交通流理论第四章

第四章 跟驰理论与加速度干扰本章将主要讨论单车道情况下的车辆跟驰现象，介绍跟驰理论，建立相应的跟驰理论模型，最后简要介绍一下加速度干扰问题。

跟驰理论是运用动力学方法研究在限制超车的单车道上，行驶车队中前车速度的变化引起的后车反应。

车辆跟驰行驶是车队行驶过程中一种很重要的现象，对其研究有助于理解交通流的特性。

跟驰理论所研究的参数之一就是车辆在给定速度u 下跟驰行驶时的平均车头间距s ，平均车头间距则可以用来估计单车道的通行能力。

在对速度—间距关系的研究中，单车道通行能力的估计基本上都是基于如下公式：s u C /1000⋅= (4—1)式中：C ——单车道通行能力（veh/h ）；u ——速度（km/h ）； s ——平均车头间距（m ）。

研究表明，速度—间距的关系可以由下式表示：2u u s γβα++= (4—2)式中系数α、β、γ可取不同的值，其物理意义如下：α——车辆长度，l ； β——反应时间，T ；γ——跟驰车辆最大减速度的二倍之倒数。

附加项2u γ保证了足够的空间，使得头车在紧急停车的情况下跟驰车辆不与之发生碰撞，γ的经验值可近似取为0.023s 2/英尺。

一般情况下γ是非线性的，对于车速恒定（或近似恒定）、车头间距相等的交通流，γ的近似计算公式可取为：()115.0---=l f a a γ (4—3)式中：f a 、l a ——分别为跟车和头车的最大减速度。

跟驰理论除了用于计算平均车头间距以外，还可用于从微观角度对车辆跟驰现象进行分析，近似得出单车道交通流的宏观特性。

总之，跟驰理论是连接车辆个体行为与车队宏观特性及相应流量、稳定性的桥梁。

第一节 线性跟驰模型的建立单车道车辆跟驰理论认为，车头间距在100～125m 以内时车辆间存在相互影响。

分析跟驰车辆驾驶员的反应，可将反应过程归结为以下三个阶段：感知阶段：驾驶员通过视觉搜集相关信息，包括前车的速度及加速度、车间距离（前车车尾与后车车头之间的距离，不同于车头间距）、相对速度等；决策阶段：驾驶员对所获信息进行分析，决定驾驶策略；控制阶段：驾驶员根据自己的决策和头车及道路的状况，对车辆进行操纵控制。

线性跟驰模型是在对驾驶员反应特性分析的基础上，经过简化得到的。

一、线性跟驰模型的建立跟驰模型实际上是关于反应—刺激的关系式，用方程表示为：反应 =λ·刺激 (4—4) 式中λ为驾驶员对刺激的反应系数，称为灵敏度或灵敏系数。

驾驶员接受的刺激是指其前面引导车的加速或减速行为以及随之产生的两车之间的速度差或车间距离的变化；驾驶员对刺激的反应是指根据前车所做的加速或减速运动而对后车进行的相应操纵及其效果。

线性跟驰模型相对较简单，图4—1为建立线性跟驰模型的示意图。

图4—1 线性跟驰模型示意图图中各参数意义如下：)()()(1t x t x t s n n +-=——t 时刻车辆间的车头间距；)(11t u T d n +⋅=——反应时间T 内1+n 车行驶的距离；)(1t x n +——t 时刻1+n 车的位置； )(t x n ——t 时刻n 车的位置；T ——反应时间或称反应迟滞时间；2d ——1+n 车的制动距离；3d ——n 车的制动距离； L ——停车安全距离。

从图中可以得到：3211)()()(d L d d t x t x t s n n -++=-=+ (4—5)T T t x T T t u T t u d n n n ⋅+=⋅+=⋅=+++)()()(1111& (4—6)假设两车的制动距离相等，即32d d =，则有L d t x t x t s n n +=-=+11)()()( (4—7)由式(4—5)和式(4—6)可得L T T t x t x t x n n n +⋅+=-++)()()(11& (4—8)两边对t 求导，得到T T t x t x t x n n n ⋅+=-++)()()(11&&&& (4—9)也即)]()([)(11t x t x T t x n n n ++-=+&&&&λ =n 1,2,3,… (4—10)或写成)]()([)(11T t x T t x t x n n n ---=++&&&&λ =n 1,2,3,… (4—11)其中1-=T λ。

与式(4—4)对比，可以看出式(4—11)是对刺激—反应方程的近似表示：刺激为两车的相对速度；反应为跟驰车辆的加速度。

式(4—9)是在前导车刹车、两车的减速距离相等以及后车在反应时间T 内速度不变等假定下推导出来的。

实际的情况要比这些假定复杂得多，比如刺激可能是由前车加速引起的，而两车在变速行驶过程中驶过的距离也可能不相等。

为了考虑一般的情况，通常把式(4—10)或式(4—11)作为线性跟驰模型的形式，其中λ不一定取值为1-T，也不再理解为灵敏度或灵敏系数，而看成与驾驶员动作强度相关的量，称为反应强度系数，量纲为1-s 。

