中考数学二模试题(含解析) (2)
中考数学二模试题一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．计算2m2n﹣3nm2的结果为（）A．﹣1 B．﹣5m2n C．﹣m2n D．不能合并2．已知，如图，AC与BD相交于点O，AB∥CD，如果∠C=30.2°，∠B=50°56′，那么∠BOC 为（）A．80°18′ B．50°58′ C．30°10′ D．81°8′3．长方体的主视图与左视图如图所示（单位：cm），则其俯视图的面积是（）A．12cm2B．8cm2C．6cm2D．4cm24．某赛季甲、乙两名篮球运动员12场比赛得分情况用图表示如下：对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是（）A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B．甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数C．甲运动员的得分平均数大于乙运动员的得分平均数D．乙运动员的成绩比甲运动员的成绩稳定5．已知y是关于x的函数，函数图象如图，则当y＞0时，自变量x的取值范围是（）A．x＜0 B．﹣1＜x＜1或x＞2 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1或1＜x＜26．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与图中4×7方格中的格点的连线中，能够与该圆弧相切的格点个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．超市有一种“喜之郎”果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为4cm，底面是个直径为6cm的圆，横截面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的小，那么要制作这样一个包装盒至少纸板（）平方厘米．（不计重合部分）A．253 B．288 C．206 D．2458．如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，垂足为点B，连接CO并延长交⊙O于点D、E，连接AD 并延长交BC于点F．则下列结论正确的有（）①∠CBD=∠CEB；② =；③点F是BC的中点；④若=，tanE=．A．①② B．③④ C．①②④D．①②③二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．请把答案填在题中横线上9．因式分解：x2y﹣7y= ．10．一个不透明的盒子里有4个除颜色外其他完全相同的小球，其中每个小球上分别标有1，﹣1，﹣2，﹣3四个不同的数字，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下数字后再放回盒子，那么两次摸出的小球上两个数字乘积是负数的概率为．11．函数y=与y=x﹣2的图象交点的横坐标分别为a，b，则+的值为．12．如图，小明在大楼30米高（即PH=30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为23°，山脚B处的俯角为60°，巳知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H、B、C在同一条直线上，且PH丄HC．（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于度；（2）求A、B两点间的距离等于（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73 tan37°≈0.75，tan23°≈1.59，sin37°≈1.60，cos37°≈0.80）．13．已知反比例函数y=在第二象限内的图象如图，经过图象上两点A、E分别引y轴与x 轴的垂线，交于点C，且与y轴与x轴分别交于点M、B．连接OC交反比例函数图象于点D，且=，连接OA，OE，如果△AOC的面积是15，则△ADC与△BOE的面积和为．14．如图，菱形ABCD的边长为12cm，∠A=60°，点P从点A出发沿线路AB→BD做匀速运动，点Q从点D同时出发沿线路DC→CB→BA做匀速运动．已知点P，Q运动的速度分别为2cm/秒和2.5cm/秒，经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点时，点P、Q再分别从M、N同时沿原路返回，点P的速度不变，点Q的速度改为vcm/秒，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF与△AMN相似，则v的值为．三、解题题：本大题共8小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15．（1）计算：﹣2tan60°﹣（﹣1）2015；（2）解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．16．如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象交于A（m，3），B（﹣3，n）两点．（1）求一次函数的表达式；（2）观察函数图象，直接写出关于x的不等式＞kx+b的解集．17．杭州市相关部门正在研究制定居民用水价格调整方案，小明想为政府决策提供信息，于是在某小区内随机访问了部分居民，就每月的用水量，可承受的水价调整的幅度等进行调查，并把调查结果整理成图1和图2，已知被调查居民美誉每月的用水量在5m3﹣35m3之间，被调查的居民中对居民用水价格调整幅度抱“无所谓”态度的有8户，试回答下列问题：①上述两个统计图表是否完整，若不完整，试把它们补全；②若采用阶梯式累进制调价方案（如表1所示），试估计该小区有百分之几的居民用水费用的增长幅度不超过50%？18．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC，交AC于点E，交PC于点F，连接AF．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径为4，AF=3，求线段AC的长．19．现有一张矩形纸片ABCD（如图），其中AB=4cm，BC=6cm，点E是BC的中点．将纸片沿直线AE折叠，点B落在四边形AECD内，记为点B′，过E作EF垂直B′C，交B′C于F．（1）求AE、EF的位置关系；（2）求线段B′C的长，并求△B′EC的面积．20．阅读对话，解答问题．（1）分别用a、b表示小冬从小丽、小兵袋子中抽出的卡片上标有的数字，请用树状图法或列表法写出（a，b）的所有取值；（2）小冬抽出（a，b）中使关于x的一元二次方程x2﹣ax+2b=0根为有理数的是小丽赢，方程的根为无理数的是小兵赢，你觉得游戏是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，请修改游戏方案．21．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一定是三角形；（2）若抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，△OAB是抛物线y=﹣x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．22．如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作⊙O的切线交边BC于N．（1）图中是否存在与△ODM相似的三角形，若存在，请找出并给于证明．（2）设DM=x，OA=R，求R关于x 的函数关系式；是否存在整数R，使得正方形ABCD内部的扇形OAM围成的圆锥地面周长为π？若存在请求出此时DM的长；不存在，请说明理由．（3）在动点O逐渐向点D运动（OA逐渐增大）的过程中，△CMN的周长如何变化？说明理由．2015年山东省菏泽市鄄城县中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．计算2m2n﹣3nm2的结果为（）A．﹣1 B．﹣5m2n C．﹣m2n D．不能合并【考点】合并同类项．【分析】两项是同类项，根据合并同类项的法则把系数相加即可．【解答】解：2m2n﹣3nm2=﹣m2n，故选：C．【点评】本题考查了合并同类项法则的应用，注意：合并同类项时，把同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变．2．已知，如图，AC与BD相交于点O，AB∥CD，如果∠C=30.2°，∠B=50°56′，那么∠BOC 为（）A．80°18′ B．50°58′ C．30°10′ D．81°8′【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．【分析】先由两直线平行，内错角相等得出∠D=∠B=50°56′，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得到∠BOC=∠C+∠D，即可求解．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠D=∠B=50°56′，∴∠BOC=∠C+∠D=30.2°+50°56′=81°8′．故选D．【点评】本题考查了平行线的性质及三角形外角的性质，比较简单，注意单位的换算．3．长方体的主视图与左视图如图所示（单位：cm），则其俯视图的面积是（）A．12cm2B．8cm2C．6cm2D．4cm2【考点】由三视图判断几何体．【专题】压轴题．【分析】主视图的矩形的两边长表示长方体的长为4，高为2；左视图的矩形的两边长表示长方体的宽为3，高为2；那么俯视图的矩形的两边长表示长方体的长与宽，那么求面积即可．【解答】解：根据题意，正方体的俯视图是矩形，它的长是4cm，宽是3cm，面积=4×3=12（cm2），故选A．【点评】解决本题的关键是根据所给视图得到俯视图的矩形的边长．4．某赛季甲、乙两名篮球运动员12场比赛得分情况用图表示如下：对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是（）A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B．甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数C．甲运动员的得分平均数大于乙运动员的得分平均数D．乙运动员的成绩比甲运动员的成绩稳定【考点】折线统计图；算术平均数；中位数；极差；方差．【分析】结合折线统计图，利用数据逐一分析解答即可．【解答】解：A、由图可知甲、乙运动员第一场比赛得分相同，第十二场比赛得分甲运动员比乙运动员得分高，所以甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差，此选项正确，不符合题意；B、由图可知甲运动员得分始终大于乙运动员得分，所以甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数，此选项错误，符合题意；C、由图可知甲运动员得分始终大于乙运动员得分，所以甲运动员的得分平均数大于乙运动员的得分平均数，此选项正确，不符合题意；D、由图可知甲运动员得分数据波动性较大，乙运动员得分数据波动性较小，乙运动员的成绩比甲运动员的成绩稳定，所以此选项正确，不符合题意．故选B．【点评】此题主要结合折线统计图，利用极差、中位数、平均数以及方差来进行分析数据，找到解决问题的突破口．5．已知y是关于x的函数，函数图象如图，则当y＞0时，自变量x的取值范围是（）A．x＜0 B．﹣1＜x＜1或x＞2 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1或1＜x＜2【考点】函数的图象．【分析】观察图象和数据即可求出答案．【解答】解：y＞0时，即x轴上方的部分，∴自变量x的取值范围分两个部分是x＜﹣1，1＜x＜2．故选D．【点评】本题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件．6．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与图中4×7方格中的格点的连线中，能够与该圆弧相切的格点个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】切线的性质；勾股定理；垂径定理．【专题】网格型．【分析】由弦AB与弦BC的垂直平分线的交点为圆心，找出圆心O′的位置，确定出圆心坐标，过点B与圆相切时，根据切线的判定方法得到∠O′BF为直角时，BF与圆相切，根据网格找出满足条件的F坐标即可．【解答】解：根据过格点A，B，C作一圆弧，由图形可得：三点组成的圆的圆心为：O′（2，0），只有∠O′BF=∠O′BD+∠EBF=90°时，BF与圆相切，此时△BO′D≌△FBE，EF=BD=2，∴F点的坐标为：（5，1）或（1，3）或（7，0），则点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（5，1）或（1，3）或（7，0），共3个．故选C．【点评】此题考查了切线的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及点的坐标与直角坐标系，其中确定出圆心O′的坐标是本题的突破点．7．超市有一种“喜之郎”果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为4cm，底面是个直径为6cm的圆，横截面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的小，那么要制作这样一个包装盒至少纸板（）平方厘米．（不计重合部分）A．253 B．288 C．206 D．245【考点】二次函数的应用．【分析】图，“喜之郎”果冻礼盒是一长方体．2个底面为矩形A′B′C′D′（如图3），2个侧面为矩形ABCD（如图2），2个侧面是以AB为高，AE为底的矩形．【解答】解：建立如图（2）所示的平面直角坐标系，过切点K作KH⊥OD于点H．依题意知 K（x，2）．易求开口向上抛物线的解析式：y=x2，所以 2=x2，解得 x=或x=﹣（舍去），∴OH=HG=，∴BC=BO+OH+HG+GC=3+++3=6+3，∴S矩形ABCD=AB•BC=4×（6+3）=24+12（平方厘米）．如图3，S矩形A′B′C′D′=6BC=6×（6+3）（平方厘米）．所以，2S矩形ABCD+2S矩形A′B′C′D′+2AB•AE=178+80（平方厘米）．2×（24+12）+2×（36+18）+2×4×6=168+60≈253（平方厘米）．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的应用．此题采用逆向思维，通过补全图形来计算包装盒的表面积．8．如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，垂足为点B，连接CO并延长交⊙O于点D、E，连接AD 并延长交BC于点F．则下列结论正确的有（）①∠CBD=∠CEB；② =；③点F是BC的中点；④若=，tanE=．A．①② B．③④ C．①②④D．①②③【考点】圆的综合题．【分析】（1）运用直角及圆周角的关系证出∠CBD=∠CEB．（2）运用△EBC∽△BDC求证即可，（3）运用反正法来判定．（4）设BC=3x，AB=2x，得出OB、OD及OC、CD的值，运用=得出tanE=．【解答】证明（1）∵BC⊥AB于点B，∴∠CBD+∠ABD=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°∴∠CBD=∠BAD，∵∠BAD=∠CEB，∴∠CEB=∠CBD，故①正确．（2）∵∠C=∠C，∠CEB=∠CBD，∴△EBC∽△BDC，∴=，故②正确，（3）∵∠EBD=∠BDF=90°，∴DF∥BE，假设点F是BC的中点，则点D是EC的中点，∴ED=DC，∵ED是直径，长度不变，而DC的长度是不定的，∴DC不一定等于ED，故③是错误的．（4）∵=，设BC=3x，AB=2x，∴OB=OD=x，∴在RT△CBO中，OC=x，∴CD=（﹣1）x∵由（2）知， =∴===，∵tanE=∴tanE=，故④正确，故选：C．【点评】本题主要考查了圆的综合题，涉及相似三角形的判定与性质、圆周角定理、锐角三角函数定义等知识点，解题的关键在于通过求证三角形相似根据对应边成比例的性质求出tan∠E的值．二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．请把答案填在题中横线上9．因式分解：x2y﹣7y= y（x﹣）（x+）．【考点】实数范围内分解因式．【分析】首先提取公因式，再进一步利用平方差公式分解因式．【解答】解：x2y﹣7y=y（x2﹣7）=y（x﹣）（x+）．故答案为：y（x﹣）（x+）．【点评】此题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．10．一个不透明的盒子里有4个除颜色外其他完全相同的小球，其中每个小球上分别标有1，﹣1，﹣2，﹣3四个不同的数字，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下数字后再放回盒子，那么两次摸出的小球上两个数字乘积是负数的概率为．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及两次摸出的小球上两个数字乘积是负数的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有16种等可能的结果，两次摸出的小球上两个数字乘积是负数的有6种情况，∴两次摸出的小球上两个数字乘积是负数的概率为： =．故答案为：．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．11．函数y=与y=x﹣2的图象交点的横坐标分别为a，b，则+的值为 6 ．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】计算题．【分析】根据反比例函数与一次函数的交点问题得到，利用代入法得到=x﹣2，整理得x2﹣2x﹣1=0，再利用根与系数的关系得a+b=2，ab=﹣1，然后把+变形得到=，再利用整体代入的方法计算即可．【解答】解：根据题意得方程组，消去y得=x﹣2，整理得x2﹣2x﹣1=0，∴a+b=2，ab=﹣1，∴+====6．故答案为6．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了根与系数的关系．12．如图，小明在大楼30米高（即PH=30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为23°，山脚B处的俯角为60°，巳知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H、B、C在同一条直线上，且PH丄HC．（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于30 度；（2）求A、B两点间的距离等于26.0米（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73 tan37°≈0.75，tan23°≈1.59，sin37°≈1.60，cos37°≈0.80）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】（1）根据俯角以及坡度的定义即可求解；（2）在直角△PHB中，根据三角函数即可求得PB的长，然后在直角△PBA中利用三角函数即可求解．【解答】解：（1）∵tan∠ABC=1：，∴∠ABC=30°；（2）由题意得：∠PBH=60°，∵∠ABC=30°，∴∠ABP=90°，又∠APB=60°﹣23°=37°．在直角△PHB中，PB===20．在直角△PBA中，AB=PB•tan∠APB=20×0.75≈26.0（米）．故答案为30，26.0米．【点评】本题主要考查了俯角的问题，坡度的定义，解直角三角形，难度适中．正确利用三角函数是解题的关键．13．已知反比例函数y=在第二象限内的图象如图，经过图象上两点A、E分别引y轴与x 轴的垂线，交于点C，且与y轴与x轴分别交于点M、B．连接OC交反比例函数图象于点D，且=，连接OA，OE，如果△AOC的面积是15，则△ADC与△BOE的面积和为17 ．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】连结AD，过D点作DG∥CM，根据等高的三角形的面积与底成正比，可得△ACD的面积是5，再根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质可得△ODF的面积是，根据等量关系可得四边形AMGF的面积=，再根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质可得△AOM的面积，根据反比例函数系数k的几何意义可得△BOE的面积，依此即可求解．【解答】解：连结AD，过D点作DG∥CM．∵=，△AOC的面积是15，∴CD：CO=1：3，OG：OM=2：3，∴△ACD的面积是5，△ODF的面积是15×=，∴四边形AMGF的面积=，∴△BOE的面积=△AOM的面积=×=12，∴△ADC与△BOE的面积和为5+12=17．故答案为：17．【点评】考查了反比例函数系数k的几何意义，涉及的知识点有：等高的三角形的面积与底成正比，平行线分线段成比例和相似三角形的性质，反比例函数系数k的几何意义，综合性较强，有一定的难度．14．如图，菱形ABCD的边长为12cm，∠A=60°，点P从点A出发沿线路AB→BD做匀速运动，点Q从点D同时出发沿线路DC→CB→BA做匀速运动．