高中数学：函数与方程思想在解题中的应用
高中数学解题的“尚方宝剑”
高中数学解题的“尚方宝剑”作者：姚圣海来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2011年第05期函数与方程的思想是指在解决某些数学问题时，构造适当的函数与方程，把问题转化为研究辅助函数与辅助方程性质的思想.就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决.函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点.一、题型归纳（1）函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0.函数问题（例如求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y ＝f(x)的零点.（2）函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式.（3）数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要.二、研究应用例1：已知关于x的方程x2－(2m－8)x+m2－16=0的两个实根x1，x2满足 x1＜32＜x2，求实数m的取值范围.解析：方程的根可以转化为函数f(x)=x2－(2m－8)x+m2－16的零点.通过研究函数的图象，可知要满足x1＜32＜x2，只需f(32)从而解得{m|－12评注：本题采用把方程的根转化为函数的零点问题，通过研究二次函数的零点的分步问题，使解题简单化.例2：设不等式2x－1>m(x2－1)对满足|m|≤2的一切实数m恒成立，求实数x的取值范围.解析：此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式进行分类讨论.然而，若变换一个角度以m为主元，记f(m)=(x2－1)m－(2x－1)，则问题转化为求一次函数（或常数函数）f(m)的值在区间内恒负时参数x应该满足的条件.要使f(m)即－2(x2－1)－(2x－1)从而解得x∈(7－12，3+12).评注：本例采用变更主元法，化繁为简，再巧用函数图象的特征（一条线段），解法易懂易做.如何从一个含有多个变元的数学问题里，选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系，有时便成了数学问题能否“明朗化”的关键所在.例3：设f(x)=lg1+2x+4xa3，其中a∈R，如果当x∈(－∞，1〗时，f(x)有意义，求a的取值范围.解析：二次函数及图象、二次不等式、二次方程三者是紧密联系的，许多问题都可以利用它们来解决，只要进行合理的转化就可以了.可知1+2x+4xa>0，即a>－14)x+(12)x〗当x∈(-∞,1〗时恒成立.而(14)x、(12)x都是减函数，则g(x)=－14)x+(12)x〗在(－∞，1〗上是增函数.故当x＝1时，g(x)取得最大值是g(1)=－(14+12)=－34，从而得a的取值范围是a>－34.评注：本例采用分离参数法，再构造函数，使不等式恒成立问题，转化为函数的最值问题，方向明确，解法简捷.在数学各分支中若遇到有关不等式、方程及最值之类的问题，利用函数观点加以分析，常可使问题变得明了，从而易于找到一种适当的解题途径.这充分体现了方程思想和函数思想的实用性和重要性.例4：设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3=12，S12>0，S13（1）求公差d的取值范围；（2）指出S1、S2、S3…，S12中哪一个最大，并说明理由.解析：（1）由a3=12得：a1=12－2d，∵S12＝12a1+44d=144+42d>0,S13＝13a1+78d=156+52d∴－247（2）S n=na1+n(n－1)2d=12dn2+(12－52d)n.∵d∵－247∴当n＝6时，S n最大.评注：数列的通项及前n项的和是自变量为正整数的函数.本题中数列的和的问题转化为二次函数的最值问题，通过研究二次函数的性质解决，简单快捷.例5：设a，b∈R，且a3－3a2+5a=1，b3－3b2+5b=5，求a＋b的值.解析：由已知两式结构的相似性，联想到相应函数f(x)=x3－3x2+5x=(x－1)3+2(x－1)+3令x－1=u，则g(u)=u3+2u是奇函数，且是增函数.这样，已知是f(a)=g(a－1)+3=1，f(b)=g(b－1)+3=5，得g(a－1)=－2，g(b－1)=2，则有g(a－1)=－g(b－1)=g(1－b),从而a－1=1－b，所以a+b=2.评注：本例由已知式构造函数，再巧用奇偶性和单调性，解法奇妙.选取变元，构造函数关系来解决数学问题，这是运用函数思想解题的较高层次，只有平时多加训练并注意积累，才能做到运用自如.例6：如果函数y=ax+bx2+1的最大值是4，最小值是－1，求实数a、b的值.解析：由y的最大值是4，知存在实数x使ax2+bx2+1＝4，即方程4x2－ax+4－b=0有实根，故有Δ1=a2－16(4－b)≥0.