人教版八年级数学下册同步教案：19.2.3 一次函数与方程、不等式
19.2.3 一次函数与方程、不等式 一、内容和内容解析 1．内容 一次函数与一元一次方程、二元一次方程(组)、一元一次不等式的关系． 2．内容解析 函数、方程和不等式是初中数学的核心内容，函数是联系方程、不等式的纽带．通过函数图象，可以直观地表示方程(组)和不等式的及其解(解集)的含义．用函数的观点看一元一次方程，则可以把一元一次方程理解为已知一次函数的函数值求对应的自变量的值；用函数的观点看二元一次方程，则以二元一次方程的解为坐标的点集就是相应的一次函数的图象，二元一次方程组的解就是相应的两个一次函数图象(两条直线)的交点坐标；用函数的观点看一元一次不等式，它的解集就是使的函数值在某个范围的自变量的取值范围．研究函数、方程、不等式之间的联系可以深化对相关知识的理解，优化知识结构，而建立这种联系的关键是建立一次函数与二元一次方程的联系． 综上所述，确定本课的教学重点：理解一次函数与二元一次方程(组)的联系． 二、目标和目标解析 1．目标 (1)认识一次函数与一元(二元)一次方程(组)、一元一次不等式之间的联系．会用函数观点解释方程和不等式及其解(解集)的意义． (2)经历用函数图象表示方程、不等式的解的过程，进一步体会“以形表示数，以数解释形”的数形结合思想． 2．目标解析 目标(1)要求能用函数的观点看二元一次方程(组)、一元一次方程和一元一次不等式，知道解一元一次方程就是已知函数值求自变量的值；解一元一次不等式就是已知函数值的取值范围求对应的自变量的取值范围；知道函数反应的是变量之间对应关系的整体，不等式是反映变量之间对应关系的部分，方程则反映了具体的变量的值之间的对应关系． 目标(2)要求学生通过以函数图象为中介，用函数的观点看方程和不等式的解，进一步体会用图象可以直观地描述函数、方程、不等式之间的联系． 三、教学问题诊断分析 学生已经分别学习过一次函数、一元一次方程、二元一次方程组和一元一次不等式，知道它们都是刻画现实问题中数量关系的重要模型，但没有建立这些知识之间的有效联系，不知道方程(组)、不等式模型与函数模型的联系与区别．用函数观点理解二元一次方程需要把方程的解(x，y)看作是一对变量x和y，从图象的角度看，需要把解(x，y)看作函数图象上的点的坐标，把描述方程的曲线看作以解为坐标的平面上的点集．用函数图象的角度看一元一次方程，实际上是已知一次函数图象上点的纵坐标求与其对应的横坐标；用函数图象的观点看不等式，需要把不等式的解集看作图象上纵坐标的值在一定范围内的图象上点对应的横坐标的值的集合． 把一次函数图象上的点的坐标与方程(组)的解建立联系，这是学习的难点． 四、教学过程设计 (一)创设情境，提出问题
问题1 如图1，1号探测气球从海拔5 m处出发，以1 m/min的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15 m处出发，以0.5 m/min的速度上升，两个气球都上升了1 h．请用解析式分别表示两个气球所在位置的海拔y(单位：m)与上升时间x(单位：min)的函数关系． 师生活动：教师用动画展示气球的运动过程，学生独立写出函数解析式． 设计意图：通过动画展示两气球高度的变化过程，让学生能直观地感知到两气球相对高度的变化，通过用函数式表示变化过程，得到研究一次函数与二元一次方程(组)关系的素材． 追问1：确定了一次函数的解析式，也就确定变量的变化规律．我们得到了两个式子：y＝x＋5，y＝0.5x＋15，如果把x，y看作未知数，那么，这两个式子表示什么意义？ 设计意图：让学生用方程观点看一次函数，发现一次函数的表达式是一个二元一次方程． 追问2：这说明一次函数与二元一次方程应该有密切的联系，具体是怎样联系的呢？ 设计意图：提出问题，明确学习内容，引导学生把注意聚焦在思考一次函数与二元一次方程关系上．
