第五章-应力状态分析强度理论组合变形
第五章 应力状态分析、强度理论、组合变形.
m
m
A
(a)
τ m W
A
(b)
3
450
x A
τ max
1
(c)
5.3 三向应力状态简介、广义虎克定律
5.3.1 三向应力的最大应力
三向应力状态：若过一点单元体上三个主应力均不为零。 称该单元体处于三向应力状态。
设三向应力状态的三个主应力为： 1、 2、 3
则： max 1
匀分布的，其值为：
N A
Pcos
A
②.在横向力Py作用下，在固定端处的弯矩最大，其值为：
Mmax PyL PLcos
W
W
W
③.危险截面的总应力为： N Mmax N PLcos
AWA W
或
： max min
1
1
1
1
σ1 E
μ σ2 E
μ σ3 E
1 E
1
( 2
3
)
同理可得： 2
1 E
σ2
μ(σ1
σ3
)
ε3
1 E
σ3
μ(σ1
σ2
)
5.4 强度理论简介
5.4.1 脆性断裂理论
1.最大拉应力理论（第一强度理论）：此理论认为最大拉 应力是引起断裂的主要因素。
第五章 应力状态分析 强度理论 组合变形
一、课时安排：4学时 二、本章的重点、难点：
1.重点：强度理论； 2.难点：三向应力状态分析； 3.掌握平面应力状态分析中主应力的求法；
5 应力状态分析 强度理论 组合变形
q=5KN/m
Z
P=2KN
X
2m
y
拉伸（压缩）与弯曲的组合作用
一、概念： 在实际工程中，杆件受横向力和轴向力的作用，则杆
件将产生拉（压）弯组合变形。
二、计算：
x截面任意点应力：
sk
N (x) A
M (x) y ; Iz
挡土墙底部截面轴力和弯矩最大，
为危险截面，其最大和最小应力为：
(d)
q(x)(d)
一、概念：
组合变形的强度计算
1. 组合变形：受力构件产生的变形是由两种或两种以
上的基本变形组合而成的。
2. 组合变形实例 ：
y
p
m
T
传动轴
x
m
檩条檩条
檩条
屋
y
架
a
p
q烟
G
囱
雨篷
牛 腿 柱
四种基本变形计算：
变形 轴向拉压 外力 轴向力
剪切 扭转 横向力 外力偶
平面弯曲A 横向力或外力偶
内力 轴力(Ｎ)
构件，[s]=40MPa，试用第一强度理论校核杆的强度。
T
解：危险点A的应力状态如图：
A P
T
P
s PA405.1021036.37MPa
AA s tt
t
T Wn
16700.1030
35
.7MPa
s1
2
s
2
(s )2 t 2 6.37
2
2
(6.37 )2 35.72 32.7MPa 2
s139MPa,s 20,s 332MPa s1 s 故安全。
t max
s1
s3
2
60 (51) 2
强度理论
第五节 强度理论一、强度理论概述各种材料因强度不足而引起的失效现象是不同的。
根据第五章的讨论，我们知道象普通碳钢这样的塑性材料，是以发生屈服现象、出现塑性变形为失效的标志；而象铸铁这样的脆性材料，失效现象是突然断裂。
第五～八章的强度条件可以概括为最大工作应力不超过许用应力，即[]σ≤σmax 或[]τ≤τmax 。
这里的许用应力是从试验测得的极限应力除以安全系数得到的，这种直接根据试验结果来建立强度条件的方法，对于危险点处于复杂应力状态的情况不再适用。
这是因为复杂应力状态下三个主应力的组合是各种各样的，1σ、2σ和3σ之间的比值有无限多种情形，不可能对所以的组合都一一试验确定其相应的极限应力。
事实上，尽管失效现象比较复杂，但可以归纳为如下二点：1．材料在外力作用下的破坏形式不外乎有几种类型；2．同一类型材料的破坏是由某一个共同因素引起的。
