高等数学 第一章 函数与极限 第六节 极限存在准则 两个重要极限
极限存在准则与两个重要极限
极限存在准则与两个重要极限首先，我们来定义极限存在准则。
设函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当0<，x-a，<δ时，有，f(x)-L，<ε。
左极限：设函数f(x)在x=a的其中一左去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当a-δ<x<a时，有，f(x)-L，<ε。
右极限：设函数f(x)在x=a的其中一右去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当a<x<a+δ时，有，f(x)-L，<ε。
接下来，我们来介绍两个重要的极限存在准则。
1.夹逼准则（或夹挤准则）：设函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，且在这个去心邻域中，存在两个函数g(x)和h(x)，满足g(x)≤f(x)≤h(x)。
若当x→a时，g(x)和h(x)的极限都是L，则函数f(x)在x=a处的极限也是L。
夹逼准则的直观意义是，如果一个函数在一些点附近被两个函数“夹住”，而这两个函数的极限是相等的，则原函数在该点也存在极限，并且极限等于夹逼的值。
2.单调有界准则：如果函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，并且在这个去心邻域中是递增或递减的（即f’(x)≥0或f’(x)≤0），那么如果存在一个实数M，使得对于任意的x，都有f(x)≤M（或f(x)≥M），那么函数f(x)在x=a处存在极限。
单调有界准则的直观意义是，如果一个函数在一些点附近是单调递增或递减的，并且在该区间内被一个实数所界定，那么函数在该点存在极限。
这两个极限存在准则在微积分中具有重要的意义和应用。
在求解极限问题时，可以利用夹逼准则来确定极限的存在性。
而在证明一些极限存在的定理时，可以利用单调有界准则来进行证明。
总结起来，极限存在准则是用于确定函数在一些点是否存在极限的基本规则。
夹逼准则和单调有界准则是两个重要的应用极限存在准则，它们在微积分中有着广泛的应用。
极限存在准则两个重要极限公式
x x0
(x )
(x )
lim f (x) A
x x0 (x )
准则I和准则I′统称为夹逼准则.
注意:利用夹逼准则求极限的关键:构造出 yn 与 zn ,
且 yn与zn的极限是易求的.
2020/6/15
2
例1 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解： 因为 n < 1 + L + 1 < n
单调下降有下界数列必有极限 说 明:
(1) 在收敛数列的性质中曾证明：收敛的数列一定
有界，但有界的数列不一定收敛．
(2) 利用准则I I来判定数列收敛必须同时满足 数列
单调和有界这两个条件．
2020/6/15
9
(3) 准则 I I只能判定数列极限的存在性，而未给出 求极限的方法．
例如，数列 xn (1)n ，虽然有界但不单调； 数列 xn n ，虽然是单调的，但其无界， 易知，这两数列均发散．
sin x
=
1
5
x® 0 x
例2 求
解:
lim
x0
tan x
x
lim x0
sin x
x
1 cos
x
lim
x0
sin x
x
lim 1 x0 cos
x
1
例3 求
解: 令 t arcsin x, 则 x sin t , 因此
原式 lim t t0 sin t
sin t 1
t
注: 利用变量代换，可得更一般的形式 lim sin (x) 1 (x)0 (x)
(4) 对于准则I I函，数极限根据自变量的不同变化过程 (x x0 , x x0 , x , x , x ) 也有类似的 准则， 只是准则形式上略有不同. 例如，
1-6极限存在准则与两个重要极限
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微积分
第一章 极限与连续
五、连续复利公式
设本金为 A , 年利率为 r .
按年计息 : 一年末本利和为 二年末本利和为 t 年末本利和为 : A(1 r) .
t
: A ( 1 r ); : A (1 r ) ;
2
返回
微积分
按月计息 : 一年末本利和为 二年末本利和为 t 年末本利和为
n
x n 6 ( n 1, 2 , )，
返回
微积分
第一章 极限与连续
四、第二个重要极限
1
lim (1 x )
x 0
x
e 或 lim (1
x
1 x
) e
x
返回
微积分
第一章 极限与连续
例4 求下列极限：
(1) lim (1
x 2
3 x
)
x
( 2 ) lim x 1 x
微积分
第一章 极限与连续
第六节
极限存在准则与两个重要极限
一、夹逼准则
定理1： ( 1 ) 若当
n
n N 0时 , 有 y n x n z n , 且
n n
lim y n lim z n a , 则 lim x n a . ( 2 ) 若当 x U ( x 0 ) 时 , 有 g ( x ) f ( x ) h ( x ), 且
x 0
是
x 0
而 lim
x
;
sin[ ( x ]
( 3 ) 将 x 换成 ( x ), 则有 sin( 1 x ) 1 x 1.
