运筹学课件 最大流与最小费用流
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运筹学-16最小费用最大流
费用=20+2 9=38
画出对应的增广网络 图(可调整量,单位费用)
2
(+3, v4)
2
(+2, v1)
前向,后向都有调整量
只有后向弧可以调整
可调整流，费用
把单位费用作为弧长,用标号法求从s到t的最短路
s:标(0 , )
(1,s)
min{(sv1)}={1,}=1
v1标号:(1,s)
(0, )
标不下去,已经找不到增广路
下方案总费用=14+3 3+11+43+2 4=34
求最小费用最大流 (容量,费用) 弧上数据(uj,cj)
uj 为弧的容量
Cj 为从这条弧运 送物资的费用
注意:
这两图 的权的 含义不 同
解: 设图中每条弧上的流量fj都为零,得到下图 (可调整流量,费用)
画出与上图对应的增广网络图,弧上权为(弧上流量的可调整 量,单位费用)
Min{(v1v3)(v1v4)}={1+4,1+3}=4
(4,v3)
(4, v1)
v4标号:(4, v1) Min{ (v4t)(v1v3)}={4+5 , 1+4}=5
v3标号:(5, v1) v2标号:(4, v3)
Min{(v3t)(v4t)(v3v2)}={5+3,4+5,5-1}=4 Min{(v3t)(v4t)(v2v4)}={5+3,4+5,4+6}=8
容量、费用、流量
(+1, v1)
1
3
(+2, v3)
前向,后向都有调整量 只有后向弧可以调整
可调整流，费用
把单位费用作为弧长,用标号法求从s到t的最短路
画出对应的增广网络 图(可调整量,单位费用)
2
(+3, v4)
2
(+2, v1)
前向,后向都有调整量
只有后向弧可以调整
可调整流，费用
把单位费用作为弧长,用标号法求从s到t的最短路
s:标(0 , )
(1,s)
min{(sv1)}={1,}=1
v1标号:(1,s)
(0, )
标不下去,已经找不到增广路
下方案总费用=14+3 3+11+43+2 4=34
求最小费用最大流 (容量,费用) 弧上数据(uj,cj)
uj 为弧的容量
Cj 为从这条弧运 送物资的费用
注意:
这两图 的权的 含义不 同
解: 设图中每条弧上的流量fj都为零,得到下图 (可调整流量,费用)
画出与上图对应的增广网络图,弧上权为(弧上流量的可调整 量,单位费用)
Min{(v1v3)(v1v4)}={1+4,1+3}=4
(4,v3)
(4, v1)
v4标号:(4, v1) Min{ (v4t)(v1v3)}={4+5 , 1+4}=5
v3标号:(5, v1) v2标号:(4, v3)
Min{(v3t)(v4t)(v3v2)}={5+3,4+5,5-1}=4 Min{(v3t)(v4t)(v2v4)}={5+3,4+5,4+6}=8
容量、费用、流量
(+1, v1)
1
3
(+2, v3)
前向,后向都有调整量 只有后向弧可以调整
可调整流，费用
把单位费用作为弧长,用标号法求从s到t的最短路
最小费用最大流问题ppt课件
v4 (5,3) vt
(3,0)
(2,1) v3
v1
Back 14
continued
(二)调整过程 (1)寻找以为终点的增广链----(反向追踪法)
若vt的第一个标号为v3 , 则弧(v3 , vt )是链上的弧。 接下来检查 v3的第一个标号， 为 v2， 则找出(v3 , v2 )是链上的弧。 同理， (v2 , v1 )和(vs , v1 )是链上的弧. 此时所求的增广链(vs , v1 , v2v3 , vt )。
(2)若在弧 (v j , vi )上 , fij 0, 则给 v j标号 (vi , l(v j )) 这 里 l(v j ) min[ l(vi ), f ji ] .此时,点 v j成为标号而未检查的点.
于是 vi 成为标号且已检查过的点.重复上述步骤,一旦 v t
被标上号,表明得到一条从 vs 到 v t 的增广链 ,转入调整过程.