回复同时上升回复同时上升回复
同时上升
2号 2号
2号
1号 1号
1号
图1 (二)观察思考，探究新知 1．探索一次函数与二元一次方程的关系 问题2 写三个一次函数，用方程观点看式子，有什么发现；然后再写三个二元一次方程，如果把未知数看作变量，变量之间的关系是什么？ 师生活动：教师引导学生分别用函数观点看二元一次方程，用方程观点看一次函数，发现其联系(如图2)．
如图2 设计意图：通过式子之间的转换，让学生体会从式子的角度看，只要把未知数和变量的角色互换，则二元一次方程和一次函数也实现了互相转化，从数量关系来讲，本质是相同的，只是看的角度不同、观点不同． 追问1：如果从形的观点看，它们之间又有什么联系呢？ 追问2：在同一坐标系内，(1)画出函数y＝0.5x＋15的图象；(2)画出以方程0.5x－y＝15的5组解为坐标的点.有什么发现？ 师生活动：教师引导学生总结：不管从数的角度还是从形的角度看，一次函数和二元一次方程的数量关系的本质相同，只不过是观点不同、表现形式不同(如图3)．
一次函数y＝0.5x＋15 用方程观点看 二元一次方程y－0.5x＝15 用函数观点看 二元一次方程y＝0.5x＋15 图3 设计意图：引导学生通过画图和图形观察，直观地发现以方程0.5x－y＝15的解为坐标
的点都在函数y＝0.5x＋15的图象上，函数图象上的每点的坐标都是方程0.5x－y＝15的一组解． 2．用函数观点看二元一次方程组 我们知道，两个有相同未知数的二元一次方程组成的方程组一般有一个解，那么从函数的观点看，这有什么含义？让我们还是从气球的上升问题说起． 问题3 由于两气球上升的速度不同，开始时1号气球高，2号气球低，那么，永远如此吗？ 追问1：什么时刻，1号气球的高度赶上2号气球的高度？大家会从数和形两方面分别加以研究吗？ 师生活动：教师把学生分成两组，一组同学从数量关系角度研究；另一组同学从图形角度研究． (1)从数量关系的研究： 1号气球的高度与时间关系为y＝x＋5，2号气球的高度与时间关系为y＝0.5x＋15． 当两气球在同一时刻的高度相同时，时间x和高度y同时满足这两个方程，也就是由这两个方程组成的方程组的解．
解方程组0.515,5yxyx＝＋＝＋得2025.xy＝，＝ 所以气球上升20 min时，它们的高度相同，都是
形 数 直线： O y＝0.5x＋15 x y 一次函数y＝0.5x＋15 点的坐标满足 的函数关系 以数对(x，y)为 坐标画点 用方程观点看 二元一次方程y－0.5x＝15 二元一次方程y＝0.5x＋15 用函数观点看
点的坐标满 足的方程 25 m． (2)从形的角度研究： 在同一坐标系中画出两个函数的图象(如图4)：
图19.2.3-4 从中发现，当x＝20时，对应的函数值相等，都是25，也就是说，两直线交于一点，
交点坐标为(20，25)． 设计意图：引导学生用函数的观点，从数和形两方面深化对二元一次方程组的解的认识．为形成下面对一次函数与二元一次方程组的关系的归纳提供样例．
