【学海导航】版高考数学一轮总复习 第66讲 随机事件的概率、古典概型与几何概型同步测控 理
2013届学海导航新课标高考一轮复习(理数学)浙江专版第66讲随机变量及其分布列
2．理解两点分布和超几何分布的意义，并能进 行简单的应用．
3．在具体情境中，了解条件概率和两个事件互 相独立的概念．
4．理解n次独立重复试验的模型及二项分布， 并能解决一些简单的实际问题．
1．离散型随机变量的分布列及其性质 (1)离散型随机变量 如果随机变量 X 可能取的值，可以按一定顺序一 一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量，而像 某人早晨在出租车站等出租车的时间 Y(单位：秒)就不 是离散型随机变量．
(1)取出 3 个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量 X 的概率分布列； (3)计分介于 20 分到 40 分之间的概率．
【解析】(1)方法 1：“一次取出的 3 个小球上的数字互不 相同”的事件记为 A，
则 P(A)＝C35·CC12·31C0 12·C21＝23. 方法 2：“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的事 件记为 A，“一次取出的 3 个小球有两个数字相同”的事件记 为 B，则事件 A 和事件 B 是互斥事件． 因为 P(B)＝C15CC31220C18＝13， 所以 P(A)＝1－P(B)＝1－13＝32.
【分析】 由于 3 人能否被选中互不影响，同时 3 人选中 与否的各种情形都可能同时发生，因此问题情境为独立事件同 时发生的概率．
【解析】 记甲、乙、丙能被选中的事件分别为 A、B、C， 则 P(A)＝25，P(B)＝43，P(C)＝13. (1)3 人都同时被选中的概率 P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝52×34×31＝110.
(3)要注意恰有 k 次发生和某指定的 k 次发生的差异， 对独立重复试验来说，前者的概率为 Cknpk(1－p)n－k，后者 的概率为 pk·(1－p)n－k.
【学海导航】高考数学一轮总复习 第66讲 随机事件的概率、古典概型与几何概型课件 理 新人教A
(2)(ⅰ)圆心到直线的距离为 d＝ |－32＋254| 2＝5. (ⅱ)当圆 C 上的点到直线 l 的距离是 2 时有两个点为点 B 与点 D，设过这两点的直线方程为 4x＋3y＋a＝0，同时可得到 圆圆的半径为 r＝2 3，可得∠BOD＝60°，由图可知点
【解析】由必然事件，不可能事件和随机事件的含义 判断选项 A、D 是不可能事件，B 是必然事件，而 C 是 随机事件，故选 C.
2. 下 列 关 于 随 机 事 件 的 频 率 与 概 率 的 关 系 说 法 正 确 的 是 ()
A．频率就是概率 B．频率是客观存在的，与试验次数无关 C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 D．概率是随机的，在试验前不能确定其大小
P(A)＝试验的构全成部事结件果A所的构区成域的长区度域面长积度或面体积积或 体积.
素材2 (1)假设车站每隔10分钟发一班车，若某乘客随机到达车
站，求其等车时间不超过3分钟的概率为 0.3 .
(2)如图，在一个边长为a(a>0)的正方形内画一个半圆，
其半径为r(0<r≤
a 2
)，向该正方形内随机投一点，则所投的点
＝2πar22.
故所投的点落在半圆内部的概率是2πar22.
三 频率估计概率及应用
【例 3】(2011·陕西卷)如图，A 地到火车站共有两条 路径 L1 和 L2，现随机抽取 100 位从 A 地到火车站的人进 行调查，调查结果如下：
(1)试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率； (2)分别求通过路径 L1 和 L2 所用的时间落在上表中各时间 段内的频率； (3)现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火 车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计 算说明，他们应如何选择各自的路径．
2015届高三数学第一轮总复习课件：第66讲 随机事件的概率、古典概型与几何概型
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理数
解析：(1)要使得等车的时间不超过 3 分钟，即到达的 时刻应该是下图中 A 包含的时间点．
故 P＝AS的的长长度度＝130＝0.3.
26 第二十六页，编辑于星期五：八点 五十四分。
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(2)题目中00≤≤xy≤≤22 表示的区域如图正方形所示，而 动点 D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面 积部分，因此 P＝2×22－×142π×22＝4－4 π，故选 D.
10 第十页，编辑于星期五：八点 五十四分。
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5．在区间[－1,2]内随机选取一个实数，则该数为正数 的概率是 .
11 第十一页，编辑于星期五：八点 五十四分。
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解析：由题意知正数的取值区间长度是 2，总长度是 3， 由几何概型的概率计算公式得所求概率为23.
12 第十二页，编辑于星期五：八点 五十四分。
随机抽取 100 位从 A 地到火车站的人进行调查，调查结果如 下：
29 第二十九页，编辑于星期五：八点 五十四分。
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(1)试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率； (2)分别求通过路径 L1 和 L2 所用的时间落在上表中各时 间段内的频率； (3)现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶 往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试 通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
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(2)已知圆 C：x2＋y2＝12，直线 l：4x＋3y＝25. (ⅰ)圆 C 的圆心到直线 l 的距离为________； (ⅱ)圆 C 上任意一点 A 到直线 l 的距离小于 2 的概率为 ________． (3)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往 单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看 电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家 看书，则小波周末不在家看书的概率为__________．
2025版高考数学全程一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布列第四节随机事件的概率与古典概型课件
通安全法》的情况，调查部门在该校进行了如下的随机调查，向被调
查者提出两个问题：(1)你的学号是奇数吗？(2)在过路口时你是否闯
过红灯？要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，
就回答第一个问题，否则就回答第二个问题．被调查者不必告诉调查
概率近似为(
)
3
2
1
7
A．
B． C．
D．
5
5
2
10
答案：B
解析：10组数据中，恰有两天下雨的有417，386，196，206，共4个，据此估
4
2
计这三天中恰有两天下雨的概率近似为 ＝ .故选B.
10
5
(2)(多选)[2024·河北石家庄模拟]口袋里装有1红，2白，3黄共6个形
状大小完全相同的小球，从中任取2球，事件A＝取出的两球同色，B
(
)
A．概率太小，不可能发生
B．1 000次中一定发生1次
C．1 000人中，999人说不发生，1人说发生
D．1 000次中有可能发生1 000次
答案：D
解析：概率是1‰说明发生的可能性是1‰，每次发生都是随机的，1 000次中也
可能发生1 000次，只是发生的可能性很小．故选D.
5．(易错)袋子中有3个大小质地完全相同的球，其中1个红球，2个
4
0.3
5
0.1
≥6
0.04
题后师说
求复杂互斥事件概率的两种方法
巩固训练1
(1)天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用
随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，
2023版高考数学一轮总复习11-1随机事件古典概型与几何概型课件
Ω的几何度量
考法一 古典概型概率的求法 1.求解古典概型概率的步骤
2.基本事件个数的确定方法 1)列举法:此法适合于基本事件个数较少的古典概型. 2)列表法:此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验,也可看成坐标 法.
3)画树状图法:画树状图法是进行列举的一种常用方法,适用于有顺序的 问题及较复杂问题中基本事件个数的探求. 4)运用排列组合知识计算.
A39 7
答案 D
创新 生活中的概率问题 1.概率问题常与生活实际或数学文化相结合,主要考查学生的逻辑推 理、数据分析、数学抽象等核心素养. 2.解决这类问题的关键:①认真审题,把握信息;②弄清提供的问题情境的 意义;③抽象转化成数学问题,应用熟悉的数学知识解决.
例1 (2021湖南湘潭一模,7)德国心理学家艾宾浩斯研究发现,遗忘在学习 之后立即开始,而且遗忘的进程并不是均匀的.最初遗忘速度很快,以后逐 渐减慢.他认为“保持和遗忘是时间的函数”.他用无意义音节(由若干音 节字母组成,能够读出,但无内容意义,即不是词的音节)作为记忆材料,用 节省法计算保持和遗忘的数量,并根据试验结果绘成描述遗忘进程的曲 线,即著名的艾宾浩斯遗忘曲线(如图所示).若一名学生背了100个英语单 词,一天后,该学生在这100个英语单词中随机听写2个英语单词,以频率代 替概率,不考虑其他因素,则该学生恰有1个单词不会的概率大约为 ( )
m=5+4+3+2+1=15,则取到的整数十位数字比个位数字大的概率P= m =15
n 25
=3.