3 、检查 v1
在弧 (v1 , v3 ) 上 , f13 c13 2, 不满足标号条件;
在弧 (v2 , v1 ) 上 , f 21 0, 则 v2的标号为 (v1,l(v2 )). 其中, l(v2 ) min[ l(v1), f21] min[ 4,1] 1 4 、检查 v2
若所有标号都已经检查过,而标号过程进行不下去时,则 算法结束,此时的可行流就是最大流.
10
2 、调整过程 (1)寻找以v t 为终点的增广链----(反向追踪法): 若vt的第一个标号为vk (或 vk ),则弧(vk , vt )(相应地(vt , vk ))是
链上的弧。 接下来检查vk的第一个标号， 若为vi (或 vi )， 则找 出(vi , vk )(相应地(vk , vi ))。 再检查的第一个标号， 依此下去， 直到 vs为止(2。)调此整时量被找 的l(v弧t ),就即构vt的成第了二增个广标链号。。
最大流与最小费用流
§7 最大流问题7.1 最大流问题的数学描述 7.1.1 网络中的流定义 在以V 为节点集，A 为弧集的有向图),(A V G =上定义如下的权函数：（i ）R A L →:为孤上的权函数，弧A j i ∈),(对应的权),(j i L 记为ij l ，称为孤),(j i 的容量下界（lower bound ）；（ii ）R A U →:为弧上的权函数，弧A j i ∈),(对应的权),(j i U 记为ij u ，称为孤),(j i 的容量上界，或直接称为容量（capacity ）；（iii ）R V D →:为顶点上的权函数，节点V i ∈对应的权)(i D 记为i d ，称为顶点i 的供需量（supply ／demand ）；此时所构成的网络称为流网络，可以记为),,,,(D U L A V N =。
由于我们只讨论A V ,为有限集合的情况，所以对于弧上的权函数U L ,和顶点上的权函数D ，可以直接用所有孤上对应的权和顶点上的权组成的有限维向量表示，因此D U L ,,有时直接称为权向量，或简称权。
由于给定有向图),(A V G =后，我们总是可以在它的弧集合和顶点集合上定义各种权函数，所以流网络一般也直接简称为网络。
在流网络中，弧),(j i 的容量下界ij l 和容量上界ij u 表示的物理意义分别是：通过该弧发送某种“物质”时，必须发送的最小数量为ij l ，而发送的最大数量为ij u 。
顶点V i ∈对应的供需量i d 则表示该顶点从网络外部获得的“物质”数量（0>i d 时），或从该顶点发送到网络外部的“物质”数量（0<i d 时）。
下面我们给出严格定义。
定义 对于流网络),,,,(D U L A V N =，其上的一个流（flow ）f 是指从N 的弧集A 到R 的一个函数，即对每条弧),(j i 赋予一个实数ij f （称为弧),(j i 的流量）。
如果流f 满足∑∑∈∈∈∀=-Ai j j i ji A j i j ij V i d f f ),(:),(:,,（1）A j i u f l ij ij ij ∈∀≤≤),(,， （2）则称f 为可行流（feasible flow ）。
《运筹学最大流问题》课件
解决方案：可以通过建立最大流模型，求解出最优的运输路径，从而提高物流运输效率，降低运输 成本。
实际应用效果：在实际应用中，最大流问题可以有效地解决物流运输中的路径规划、车辆调度等问 题，提高物流运输效率，降低运输成本。
网络流量优化中的最大流问题
背景：随着互联网 技术的发展，网络 流量优化成为重要 问题
预流推进法的实现
预流推进法是一种求解最大流问题的算法 基本思想：通过寻找增广路径，逐步增大流值
实现步骤：初始化、寻找增广路径、更新流值、重复以上步骤直到找不到增广路径
优点：效率较高，适用于大规模网络流问题
Dinic算法的实现
初始化：设置源 点s和汇点t，初 始化网络流网络
寻找增广路径： 使用BFS寻找从 s到t的增广路径
汇报人：
EdmondsKarp算法等
扩展问题：最小 费用最大流问题 的扩展问题包括 最小费用最大流 问题、最小费用 最大流问题等。
多终端最大流问题