追问2：回顾上面的解题过程，用函数观点看方程组0.515,5yxyx＝＋＝＋你能得到哪些结论？你能把得到的结论推广到一般情形吗？ 师生活动：教师引导学生总结：由上可知，每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线．从“数”的角度看，解二元一次方程组相当于：求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解二元一次方程组相当于：确定两条相应直线交点的坐标． (三)迁移应用，巩固知识 例1 下面三个方程有什么共同特点？你能从函数的角度对这三个方程进行解释吗？ (1)2x＋1＝3； (2)2x＋1＝0； (3)2x＋1＝－1． 师生活动：教师引导学生发现，解这三个方程，就是求函数y＝2x＋1的函数值分别为3，0，－1时相应的自变量的值，并画出图象如图5： 6
图5 追问1：能把得到的结论推广到一般情形吗？ 师生活动：教师引导学生得出，一般地，一元一次方程ax＋b＝c(a，b，c为常数，a≠0)的解就是当函数y＝ax＋b的函数值为c时的自变量的值． 追问2：我们知道，任何一元一次方程都可以化为ax＋b＝0的形式，你能用函数观点对解这个方程进行解释吗？ 师生活动：教师引导学生得出，解任何一元一次方程，都可以转化为求一次函数值为0的自变量的值的问题，如图6．
图6 设计意图：用数形结合的方法，建立一次函数与一元一次方程的联系． 例2 下面三个不等式有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？能把你得到的结论推广到一般情形吗？ (1)3x＋2＞2； (2)3x＋2＜0； (3)3x＋2＜－1． 师生活动：教师引导通过观察发现不等式与函数的关系，并进一步归纳：解不等式，ax＋b＞c(＞c)，就是求函数值大于c(小于c)时，对应的自变量的取值范围．并在此基础上进一步得到：解一元一次不等式可以转化为求函数y＝ax＋b的函数值大于0(或小于0)时，自变量的取值范围(如图7)． 图7 设计意图：比照研究一次函数和二元一次方程(组)关系的方法，用函数观点看一元一次方程和一元一次不等式． (四)回顾总结，深化提高 请大家带着下面的任务，回顾课堂历程，清点并交流收获． 1．请用函数的观点，从数形两方面说说你对二元一次方程有什么新的理解； 2．请用函数观点，从数和形两个角度说说对二元一次方程组的认识； 3．请用函数的观点，说说你对一元一次方程有什么新的认识； 4．请用函数的观点，说说一次函数与一元一次不等式的联系． 在学生总结交流的基础上，教师进行概括性引导：方程(组)、不等式和函数之间互相联系，用函数的观点可以把它们统一起来，解决问题时，可以根据具体情况把它们灵活地结合起来使用． 设计意图：小结中的第1问引导学生从数和形两方面概括一次函数与二元一次方程的联系；第2问引导学生从数和形两方面理解二元一次方程组与一次函数函数之间的联系；第3问引导学生思考一次函数与一元一次方程的联系；第4问引导学生思考一次函数与一元一次不等式的联系． 布置作业：教科书习题19.2第8，10，11，13题． 六、目标检测设计 1．以方程2x－3y＝6的解(x，y)为坐标的所有点组成的图形是函数_________的图象； 以方程x＋y＝4的解(x，y)为坐标的所有点组成的图形是函数____________的图象；用函数
观点看，方程组2364xyxy－＝，＋＝的解的含义是当自变量x取_______时，函数________和函数
19.2.3一次函数与方程、不等式
思考
下面三个不等式有什么共同特点？你能从函 数的角度对解这三个不等式进行解释吗？能把你得到的 结论推广到一般情形吗？ （1）3x+2＞2；（2）3x+2＜0；（3）3x+2＜-1． 用函数图象的角度看： 3 不等式ax+b＞c的解集就是 2 使直线y =ax+b 在直线y=c上方时 对应的自变量的取值范围； 1 不等式ax+b＜c的解集就是 使直线y =ax+b 在直线y=c下方时-2 -1 O -1 对应的自变量的取值范围.