5
答案 B
考法二 几何概型概率的求法
例2 (2021辽宁辽南协作体联考,9)1876年4月1日,加菲尔德在《新英格兰 教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法,即在如图的直角梯形 ABCD中,利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之 和等于直角梯形的面积”,可以简洁明了地推证出勾股定理.1881年加菲 尔德就任美国第二十任总统.后来,人们为了纪念他对勾股定理直观、易 懂的证明,就把这一证明方法称为“总统证法”.如图,设∠ECB=60°,在梯 形ABCD中随机取一点,则此点取自等腰直角△CDE(阴影部分)中的概率 是() A.2(2- 3 ) B.2- 3 C. 3 -1 D.2( 3-1)
2025年高考数学一轮复习 第十一章 -第三节 随机事件的概率与古典概型【课件】
分布
第三节 随机事件的概率与古典概型
1
1 强基础 知识回归
2
2 研考点 题型突破
1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性;了解概率的意义以及频率与概率的区别;
课 了解两个互斥事件的概率加法公式.
标 2.理解古典概型及其概率计算公式;会计算一些随机事件所包含的样本点及事件发生的概
1
0
必然事件的概率： Ω =___，不可能事件的概率
⌀ =___.
五、事件的关系与运算
名称
条件
包含关系
若发生，则一定发生
相等关系
⊇
若 ⊇ 且_______
并（和）
事件
发生或发生
结论
事件包含事件
（事件包含于事件）
事件与事件相等
事件与事件的并事件
（或和事件）
符号表示
明确可知
（2）试验的所有可能结果是__________的，并且不止一个；
（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.
二、样本点和样本空间
定义
样本点
每个可能的基本结果
我们把随机试验的____________________称为样本点
样本空间 全体样本点的集合称为试验的样本空间
随机事件
本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母，，，⋯ 表示.在每次
试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生
必然事件
不可能事件
Ω 作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发
必然事件
生，所以Ω 总会发生，我们称Ω 为__________
不可能
【学海导航】届高考数学第一轮总复习 第12单元《概率与统计、统计案例》同步训练 理 新人教B版
第十二单元 概率与统计、统计案例 第66讲 随机事件的概率、古典概型与几何概型1.(2013·安徽合肥市质检)在正四面体的6条棱中随机抽取2条，则其2条棱互相垂直的概率为( ) A.34 B.23 C.15 D.132.容量为100的样本数据，依次分为8组，如下表：组号 1 2 3 4 5 6 7 8 频数10133xx1513129则第三组的频率是( ) A ．0.12 B ．0.21 C ．0.15 D ．0.283.从集合{1,2,3，…，10}中任取5个数组成集合A ，则A 中任意两个元素之和不等于11的概率为( ) A.1945 B.463C.863D.16634.在区间[0,9]上随机取一实数x ，则该实数x 满足不等式1≤log2x≤2的概率为______．5.已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{7,8}，现从A 、B 中各取一个数字，组成无重复数字的二位数，在这些二位数中，任取一个数，则恰为奇数的概率为________．6.某单位招聘员工，从400名报名者中选出200名参加笔试，再按笔试成绩择优取40名参加面试，随机抽查了20名笔试者，统计他们的成绩如下：分数段 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) 人数 1 3 6 6 分数段 [80,85) [85,90) [90,95) 人数211由此预测参加面试所划的分数线是______．7.(2013·郑州市第一次质量预测)如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线y ＝x 和曲线y ＝x2围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是______．8.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是12. (1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b.记事件A 表示“a＋b ＝2”，求事件A 的概率．9.设函数f(x)＝log2[x2－2(a －1)x ＋b2]的定义域为D.(1)若a 是从1,2,3,4四个数中任取的一个数，b 是从1,2,3三个数中任取一个数，求使D ＝R 的概率；(2)若a 是从区间[0,4]任取的一个数，b 是从区间[0,3]任取的一个数，求使D ＝R 的概率．第67讲 互斥事件、独立事件与条件概率1.某商场在春节举行抽奖促销活动，规则是：从装有编为0,1,2,3四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球，两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖，则中奖的概率是( ) A.13 B.23 C.14 D.342.(2013·太原市第一次模拟)甲乙两人各加工一个零件，若加工为一等品的概率分别是23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.12 B.14 C.16 D.5123.现有甲、乙、丙、丁四名义工到三个不同的社区参加公益活动．若每个社区至少一名义工，则甲、乙两人被分到不同社区的概率为( ) A.16 B.56 C.1027 D.17274.在三次独立重复试验中，事件A 在每次试验中发生的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为6364，则事件A 恰好发生一次的概率为( )A.14B.34C.964D.27645.在一段时间内，甲去某地的概率为14，乙去此地的概率为15，假定两人的行动相互没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是________．6.甲乙两人向目标各射击一次(甲、乙相互没有影响)．甲的命中率为12，乙的命中率为710.已知目标被击中，则目标被甲击中的概率为________．7.如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则：(1)P(A)＝________；(2)P(B|A)＝________.8.一个袋子里装有大小、形状相同的3个红球和2个白球，如果不放回地依次抽取2个球，求：(1)第1次抽到红球的概率；(2)第1次和第2次都抽到红球的概率；(3)在第1次抽到红球的条件下，第2次抽到红球的概率；(4)抽到颜色相同的球的概率．9.乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．(1)求甲以4比1获胜的概率；(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率．第68讲 离散型随机变量的分布列、期望与方差1.若P(ξ≤x2)＝1－β，P(ξ≥x1)＝1－α，其中x1<x2，则P(x1≤ξ≤x2)等于( ) A ．(1－α)(1－β) B ．1－(α＋β) C ．1－α(1－β) D ．1－β(1－α)2.若ξ～B(n ，p)且E ξ＝6，D ξ＝3，则P(ξ＝1)的值为( ) A ．3×2－2 B ．3×2－10 C ．2－4 D ．2－83.从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数为1件的概率是( ) A.3235 B.1235 C.335 D.2354.甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为ξ，则E ξ为( ) A ．1 B ．1.5 C ．2 D ．2.55.某街头小摊，在不下雨的日子一天可赚到100元，在下雨的日子每天要损失10元，若该地区每年下雨的日子约为130天，则此小摊每天获利的期望值是(一年按365天计算)________元(结果保留2位小数)．6.已知随机变量ξ的分布列如表所示，则D ξ＝________.ξ 0 1 2 P12a147.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数，若P(X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望EX ＝______.8.“低碳经济”是促进社会可持续发展的推进器．某企业现有100万元资金可用于投资，如果投资“传统型”经济项目，一年后可能获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为35，15，15；如果投资“低碳型”经济项目，一年后可能获利30%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为a 和b(其中a ＋b ＝1)．(1)如果把100万元投资“传统型”经济项目，用ξ表示投资收益(投资收益＝回收资金－投资资金)，求ξ的概率分布及均值(数学期望)E ξ；(2)如果把100万元投资“低碳型”经济项目，预测其投资收益均值会不低于投资“传统型”经济项目的投资收益均值，求a 的取值范围．9.受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故0＜x≤11＜x≤2x＞2 0＜x≤2x＞2 障时间x(年)轿车数量(辆) 2 3 45 5 45每辆利润(万元) 1 2 3 1.8 2.