定义：在一个网络中，有多个源点和多个汇点，每个源点和汇点之间都有一条或多条边相连，每条边上都有一个容 量限制，求从源点到汇点的最大流量。
应用场景：多终端最大流问题在物流、交通、网络等领域有广泛的应用。
电力分配中的最大流问题
电力分配：将电力从发电站分配到各个用户 最大流问题：在电力分配中，需要找到一种最优的分配方案，使得电力分配达到最大 实际应用：在实际电力分配中，可以使用最大流算法来寻找最优的分配方案 应用效果：使用最大流算法可以大大提高电力分配的效率和准确性，降低电力损耗和成本
感谢您的观看
更新流量：沿 着增广路径更 新流量
重复步骤2和3， 直到找不到增 广路径
输出最大流值： 计算从s到t的 最大流值
Ford-Fulkerson算法的实现
实际应用效果：在实际应用中，最大流问题可以有效地解决物流运输中的路径规划、车辆调度等问 题，提高物流运输效率，降低运输成本。
网络流量优化中的最大流问题
背景：随着互联网 技术的发展，网络 流量优化成为重要 问题
预流推进法的实现
预流推进法是一种求解最大流问题的算法 基本思想：通过寻找增广路径，逐步增大流值
实现步骤：初始化、寻找增广路径、更新流值、重复以上步骤直到找不到增广路径
优点：效率较高，适用于大规模网络流问题
Dinic算法的实现
初始化：设置源 点s和汇点t，初 始化网络流网络
寻找增广路径： 使用BFS寻找从 s到t的增广路径
汇报人：
EdmondsKarp算法等
扩展问题：最小 费用最大流问题 的扩展问题包括 最小费用最大流 问题、最小费用 最大流问题等。
多终端最大流问题
定义：在一个网络中，有多个源点和多个汇点，每个源点和汇点之间都有一条或多条边相连，每条边上都有一个容 量限制，求从源点到汇点的最大流量。
应用场景：多终端最大流问题在物流、交通、网络等领域有广泛的应用。
电力分配中的最大流问题
电力分配：将电力从发电站分配到各个用户 最大流问题：在电力分配中，需要找到一种最优的分配方案，使得电力分配达到最大 实际应用：在实际电力分配中，可以使用最大流算法来寻找最优的分配方案 应用效果：使用最大流算法可以大大提高电力分配的效率和准确性，降低电力损耗和成本
感谢您的观看
更新流量：沿 着增广路径更 新流量
重复步骤2和3， 直到找不到增 广路径
输出最大流值： 计算从s到t的 最大流值
Ford-Fulkerson算法的实现
第6讲最大流最小费用
第六讲 最大流，最小费用
1. 网络、流、割 2. 最大流Ford-Fulkerson算法 3. 最大流最小费用问题 4. Busacker-Growan迭代算法
下 回
停
一、网络、流、割
网络N就是规定了源和汇，并且每条边都赋予 了非负整数权的赋权有向图D，其中此有向图D 称为网络N的基础有向图。 定义：若
这里所介绍的求最大流最小费用的算法是迭代 法，是由Busacker和Gowan在1961年提出的。 主要步骤如下：
算法步骤：
【Busacker-Grown迭代法】
见word文档
第六讲习题
1. 求图中的最大流
17
23 56 43 13 18 23
28 14
23
2.求图中所示网络的最小费用最大流， (b,c)中b表示容量，c表示费用
定义：对于网络N=(V,A,C),称定义在弧集A上的 函数f为网络N上的流；对于弧a,f(a)称为弧a上的 流量，若a=(Vi,Vj),f(a)也可以记作f(Vi,Vj)或者fij; 对于顶点v,记f+(v)为点v流出的流量，f-(v)为点v 流入的流量。 可行流：每个点的流量都小于等于容量，且 流出的流量等于流入的流量，则称为可行流； 最大流：可行流的最大值称为最大流。
1. D=(V,E)是一个有向图；
2. c是E上的正整数函数(容量函数)，c(e)代表边e 的容量；
3. 记X为发点集(源)，Y为收点集(汇)，V-X-Y称为 中间点集。有向图D可记做(V,E,c,X,Y)
注意：根据网络的定义，对于任意一个有多个 收、发点的网络，可通过简单的方法转换为只 有一个发点和一个收点的网络。
定理： N中的流f是最大流当且仅当N不包含f可 增路。 最大流最小割定理：在任何网络中，最大流的 值等于最小割的容量。
1. 网络、流、割 2. 最大流Ford-Fulkerson算法 3. 最大流最小费用问题 4. Busacker-Growan迭代算法