已知点P，Q运动的速度分别为2cm/秒和2.5cm/秒，经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点时，点P、Q再分别从M、N同时沿原路返回，点P的速度不变，点Q的速度改为vcm/秒，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF与△AMN相似，则v的值为1或3或6 ．【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质．【专题】动点型．【分析】易得△ABD是等边三角形，经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，则AP，BF都可以求出，就可以判断N，F的位置，根据直角三角形的性质，判断△AMN的形状；然后根据△BEF与△AMN相似得到△BEF为直角三角形，就可以求出S Q的长，已知时间，就可以求出速度．【解答】解：∵∠A=60°，AD=AB=12，∴△ABD为等边三角形，故BD=12，又∵V P=2cm/s∴S P=V P t=2×12=24（cm），∴P点到达D点，即M与D重合v Q=2.5cm/s S Q=V Q t=2.5×12=30（cm），∴N点在AB之中点，即AN=BN=6（cm），∴∠AND=90°即△AMN为直角三角形，∵V P=2m/s t=3s，∴S P=6cm，∴E为BD的中点，又∵△BEF与△AMN相似，∴△BEF为直角三角形，且∠EBF=60°，∠BPF=30°，①Q到达F1处：S Q=BP﹣BF1=6﹣=3（cm），故V Q=1（cm/秒）；②Q到达F2处：S Q=BP=9，故V Q=3（cm/秒）；③Q到达F3处：S Q=6+2BP=18，故V Q=6（cm/秒）．故答案为：1或3或6．【点评】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定和性质，此题也是图形与函数相结合的问题，正确根据条件得出方程是解题关键．三、解题题：本大题共8小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15．（1）计算：﹣2tan60°﹣（﹣1）2015；（2）解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．【考点】实数的运算；负整数指数幂；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】（1）原式第一项化为最简二次根式，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用乘方的意义计算即可得到结果；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．【解答】解：（1）原式=2﹣2﹣2+1=﹣1；（2），由①得：x＞﹣；由②得：x≤1，则不等式组的解集为﹣＜x≤1，【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象交于A（m，3），B（﹣3，n）两点．（1）求一次函数的表达式；（2）观察函数图象，直接写出关于x的不等式＞kx+b的解集．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）把A和B代入反比例函数解析式即可求得坐标，然后用待定系数法求得一次函数的解析式；（2）不等式＞kx+b的解集就是：对于相同的x的值，反比例函数的图象在上边的部分自变量的取值范围．【解答】解：（1）∵A（m，3），B（﹣3，n）两点在反比例函数y2=的图象上，∴m=2，n=﹣2．∴A（2，3），B（﹣3，﹣2）．根据题意得：，解得：，∴一次函数的解析式是：y1=x+1；（2）根据图象得：0＜x＜2或x＜﹣3．【点评】本题综合考查一次函数与反比例函数的图象与性质，同时考查用待定系数法求函数解析式．本题需要注意无论是自变量的取值范围还是函数值的取值范围，都应该从交点入手思考；需注意反比例函数的自变量不能取0．17．杭州市相关部门正在研究制定居民用水价格调整方案，小明想为政府决策提供信息，于是在某小区内随机访问了部分居民，就每月的用水量，可承受的水价调整的幅度等进行调查，并把调查结果整理成图1和图2，已知被调查居民美誉每月的用水量在5m3﹣35m3之间，被调查的居民中对居民用水价格调整幅度抱“无所谓”态度的有8户，试回答下列问题：①上述两个统计图表是否完整，若不完整，试把它们补全；②若采用阶梯式累进制调价方案（如表1所示），试估计该小区有百分之几的居民用水费用的增长幅度不超过50%？【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】①根据扇形统计表中角度的比例关系可得出统计样本的总数，继而可补充完整两个统计表；②设每月每户用水量为xm3的居民调价后用水费用的增长幅度不超过50%，由表一可知分x≤15与x＞15两部分讨论，再结合图一可得出结论．【解答】解：①上述表格不完整，360°﹣40°﹣120°=200°．8×﹣15﹣22﹣9﹣6﹣3=72﹣15﹣22﹣9﹣6﹣3=17．补全表格如下．②∵设每月每户用水量为xm3的居民调价后用水费用的增长幅度不超过50%，当x≤15时，水费的增长幅度为×100%＜50%，当x＞15时，则≤50，解得：x≤20．∵从调查数据看，每月的用水量不超过20m3的居民有54户，∴=75%，又∵调查是随机抽取，∴该小区有75%的居民用水费用的增长幅度不超过50%．【点评】本题考查了条形和扇形统计图以及解一元一次不等式，解题的关键是：①由样本中某项数据得出样本数；②结合表一得出关于x的一元一次不等式．本题难度不大，属于基础题，解决该类型的题目需要熟悉各种统计表．18．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC，交AC于点E，交PC于点F，连接AF．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径为4，AF=3，求线段AC的长．【考点】切线的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．（1）连接OC，先证出∠3=∠2，由SAS证明△OAF≌△OCF，得对应角相等∠OAF=∠OCF，【分析】再根据切线的性质得出∠OCF=90°，证出∠OAF=90°，即可得出结论；（2）先由勾股定理求出OF，再由三角形的面积求出AE，根据垂径定理得出AC=2AE．【解答】（1）证明：连接OC，如图所示：∵AB是⊙O直径，∴∠BCA=90°，∵OF∥BC，∴∠AEO=90°，∠1=∠2，∠B=∠3，∴OF⊥AC，∵OC=OA，∴∠B=∠1，∴∠3=∠2，在△OAF和△OCF中，，∴△OAF≌△OCF（SAS），∴∠OAF=∠OCF，∵PC是⊙O的切线，∴∠OCF=90°，∴∠OAF=90°，∴FA⊥OA，∴AF是⊙O的切线；（2）∵⊙O的半径为4，AF=3，∠OAF=90°，∴OF===5∵FA⊥OA，OF⊥AC，∴AC=2AE，△OAF的面积=AF•OA=OF•AE，∴3×4=5×AE，解得：AE=，∴AC=2AE=．【点评】本题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理以及三角形面积的计算；熟练掌握切线的判定，并能进行推理计算是解决问题的关键．19．现有一张矩形纸片ABCD（如图），其中AB=4cm，BC=6cm，点E是BC的中点．将纸片沿直线AE折叠，点B落在四边形AECD内，记为点B′，过E作EF垂直B′C，交B′C于F．（1）求AE、EF的位置关系；（2）求线段B′C的长，并求△B′EC的面积．【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）由折线法及点E是BC的中点，可证得△B'EC是等腰三角形，再有条件证明∠AEF=90°即可得到AE⊥EF；（2）连接BB′，通过折叠，可知∠EBB′=∠EB′B，由E是BC的中点，可得EB′=EC，∠ECB′=∠EB′C，从而可证△BB′C为直角三角形，在Rt△AOB和Rt△BOE中，可将OB，BB′的长求出，在Rt△BB′C中，根据勾股定理可将B′C的值求出，【解答】解：（1）由折线法及点E是BC的中点，∴EB=EB′=EC，∠AEB=∠AEB′，∴△B'EC是等腰三角形，又∵EF⊥B′C∴EF为∠B'EC的角平分线，即∠B′EF=∠FEC，∴∠AEF=180°﹣（∠AEB+∠CEF）=90°，即∠AEF=90°，即AE⊥EF；（2）连接BB'交AE于点O，由折线法及点E是BC的中点，∴EB=EB′=EC，∴∠EBB′=∠EB′B，∠ECB′=∠EB′C；又∵△BB'C三内角之和为180°，∴∠BB'C=90°；∵点B′是点B关于直线AE的对称点，∴AE垂直平分BB′；在Rt△AOB和Rt△BOE中，BO2=AB2﹣AO2=BE2﹣（AE﹣AO）2将AB=4cm，BE=3cm，AE=5cm，∴AO=cm，∴BO==cm，∴BB′=2BO=cm，∴在Rt△BB'C中，B′C==cm，由题意可知四边形OEFB′是矩形，∴EF=OB′=，∴S△B′EC=×B′C•EF=××=．【点评】本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理勾股定理的和矩形的性质综合运用．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．20．阅读对话，解答问题．（1）分别用a、b表示小冬从小丽、小兵袋子中抽出的卡片上标有的数字，请用树状图法或列表法写出（a，b）的所有取值；（2）小冬抽出（a，b）中使关于x的一元二次方程x2﹣ax+2b=0根为有理数的是小丽赢，方程的根为无理数的是小兵赢，你觉得游戏是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，请修改游戏方案．【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．【分析】（1）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果；（2）由表格，结合一元二次方程根的情况，即可求得小丽赢与小兵赢的概率，比较概率的大小，即可知游戏是否公平；设计方案只要赢得概率一样，即游戏就公平．【解答】解：（1）（a，b）对应的表格为：1 2 3ab1 （1，1）（1，2）（1，3）2 （2，1）（2，2）（2，3）3 （3，1）（3，2）（3，3）4 （4，1）（4，2）（4，3）（2）游戏不公平，∵符合有理数根的有2种，而符合无理数根的只有1种；。
2023年上海市青浦区九年级中考二模数学试卷(含答案解析)
2023年上海市青浦区九年级中考二模数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、填空题平面直角坐标系xOy 内，点P 在第二象限的概率为____．12．若一个正多边形的每一个外角都等于36°，那么这个正多边形的中心角为__________度．13．已知点2()1,M -和点N 都在抛物线22y x x c =-+上，如果MN x ∥轴，那么点N 的坐标为____．14．已知点G 为ABC 的重心，AB a=，AC b = ，那么= AG __．（用a 、b 表示）15．如图，图中反映轿车剩余油量q (升)与行驶路径s (千米)的函数关系，那么q 与s 的函数解析式为____．16．水平放置的圆柱形油槽的圆形截面如图2所示，如果该截面油的最大深度为2分米，油面宽度为8分米，那么该圆柱形油槽的内半径为____分米．17．如图3，在平面直角坐标系xOy 内，已知点(3,1)G -，(1,3)A -，(4,0)B -，如果C 是以线段AB 为直径的圆，那么点G 与C 的最短距离为____．三、解答题18．如图，在Rt ABC △中，90610C BC AB ∠=︒==，，，点D 是边AB 的中点，点M 在边AC 上，将ADM △沿DM 所在的直线翻折，点A 落在点E 处，如果EC AB ，那么CE =____．111 (1)求边AB的长；(2)已知点D在AB边上，且13ADBD=，连接22．某中学初三年级在“阳光体育”活动中，参加各项球类运动的数据信息制作成了扇形统计图，如图所示.已知参加乒乓球运动的人数有题.(1)求参加篮球和足球运动的总人数；(2)学校为本次活动购买了一些体育器材，数每人一只配备的，购买篮球的费用是单价比足球的单价便宜10元多少人？23．如图，在平行四边形ABCDBD于点F，且2AB BF BD=⋅(1)求证：点F 在边AB 的垂直平分线上；(2)求证：AD AE BE BD = ．24．如图，已知抛物线214y x bx c =-++为点A ．(1)求抛物线的解析式及点A 的坐标；(2)将该抛物线向右平移m 个单位(0m >求m 的值；(3)在（2）的条件下，设新抛物线的顶点为于点F ，求点C 到直线GF 的距离．25．如图，半圆O 的直径10AB =点D 是弧AC 上一点．(1)若点D 是弧AB 的中点，求tan DOC ∠(2)连接BD 交半径OC 于点E ，交CH 于点①用含m 的代数式表示线段CF 的长；②分别以点O 为圆心OE 为半径、点C m 取值范围．参考答案：故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的判定方法，熟知菱形的判定方法是解题的关键．6．D【分析】根据所给函数的性质逐一判断即可．【详解】解：A.对于y x =-，当x =-二、四象限；当0x >时，y 随x 的增大而减小．故选项B.对于4y x =+，当2x =-时，2y =三象限；当0x >时，y 随x 的增大而增大．故选项1【点睛】本题考查了中线的性质，15．1508q s =-+【分析】根据图象，通过待定系数法，即可解答．【详解】解：根据图象，可得函数与坐标轴的交点为设函数解析式为q ks b =+，将()050，，()4000，代入函数解析式得：解得1850k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，故q 与s 的函数解析式为18q =-故答案为：1508q s =-+．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数，熟练运用待定系数法是解题的关键．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．17．2【分析】首先根据题意画图，可求得直线据两点间距离公式，即可求解．【详解】解：根据题意画图如下：=设直线AB的解析式为y kx【详解】解：如图，过点D 作EC 的垂线段，交EC 于点F ，过点90610BC AB ︒==，，，226810+=，是边AB 的中点，152AD BD AB ===，ADM 沿DM 所在的直线翻折，点A 落在点E 处，5DA DC ==，在Rt ACH 中，45C ∠=︒．∴45HAC C ∠=∠=︒，即AH CH =．在Rt ABH △中，1tan 2AH B BH ==．∴2BH AH =．设AH x =，那么CH x =，2BH x =．∵AH BC ⊥，∴90DGC AHC ∠=∠=︒．∴DG AH ∥，即BD BG AB BH =．由13AD BD =得34BD AB =．∵8BH =，∴34BG BH =，即6BG =．∴6BG CG ==，即DG 是线段BC 的垂直平分线．∴BD CD =，∴BCD B ∠=∠．原抛物线21(2)44y x =--+向右平移132∴1742G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，2502F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，1702P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．4GP PF ==，∴GPF 是等腰直角三角形，GFP ∠在Rt MOF △中，OMF OFM ∠=∠=∴192CM OM OC =-=．∵点D 是弧AB 的中点，AB 是直径，∴OD AB ⊥．∴90CHB DOB ∠=∠=︒，∴OD CH ∥，∴DOC OCH ∠=∠．过点O 作OM BC ⊥，垂足为点M ．由垂径定理，在Rt BOM △中，34BM OM OB ==，，在Rt BCH △中，sin CH BC OBC =⋅∠=）HG OC ∥交BD 于点G .,,HGB OEB GHB EOB =∠∠=∠,HGB OEB ∽1855BH BO ==，1825m =．HG OC∥,,CEF HGF ECF FHG =∠∠=∠,CEF HGF ∽CE GH=，51825CF m CF m -=-．6001201257m m-=-．o OE m ==，6001201257c m r CF m -==-，d OC =当两圆内切时，60012051257m m m --=．【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，需要利用参数解决问题，属于中考压轴题．答案第17页，共17页。
2023年山东省青岛第二十六中学中考二模数学试题(含答案解析)
2023年山东省青岛第二十六中学中考二模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．．．．．如图所示，将一个正方体切去一个角，则所得几何体的左视图为（）A．．．．上一点，过 BD上一点的切线TC，且5．如图，AB是的直径，D为O⊥于点58ADDAB=︒，求的度数是（）A．51︒B向下平移6．如图，将ABC点A的对应点A'的坐标是（2,4B．(1,4A．()7．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，连接EF，DG，下列结论中正确的有①∠ADG=∠AFG；②四边形CE=1．A．．C．D ．二、填空题12．为落实“停课不停学”，某校在线上教学时，要求学生因地制宜开展体育锻炼．为了该校共有学生2000人，请根据以上统计分析，估计该校四月份平均每天体育锻炼时长14．如图，在矩形ABCD 中，AB =3，点E 为边CD 上一点，将△ADE 沿AE 所在直线翻折，得到△AFE ，点F 恰好是BC 的中点，M 为AF 上一动点，作MN ⊥AD 于N ，则BM +AN 的最小值为____．三、解答题(1)只转动转盘B，则出现1的概率为__________2(2)这个游戏公平吗？请用画树状图或列表法说明理由．18．为全面实施乡村振兴战略，促进农业全面升级、农村全面进步、农民全面发展．如图，四边形ABCD是某蔬菜大棚的侧面示意图，(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)在第四象限的反比例图像上有一点22．如图，在平行四边形ABCD，．连接BE DF(1)求直线AB 和抛物线的函数关系式（不写自变量取值范围）；(2)求水柱离坡面AB 的最大高度；(3)在斜坡上距离A 点2米的C 处有一棵3.5米高的树，水柱能否越过树？(4)将A 处的喷灌设备向右平移多远，水柱才能恰好喷到C 点？（过程中抛物线形状不变）24．（1）【探究发现】如图①，已知矩形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边分别交于点E ，F ．求证：四边形AFCE 是菱形．（2）【类比应用】如图②，直线EF 分别交矩形ABCD 的边AD 形ABCD 沿EF 翻折，使点C 的对称点与点A 重合，点D 的对称点为求四边形ABFE 的周长（3）【拓展延伸】如图③，直线EF 分别交ABCD Y 的边AD ，BC 沿EF 翻折，使点C 的对称点与点A 重合，点D 的对称点为D ¢，25．如图，已知：Rt ABC ，ABC ∠=90︒，AB =8cm ，BC =6cm ，D 是AC 点．过点C 作AC 的垂线CE ，过点D 作BC 的平行线，交CE 于点E ，点Q 从点沿ED 方向往点D 匀速运动，速度为2cm /s ，同时点P 从点B 出发沿BC 方向往点速运动，速度为1cm /s ．连接PQ ，过点Q 作QH CE ⊥于点H ，连接PH ，F 是线段的中点．设运动时间为t（s），解答下列问题：(1)当四边形QPCE为平行四边形时，求t的值；的面积为S，求出S与t的函数关系式；(2)设PQH(3)是否存在某一时刻t，使A，Q，F三点在同一条直线？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．参考答案：∵CT 为O 的切线，∴OT CT ⊥，∵TC AC ⊥，∴OT AC ∥，∴∠DAT OTA =∠，∵OA OT =，∴OAT OTA ∠=∠，∴DAT OAT ∠=∠，∵58DAB ∠=︒，∴12DAT OAT DAB ∠=∠=∠∵TC AC ⊥，∴90ACT =︒∠，∴902961ATC ∠=︒-︒=故选：C ．【点睛】本题主要考查了切线的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，作出辅助线，求出29DAT ∠=︒是解题的关键．6．A故选A．【点睛】本题考查平移和旋转的性质，解决本题的关键是正确画出旋转后的图形．7．B【分析】利用折叠的性质可以得出四边形的性质和勾股定理逐一判断即可．【详解】(1)由折叠的性质可得：∠(2)由折叠的性质可知：∠DGE∵FG∥CD，∴∠FGE=∠DEG，∴∠DGE=∠FEG，∴DG∥FE，∴四边形DEFG是平行四边形，又∵DE=FE，∴四边形DEFG是菱形(故②正确(3)如图所示，连接DF交AE于∵四边形DEFG为菱形，∴GE⊥DF，OG=OE=12 GE，∵∠DOE=∠ADE=90°，∠OED ∴△DOE∽△ADE，∴OE DEDE AE，即DE2=EO•AE∵EO=12GE，DE=DG，∴DG2=12AE•EG，故③正确；将ADE沿DE翻折，恰好使点∴12，===AD DF BF CF矩形ABCD中，DCF∠FDC∴∠=︒，30∴∠=︒，60DFC【点睛】本题主要考查垂直平分线的尺规作图，掌握垂直平分线的作法是解题的关键．16．(1)24aa+-;(2)最小整数解是x=-1【分析】（1）直接将原式分解因式，将括号里面通分化简，进而求出答案；【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，正方形的判定，全等三角形的判定，灵活运用所学知识是解题的关键．23．(1)直线AB 的解析式为(2)2538米(3)水柱能越过这棵树，理由见解析(4)将A 处的喷灌设备向右平移【分析】（1）解Rt ABO △求出利用待定系数法求出抛物线解析式和直线（2）如图所示，点P 是抛物线上一点，过点60PMQ ∠=︒，解Rt PQM △得到的高度最大，设213t t P ⎛ ⎝-+，利用二次函数的性质求出PM （3）如图所示，过点C 作CK 米，求出当43x =时，y =棵树；（3）解：水柱能越过这棵树，理由如下：如图所示，过点C 作CK OA ⊥于K ，在Rt AKC 中，sin CK AC CAK =⋅=∠∴43OK =米，在2143533y x x =-++中，当43x =∵51 3.5 4.5>+=，∴水柱能越过这棵树；（4）解：设将A 处的喷灌设备向右平移∵原抛物线解析式为214333y x x =-++∴平移后的抛物线解析式(1233y x =--由（3）得()431C ，，（3）如图，过点A 作∵四边形ABCD 是平行四边形，∴135ABC ∠=︒．∴45ABN ∠=︒．∵AN BC ⊥，∴45ABN BAN ∠=∠=∴22AN BN AB ===9【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握菱形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，图形折叠的性质是解题的关键．t=25．(1)2（2）延长QH交PC延长线于点G，∥，∥，DQ CG QG DC56PG PC CG t ∴=+=-+25432333t t -=-，1122PQH PQG PHG S S S PG QN PG HM =-=⋅-⋅△△△，143143122534322323253t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅--⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2361722525t t =-+，（3）当259t =时，A ，Q ，F 三点一线，定与性质，三角形全等判定与性质，掌握以上知识、灵活应用数形结合思想是解题关键．。
