,555b a =,求n n b a ,。

19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。 20、已知{}n a 为等比数列，32420

2,3

a a a =+=

，求{}n a 的通项式。 21、数列{}n a 的前n 项和记为()11,1,211n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T

22、已知数列{}n a 满足*

111,21().n n a a a n N +==+∈

（I ）求数列{}n a 的通项公式；

（II ）若数列{}n b 满足1211

1

4.4

...4(1)()n n b b b b n a n N ---*=+∈，证明：{}n b 是等差数列；

数列部分参考答案

二、 填空题 13.

251+ 14. 2926 15. n

)3

1(34- 16. ±63 三、解答题

17.a 1b =a 1,a 2b =a 10=a 1+9d ,a 3b =a 46=a 1+45d

由{a bn }为等比数例，得（a 1+9d ）2

=a 1(a 1+45d )得a 1=3d ,即a b 1=3d ,a b 2=12d ,a b 3=48d . ∴q =4 又由{a bn }是{a n }中的第b n a 项，及a bn =a b 1·4n -1

=3d ·4n -1

,a 1+(b n -1)d =3d ·4n -1

∴b n =3·4n -1

-2

18.∴ a 3=3b 3 , ∴a 1+2d =3a 1d 2 , ∴a 1(1-3d 2

)=-2d ①

a 5=5

b 5, ∴a 1+4d =5a 1d 4 , ∴a 1(1-5d 4

)=-4d ②

②① ,得24

3151d

d --=2，∴ d 2=1或d 2=51,由题意，d =55,a 1=-5。∴a n =a 1+(n -1)d =55(n -6) b n =a 1d n -1

=-5·(55)n -1 19.设这四个数为

a aq aq a q

a

-2,,, 则??

???=-++=?36)3(216·a aq aq a aq a q a

②① 由①，得a 3

=216,a =6 ③ ③代入②，得3aq =36,q =2 ∴这四个数为3，6，12，18

20.解: 设等比数列{a n }的公比为q , 则q ≠0, a 2=a 3q = 2

q

, a 4=a 3q =2q

所以 2q + 2q =203 , 解得q 1=1

3

, q 2= 3,

当q 1=13, a 1=18.所以 a n =18×(13)n －1=183n －1 = 2×33－n

.

当q =3时, a 1= 29 , 所以a n =29

×3n －1=2×3n －3

.

21.解：(I)由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得

()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥

又21213a S =+= ∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3得等比数列

∴1

3n n a -=

（Ⅱ）设{}n b 的公差为d

由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+ 又1231,3,9a a a ===

由题意可得()()()2

515953d d -+++=+ 解得122,10d d ==

∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d =

∴()

213222

n n n T n n n -=+?=+ 22（I ）：*121(),n n a a n N +=+∈

112(1),n n a a +∴+=+

{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列。

12.n n a ∴+=

即 2*

21().n a n N =-∈

（II ）证法一：

1211144...4(1).n n b b b b n a ---=+

12(...)42.n n b b b n nb +++-∴=

122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①

12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ② ②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+-

即1(1)20,

n n n b nb +--+= ③

21(1)20.

n n nb n b ++-++= ④

④－③，得 2120,n n n nb nb nb ++-+=即 2120,n n n b b b ++-+=

*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈

{}n b ∴是等差数列。