下 回
停
一、网络、流、割
网络N就是规定了源和汇，并且每条边都赋予 了非负整数权的赋权有向图D，其中此有向图D 称为网络N的基础有向图。 定义：若
这里所介绍的求最大流最小费用的算法是迭代 法，是由Busacker和Gowan在1961年提出的。 主要步骤如下：
算法步骤：
【Busacker-Grown迭代法】
见word文档
第六讲习题
1. 求图中的最大流
17
23 56 43 13 18 23
28 14
23
2.求图中所示网络的最小费用最大流， (b,c)中b表示容量，c表示费用
定义：对于网络N=(V,A,C),称定义在弧集A上的 函数f为网络N上的流；对于弧a,f(a)称为弧a上的 流量，若a=(Vi,Vj),f(a)也可以记作f(Vi,Vj)或者fij; 对于顶点v,记f+(v)为点v流出的流量，f-(v)为点v 流入的流量。 可行流：每个点的流量都小于等于容量，且 流出的流量等于流入的流量，则称为可行流； 最大流：可行流的最大值称为最大流。
1. D=(V,E)是一个有向图；
2. c是E上的正整数函数(容量函数)，c(e)代表边e 的容量；
3. 记X为发点集(源)，Y为收点集(汇)，V-X-Y称为 中间点集。有向图D可记做(V,E,c,X,Y)
注意：根据网络的定义，对于任意一个有多个 收、发点的网络，可通过简单的方法转换为只 有一个发点和一个收点的网络。
定理： N中的流f是最大流当且仅当N不包含f可 增路。 最大流最小割定理：在任何网络中，最大流的 值等于最小割的容量。
运筹学课件 最大流与最小费用流
精选ppt
11
定义 9
设 l(P)
min l(e) ，其中 l(e)
eE ( P )
c(e)
f
(e)
f
(e)
e P ， e P
（1）若 l(P) 0 ，则称 P 链为 f 饱和链；
（2）若 l(P) 0 ，则称 P 链为 f 非饱和链。
定义 10 设 f 是一个流， P 是从源 s 到汇 t 的一条链，若 P 满足
（2）流出发点集 X 的净流量等于流入收点集Y 的净流量。
定义 4 设 f 是网络 N 的一个流，则 f 的流的价值 Val f 定义为
Val f ＝ f (e) f (e)
eN ( X )
eN (Y )
即流的价值是发点集的流出量，也是收点集的流入量。
精选ppt
7
注 3：任何一个多源多汇网络 N (V , E, c, X ,Y ) 都等价与一个 单源单汇网络 N ' (V ', E', c', X ',Y ' ) 。在解决实际问题时，常把多源
则找到了一条增广路，沿该增广路对流 x 进行增广（增广的流量为 max f (t) ，增广路可以根据
得到），转 STEP1。
（3b）如果 t 没有标号（即 LIST= 且 maxf (t) 0 ），转 STEP1。
STEP4 从 LIST 中移走一个节点 i ；寻找从节点 i 出发的所有可能的增广弧：（4a） 对非饱和前向弧 (i, j) ，若节点 j 没有标号（即 pred( j) 0 ），对 j 进行标号，即令
多汇网络转化为单源单汇网络。
（1）V ' V {s, t}， s,t 分别是 N ' 的发点与收点； （2） E' E {(s, x) | x X } {( y,t) | y Y}； （3）c' c(e), e E ；c' (s, x) , x X ，c' ( y,t) , y Y 。
运筹学课件第四节最大流问题
01
定义22：设μ是网络G中连接发点νs和收点vt的一条链。定义链的方向是从νs到 vt ，于是链μ上的边被分为两类：一类是边的方向与链的方向相同，叫做前向边，前向边的集合记做μ+。二类是边的方向与链的方向相反，叫做后向边，后向边的集合记做μ–。
02
如果链μ满足以下条件： 1．在边（vi ,vj）∈μ+上，有0fij<cij。 2．在边（vi,vj）∈μ–上，有0<fijcij,。 则称μ为从νs到 vt可增广链。 在链（vs,v1,v2,v3,v4,vt)中，μ+ = {(vs,v1 ),(v1,v2),(v2,v3),(v4,vt)}, μ – = {(v4 ,v3)}.