2024年云南省曲靖市九年级中考二模数学试题(含解析)
曲靖市 2023-2024学年春季学期教学质量监测九年级数学试题卷（全卷三个大题，共27个小题，共8页； 满分 100分，考试时间120分钟）注意事项：1．本卷满分100分，考试时间为120分钟． 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内． 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效．4． 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一．选择题 （本大题共 15个小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分）1．曲靖某一天的天气预报如图所示，则这一天的温差是（ ）A ．B ．C ．D ．2．2024年中央对地方转移支付预算为10.2万亿元，中央对云南省转移支付为3900亿元，数字3900亿用科学记数法表示为（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图， 于点B ， 过点B 的直线d 交直线a 于点 A ， 若， 则的度数是（ ）6C -︒6C ︒2C ︒2C -︒8390010⨯103910⨯113.910⨯120.3910⨯a c b c ⊥⊥，140∠=︒2∠A ．B ．C ．D ．4．函数x 的取值范围是（ ）A ． B ． C ． D ．5．下列计算正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．八边形的每个外角都相等，它的一个内角的度数是（ ）A ．45°B ．75°C ．105°D ．135°7．如图，A ，B 为反比例函数 图象上任意两点，分别过点A ，B 作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，连接，设和的面积分别为，，则（ ）A ．B ．C ．D ．无法确定8．下列几何体中的主（正）视图，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．观察下列式子： 则第n 个式子为（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，点D 是边上一点， 且，若，．则 （ ）50︒40︒30︒20︒y =2x ≠2x ≤2x >2x ≥23652a a a a a ⋅+÷=()22346a b a b-=-()222a b a b +=+()()22a b b a a b+-=-(0)k y k x=<OA OB ，AOC BOD S ₁S ₂S S >₁₂S S =₁₂S S <₁₂23412x x x x ---- ，，，()n n x --()11n n x +-n x ()111n n n x -+--ABC AB ACB ADC ∠∠=3AD =7AB =²AC =A ．9B ．12C ．16D ．2111．某市为了解决新能源汽车充电难的问题，计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了400个充电桩，第三个月新建了 600个充电桩，设该市新建充电桩个数的月平均增长率为x ，根据题意，可列出方程（ ）A ．B ．C ．D ．12．若关于x 的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则k 的值为（ ）A ．B ．2C ．3D ．413．若 则代数式 的值为（ ）A ．7B ．C ．D ．614．某校为了解学生在校体育锻炼的时间情况，随机调查部分学生一周平均每天的锻炼时间，统计结果如图：这些学生锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）A ．9， 7B ．9， 9C ．1， 1D ．1， 1.515．如图，已知的直径经过弦的中点E ，连接，且，估计的值应在（）()24001600x +=()26001400x +=()24001600x -=()26001400x -=3x k -≥-1-1m =，²22m m -+7+6+O AB CD AD CO BC ，，OC BC =2cos tan BAD ADC ∠+∠A ．1到2之间B ．2到3之间C ．3到4之间D ．4到5之间二．填空题（本大题共4个小题，每小题2分，共8分）16．分解因式8a 2－2= ．17．如图，已知在四边形中，对角线，交于点O ，且，要使四边形是矩形，可添加一个条件是 ．18．试卷讲评对于初三复习阶段是非常重要的环节，某数学教师对试卷讲评课中学生参加的情况进行调查，评价项目为：A ．独立思考B ．主动改错C ．专注听讲D ．讲解题目四项中任选一项，随机抽取若干名初三学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）．若全市有 80000名初三学生，则在试卷讲评课中， “专注听讲”的初三学生约为 人．19．圆锥在生活中随处可见，例如：陀螺、漏斗、屋顶、生日帽等．如图是一个半径为2，圆心角为的扇形，要围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径为．ABCD AC BD OA OC OB OD ==，ABCD 90︒AOB三．解答题 （本大题共8个小题，共62分）20．计算：21．如图，已知，．求证：．22．今年云南再遇大旱，全省人民齐心协力积极抗旱．我市某校师生也行动起来捐款打井抗旱，已知第一天捐款5000元，第二天捐款6200元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多60人，且两天人均捐款数相等，那么两天参加捐款的人数各是多少人？23．某商场“五一”期间举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋中装有4个质地均匀，大小完全相同的小球，小球上分别标有，，0，1 四个数字，敏敏先从中随机摸出一球，球上的数字记为x ，不放回，再从剩下的3个球中随机摸出一球，球上的数字记为y ，若两次摸出的球上数字之积为正（即：），则 获得奖品，否则没有奖品．(1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果；(2)求敏敏获得奖品的概率．24．如图，已知在中，过点C 作于点D ，点E 为上一点，连接，交于点G ，是沿折叠所得，且点C 的对应点F 恰好落在上，连接．(1)求证：四边形为菱形；(2)若，求的长．25．每年4月 23日是世界读书日，旨在推动更多的人去阅读和写作，某书店以读书日为契机，决定购进甲，乙两种图书，供消费者选择．经调查，乙种图书每本进价20元，甲种图书的总进价y 与购进甲种图书的数量x 之间的函数关系如图所示：()20211 3.1432π-⎛⎫-+--+- ⎪⎝⎭C E AC AE CAD EAB ∠=∠=∠=∠，，AB AD =2-1-0xy >(),x y ABC 90ACB ∠=︒，CD AB ⊥AC BE CD BFE △BCE BE AB FG CEFG 86AC BC ==，DG(1)请求出当和 时，y 与x 的函数关系式；(2)若该书店准备购进甲，乙两种图书共300本，且每种图书数量都不少于120本，书店计划甲种图书以每本30元出售，乙种图书以每本25元出售，如何购进两种图书，才能使书店所获利润最大，最大利润是多少？26．已知抛物线（，，为常数，）(1)若，，求此抛物线的顶点坐标；(2)在（1）的条件下，抛物线经过点，将抛物线的图象的部分向下平移（为正整数）个单位长度，平移后的图象恰好与轴有2个交点，若点与点在平移后的抛物线上（点，不重合），且点与点 关于对称轴对称，求代数式的值．27．如图①，已知是的直径，过点A 作射线，点P 为l 上一个动点，点C 为上异于点A 的一点，且，过点B 作的垂线交的延长线于点D ，连接．(1)求证：为的切线；(2)若，求的值；0120x ≤≤120x >²y ax bx c =++a b c 0a ≠20a b -=4-+=a b c ()0,2²y ax bx c =++0x <h h x 1(,)S m n y -2(,)Q m y S Q S Q 22281244m mn n n h -+-+AB O l AB ⊥O PA PC =AB PC AD PC O 4AP BD =sin BAD ∠(3)如图②，过点C 作于点E ，交于点F ，当点P在运动过程中，试探究是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由．参考答案与解析1．B 【分析】本题考查有理数的减法的应用．求出两个数的差的绝对值即可．【详解】解：故选：B ．2．C【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：数字3900亿用科学记数法表示为．故选：C ．3．A【分析】根据，，结合对顶角相等，直角三角形的两个锐角互余，计算即可．本题考查了垂直的定义，对等角相等，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握性质是解题的关键．【详解】如图，，，CE AB ⊥AD CF CE()46C--=︒210n a ⨯110a ≤<113.910⨯a c b c ⊥⊥，140∠=︒ a c b c ⊥⊥，140∠=︒，，故，故选A ．4．D【分析】本题考查了函数自变量的范围．根据被开方数不小于0列式计算即可得解．【详解】解：由题意得，，解得．故选：D ．5．A【分析】本题考查了整式的运算，利用积的乘方法则、同底数幂乘法、除法的法则、完全平方公式和平方差公式进行计算是解题的关键．【详解】解：A 、 ，计算正确；B 、，原计算错误；C 、，原计算错误；D 、，原计算错误；故选A ．6．D【分析】本题考查的是多边形的内外角之间的关系．根据多边形的内角和公式求出八边形的内角和，计算出每个内角的度数即可．【详解】解：八边形的内角和为：，每个内角的度数为：，故选：D ．7．B【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义．过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，即．【详解】解：依题意有：和的面积是个定值．所以．∴13,24∠=∠∠=∠3490∠+∠=°2150∠︒∠=︒=90-20x -≥2x ≥2365552a a a a a a a ⋅+÷=+=()22346a b a b -=()2222a b a ab b +=++()()22a b b a b a +-=-()821801080-⨯︒=︒10808135︒÷=︒k y x=k S 1||2S k =Rt AOC Rt BOD 1||2k 12S S =故选：B ．8．C【分析】根据各个几何体的特点得出各自的主视图，然后根据轴对称和中心对称图形的性质分别判断即可．【详解】A.球的主视图是圆，圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项A 错误，不符合题意；B.长方体的主视图是矩形，矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项B 错误，不符合题意；C.圆锥的主视图是等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项C 正确，符合题意；D.圆柱的主视图是矩形，矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项D 错误，不符合题意;故选：A ．【点睛】本题主要考查了轴对称和中心对称图形的判断与简单几何体的三视图的识别，熟练掌握相关概念是解题关键．9．B【分析】本题考查数字规律问题，观察式子找到规律是解题的关键．【详解】解：观察式子，，……，第个式子为故选: B ．10．D【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．()211x x -=-()3221x x -=-()4331x x =-()54421x x --=-n ()11n n x +-由已知条件中，为公共角，可证，得，据此可求的长．【详解】解：∵，，∴，∴，即，故选：D ．11．A【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用该市第三个月新建智能充电桩个数该市第一个月新建智能充电桩个数该市新建智能充电桩个数的月平均增长率，即可列出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设该市新建充电桩个数的月平均增长率为x ，列出方程为，故选A ．12．D【分析】题考查了根据一元一次不等式的解集求参数，熟练解一元一次不等式是解题的关键．解不等式得到，根据数轴可得不等式的解集为，故可得方程，即可解答．【详解】解：解不等式可得：，由数轴可知，∴，解得：，故选D ．13．D【分析】本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，完全平方公式，整体代入是解题的关键．把化为后代入求值即可．【详解】解：，故选D ．ACB ADC ∠∠=A ∠ADC ACB ∽2AC AB AD =⋅ACB ADC ∠∠=A A ∠∠=ADC ACB ∽AD AC AC AB=27321AC AB AD =⋅=⨯==(1⨯+2)()24001600x +=3x k ≥-1x ≥-31k -=-3x k -≥-3x k ≥-1x ≥-31k -=-4k =²22m m -+2(1)1m -+22²22(1)116m m m -+=-+=+=14．C【分析】本题主要考查众数和中位数，熟记一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，一组数据从小到大或从大到小依次排列，最中间的一个数据或最中间两个数据和的一半叫做中位数是解题的关键．【详解】解：由折线图可知锻炼小时的人数最多，即众数为；由图可知共调查学生数为人，从小到大排列后第个与个数据的平均数是中位数，且第个与个数据为小时，∴中位数为，故答案为：C ．15．C【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，圆周角定理，无理数的估算．首先证明是等边三角形，由三线合一的性质求得，再根据圆周角定理求得，，代入特殊角的三角函数值，运用无理数的估算，即可求解．【详解】解：∵，，∴，∴是等边三角形，∴，∵点E 是弦的中点，∴，∴，，∴，∴∵，∴，∴，故选：C ．16．2（2a ＋1）（2a －1）【详解】本题要先提取公因式2,再运用平方差公式将写成，即原式可11795324+++=1213121311112+=OBC △1302BCD OCB ∠=∠=︒60ADC ∠=︒30BAD ∠=︒OC BC =OC OB =OC OB BC ==OBC △60B OCB ∠=∠=︒CD 1302BCD OCB ∠=∠=︒60B ADC ∠=∠=︒30BAD BCD ∠=∠=︒tan tan 60ADC ∠=︒=cos cos30BAD ∠=︒=2cos tan 2BAD ADC ∠+∠===91216<<34<32cos tan 4BAD ADC <∠+∠<2(41)a -(21)(21)a a +-分解为：8a 2－217．不唯一【分析】根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形，添加条件即可．本题考查了矩形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．【详解】∵，，∴四边形是矩形，故答案为：．18．32000【分析】根据独立思考的人数和所占的百分比，可以求得一共抽查的人数；再计算出专注听讲的人数，利用样本估计总体求解即可．【详解】解：一共抽查的人数为（人），专注听讲的人数为（人），“专注听讲”的初三学生约为（人），故答案为：32000．19．##【分析】本题考查了圆锥的计算．设这个圆锥的底面圆半径为r ，利用弧长公式得到并解关于r 的方程即可．【详解】解：设这个圆锥的底面圆半径为r根据题意得解得故答案为：．20．【分析】本题考查了实数的运算．根据负整数指数幂、零次幂、二次根式等化简，再计算加减即可求解．【详解】解：22(41)2(21)(21)a a a =-=+-AC BD =OA OC OB OD ==，AC BD =ABCD AC BD =9030%300÷=300904545120---=1208000032000300⨯=120.52902180r ππ⨯=12r =124-()20211 3.1432π-⎛⎫-+--+- ⎪⎝⎭114=-+-+．21．见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．利用证明即可证明．【详解】证明：∵，∴，∴，∵，∴，∴．22．250人，310人【分析】设第一天捐款有x 人，则第一天捐款有人，根据题意，得，解方程即可．本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，列出方程是解题的关键．【详解】设第一天捐款有x 人，则第一天捐款有人，根据题意，得，解得，经检验，是原方程的根，故，答：第一天捐款有250人，则第一天捐款有310人．23．(1)共有12种等可能结果；(2)【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率的知识．注意概率=所求情况数与总情况数之比．（1）列表得出所有等可能结果；（2）从表中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【详解】（1）解：根据题意列表如下，4=-ASA CAB EAD ≌V V AB AD =CAD EAB ∠=∠CAD BAD EAB BAD ∠-∠=∠-∠CAB EAD ∠=∠C E AC AE ∠=∠=，()ASA CAB EAD ≌△△AB AD =()60x +6200500060x x=+()60x +6200500060x x =+250x =250x =()60310x +=160101由上表可知，共有12种等可能结果；（2）解：在这12种等可能结果中，其中的结果有和共2种，所以敏敏获得奖品的概率为．24．(1)见解析(2)．【分析】（1）推出，，进而推出四边形是平行四边形，并根据证得四边形是菱形；（2）首先利用勾股定理求出，设，然后用x 表示出和，再在中，利用勾股定理构建方程，求出x ，进一步计算即可求解．【详解】（1）证明：∵，是沿折叠所得，∴，，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴平行四边形是菱形；2-1-2-()1,2--()0,2-()1,2-1-()2,1--()0,1-()1,1-()2,0-()1,0-()1,0()2,1-()1,1-()0,10xy >()2,1--()1,2--21126=1.8GD =CG EF =CG EF ∥CEFG EC EF =CEFG AB CG x =AE EF Rt AEF CD AB ⊥BFE △BCE BE 90BFE BCE ∠=∠=︒CEG FEG ∠=∠EC EF =CD EF ∥CGE FEG ∠=∠CGE CEG ∠=∠CE CG =CG EF =CG EF ∥CEFG EC EF =CEFG（2）解：∵，，∴，设，∵四边形是菱形，∴，∴，∵是沿折叠所得，∴，∴，∵在中，，∴，解得：，即．∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定和性质以及勾股定理的应用，灵活运用各性质进行推理论证是解题的关键．