想一想
（1）在什么时候，1 号气球比2 号气球高？ （2）在什么时候，2 号气球比1 号气球高？
h1
h2
气球1 海拔高度：y =x+5
气球2 海拔高度：y =0.5x+15
想一想
（1）在什么时候，1 号气球比2 号气球高？ （2）在什么时候，2 号气球比1 号气球高？ y
30 25 20 15 10 5 O
分析问题
一次函数 用方程观点看 y =0.5x+15
用函数观点看
二元一次方程 y -0.5x =15
二元一次方程 y =0.5x+15
从式子（数）角度看：
一次函数
二元一次方程
分析问题
从形的角度看，二元一次方程与一次函数有什么关
系？ 在坐标系中画出以方程 y =0.5x+15 的解为坐标的 点组成的图形就是一次函 数y =0.5x+15 的图象. y y =0.5x+15
ax+b 与x轴的交点的横坐标的值”
b 2、当x a
时，一次函数y= ax+b( a≠0）的值0？
一元一次方程问题
19.2.3一次函数与方程不等式的关系(3个课时)
19.2.3一次函数与一元一次方程学习目标：1、理解一次函数与一元一次方程的关系，会根据图象解决一元一次方程求解问题。
2、学习用函数的观点看待方程的方法，经历方程与函数关系问题的探究过程，学习用联系的观点看待数学问题。
学习重点：利用一次函数知识求一元一次方程的解。
学习难点：一次函数与一元一次方程的关系发现、归纳和应用。
学习过程：活动一、课前小测1、一次函数12+=x y ，当=x 时，3=y ；当=x 时，0=y ；当=x 时，1-=y 。
2、一次函数，12+=x y ，x 轴交点坐标为________；与y 轴交点坐标_________；图像经过_______象限，y 随x 的增大而______，图像与坐标轴所围成的三角形的面积是 。
活动二：观察分析，探究新知 1、自主探究(1)解方程2x+20=0(2)当自变量x 为何值时，函数y=2x+20的值为0？解：(1) 2x+20=0(2) 当y=0时 ，即思考：上面两个问题实际上是______问题．（3）画出函数y=2x+20的图象，并确定它与x 轴的交点坐标.（思考：直线y=2x+20与x 轴交点坐标为（____,_____），这说明方程2χ＋20＝0的解是x=_____）2、合作交流(小组交流答成共识,然后展示交流成果 )从“函数值”看，“解方程ax+b=0(a ，b 为常数， a ≠0)”与“求自变量 x 为何值时，一次函数y=ax+b 的值为0”有什么关系？从图象上看呢？求一元一次方程ax +b =0(a ，b 是常数，a ≠0)的解，从“函数值”看就是某个一次函数b ax y +=求一元一次方程ax +b =0(a , b 是常数，a ≠0)的解，从“函数图象”看就是直线b ax y +=与x 轴的交点的活动三、师生互动，运用新知1、根据下列图像，你能说出哪些一元一次方程的解？并直接写出相应方程的解？1、直线3+=x y 与y 轴的交点是（ ）A 、（0，3）B 、（0，1）C 、（3，0）D 、（1，0） 2、直线3+=kx y 与x 轴的交点是（1，0 ），则k 的值是（ ） A 、3 B 、2 C 、-2 D 、-3y=x-13600 OBt(分)S(米) A 153、直线y=x+3与x 轴的交点坐标为（ ， ），所以相应的方程x+3=0的解是x=4、直线y=3x+6与x 轴的交点的横坐标x 的值是方程2x+a=0的解，则a•的值是______5、弹簧的长度与所挂物体的质量的关系是一次函数，如图所示，请判断不挂物体时弹簧的长度是多少？活动五、课堂小结，巩固新知同学们，本节课你学到了那些重要的知识点或内容呢？请试着自己总结一下吧!活动六、作业1、有一个一次函数的图象，可心和黄瑶分别说出了它的两个特征． 可心：图象与x 轴交于点（6，0）。
《一次函数与方程，不等式》优秀教案