一、最大流有关概念 连通网络 G(V, E) 有 m 个节点, n条弧, 弧 eij 上的流量上界为 cij, 求从起始节点 vs 到终点 vt 的最大流量。
vt
v3
v2
v1
v4
vs
17
3
5
10
8
6
11
4
5
3
Cij
定义20 设一个赋权有向图G=（V,E）,对于G中的每一个边（弧）（vi ,vj）∈E,都有一个非负数cij叫做边的容量。在V 中一个入次为零的点称为发点vs，一个出次为零的点称为收点vt ,其它的点叫做中间点。我们把这样的图G叫做一个容量网络，记做G=（V，E，C）。
(5,5)
(3,2)
(3,3)
(4,2)
(5,4)
(3,3)
(2,2)
(5,2)
(4,2)
(2,2)
(∆ ，+∞)
(+ vs,2)
(+ vs,1)
(+ v2,2)
定义22：设μ是网络G中连接发点νs和收点vt的一条链。定义链的方向是从νs到 vt ，于是链μ上的边被分为两类：一类是边的方向与链的方向相同，叫做前向边，前向边的集合记做μ+。二类是边的方向与链的方向相反，叫做后向边，后向边的集合记做μ–。
02
如果链μ满足以下条件： 1．在边（vi ,vj）∈μ+上，有0fij<cij。 2．在边（vi,vj）∈μ–上，有0<fijcij,。 则称μ为从νs到 vt可增广链。 在链（vs,v1,v2,v3,v4,vt)中，μ+ = {(vs,v1 ),(v1,v2),(v2,v3),(v4,vt)}, μ – = {(v4 ,v3)}.
一、最大流有关概念 连通网络 G(V, E) 有 m 个节点, n条弧, 弧 eij 上的流量上界为 cij, 求从起始节点 vs 到终点 vt 的最大流量。
vt
v3
v2
v1
v4
vs
17
3
5
10
8
6
11
4
5
3
Cij
定义20 设一个赋权有向图G=（V,E）,对于G中的每一个边（弧）（vi ,vj）∈E,都有一个非负数cij叫做边的容量。在V 中一个入次为零的点称为发点vs，一个出次为零的点称为收点vt ,其它的点叫做中间点。我们把这样的图G叫做一个容量网络，记做G=（V，E，C）。
(5,5)
(3,2)
(3,3)
(4,2)
(5,4)
(3,3)
(2,2)
(5,2)
(4,2)
(2,2)
(∆ ，+∞)
(+ vs,2)
(+ vs,1)
(+ v2,2)
运筹学_最小费用流问题ppt课件
⑷在G中与这条最短路相应的可增广链μ上,
做 f (k) = fμ(k-1)θ
其中θ =min{μm+ in(cij
-
fi
(k-1)
j
),mμ-in
f
(k-1)
ij
}
此时 f (k)的流量为 W (f (k-1)) +θ , 若W (f (k-1)) +θ = v则停,
否则 令 f (k) 代替 f (k-1) ，返回⑵.