人们在长期的实践中，综合多种材料的失效现象和资料，对强度失效提出各种假说。
这些假说认为，材料按断裂或屈服失效，是应力、应变或变形能等其中某一因素引起的。
按照这些假说，无论是简单还是复杂应力状态，引起失效的因素是相同的，造成失效的原因与应力状态无关。
这些假说称为强度理论。
利用强度理论，就可以利用简单应力状态下的试验（例如拉伸试验）结果，来推断材料在复杂应力状态下的强度，建立复杂应力状态的强度条件。
强度理论是推测材料强度失效原因的一些假说，它的正确与否以及适用范围，必须在工程实践中加以检验。
经常是适用于某类材料的强度理论，并不适用于另一类材料。
下面介绍的四种强度理论，都是在常温静载荷下，适用于均匀、连续、各向同性材料的强度理论。
二、四种强度理论1） 最大拉应力理论（第一强度理论）这一理论认为引起材料脆性断裂破坏的因素是最大拉压力，它是人们根据早期使用的脆性材料（象天然石、砖和铸铁等）易于拉断而提出的。
该理论认为无论什么应力状态下，只要构件内一点处的最大拉压力1σ达到单向应力状态下的极限应力b σ，材料就要发生脆性断裂。
k-组合变形-应力状态理论幻灯片PPT
否可以叠加?
安全
安全 安全吗?
(3) 组合变形危险点
复杂应力状态
Complex stress state
A
危险点
A 点在什么情况下 平安又在什么情况下 危险?
问题 (Question) :
When :
[]
[]
问题: A 点的 平安性由什么 来决定?
Is the poiAnt点A平i安n 吗sa?fety or not ?
qmaxEmAax
•
A
L
A
问题: 材料力学这样分析杆 件的平安性问题是基于什么 思想?
注意: 杆件的强度 分析实质上是分析 危险点的强度!
maxqAL[]
那么杆件平安
maxqAL[]
那么杆件不平安
2. 一点处材料的强度
Strength of materials at one point
(1) 拉压及梁弯曲最大正应力点
Results:
(1) The strength of materials at one point is relation to its mechanic behaviors. (2) The strength of materials at one point is relation to the stresses of this point, many times relation to the stresses along the slope directions. (3) The strength of materials at one point is relation to some maxium stresses of this point.
k-组合变形-应力状态理论 幻灯片PPT
应力状态分析 、强度理论、组合变形
Page57
BUCT
解：1 T＝3×0.25 ＝ 0.75KN.M
2 MxY ＝7×0.22 ＝ 1.54KN.M
3 MxY中＝7×0.22×0.5 ＝0.77KN.M
4 MxZ＝3.5×0.4＝ 1.4KN.M
5
M总
M
2 z
M
2 y
=1.6
6
r3
1 W
M 2 T 2 [ ]
Page28
BUCT
化工设备机械 基础
然后叠加
= + = Pcos / A + Pl sin y / Iz
1 = N / A + M / Wz
2 = N / A - M / Wz
Page29
BUCT
例题5-5
化工设备机械 基础
Page30
BUCT
化工设备机械 基础
Page31
BUCT
uf 达到某一数值时，材料失效。
强度条件：
1 2