25．(1)(2)购买甲种图书本，乙种图书本，利润最大，最大为是元【分析】本题考查一次函数的实际应用，利用待定系数法求出一次函数的关系式是解题关键.（1）分别利用待定系数法求出关系式即可；（2）设总费用为元，求出关于的关系式，再利用一次函数的性质求出最少的费用即可.【详解】（1）解：当时，86AC BC ==，90ACB ∠=︒10AB =CG x =CEFG EF FG CE CG x ====8AE x =-BFE △BCE BE 6BF BC ==1064AF AB BF =-=-=Rt AEF 222EF AF AE +=()22248x x +=-3x =3CG =CD AB ⊥1122ABC S AC BC AB CD =⨯=⨯ 4.8CD =4.83 1.8GD =-=()25012022360(120)x x y x x ⎧≤≤=⎨+>⎩1801201680w w x 0120x ≤≤设，把代入得，∴；当时，设，把和代入得，，解得 所以与的关系式为；（2）设总费用为元，由题意得， ，当时，，∵， 随的增大而增大，∴当时， ；∴当 时，利润最大是元.此时乙种图书是本，答：应购买甲种图书本，乙种图书本，利润最大，最大为是元.26．(1)；(2)17．【分析】（1）先根据题意求出对称轴为，将其代入抛物线方程即可得到顶点坐标；（2）先根据顶点坐标设抛物线的解析式，求得抛物线的解析式，由于为正整数，分成，，，，时，分别讨论部分平移后的图象与轴的交点个数，从而得到的值，再根据（1）可知抛物线平移后的对称轴为，且点S 与点 Q 关于对称轴对称，可得，即，将其代入代数式即可．【详解】（1）对称轴为，，即，y kx =()120,300025k =25y x =120x >y kx b =+()120,3000()150,366012030001503660k b k b +=⎧⎨+=⎩22,360k b =⎧⎨=⎩y x ()25012022360(120)x x y x x ⎧≤≤=⎨+>⎩w 120180x ≤≤120180x ≤≤()()()3025203002236031140x x x x ω=+---+=+03k =>w x 180x =w 最大318011401680=⨯+=180x =16801201801201680(1,4)-1x =-h 1h =2h =3h =4h =4h >0x <x h 1x =-2m n m -+=-22n m =+2b x a=-20a b -=2b a =，将代入得，，即顶点坐标为；（2）由（1）可知的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，将代入，得，解得：，，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，因为为正整数，那么当时，抛物线表达式为，当时，，解得此时抛物线与轴的交点有2个，其中，但是题目中要求，所以时，抛物线与轴的交点为1个；当时，抛物线的表达式为，当时，，解得，，此时抛物线与轴的交点有2个，但是题目中要求，所以需舍掉，所以当时，抛物线与轴的交点为1个；当时，抛物线的表达式为，当时，，解得，，满足的要求，此时抛物线与轴的交点有2个；当时，抛物线表达式为，此时，抛物线与轴交点为1个；12b x a∴=-=-1x =-²y ax bx c =++y a b c=-+4a b c -+= 4y =∴(1,4)-²y ax bx c =++(1,4)-2(1)4y a x =++(0,2)2(1)4y a x =++2(01)42a ++=2a =-222(1)4242y x x x ∴=-++=--+ 2242y x x =--+y (0,2)()1,4-h 1h =222421241y x x x x =--+-=--+0y =22410x x --+=1x =2x =x 1>0x 20x <0x <1x =1h =x 2h =22242224y x x x x =--+-=--0y =2240x x --=12x =-20x =x 0x <20x =2h =x 3h =222423241y x x x x =--+-=---0y =22410x x ---=1x =2x 10x <20x <0x <x 4h =222424242y x x x x =--+-=---224(4)4(2)(2)0b ac -=--⨯-⨯-=x当时，抛物线与轴交点为0个；综上所述，；由（1）可知平移之后抛物线的对称轴为：，点与点 关于对称，，将代入代数式则故代数式的值为 17．【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，顶点坐标，二次函数的对称性，二次函数的平移，解一元二次方程，一元二次方程的判别式等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．27．(1)见解析(2)(3)．【分析】（1）连接，证明，求得，据此即可证明为的切线；（2）过点作，设，求得，，利用勾股定理求得，再求得，据此求解即可；（3）连接并延长交的延长线于点，利用切线长定理求得，，由，得到，，利用相似三角形的性质即可求得．【详解】（1）证明：连接，4h >x 3h =1x =- S Q 1x =-∴2m n m -+=-∴22n m =+22n m =+22281244m mn n n h -+-+22281244m mn n n h -+-+222812(22)4(22)4(22)m m m m m h =-+++-++22228242416321688m m m m m m h =--+++--+28h =+283=+17=22281244m mn n n h -+-+sin BAD ∠=12CF CE =OP OC 、()SSS OPA OPC ≌90OAP OCP ∠=∠=︒PC O D DG AP ⊥BD a =5PD a =3PG a =4AB DG a ==AD AC BD H HD BD =2BH HD =CE BH ∥ACF AHD ∽△ACE AHB ∽△12CF CE =OP OC 、∵是的直径，过点A 作射线，∴，∵，，，∴，∴，即，∵是的半径，∴为的切线；（2）解：过点作，垂足为点，设，∴，∵，∴为的切线，∵、、为的切线，∴，，∴，∵射线，，，∴，AB O l AB ⊥90OAP ∠=︒PA PC =OA OC =OP OP =()SSS OPA OPC ≌90OAP OCP ∠=∠=︒OC PD ⊥OC O PC O D DG AP ⊥G BD a =44AP BD a ==BD AB ⊥BD O PC PA BD O PA PC =DC DB =5PD PC CD a =+=l AB ⊥DG AP ⊥BD AB ⊥90GAB AGD ABD ∠=∠=∠=︒∴四边形是矩形，∴，，∴，在中，，∴，在中，，∴（3）解：，理由如下，连接并延长交的延长线于点，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，ABDG AG BD a ==AB DG =3PG PA AG a =-=Rt DPG V 4DG a ==4AB DG a ==Rt △ABD AD ==sin BD BAD AB ∠===12CF CE =AC BD H PA PC =PAC PCA ∠=∠PA AB ⊥BD AB ⊥PA BH ∥PAC H ∠=∠HCD PCA ∠=∠HCD H ∠=∠CD DH =CD BD =HD BD =2BH HD =CE AB ⊥BD AB ⊥CE BH ∥ACF AHD ∽△ACE AHB ∽△∴，，∴，∴．【点睛】本题考查了切线长定理，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．AC CF AH DH =AC CE AH BH =CE CF BH DH =12CF DH CE BH ==。
2024年山东省泰安市东平县中考二模数学试题(含答案)
2023~2024学年九年级模拟测试数学试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中选择题48分，非选择题102分，满分150分，考试时间120分钟；2．选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案写在试卷上无效；3．数学考试不允许使用计算器，考试结束后，应将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题 共48分）一、单选题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．每小题给出的四个答案中，只有一项是正确的．）1．下列等式正确的是（）A ．BCD2．下列运算正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．据中科院国家天文台，基于我国郭守敬望远镜和美国APOGEE 巡天的观测数据，我国天文学家精确测量了距离银河系中心1.6万光年至8.1万光年范围内的恒星运动速度，并估算出银河系的“体重”约为8050亿个太阳质量，其中数据“8050亿”用科学记数法可表示为（ ）A ．B ．C ．D ．4．在下列四项竞技运动的图案中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．把含的直角三角尺和一把直尺摆放成如图所示的图形，能使与互余的图形有（）3=3=±3=3=1239b b b÷=()23524xx -=248a a a⋅=22(2)4y y -=-118.510⨯980510⨯118.0510⨯128.0510⨯30︒1∠2∠A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．在元旦节目汇演比赛中，7位评委给某节目打分，得到互不相等的7个分值，同时去掉一个最高分和一个最低分，则以下四种统计量中一定不会发生改变的是（ ）A ．平均数B ．中位数C ．方差D ．标准差7．如图，已知的两条弦AC ，BD 相交于点E ，，，那么的值为（）A．BCD8．如图是抛物线（a ，b ，c 是常数且）的图象，则双曲线和直线的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，将扇形OAB 沿OB 方向平移，使点O 平移到OB 的中点处，得到扇形．若，，则阴影部分的面积为（ ）O75A ∠=︒45C ∠=︒sin AEB ∠122y ax bx c =++0a ≠42a b cy x-+=y abcx b =+O 'O A B '''90AOB ∠=︒OA =A ．6B ．C．D ．10．我国明代《算法统宗》一书中有如下的类似问题：“一支竿子一条索，索比竿子长两托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长10尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺．如果此题中设竿长x 尺，绳索长y 尺，根据题意可列方程组为（）A ．B ．C ．D ．11．如图，在中，，．按照如下步骤作图：①分别以点A ，B 为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M ，N ；②作直线MN ，交AC 点D ；③以D 为圆心，BC 长为半径作弧，交AC 的延长线于点E ；④连接BD ，BE ．下列说法错误的是（）A ．B ．C ．D ．12．如图，矩形ABCD ，，，点E 是边AB 上的动点，点F 是射线BC 上的动点，且，连接AF ，CE ．若，则m 的最小值为（ ）π+4π3+π+5210x x y y +=⎧⎨⎩-=1052x yyx +=⎧⎪⎨-=⎪⎩1052x y yx =+⎧⎪⎨-=⎪⎩1025x yx y+=⎧⎨-=⎩ABC △AB AC =36A ∠=︒12AC AD DE =12CBE A ∠=∠2BC AC CD=⋅35CE CD =6AB =3BC =2BF AE =12AF CE m +=A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 共102分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，只要求填写最后结果）13．已知关于x 的方程有至少一个实数解，则a 的取值范围是__________．14．如图，在中，，，，O 为边AC 上的一点，以OA 为半径的半圆O 交AB 于点D 、交AC 于点E ，过点D 作半圆O 的切线交边BC 于点F ，且，则的半径为__________．15．在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示，对任意的，称W 为a 到b 时y 的值的“极差”（即时y 的最大值与最小值的差），L 为a 到b 时x 的值的“极宽”（即b 与a 的差值），则当时，W 的取值范围是__________．16．图①是某款电动平衡车，图②是其简化示意图，该款平衡车的座位AB 和底盘CD 均平行于地面，座位AB 可沿射线EF 方向调节，当座位AB 的位置最低时，支架，，支架EF 与座位AB 的夹角，与支架GE 的夹角，底盘CD 到地面的距离为，则此时座位AB 到地面的高度为__________cm ．（结果精确到，参考数据：，）2410ax x --=Rt ABC △90C ∠=︒30A ∠=︒4BC =1CF =O 2134(08)42y x x x =-++≤≤08a b ≤<≤a x b ≤≤7L =27cm EF =35cm GE =70EFB ∠=︒115GEF ∠=︒10cm 1cm sin 700.94︒≈cos 700.34︒≈ 1.41≈17．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人也将下表称为“杨恽三角”．则：中，第三项系数为__________．11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1……18．已知等腰中，，，点D 是边AC 的中点，沿BD 翻折，使点A 落在同一平面的点E 处，若，则__________．三、解答题（本大题共7个小题，共78分，写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤．）19．（本题9分）（1．（2），其中，．20．（本题8分）非物质文化遗产是中华民族古老生命记忆和活态的文化基因．某学校为了让学生深入了解非物质文化遗产，决定邀请A 舞狮，B 农民画，C 剪纸，D 传统武术，E 凉帽（竹编技艺）的相关传承人进校园宣讲，现随机抽取若干名七年级学生进行投票，选择自己喜欢的项目（假设每名学生只能选择一项），并将投票结果绘制成如下两幅不完整的统计图：()na b +20()a b +ABC △AB AC =BC =ABD △BE AC ⊥AB =10145(2023π)24-⎛⎫︒---+ ⎪⎝⎭221122yx y x y x xy y ⎛⎫-÷⎪-+++⎝⎭3x =2y =根据以上信息，解决下列问题：（1）参与此次抽样调查的学生共__________人，补全统计图1（要求在条形图上方注明人数）；（2）若七年级学生共有1200人，根据调查结果，试估计七年级喜欢“传统武术”项目的学生人数；（3）若该学校决定邀请两个项目的非遗传承人进校园宣讲，请用画树状图或列表的方法，求选中B 农民画和C 剪纸这两个项目的概率．21．（本题11分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数的图象与y 轴交于点A ，与反比例函数交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）点C 是x 轴正半轴上一点，连接BC 交反比例函数于点D ，连接AD ，若，求的面积；（3）在（2）的条件下，将线段BD 绕点D 顺时针旋转得到线段DE ，求点E 的坐标．22．（本题11分）某粮食生产基地计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多2万元，用30万元购买甲种农机具的数量和用20万元购买乙种农机具的数量相同．（1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？（2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过92万元，乙的数量不超过甲数量的4倍，则如何购买费用最低？最低费用是多少万元？23．（本题12分）已知矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，于点F．22y x =+3(0)2y x x=>3(0)2y x x=>2BD CD =ABD △90︒DF AE ⊥（1）如图1，若，求的值；（2）如图2，连接AC 交DF 于点G，若，求的值．24．（本题13分）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与y 轴相交于点，点B 在x 轴上，且，过点B 作x 轴的垂线交抛物线于点C ，当时，．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，作直线AC 交x 轴于点D ，若，求t 的值；（3）如图3，点P 是线段OB 上的点，且，过点P 作x 轴的垂线交AC 于点E ，交抛物线于点F ，是否存在合适的t 值，使四边形BCEF 是平行四边形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．25．（本题14分）如图，AB 为的直径，C 是圆上一点，点D 是BC 弧上的中点，于点F ，延长BA 至点Q ，连接CQ ，．（1）求证：CQ 是的切线；（2）若点P 是上的一点，连接BP ，CP ，，．①求的值；②若CP 为的角平分线，求CP 的长．BE =AE AF ⋅23AG CG =cos FCE ∠2y x bx c =++(0,5)A (04)OB t t =<<3t =2BC =2y x bx c =++DB OB =1BP =O DE AB ⊥ACQ CBQ ∽△△OAE 6AC =2BF =tan BPC ∠ACB ∠2023-2024学年九年级模拟测试数学参考答案一、选择（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）题号123456789101112答案DACBDBDABBDC二、填空（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．）13．1415．16．6017．19018三、解答题（本大题共7小题，共78分．写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19．（本题9分）解：（1；……4分（2），……4分当，时，原式．……1分20．（本题8分）4a ≥-2544W ≤≤10145(2023π)24-⎛⎫︒--+ ⎪⎝⎭1124=-+-+-124=-+-+-1=221122yx y x y x xy y⎛⎫-÷⎪-+++⎝⎭22()()()()()x y x y y x y x y x y x y x y ⎡⎤+-=-÷⎢⎥-+-++⎣⎦22()()()2y x y x y x y y+=⋅-+x yx y+=-3x =2y =32532+==-（1）调查学生总数为（人），补全统计图如下：故答案为：120；……共3分（2）（人），……1分答：七年级喜欢“传统武术”项目的学生人数有60人；（3）列表如下：AB C D E A BACA DA EA B AB CBDB EB C AC BC DCEC D AD BD CD EDEAEBECEDE……3分共有20种可能出现的结果，其中恰好选中B ，C 这两个项目的有2种，所以恰好选中B ，C 这两个项目的概率为．……1分21．（本题11分）（1）解：在中，当时，，，联立方程组，解得：，（舍去），；……3分（2）解：如图，过点B 作轴于点G ，过点D 作轴于点H ，设BC 交y 轴于点K ，2420%120÷=6120060120⨯=212010= 22y x =+0x =2y =(0,2)A ∴2232y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩111,23x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩22321x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩1,32B ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭BG x ⊥DH x ⊥，，，，，当时，，解得：，，，，，，，，设直线BC 的解析式为，则，解得：，直线BC 的解析式为，当时，，，，；……4分（3）过点D 作轴，作于H ，于G ，连接AE ，如图，由旋转得：，，，，，，，90BGC DHC ∠=∠=︒ //BG DH ∴BCG DCH ∴∽△△31BG CG BC DH CH DC ∴===113133DH BG ∴==⨯=1y =312x =32x =3,12D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭31122GH ∴=-=//BG DH 12CH CD GH BD ∴==12CH ∴=31222OC OH CH ∴=+=+=(2,0)C ∴y kx b =+13220k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩24k b =-⎧⎨=⎩∴24y x =-+0x =4y =(0,4)K ∴422AK ∴=-=13112212222ABD ADK ABK S S S ∴=-=⨯⨯-⨯⨯=△△△//HG x EH HG ⊥BG HG ⊥BD DE =90BDE ∠=︒EDH DBG ∴∠=∠H G ∠=∠ (AAS)BDG DEH ∴≌△△2DH BG ∴==1EH DG ==．……4分22．