以博致雅：“八有效”文化课堂讲学案导学有效问题与点拨１．解方程22021２．当自变量为何值时，函数=22021为0？这两个问题之间有什么联系吗？规律：任何一个一元一次方程都可转化为：b=0（、b为常数，≠0）的形式．而一次函数解析式形式正是=b（、b为常数，≠0）．当函数值为0时，•即b=0就与一元一次方程完全相同．解关于的方程b=0可以转化为：已知函数=b的函数值为0，•求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线=b，确定它与•轴的交点的横坐标．[例]一个物体现在的速度是5m/，其速度每秒增加2m/，再过几秒它的速度为17m/？[解]方法一：设再过秒物体速度为17m/．由题意可知：25=17解之得：=6．方法二：速度（m/）是时间（）的函数，关系式为：=25．当函数值为17时，对应的自变量值可通过解方程25=17得到=6．方法三：由25=17可变形得到：2-12=0．从图象上看，直线=2-12与轴的交点为（6，0）．得=6．导学有效1问题看下面两个问题有什么关系:（1）解不等式5＋6>3＋10．（2）当自变量为何值时函数＝2－4的值大于02思考:由上面两个问题的关系，能进一步得到“解不等式a＋b>0”与“求自变量在什么范围内，一次函数=a＋b的值大于0”有什么关系练习．当自变量的取值满足什么条件时，函数＝3＋8的值满足下列条件（1）=0；（2）＝－7；（3）>0；（4）<2．板书设计一次函数与方程，不等式1 一次函数与方程2 一次函数与不等式---------------------- ------------------------------------------ ---------------------展评有效课堂分组学习——口头展示——教师点评——学生纠错。
19.2.3 一次函数与方程、不等式-wlyzcc
（0，9）
从“形”的角度看： 交点坐标 解方程组就相当于确定两条直线的________。
巩固练习
用图象法解方程组：
解： 由①得: y 2 x 4
2x+y=4 2x-3y=12
①
②
x
2 由②得: y x 4 3
作出图象： 观察图象得：交点(3,-2) ∴方程组的解为 x=3 y=-2
y=2/3 - 4 o y
八年级
下册
19.2.3 一次函数与方程、不等式
固始县往流一中：陈超
知识回顾
我们学习了平面直角坐标系 ，请同学 们回顾一下: 对点P(x,y)，当y=0、y>0 、 y<0时,点P位于坐标平面内什么位置？
y
①当y=0时： 点P在x轴上; ②当y>0时： 点P在x轴上方; ③当y<0时： 点P在x轴下方.
探究二 结合一次函数y=2x+1的图象，
y 3 2 1
观察一次不等式2x+1>0或2x+1<0的解集：
y =2x+1
-2
-1
O -1
1
2
3
x
一次不等式与一次函数的关系 从“数”的角度看：
求ax+b>0（<0）的解集
函数y=ax+b，当y
>0（<0）
时，求
x
的取值范围;
从“形”的角度看：
求ax+b>0（<0）的解集
1号探测气球从海拔5 m 处出发，以1 m/min 的速度上升． 与此同时，2 号探测气球从海拔15 m 处出发，以0.5 m/min 的 球所在位置的海拔 y（m）与气球 上升时间 x（min）的函数关系．
人教版19.2.3一次函数与方程、不等式 -
一次函数与二元一次方程组
一次函数与一元一次不等式
问题3：
（7）当x为何值时3x+2＞2成立？
y
（8）当x为何值时3x+2＜-1成立？
3
（9）当x为何值时-1<3x+2<2成立？ 2
1
-2 -1 O
-1
y =2
1 2 3x
答案： x 0
一次函数与一元一次不等式
问题3：
（7）当x为何值时3x+2＞2成立？
y
（8）当x为何值时3x+2＜-1成立？
2x
y
1
解得：
x y
1 1
y 06.6x 1.6
y
2x
1
①
4y
fx = -0.6 x+1.6 2
gx = 2x-1
1
-5
01
5X
-2
两个一次函数图像的交点坐标刚好是二元一次方程组的解 -4
例题讲解
例4.一次函数y=5-x与y=2x-1图象的交点为(2,3),
则 方程组
x 2x -
y5
一次函数与一元一次不等式
问题3： （4）当x为何值时3x+2=0成立？ （5）当x为何值时3x+2<0成立？ （6）当x为何值时3x+2>0成立？
y
3 2 （- 2/3 ,01）
-2 -1 O
-1
1 2 3x
答案：x 2 3
一次函数与一元一次不等式
问题3： （4）当x为何值时3x+2=0成立？ （5）当x为何值时3x+2<0成立？ （6）当x为何值时3x+2>0成立？
人教版八年级数学下册 第十九章 19.2.3 一次函数与方程、不等式 第一课时 课件 (共26张PPT)
（1）途中乙发生了什么事，
P
（2）他们是相遇还是追击； 12
（3）他们几时相遇。
10
8
D E
AB
0
0.5
1 1.2
t
1.右图中的两直线l1 、l2 的交点坐标可以看作
y 2x 1
y 4
l1
3
2
l2 1
-1 0 -1
1 2 3 4x
x 2y 2 2.解方程组 2x y 2
问 经过多长时间两人相遇 ?