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．第69讲 随机抽样、用样本估计总体、正态分布1.将参加夏令营的500名学生编号为：001,002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，三个营区被抽中的人数分别为( )A ．20,15,15B ．20,16,14C ．12,14,16D ．21,15,142.已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜2)等于( )A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.23.(2013·宁波市四中高三上期末)200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如下图所示，则时速不低于60 km/h 的汽车数量为( )A ．65辆B ．76辆C ．88辆D ．95辆4.设10≤x1<x2<x3<x4≤104，x5＝105，随机变量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值x1＋x22、x2＋x32、x3＋x42、x4＋x52、x5＋x12的概率也均为0.2.若记D ξ1、D ξ2分别为ξ1、ξ2的方差，则( )A ．D ξ1＞D ξ 2B ．D ξ1＝D ξ 2C ．D ξ1＜D ξ 2D ．D ξ1与D ξ2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关5.某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家，为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市______家．6.在一次运动员的选拔中，测得7名选手身高(单位：cm)分布的茎叶图如图所示．已知记录的平均身高为174 cm ，但有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x ，那么x 的值为______.18 0 1 17 0 3 x 168 97.给出如下10个数据：63,65,67,69,66,64,66,64,65,68.根据这些数据制作频率分布直方图，其中[64.5,66.5)这组所对应的矩形的高为 .8.在某篮球比赛中，根据甲和乙两人的得分情况得到如图所示的茎叶图．(1)从茎叶图的特征来说明他们谁发挥得更稳定；(2)用样本的数字特征验证他们谁发挥得更好．9.某制造商3月生产了一批乒乓球，随机抽样100个进行检查，测得每个球的直径(单位：mm)，将数据分组如下表：分组频数频率[39.95,39.97) 10[39.97,39.99) 20[39.99,40.01) 50[40.01,40.03] 20合计100(1)请在上表中补充完成频率分布表(结果保留两位小数)，并在下图中画出频率分布直方图；(2)若以上述频率作为概率，已知标准乒乓球的直径为40.00 mm，试求这批乒乓球的直径误差不超过0.03 mm的概率；(3)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[39.99,40.01)的中点值是40.00)作为代表．据此估计这批乒乓球直径的平均值(结果保留两位小数)．第70讲 变量的相关性、回归分析和独立性检验1.在回归分析中，残差图中纵坐标为( ) A ．残差 B ．样本编号 C.x －D ．yi2.(2013·湛江测试)已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为( )A ．y ＝1.23x ＋4B ．y ＝1.23x ＋5C ．y ＝1.23x ＋0.08D ．y ＝0.08x ＋1.233.在下列各图中，两个变量具有相关关系的图是( )A ．(1)(2)B ．(1)(3)C ．(2)(4)D ．(2)(3)4.(2013·临沂市质量检测)为了调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了200位老年人，结构如下：性别是否需要志愿者 男 女 需要 70 40 不需要3060附：P(K2>k) 0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828 参照附表，得到的正确结论是( )A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过的0.1%的前提下，认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关”C ．最多有99%的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”D ．最多有99%的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关”5.经调查某地若干户家庭的年收入x(万元)和年饮食支出y(万元)具有线性相关关系，并得到y 关于x 的线性回归直线方程：y ＝0.245x ＋0.321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加 万元．6.下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ＝0.7x ＋0.35，那么表中m 的值为______.x 3 4 5 6 y2.5m44.57.某研究小组为了研究中学生的身体发育情况，在某学校随机抽出20名15至16周岁的男生，将他们的身高和体重制成2×2的列联表，根据列联表的数据，可以有 %的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系.超重 不超重 合计 偏高 4 1 5 不偏高 3 12 15 合计71320独立性检验临界值表：P(K2≥k0) 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 5.0246.6357.87910.828独立性检验随机变量K2值的计算公式： K2＝－＋＋＋＋，n ＝a ＋b ＋c ＋d.8.下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：气温/℃ 26 18 13 10 4 －1 杯数202434385064(1)将上表中的数据制成散点图；(2)你能从散点图中发现温度与卖出热茶的杯数近似成什么关系吗？(3)如果近似成线性相关关系，请求出线性回归方程来近似地表示这种线性相关关系； (4)如果某天的气温是－5 ℃时，用(3)的回归方程预测这天小卖部卖出热茶的杯数．9.电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷 体育迷 合计 男 女 10 55 合计附：K2＝－＋＋＋＋，P(K2≥k) 0.05 0.01 k3.8416.635第十二单元 概率与统计、统计案例第66讲 随机事件的概率、古典概型与几何概型1．C 总的取法有15种，由正四面体的性质可知，对棱垂直，故互相垂直的有3种，所以所求概率为15，故选C.2．B 因为10＋13＋3x ＋x ＋15＋13＋12＋9＝100，得x ＝7，所以，第三组的频数3x ＝21，于是，第三组的频率是21100＝0.21，故选B.3．C 分组考虑，和为11的有：(1,10)，(2,9)，(3,8)，(4,7)，(5,6)，若A 中任意两个元素之和不等于11，则5个元素必须只有每组中的一个，故所求概率为P ＝25C510＝863，故选C.4.29 由1≤log2x≤2得2≤x≤4， 故所求概率为29.5.712由题意，所有无重复数字的两位数有3×2×2＝12个，其中奇数为17,71,27,81,83,37,73共7个，所以概率P ＝712.6．80 因为40200×20＝4，所以随机抽查了20名笔试者中的前4名进入面试，观察成绩统计表，预测参加面试所划的分数线是80分．7.13 阴影部分的面积S1＝⎠⎛01(x －x2)dx ＝(23x 32－13x3)|10＝13，而正方形AOBC 的面积为1，故所求的概率为13.8．解析：(1)由题意可知：n 1＋1＋n ＝12，解得n ＝2.(2)不放回地随机抽取2个小球的所有等可能基本事件为：(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)，共12个， 事件A 包含的基本事件为：(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4个，所以P(A)＝412＝13.9．解析：(1)定义域D ＝{x|x2－2(a －1)x ＋b2>0}． 将取的数组记作(a ，b)，共有4×3＝12种可能． 要使D ＝R ，则Δ＝4(a －1)2－4b2<0，即|a －1|<|b|.满足条件的有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,2)，(2,3)，(3,3)，共6个基本事件，所以P(D ＝R)＝612＝12.(2)全部试验结果Ω＝{(a ，b)|a ∈[0,4]，b ∈[0,3]}， 事件A ＝{D ＝R}对应区域为A ＝{(a ，b)||a －1|<|b|}，则P(A)＝S 阴影S Ω＝3×4－12×1×1－12×3×33×4＝712，故D ＝R 的概率为712.第67讲 互斥事件、独立事件与条件概率1．B 中一等奖的概率是1C24＝16，中二等奖的概率是1C24＝16，中三等奖的概率是2C24＝13，所以中奖的概率为16＋16＋13＝23，故选B.2．D 设甲加工为一等品，乙加工为非一等品的事件为A ，乙加工为一等品，甲加工为非一等品的事件为B ，则两个零件中恰有一个一等品的概率为P(A)＋P(B)＝23×14＋13×34＝512，故选D.3．B 甲、乙两人被分到同一社区的概率为A33C24A33＝16，则甲、乙两人被分到不同社区的概率为1－16＝56，故选B.4．