又由y的最大值是4，知对任意实数x恒有ax+bx2+1≤4，即4x2－ax+4－b≥0恒成立，故Δ1=a2－16(4－b)≤0，从而Δ1=a2－16(4－b)=0.同理由y的最小值是－1，可得Δ2=a2－4(1+b)=0，由Δ1=0Δ2=0，可解得a=±4b=3.评注：本例解法中，对题设中给出的最值，一方面认为是方程的实数解，另一方面又认为是不等式的恒成立条件.由于对题设条件的理解深刻，所以构思新颖，证法严谨.例7：△ABC的三边a，b，c满足b＝8－c，a2－bc－12a+52=0，试确定△ABC的形状.解析：因为b＋c＝8，bc=a2－12a+52，所以b，c是方程t2－8t+a2－12a+52=0的两实根，即－4(a－6)2≥0，所以a＝6.从而得b＝c＝4，因此△ABC是等腰三角形.评注：构建一元二次方程的模型解决数学问题，是一种行之有效的手段，其独特功能在于充分运用构建的一元二次方程及根的判别式和求根公式变更命题，从而使问题获得圆满解决.例8：设函数f(x)=2x3－3(a+1)x2+6ax+8，其中a≥0.（1）若f(x)在x＝3处取得极值，求常数a的值；（2）若f(x)在(－∞，0)上为增函数，求a的取值范围.解析：（1）f′(x)=6x2－6(a+1)x+6a=6(x－a)(x－1),因f(x)在x＝3时取得极值，所以f′(3)=6(3－a)(3－1)=0,解得a＝3,经检验知当a＝3时，x＝3为f(x)的极值点.（2）令f′(x)=6(x－a)(x－1)＝0,得x1=a，x2=1.当a＜1时，若x∈(－∞，a)∪(1，+∞)，则f′（x）＞0，所以f(x)在（－∞，a）和（1，＋∞）上为增函数，故当0≤a当a≥1时，若x∈(－∞，1)∪(a，+∞)，则f′(x)>0，所以f(x)在（－∞，1）和（a，＋∞）上为增函数，从而f(x)在（－∞，0〗上也为增函数.综上所述，当a∈评注：三次函数在求导之后，导函数成为二次函数，而二次函数、二次不等式、二次方程三者之间是相互依存的，利用它们可以将问题进行转化，使二次方程的解与函数的极值相关，二次不等式的解与函数的单调性相关.例9：设a为实数，函数f(x)=2x2+(x－a)|x－a|.（1）若f(0)≥1，求a的取值范围；（2）求f(x)的最小值；解析：（1）因为f(0)=－a|－a|≥1，所以－a>0,即a由a2≥1知a≤－1，因此，a的取值范围为(－∞,－1〗.（2）记f(x)的最小值为g(a)，则有f(x)=2x2+(x－a)|x－a|=3(x－a3)2+2a23,x>a(x+a)2－2a2,x≤a当a≥0时，f(－a)=－2a2,由上式可知，f(x)≥－2a2,此时g(a)=－2a 2.当a若x>a,则由第一式知f(x)≥23a2；若x≤a,则x+a≤2a综上所述，g(a)=2a23,a评注：本题是2009年江苏省高考数学卷的第20题，主要考察函数的概念、性质、图像及解余元二次不等式等基础知识，考察灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力. 不等式与函数等既是知识的结合点，又是知识与方法的交汇点，因而在历年高考中始终是重点.例10：设f(x)是定义在区间(1,+∞)的函数，其导函数为f′(x). 如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x∈(1,+∞)都有h(x)>0，使得f′(x)=h(x)(x2－ax+1)，则称函数f(x)具有性质P(a).（1）设函数f(x)=ln x+b+2x+1(x>1)，其中b为实数.①求证：函数f(x)具有性质P(b)；②求函数f(x)的单调区间.（2）已知函数g(x)具有性质P(2)，给定x1,x2∈(1,+∞),x11,β>1.若|g(α)－g(β)|解析：（1）①由f(x)=ln x+b+2x+1,得f′(x)=x2－bx+1x(x+1)2∵x>1时，h(x)=1x(x+1)2>0.∴函数f(x)具有性质P(b).②当b≤2时,由x>1得x2－bx+1≥x2－2x+1=(x－1)2>0,∴f′(x)>0，从而函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增.当b>2时，解方程x2－bx+1=0得x1=b－b2－42,x2=b+b2－42,∵x1=b－b2－42=2b+b2－41,所以当x∈(1,x2)时，f′(x)0；当x=x2，f′(x)=0.从而函数f(x)在区间(1,x2)上单调递减，在区间(x2,+∞)上单调递增.综上所述，当b≤2时，函数f(x)的单调增区间为(1,+∞)；当b>2时，函数f(x)的单调减区间为(1,b+b2－42),单调增区间是(b+b2－42,+∞).（2）由题设知，g(x)的导函数g′(x)=h(x)(x2－2x+1)，其中函数h(x)>0对于任意的x∈(1,+∞)都成立. 所以，当x>1时，g′(x)=h(x)(x－1)2>0.从而g(x)在区间(1,+∞)上单调递增.①当m∈(0,1)时，有α=mx1+(1－m)x2>mx1+(1－m)x1=x1,α所以由g(x)的单调性知g(α),g(β)∈(g(x1),g(x2))，从而有|g(α)－g(β)|②当m≤0时，α=mx1+(1－m)x2≥mx2+(1－m)x2=x2,β=(1－m)x1+mx2≤(1－m)x1+mx1=x1,于是由α>1,β>1及g(x)的单调性知g(β)≤g(x1)所以|g(α)－g(β)|≥|g(x1)－g(x2)|，与题设不符.