二、车辆跟驰行驶过程的一般表示跟驰理论的一般形式可用传统控制理论的框图表示，见图4—2a 。

式(4—11)所示的线性跟驰模型表示为图4—2b ，图中驾驶员行为由反应时间和反应强度系数代替。

完善的跟驰理论应包括一系列方程，以便建模描述车辆及道路的动态特性、驾驶员的生理心理特性以及车辆间的配合。

图4—2a 车辆跟驰框图表示图4—2b 线性跟驰模型框图表示第二节 稳定性分析本节讨论方程（4—10）所示线性跟驰模型的两类波动稳定性：局部稳定性和渐进稳定性。

局部稳定性：关注跟驰车辆对它前面车辆运行波动的反应，即关注车辆间配合的局部行为。

渐进稳定性：关注车队中每一辆车的波动特性在车队中的表现，即车队的整体波动特性，如车队头车的波动在车队中的传播。

一、局部稳定性根据研究，针对T C λ=（λ、T 参数的意义同前）取不同的值，跟驰行驶两车的运动情况可以分为以下四类：a) )368.0(01≈≤≤-e C 时，车头间距不发生波动；b) 2/1π<<-C e 时，车头间距发生波动，但振幅呈指数衰减； c) 2/π=C 时,车头间距发生波动，振幅不变； d) 2/π>C 时,车头间距发生波动，振幅增大。

对于1-=e C 的情况，利用计算机模拟的办法给出了相关运动参数的变化曲线（其中反应时间s T 5.1=，368.01≈=-e C ），如图4—3。

模拟过程中假定头车的加速和减速性能是理想的，头车采取恒定的加速度和减速度。

图中实线代表头车运动参数的变化，虚线代表跟驰车辆运动参数的变化，其中的“速度变化”是指头车和跟驰车辆分别相对于初始速度的变化值，即每一时刻的速度与初始速度之差。

图4—4中给出了另外四个不同C 值的车头间距变化图，C 分别取阻尼波动、恒幅波动和增幅波动几种情况的值。

图4—3 头车加速度波动方式及对两车运动的影响图4—4 不同C 值对应的车头间距变化对于一般情况下的跟驰现象（不一定为车队启动过程或刹车过程），如果跟驰车辆的初始速度和最终速度分别为1u 和2u ，那么有120)(u u dt T t x f -=+⎰∞&& (4—12)式中：)(T t x f +&&——跟驰车辆的加速度。

从方程（4—10）我们得到⎰∞∆=-0)]()([s dt t x t x f l &&也即λ120)]()([u u dt t x t x s f l -=-=∆⎰∞&& (4—13)式中：)(t x l &、)(t x f &——分别为头车和跟驰车辆的速度； s ∆——车头间距变化量。

1-≤e C 时，车头间距以非波动形式变化，从式(4—13)可知车速从1u 变为2u 时其变化量为s ∆。

如果头车停车，则最终速度02=u ，车头间距的总变化量为λ/1u -，因此跟驰车辆为了不发生碰撞，车间距离最小值必须为λ/1u ，相应的车头间距为l u +λ/1（l 为车辆长度）。

为了使车头间距尽可能小，λ应取尽可能大的值，其理想值为1)(-eT 。

二、渐进稳定性在讨论了方程（4—10）所示线性跟驰模型的局部稳定性之后，下面通过分析一列运行的车队（头车除外）来讨论其渐进稳定性。

描述一列长度为N 的车队的方程为（假设车队中各驾驶员反应强度系数λ值相同）：)]()([)(11t x t x T t x n n n ++-=+&&&&λ =n 1,2,3,……，N (4—14)无论车头间距为何初始值，如果发生增幅波动，那么在车队后部的某一位置必定发生碰撞，方程（4—14）的数值解可以确定碰撞发生的位置。

下面我们分析判断波动是增幅还是衰减的标准，也即渐进稳定性标准。

根据研究，一列行驶的车队仅当T C λ=< 0.5～0.52（一般取0.5）时才是渐进稳定的，即车队中车辆波动的振幅呈衰减趋势。

渐进稳定性的判定标准把两个参数确定的区域分成了稳定和不稳定两部分，如图4—5所示。

由此可知，1-≤=e T C λ保证局部稳定性的同时也确保了渐进稳定性。

图4—5 渐进稳定性区域为了说明车队的渐进稳定性，下面我们通过图示给出两组利用计算机模拟得到的数值计算结果。

图4—6给出了一列8辆车组成的车队中相邻车辆车头间距与时间的关系，分别取=C 0.368,0.5,0.75。

头车1=n 的初始波动方式与图4—3所示情况相同，即先缓慢减速再加速至初始速度(加速度绝对值相等)，因此加速度对时间的积分为零。

0=t 时车头间距均为21m 。

第一种情况=C 0.368(e /1≈)，为非波动状态。

第二种情况=C 0.5 （即渐进稳定性的限值），此时出现高阻尼波动，这说明即使是在渐近稳定性标准的极限处，波动振幅也将随着波动在车队的传播而衰减，即波动被阻尼。

第三种情况=C 0.75，图中很好地说明了波动的不稳定性。

图4—6 线性跟驰模型车队中车头间距随时间的变化图4—7中（=C 0.80）给出了9辆车组成的车队中每一辆车的运动轨迹，采用的坐标系是移动坐标系，坐标原点的速度与车队的初始速度u 一致。

0=t 时，所有的车辆都以速度u 行驶，车头间距均为12m 。

头车在0=t 时开始以4km/h/sec 的减速度减速2s ，速度从u 变成-u 8km/h ，之后又加速至原速度u 。

=C 0.80，所以头车的这种速度波动将在车队中不稳定地传播。

从图中可以看到，在头车发生第一次波动后大约24s 时，第7辆与第8辆车之间的车间距离变为零，即车头间距等于车辆长度，此时即发生碰撞。

图4—7 9辆车车队的渐进稳定性(C=0.80)三、次最近车辆的配合跟驰行驶的车辆除了受最近车辆（直接在其前面的车辆）的影响之外，还会受次最近车辆（在其前面的第二辆车）的影响，这种影响也可以列入模型中，那么跟驰模型可以写成如下形式：)]()([)]()([)(222112t x t x t x t x T t x n n n n n ++++-+-=+&&&&&&λλ (4—15) 式中：1λ、2λ——分别为跟驰车辆驾驶员对最近车辆和次最近车辆刺激的反应强度系数。