你明白他的想法吗？
设同时出发后t 时相遇, 则 20 t 30 t 150
用他的方法做一做，看 看和你的结果一致吗？
t=3
求出s与t之间的关系式，联立解方程组
A、B 两地相距150千米，甲、
对于乙，s 是t
乙两人骑自行车分别从A、B 两地相
的一次函数，
向而行。假设他们都保持匀速行驶， 则他们各自到A 地的距离s (千米) 都
120千米,即乙的
B 两地同时相向而行。假设他 小彬 速度是 30千米/时,
们都保持匀速行驶，则他们各
自到A地的距离s(千米)都是骑 车时间t(时)的一次函数.
1 时后乙距A地120千米, 2 时后甲距A地 40千米.
2 时后甲距A 地 40千米, 故甲的速度是 20千米/时,
由此可求出甲、乙两人的 速度, 以及 ……
2
4
6
所以方程
x 2 y 2 2x y 2
-6
的解是 x 2 。
y
2
一、二元一次方程的解与相应的一次函数图象上点 对应。
以方程 x+y=3 的解为坐标的所有点组成的图形
就是 一次函数 y=3－x 的图象.
人教版八年级(初二)数学下册 19.2.3 一次函数与方程、不等式 第一课时 PPT教学课件
探究新知
1.方程ax+b=0（a，b为常数a≠0）的解是 x=-ba . 2.当x =-ba 时，一次函数y= ax+b( a≠0）的值0？ 3.直线y= ax+b 与x轴的交点坐标是（ -ba ，0）.
任何一个一元一次方程都可化为ax+b=0（a，b为常数
归 a≠0）的形式,所以解这个方程从一次函数的角度可转化为 “求一次函数y= ax+b( a≠0）的值0时相应的自变量的值.”
探究新知
解法2：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数 y=2x+5，
由2x+5=17 得 2x－12=0，
由右图看出直线y=2x－12与 x轴的交点为（6，0），得
x=6.
y=2x－12
y
06
x
－12
探究新知
解法3：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数
y=2x+5.
y
由右图可以看出当y =17时，
y
y
y
-2 0 -
x0 -2
x
-2 0
x
2
(A)
(B)
(C)
y
-2
x
0
(D)
探究新知
学生活动二【一起探究】 例 一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒， 再过几秒它的速度为17米/秒？
解法1：设再过x秒它的速度为17米/秒， 由题意，得2x+5=17， 解得 x=6.
答：再过6秒它的速度为17米/秒.
学习重难点
学习重点：1.理解一元一次不等式、一元一次方程与 一次函数的转化关系及本质联系. 2.掌握用图象求解不等式的方法.
学习难点：图象法求解不等式中自变量的取值范围.