每条边用两条方向相反的有向边代替, 各边的权lij按如下
规则： 1. 当边 (vi , vj) ∈E, 令 lij =
dij 当 f ij < c ij +∞ 当 f ij = 0
( 其中+∞的意义是: 这条边已饱和, 不能再增大流量, 否则
要花费很高的代价, 实际无法实现, 因此权为+∞的边可从
网络中去掉. )
(10,0)
(7,5)
(10,4)
vs (8,5)
(5,5)
(2,0)
vt (0,0)
vs
1 1(－2) (2,6)
vt
-1
(2,2)
v2 (10,0) v3
v2 (10,3) v3
(c) f (1) W( f (1))=5
(d) L ( f (1) )
d (f (1)) = 5×1+5×2+ 5×1= 20
p160 - 166 6.12(c).
定义 已知网络G=(V, E, C, d), f 是G上的一个可行流, μ
为从v s到v t的(关于 f 的)可增广链, d (μ) = ∑ d i j - ∑ d i j
μ+
最大流与最小费用流
v1
5
转入调整过程，令δ = δ vt = 2 为调整量，从 vt点 v4 开始，由逆增广链方向按标号[ +v4 , 2] 找到点， 令 f 4′t = f。 2 4t + 再由 v4 点标号 [ +v1, 2找到前一个点 v1 ，并 ] ′ 令 f14 = f14 + 2。按 v点标号找到点 v5。 1 ′ 由于标号为 v5 , ( v5 , v1 )为反向边，令 f15 = f15 2 ′ 由 v5 点的标号在找到 v2 ，令 f 25 = f 25 + 2 。 由 v2 点找到 vs，令 f s′2 = f s 2 + 2 调整过程结束，调整中的可增广链见图544，调整后的可行流见图5-45。
vj
三、求最大流的标号算法 设已有一个可行流f，标号的方法可分为两步：第 1步是标号过程，通过标号来寻找可增广链；第2 步是调整过程，沿可增广链调整f以增加流量。 1.标号过程 （1）给发点以标号 ( , +∞ ) （2）选择一个已标号的顶点 vi ，对于 vi 的所有 未标号的邻接点 v j 按下列规则处理： a) 若边 ( vi , v j ) ∈ E ，且 f ji > 0, 则令 δ j = min ( f ji , δ i ) ， 并给以标号 ( vi , δ i ) 。 b) 若边 ( vi , v j ) ∈ E，且 fij < cij 时，令 δ j = min ( cij f ji , δ i ) 并给以标号 ( + vi , δ j )
j k
（即中间点 vi 的物资的输入量与输出量相等） 对收、发点 ut , us ,有 ∑ f si = ∑ f jt = W
i j
（即从 us 点发出的物资总量等于 ut 点输入量）W为 网络流的总流量。
5
转入调整过程，令δ = δ vt = 2 为调整量，从 vt点 v4 开始，由逆增广链方向按标号[ +v4 , 2] 找到点， 令 f 4′t = f。 2 4t + 再由 v4 点标号 [ +v1, 2找到前一个点 v1 ，并 ] ′ 令 f14 = f14 + 2。按 v点标号找到点 v5。 1 ′ 由于标号为 v5 , ( v5 , v1 )为反向边，令 f15 = f15 2 ′ 由 v5 点的标号在找到 v2 ，令 f 25 = f 25 + 2 。 由 v2 点找到 vs，令 f s′2 = f s 2 + 2 调整过程结束，调整中的可增广链见图544，调整后的可行流见图5-45。
vj
三、求最大流的标号算法 设已有一个可行流f，标号的方法可分为两步：第 1步是标号过程，通过标号来寻找可增广链；第2 步是调整过程，沿可增广链调整f以增加流量。 1.标号过程 （1）给发点以标号 ( , +∞ ) （2）选择一个已标号的顶点 vi ，对于 vi 的所有 未标号的邻接点 v j 按下列规则处理： a) 若边 ( vi , v j ) ∈ E ，且 f ji > 0, 则令 δ j = min ( f ji , δ i ) ， 并给以标号 ( vi , δ i ) 。 b) 若边 ( vi , v j ) ∈ E，且 fij < cij 时，令 δ j = min ( cij f ji , δ i ) 并给以标号 ( + vi , δ j )
j k
（即中间点 vi 的物资的输入量与输出量相等） 对收、发点 ut , us ,有 ∑ f si = ∑ f jt = W