(x)
1 ( ( x ) 0 ),
高等数学1-6极限存在准则,两种重要极限
xn a 成立,
该准则可以推广到函数的极限
准则 I'
如果当 x U ( x0 ) (或 | x | M )时,有
(1) g( x ) f ( x ) h( x ),
(2) lim g ( x ) A,
x x0 ( x ) x x0 ( x )
o
lim h( x ) A,
lim 那么 x x f ( x ) 存在, 且等于 A .
( x )
0
准则 I 和准则 I’ 称为夹逼准则. 注意: 利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与 zn
( g( x ), h( x )), 并且 yn ( g ( x ))与zn ( h( x )) 的极限
1 x lim (1 ) e . x x
1 x 再证 xlim (1 ) e , x
令 t x,
1 x lim (1 ) e . x x
1 x 1 t t t lim (1 ) lim(1 ) lim( ) x t t t 1 x t 1 t lim(1 ) lim(1 1 )t 1 (1 1 ) e. t t 1 t t 1 t 1 1 令t , x
复习
1. 无穷小与无穷大的定义
2. 无穷小与函数极限的关系 3. 无穷小与无穷大的关系
几点注意:
1. 无穷小和无穷大是相对于过程而言的;
2. 无穷小(大) 是变量，不能与很小(大)的数混淆; 3. 零是唯一可作为无穷小的数； 4. 无界变量未必是无穷大.
1. 极限运算法则
(1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 复合函数极限运算法则
arcsin x . 例5. 求 lim x 0 x
1-6极限准则两重要极限
例8 求极限 解 令
arcsin x lim x 0 x
则
arcsin x t
x sin t
t 1 原式= lim t 0 sin t
思考
arctan x lim ? x 0 x arccos x lim ? x 0 x
(2)
1 x lim (1 ) e x x
1 1 1 1 1 1 n 1 xn 1 1 2! n! 2 2 1 xn 是有界的; 3 n 1 3, 2 1 n lim x n 存在. 记为 lim (1 ) e (e 2.71828) n n n
0 ( )型 0
tan x sin x 例4 求极限 lim 3 x 0 x
0 ( )型 0
tan x sin x 解 lim 3 x 0 x 1 1 sin x cos x lim x 0 x x2
sin x 1 cos x 1 lim 2 x 0 x x cos x
2
sin x 即 cos x 1, x
2
lim cos x 1,
x 0
又 lim 1 1,
x 0
sin x lim 1. x 0 x
0 ( )型 0
例2 求极限 解
tan x lim x 0 x
0 ( )型 0
tan x lim x 0 x
sin x 1 lim x 0 x cos x
1 2
cos x cos 3 x 例5 求极限 lim x 0 x2 cos x cos 3 x 解 lim x 0 x2
2 sin(2 x ) sin x lim 2 x 0 x
两个极限存在准则和两个重要的极限
两个极限存在准则和两个重要的极限第一个极限存在准则是柯西-斯维亚切斯极限存在准则（Cauchy-Schwarz Limit Existence Criteria）。
其表述为：对于一个函数 f(x)，如果对于任意的ε>0，存在一个δ>0，使得当 0<，x-a，<δ 时，总有，f(x)-f(a)，<ε，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。
第二个极限存在准则是海涅定理（Heine's Theorem），也被称为局部有界性定理（Local Boundedness Theorem）。
其表述为：如果对于一个函数 f(x)，在点 a 的一些邻域内 f(x) 有界，即存在一个常数 M>0，使得对于所有的x∈(a-δ,a+δ) 有，f(x)，≤M，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。
这两个极限存在准则都用于判断函数在其中一点处的极限是否存在。
柯西-斯维亚切斯极限存在准则要求函数在该点的极限存在时，对于任意给定的ε>0，都能找到对应的δ>0，使得函数值与极限值的差小于ε。
而海涅定理则要求函数在该点附近有界，即函数在该点附近的函数值都不超过一些常数M。
这两个定理的应用范围和方法略有不同。
除了极限存在准则外，还有两个重要的极限：无穷小与无穷大。
无穷小是指极限趋近于零的数列或函数。
对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数ε>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，<ε，则该数列是无穷小。
对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=0，则该函数在点 a 处是无穷小。