（本题11分）（1）设购买1件乙种农机具需x 万元，则购买1件甲种农机具需万元，根据题意得，……3分解得，……1分经检验，是原方程的解，……1分，答：购买1件甲种农机具需6万元，1件乙种农机具需4万元．（2）设该粮食生产基地计划购买甲种农机具m 件，则计划购买乙种农机具件，根据题意得，，……3分解得，……1分所以共有三种方案，当时，购买甲4件，乙16件，费用（万元）；当时，购买甲5件，乙15件，费用（万元）；当时，购买甲6件，乙14件，费用（万元）；购买甲4件，乙16件总费用费用最低，最低费用：（万元）答：购买甲4件，乙16件最优惠，费用为88万元．……2分23．（本题12分）（1）解：是BC 的中点，四边形ABCD 是矩形，，，，，，……3分，；……2分（2）解：延长DE 交CB的延长线于H ，连接DE 、AH ，如图2所示：7,22E ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭(2)x +30202x x=+4x =4x =26x ∴+=(20)m -64(20)92420m m m m +-≤⎧⎨≥-⎩46m ≤≤4m =4616488⨯+⨯=5m =5615490⨯+⨯=6m =6614492⨯+⨯=∴4616488⨯+⨯=E 2BC BE ∴== AD BC ∴==//AD BC AEB DAF ∴∠=∠DF AE ⊥ 90AFD B ∴∠=︒=∠ABE DFA ∴∽△△AE BE AD AF∴=4AE AF AD BE ∴⋅=⋅==四边形ABCD 是矩形，，，，，，，是BC 的中点，，，四边形ADEH 是平行四边形，，四边形ADEH 是菱形，……3分，，，，，……2分，，，，，，．……2分24．（本题13分）（1）解：，，轴，，把，代入，得解得：，……3分（2）解：点C 在抛物线上，，设直线AC 解析式为，把，代入，得，解得：，直线AC 解析式为……2分，，，，把代入，得，解得：3分（3）解：，，，对于抛物线，当时，，,由（2）知：直线AC 解析式为， //AD BC ∴AD BC =90BCD ∠=︒ADG CHG ∴∽△△23AD AG CH CG ∴==12BH BC ∴=E BE CE BH ∴==EH BC AD ∴==∴DF AE ⊥ ∴DF HF ∴=AEH AED ∠=∠DE AD EH BC ===12CE DE ∴=30CDE ∴∠=︒903060CED ∴∠=︒-︒=︒60AEH AED ∴∠=∠=︒DF AE ⊥ 30FDE CDE ∴∠=︒=∠FE CE ∴=1302FCE CFE AEH ∴∠=∠=∠=︒cos FCE ∴∠=3OB t == 2BC =BC x ⊥(3,2)C ∴(0,5)A (3,2)C 2y x bx c =++5932c b c =⎧⎨++=⎩54c b =⎧⎨=-⎩24 5. y x x ∴=-+ ()2,45C t t t ∴-+y kx m =+(0,5)A ()2,45C t t t -+y kx m =+2545m kt m t t =⎧⎨+=-+⎩54m k t =⎧⎨=-⎩∴(4)5y t x =-+(04)OB t t =<< DB OB =22OD OB t ∴==(2,0)D t ∴(2,0)D t (4)5y t x =-+02(4)5t t =-+2t =(04)OB t t =<< 1BP =(1,0)P t ∴-1x t =-2610y t t =-+()2t 1,610F t t ∴--+(4)5y t x =-+当时，，，……2分，，，，轴，轴，当时，四边形BCEF 是平行四边形，……2分解得：或，存在，当或时，四边形BCEF 是平行四边形．……1分25．（本题14分）（1）连接OC ，，，，，，为的直径，，，是的切线；……4分（2）①解：连接OD ，是的中点，，为的直径，，，，，……2分，设的半径为r，则，解得，经检验，是方程的解，，，，，；……3分1x t =-2(4)(1)559y t t t t =--+=-+()21,59E t t t ∴--+1EF t ∴=-(04)OB t t =<< (,0)B t ∴()2,45C t t t -+245BC t t ∴=-+BC x ⊥ EF x ⊥∴EF BC =2145t t t ∴-=-+2t =3t =∴2t =3t =ACQ CBQ ∽△△13∴∠=∠OC OB = 12∴∠=∠23∴∠=∠AB O 290ACB ACO ∴∠=∠+∠=︒390ACO QCO ∴∠+∠=∠=︒CQ ∴O D BCCAB DOB ∴∠=∠AB O 90ACB ∴∠=︒DE AB ⊥ 90DFO ∴∠=︒ACB OFD ∴∽△△AC OF AB OD∴=O 622r r r-=5r =5r =210AB r ∴==8BC ∴===84tan 63BC CAB AC ∴∠===BPC CAB ∠=∠ 4tan 3BPC ∴∠=②如图，过点B 作交CP 于点G ，，，CP 是的角平分线，，，，……2分，，……2分．……1分BG CP ⊥90BGC BGP ∴∠=∠=︒90ACB ∠=︒ ACB ∠45ACP BCP ∴∠=∠=︒45,CBG ∴∠=︒cos 458CG BG BC ∴==⋅︒==4tan 3BPC ∴∠=43BG GP ∴=3344GP BG ∴==⨯=CP CG GP ∴=+==。
2023年甘肃省张掖市甘州一中中考数学二模试卷(含解析)
2023年甘肃省张掖市甘州一中中考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 计算|−2|的值是( )A. −2B. −12C. 12D. 22.将一个长方体内部挖去一个圆柱(如图所示)，它的主视图是( )A.B.C.D.3. 下列计算正确的是( )A. (−3x)2=9x2B. (−x)−1=1xC. 16−4=4D. (−x2)3=x64. 2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网.其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用.22纳米=0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为( )A. 2.2×108B. 2.2×10−8C. 0.22×10−7D. 2.2×10−95. 若一次函数y=2x+b(k≠0)的图象向下平移3个单位后经过点A(1,4)，则b的值为( )A. 3B. 4C. 5D. 66.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE过点C且平行于AB，若∠BCE=35°，则∠A的度数为( )A. 35°B. 45°C. 55°D. 65°7.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，BC//OD，若∠C=130°，则∠B的度数为( )A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°8. 西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作1.2小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据题意可列出方程为( )A. 1.26+1.2x=1 B. 1.26+1.2x=12C. 1.23+1.2x=12D. 1.23+1.2x=19.如图，在边长为2的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为( )A. 5B. 3C. 5+1D. 2210.如图，A，B，C，D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O−C−D−O路线作匀速运动，设运动时间为t(s).∠APB=y(°)，则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是( )A. B.C. D.二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）11. 分解因式：m2−6m+9=______．12. 使式子x+1x−1有意义的x的取值范围是______．13. 若关于x的分式方程3xx−2=m+3x−2+1有增根，则m=______．14. 某校随机调查了八年级20名男生引体向上的个数，统计数据如表所示，则这些男生引体向上个数的中位数与众数之和为______．个数678910人数2346515. 如图，已知函数y=−12x+b和y=kx的图象交于点P(−4,−2)，则根据图象可得关于x的不等式−12x+b>kx的解集为______．16.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，则cos∠OCB的值是______．17. 一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为106，要使输出的结果为127，则输入的最小正整数是______．18. 若x是不等于1的数.我们把11−x 称为x的差倒数.如2的差倒数是11−2=−1，−1的差倒数为11−(−1)=12.现已知x1=−13，x2是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，x4是x3的差倒数，…，以此类推，则x2023=______ ．三、计算题（本大题共2小题，共16.0分）19. 先化简，再求值：(1−3x +1)÷x 2−4x +4x +1，其中x =3．20. 如图，在直角坐标系xOy 中，直线y =mx 与双曲线y =n x 相交于A (−1,a )、B 两点，BC ⊥x轴，垂足为C ，△AOC 的面积是1．(1)求m 、n 的值；(2)求直线AC 的解析式．四、解答题（本大题共8小题，共72.0分。
2023年山西省运城市中考二模数学试题(含答案)
根据以上信息，解答下列问题：
（1）参与此次抽样调查的学生人数是______，在扇形统计图中，扇形 B 的圆心角度数为______.
（2）把条形统计图补充完整（要求写出计算过程，并在条形统计图上方注明人数）. （3）若参加成果展示活动的学生共有 1600 人，请估计其中最喜爱“C.调查活动”项目的学生人数. 20.（本题 8 分）阅实与思考 请阅读下列材料，非完成相应的任务.
14.在 2022 卡塔尔世界杯期间，以吉祥物拉伊卜为主题元素的纪念品手办、毛绒公仔深得广大球迷喜爱.某官
方授权网店销售的手办每个售价 200 元，毛绒公仔每个售价 40 元，小熙打算在该网店购手办和毛绒公仔共 10 个送同学，费用不超过 1500 元，若设购买手办 x 个，则可列不等式为______.
接力游戏
老师：化简：
1
3x 2 x2
x2 4x 2x 4
4
甲同学：原式 x 2 3x 2 x2 4x 4
x2
2x 4
乙同学：
x
2 3x 2 x2
2x 2 x 22
丙同学：
2x x2
2x 2 x 22
丁同学：
4x
x 22
.
任务一：①在“接力游戏”中，丁同学是依据______进行变形的. A.等式的基本性质 B.不等式的基本性质 C.分式的基本性质 D.乘法分配律 （2）在“接力游戏”中，从______同学开始出现错误，错误的原因是______. 任务二：在“接力游戏”中，该分式化简的正确结果是______. 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，针对化简分式时还需要注意的事项给同学们提一条 建议.
A.1.3102
B.1.3105
C.1.3106
2023年山东省济南市钢城区中考数学二模试卷(含解析)
2023年山东省济南市钢城区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. −2的绝对值是( )A. 2B. −2C. 12D. −122.由五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从左面看该几何体的形状图是( )A.B.C.D.3. 下列数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A. 笛卡尔心形线B. 卡西尼卵形线C. 赵爽弦图D. 费马螺线4. 如图，三角板的直角顶点在直尺的一边上.若∠1=30°，∠2=70°，则∠3的度数是( )A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°5. 中华人民共和国第十四届人民代表大会第一次会议政府工作报告指出：2023年国内生产总值预期增长目标5%左右，城镇新增就业1200万人左右，将1200万用科学记数法表示为( )A. 12×106B. 1.2×107C. 1.2×108D. 0.12×1086. 下列计算正确的是( )A. 4a−2a=2B. a8÷a4=a2C. a2⋅a3=a5D. (b2)3=b57. 已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是( )A. a+b>0B. ab>0C. (−a)+b<0D. |b|<|a|8. “航天知识竞赛”活动中，获得“小宇航员”称号的小颖得到了A，B，C，D四枚纪念章(除图案外完全相同)，如图所示，四枚纪念章上分别印有“嫦娥五号”、“天问一号”、“长征火箭”和“天宫一号”的图案.她将这四枚纪念章背面朝上放在桌面上，然后从中随机选取两枚送给同学小彬，求小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的概率是( )A. 712B. 34C. 512D. 129. 如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AD长为半径作弧交AB于点E，再分别以点D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交CD于点F若AB=8，BF=5，则△BC F的周长为( )A. 11B. 12C. 13D. 1410. 若点P(x,y1)与Q(x,y2)分别是两个函数图象C1与C2上的任一点.当a≤x≤b时，有−1≤y1−y2≤1成立，则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”.例如，点P(x,y1)与Q(x,y2)分别是两个函数y=3x+1与y=2x−1图象上的任一点，当−3≤x≤−1时，y1−y2=(3x+1)−(2 x−1)=x+2，它在−3≤x≤−1上，−1≤y1−y2≤1成立，因此这两个函数在−3≤x≤−1上是“相邻函数”.若函数y=x2−x与y=ax在0≤x≤2上是“相邻函数”，求a的取值范围. ( )A. −3≤a≤1B. 12≤a≤1 C. a≥12D. 12≤a≤32二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11. 因式分解：1−4y2=______ ．12.如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖(飞镖每次都落在游戏板上)，击中阴影部分的概率为______ ．13. 方程1x−3=3x+1的解为______．14. 已知x=1是方程x2−3x+c=0的一个根，则实数c的值是______ ．15. 如图①分别以直角三角形的三条边为边，向形外分别作正三角形，则图中的S1，S2，S3满足的数量关系是______ .现将△ABF向上翻折，如图②，已知S甲=6，S乙=5，S丙=4，则△ABC的面积是______ ．16. 如图，在菱形ABCD 中，过点D 作DE ⊥CD 交对角线AC 于点E ，连接BE ，点P 是线段BE 上一动点，作P 关于直线DE 的对称点P′，点Q 是AC 上一动点，连接P′Q ，DQ .若AE =14，CE =18，则DQ−P′Q 的最大值为______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17. 计算：(π−1)0+4sin 45°− 8+|−3|．四、解答题（本大题共9小题，共80.0分。
2023年江苏省常州市前黄实验学校中考二模数学试题(含答案解析)
2023年江苏省常州市前黄实验学校中考二模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．5B．【答案】BA．3【答案】C【分析】根据正方体展开图的特点，将正方体展开，然后利用勾股定理求解即可．【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确将正方体展开，利用勾股定理进行求解是解题的关键．7．若二次函数225=++y x xA．14B．825【答案】B【分析】设小正方形边长为1，由平行线的性质得到QTY=∠∠【详解】解：设小正方形边长为∵线段PQ恰好将这个图形分成面积相等的两个部分，∴111052PQMS+=⨯=△，∴115 2PM QM⋅+=，1【点睛】本题主要考查了求一个角的正切值，正确根据面积法求出键．二、填空题9．若式子x 1x 2+-在实数范围内有意义，则【答案】1x ≥-且2x ≠/2x ≠且【分析】根据二次根式的被开方数大于等于【详解】解：由题意，得：x +∴1x ≥-且2x ≠；∴x 的取值范围是1x ≥-且x ≠【答案】1023-+-/2310【分析】根据矩形和平行四边形的性质可得：=====，AD BC A D'AB CD CD'4【答案】(3932y x x =-+<≤【分析】作QD AB ⊥，分点Q 由直角三角形的性质表示出【详解】解：∵90C ∠=︒，由题意知6BQ x =-，∵90C ∠=︒，3cm AC BC ==，∴190452B BAC ∠=∠=⨯︒=︒，∴QDB 为等腰直角三角形，【答案】455【分析】根据点到直线的距离，垂线段最短，所以当等积法，求出OP 的长即可．【详解】解：∵直线y =当0x =时，4y =；当y ∴()()2,0,0,4A B ，∴==OA 2,OB 4，∴222425AB =+=，∵直线24y x =-+与直线∴直线BC 即为直线y =∵点到直线的距离，垂线段最短，∴当OP BC ⊥时，OP 的值最小，过点O 作OP BC ⊥，交BC【答案】83【分析】连接,AC AP ，由菱形的性质可知点G ，过点P 作PH AB ⊥定理求出CG 长度，再证明四边形求解即可．【详解】如图，连接,AC AP ∵四边形ABCD 是菱形中，∴4,AB BC D ABC ==∠=∠∴ABC 是等边三角形，过点C 作CG AB ⊥于点G 则CG PH =，【答案】1772【分析】根据勾股定理分别求出OA 二个、第三个三角形的面积，总结规律，根据规律解答即可．【详解】解：第1个三角形的面积由勾股定理得，221112OA =+=，则第2个三角形的面积1212=⨯⨯【答案】2105/2105【分析】连接DO ，OF 到DFO ∠的度数，再根据折叠的性质可知共线，然后根据勾股定理，即可求得用解直角三角形，即可求解．【详解】解：如图：连接 四边形ABCD 是正方形，将DC DA ∴=，DC DF =DA DF ∴=，在DAO 与DFO 中，DA DF OA OF DO DO =⎧⎪=⎨⎪=⎩(SSS DAO DFO ∴≌V V三、解答题19．计算或化简：(1)这50名学生视力的众数为______，中位数为______(2)求这50名学生中，视力低于4.7的人数占被抽查总人数的百分比；(3)若该校九年级共有400名学生，请估计该校九年级学生中，视力不低于【答案】(1)4.9,4.8(2)视力低于4.7的人数占被抽查总人数的16%(3)估计该校九年级学生中，视力不低于4.8的人数为【分析】（1）根据条形图确定出现次数最多的数据，即可求出众数，将数据排序后，找到第25个和第26个数据，两个数据的平均数即为中位数；（2）利用频数除以总数，进行求解即可；（3）利用样本估计总量即可得解．【详解】（1）解：由条形图可知，视力为4.9的学生的人数最多，故众数为第25个和第26个数据分别为：4.8,4.8，故中位数为：故答案为：4.9,4.8；（2）解：1340.1616% 50++==；∴视力低于4.7的人数占被抽查总人数的16%；（3）解：1012632140027250+++++⨯=（人）；答：估计该校九年级学生中，视力不低于4.8的人数为【点睛】本题考查条形统计图，中位数，众数，利用样本估计总量．从条形图中有效的获取信息，熟练掌握众数和中位数的确定方法，是解题的关键．由树状图可知一共有8种等可能性的结果数，结果数有2种，∴掷出这三枚硬币所得数字之和是2的概率为【点睛】本题主要考查了求频率，树状图法求解概率，正确画出树状图是解题的关键．23．如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点落在边AD上的点G处，连接CF．(1)判断四边形GECF的形状，并说明理由；【点睛】本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理，菱形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．24．某同学眼睛距地面高度1.7旗杆顶部D 的仰角为22︒，在护旗手结束走正步的点又测量得到A ，B 两点间的距离是【答案】21.7米【分析】延长EF 交CD 于G ，在求出DG 的长，进而可求出求旗杆【详解】解：延长EF 交CD 于1.7CG AE ==米．∵22,45DEF DFG ︒︒∠=∠=，∴在Rt DGF △中，DG GF =，在Rt DGE △中，tan 22DG EG ︒=∴ 2.5tan 22DG EG DG =≈︒，∵EG GF EF -=，∴2.530DG DG -=，解得20DG =，则20 1.721.7DC DG CG =+=+=(1)求证：BC 是O 的切线；(2)求EF 的长．【答案】(1)见解析(2)1655【分析】（1）根据题意可得OA AB =根据相似三角形的性质可得BOA ∠（2）过点O 作OG BF ⊥于点G 平分FBE ∠，则BD EF ⊥，DF =解．