最新等差数列知识点总结

等差数列的性质总结

1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；

2．等差数列通项公式：

*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a

推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=

；

3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=

或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a

4．等差数列的前n 项和公式：

1()2n n n a a S +=1(1)2

n n na d -=+

特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项

5．等差数列的判定方法

（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．

（2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．

（3） 数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。(K=d ，b=a1-d)

（4） 数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法

定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．

7.提醒：等差数列的通项公式n a 及前n 项和n S 公式中，涉及到5个元素：n n S a n d a 及、、、1，其中d a 、1称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2.

8. 等差数列的性质：

（1）当公差0d ≠时，

等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；

前n 和211(1)()222

n n n d d S na d n a n -=+

=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=⋅⋅⋅，

（4）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列

(5) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列

（6）数列{}n a 为等差数列,每隔k(k ∈*

N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++⋅⋅⋅)仍为等差数列

（7）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和

1.当项数为偶数n 2时， ()121135212

n n n n a a S a a a a na --+=+++⋅⋅⋅+==奇

()22246212n n n n a a S a a a a na ++=+++⋅⋅⋅+==偶

()11=n n n n S S na na n a a nd ++-=-=-偶奇

11

n n n n S na a S na a ++==奇

偶

2、当项数为奇数12+n 时，则

21(21)(1)1n S S S n a S n a S n S S a S na S n

+⎧=+=+=+⎧+⎪⎪⇒⇒=⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩n+1

n+1奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶

等差数列练习：

一、选择题

1.已知为等差数列，135246105,99a a a a a a ++=++=，则20a 等于（ ）

A. -1

B. 1

C. 3

D.7

2.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于( )

A ．13

B ．35

C ．49

D ． 63

3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4， 则公差d 等于( )

A ．1 B. 5

3 C. - 2 D. 3

4.已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝( )

A.－2

B.－1

2 C.1

2 D.2

5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ）

（因为Sn 是等差数列 所以S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9是等差数列）

A ．63

B ．45

C ．36

D ．27

6.在等差数列{}n a 中， 40135=+a a ，则 =++1098a a a （ ）。

A ．72

B ．60

C ．48

D ．36

1、已知等差数列{}n a 中，6012952=+++a a a a ，那么=13S

A ．390

B ．195

C ．180

D ．120

2、等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为( )

A. 130

B. 170

C. 210

D. 260

二、填空题

1、等差数列{}n a 中，若638a a a =+，则9s = .

2、等差数列{}n a 中，若2

32n S n n =+，则公差d = .