i j
（即从 us 点发出的物资总量等于 ut 点输入量）W为 网络流的总流量。
10.3 最大流与最小费用流.ppt
┍┑
点①出发的车辆数应该与点⑦到达的车辆数相同，除 ①和⑦以外的各中间点，进的车辆数应该与离去的车辆数 应该相同。
线 性 规 划 方 法
┕┙
x12 + x13 + x14 = x57 + x67 = f
x12 + x32 x + x 23 13 x14 + x34 x + x 35 25 x36 + x 46 = x 23 + x 25 = x32 + x34 + x35 + x36 = x 46 + x65 = x56 + x57 + x56 = x65 + x67
①为了便于弧标号法的计算，首先需要将最大流问题 （譬如图10.3.1）重新改画成为图10.3.2的形式。
3 0 2 2 2 1 5 6 0 3 3 0 0 4 5 3 7
0 5 0 1
8 0 7 0 1 0 6 0 t 7
5 s
图10.3.2
在图10.3.2中，每条弧
Vij
上标有两个数字，其中，
x71 = x12 + x13 + x14
x57 + x67 = x 71
（10.3.8） （10.3.9） （10.3.10）
最大流问题的目标为
x71 = max
┍┑
线 性 规 划 方 法
┕┙
所以，对于发点为Vs，收点为Vt 的网络N（V，U）， 当增加一条约束为cts=∞的假想弧（t，s）后，最大流问题 就成为： 容量约束： 平衡条件：
图10.3.2
我们取
V1 = {1,2,3} V2 = {4,5,6,7} ， ，则截集为
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2,2
y2 6,4
精选ppt
6
定 义 3 设 f 是 网 络 N 的 一 个 流 ， AV ， 则 称
f (e) f (e) 为流出 A 的净流量，称 f (e) f (e)
eN ( A)
eN ( A)
eN ( A)
eN ( A)
为流入 A 的净流量。
注 2：（1）流入、流出任何中间点的净流量为 0；
（1）设 f 是流， K 是割，若 Val f C(K ) ，则 f 是最大流， K 是
最小割。
（2）网络 N 的最大流的价值等于最小割的容量。
上述定理是图论的重要核心，关于图的许多结果，在适当的选择网络 后，应用这个定理往往能够轻易地获得解决。从这个定理的证明中，可以 引出求网络最大流的一个算法。但这种方法实际做起来有困难，因为没解 决如何寻找增广链的方法。
图 1 所示网络等价于图 2 所示的单源单汇网络。
x1
,2
s
,4 x2
6 ,1
v1
5 ,1
1,1
3,0 4,0 1,0
y1 2 ,1
2,2
v4 5,3
1,0
3 ,1
s 6,0
3,2
v 3 图2 4 , 4
y3
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2,2 ,0
y
,
2
6
,
t
0
6,4
8
二、最大流与最小割
最大流问题是一类应用极为广泛的问题，例如在交通运输网络中 有人流、车流、货物流，供水网络中有水流，金融系统中有现金流， 通讯系统中有信息流，等等。
y1 2 ,1
2,2
v4 5,3
1,0
3 ,1
s 6,0
x2
Байду номын сангаас
3,2
v3
4,4 y3
2,2
y2 6,4
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4
定义 2 设 N 为一个网络， f 是 E 上的非负函数，如果：
（1）容量限制条件： 0 f (e) c(e) ， e E ；
（2）流量守恒条件： f (e) f (e), v I,
多汇网络转化为单源单汇网络。
（1）V ' V {s, t}， s,t 分别是 N ' 的发点与收点； （2） E' E {(s, x) | x X } {( y,t) | y Y}； （3）c' c(e), e E ；c' (s, x) , x X ，c' ( y,t) , y Y 。
定义 5 设 N (V , E, c, s,t) 是一个网络， f 是一个流，若不存在
流 f ' ，使
Val f ' Val f 则称 f 为 N 的最大流。
定义 6 若 A V , s A,t A V A ，则称 N 中弧的集合 ( A, A)