【详解】（1）证明：∵2OA =，∴OA AB AB AC=，∵90OAB ∠=︒，∴90OAB BAC ∠=∠=︒，∴OAB BAC ∼，；∴BOA CBA ∠∠=，∵+90OBA BOA ∠∠︒=，∴+90OBA ABC ∠∠︒=，即90OBC ∠=︒，∵OG BF ⊥，90OAB ∠=︒，弦BF ∴BG AB =，∵OB OB =，∴()Rt Rt HL BOG BOA ≌，∴GBO ABO ∠∠=，∵BF BE =，即BFE △为等腰三角形，∴BD EF ⊥，DF DE =，∵2OA =，4AB =，∴22+25OB OA AB ==，在Rt ABO △中，sin OA OBA OB ∠=在Rt BDE △中，sin DE DBE BE ∠=∴855DE =，∴1655EF =．【点睛】本题主要考查切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、垂径定理，熟练运用相关知识答题时解题关键．26．【问题提出】（1）如图①，在Rt ABC △中，90B Ð=°，3AB =则BP 的最小值为______；由垂线段最短可知，当∵90,ABC ∠=︒∴2AC =AB +∵2ABC S AB =⋅ ∴AB BC BP AC ⋅=故答案为：125；（2）作点E 关于直线∵E ，E '关于直线∴PE PE '=，∴PB PE PB +=+∴,,B P E '共线，∴此时PB PE +最小，最小值为∵90,B BC ∠=︒=∴45ACB ∠=︒，∵点E 是BC 的中点，∴1CE =，∴ACE ACB '∠=∠∴90BCE '∠=︒，在Rt BCE '△中，22BE BC CE ''=+∴PB PE +的最小值为（3）作C 关于AD ∵C ，N 关于AB 对称，C ，∴,CE NE CF MF ==，∴CE EF CF NE EF ++=+∵,,,N E F M 共线，∴此时CE EF FC ++的值最小，∵60A ∠=︒，90B Ð=°，∠∴60ADC ∠=︒（3）【拓展延伸】如图3，P 在坐标平面内，记P 为图形S ，线段AB 记为图形与(),h S T 的值；（4）【思维提升】如图4，(A -图形S ，线段AB 记为图形T ，图形13（3）图形S 的(),60O ︒旋转变换得到图形设图形S '的圆心为点P '，连接OP 由旋转的性质可得：=60P OP '∠∴P OP '△是等边三角形，∴1==32OH OP ，=90P HO '∠︒∴22=63=33P H '-，（4）图形S 的(),60O ︒旋转变换得到图形故答案为：23．【点睛】本题考查了新定义、旋转的性质、平面直角坐标系中点的特征、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握旋转的性质和理解新定义解题的关键．28．已知：如图，抛物线2y mx =直线AE ：y x b =+交x 轴于E 点，交(1)求抛物线的解析式；(2)若Q 为抛物线上一点，连接,QE QA ，设点Q 的横坐标为S ，求S 与t 函数关系式；（不要求写出自变量t 的取值范围）(3)在（2）的条件下，点M 在线段QA 上，点N 是位于Q 、E∴()2,43Q t t t ++，∴2,OB t BQ t =-=∵()()0,3,3,0A E -∴3,3OA BE ==--∴AQBO S S S =-△梯形()(23432t t +++⨯=23922t t =+，即23922S t t =+；（3）当3152S ==当5x =时，8y =，∴()5,8Q -，设直线AQ 的解析式为：∴8530k b b=-+⎧⎨=+⎩，解得∴直线AQ 的解析式为：。
2024年上海市虹口区中考二模数学试题(解析版)
虹口区2023学年度初三年级第二次学生学习能力诊断练习数学 练习卷（满分150分，考试时间100分钟）注意：1．本练习卷含三个大题，共25题．答题时，请务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本练习卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）［下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．］1. 下列各数中，无理数是（ ）A. B. 3.14159 C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查的是对无理数定义的应用，熟练掌握理解无理数的定义是解此题的关键．根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可．【详解】解：A、是分数，不是无理数，故本选项错误；B 、3.14159是小数，不是无理数，故本选项错误；C 是无理数，故本选项正确；D 、是循环小数，不是无理数，故本选项错误；故选C ．2. 关于一元二次方程无实数根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程判别式与根情况的关系，列代数式求解即可．【详解】解：一元二次方程无实数根，的211 1.22111.2x 220x x m -+=m 1m <1m £m 1≥1m >220x x m -+=则判别式解得，故选：D ．【点睛】此题考查了一元二次方程判别式与根情况的关系，解题的关键是掌握相关基础知识，一元二次方程的判别式，当时有两个不相等的实数根，当时，有两个相等的实数根，当时，无实数根．3. 已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数，可得函数图象开口向下，对称轴为，函数值随自变量的增大而减小，则，得以解答．【详解】解：二次函数，，函数图象开口向下，对称轴为，时，函数值随自变量的增大而减小，故选：A ．4. 下列事件中，必然事件是（ ）A. 随机购买一张电影票，座位号恰好是偶数B. 抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后反面朝上C. 在只装有2个黄球和3个白球的盒子中，摸出一个球是红球D. 在平面内画一个三角形，该三角形的内角和等于【答案】D【解析】【分析】本题考查是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断．的()224240b ac m ∆=-=--<1m >()200ax bx c a ++=≠24b ac ∆=-0∆>Δ0=Δ0<()24y x =--y x x 4x ≥4x ≤4x ≥-4x ≤-()24y x =--()24y x =--4x =y x 4x ≥()24y x =--10-< ∴()24y x =--4x =∴4x ≥y x 180︒【详解】解：A 、随机购买一张电影票，座位号是偶数，是随机事件；B 、抛掷一枚质地均匀的硬币，反面朝下，是随机事件；C 、在只装有2个黄球和3个白球的盒子中，摸出一个球是红球，是不可能事件；D 、在平面内画一个三角形，该三角形的内角和等于，是必然事件；故选D ．5. 如图，在正方形中，点、分别在边和上，，，如果，那么的面积为（ ）A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，先根据正方形的性质得到，进而证明四边形是平行四边形，得到，则，最后根据三角形面积计算公式求解即可．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∴，故选：B ．6. 在中，，．如果以顶点为圆心，为半径作，那么与边所在直线的公共点的个数是（ ）A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个．180︒ABCD E F BC AD 2BE =6AF =AE CF ABE 90AD BC AB CD ABE =∠=︒∥，，AECF 6AF CE ==8AB BC BE CE ==+=ABCD 90AD BC AB CD ABE =∠=︒∥，，AE CF AECF 6AF CE ==8AB BC BE CE ==+=1128822ABE S AB BE =⋅=⨯⨯=△ABCD Y 5BC =20ABCD S = C BC C C AD【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行四边形的面积，直线与圆的位置关系d 、r 法则，熟练掌握法则是解题的关键．根据面积公式计算点C 到的距离d ，比较d 与半径的大小判断即可．【详解】解：如图，∵在平行四边形中，，，设点C 到的距离为d ，∴点C 到的距离，∴直线与圆C 相交，即有2个交点，故选：B ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）［请将结果直接填入答题纸的相应位置］7.=___．【答案】﹣2【解析】【分析】根据立方根的定义，求数a 的立方根，也就是求一个数x ，使得x 3=a ，则x 就是a 的立方根．【详解】∵（－2）3=－8，，故答案为：-28. 分解因式：_______．【答案】【解析】【分析】根据平方差公式因式分解即可求解．【详解】解：AD BC ABCD 5BC =20ABCD S = AD AD 2054d =÷= 45BC<=AD 2-229a b -=()()33a b a b +-229a b -=()()33a b a b +-故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．9. 解不等式：，的解集为________.【答案】【解析】【分析】本题主要考查的是解一元一次不等式；按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式即可求解．【详解】解：去括号，移项，合并同类项，化系数为1，故答案为：．10. 函数的定义域是 【答案】＞【解析】【分析】定义域是指该函数的自变量的取值范围，根据二次根号下被开方数≥0；分式中分母不为0；即可解答.【详解】定义域是指该函数的自变量的取值范围，二次根号下被开方数≥0；分式中分母不为0；∴∴故答案为11. 将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得到的新抛物线的表达式为________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并()()33a b a b +-()5232x x +≤+2x ≤()5232x x +≤+5263+≤+x x5362x x -≤-24x ≤2x ≤2x≤y =10x +>1x >-1x >-()221y x =-+()253y x =--用规律求函数解析式．根据平移规律“左加右减，上加下减”写出新抛物线解析式．【详解】解：抛物线先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得到的新抛物线的表达式为，即．故答案为：．12. 在一个不透明袋子中，装有2个红球和一些白球，这些球除颜色外其他都一样，如果从袋中随机摸出一个球是红球的概率为，那么白球的个数是________．【答案】6【解析】【分析】本题考查了概率的定义．解题的关键与难点在于理解概率的定义，求出球的总数．随机摸出一个球是红球的概率是，可以得到球的总个数，进而得出白球的个数．【详解】解：设红、白球总共n 个，记摸出一个球是红球为事件A ，，白球有个故答案为：．13. 某校为了解该校1200名学生参加家务劳动的情况，随机抽取40名学生，调查了他们的周家务劳动时间并制作成频数分布直方图，那么估计该校周家务劳动时间不少于2小时的学生大约有________名．【答案】780【解析】【分析】本题主要考查了用样本估计总体，根据条形统计图获取信息是解题的关键．根据条形统计图直接得出家务劳动时间不少于2小时的学生有26名，进而估计该校1200名学生参加家务劳动时间不少于2小时的学生人数即可求解．()221y x =-+()22314y x =--+-()253y x =--()253y x =--0.2520.25n=()20.25P A n==8n ∴=∴826-=6【详解】解：由题意得：被调查的40人中，家务劳动时间不少于2小时的学生有26名，该校周家务劳动时间不少于2小时的学生大约有（名），故答案为：780．14. 一根蜡烛长30厘米，点燃后匀速燃烧，经过50分钟其长度恰为原长的一半．在燃烧的过程中，如果设蜡烛的长为（厘米），燃烧的时间为（分钟），那么关于的函数解析式为________（不写定义域）．【答案】【解析】【分析】本题主要考查由实际问题列一次函数的解析式，解题的关键是理解题意．根据题意先求出蜡烛燃烧的速度为（厘米/分），即可直接进行求解．【详解】解：由题意可得：蜡烛长30厘米，经过50分钟其长度恰为原长的一半，经过50分钟蜡烛燃烧的长度为15厘米，蜡烛燃烧的速度为（厘米/分），蜡烛的长为蜡烛燃烧前长度减去燃烧的长度，，故答案为：．15. 如图，正六边形螺帽的边长是，那么这个扳手的开口的值是______．【答案】【解析】【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质．由螺帽是正六边形，可得是含角的直角三角形，再根据即可求出和．【详解】解：如图，连接,则，过点作于∴26120078040⨯=y t y t 300.3y t=-15500.3÷=∴∴15500.3÷=300.3y t \=-300.3y t =-4cm a 30︒ACD 30︒4AC =AD AB AB a AB =C CD AB ⊥D螺帽是正六边形，,．故答案为：16. 如图，在梯形中，，，点、分别是边、的中点，连接，设，，那么用向量、表示向量________．【答案】【解析】【分析】本题考查了平面向量的问题，熟练掌握三角形法则是解题的关键，根据梯形的中位线定理及向量的三角形法则解答即可．【详解】解：，，，，， 120ACB ∴∠=︒CD AB ⊥AC BC=1120602ACD ∴∠=⨯︒=︒AD BD =4AC = 4AD AC ∴===22a AB AD ∴===⨯=ABCD AD BC ∥2BC AD =E F AB CD AC AB a =AC b = a b EF = 3344a b -+ AB a = AC b =BC BA AC a b \=+=-+ ,2AD BC BC AD = ∥111222AD BC a b \==-+,点、分别是边、的中点，，，，故答案为：．17. 如图，在中，，，．点在边上，，以点为圆心，为半径作．点在边上，以点为圆心，为半径作．如果和外切，那么的长为________．【答案】##【解析】【分析】本题考查的是圆和圆的位置关系、解直角三角形的知识，作于点H ，连接，先求出，设，在中，根据勾股定理列方程即可解决．【详解】解：作于点H ，连接，，，，在中，，11112222DC DA AC AD AC a b b a b \=+=-+=-+=+ E F AB CD 111222EA BA AB a \==-=- 111244DF DC a b \==+ 11111332224444EF EA AD DF a a b a b a b æöæöç÷ç÷\=++=-+-+++=-+ç÷ç÷èøèø3344a b -+ ABCD Y 7AB =8BC =4sin 5B =P AB 2AP =P AP P Q BC Q CQ Q P Q CQ 37149214PH BC ⊥PQ 43PH BH ==，CQ a =Rt QPH △PH BC ⊥PQ 7AB = 2AP =725BP \=-=Rt BPH 4sin 5B =，，设，和外切，半径为2，，在中，，，解得：，故答案为：．18. 如图，在扇形中，，，点在半径上，将沿着翻折，点的对称点恰好落在弧上，再将弧沿着翻折至弧（点是点A 的对称点），那么的长为________．【答案】##【解析】【分析】本题考查翻折性质，圆的基本性质，等边三角形判定与性质、勾股定理的应用，连接，由翻折得，证出是等边三角形，设，在中，根据勾股定理列方程并解出进而求出结论．【详解】解：连接，455PH \=43PH BH \==，CQ a =P Qe Q P 2PQ a \=+Rt QPH △4,835PH HQ a a ==--=-()()222452a a ∴+-=+3714a =3714AOB 105AOB ∠=︒8OA =C OA BOC BC O D AB AD CD 1A D 1A 1OA 8-8-+OD 1105OB BD AC A C BOC BDC ==∠=∠=︒，，OBD AC a =Rt COD AC OD由翻折得：，，，是等边三角形，，，设，则，在中，，，解得：（舍去），，故答案为：．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.先化简，再求值：，其中．【答案】【解析】【分析】本题主要考查分式的化简求值，分母有理化，掌握分式的基本性质与运算法则是解题的关键，注意化简过程中能因式分解要先因式分解．先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求值即可．【详解】解：1105OB BD AC A C BOC BDC ==∠=∠=︒，，OC CD =OB OD = OBD ∴△60OBD ∴∠=︒3601051056090OCD \Ð=°-°-°-°=°AC a =1882OC a CD A O a =-==-，Rt COD 8OC CD a ==-()()222888a a ∴-+-=12888a a =-=+>(128288OA OA AC ∴=-=--=8-22214133m m m m m -+⎛⎫÷- ⎪++⎝⎭m 1m m -22214133m m m m m -+⎛⎫÷- ⎪++⎝⎭()()2134333m m m m m m -+⎛⎫=÷- ⎪+++⎝⎭；当．20. 解方程组：【答案】【解析】【分析】将第二个方程进行因式分解得到，然后令因式和因式分别为0即可求解.【详解】解：由题意可知： 对方程②进行因式分解得：即或∴原方程组化为 或 解得或故原方程组的解为：或.【点睛】本题考查了因式分解的方法及二元方程组，熟练掌握常见的二元一次方程组的解法是解决此类题的关键.21. 如图，一次函数图像在反比例函数图像相交于点和点，与轴交于点．点在反比例函数图像上，过点作轴的垂线交一次函数图像于点．()()21133m m m m m --=÷++()()21331m m m m m -+=⨯+-1m m-=m =1m m -222-620x y x xy y =⎧⎨--=⎩121242,22x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩()(2)0+-=x y x y 2x y -x y +222-620x y x xy y =⎧⎨--=⎩①②()(2)0+-=x y x y 20x y -=0x y +=2620x y x y -=⎧⎨-=⎩260x y x y -=⎧⎨+=⎩1142x y =⎧⎨=⎩2222x y =⎧⎨=-⎩1142x y =⎧⎨=⎩2222x y =⎧⎨=-⎩(),2A m ()2,4B -y C ()1,D n -D x E（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求面积．【答案】（1）反比例函数为，一次函数解析式 （2）【解析】【分析】此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例函数和一次函数解析式，三角形面积．（）利用待定系数法求解即可；（）先分别求出、、的坐标，进而利用三角形面积公式解答即可．【小问1详解】解：设反比例函数为，把点代入得，，∴反比例函数为，把点，点代入，得，，∴，，∴点，点，设一次函数解析式，的CDE 8y x=-2y x =--9212C D E k y x=()2,4B -k y x=428k =-⨯=-8y x=-(),2A m ()1,D n -8y x =-82m =-881n =-=-4m =-8n =()4,2A -()1,8D -y cx d =+把点，点代入得，解得，∴一次函数解析式；【小问2详解】∵一次函数解析式，∴把点代入，得，∴，∴点，∵轴，∴点横坐标为，把代入得，∴∴，∴22. 根据以下素材，完成探索任务．探究斜坡上两车之间距离素材1图①是某高架入口的横断面示意图．高架路面用表示，地面用表示，斜坡用表示．已知，高架路面离地面的距离为25米，斜坡长为65米．素如图②，矩形为一辆大巴车的侧面示意图，长为10米，长为的()4,2A -()2,4B -4224c d c d-=+⎧⎨=-+⎩12c d =-⎧⎨=-⎩2y x =--2y x =--()0,2C -,()1,D n -8y x =-881n =-=-8n =()1,8D -DE x ⊥E 1-1x =-2y x =--121y =-=-()1,1E --,189DE =+=119191222CDE S DE =⋅=⨯⨯= .BM AN AB BM AN ∥BM BH AB ECKG CK EC 3.5材2米．如图③，该大巴车遇堵车后停在素材1中的斜坡上，矩形的顶点与点重合，点与指示路牌底端点之间的距离为米，且．小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶，小张的眼睛到斜坡的距离为1米．任务一如图①，求斜坡的坡比．问题解决任务二如图③，当小张正好可以看到整个指示路牌（即、、在同一条直线上）时，试求小张距大巴车尾的距离．【答案】任务一：斜坡的坡比；任务二：米【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形坡度坡角问题及相似三角形判定与性质，矩形判定与性质，任务一：根据勾股定理求出第三边进而求出坡度；任务二：作交延长线于点O ，作于点Q ，交于点R ，通过解直角三角形结合矩形判定与性质求出相关线段长度，再证明，根据性质求出结论即可．【详解】解：任务一：如图①，由题意得：在中，25米，斜坡长为65米，（米），斜坡的坡比；任务二：如图③，作交延长线于点O ，作于点Q ，交于点R ，为ECKG K B B P BP 6.5BP BM ⊥FD AB P E F EC CD AB 1:2.4i =12.5PO DB ⊥DB FQ PO ^CE FER FPQ ∽Rt ABH △BH AB 60AH \=∴AB 251:2.460BH i AH ===PO DB ⊥DB FQ PO ^CE则四边形为矩形，四边形为矩形，米，米，，为米，，解得：米，米，米，米，，，，，，解得：，经检验，是原方程的解，米．