③当m≥1时，同理可得α≤x1,β≥x2,进而得|g(α)－g(β)|≥|g(x1)－g(x2)|，与题设不符.因此，综合①②③得，所求的m的取值范围为(0,1).评注：本题是2010年江苏省高考数学卷的第20题，考察函数、不等式综合问题，同例8，方程的解与函数的极值相关，不等式的解集与函数的单调性相关.总之，函数与方程涉及的知识点多、面广，函数与方程的思想方法是中学数学中十分重要的一种思想和方法，也是高考中考查的重点.因此，我们要重视和学会运用这一方法去分析问题、转化问题和解决问题，强化函数与方程的思想方法的应用意识和基本训练，以适应高考新的变化和要求.（作者：姚圣海，江苏省苏州第十中学）。
函数与方程思想在解题中的运用
函数与方程思想在解题中的运用函数与方程思想是中学数学最重要的基本思想,也是高考考查的重点.函数与方程思想既是两种思想本身的体现,也是两种思想综合运用的体现,二者密不可分.函数与方程思想也体现了动与静、常量与变量之间的辩证关系,是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想.函数是高中数学的一条主线,函数与方程思想运用几乎在高中各章节知识中都有体现,本文就这种数学思想在解题中的作用作一个较为详细的介绍.一、运用函数与方程思想处理函数、方程与不等式问题函数与方程虽是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系.方程f (x)=0的解就是函数y=f (x)的图像与x轴的交点的横坐标,函数y=f (x)本身就是一个二元方程f (x)-y=0,于是,函数问题与方程问题可以相互转化来求解.函数与不等式也可以相互转化,对于函数y=f (x),当时y>0,就转化为不等式f (x)>0,借助于函数图像与性质解决有关问题,而研究函数的性质,也离不开解不等式.故它们三者之间关系紧密,解决此类问题的关键是深刻理解三者的意义,熟练掌握三者之间的转化关系.例1 已知函数f (x)=x2-x2+2x+1,且x1,x2是f(x)的两个极值点,003(2)x1-x2==,由根与系数的关系可知:x1+x2=a,x1x2=2,∴x1-x2=>1 ,由不等式恒成立问题可知:1≥m2-2bm-2对b∈-1,1恒成立.令g(b)=-2mb+m2-3,则当b∈-1,1时,g(b)≤0恒成立,∴g(-1)=m2+2m-3≤0,g(1)=m2-2m-3≤0-1f (x3)-x3,∴0三、运用函数与方程思想处理数列问题数列是一种特殊的函数,数列的通项公式和前n项和公式都可以看成n的函数.纵观近几年的高考题,在客观题中,突出“小、巧、活”的特点,解答题以中等以上难度的综合题目为主,涉及函数、方程、不等式的综合内容.在数列问题时,要切实注意运用函数观点来分析、解决有关数列的最值、单调性等问题,运用方程的思想来解决有关的计算问题.例5 设等差数列{an}的前n项和Sn,若a1>0,S4=S8,则当Sn取得最大值时,求n的值.解析(法一)由S4=S8,得d=-a10,a7+-=0,所以f(n)是单调递增的数列,故f(n)的最小值为f(2)=.(3)∵b=,∴Sn=1+++…+,∴Sn-1=++…+,又S1+S2+…Sn-1=+++…+=(n+++…+)-(n-1)=(++…++).假设存在整式g(n),使得S1+S2+…+Sn-1=(Sn-1)g(n)成立, 则g(n)==n,满足题目要求,故存在g(n)=n.点评数列其实就是关于正整数n的离散型函数,数列求最值的方法与函数最值的求法类似.此题问(2)先证数列是单调递增的,再利用单调性求数列最值,这是数列不等式证明中常用到的一种方法.问(3)是一个探究性问题,需要将左边和式朝着右边逐步变形,最终消除等式两边的差异,思维难度较大.四、运用函数与方程思想处理立体几何中的最值问题方程思想在立体几何中主要体现在,根据具体图形列方程(组)求角,求距离,求面积,求体积等.而当图形中涉及运动变化、不确定量时,往往要通过函数关系把这种数量关系表示出来,并加以研究,从而使问题获得解决,运用函数与方程思想在处理这类问题时非常有效.例7 已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,B1B1=BC=2,AC=2,点P是线段B1C上任意一点,求线段AP+C1P的最小值.解析连接AB1,在Rt△ACB中,AB==2,Rt△ABB1中,AB1==,在△ACB1中,AC=2,B1C=4,∴AC2+B1C2=AB12∠ACB1=90°.设CP=x,∴在Rt △ACP中,AP=,在△CC1P中,∠CC1P=45°,由余弦定理有C1P==,∴AP+C1P=+=+.此式可以看作是点(x,y)到点(2,2)及(0,-2)的距离之和.由数形结合可知:当三点在一条直线上时距离之和最小,即(AP+C1P)min==2为所求.点评本题是较常见的距离和的最值问题,如直接利用几何知识难以求解,需要借助函数建模,而最终又需要数形结合来完成求解.此题可谓构思巧妙、环环相扣,综合运用了几何、三角和函数等知识,能力要求较高.