2020版八年级数学下册第十九章一次函数19.2一次函数19.2.3一次函数与方程、不等式(第1课时)教案(新版)
19.2.3一次函数与方程、不等式第1课时【教学目标】知识与技能:认识一次函数与一元一次方程之间的联系.会用函数观点解释一元一次方程的意义.过程与方法:经历用函数图象表示一元一次方程解的过程,学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想,进一步体会“以形表示数,以数解释形”的数形结合思想.情感态度与价值观:培养数形结合的数学思想,积极参与交流,积极发表意见,让学生体会数学的应用价值.【重点难点】重点:会根据一次函数图象求一元一次方程的解.难点:会根据一次函数图象求一元一次方程的解.【教学过程】一、创设情境,导入新课我们来看下面两个问题:1.解方程2x+20=0.2.当自变量x为何值时,函数y=2x+20的值为0?这两个问题之间有什么联系吗?我们这节课就来研究这个问题,并学习利用这种关系解决相关问题的方法.二、探究归纳活动1: 一次函数与一元一次方程的关系1.问题:填空:(1)解方程2x+6=0,得x=________.(2)从函数图象上看,直线y=2x+6与x轴交点的坐标为________ ,这也说明函数y=2x+6值为________,对应的自变量x为__________,即方程2x+6=0的解是________.答案:(1)-3(2)(-3,0)0 -3x=-32.思考:直线y=2x+6与x轴的交点坐标和方程2x+6=0的解有什么关系?提示:直线y=2x+6与x轴的交点的横坐标,就是方程2x+6=0的解.3.归纳:一次函数与一元一次方程的关系(1)由于任何一个以x为未知数的一元一次方程都可转化为ax+b=0(a,b为常数,a≠0)的形式.所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y=ax+b(a≠0)的函数值为0时,求自变量x的值.(2)一元一次方程ax+b=0的解,是直线y=ax+b与x轴交点的横坐标值.活动2:例题讲解【例1】利用函数图象解下列方程:(1)0.5x-3=1. (2)3x-2=x+4.分析:将方程转化为kx+b=0的形式,画出y=kx+b的图象,由直线与x轴的交点坐标确定原方程的解.解:(1)原方程可化为0.5x-4=0.画出一次函数y=0.5x-4的图象,由图象看出直线y=0.5x-4与x轴的交点为(8,0),所以方程0.5x-3=1的解为x=8.(2)原方程可化为2x-6=0.画出一次函数y=2x-6的图象,由图象看出直线y=2x-6与x轴的交点为(3,0),所以方程3x-2=x+4的解为x=3.总结:一次函数与一元一次方程的关系一个一次函数,当已知函数值求其自变量的值时,就可看成是解一元一次方程;而一个具体的一元一次方程,实际上是已知一次函数的函数值,求其自变量的值.即一次函数是一般意义的一元一次方程,而一元一次方程是具体意义的一次函数.【例2】甲、乙两地距离300 km,一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地.如图,线段OA表示货车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系,折线BCDE表示轿车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系,根据图象,解答下列问题:(1)线段CD表示轿车在途中停留了______ h.(2)求线段DE对应的函数解析式.(3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车.分析:(1)根据图象中点C,点D的横坐标求出轿车在途中停留的时间.(2)设线段DE对应的函数解析式为y=kx+b(k≠0),由图象得出D点坐标(2.5,80),与E点坐标(4.5,300),代入y=kx+b列方程组求解.(3)两车在行驶中路程相同时,说明轿车追上货车;在两个图象的交点处说明轿车追上货车.解:(1)CD平行于x轴,说明轿车离甲地的距离没发生变化,即轿车停留,时间为C,D两点横坐标的差,2.5-2=0.5(小时).(2)设线段DE对应的函数解析式为y=kx+b(k≠0),由图象可得在线段DE上,D点坐标(2.5,80),E点坐标(4.5,300),由题意得解得所以线段DE对应的函数解析式为:y=110x-195(2.5≤x≤4.5).(3)两车在行驶中路程相同时,说明轿车追上货车;在两个图象的交点处说明轿车追上货车.