[(1
2
)2
(
2
3
)2
(
3
1)2
]
[]
Page21
BUCT
化工设备机械 基础
r1 1
r2 1－μ（σ2 － σ3 ）
r3 1 3 2 4 2
r4
1 2
2 3 2
r3
( M )2 4( T )2 1
W
Wp
W
M 2 T 2 [ ]
Page2
BUCT
§1 应力状态的概念
化工设备机械 基础
一、问题的提出
杆件在基本变形时横截面上应力的分布规律
1. 轴向拉压：
材料力学章节重点和难点
材料力学章节重点和难点第一章绪论1．主要内容：材料力学的任务；强度、刚度和稳定性的概念；截面法、内力、应力，变形和应变的基本概念；变形固体的基本假设；杆件的四种基本变形。
2．重点：强度、刚度、稳定性的概念；变形固体的基本假设、内力、应力、应变的概念。
3．难点：第二章杆件的内力1．主要内容：杆件在拉压、扭转和弯曲时的内力计算；杆件在拉压、扭转和弯曲时的内力图绘制；平面弯曲的概念。
2．重点：剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图。
3. 难点：绘制剪力图和弯矩图、剪力和弯矩间的关系。
第三章杆件的应力与强度计算1．主要内容：拉压杆的应力和强度计算；材料拉伸和压缩时的力学性能；圆轴扭转时切应力和强度计算；梁弯曲时正应力和强度计算；梁弯曲时切应力和强度计算；剪切和挤压的实用计算方法；胡克定律和剪切胡克定律。
2．重点：拉压杆的应力和强度计算；材料拉伸和压缩时的力学性能；圆轴扭转时切应力和强度计算；梁弯曲时正应力和强度计算。
3．难点：圆轴扭转时切应力公式推导和应力分布；梁弯曲时应力公式推导和应力分布；第四章杆件的变形简单超静定问题1．主要内容：拉（压）杆的变形计算及单超静定问题的求解方法；圆轴扭转的变形和刚度计算；积分法和叠加法求弯曲变形；用变形比较法解超静定梁。
2．重点：拉（压）杆的变形计算；；圆轴扭转的变形和刚度计算；叠加法求弯曲变形；用变形比较法解超静定梁。
3．难点：积分法和叠加法求弯曲变形；用变形比较法解超静定结构。
第五章应力状态分析? 强度理论1．主要内容：应力状态的概念；平面应力状态分析的解析法和图解法；广义胡克定律；强度理论的概念及常用的四种强度理论。
2．重点：平面应力状态分析的解析法和图解法；广义虎克定律；常用的四种强度理论。
3．难点：主应力方位确定。
第六章组合变形1．主要内容：拉伸(压缩)与弯曲、斜弯曲、扭转与弯曲组合变形的强度计算；2．重点: 弯扭组合变形。
3．难点：截面核心的概念第七章压杆稳定1．主要内容：压杆稳定的概念；各种支座条件下细长压杆的临界载荷；欧拉公式的适用范围和经验公式；压杆的稳定性校核。
组合变形的强度计算
o
z
Mz y0 M yz0 0
Iz
Iy
y0 cos z0 sin 0
F
Iz
Iy
y
当 y0 0, z0 0时，此方程成立，
说明中性轴通过截面的形心。
设中性轴与 y轴的夹角为，即
tan z0 I y sin I y tan
y0
Iz cos
Iz
tan I y tan
Iz
中性轴的位置确定后，离中性轴最远的点有最大的拉压应力。
①外力分解：Fy F cos， Fz F sin
②内力分析：（找危险截面）
b
z
F y M y Fz x Fx sin
固定端截面为危险截面：Mz Fyl Fl cos
M y Fzl Fl sin
z
z
Fz F sin
b
Fz z
y
x
h
z
A
z
F
y
yx
Fy y Fy F cos
F y
l
§8-1 概述 §8-2 两相互垂直平面内的弯曲 §8-3 拉伸（压缩）与弯曲 §8-4 扭转与弯曲