五、运用函数与方程思想处理圆锥曲线问题圆锥曲线问题中,常见的是利用几何性质列方程(组)求圆锥曲线的方程、离心率等.而涉及直线和圆锥曲线的位置关系问题时,一般需要通过解二元方程组,将其转化为一元二次方程,然后用根的判别式或根与系数的关系解题.此类问题对运算求解能力、推理论证能力要求较高,但同时它有一定的规律可循,因为它与函数方程思想有着紧密的联系,考生可以往这方面思考.例8 已知椭圆+=1(a>b>0)与直线x+y-1=0相交于A、B两点,且OA⊥OB(O坐标原点).(1)求+的值; (2)若椭圆长轴长2a的取值范围是[,],求椭圆离心率e的取值范围.解析(1)联立方程组:x+y-1=0,+=1(a2+b2)x2-2a2x-a2(1-b2)=0……(*)设A(x1,y1),B(x2,y2)则x1+x2=,x1x2=,而y1y2=(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+x1x2=.又∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,∴+=0,∴a2+b2=2a2b2+=2……①经检验,方程(*)△=4a4(2b4-2b2+1)>0有解,故+=2.(2) 将b2=a2-c2,e=代入①,得2-e2=2a2(1-e2),∴e2==1-,而2a∈[,],由不等式的性质,得≤e2≤,而00.责任编校徐国坚。
浅谈函数思想在高中数学解题中的应用
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(三 )函 数 思 想 在 高 中 数 学 数 列 中 的 应 用 对 于 高 中 数 学 而 言,数 列 算 是 一 种 特 殊 函 数,可 以 将 其 看成方程 或 者 是 方 程 组,也 就 是 函 数 解 析 式. 对 于 数 列 而 言,其主旨指 的 是 通 过 自 变 量 得 到 离 散 数 值 的 一 种 特 殊 函 数.所以,在对数列 问 题 进 行 解 答 时,可 以 合 理 应 用 函 数 性 质以及函数模式,进 而 增 强 学 生 对 数 列 含 义、等 差 数 列 单 调 性以及等比数列中的通项和中项等 的 理 解. 比 如:在 等 差 数 列{bn }中,d＝bn －bp/n－p,公差d 的几何意义 在 于 坐 标 中 表明这个等差数列的每一项点所处 直 线 的 斜 率. 再 比 如,对 于等差数列的求和公式:Sn ＝ (a１＋an )n/２,在 进 行 解 题 时, 可以对这个等式做 出 相 应 变 化:Sn ＝dn２/２＋ (a１ －d/２)n, 这个时候再进 行 解 答 时,就 可 以 转 换 成 有 关 与 n 的 二 次 函 数 ,使 解 答 变 得 更 加 容 易 . (四 )函 数 思 想 在 高 中 数 学 实 际 优 化 问 题 中 的 应 用 函数思想对于解答高中数学中的实际优化问题也具有 重要作用,因此在解答过程中应充分 应 用 函 数 思 想. 函 数 思 想可用于解决实际 问 题,使 数 学 问 题 变 得 更 加 简 单、更 加 系 统.在我们的现实 生 活 当 中,具 有 很 多 量 与 量 之 间 的 关 系, 比如对于路程而言,应 该 考 虑 路 程、速 度 以 及 时 间 三 者 之 间 的 关 系;对 于 生 产 问 题,应 该 考 虑 单 价、总 数 以 及 时 间 的 关 系,而对于价格问题或者是采购问题等也 都 应 用 到 了 函 数 的 变量.对于高考数 学 试 卷 而 言,实 际 问 题 占 有 重 要 比 重,应 用函数思想解决高中数学里的实际优化 问 题,有 利 于 提 升 学 生答题的准确率. 比 如,在 解 答 路 程 问 题 过 程 中,可 以 将 总 路程设成y,将速 度 变 量 或 者 是 时 间 变 量 设 成 x,将 实 际 问 题转换成函数问题.通过数量之间的 关 系,构 造 一 个 数 学 函 数模型,再将相应数 值 带 入 到 函 数 当 中,最 后 通 过 数 学 知 识 算出正确结果.另外,多数高中数学的 实 际 问 题 都 需 要 通 过 函数图像进行分析、解 答,所 以,在 解 题 过 程 中,也 可 以 用 图 像形式将变量关系描绘出来.并且在 算 出 结 果 之 后,要 将 其 带入到问题当中进行验证.对于高中 数 学 问 题 而 言,有 许 多 问题在解答过程中会出现两个结果,所以 学 生 应 该 仔 细 阅 读 题 目 ,并 根 据 题 目 要 求 选 取 最 合 适 的 结 果 . 四 、结 论 总而言之,函数思想对于解决高中数 学 问 题 具 有 重 要 意 义,不仅可以培养学 生 的 逻 辑 思 维 能 力,提 升 学 生 学 习 数 学 的兴趣,还可以提高 学 生 解 决 数 学 问 题 的 速 度 以 及 准 确 率, 进而提升他们的 数 学 成 绩. 因 此,对 于 高 中 数 学 教 师 而 言, 应该增强对学生函数思想的培养,将函数 思 想 融 入 到 课 堂 教 学当中,用函数思想为学生讲解数学 问 题. 而 对 于 高 中 生 而 言,应该增强对函数思想的重视,在教 师 正 确 引 导 之 下,培 养 自己的函数思想,并 将 其 应 用 到 数 学 解 题 中 去,进 而 提 高 自 己的数学成绩.