无穷大则是指极限趋于无穷的数列或函数。
对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数 M>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，>M，则该数列是无穷大。
对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=∞（或表示为lim(x→a) ，f(x)，=∞），则该函数在点 a 处是无穷大。
高数同济§1.6 极限存在准则两个重要极限
从而有
= lim ( t +
t +
-1 t (t +1) t +1
)
1) t +1 = lim (1 + t t +
= lim [(1 + 1)t (1 + 1)] = e t t
故
1) x lim (1 + x x
n1 = 1 + 1! n
xn+1 = 1 + 1 +
1 (1 - 1 ) + 1 (1 - 1 )(1 - 2 ) + 2! n+1 3! n+1 n+1
大 大
1 + ( n+1)! (1 - n1 1)(1 - n2 1)(1 - nn 1) + + +
正
比较可知
首页
xn xn+1 ( n = 1, 2 , )
那么数列{xn }的极限存在 且 lim xn = a
由条件(2) e 0 N 0 当nN 时 有 |yn-a|e 及|zn-a|e 即有 a-eyna+e a-ezna+e 由条件(1) 有 a-eynxnzna+e 即 |xn-a|e 这就证明了 lim xn =a 简要证明
6.lim(1 + x ) =
x 0 1 x
1 x 5.lim(1 - ) = x x
1 x x 0
e
-1
;
e;
7.lim(1 - x ) = e -1 .
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大一高等数学 第一章第六节 极限存在准则 两个重要极限
lim f (x) A
(
x x
x0 )
( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 )
二、 两个重要极限证:Leabharlann 当x(0,
π 2
)
时，
△AOB 的面积＜
圆扇形AOB的面积
BD
1
x O
C
A
＜△AOD的面积
即 亦故即有 显然有
1 2
sin
x
1 2
tan
x
sin x x tan x
(0
x
π 2
)
cos x sin x 1 x
有
lim
n
f
(xn
)
A.
法1 找一个数列
xn x0 ,
使
lim
n
f
(xn
)
不存在
.
法2 找两个趋于
的不同数列 xn 及 xn , 使
lim
n
f
(xn )
lim
n
f
(xn )
例1. 证明
不存在 .
证: 取两个趋于 0 的数列
xn
1 2n π
及
xn
1 2n π
π 2
(n 1, 2,)
有 lim sin 1 lim sin 2n π 0 n xn n
3. lim xsin 1 __0__ ;
x0
x
2. lim xsin 1 _1___ ;
x
x
4. lim (1 1)n _e__1_; n n
作业
P56 1 (4)，(5)，(6) ;
(4) ;
2
(2)，(3)，
4
(4) , (5)
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A
M
x
例2 证
证明数列 x n = 3 + 3 +
显然 x n + 1 > x n ,
+ 3
( n重根
式)的极限存在 , 并求其极限 .
∴ {xn } 是单调递增的 ;
又 ∵ x1 = 3 < 3, 假定 x k < 3, x k + 1 = 3 + x k< 3 + 3 < 3,
∴ {xn } 是有界的 ;
lim
n n +1
2
n→ ∞
= lim
1
n→ ∞
= 1,
由夹逼准则得
2.单调有界准则
如果数列 xn满足条件 x1 ≤ x 2 x1 ≥ x 2
准则Ⅱ
≤ x n ≤ xn+1 ≤ ≥ x n ≥ xn+1 ≥
, 单调增加 , 单调减少
单调数列
单调有界数列必有极限 .
几何解释:
x1 x 2 x 3x n x n + 1
x2 ∵ lim = 0, x→0 2
∴ lim cos x = 1,
x→0
∴ lim(1 cos x ) = 0,
x→0
又 ∵ lim 1 = 1,
x→0
sin x ∴ lim = 1. x→0 x
注:由证明过程得重要不等式
sin x ≤ x , x ∈ R.
tan x 例3 求 lim . x→ 0 x
sin kx = 8, k = ? 例6 设 lim0 x→ x sin kx sin kx = lim k 解 8 = lim x→0 x→0 x kx sin kx ∴ k = 8. = k lim = k x→ 0 kx
1 x (2) lim (1 + ) = e x→∞ x 1 n 先证 lim(1 + ) 存在. n→ ∞ n
A 2 = 3 + A,
二,两个重要极限
(1)
C
sin x lim =1 x →0 x
π
B
o
x
设单位圆 O , 圆心角 ∠AOB = x , (0 < x < ) 2
D
A
作单位圆的切线 ,得ACO .