§8-1 概述
组合变形：由两种或两种以上基本变形组合形成的变形。 工程实例：
●组合变形的分析方法
叠加原理 当材料处于线弹性阶段时，杆件上的各种荷载所 引起的内力和基本变形互不影响，即各种内力、应力 和变形、应变是彼此独立的。
●组合变形的中性轴的确定
横截面上正应力为零的点连成的直线
z
z
Fz z
b
y
xh
z
A
z
F
A( y, z)
y
yx
Fy y
应力状态分析和强度理论
03
弹性极限
材料在弹性范围内所能承受的最大应力状态，当超过这一极限时，材料会发生弹性变形。
01
屈服点
当物体受到一定的外力作用时，其内部应力状态会发生变化，当达到某一特定应力状态时，材料会发生屈服现象。
02
强度极限
材料所能承受的最大应力状态，当超过这一极限时，材料会发生断裂。
应力状态对材料强度的影响
形状改变比能准则
04
弹塑性材料的强度分析
屈服条件
屈服条件是描述材料在受力过程中开始进入屈服（即非弹性变形）的应力状态，是材料强度分析的重要依据。
根据不同的材料特性，存在多种屈服条件，如Mohr-Coulomb、Drucker-Prager等。
屈服条件通常以等式或不等式的形式表示，用于确定材料在复杂应力状态下的响应。
最大剪切应力准则
总结词
该准则以形状改变比能作为失效判据，当形状改变比能超过某一极限值时发生失效。
详细描述
形状改变比能准则基于材料在受力过程中吸收能量的能力。当材料在受力过程中吸收的能量超过某一极限值时，材料会发生屈服和塑性变形，导致失效。该准则适用于韧性材料的失效分析，尤其适用于复杂应力状态的失效判断。
高分子材料的强度分析
01
高分子材料的强度分析是工程应用中不可或缺的一环，主要涉及到对高分子材料在不同应力状态下的力学性能进行评估。
02
高分子材料的强度分析通常采用实验方法来获取材料的应力-应变曲线，并根据曲线确定材料的屈服极限、抗拉强度等力学性能指标。
03
高分子材料的强度分析还需要考虑温度、湿度等环境因素的影响，因为高分子材料对环境因素比较敏感。
02
强度理论
总结词
该理论认为最大拉应力是导致材料破坏的主要因素。
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x 13.67MPa
20.98MPa
40MPa 10MPa
τα σα
40MPa x α
20MPa
n
第五章-应力状态分析强度理论组合变形
5.2 平面应力状态分析
5.2.2 主平面和主应力
平面应力状态中有一个主平面是已知的，另外两个主平面
可通过确定正应力极值的方法求出。
将（5 - 3）对求导，并令d 0得： d
5.1 应力状态的概念
5.1.2 主平面和主应力
1.定义：单元体上剪应力为零的平面称为主平面。主平 面上的正应力称为主应力。
2.主应力单元体：由主平面组成的单元体，称为主应力 单元体。常用它表示一点的应力状态。
σ1 (a)
σ2
σ2
σ1
σ1
σ3
(b)
(c)
图5-3 应力状态分类
第五章-应力状态分析强度理论组合变形
( x y )sin cos xy (cos2 sin 2 )
因：cos2 1 cos2 , sin 2 1 cos2 ,
2
2
2sin cos sin2 , 代入上式得：
x
y
2
x
y
2
cos2
xysin2
x
y
2
sin2
xy cos2
(5 1) (5 2)
(5 3) (5 4)
第五章-应力状态分析强度理论组合变形
5.2 平面应力状态分析
例5-1：已知如图，求斜截面上的正应力和剪应力。
解：令 x 40MPa , xy 10MPa,
y 20MPa, 600 .