函数思想在高中数学解题中的应用
函数思想在高中数学解题中的应用【摘要】本文将探讨函数思想在高中数学解题中的重要性和应用。
在代数方程问题中，函数思想可以帮助我们理解和解决复杂的方程，提高解题效率。
在几何问题中，通过函数图像的分析，我们可以深入理解几何形状的性质，从而更好地解决几何难题。
函数思想在数列与数论中的应用也不可忽视，通过函数的性质可以发现数列中的规律，解决数论中的难题。
使用函数思想解决数学建模问题和简化解题过程都是本文要探讨的内容。
通过本文的学习，读者将更好地认识到函数思想在高中数学解题中的广泛应用和重要性，为未来高中数学教学提供思路和方法。
【关键词】函数思想、高中数学、解题、代数方程、函数图像、几何问题、数列、数论、数学建模、函数性质、广泛应用、教学、重要性。
1. 引言1.1 介绍函数思想在高中数学解题中的重要性函数思想在高中数学解题中起着至关重要的作用。
函数是数学中非常基础且重要的概念，它是描述自变量和因变量之间关系的工具。
在高中数学学习中，函数思想可以帮助我们更好地理解和解决各种数学难题。
通过函数思想，我们可以将问题抽象化，找到问题之间的关联，从而更好地解决问题。
在代数方程问题中，函数思想可以帮助我们建立数学模型，将复杂的代数方程化简为函数的表示形式，进而更容易解决问题。
在几何问题中，函数图像可以帮助我们直观地理解问题，进而找到解题的方法。
在数列与数论中，函数思想可以帮助我们研究数列的性质及规律，从而更好地掌握数学知识。
1.2 概述本文内容本文将重点探讨函数思想在高中数学解题中的应用。
通过引入函数的概念和性质，我们可以更加灵活地解决各种数学难题。
本文将从代数方程问题、几何问题、数列与数论、数学建模以及函数性质等方面展开讨论，阐述函数思想在这些领域中的作用和意义。
通过具体的例题和解题方法，读者可以更深入地理解函数思想在高中数学中的实际运用。
本文将总结函数思想在数学解题中的广泛应用，并展望未来在高中数学教学中的重要性。
函数与方程思想在高中数学解题中的应用
函数与方程思想在高中数学解题中的应用【摘要】函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多.函数思想即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决。
【关键词】函数与方程思想；高中数学；应用什么是函数和方程思想？简单地说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系，对函数和方程思想的考查，主要是考查能不能用函数和方程思想指导解题，在用函数和方程思想指导解题时要经常思考下面一些问题：是否需要把一个代数式看成一个函数，是否需要把字母看作变量，如果把一个代数式看成了函数，把一个或几个字母看成了变量，那么这个函数有什么性质，如果一个问题从表面上看不是一个函数问题，能否构造一个函数来帮助解题，是否需要把一个等式看作为一个含未知数的方程，如果是一个方程，那么这个方程的根（例如根的虚实，正负，范围等）有什么要求？一、把字母看作变量或把代数式看作函数规律技巧提炼：1.函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处量变量或未知数之间的关系，从而解决问题的一种思维方式，是很重要的数学思想.（1）函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些量之间的相互制约关系，最后解决问题，这就是函数思想.应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系是一关键步骤，大体可分为下面两个步骤：①根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题；②根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题.（2）方程思想：在某变化过程中，往往需要根据一些要求，确定某些变量的值，这时常常列出这些变量的方程或（方程组），通过解方程（或方程组）求出它们，这就是方程思想.2.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念，它们之间相互渗透，很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决，很多函数的问题也需要用方程的方法来支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想.综上所述，在高中数学教学过程中重视函数与方程思想方法的渗透，可以深化学生对基础知识的理解，进一步完善学生的知识结构，优化思维品质，提高学生分析问题，解决问题能力，提高学生的数学素养。
函数思想在高中数学解题中的应用
函数思想在高中数学解题中的应用1. 引言1.1 了解函数思想的重要性了解函数思想的重要性是高中数学学习中的重要一环。
函数思想可以帮助我们更好地理解问题，提高问题解决的效率。
通过了解函数思想，我们可以更快地找到问题的核心，从而更快地解决问题。
函数思想也可以帮助我们建立起对数学知识体系的整体认识，提高数学思维的深度和广度。
在高中数学学习中，函数思想是贯穿始终的一个重要内容。
无论是在解代数方程还是解几何问题，函数思想都扮演着重要的角色。
了解函数思想可以让我们更好地理解数学概念，提高解题的速度和准确性。
所以，掌握函数思想对于高中数学学习来说是至关重要的。
1.2 高中数学解题的特点高中数学解题的特点主要包括题目形式简单、题目类型多样、涉及知识面广泛、考察思维能力强等特点。
在高中数学学习中，学生需要掌握各种数学概念和方法，能够灵活运用这些知识解决各类数学问题。
高中数学解题通常需要考虑多个因素，需要学生进行一定的逻辑推理和分析，以找到解题的有效方法。
另外，高中数学解题还常常涉及到多个知识点的综合运用，需要学生具有整合和综合能力，能够将所学知识有机地结合起来解决问题。