是网络 N 的一个割（cut），记作 K ，称 C( A, )A
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2
定义 1 称 N (V , E, c, X ,Y ) 为一个网络，如果： （1） G (V , E) 是一个有向图； （2）c 是 E 上的非负函数，称为容量函数，对
每条边 e ， c(e) 称为边 e 的容量； （3）X 与Y 是V 的两个非空不交子集，分别称
为 G 的发点集与收点集，I V \ (X Y ) 称为 G 的中 间点集。 X 的顶点称为发点或源，Y 的顶点称为收 点或汇， I 的顶点称为中间点。
eN (v)
eN (v)
其中： N (v) 表示 v 的所有出弧的集， N (v) 表示 v 的所有
入弧的集。则称 f 是网络 N 的一个流， f (e) 是边 e 的流量。
注 1：（1）容量约束表示通过边的流量不能超过改边的
容量；守恒条件表示在每个中间点，流进与流出该点的总流
量相等，即保持中间点的流量平衡。
第2讲 网络流问题
一、网络及网络流 二、最大流与最小割 三、最小费用最大流
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1
一、网络及网络流
现实生活中,人们经常见到一些网络,如铁路网、 公路网、通信网、运输网等等。这些网络有一 个共同的特点，就是在网络中都有物资、人或 信息等某种量从一个地方流向另一个地方，如 何安排这些量的流动以便取得最大效益是一个 很有意义的实际问题。50年代福特（Ford）、 富克逊（Fulkerson）建立的“网络流理论”， 是网络应用的重要组成部分。
（2）任一网络至少存在一个流，如零流 ( f (e) 0,eV ) 。
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5
例 1：图 1 表示一个网络及网络流
x1
6 ,1
v1
5 ,1
1,1
3,0 4,0 1,0
y1 2 ,1
2,2
v4 5,3
1,0
3 ,1
s 6,0
x2
3,2
v3
4,4 y3
图1
发点集： X {x1, x2} 收点集： Y {y2} 中间点集： I {v1, v2, v3, v4, y1, y2}
（1） Val f f (e) f (e)
eN ( A)
eN ( A)
（2） Val f C( A, A) 。
式（1）表明运输网络的一个自源 s 到汇 t 的流值，等于任何分离 s 和 t 的
割中流的净值，即割的自 A 到 A 的弧中的流减去自 A 到 A 的流的总体。
定理 2（最大流最小割定理）
（2）流出发点集 X 的净流量等于流入收点集Y 的净流量。
定义 4 设 f 是网络 N 的一个流，则 f 的流的价值 Val f 定义为
Val f ＝ f (e) f (e)
eN ( X )
eN (Y )
即流的价值是发点集的流出量，也是收点集的流入量。
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注 3：任何一个多源多汇网络 N (V , E, c, X ,Y ) 都等价与一个 单源单汇网络 N ' (V ', E', c', X ',Y ' ) 。在解决实际问题时，常把多源
uij 为割 ( A, A)
(,i) j A
iS , jS
的容量。
设 K 是一个割，若不存在割 K ' ，使得 C(K ' ) C(K ) ，则称 K 是
N 的最小割。
注 4：割是从 A 到 A 的有向弧精选组ppt成的
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最大流与最小割的关系：
定理 1 设 f 是 N 的流， ( A, A) 是一个割，则：
若 | X | 1,| Y | 1，称 N 为多源多汇网络；若 | X | 1,| Y | 1，称 N 为单源单汇网络。
主要研究单源单汇网络。
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3
例：单源单汇网络和多元多汇网络。
a
5,4
c
3,3
3,3
s
5 ,1
2,0
1 ,1
t
4,4
5,4
b
3,3
d
x1
6 ,1
v1
5 ,1
1,1
3,0 4,0 1,0