代入下式得：
x
y
2
x
y
2
cos2
xy sin2
y
20MPa
10MPa
x
y
2
sin2
xy cos2
第五章 应力状态分析 强度理论 组合变形
一、课时安排：4学时 二、本章的重点、难点：
1.重点：强度理论； 2.难点：三向应力状态分析； 3.掌握平面应力状态分析中主应力的求法；
三、本章授课内容：
5.1 应力状态的概念 5.2 平面应力状态分析 5.3 三向应力状态简介、广义虎克定律 5.4 强度理论简介 5.5 组合变形的强度计算
5.2.1 任意斜截面上的应力
任取斜截面ef，其法线n与x轴正向的夹角为α。规定： α角自x轴正向逆时针转到n为正。
y
σy
n
τyx
d
c
α
e
σx
x
f τxy
a
b
dA
τxy e τα σα
σx
n αx
f
a
τyx
σy
t
(a)
(b)
图5-5 斜截面上的应力
第五章-应力状态分析强度理论组合变形
5.2 平面应力状态分析
τxy e τα σα
αx
t 0 , ταdA(τxydAcos )cos
σx
(σ xdAcosα)sinα (τ yxdAsinα)sinα
f
a
τyx
(σ ydAsinα)cosα 0
σy
t
第五章-应力状态分析强度理论组合变形
5.2 平面应力状态分析
化简后得：
xcos2 ysin 2 2 xysin cos
max
max
min
2
再比较（5 - 5）和( 5 8 ),可见：
(5 9)
tan21
1
tan2 0
ctan2 0
tan( 20
2
)
因此有：
2 1
2 0
2
, 1
0
4
这说明极值剪应力所在平面与主平面成450 角。
第五章-应力状态分析强度理论组合变形
例5-2：分析拉伸试验时低碳钢试件出现滑移线的原因。
A P
P
P
2
A
y
n
σ0 45
450
σ
x
A
τmax
(a)
(b)
(c)
因 x , y 0, xy 0 由（5 - 6）式得： max , min 0, 由（5 - 9）得： max 2。
第五章-应力状态分析强度理论组合变形
例5-3：讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件 受扭时的破坏现象。
m
m
A
τ m W
A
3
450
x A
τ max
1
(a)
(b)
(c)
第五章-应力状态分析强度理论组合变形
5.3 三向应力状态简介、广义虎克定律
5.3.1 三向应力的最大应力
三向应力状态：若过一点单元体上三个主应力均不为零。 称该单元体处于三向应力状态。
设三向应力状态的三个主应力为： 1、 2、 3
max min
x
y
2
(x
y
2
)2
2 xy
(5 6)
比
较
max、
min
和0的
大
小
，
便
可
确
定
1、
、
2
和
。
3
第五章-应力状态分析强度理论组合变形
5.2 平面应力状态分析
5.2.3 极值剪应力
为确定极值剪应力，令 d 0 ,由公式（5 - 4）得：
d
d d
(x
y
)cos2
2 xysin2
0
设
极
值
剪
应
力
所
在
平
面外
法
线
与x轴
正
向
夹
角
为
，
1
则
：
ta n2 1
x y 2 xy
(5 7)
由
上
式
解
出s
in2
1和c
o
s
2
，
1
代
回
（5
-
4）
式
可
得
：
max min
(x
y
2
)2
2 xy
(5 8)
第五章-应力状态分析强度理论组合变形
5.2 平面应力状态分析
将（5 - 6）式与（5 - 8）式对比，可得如下关系：
第五章-应力状态分析强度理论组合变形
5.1 应力状态的概念
5.1.1 一点的应力状态
通过受力构件上一点的所有各个不同截面上应力的集合， 称为该点的应力状态。
P
A
P
σ
σσ
σ
A
A
m B m
Bτ
Bτ
图5-1 拉伸杆件一点的应力状态 图5-2 圆轴扭转表面一点的应力状态
第五章-应力状态分析强度理论组合变形
5.2 平面应力状态分析
y
y
τyx
σy
σy
σx x
τyx
σx x
τxy
τxy
(a)
(b)
图5-4 二向应Biblioteka 状态单元体根据剪应力互等定 理知：τ xy τ yx
符号规定：正应力， 拉为正，压为负；剪应 力以对单元体内任一点 产生顺时针力矩为正， 反之为负。
第五章-应力状态分析强度理论组合变形
5.2 平面应力状态分析
d d
2
x
y
2
sin2
xycos2 0
与（5 - 4）相比可知，极值正应力所在的平面为剪应力
( 0)为零的平面，即主平面。
tan2 0
2 xy x y
(5 5)
第五章-应力状态分析强度理论组合变形
5.2 平面应力状态分析
有（5-5）解出sin2α0和cos2α0代回（5-3）式，求的最 大正应力和最小正应力为：
设σx≥σy，其中，τ xy τ yx 取aef为研究对象。若ef的面
积为dA，则af和ae面的面积分别为：dAsinα和dAcosα 。
由静力平衡方程：
n 0 , σαdA (τxydAcos )sin
dA
(σ xdAcos )cos (τ yxdAsinα)cos
n
(σ ydAsinα)sin 0