由于高中数学解题的特点，学生在解题时往往需要一定的思维方法和技巧，能够快速准确地分析问题并找到解决方法。
因此，深入理解和灵活运用函数思想在高中数学解题中具有重要的意义，可以帮助学生更好地应对各种数学问题，提高解题效率和准确性。
2. 正文2.1 函数思想在代数方程中的应用在高中数学中，代数方程是一个重要的内容，通常涉及到未知数的关系和等式的求解。
函数思想在代数方程中的应用可以帮助我们更加清晰地理解和解决这些问题。
我们可以将代数方程中的未知数看做自变量，而等式则可以看做一个函数关系。
通过建立数学模型，我们可以将复杂的代数方程简化成一个函数方程，从而更好地进行求解和分析。
函数思想可以帮助我们对代数方程的图像进行理解和分析。
通过绘制函数图像，我们可以直观地看到方程的解和特性，从而更好地理解方程的含义和求解方法。
函数与方程思想在解题中的应用
函数与方程思想在解题中的应用【摘要】本论文将所研究的问题借助建立函数关系式，结合初等函数，图像和性质，加以分析、转化、解决有关求值、数列、不等式、三角、解析几何等问题。
同时利用方程的观点将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型或构造出关于主元的方程加以解决。
【关键词】函数思想方程思想高考函数是中学数学的一个重要概念，函数一直是高考的热点、重点内容，它渗透在数学的各部分内容中，是高中数学的一条重要主线。
新课标内容中不仅没有淡化这一传统，而且还有加强的趋势，这从考试说明中很容易看出来。
但许多同学在学习这部分章节知识的时候都很难从本质上去理解、掌握，长期以来这部分知识又在高考试题中占据着可观的分值，而且考核的形式也比较灵活，学生在学习过程中稍有不慎就容易造成失分现象。
函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。
为此，本文就函数与方程思想在教材与高考试题中体现出来的具体案例进行解析。
1.运用函数图像解题函数和方程的关系非常密切，对于函数y=f（x），当y=0时，就转化为方程f（x）=0，也可以把函数y=f（x）看作二元方程y-f（x）.如解方程f（x）=0就是解y=f（x）的零点。
例1：函数f（x）=4x-4，x≤1x2-4x+3，x>1的图像和函数g（x）=log2x 的图像的交点个数是多少个？分析：求两个函数图像的交点个数，即是求两个函数所对应的方程有几个相同的根，可建立方程：x2-4x+3=log2x，x>14x-4=log2x，00解：因为8（x+1）3+10x+1=（2x+1）3+5（2x+1），则原不等式可化为（2x+1）3+5（2x+1）>x3+5x，由此，可令函数f（x）=x3+5x，则f（x）在R上是单调递增函数，而原不等式可化为f（2x+1）>f（x），所以原不等式等价于2x+1>x，解得-10且q≠0）是关于n的指数函数，因此运用函数性质解决数列问题，是对数列概念的本质理解。
高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用
高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用函数思想和方程思想是学习数列的两大精髓.“从基本量出发，知三求二.”这是方程思想的体现.而“将数列看成一种特殊的函数，等差、等比数列的通项公式和前n项和公式都是关于n的函数.”则蕴含了数列中的函数思想.借助有关函数、方程的性质来解决数列问题，常能起到化难为易的功效。
以下是小编给大家带来的方程思想在数列上的应用，仅供考生阅读。
函数与方程思想在数列中的应用(含具体案例)本文列举几例分类剖析：一、方程思想1.知三求二等差(或等比)数列{an}的通项公式，前n项和公式集中了等差(或等比)数列的五个基本元素a1、d(或q)、n、an、Sn.“知三求二”是等差(或等比)数列最基本的题型，通过解方程的方法达到解决问题的目的.例1等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10=30，a20=50，(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn=242，求n的值.解(1)由a10=a1+9d=30，a20=a1+19d=50，解得a1=12，因为n∈N*，所以n=11.2.转化为基本量在等差(等比)数列中，如果求得a1和d(q)，那么其它的量立即可得.例2在等比数列{an}中，已知a6―a4=24，a3a5=64，求{an}的前8项的和S8.解a6―a4=a1q3(q2―1)=24.(1)由a3a5=(a1q3)2=64，得a1q3=±8.将a1q3=―8代入(1)，得q2=―2(舍去);将a1q3=8代入(1)，得q=±2.当q=2时，a1=1，S8=255;当q=―2时，a1=―1，S8=85.3.加减消元法利用Sn求an利用Sn求an是求通项公式的一种重要方法，其实这种方法就是方程思想中加减消元法的运用.例3(2011年佛山二模)已知数列{an}、{bn}中，对任何正整数n都有：a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn=(n―1)?2n+1.若数列{bn}是首项为1、公比为2的等比数列，求数列{an}的通项公式.解将等式左边看成Sn，令Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn.依题意Sn=(n―1)?2n+1，(1)又构造Sn―1=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1=(n―2)?2n―1+1，(2)两式相减可得Sn―Sn―1=an?bn=n?2n―1(n≥2).又因为数列{bn}的通项公式为bn=2n―1，所以an=n (n≥2).