∵A点坐标为(5,300),代入解析式y=ax得300=5a,解得a=60,故y=60x,当60x=110x-195时,解得x=3.9,故3.9-1=2.9(小时),答:轿车从甲地出发后经过2.9小时追上货车.总结:用一次函数与方程的关系解决实际问题的步骤(1)分析题目中的数量关系及等量关系.(2)列出函数关系式.(3)利用函数与方程的关系求解.(4)验证所求的解是否符合题意,并作答.三、交流反思这节课我们学习了一次函数与一元一次方程之间的联系.能把解方程kx+b=0(k≠0)与求自变量x为何值时,一次函数y=kx+b的值为0看成是一个问题.利用图象法解一元一次方程,并能应用它们的关系解决实际问题.理解数形结合的内涵.四、检测反馈1.一次函数y=kx+b的图象如图所示,则方程kx+b=0的解为 ()A.x=2B.y=2C.x=-1D.y=-12.直线y=2x+b与x轴的交点坐标是(2,0),则关于x的方程2x+b=0的解是()A.x=2B.x=4C.x=8D.x=103.已知方程kx+b=0的解是x=3,则函数y=kx+b的图象可能是()4.如图,直线y=kx+b分别交x轴,y轴于点A,B,则关于x的方程kx+b=0的解为()A.x=-2B.x=0C.x=2D.x=35.下列各个选项中的网格都是边长为1的小正方形,利用函数的图象解方程5x-1=2x+5,其中正确的是()6.如图所示,是某航空公司托运行李的费用y(元)与行李重量x(千克)的关系图象,由图中可知,乘客可以免费托运行李的最大重量为()A.20千克B.30千克C.40千克D.50千克7.直线y=2x+b与x轴的交点坐标是(2,0),则关于x的方程是2x+b=0的解是x=________.8.科学研究发现,空气含氧量y(克/立方米)与海拔高度x(米)之间近似地满足一次函数关系.经测量,在海拔高度为0米的地方,空气含氧量约为299克/立方米;在海拔高度为2 000米的地方,空气含氧量约为235克/立方米.(1)求出y与x的函数关系式.(2)已知某山的海拔高度为1 200米,请你求出该山山顶处的空气含氧量约为多少?五、布置作业教科书第99页习题19.2第8题六、板书设计七、教学反思这节课学习了一次函数与一元一次方程的关系,关于一次函数与一元一次方程的关系,教师通过引导学生观察分析图象与x轴交点或一次函数解析式与一元一次方程的关系,引导学生得出一次函数与一元一次方程的关系:一个一次函数,当已知函数值求其自变量的值时,就可看成是解一元一次方程;而一个具体的一元一次方程,实际上是已知一次函数的函数值,求其自变量的值.即一次函数是一般意义的一元一次方程,而一元一次方程是具体意义的一次函数.让学生明确有关方程问题可用函数的方法来解决,反之,有关函数问题也可用方程的方法来解决.。
人教版八年级数学下册19.2一次函数与一元一次方程教学设计
2.实践应用题：
-假设某商店进行打折促销活动，原价为x元的商品打8折后售价为y元，请根据题意列出一次函数的解析式，并求出当商品原价为100元时的售价。
-小明的年龄比小红大6岁，设小红现在的年龄为x岁，请列出小明和小红年龄之间的一元一次方程。
二、学情分析
八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一次函数的概念有初步的认识，但对于一次函数与一元一次方程之间的关系，可能还缺乏深入的理解。在之前的学习中，学生已经接触过线性方程的求解，但可能在运用到实际问题中时，仍存在一定的困难。因此，在本章节的教学中，需要关注以下几个方面：
1.学生对一次函数图像与性质的理解程度，是否能够熟练运用斜率k和截距b来判断函数的增减性。
（四）课堂练习
在小组讨论之后，我会安排一些课堂练习，让学生独立完成。
1.设计一些基础的题目，让学生练习一次函数的图像绘制和性质判断。
2.提供一些中等难度的题目，让学生练习一元一次方程的解法。
3.安排一些综合性的题目，让学生将一次函数和一元一次方程结合起来解决问题。
（五）总结归纳
在课堂的最后，我会带领学生一起对本节课的重点内容进行总结归纳。
3.教学评价：
-采取多元化评价方式，如课堂提问、课后作业、小组讨论、小测验等，全面了解学生的学习情况。
-关注学生的个体差异，针对不同水平的学生给予个性化指导，提高他们的学习效果。
-鼓励学生参与评价，培养他们的自我反思和自我评价能力。
4.教学拓展：
-结合实际问题，引导学生运用一次函数与一元一次方程解决生活中的问题，提高学生的实践能力。
-介绍一次函数与一元一次方程在其他学科领域的应用，拓宽学生的知识视野。