23. 如图，在中，，延长至点，使得，过点、分别作，，与相交于点，连接．CRQO FDCR,1RQ CO FR DC FD CR OQ\=====，3.51 2.5ER\=-=,90ABH PBO O HÐ=ÐÐ=Ð=°BP 6.525cos cos6.565BOPBO ABH\Ð==Ð=2.5BO=6PO\==615PQ∴=-=10 2.512.5RQ CO==+=,EC AB PQ AB^^ER PQ\∥FER FPQ\∽ER FRPQ FQ\=2.5512.5FRFR\=+12.5FR=12.5FR=12.5CD FR\==Rt ABC△90C∠=︒CB D DB CB=A DAE BC∥DE BA∥AE DE E BE（1）求证：；（2）连接交于点，连接交于点．如果，求证：．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是掌握平行四边形和矩形的判定方法．（1）先证四边形是平行四边形，得出从而证出四边形是矩形，即可证明结论；（2）设，算出，证明，求出 ，进而证出结论；【小问1详解】证明：，，四边形是平行四边形，，，，又，点D 在的延长线上，，四边形是平行四边形，又，四边形是矩形，；【小问2详解】解：如图，BE CD ⊥AD BE F CE AD G FBA ADB ∠=∠AG AB =AEDB AE CB =AEBC EF BF a ==AE =AEG DCG V ∽△AGAB = AE BD DE BA ∥∴AEDB ∴AE BD = BD CB =∴AE CB = AE BD CB ∴AE CB ∥∴AEBC 90C ∠=︒∴AEBC ∴BE CD ⊥四边形是平行四边形，，设，，，，，，，，，，，在中，，，，在中，，AEDB ,EF BF AF DF \==EF BF a ==FBA ADB Ð=Ð tan tan FBA ADB \Ð=ÐAE BF BE BD\=AE BD = 222AE a \=AE ∴=BD BC AE \==AE CD AEG DCG \ ∽12AE AG CD DG \==Rt DBF △DF ==AD \=AG \=Rt ABC △AB ==．24. 新定义：已知抛物线（其中），我们把抛物线称为的“轮换抛物线”．例如：抛物线的“轮换抛物线”为．已知抛物线：的“轮换抛物线”为，抛物线、与轴分别交于点、，点在点的上方，抛物线的顶点为．（1）如果点的坐标为，求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与直线相交于点，如果四边形为平行四边形，求点的坐标；（3）已知点在抛物线上，点坐标为，当时，求的值．【答案】（1） （2） （3）或【解析】【分析】本题考查的是二次函数综合题，重点考查二次函数的性质、平行四边形性质及相似三角形性质，（1）将点代入表达式，求出m 的值，根据“轮换抛物线”定义写出即可；AG AB \=AG AB \=2y ax bx c =++0abc ≠2y cx ax b =++2y ax bx c =++2231y x x =++223y x x =++1C ()2445y mx m x m =+-+2C 1C 2C y E F E F 2C P E ()0,12C 2C 38y x =+Q PQEF E ()4,M n -2C N 12,72⎛⎫-- ⎪⎝⎭PMN PEF △∽△m 241y x x =+-20,3E ⎛⎫- ⎪⎝⎭1m =-1732()0,1E（2）根据轮换抛物线定义得出抛物线表达式及点E 、F 坐标，并求出P 、Q 坐标，根据平行四边形性质得出列方程并解出m 值，进而解决问题；（3）先求，结合求出的点P 、E 、F 坐标得出及，根据相似三角形性质得出关于m 的方程，解方程即可解决．【小问1详解】解：抛物线：与轴交于点坐标为，当，代入，得，，抛物线表达式为，抛物线的“轮换抛物线”为表达式为；【小问2详解】解：抛物线：，当时，，即与y 轴交点为，抛物线：的“轮换抛物线”为，抛物线表达式为，同理抛物线与y 轴交点为，抛物线对称轴为直线，当时，，抛物线的顶点坐标为，当时，，抛物线的对称轴与直线交点，点在点的上方，，解得：，2C PQ EF =()4,45M m --2PN 2PF 1C ()2445y mx m x m =+-+y E ()0,10x =1y =1m =451m \-=-∴1C 241y x x =-+∴1C 2C 241y x x =+-1C ()2445y mx m x m =+-+0x =y m =()0,E m 1C ()2445y mx m x m =+-+2C ∴2C ()2445y mx mx m =++-2C ()0,45F m -2C 422m x m=-=-2x =-5y =-∴2C ()25P --，2x =-382y x =+=∴2C 38y x =+()2,2Q - E F 45m m \>-53m <，四边形为平行四边形，，即，解得：，；【小问3详解】解：点在抛物线上，当时，，即，点坐标为，，，，，，，，，，解得：．25. 在梯形中，，点在射线上，点在射线上，连接、相交于点，．()4553EF m m m \=--=- PQEF PQ EF \=()2553m --=-23m =-20,3E ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭ ()4,M n -2C 4x =-()244545y mx mx m m =++-=-()4,45M m -- N 12,72⎛⎫-- ⎪⎝⎭()25P --，()0,E m ()0,45F m -()222125225724PN æöç÷\=-++-+=ç÷èø()()22222455416PF m m =-+-+=+()115325322PEF P S EF x m m =×=-´=- ()111557242222PMN M P S PN x x æöç÷=×-=´-+´-+=ç÷èø PMN PEF ∽222PEF PMN S PF PF S PN PN æöç÷\==ç÷èø 25341652524m m -+\=12171,32m m =-=ABCD AD BC ∥E DA F AB CE DF P EPF ABC ∠=∠（1）如图①，如果，点、分别在边、上．求证：；（2）如图②，如果，，，．在射线的下方，以为直径作半圆，半圆与的另一个交点为点．设与弧的交点为．①当时，求和的长；②当点为弧的中点时，求的长．【答案】（1）见解析（2）①；；②【解析】【分析】（1）根据等腰梯形的性质可得，，，根据三角形的外角性质得出，进而可得，即可证明，根据相似三角形的性质，即可求解；（2）①同（1）证明，如图所示，过点作于点，连接，得出，，解直角三角形，分别求得，，进而根据相似三角形的性质求得的长；②根据题意画出图形，根据垂径定理得出，根据题意可设，，则，得出，设，则，则，在中，得出，根据得出，即可求解．【小问1详解】证明：∵梯形中，，，∴，，，又∵，∴AB CD =E F ADAB AF DF DE CE =AD CD ⊥5AB =10BC =3cos 5ABC ∠=DA DE O O CE G DF EG Q 6DE =EG AF Q EG AF EG =215AF =15B DCB DCE BCE ∠=∠=∠+∠A EDC ∠=∠DEC BCE ∠=∠FPE CED EDP ∠=∠+∠ADF DCE ∠=∠ADF DCE ∽ADF PDE ∽A AM BC ⊥M DG cos DEC ∠=sin DEC ∠=EG EP AF OQ EQ ⊥EPF ABC α∠=∠=ODQ OQD β∠=∠=90αβ+=︒43tan tan 34αβ==12FR a =9AR a =15AF a =Rt DFR 16DR a =1697AD DR AR a a a =-=-=1a =ABCD AD BC ∥AB CD =B DCB DCE BCE ∠=∠=∠+∠A EDC ∠=∠DEC BCE ∠=∠FPE CED EDP ∠=∠+∠EPF ABC∠=∠ADF DCE∠=∠∴，∴；【小问2详解】解：∵，∵，则∴∴∵∴又∵∴，如图所示，过点作于点，连接，∵，∴，则，，∵∴∵∴又∵∴，在中，∴∴，ADF DCE ∽AF DF DE CE=EPF ABC ∠=∠DPC EPF∠=∠180FPC DPC ∠+∠=︒180FPC B ∠+∠=︒180ECB PFB ∠+∠=︒ECB AFD∠=∠AD BC∥ECB DEC∠=∠EDP FDA∠=∠ADF PDE ∽A AM BC ⊥M DG 5AB =3cos 5ABC ∠=3BM =4AM =4sin 5AM ABC AB ∠==,AD BC AD CD⊥∥4CD AM==10BC =1037AD MC BC BM ==-=-=6DE =1AE=Rt EDC 6,4ED CD ==EC ===cos DE DEC EC ∠===sin DC DEC EC ∠===∵为直径∴∴，∴，∵∴∴②过点作于点，∵∴∵∴设，，则ED 90DGE ∠=︒cos 6EG ED DEC =⨯∠==sin 6DG ED DEC =∠==sin sin DG DG PD DPG ABC ====∠∠3cos 5PG PD DPG =∠==EP EG PG =-=ADF PDE∽AF AD PE PD=215D A PE AF PD ⋅===F FR AD ⊥R EQGQ =OQ EQ⊥OQ OD=ODQ OQD∠=∠EPF ABC α∠=∠=ODQ OQD β∠=∠=90αβ+=︒∵，则设，则∴∵∴设，则，∴，在中，∴又∵∴∴【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰梯形的性质，相似三角形的性质与判定，垂径定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．3cos os cos 5DPG EPF ABC ∠=∠=∠=35PG PD =3,5PG k PD k ==4GD k =43tan tan 34αβ==AD BC∥RAF α∠=12FR a =9AR a =15AF a =Rt DFR 3tan 4RF DR β==16DR a=1697AD DR AR a a a =-=-=7=1a =15AF =。
2024年黑龙江省哈尔滨市道里区中考二模数学试题(解析版)
2024年黑龙江省哈尔滨市道里区中考二模数学试题一、选择题（每小题3分，共计30分）1. 下列运算正确的个数是（ ）①；②；③；．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】本题考查了绝对值，零指数幂，负整数指数幂和算术平方根，掌握相关的公式是解题的关键．根据，，，进行逐一计算即可．【详解】解：①，，故此项正确；②，，故此项正确；③，此项正确；，故此项正确；正确的个数是个．故选：D ．2. 下列运算结果正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别利用同底数幂的乘法法则，合并同类项的法则，积的乘方法则及完全平方公式分别判断即可．【详解】A ．，故此选项计算错误，不符合题意；B ．，故此选项计算错误，不符合题意；20242024=020241=1120242024-=2024=()()()0000a a a a a a ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩()010a a =≠()10p p a a a -=≠a =20240> 20242024∴=20240≠ ∴020241=1120242024-=2024=∴43412a a a ⋅=321ab ab -=()232624ab a b -=()222a b a b -=-347a a a ⋅=32ab ab ab -=C ．，此选项计算正确，符合题意；D ．，故此选项计算错误，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则，合并同类项的法则，积的乘方法则及完全平方公式，熟练掌握相关计算法则是解答本题的关键．同底数幂相乘，底数不变，指数相加；合并同类项时，只把系数相加，所得结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；与都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式．3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键．【详解】解：A 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；B 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；C 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；D 、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；故选：B ．4. 图中几何体的三视图（即主视图、左视图和俯视图）是（ ）A.B. C. D.【答案】C ()232624ab a b -=()2222a b a ab b -=-+222()2a b a ab b +=++222()2a b a ab b -=-+180︒【解析】【分析】本题考查三视图，解题的关键是熟练掌握几种常见几何体的三视图，本题属于基础题型．分别找到从正面，左面，上面看得到的图形即可，看到的棱用实线表示；实际存在，没有被其他棱挡住，又看不到的棱用虚线表示．【详解】图中几何体的三视图（即主视图、左视图和俯视图）是：．故选：C ．5. 芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计4积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】科学计数法的记数形式为：，其中，当数值绝对值大于1时，是小数点向右移动的位数；当数值绝对值小于1时，是小数点向左移动的位数的相反数．【详解】解：，故选A ．【点睛】本题考查科学计数法，掌握科学计数法的记数形式是解题的关键．6. 袋子里有4个球，分别标有2，3，4，5四个数字，随机抽取的两个球中数字之和大于6的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽取的两个球数字之和大于6的情况，再利用概率公式即可求得答案．81.410-⨯71410-⨯60.1410-⨯91.410-⨯10n a ⨯1a 10≤<n n 80.000000014 1.410-=⨯2356581316【详解】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，抽取的两个球数字之和大于6的有8种情况，∴抽取的两个球数字之和大于6的概率是：．故选：A ．7. 如图，一条河两岸互相平行，为测得此河的宽度PT （PT 与河岸PQ 垂直），测P 、Q 两点距离为m 米，，则河宽PT 的长度是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】结合图形利用正切函数求解即可．【详解】解：根据题意可得：，∴，故选C ．【点睛】题目主要考查解直角三角形的实际应用，理解题意，利用正切函数解直角三角形是解题关键．8. 阅读以下作图步骤：①在和上分别截取，使；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，连接，如图所示．82123=PQT α∠=sin m αcos m αtan m αtan m αtan PT PQα=·tan tan PT PQ m αα==OA OB ,OC OD OC OD =,C D 12CD AOB ∠M OM ,CM DM根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）A. 且B. 且C. 且D. 且【答案】A【解析】【分析】由作图过程可得：，再结合可得，由全等三角形的性质可得即可解答．【详解】解：由作图过程可得：，∵，∴．∴．∴A 选项符合题意；不能确定,则不一定成立，故B 选项不符合题意；不能确定,故C 选项不符合题意，不一定成立，则不一定成立，故D 选项不符合题意．故选A ．【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是解答本题的关键．9. 如图，正方形边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，按照这样的规律作下去，第2024个正方形的边长为（ ）．12∠=∠CM DM=13∠=∠CM DM =12∠=∠OD DM=23∠∠=OD DM=,OD OC CM DM ==DM DM =()SSS COM DOM ≌12∠=∠,OD OC CM DM ==DM DM =()SSS COM DOM ≌12∠=∠OC CM =13∠=∠OD DM =OD CM ∥23∠∠=ABCD AC ACEF CF ,FOGHA. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理，图形类的规律探索，正方形的性质，根据勾股定理求出前几个正方形的边长，然后通过对比总结规律，推出第n 个正方形的边长，最后把2022代入求解即可．【详解】解：由题知，第1个正方形的边长，根据勾股定理得，第2个正方形的边长，根据勾股定理得，第3个正方形的边长，根据勾股定理得，第4个正方形的边长，……∴第n 个正方形的边长为，∴第2024个正方形的边长为，故选：C ．10. 如图，正方形的边长，点P 以的速度从点A 出发沿运动，同时点Q 以的速度从点出发沿运动，当点运动到点时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接PQ 和，的面积为，下列图象能正确反映出与的函数关系的是（ ）．AB..(2023(2024202320241AB=AC=2CF=3GF=1n-202412023-=ABCD 4cm 2cm s A D C --1cm s C CB P C (s)t PC PQC △()2cm (0)s s ≠s tC. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，二次函数的解析式，一次函数解析式，分当时，当时，两种情形，确定解析式，判断即可．正确确定面积，从而确定解析式是解题的关键．【详解】解：在正方形中，，，当时，，则，当时，，，则，故选：B ．二、填空题（每小题3分，共计30分）11. 函数 yx 的取值范围是__________．【答案】x ＞2【解析】【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．【详解】根据二次根式的意义以及分式的意义可知：x ﹣2＞0，所以，x ＞2．故答案为x ＞2．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：02t <≤24t <≤ABCD 4cm AB CD BC AD ====90C ∠=︒02t <≤CQ t =114222s CQ CD t t =⋅=⨯⨯=24t <≤CQ t =82CP t =-()21182422s CQ CP t t t t =⋅=⨯⨯-=-+（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．12. 已知实数，满足，则的值为______．【答案】72【解析】【分析】本题考查了求代数式的值，将变形为，整体代入计算即可得出答案．【详解】解：，，故答案为：．13. 若点在第四象限，则m 的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了根据点所在的象限求参数，解一元一次不等式组．根据第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负进行求解即可．【详解】解：∵点在第四象限，∴，解得，故答案为：．14. 在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如都是“黎点”，则双曲线上的“黎点”是______．【答案】或【解析】【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，设双曲线上的“黎点”是，构建方程求解即可，熟练掌握“黎点”的定义是解此题的关键．【详解】解：设双曲线上“黎点”是，的a b ，89a b ab +==，22a b ab +22a b ab +()ab a b +89a b ab +== ，()229872ab a b b a a b =+=+⨯=∴72()2,1M m m +-21m -<<()2,1M m m +-2010m m +>⎧⎨-<⎩21m -<<21m -<<(1,1),(2024,2024)--4y x-=(2,2)-()2,2-4y x -=(),m m -4y x-=(),m m -，解得：，双曲线上的“黎点”是或，故答案为：或．15. 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m ）与飞行时间（单位：s ）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间_________s ．【答案】2【解析】【分析】把一般式化为顶点式，即可得到答案．【详解】解：∵h =-5t 2+20t =-5（t -2）2+20，且-5＜0，∴当t =2时，h 取最大值20，故答案为：2．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式．16. 如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动．则重物上升了_______．（结果保留）【答案】【解析】【分析】本题考查了弧长公式：（弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R ）． 