当n=1，由题设式子可得a1=1，符合an=n.从而对一切n∈N*，都有an=n.所以数列{an}的通项公式是an=n.4.等差、等比的综合问题这一类的综合问题往往还是回归到数列的基本量去建立方程组.例4设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，求数列{an}的通项公式.解根据求和定义和等差中项建立关于a1，a2，a3的方程组.由已知得a1+a2+a3=7，(a1+3)+(a3+4)2=3a2.解得a2=2.设数列{an}的公比为q，由a2=2，可得a1=2q，a3=2q.又S3=7，可知2q+2+2q=7，即2q2―5q+2=0，解得q1=2，q2=12.由题意得q>1，所以q=2.可得a1=1，从而数列{an}的通项为an=2n―1.二、函数思想数列是一类定义在正整数或它的有限子集上的特殊函数.可见，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征.如一次、二次函数的性质、函数的单调性、周期性等在数列中有广泛的应用.如等差数列{an}的通项公式an=a1+(n―1)d=dn+(a1―d)，前n项和的公式Sn=na1+n(n―1)2d=d2n2+(a1―d2)n，当d≠0时，可以看作自变量n的一次和二次函数.因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的内在联系，从而有效地分解数列问题.1.运用函数解析式解数列问题在等差数列中，Sn是关于n的二次函数，故可用研究二次函数的方法进行解题.例5等差数列{an}的前n项的和为Sn，且S10=100，S100=10，求S110，并求出当n为何值时Sn有最大值.分析显然公差d≠0，所以Sn是n的二次函数且无常数项.解设Sn=an2+bn(a≠0)，则a×102+b×10=100，a×1002+b×100=10.解得a=―11100，b=11110.所以Sn=―11100n2+11110n.从而S110=―11100×1102+11110×110=―110.函数Sn=―11100n2+11110n的对称轴为n=111102×11100=55211=50211.因为n∈N*，所以n=50时Sn有最大值.2.利用函数单调性解数列问题通过构造函数，求导判断函数的单调性，从而证明数列的单调性.例6已知数列{an}中an=ln(1+n)n (n≥2)，求证an>an+1.解设f(x)=ln(1+x)x(x≥2)，则f ′(x)=x1+x―ln(1+x)x2. 因为x≥2，所以x1+x<1，ln(1+x)>1，所以f ′(x)<0.即f(x)在[2，+∞)上是单调减函数.故当n≥2时，an>an+1.例7已知数列{an}是公差为1的等差数列，bn=1+anan.(1)若a1=―52，求数列{bn}中的最大项和最小项的值;(2)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围.(1)分析最大、最小是函数的一个特征，一般可以从研究函数的单调性入手，用来研究函数最大值或最小值的方法同样适用于研究数列的最大项或最小项.解由题设易得an=n―72，所以bn=2n―52n―7.由bn=2n―52n―7=1+22n―7，可考察函数f(x)=1+22x―7的单调性.当x<72时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>72时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以数列{bn}的最大项为b4=3，最小项为b3=―1.(2)分析由于对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，本题实际上就是求数列{bn}中的最大项.由于bn=1+1n―1+a1，故可以考察函数f(x)=1+1x―1+a1的形态.解由题，得an=n―1+a1，所以bn=1+1n―1+a1.考察函数f(x)=1+1x―1+a1，当x<1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以要使b8是最大项，当且仅当7<1―a1<8，所以a1的取值范围是―73.利用函数周期性解数列问题例8数列{an}中a1=a2=1，a3=2，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3且anan+1an+2≠1成立.试求S100=a1+a2+…+a100的值.分析从递推式不易直接求通项，观察前几项a1=1，a2=1，a3=2，a4=4，a5=1，a6=1，a7=2，a8=4，a9=1，…可猜测该数列是以4为周期的周期数列.解由已知两式相减得通过上述实例的分析与说明，我们可以发现，在数列的教学中，应重视方程函数思想的渗透，应该把函数概念、图象、性质有机地融入到数列中，通过数列与函数知识的相互交汇，使学生的知识网络得以不断优化与完善，同时也使学生的思维能力得以不断发展与提高.高中数学思想方法介绍，高中数学解题思想方法与讲解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
高中数学必修一 [论文]函数与方程思想在解题中的应用
函数与方程思想在解题中的应用摘要：函数与方程思想是中学数学中的基本思想。
其中，函数思想是用变化的观点分析数学问题中的数量关系，建立函数、利用函数的性质解题；方程思想是将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型来解题。
它们还密切相关,有时需要互相转化来解决问题。
本文主要阐述函数与方程思想的地位和作用，函数与方程思想的概念及它们在解集合、不等式、数列等方面的应用，包括运用函数思想、方程思想，函数和方程统一思想。