C 设事件A 发生的概率为P ，事件A 不发生的概率为P′，则有：1－(P′)3＝6364⇒P′＝14，故P ＝34，则事件A 恰好发生一次的概率为C13×34×(14)2＝964，故选C. 5.25 至少有1人去此地包含有3个互斥事件，(1)甲去乙未去，(2)甲未去乙去，(3)甲、乙都去．所以至少有1人去此地的概率为14×(1－15)＋15×(1－14)＋14×15＝25.6.1017 设“甲命中”为事件A ，“乙命中”为事件B ，“目标被击中”为事件C ，则P(A)＝12，P(C)＝1－P(A －)P(B －)＝1－(1－12)(1－710)＝1720，则P(A|C)＝＝＝1017. 7．(1)2π (2)14 (1)S 圆＝π，S 正方形＝(2)2＝2，根据几何概型的求法有：P(A)＝S 正方形S 圆＝2π；(2)由∠EOH ＝90°，S △EOH ＝14S 正方形＝12，故P(B|A)＝S △EOH S 正方形＝122＝14.8．解析：设A ＝{第1次抽到红球}，B ＝{第2次抽到红球}， 则第1次和第2次都抽到红球为事件AB.从第5个球中不放回地依次抽取2个球的事件数为n(Ω)＝A25＝20， (1)由分步计数原理，n(A)＝A13·A 14＝12， 于是P(A)＝Ω＝1220＝35. (2)P(AB)＝Ω＝620＝310. (3)在第1次抽到红球的条件下，当第2次抽到红球的概率为P(B|A)＝＝31035＝12. (4)抽到颜色相同球的概率为P ＝P(两次均为红球)＋P(两次均为白球) ＝3×220＋2×120＝25. 9．解析：(1)由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是12，记“甲以4比1获胜”为事件A ，则P(A)＝C34(12)3(12)4－312＝18.(2)记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B ，因为，乙以4比2获胜的概率为 P1＝C35(12)3(12)5－312＝532，乙以4比3获胜的概率为 P2＝C36(12)3(12)6－312＝532，所以P(B)＝P1＋P2＝516.第68讲 离散型随机变量的分布列、期望与方差 1．B 由分布列性质可有：P(x1≤ξ≤x2)＝P(ξ≤x2)＋P(ξ≥x1)－1＝(1－β)＋(1－α)－1＝1－(α＋β)， 故选B.2．B E ξ＝np ＝6，D ξ＝np(1－p)＝3⇒p ＝12，n ＝12，所以P(ξ＝1)＝C112(12)12＝3×2－10，故选B.3．B 设随机变量X 表示取出次品的个数，则X 服从超几何分布，其中N ＝15，M ＝2，n ＝3，它的可能取值为0,1,2，所以所求概率为P(X ＝1)＝C12C213C315＝1235，故选B. 4．B ξ的可能取值为0,1,2,3， 则P(ξ＝0)＝C36C33C36C36＝120，P(ξ＝1)＝C16C25C23C36C36＝920，P(ξ＝2)＝C26C14C13C36C36＝920，P(ξ＝3)＝C36C36C36＝120，则E ξ＝0×120＋1×920＋2×920＋3×120＝1.5，故选B.5．60.82 E ξ＝100×235365＋(－10)×130365≈60.82.6.1116 由题知a ＝1－12－14＝14， 则E ξ＝0×12＋1×14＋2×14＝34，D ξ＝12×(0－E ξ)2＋14×(1－E ξ)2＋14×(2－E ξ)2＝1116.7.1116 因为P(X ＝0)＝112＝(1－p)2×13，所以p ＝12. 随机变量X 的可能值为0,1,2,3， 因此P(X ＝0)＝112，P(X ＝1)＝23×(12)2＋23×(12)2＝13；P(X ＝2)＝23×(12)2×2＋13×(12)2＝512，P(X ＝3)＝23×(12)2＝16.因此EX ＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.8．解析：(1)依题意，ξ的可能取值为20,0，－10，ξ的分布列为ξ 20 0 －10 P351515E ξ＝20×35＋0×15＋(－10)×15＝10(万元)．(2)设η表示100万元投资“低碳型”经济项目的收益，则η的分布列为η 30 －20 PabE η＝30a －20b ＝50a －20，依题意要求50a －20≥10，所以35≤a≤1.9．解析：(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ，则P(A)＝2＋350＝110. (2)依题意得，X1的分布列为X1 1 2 3 P125350910X2的分布列为X2 1.8 2.9 P110910(3)由(2)得，EX1＝1×125＋2×350＋3×910＝14350＝2.86(万元)，EX2＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)，因为EX1＞EX2，所以应生产甲品牌轿车．第69讲 随机抽样、用样本估计总体、正态分布1．B 根据系统抽样特点，被抽到号码l ＝10k ＋3，k ∈N ，第353号被抽到，因此第二营区应有16人，所以三个营区被抽中的人数分别为20,16,14，故选B. 2．C 由P(ξ＜4)＝0.8知P(ξ＞4)＝P(ξ＜0)＝0.2， 故P(0＜ξ＜2)＝0.3，故选C.3．B 设时速不低于60 km/h 的汽车数量为n ， 则n200＝(0.028＋0.010)×10＝0.38， 所以n ＝0.38×200＝76.4．A D ξ1＝15[(x －－x1)2＋…＋(x －－x5)2]＝15(x21＋x22＋x23＋x24＋x25)－x －2， D ξ2＝15[(x －－x1＋x22)2＋…＋(x －－x5＋x12)2]＝15[(x1＋x22)2＋…＋(x5＋x12)2]－x －2 ＜15(x21＋x22＋x23＋x24＋x25)－x －2， 所以D ξ1>D ξ2，故选A.5．20 n ＝100×400200＋400＋1400＝20.6．7 将所有数据都减去170，根据平均数的计算公式可得10＋11＋3＋x －2－17＝4，解得x＝7.7.15 落在区间[64.5,66.5)的数据依次为65,66,66,65，共4个，则矩形的高等于频率组距＝41066.5－64.5＝15.8．解析：(1)茎叶图的直观形状像横放的频率分布直方图，且保留了所有原始数据的信息，所以从数与形的特征来看，甲和乙的得分都是对称的，叶的分布是“单峰”的，但甲全部的叶都集中在茎2上，而乙只有57的叶集中在茎2上，这说明甲发挥得更稳定．(2)x －甲＝20＋21＋25＋26＋27＋28＋287＝25，x －乙＝17＋23＋24＋25＋26＋29＋317＝25，s2甲＝17[(20－25)2＋(21－25)2＋(25－25)2＋(26－25)2＋(27－25)2＋(28－25)2＋(28－25)2]≈9.14，s2乙＝17[(17－25)2＋(23－25)2＋(24－25)2＋(25－25)2＋(26－25)2＋(29－25)2＋(31－25)2]≈17.43.因为x －甲＝x －乙，s2甲<s2乙，所以甲发挥得更好． 9．解析：(1)频率分布表及频率分布直方图如下：分组频数 频率 频率组距 [39.95,39.97) 10 0.10 5 [39.97,39.99) 20 0.20 10 [39.99,40.01) 50 0.50 25 [40.01,40.03] 20 0.20 10 合计1001(2)误差不超过0.03 mm ，即直径落在[39.97,40.03]范围内，其概率为0.2＋0.5＋0.2＝0.9. (3)整体数据的平均值约为39.96×0.10＋39.98×0.20＋40.00×0.50＋40.02×0.20≈40.00(mm)．第70讲 变量的相关性、回归分析和独立性检验 1．A 联想残差图知纵坐标为残差，故选A.2．C 由题知斜率的估计值为1.23，排除D ；因为回归直线方程必过样本点的中心(x －，y －)，将点(4,5)代入A 、B 、C 检验可知，选C. 3．D 图形应为散点图，且成带状分布．4．A 由公式可计算K2＝－＋＋＋＋＝－100×100×110×90≈18.18，即P(K2>10.828)＝0.001，所以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”，故选A.5．0.245 x 变为x ＋1，y ＝0.245(x ＋1)＋0.321＝0.245x ＋0.321＋0.245，因此家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.245万元．6．3 由题意可得x －＝3＋4＋5＋64＝92，所以y －＝0.7×92＋0.35＝3.5，所以2.5＋m ＋4＋4.54＝3.5，所以m ＝3. 7．97.5 K2＝204×12－3×125×7×13×15≈5.934＞5.024，所以可以有97.5%的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系． 8．解析：(1)将表中的数据制成散点图，如图：(2)从散点图中发现气温与卖出热茶的杯数近似成线性相关关系． (3)线性回归方程是y ^＝－1.648x ＋57.557.(4)如果某天的气温是－5 ℃，用y ^＝－1.648x ＋57.557预测这天小卖部卖出热茶的杯数约为－1.648×(－5)＋57.557≈66.9．解析：由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计7525100由2×2列联表中数据代入公式计算，得： K2＝n ad －bc 2a ＋cb ＋d a ＋bc ＋d＝100×30×10－45×15275×25×45×55＝10033≈3.030.因为3.030<3.841，所以，没有理由认为“体育迷”与性别有关．。
第4节随机事件的概率与古典概型--2025北师大版高中数学一轮复习课件(新高考新教材)