扇形 OAB的圆心角为 x ,
OAB的高为 BD ,
∵ S OAB < S扇 < S OAC
于是有 BD = sin x , AC = tan x ,
1 n 设 x n = (1 + ) n n 1 n( n 1) 1 = 1+ + 2+ 1! n 2! n
( x→∞ )
0
x → x0 ( x→∞ )
lim h( x ) = A,
那末 lim f ( x )存在, 且等于 A.
x → x0 ( x→∞)
准则 I和准则 I'称为夹逼准则. 注意: 利用夹逼准则求极限关 键是构造出 yn与 zn ,
并且 yn与 zn的极限是容易求的 .
例1例4 求 lim 2 x→0 x
2
x 2 x sin 2 sin 2 2 = 1 lim 解 原式 = lim 2 2 x →0 x→ 0 2 x x 2 2 x sin 1 2 = 1 12 = 1 . = lim 2 2 2 x →0 x 2
∴ lim x n 存在. 设 lim x n =A. n→ ∞
n→ ∞
2 lim x n + 1 = lim ( 3 + x n ), n→ ∞ n→ ∞
2 ∵ xn+1 = 3 + xn , xn+1 = 3 + xn ,
1 + 13 1 13 (舍去) , A= 解得 A = 2 2 1 + 13 ∴ lim x n = . n→ ∞ 2
§6. 极限存在准则,两个重要极限 一,极限存在准则 1.夹逼准则
准则Ⅰ 如果数列 x n , y n 及 z n 满足下列条件:
(1) yn ≤ xn ≤ zn
n→ ∞
( n = 1,2,3 )
( 2) lim yn = a , lim z n = a ,
那末数列 x n 的极限存在, 且 lim x n = a .
1 cos x ∴ lim = 1. 2 x →0 x 2
例5
sin(x 2 4) 求 lim . x →2 x2
2
sin(x 4) ( x + 2) 解 原式 = lim 2 x→2 x 4
sin(x 2 4) = lim lim( x + 2) = 1 4 = 4 2 x→2 x 4 x→2
1 1 1 ∴ sin x < x < tan x , 2 2 2
∴ sin x < x < tan x , 即 cos x < sin x < 1, x
π 上式对于 < x < 0也成立 . 2
当 0 < x < 时, 2
π
x x 2 x2 0 < cos x 1 = 1 cos x = 2 sin 2 < 2( ) = , 2 2 2
n→ ∞
1 n +1
2
+
1 n +2
2
+
1
+
<
1 n +n
2
).
1 n < + 解 ∵ 2 2 n +n n +1
n = lim 又 lim 2 n→ ∞ n + n n→ ∞ 1
+
n n +1
2
n +n
2
,
1 1+ n
= 1,
1 1+ 2 n 1 1 1 lim ( 2 + + + ) = 1. 2 2 n→ ∞ n +1 n +2 n +n
n→ ∞
n→ ∞
证 ∵ yn → a ,
zn → a ,
ε > 0, N 1 > 0, N 2 > 0, 使得
当 n > N 1时恒有 y n a < ε , 当 n > N 2时恒有 z n a < ε ,
取 N = max{ N 1 , N 2 }, 当 n > N时, 上两式同时成立, 即 a ε < yn < a + ε, a ε < z n < a + ε,
当 n > N时, 恒有 a ε < yn ≤ xn ≤ zn < a + ε ,
即 xn a < ε 成立 ,
∴ lim x n = a .
n→ ∞
上述准则可以推广到函数的极限
准则Ⅰ′ 如果当 x ∈ U ( x 0 ) (或 x > M )时,有
o
(1) g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x ), ( 2 ) x → x g ( x ) = A, lim
解
tan x sin x 1 lim = lim x →0 x →0 x x cos x sin x 1 =1 = lim lim x →0 x x → 0 cos x tan x ∴ lim =1 x →0 x
tan 2 x tan 2 x 例如: lim = lim 2 x→0 x→0 x 2x