关键词：数学思想；函数思想; 方程思想; 函数与方程思想数学知识可以记忆一时，但数学思想和方法却随时随地发挥作用，使人受益终身。
近年来我国许多考纲已明确提出不仅要考察学生的数学知识和思维能力，还要考察学生思想方法的运用能力。
其中函数与方程的思想是众多考试考查的最基本的数学思想方法之一。
学生仅仅学习了函数与方程的知识是不够的，应通过解题和对解题过程的反思来领悟函数与方程的思想。
一、函数与方程思想的地位和作用数学思想是人们对现实世界空间形式和数量关系的本质认识，它是思维加工的产物，比一般的数学概念和数学方法具有更高的概括性和抽象性，因而更深刻，更本质。
可以说，数学思想是数学知识的核心，是数学的精髓和灵魂。
目前高中阶段主要数学思想有：函数与方程、数形结合、分类与整合、划归与转化、特殊与一般、有限与无限、或然与必然。
函数与方程思想，既是函数思想与方程思想的体现，也是两种思想综合运用的体现，是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想。
函数与方程思想作为高中数学思想方法的重点，对学生的要求也越来越高。
考试中心指出：“高考把函数与方程的思想作为七种思想方法的重点来考查，使用选择题和填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识网络的交汇处，从思想方法与相关能力相结合的角度进行深入考查。
”我们仅仅学习了函数与方程知识，在解决问题时往往是被动的，而建立了函数与方程思想，才能主动地去思考一些问题。
函数与方程的思想在解题中的应用
函数与方程的思想在解题中的应用
罗建宇
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2008(000)002
【摘要】函数关系是变量与变量之间一种特殊的对应、映射与变换，方程是从算术方法到代数方法的过程中寻找等量关系的一种质的飞跃．函数与方程思想贯穿整个高中数学内容，在各知识中蕴涵着深刻的内涵，它是高中数学最基本的却又是最重要的思想方法之一．
【总页数】4页(P19-22)
【作者】罗建宇
【作者单位】江苏省张家港市暨阳高级中学,215600
【正文语种】中文
【中图分类】O1
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高中数学：函数与方程思想在解题中的应用
函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系。
若一个函数有解析表达式，那么这个表达式就可看作一个方程，这样许多函数问题可以用方程的方法来解决。
也就是说，对于函数，当时，就转化为方程；反之，也可以把函数式看作二元方程。
函数与方程这种相互转化的关系十分重要，它们之间互相渗透，很多方程的问题需要用函数的知识和方法去解决，很多函数问题也需要方程的知识和方法的支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数与方程思想，函数与方程思想就是用函数、方程的观点和方法来处理变量与未知数之间的关系，从而解决问题的一种思维方式，是很重要的数学思想方法。
函数与方程思想在解题中的应用
1. 利用函数与方程思想研究方程问题
有关方程根的问题是考查方程的知识热点，也是考查函数与方程思想的一个重点。
例1、已知有且只有一根在区间内，求m 的取值范围。
分析：设。
由二分法知，一般地对于函数，若，那么函数在区间上至少有一个零点，但不一定唯一。
对于二次函数，若
，则在区间上存在唯一的零点，一次函数有同样的结论成立。
但要注意，方程在区间上有且只有一根时，不仅是，也有可能，如二次函数图象是下图所示的情形。
由图可知在区间上有且只有一根，但是。
解：设。
①当时方程的根为，不满足题设条件。
②当时，因有且只有一根在区间内，且，所以有两种可能情形：，得；或者，得，代入原方程不合题意。
综上可得。
本题通过构造函数，将方程问题转化为函数思想去解决，二分法实质上是函数与方程思想的一个重要体现，因此，学习中应对二分法的意义领会清楚。
2. 利用函数与方程思想研究不等式问题
“等”与“不等”是数学中两种不同的数量关系，是相对的。
在学习中，我们力求寻求统一的思想，这就是函数与方程思想，特别是在解不等式问题中，应重视以函数为桥梁，根据实际问题建立函数观念，用函数思想与函数方法分析、解决问题。
例2、设不等式，对满足的一切实数m的取值都成立，求x的取值范围。
分析：由于本题为二元一次不等式，许多同学对题意无法正确理解，从而解题的思路受阻。
若将其看成关于x 的不等式讨论，则解题过程烦琐；若将问题升华到函数与方程思想的应用上，就易于解决。
解：问题可转化成关于m的一次不等式
，当时恒成立。
设。
∴即，解得。
∴x的取值范围是。
由于常见的思维定势，上述问题易看成关于x的不等式讨论。
这里变换一个角度，构造以m为变量的一次函数，使得函数值在情况下恒小于零，可以说思维突破常规，解法灵活简洁，从而体现函数方程思想的功能。
3. 利用函数与方程思想研究函数问题
函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种动态刻画，函数与方程思想的实质是提取问题的数学特征，实现函数与方程的互相转化，达到解决问题的目的。
例3、已知函数，且方程
有实根。
（1）求证：。
（2）若m是方程的一个实根，判断的正负，并加以证明。
分析：（1）中涉及不等关系和方程有实根及一个等式，通过适当代换及利用不等式性质可解得。
（2）中只要研究出值的范围，就可确定
的符号。
证明：（1）由，得，解得。
由，得，解得。
由于方程有实根，即有实根，故
，，解得或。
∴。
由，得。
（2）由，所以方程的两根为。
由，知（如下图）。
∴。
∴的符号为正。
这里充分利用函数与方程思想，求得函数与方程之间的联系，灵活运用二次函数的图象及性质解题。
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