2025北师大版高中数学一轮复习课件（新高考新教材）第4节 随机事件的概率与古典概型课标解读1.结合具体实例,理解样本点和有限样本空间的含义,理解随机事件与样本点的关系.2.了解随机事件的并、交与互斥的含义,能结合实例进行随机事件的并、交运算.3.理解古典概型,能计算古典概型中简单随机事件的概率.4.理解概率的性质,掌握随机事件概率的运算法则.5.会用频率估计概率.1 强基础 固本增分知识梳理1.样本点和样本空间一般地,将试验E的所有可能结果组成的集合称为试验E的样本空间,记作Ω.样本空间Ω的元素,即试验E的每种可能结果,称为试验E的样本点,记作ω.如果样本空间Ω的样本点的个数是有限的,那么称样本空间Ω为有限样本空间.2.事件的分类确定事件必然事件样本空间Ω是其自身的子集,因此Ω也是一个事件,又因为它包含所有的样本点,每次试验无论哪个样本点ω出现,Ω都必然发生,因此称Ω为必然事件不可能事件空集⌀也是Ω的一个子集,可以看作一个事件.由于它不包含任何样本点,它在每次试验中都不会发生,故称⌀为不可能事件随机事件把样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件微点拨3.事件的关系与运算事件的关系或运算含义符号表示包含事件A发生则事件B一定发生A⊆B并事件(和事件)A与B至少一个发生A∪B或A+B交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B=⌀互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B=⌀,A∪B=Ω事件A的对立事件所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集微点拨定义多个事件的和事件以及积事件.例如,对于三个事件A,B,C,A∪B∪C(或A+B+C)发生当且仅当A,B,C中至少一个发生,A∩B∩C(或AB C)发生当且仅当A,B,C同时发生.4.频率与概率(1)定义在相同条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件A发生的频率通常会在某个常数附近摆动,即随机事件A发生的频率具有稳定性.这时,把这个常数频率叫作随机事件A的概率,记作P(A).显然,0≤P(A)≤1.我们通常用 来估计概率.从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小微点拨理解频数与频率需注意:(1)前提:对于给定的随机事件A,在相同的条件S下重复n次试验,观察事件A 是否出现.(2)频数:指的是n次试验中事件A出现的次数n A.频率:指的是事件A出现的比例f n(A)= .(2)概率的基本性质性质1:对任意的事件A ,都有P (A ) ; 性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P (Ω)= ,P (⌀)= ; 性质3:如果事件A 与事件B 互斥,那么P (A ∪B )= ; 性质4:如果事件A 与事件B 互为对立事件,那么P (B )= ,P (A )= ;性质5:如果A ⊆B ,那么 ,由该性质可得,对于任意事件A ,因为⌀⊆A ⊆Ω,所以0≤P (A )≤1; 性质6:设A ,B 是一个随机试验中的两个事件,有P (A ∪B )= . ≥0 1 0P (A )+P (B ) 1-P (A ) 1-P (B ) P (A )≤P (B ) P (A )+P (B )-P (A ∩B )微思考概率与频率有什么区别?提示(1)概率是一个确定的数,是客观存在的,与试验次数无关,它度量该事件发生的可能性;(2)频率本身是随机的,在试验前不能确定,做同样次数的重复试验得到的事件的频率不一定相同;(3)频率是概率的近似值,在实际问题中,仅当试验次数足够多时,频率可近似地看作概率.判断一个试验是否是古典概型的关键点5.古典概型(1)一般地,若试验E 具有如下特征:①有限性:试验E 的样本空间Ω的样本点 ,即样本空间Ω为有限样本空间; ②等可能性:每次试验中,样本空间Ω的各个样本点出现的可能性 .则称这样的试验模型为古典概率模型,简称古典概型.(2)古典概型的概率公式对古典概型来说,如果样本空间Ω包含的样本点总数为n,随机事件A 包含的样本点个数为m,那么事件A发生的频率为P(A)= = .总数有限 相等常用结论如果事件A1,A2,…,A n两两互斥:(1)事件A1∪A2∪…∪A n发生的概率等于这n个事件分别发生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n).自主诊断√ × × × 题组一基础自测1.思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”).(1)对立事件一定互斥,但互斥事件不一定对立.( )(2)“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其基本事件是“发芽与不发芽”.( )(3)掷一枚硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这三个结果是等可能事件.( )(4)从市场上出售的标准为500±5 g 的袋装食盐中任取一袋测其重量,属于古典概型.( )2.抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A=“第一枚硬币正面朝上”,事件B=“第D二枚硬币反面朝上”.下列结论中正确的是( )A.A与B互为对立事件B.A与B互斥C.A与B相等D.P(A)=P(B)3.先后抛掷一枚质地均匀的骰子2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是 .解析根据题意可得,基本事件总数为6×6=36个,其中点数和为5的有(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)共4个样本点.∴出现向上的点数和为5的概率为4.从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张,设事件A=“抽到红心”,事件B=“抽到方片”,P(A)=P(B)= ,设C=“抽到红花色”,则P(C)= ;设D=“抽到黑花色”,则P(D)= .题组二连线高考5.(2020·全国Ⅰ,文4)设O为正方形AB CD的中心,在O,A,B,C,D中任取3点,则取到的3点共线的概率为( )A解析由题意知一共有10种取法,当选A,O,C和B,O,D时符合要求,故6.(2023·全国乙,文9)某学校举办作文比赛,共设6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为( )A解析甲、乙两位同学各随机抽取一个主题,共有6×6=36种结果,而甲、乙两位同学抽到同一个主题的结果有6种,所以甲、乙两位同学抽到不同主2 研考点 精准突破考点一 随机事件(多考向探究预测)考向1随机事件间关系的判断例1(1)(多选题)对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A={两次都击中飞机},B={两次都没击中飞机},C={恰有一弹击中飞ABD机},D={至少有一弹击中飞机},下列关系正确的有( )A.A⊆DB.B∩D=⌀C.A∪B=B∪DD.A∪C=D解析用(x1,x2)表示试验的射击情况,其中x1表示第1次射击的情况,x2表示第2次射击的情况,1表示击中,0表示没击中,则样本空间Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.由题意得,A={(1,1)},B={(0,0)},C={(0,1),(1,0)},D={(0,1),(1,0),(1,1)}.则A⊆D,A∪C=D,且B∩D=⌀.即A,B,D正确;又B∪D=Ω,A∪B={(0,0),(1,1)}≠Ω,∴A∪B≠B∪D.故C错误.(2)(多选题)(2024·山西朔州高三开学考试)从1,2,3,…,9中任取三个不同的AD 数,则在下述事件中,是互斥但不是对立事件的有( )A.“三个都为偶数”和“三个都为奇数”B.“至少有一个奇数”和“至多有一个奇数”C.“至少有一个奇数”和“三个都为偶数”D.“一个偶数两个奇数”和“两个偶数一个奇数”解析从1~9中任取三个数,按这三个数的奇偶性分类,有四种情况:①三个均为奇数;②两个奇数一个偶数;③一个奇数两个偶数;④三个均为偶数,所以选项A,D是互斥但不是对立事件,选项C是对立事件,选项B不是互斥事件.故选AD.考点一考点二考点三考点四考向2计算简单随机事件的频率与概率例2如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下:所用时间/分钟10~2020~3030~4040~5050~60选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.考点一考点二考点三考点四解(1)由已知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人),用频率估计相应的概率为P= =0.44.(2)选择L1的有60人,选择L2的有40人,故由调查结果得频率为所用时间/分10~2020~3030~4040~5050~60钟L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1考点二考点三考点四(3)设事件A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.结合(2)中表格知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0+0.1+0.4=0.5.∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择L1.同理,P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0+0.1+0.4+0.4=0.9.∵P(B1)<P(B2),∴乙应选择L2.考点一考点二考点三考点四[对点训练1](1)(多选题)某饮料厂商开发了一种新的饮料,为了促销,每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有“一等奖”“二等奖”,其余4瓶印有“谢谢惠顾”.甲从新开的一箱中任选2瓶购买,设事件A表示“甲没有中奖”,事件BBC 表示“甲获得一等奖”,事件C表示“甲中奖”,则( )A.事件A和事件B是对立事件B.事件A和事件C是对立事件C.P(B+C)=P(C)D.P(B C)=P(C)解析因为A∪B表示“甲没有中奖或甲获得一等奖”,但甲还可能获得二等奖,即事件A和事件B不是对立事件,A错误;事件A表示“甲没有中奖”,事件C表示“甲中奖”,则事件A和事件C互斥且和事件为全集,所以事件A和事件C是对立事件,B正确;又因为B⊆C,所以P(B+C)=P(C),C选项正确;P(BC)=P(B),D选项错误.故选BC.(2)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出01234≥5险次数保费/元0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表: 出险次数01234≥5频数605030302010①记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;②记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,求P(B)的估计值;③求续保人本年度平均保费的估计值.解①事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为=0.55,故P(A)的估计值为0.55.②事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为=0.3,故P(B)的估计值为0.3.③由所给数据得保费0.85a a1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a.因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.考点二 互斥事件与对立事件的概率例3某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:(1)P(A),P(B),P(C);(2)1张奖券的中奖概率;(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.(2)1张奖券中奖包含中特等奖或一等奖或二等奖.设“1张奖券中奖”这个事件为M,则M=A∪B∪C.[对点训练2]经统计,在服务场所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下: 排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求:(1)至多2人排队等候的概率是多少?(2)至少3人排队等候的概率是多少?解记“0人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥.(1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=A∪B∪C,所以P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)(方法一)记“至少3人排队等候”为事件H,则H=D∪E∪F,所以P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.(方法二)记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.考点三 古典概型例4(1)(2023·全国甲,文4)某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为( )D解析由题意,设高一年级2名学生为A,B,高二年级2名学生为C,D,从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演有AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6种,这2名学生来自不同年级的组合有AC,AD,BC,BD,共4种,故所求的概率(2)(2024·江西新余模拟)我国购买新能源汽车的家庭越来越多.某学校为方便驾驶新能源汽车的教职工充电,在停车场开展充电桩安装试点.如图,试点区域共有十个车位,安装了三个充电桩,每个充电桩只能给其南、北两侧车位中的一辆新能源汽车充电.现有3辆燃油车和2辆新能源汽车同时随机停入试点区域(停车前所有车位都空置),请问2辆新能源汽车能同时充上电的概率为( )D[对点训练3](1)(2021·全国甲,理10)将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为( )C(2)(2024·山东青岛模拟)将四位数2 024的各个数字打乱顺序重新排列,则所组成的不同的四位数(含原来的四位数)中两个2不相邻的概率为( )A解析将2 024各个数字打乱顺序重新排列所组成的不同四位数(含原来的四位数)的样本点有2 204,2 240,4 220,4 022,2 024,2 420,2 042,2 402,4 202,共9个,其中两个2不相邻的样本点有2 024,2 420,2 042,2 402,4 202,共5个,考点四 古典概型与统计的综合应用例5(2024·陕西铜川模拟)为进一步巩固提升全国文明城市,加速推行垃圾分类制度,某市推出了两套方案,并分别在A,B两个大型居民小区内试行.方案一:进行广泛的宣传活动,向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义,讲解分类垃圾桶的使用方式,垃圾投放时间等,定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动;方案二:在小区内设立智能化分类垃圾桶,智能垃圾桶操作简单,居民可以通过手机进行自动登录、称重、积分等一系列操作,并建立激励机制,比如,垃圾分类换积分兑换礼品等,以激发带动居民参与垃圾分类的热情.经过一段时间试行之后,在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查,记录他们对试行方案的满意度得分(满分100分),将数据分成6组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并整理得到如下频率分布直方图:A 小区 方案一B 小区 方案二(1)请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分,判断哪种方案的垃圾分类推广措施更受居民欢迎(同一组中的数据用该组中间的中点值作代表);(2)以样本频率估计概率,若满意度得分不低于70分认为居民赞成推行此方案,低于70分认为居民不赞成推行此方案,规定小区居民赞成率不低于70%才可在该小区继续推行该方案,判断两小区哪个小区可继续推行方案? (3)根据(2)中结果,从可继续推行方案的小区所抽取100人中再按居民态度是否赞成,用分层随机抽样的方法抽取8人样本作为代表团,从代表团中选取两人做汇总发言,求至少有一个不赞成的居民被选到发言的概率.(2)由题意可知:方案一中,满意度得分不低于70的频率为(0.031+0.021+0.010)×10=0.62,以频率估计概率,赞成率为62%<70%;B小区即方案二中,满意度不低于70分的频率为(0.020+0.032+0.023)×10=0.75,以频率估计概率,赞成率为75%>70%.∴B 小区可继续推行方案二.(3)由(2)中结果,在B小区不赞成25人中抽取8×25%=2人,赞成的75人中取8×75%=6人,组成代表团,设至少有一个不赞成居民做汇总发言的概率为P.记不赞成的两人为a,b,赞成的6人为1,2,3,4,5,6,从中任选两人,则有以下情况:ab,a1,a2,a3,a4,a5,a6,b1,b2,b3,b4,b5,b6,12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36, 45,46,56,共28种,其中至少有一个不赞成的居民被选到发言的有。
【学海导航】高考数学第一轮总复习第63讲古典概型与几何概型课件文(湖南专版)
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【解析】任选两人为志愿者的基本结果有： (甲，乙)、(甲，丙)、(乙，丙)，共 3 种，所以甲、 1 乙均被选中的概率是 P＝ ，故选 B. 3
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2.同时抛掷两枚质地均匀的的硬币，出现两个正面朝上 的概率是( 1 A. 3 1 C. 2 ) 1 B. 4 3 D. 4
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【解析】所有的基本事件是：(正，正)，(正，反)， 1 (反，正)，(反，反)，共 4 种，因此所求概率 P＝ ，故 4 选 B.
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|p|≤1 4.设点 M(p，q)随机分布在 构成 |q|≤1
1 的区域内，则点 M(p，q)落在圆 p ＋q ＝ 外的 2
2 2
π 概率为 1－ . 8
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圆面积 【解析】所求概率 P＝1－ 正方形面积 1 π× 2 π ＝1－ ＝1－ . 8 2×2
|p|≤1 易错点： 构成的区域误认为边长是 1 的 |q|≤1
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2．古典概型 把具有下列两个特征的概率模型称为古典概型：
1 试验的所有可能结果(基本事件)只有② __________ ，
每次试验只出现其中的③ __________ ；
2 每一个试验结果出现的可能性相等．
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3．古典概型的概率计算公式 对于古典概型，若试验的所有基本事件数为n，随机 事件A包含的基本事件数为m，则事件A的概率为P A ＝④ __________________ . 4．几何概型 如果事件A发生的概率只与构成该事件区域的 长度(面积、体积)成比例，则称这样的概率模型 为为⑤ ____________ .
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【解析】如图，由 0≤f(x)≤1 可知曲线 y＝f(x)与 直线 x＝0，x＝1，y＝0 围成了一个曲边梯形．又产生 的随机数对在如图所示的正方形内，正方形的面积为 1， 共有 N 对数， 即有 N 个点， 且满足 yi≤f(xi)(i＝1,2， „， N)的有 N1 个点， 即在函数 f(x)图象上及下方有 N1 个点， 所以由几何概型的概率公式得：曲线 y＝f(x)与 x＝0， N1 N1 x＝1，y＝0 围成的面积为 ×1＝ . N N
北师大版版高考数学一轮复习计数原理概率随机变量及其分布随机事件的概率古典概型与几何概型教学案理解析版
[考纲传真] １．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别.２．了解两个互斥事件的概率加法公式.３．理解古典概型及其概率计算公式.４．会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.５．了解随机数的意义，能运用随机模拟的方法估计概率.6．了解几何概型的意义．１．频率与概率在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时，我们把这个常数叫作随机事件A的概率，记作P（A）．２．事件的关系与运算互斥事件：在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件．事件A＋B：事件A＋B发生是指事件A和事件B至少有一个发生．对立事件：不会同时发生，并且一定有一个发生的事件是相互对立事件．３．概率的几个基本性质（１）概率的取值范围：0≤P（A）≤１.（２）必然事件的概率P（E）＝１.（３）不可能事件的概率P（F）＝0.（４）互斥事件概率的加法公式１如果事件A与事件B互斥，则P（A＋B）＝P（A）＋P（B）．２若事件A与事件错误!互为对立事件，则P（A）＝１—P（错误!）．４．古典概型与几何概型名称古典概型几何概型相同点基本事件发生的可能性相等不同点基本事件有有限个基本事件有无限个计算公式P（A）＝P（A）＝.如果事件A１，A２，…，A n两两互斥，则称这n个事件互斥，其概率有如下公式：P（A１∪A２∪…∪A n）＝P（A１）＋P（A２）＋…＋P（A n）．[基础自测]１．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．（）（２）在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值．（）（３）对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．（）（４）概率为0的事件一定为不可能事件．（）[答案] （１）√（２）√（３）√（４）×２．某射手在同一条件下进行射击，结果如下：射击次数１0２0５0１00２00５00击中靶心次数8１9４４9２１78４５５Ａ．0．80 Ｂ．0．8５Ｃ．0．90 Ｄ．0．99C[由题意，该射手击中靶心的频率大约在0．9附近上下波动，故其概率约为0．90．故选Ｃ．]３．（教材改编）投掷两枚均匀的硬币，则两枚硬币均正面朝上的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!A[P＝错误!×错误!＝错误!，故选Ａ．]４．（教材改编）有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（）A[P（A）＝错误!，P（B）＝错误!，P（C）＝错误!，P（D）＝错误!，∴P（A）>P（C）＝P（D）>P（B）．]５．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．A与B，A与C，B与C，B与D B与D[设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A∩B ＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，B∩D＝∅，故A与B，A与C，B与C，B与D为互斥事件．而B∩D＝∅，B∪D ＝I，故B与D互为对立事件．]随机事件的频率与概率【例１】（２0１7·全国卷Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶４元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶２元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于２５，需求量为５00瓶；如果最高气温位于区间[２0,２５），需求量为３00瓶；如果最高气温低于２0，需求量为２00瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[１0,１５）[１５,２0）[２0,２５）[２５,３0）[３0,３５）[３５,４0）天数２１6３6２５7４（１）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过３00瓶的概率；（２）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量为４５0瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．[解] （１）这种酸奶一天的需求量不超过３00瓶，当且仅当最高气温低于２５，由表格数据知，最高气温低于２５的频率为错误!＝0．6，所以这种酸奶一天的需求量不超过３00瓶的概率的估计值为0．6．（２）当这种酸奶一天的进货量为４５0瓶时，若最高气温不低于２５，则Y＝6×４５0—４×４５0＝900；若最高气温位于区间[２0,２５），则Y＝6×３00＋２×（４５0—３00）—４×４５0＝３00；若最高气温低于２0，则Y＝6×２00＋２×（４５0—２00）—４×４５0＝—１00．所以，Y的所有可能值为900,３00，—１00．Y大于零当且仅当最高气温不低于２0，由表格数据知，最高气温不低于２0的频率为错误!＝0．8，因此Y大于零的概率的估计值为0．8．[规律方法] （１）概率与频率的关系概率是常数，是频率的稳定值，频率是变量，是概率的近似值．有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．（２）随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．易错警示：概率的定义是求一个事件概率的基本方法．利润５0元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件退回商品亏损１0元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获得利润３0元．（１）若商店一天购进该商品１0件，求当天的利润y（单位：元）关于当天的需求量n（单位：件，n∈N*）的函数解析式；（２）商店记录了５0天该商品的日需求量n（单位：件），整理得下表：日需求量n/件89１0１１１２频数9１１１５１0５（ⅱ）若商店一天购进１0件该商品，以５0天记录的各日需求量的频率作为各日需求量的概率，求当天的利润大于５00元的概率．[解] （１）当日需求量n≥１0时，利润y＝５0×１0＋（n—１0）×３0＝３0n＋２00；当日需求量n＜１0时，利润y＝５0×n—（１0—n）×１0＝60n—１00．所以日利润y关于日需求量n的函数解析式为y＝错误!（２）（ⅰ）由（１）及表格可知，这５0天中有9天的日利润为３80元，有１１天的日利润为４４0元，有１５天的日利润为５00元，有１0天的日利润为５３0元，有５天的日利润为５60元，所以这５0天的日利润的平均数为错误!×（３80×9＋４４0×１１＋５00×１５＋５３0×１0＋５60×５）＝４77．２（元）．（ⅱ）若当天的利润大于５00元，则日需求量大于１0件，则当天的利润大于５00元的概率P＝错误!＝错误!.古典概型【例２】（１）（２0１8·全国卷Ⅱ）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于２的偶数可以表示为两个素数的和”，如３0＝7＋２３．在不超过３0的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于３0的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）（２0１7·全国卷Ⅱ）从分别写有１,２,３,４,５的５张卡片中随机抽取１张，放回后再随机抽取１张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（１）C（２）D[（１）不超过３0的素数有２,３,５,7,１１,１３,１7,１9,２３,２9，共１0个，从中随机选取两个不同的数有C错误!种不同的取法，这１0个数中两个不同的数的和等于３0的有３对，所以所求概率P＝错误!＝错误!，故选Ｃ．（２）从５张卡片中随机抽取１张，放回后再随机抽取１张的情况如图：基本事件总数为２５，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为１0，∴所求概率P＝错误!＝错误!.故选Ｄ．][规律方法] １．计算古典概型事件的概率可分三步：（１）计算基本事件总个数n；（２）计算事件A所包含的基本事件的个数m；（３）代入公式求出概率P.２．（１）用列举法写出所有基本事件时，可借助“树状图”列举，以便做到不重、不漏．（２）利用排列、组合计算基本事件时，一定要分清是否有序，并重视两个计数原理的灵活应用．每个小盒中至少有１个小球，那么甲盒中恰好有３个小球的概率为（）Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）（２0１8·石家庄一模）用１,２,３,４,５组成无重复数字的五位数，若用a１，a２，a３，a４，a分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位，则出现a１＜a２＜a３＞a４＞a５特征的五位数的概率５为________．（１）C（２）错误![（１）将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁４个不同的小盒中，每个小盒中至少有１个小球有C错误!种放法，甲盒中恰好有３个小球有C错误!种放法，结合古典概型的概率计算公式得所求概率为错误!＝错误!.故选Ｃ．（２）１,２,３,４,５可组成A错误!＝１２0个不同的五位数，其中满足题目条件的五位数中，最大的５必须排在中间，左、右各两个数字只要选出，则排列位置就随之而定，满足条件的五位数有C错误!C 错误!＝6个，故出现a１＜a２＜a３＞a４＞a５特征的五位数的概率为错误!＝错误!.]几何概型【例３】（１）（２0１6·全国卷Ⅰ）某公司的班车在7：３0,8：00,8：３0发车，小明在7：５0至8：３0之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过１0分钟的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）（２0１8·合肥二模）小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午５：00到6：00之间送货上门，已知小李下班到家的时间在下午５：３0到6：00之间．快递员到小李家时，如果小李未到家，则快递员会电话联系小李．若小李能在１0分钟之内到家，则快递员等小李回来；否则，就将商品存放在快递柜中．则小李需要去快递柜领取商品的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!（３）已知在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝AB＝２，现在该四棱锥内部或表面任取一点O，则四棱锥OABCD的体积不小于错误!的概率为________．（１）B（２）D（３）错误![（１）这是几何概型问题，总的基本事件空间如图所示，共４0分钟，等车时间不超过１0分钟的时间段为：7：５0至8：00和8：２0至8：３0，共２0分钟，故他等车时间不超过１0分钟的概率为错误!＝错误!，故选Ｂ．（２）如图，设快递员和小李分别在下午５点后过了x分钟和y分钟到小李家，则所有结果构成的区域为{（x，y）|0≤x≤60,３0≤y≤60}，这是一个矩形区域，y—x＞１0表示小李比快递员晚到超过１0分钟，事件M表示小李需要去快递柜领取商品，其所构成的区域是如图所示的直角梯形ABCD的内部区域及边界（不包含AB），由错误!可得错误!即A（５0,60），由错误!可得错误!即B（２0,３0），所以由几何概型的概率计算公式可知P（M）＝错误!＝错误!，故选Ｄ．（３）当四棱锥OABCD的体积为错误!时，设O到平面ABCD的距离为h，则错误!×２２×h＝错误!，解得h＝错误!.如图所示，在四棱锥PABCD内作平面EFGH平行于底面ABCD，且平面EFGH与底面ABCD的距离为错误!.因为PA⊥底面ABCD，且PA＝２，所以错误!＝错误!，所以四棱锥OABCD的体积不小于错误!的概率P＝错误!＝错误!３＝错误!３＝错误!.][规律方法] 解答几何概型试题要善于根据题目特点寻找基本事件所在线、面、体，寻找随机事件所在的线、面、体，把几何概型的计算转化为相应的长度、面积和体积的比值的计算．（１）在线段上取点，则点在线段上等可能出现；在角内作射线，则射线在角内的分布等可能．（２）两个变量在某个范围内取值，对应的“区域”是面积．（１）随机地取两个实数x和y，使得x∈[—１,１]，y∈[0,１]，则满足y≥x２的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）如图所示，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与AB交于点M，则AM＜AC的概率为________．（１）B（２）错误![（１）满足x∈[—１,１]，y∈[0,１]的区域为矩形区域（包括边界）（图略），面积为２，满足y≥x２的区域的面积S＝错误!—１（１—x２）dx＝错误!|错误!＝错误!，故所求概率P＝错误!＝错误!.故选Ｂ．（２）在AB上取AC′＝AC（图略），则∠ACC′＝错误!＝67．５°，记A＝{在∠ACB内部任作一射线CM与线段AB交于点M，AM＜AC}，则所有可能结果的区域为∠ACB，事件A构成的区域为∠ACC′.又∠ACB＝90°，∠ACC′＝67．５°，∴P（A）＝错误!＝错误!.]１．（２0１8·全国卷Ⅰ）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AＣ．△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p１，p２，p３，则（）Ａ．p１＝p２Ｂ．p１＝p３Ｃ．p２＝p３Ｄ．p１＝p２＋p３A[设直角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则区域Ⅰ的面积即△ABC的面积，为S １＝错误!bc ，区域Ⅱ的面积S ２＝错误!π×错误!２＋错误!π×错误!２—错误!＝错误!π（c ２＋b ２—a ２）＋错误!bc ＝错误!bc ，所以S １＝S ２，由几何概型的知识知p １＝p ２，故选Ａ．]２．（２0１7·全国卷Ⅰ）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）Ａ．错误!Ｂ．错误! Ｃ．错误! Ｄ．错误!B [不妨设正方形ABCD 的边长为２，则正方形内切圆的半径为１，可得S 正方形＝４．由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝错误!S 圆＝错误!，所以由几何概型知所求概率P ＝错误!＝错误!＝错误!.故选Ｂ．]３．（２0１6·全国卷Ⅱ）从区间[0,１]随机抽取２n 个数x １，x ２，…，x n ，y １，y ２，…，y n ，构成n 个数对（x １，y １），（x ２，y ２），…，（x n ，y n ），其中两数的平方和小于１的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ）Ａ．错误!Ｂ．错误! Ｃ．错误! Ｄ．错误!C [因为x １，x ２，…，x n ，y １，y ２，…，y n 都在区间[0,１]内随机抽取，所以构成的n 个数对（x １，y １），（x ２，y ２），…，（x n ，y n ）都在正方形OABC 内（包括边界），如图所示．若两数的平方和小于１，则对应的数对在扇形OAC 内（不包括扇形圆弧上的点所对应的数对），故在扇形OAC 内的数对有m 个．用随机模拟的方法可得错误!＝错误!，即错误!＝错误!，所以π＝错误!.]４．（２0１４·全国卷Ⅰ）４位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ）Ａ．错误!Ｂ．错误! Ｃ．错误! Ｄ．错误!D [４名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有２４＝１6（种），其中仅在周六（周日）参加的各有１种，∴所求概率为１—错误!＝错误!.]。
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第66讲随机事件的概率、古典概型与几何概型
1.
A．0. 92 B．0.94
C．0.95 D．0.96
2.两位大学毕业生一起去一家单位应聘，面试前单位负责人对他们说：“我们要从面
试的人中招聘3人，你们俩同时被招聘进来的概率是1
70
”，根据这位负责人的话可以推断出
参加面试的人数为( )
A．21 B．35
C．42 D．706
3.甲、乙两人随机入住两间空房，每间房至多可入住2人，则甲、乙两人各住一间房的概率是( )
A.1
3
B.
1
4
C.1
2
D．1
4.5张卡片上分别标有数字1，2，3，4，5，从这5张卡片中随机抽取2张，则取出
的2张卡片上数字之和为奇数的概率为________．
5.在半径为3的球内随机取一个点，则这个点到球面的距离大于1的概率为________．
6.(2012·上海卷)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两个选择的项目完全相同的概率为____________(结果用最简分数表示)．
7.设函数f(x)＝log2[x2－2(a－1)x＋b2]的定义域为D.
(1)若a是从1、2、3、4四个数中任取的一个数，b是从1、2、3三个数中任取一个数，求使D＝R的概率；
(2)若a是从区间[0，4]任取的一个数，b是从区间[0，3]任取的一个数，求使D＝R的概率．
8.(2012·辽宁卷)在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为( )
A.1
6
B.
1
3
C.2
3
D.
4
5
9.如图，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y＝x2和曲线y2＝x围成一个叶形图
(阴影部分)，向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的)，
则所投的点落在叶形图内部的概率是________．
10.先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b.
(1)求直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切的概率；
(2)将a，b，5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成不同的等腰三角形的概率．
第66讲
1．C 2.A 3.C 4.35 5.827 6.23
7．解析：(1)定义域D ＝{x |x 2－2(a －1)x ＋b 2>0}．
将取的数组记作(a ，b )，共有4×3＝12种可能．
要使D ＝R ，则Δ＝4(a －1)2－4b 2<0，
即|a －1|<|b |.
满足条件的有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，2)，(2，3)，(3，3)，共6个基本事件，
所以P (D ＝R )＝612＝12.
(2)全部试验结果Ω＝{(a ，b )|a ∈[0，4]，b ∈[0，3]}，
事件A ＝{D ＝R }对应区域为A ＝{(a ，b )||a －1|<|b |}，
则P (A )＝S 阴影S Ω
＝3×4－12×1×1－12×3×33×4＝712
， 故使D ＝R 的概率为712
. 8．C 解析：设线段AC 的长为 x cm ，则线段CB 的长为(12－x )cm ，那么矩形的面积为
x (12－x )cm 2，
由x (12－x )＜32，解得x ＜4或x ＞8.又0＜x ＜12，
所以该矩形面积小于32 cm 2的概率为23
，故选C. 9.13 解析：阴影部分的面积S 1＝⎠⎛0
1(x －x 2)d x ＝(23x 32－13x 3)|01＝13，而正方形AOBC 的面积为1，故所求的概率为13
. 10．解析：(1)先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a ，b ，事件总数为6×6＝36.
因为直线ax ＋by ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝1相切的充要条件是5a 2＋b
2＝1，即a 2＋b 2＝25， 由于a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，
所以满足条件的情况只有a ＝3，b ＝4或a ＝4，b ＝3两种情况．
所以直线ax ＋by ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝1相切的概率是236＝118
. (2)先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a ，b ，事件总数为6×6＝36. 因为三角形的一边长为5，
所以当a ＝1时，b ＝5，有(1，5，5)1种；
当a ＝2时，b ＝5，有(2，5，5)1种；
当a ＝3时，b ＝3，5，有(3，3，5)，(3，5，5)2种；
当a ＝4时，b ＝4，5，有(4，4，5)，(4，5，5)2种；
当a ＝5时，b ＝1，2，3，4，5，6，有(5，1，5)，(5，2，5)，(5，3，5)，(5，4，5)，(5，5，5)，(5，6，5)6种；
当a ＝6时，b ＝5，6，有(6，5，5)，(6，6，5)2种． 故满足条件的不同情况共有14种．
从而三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为1436＝718
.。