利用题意得到4m m-∴-=2m =±∴4y x -=(2,2)-()2,2-(2,2)-()2,2-h t 2520h t t =-+t =9cm 120︒cm π6π180n R l π⋅⋅=重物上升的高度为定滑轮中所对应的弧长，然后根据弧长公式计算即可．【详解】解：根据题意，重物的高度为故答案为：．17. 如图，是一个盛有水的容器的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度为_______．【答案】【解析】【分析】过点作于点，交于点，则，依题意，得出，进而在中，勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点，则，∵水的最深处到水面的距离为，的半径为．∴，在中，∴故答案为：．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．18. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A ，B ，Q 在同一水平线120︒12096180ππ⨯⨯=6πO O 10cm AB 4cm AB cm 16O OD AB ⊥D O E 12AD DB AB ==6OD =Rt AOD O OD AB ⊥D O E 12AD DB AB ==AB 4cm O 10cm 1046OD =-=cm Rt AOD 8AD ===cm 216AB AD ==cm16ABC上，和均为直角，与相交于点D ．测得，，，则树高的长是______m ．【答案】6【解析】【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求解．【详解】解：∵，，∴，∴，∵，，，∴，∴；故答案为6．19. 如图，矩形中，对角线和相交于点O ，过点A 作，垂足为点E ，过点C 作，垂足为点F ，连接和，若（S 表示面积），则的值是______．【解析】ABC ∠AQP ∠AP BC 40dm AB =20dm BD =12m AQ =PQ 90ABC AQP ∠=∠=︒ABD AQP ∽90ABC AQP ∠=∠=︒A A ∠=∠ABD AQP ∽AB BD AQ PQ=40dm 0.4m AB ==20dm 0.2m BD ==12m AQ =0.40.212PQ=6m PQ =ABCD AC BD AB BD ⊥CF BD ⊥AF CE 2CEF ABE S S =△△sin AFE ∠【分析】由推出，得到，由，得到，推出，由线段垂直平分线的性质推出，得到是等边三角形，因此，求出，令，由勾股定理得到，于是求出．【详解】解：，，，四边形是矩形，，，，，，，，，，垂直平分，，，是等边三角形，，，令，，，，．AAS AOE COF △≌△OE OF =2CEF ABE S S =△△2EF BE =OE BE =AO AB =AOB 60AOB ∠=︒AE =OE x =AF ==sin AE AFE AF ∠==AE BD ⊥ CF BD ⊥90AEO CFO \Ð=Ð=° ABCD OA OC ∴=OA OB =AOE COF ∠=∠ (AAS)AOE COF ∴ ≌OE OF ∴=2CEF ABE S S = 2EF BE ∴=2EF OE = OE BE ∴=AE ∴OB AO AB ∴=OA OB = AOB ∴ 60AOB ∴∠=︒AE ∴=OE x =AE ∴2EF x =AF ∴==sin AE AFE AF ∴∠===【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是由三角形面积公式，矩形的性质推出，判定是等边三角形，推出，得到．20. 如用，是等边三角形，点是上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段（点和点是对应点），连接，在上取一点，连接和，和相交于点，若，则的长是______．【解析】【分析】本题考查了旋转的性质、解直角三角形、等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质，由旋转的性质可得：，，证明，得出，，证明出，再证明得出，得出，作于，于，则，，，求出计算即可得解．【详解】解：由旋转的性质可得：，，为等边三角形，，是等边三角形，，，，为等边三角形，，，，OB BE =AOB 60AOB ∠=︒AE =ABC D BC AD AD A 60︒AE D E DE AC F DF BF BF ED G 32AB BD CD CF CD ===，，BG AD AE =60EAD ∠=︒AED △CDF 60ADE ∠=︒60CDF CFD ∠=∠=︒DAF GDB ∠=∠()SAS BDF AFD ≌GDB GBD ∠=∠GB GD =GH BC ⊥H FM BC ⊥M 1BH DH ==12DM CM ==90BMF BHG ∠=∠=︒cos FBM ∠=cos BG BH FBM =⋅∠AD AE =60EAD ∠=︒AED ∴ 60ADE ∴∠=︒ ABC 3AB BC AC ∴===60ACB ∠=︒CF CD = CDF ∴ 60CDF CFD ∴∠=∠=︒18060GDB ADF ADE CDF ∠+∠=︒-∠-∠=︒ 60DAF ADF DFC ∠+∠=∠=︒，，，，，，，，，，，，，作于，于，，则，，，，，，．三、解答题（其中21－22题各7分，23－24题各8分，25－27题各10分，共计60分）21. 先化简，再求代数式的值．其中．DAF GDB ∴∠=∠2BD CD =Q 1CD ∴=2BD =1DF CF ∴==2AF AC CF BD =-==180120AFD CFD ∠=︒-∠=︒ 180120BDF CDF ∠=︒-∠=︒AFD BDF ∴∠=∠()SAS BDF AFD ∴ ≌DAF FBD ∴∠=∠GDB GBD ∴∠=∠BG DG ∴=GH BC ⊥H FM BC ⊥M 1BH DH ==12DM CM ==90BMF BHG ∠=∠=︒FM ∴==52BM BD DM =+=BF ∴==cos BM FBM BF ∴∠===cos 1BG BH FBM ∴=⋅∠==222112111a a a a a a a ⎛⎫-+++ ⎪-+--⎝⎭4cos 452sin 30a ︒=-︒【答案】【解析】【分析】本题考查分式的化简求值．先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后利用特殊角的三角函数值求得的值，将的值代入化简后的式子计算即可．【详解】解：，当时，原式．22. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形．线段的端点均在小正方形的顶点上．（1）画出线段绕点B 顺时计旋转后得到线段，连接；（2）在（1）的条件下，将先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到（点A 的对应点是点D ，点B 的对应点是点E ，点C 的对应点是点F ），画出，使与关于直线对称（点G 在小正方形顶点上），直接写出四边形的周长．【答案】（1）图见解析（2）图见解析，【解析】【分析】（1）根据旋转变换的性质作出图形；（2）利用平移变换，轴对称变换的性质作出图形，然后根据勾股定理求出11a +a a 222112111a a aa a a a ⎛⎫-+++ ⎪-+--⎝⎭()()()2211111a a aa a a a -+++=÷+--()()()()2211111a a a a a +--=⋅-+11a =+14cos 452sin 304212a =︒-︒=-⨯=-==AB AB 90︒BC AC ABC DEF DGF △DGF △DEF DF DEFG，进而求解即可．【小问1详解】如图所示，即为所求；【小问2详解】如图，，即为所求．由题意，所以四边形的周长为【点睛】本题考查作图旋转变换，勾股定理，轴对称变换，平移变换等知识，解题的关键是理解题意正确作出图形．23. 为丰富学生课余活动，博熙中学组建了体育类、B 美术类、C 音乐类和D 其它类四类学生活动社团，要求每人必须参加且只参加一类活动．学校随机抽取九年级（1）班全体学生进行调查，以了解学生参加社团情况．根据调查结果绘制了两幅不完整统计图（如图所示）．请结合统计图中的信息，解决下列问题：（1）在这次调查中，九年级（1）班学生总人数是多少人；（2）请通过计算补全条形统计图，并求扇形统计图中区域D 所对应的扇形的圆心角的度数是多少；（3）博熙中学共有学生2000人，请估算该校参与体育类和美术类社团的学生总人数．【答案】（1）40人（2）图见解析，（3）1300人【解析】【分析】本题考查的是从条形统计图与扇形统计图中获取信息，利用样本估计总体，掌握基础的统计知识是解本题的关键；的DE EF FG DG =====BC DEF DGF △DE EF FG DG =====DEFG -A 36︒（1）由A 组人数除以其占比即可得到结论；（2）先求解C 组人数，再补全图形即可，利用乘以D 的占比即可得到圆心角；（3）由总人数乘以该校参与体育类和美术类社团的学生的占比即可得到结论．【小问1详解】解：（人）答：在这次调查中，九年级（1）班学生总人数是40人．【小问2详解】C 类学生人数：（人）扇形统计图中D 类所在的扇形的圆形角度数是补全统计图如下：．【小问3详解】（人）答：估算该校参与体育类和美术类社团的学生总人数1300人．24. 如图，中，，以为直径作交于点，交于点，过点作的切线交于点．（1）求证：；（2），求的长．【答案】（1）见解析 （2）360︒1230%40÷=401214410---=43603640︒⨯=︒12142000130040+⨯=ABC BA BC =AB O AC D BC E D O BC F DF BC ⊥AC =tan 2ACB ∠=EF 2【解析】【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．（1）连接，由等边对等角得出，推出，结合切线的性质得出，即可得证；（2）连接和，由圆周角定理得出，由等腰三角形的性质得出，证明，再由等腰三角形的性质即可得出答案．【小问1详解】证明：如图1，连接．，，，，，，，是的切线，，，，；【小问2详解】解：如图2，连接和．OD BCA ODA Ð=ÐOD BC ∥90BFD ∠=︒BD DE 90ADB CDB ∠=∠=︒AD CD ==2CF =DC DE =OD BA BC = BAC BCA ∴∠=∠OA OD = OAD ODA ∠=∠∴BCA ODA ∴∠=∠OD BC ∴∥180ODF BFD ∴∠+∠=︒DF O OD DF ∴⊥90ODF ∴∠=︒90BFD ∠=︒∴DF BC ∴⊥BD DE是直径，，，，在中，，，，，，，，，，．25. 某工厂签了1980件商品订单，要求不超过15天完成．现有甲、乙两个车间来完成加工任务．已知甲车间的加工能力是乙车间加工能力的1.5倍．并且加工540件需要的时间甲车间比乙车间少用3天．（1）求甲、乙每个车间的加工能力每天各是多少件；（2）甲、乙两个车间共同生产了若干天后，甲车间接到新任务．留下乙车间单独完成剩余工作，求甲、乙两车间至少合作多少天，才能保证完成任务？【答案】（1）乙每个车间的加工能力每天是60件，甲每个车间的加工能力每天是90件（2）12天【解析】【分析】（1）设乙每个车间的加工能力每天是件，则甲每个车间的加工能力每天是件．根据等量关系列方程解答即可；AB O 90ADB CDB ∴∠=∠=︒AB BC =AD CD ∴==Rt CDF △tan 2ACB ∠= 2CF ∴=180DAB DEB ∠+∠=︒ 180DEC DEB ∠+∠=︒DAB DEC ∴∠=∠DAB DCB ∠=∠ DCE DEC ∴∠=∠DC DE ∴=DF BC ⊥ 2EF CF ∴==x 1.5x（2）设甲、乙两车间合作m 天，才能保证完成任务．根据题意列不等式解答即可．本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系是解题的关键．【小问1详解】设乙每个车间的加工能力每天是件，则甲每个车间的加工能力每天是件．解得：经检验是原方程的解答：乙每个车间的加工能力每天是60件，甲每个车间的加工能力每天是90件．小问2详解】设甲、乙两车间合作m 天，才能保证完成任务．解得：答：甲、乙两车间至少合作12天，才能保证完成任务．26. 已知：中，，于，点在边上，点在的延长线上，连接和．（1）如图，若，请直接写出是______三角形；（2）如图，若，求证为等边三角形；（3）如图，在（）的条件下，将沿翻折，得到，连接，，求的长．【答案】（1）等腰直角；（2）证明见解析；（3【解析】【分析】（）如图，连接，证明即可求证；【x 1.5x 54054031.5x x-=60x =60x =1.590x =()198060906015m m ⎡⎤+-+÷≤⎣⎦12m ≥ABC AB AC =AD BC ⊥D E AB F AD EF CF 、CE 190BAC CF EF ∠=︒=，FCE △2120BAC CE CF ∠=︒=，CEF △32AEC △EC KEC △90FK FKC ∠=︒，3AF =FK 11BF 90EFC ∠=︒（）如图，延长，过点作的延长线于点，证明即可求证；（）如图，设与相交于点，相交于点，证明，得到，证明，得到，即可得，利用勾股定理得【小问1详解】解：如图，连接，∵，，，∴，，垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，即，又∵，∴是等腰直角三角形，故答案为：等腰直角；【小问2详解】22BA C CM BA ⊥M 60ECF ∠=︒33CK AF M CE AF 、N ()AAS FKM CDM ≌FK CD =()Rt Rt HL CKF FDC ≌CK FD =1AD =CD =1BF AB AC =AD BC ⊥90BAC ∠=︒45BAD ABD ∠=∠=︒90BDF ∠=︒AD BC BF CF =BFD CFD ∠=∠CF EF =BF EF =BEF EBF ∠=∠45BEF BAD AFE AFE ∠=∠+∠=︒+∠45EBF ABD DBF DBF ∠=∠+∠=︒+∠4545AFE DBF ︒+∠=︒+∠AFE DBF ∠=∠90BDF ∠=︒90DBF BFD ∠+∠=︒90AFE CFD ∠+∠=︒90EFC ∠=︒CF EF =FCE △解：如图，延长，过点作延长线于点，则，∵，，，∴，，，∴，又∵，∴，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，即，∵，∴为等边三角形；【小问3详解】解：如图，设与相交于点，相交于点，的2BA C CM BA ⊥M 90M ∠=︒AB AC =AD BC ⊥120BAC ∠=︒90ADC CDF ∠=∠=︒30ACD ∠=︒60CAD CAM ∠=∠=︒90ADC M ∠=∠=︒AC AC =()AAS ADC AMC ≌CD CM =30ACD ACM ∠=∠=︒303060MCD ∠=︒+︒=︒Rt CDF △Rt CME △CD CM CF CE =⎧⎨=⎩()Rt Rt HL CDF CME △≌△DCF MCE ∠=∠60MCD MCE ECD ∠=∠+∠=︒60DCF ECD ∠+∠=︒60ECF ∠=︒CE CF =CEF △3CK AF M CE AF 、N∵为等边三角形，∴，∵，∴，又∵，∴，又由折叠可得，，，∴，∴，即，∴，∵，，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，CEF △60CEF EFC ECF ∠=∠=∠=︒60CAD ∠=︒60CAN NEF ∠=∠=︒ANC ENF ∠=∠ACN EFN ∠=∠ACE KCE ∠=∠CA CK =EFN KCE ∠=∠EFC EFN ECF KCE ∠-∠=∠-∠MFC MCF ∠=∠MF MC =90FKM CDM ∠=∠=︒FMK CMD ∠=∠MF MC =()AAS FKM CDM ≌FK CD =Rt CKF △Rt FDC FK CD CF FC =⎧⎨=⎩()Rt Rt HL CKF FDC ≌CK FD =FD CA =30ACD ∠=︒2CA AD =2FD AD =3AF =∴，∴，∴，∴∴【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定，等边三角形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．27. 已知：在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，将沿y 轴翻折得到（点B 与点C 是对应点）．（1）如图1，求直线的解析式；（2）如图2，点P 在线段上（点P 不与A 、C 重合），过点P 作的垂线，垂足为点Q ，交于点D ，设点P 的横坐标为t ，线段的长为d，求d 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，在上取一点E ，连接和交于点F ，若，，点G 为延长线上一点，连接和，使，求直线的解析式．【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）先求出点AB 的坐标，再根据翻折得出点C 的坐标，然后根据待定系数法求出直线的解析式；33AD =1AD =2AC =CD ===FK =332y x =+AOB AOC AC AC AB PQ AO OD OC AE CD OD OE =AD DF =OC DG AG 3ADG DAG ∠=∠DG 332y x =+536d t =-+32y x =+AC（2）作，作，可知四边形HORP 为矩形，设点，可表示，，再根据可得关系式；（3）在x 轴的负半轴上取一点M ，使，过点M 作CD 的垂线，垂足为点，连接，可得，即可得出，然后设，则，进而得出，再根据“”证明，可得，进而得，再设则，根据勾股定理求出可知点D 得坐标，然后在上取一点，使，作，设，则，可得，再根据平行线分线段分线段成比例得可设则，根据勾股定理求出a 值，可得，最后根据待定系数法求出答案即可．【小问1详解】如图，令则，即，令则，即．将沿轴翻折得到（点B 与点C 是对应点），，设直线的解析式为，把和代入直线解析式中解得，直线解析式为；PR OC ⊥PH AO ⊥3,32P t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭HP DH tan tan HPD QAD ∠=∠OM OA =N MD MOD AOE ≌MDO AEO ∠=∠OAE α∠=90OEA α∠=︒-90MDO AEO MDN α∠=∠=∠=︒-AAS MND MOD ≌3,MN MO ND OD ===NC OD ND p ==4CD p =-3,2p =AG K AK DK =KT AD ^KAD KDA β∠=∠=2GDK GKD β∠=∠=GD GK =1,3AT AK TO KG ==AK KD a ==3,4KG DG a AG a ===OG 0x =3y =(0,3)A 0y =2x =-(2,0)B - AOB y AOC (2,0)C ∴AC y kx b =+(0,3)A (2,0)C 203k b b +=⎧⎨=⎩323k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩AC 332y x =+【小问2详解】如图，过点P 作，垂足为点R ，过点P 作，垂足为点H ，，四边形为矩形，设，∴，．，，，即，则；【小问3详解】如图，在x 轴的负半轴上取一点M ，使，过点M 作的垂线，垂足为点，连接．PR OC ⊥PH AO ⊥90HOR PRO PHO ∠=∠=∠=︒ ∴HORP 3,32P t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭33,2OH PR t OR HP t ==-+==332DH d t =+-90AQD PHD ADQ PDH ∠=∠=︒∠=∠ ，QAD HPD ∴∠=∠tan tan HPD QAD ∴∠=∠DH BO PH AO=3322,3d t t +-∴=536d t =-+OM OA =CD N MD，，，设，则，，，，，，，．，．设则，在Rt 中，，，解得，即．在上取一点，使，作垂足为，设，则．，设则,90OD OE MOD AOE =∠=∠=︒ MOD AOE ∴≅ MDO AEO ∴∠=∠OAE α∠=90OEA α︒∠=-AD DF = DAF DFA α∴∠=∠=2ODC α∴∠=90MDO AEO MDN α∴∠=∠=∠=︒-90MND MOD MD MD ∠=∠=︒= ，MND MOD ∴≅ 3,MN MO ND OD ∴===5MC = 4NC ∴=OD ND p ==4CD p =-ODC 222OD OC CD +=2222(4)p p +=-3,2p =32AD OD ∴==30,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭AG K AK DK =KT AD ^T KAD KDA β∠=∠=2GDK GKD β∠=∠=GD GK ∴=39,,44AT TD TO ∴===KT OG∥ 1,3AT AK TO KG ∴==AK KD a ==3,4KG DG a AG a===在中，在中，，，则，则设直线解析式为，将点，点，代入得，解得直线的解析式．【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函关系式，矩形的判定和性质，正切，全等三角形的性质和判定，勾股定理，平行线分线段成比例，准确的作出辅助线是解题的关键．Rt AOG 2222169OG AG AO a =--=Rt DOG 2222994OG DG OD a =-=-222916994OG a a ∴=-=-a =±DG=OG =DG y mx n =+30,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭G 0.32n n +=⎪=⎪⎩32m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩DG 32y x =+。