指数与指数函数题型归纳(非常全)

指数式及指数函数题型归纳（2019.10.25）一． 指数幂与根式的互化：题组一：根式化为分数指数幂（1） 化简√a 12√a 12√a =________． (2) 计算2√a⋅√a23=________．(3)若a ＜0，则√ax 3=________． (4)√a √a √a 的值为（ ）题组二：运用分数指数幂进行化简：（1）下列各式中错误的是（ ） 1. A. 225×2 52=2B. (127)−13=3C. √226=√23D. (−18)23=2. 化简（a 23b 12）×（-3a 12b 13）÷（13a 16b 56）的结果（ ）A. 6aB. −aC. −9aD. 9a 23.（1）计算：1612+(181)−0.25−(−12)0 （2）化简：(2a 14b −13)(−3a −12b 23)÷(−14a −14b −23)．(3)（√23×√3）6+（√2√2）43-4（1649）−12-√24×80.25-（-2009）0．题组三：指数式的条件求值问题：1.已知a 12+a −12=3，求下列各式的值(写出过程)：（1）a 1+a −1 (2)a 2+a −2 (3)a 32+a −32=2.（1）已知x +x−1=3，求x 12+x−12x 2+x −2+3的值．（2）已知2x +2-x =3，则 4x +4-x = ______ ．题组四：利用指数函数比较大小; 1.下列各式比较大小正确的是： 1.72.3______ 1.74 ； 0.6−1______ 0.62 ； 1.70.3______ 0.92.3 0.8−0.1______ 1.250.22.已知a =(13)−1.1,b =π0,c =30.9，则a ，b ，c 三者的大小关系是()A. c <b <aB. c <a <bC. b <a <cD. b <c <a3. 已知a =(35)25，b =(25)35，c =(25)25，则（）A. a <b <cB. c <b <aC. c <a <bD. b <c <a题组五：指数函数过定点问题;1．函数f （x ）=2-a x +1（a ＞0且a ≠1）的图象恒过定点（ ）A. (0,2)B. (1,2)C. (−1,1)D. (−1,2)2.函数y =a x -3+1（a ＞0且a ≠1）图象一定过点______ ．3.函数y =a −x 2+2x+3(a ＞0，a ≠1）的图象经过定点为______4. 题组六：指数函数解方程（或不等式）;1. 设集合A ={x |-1＜x ＜2}，{x |18＜（12）x ＜1}，则A ∩B =（）A. (0,3)B. (1,3)C. (0,2)D. (1,+∞)2.（1）不等式3−x 2+2x>13x+4的解集为________．(2)不等式2x-2＞22x+4的解集为______(3)求不等式a 2x -7＞a 4x -1（a ＞0，且a ≠1）中x 的取值范围3.方程4x -6×2x +8=0的解是______ ．题组七：指数函数有关图像问题;1.函数f(x)=a x +b −1(其中0<a <1且0<b <1)的图象一定不经过( ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 2. 若函数y =a x +b 的部分图象如图所示，则（ ）A. 0<a <1,−1<b <0B. 0<a <1,0<b <1C. a >1,−1<b <0D. a >1,0<b <13.函数f （x ）=-3|x |+1的图象大致是（ ）A.B.C.D.4．函数y =xa x|x |(a >1)的图象的大致形状是（ ）A.B.C.D.5.如图①y =a x ,②y =b x ,③y =c x ,④y =d x ,根据图象可得a 、b 、c 、d 与1的大小关系为( )A. B. C.D.题组八：指数函数有关复合函数问题： 1.（1）函数y =(13)x 2−6x 的单调递增区间为______( 2 ) 函数y =2−x2−4x的单调递减区间为_____ 2.（1）函数y =(12)−x2+2x的值域是（ ）A. RB. [12,+∞)C. (2,+∞)D. (0,+∞)（2）函数f(x)=(13)x 2−6x+5的值域为_____ （3）函数y =2x 2−1的值域是______3.求函数y =3−x 2+2x+3的定义域、值域和单调区间．题组九：指数函数与其它函数交汇问题： 1.已知f (x )=a x 1+a x(a ≠0)，则f (−2018)+f (−2017)+⋯+f (2017)+f (2018)=（ ）A. 2018B.40372C. 2019D.403922.已知函数f(x)={3x −1,x >0−2x 2−4x,x ⩽0，若方程f(x)=m 有3个不等的实根，则实数m 的取值范围是________.3．若直线y =2a 与函数y =|a x -1|（a ＞0且a ≠1）的图象有两个公共点，则a 的取值范围是______．4.已知函数f （x ）=a x +b （a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是[-1，0]，则a +b =______．5.函数f (x )=4x −2x+1+3的定义域为x ∈[−12,12]． (Ⅰ)设t =2x ,求t 的取值范围； (Ⅱ)求函数f(x)的值域．6.已知函数f(x)=a−2x 1+2x(a ∈R),且x ∈R 时,总有f(−x)=−f(x)成立．(1)求a 的值；(2)判断并证明函数f(x)的单调性； (3)求f(x)在[0,2]上的值域．6.已知定义域为R 的函数，f(x)=−2x +b 2x+1+a是奇函数．(Ⅰ)求a ，b 的值；(Ⅱ)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求k 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查指数幂的计算，要求熟练掌握指数幂的运算法则，属基础题. 根据分数指数幂的运算法则进行求解即可.【解答】解：由条件知a≥0，则√a12√a12√a=√a12√a12+12=√a12⋅√a=√a12⋅a12=a12.故选C.2.【答案】A【解析】【分析】本题考查有理指数幂的运算法则的应用，考查计算能力，属于基础题.利用已知条件，通过开方运算，求解即可，利用a12+a−12=√(a12+a−12)2，即可得. 【解答】解：由a+1a=7，可得a＞0，a12+a−12>0，∴a12+a−12=√(a12+a−12)2=√7+2=3，故选A．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查指数运算及倒序相加法进行求和，属于中档题.由已知f(x)+f(−x)=a x1＋a x+a−x1+a−x=1+a x1+a x=1，再利用倒序相加进行求和即可求解.【解答】解: 由已知有f(x)+f(−x)=a x1＋a x+a−x1+a−x=1+a x1+a x=1，设T=f(−2018)＋f(−2017)＋⋯＋f(2017)＋f(2018)，则T=f(2018)＋f(2017)＋⋯＋f(−2017)＋f(−2018)，两式相加得2T=4037×1，故选B .4.【答案】C【解析】【分析】本题考查有理指数幂的化简求值，是基础的计算题．化根式为分数指数幂，再由有理指数幂的运算性质化简求值. 【解答】 解：2√a⋅√a 23=a 2⋅a −12⋅a −23=a 2−12−23=a 56． 故选C ．5.【答案】A【解析】解：原式=a 32−12b 14−14=a ，故选：A根据指数幂的运算性质计算即可．本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题． 6.【答案】A【解析】【分析】本题考查了指数函数解析式,由已知解析式得到5a +b =3，所求为5a •5b ，利用同底数幂的乘法运算转化即可，属于中档题. 【解答】解：因为f （x ）=5x ，因为f （a +b ）=3，所以5a +b =3， 则f （a ）•f （b ）=5a •5b =5a +b =3. 故选A ．7.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数值的计算，利用指数幂的运算性质是解决本题的关键，比较基础． 根据指数幂的运算性质，进行平方即可得到结论． 【解答】解：∵f （x ）=3x +3-x ， ∴f （a ）=3a +3-a =4， 平方得32a +2+3-2a =16， 即32a +3-2a =14．即f （2a ）=32a +3-2a =14． 故选B ． 8.【答案】D【解析】解：∵a ＜0，ax 3≥0， ∴x ≤0，∴√ax 3=|x |√ax =-x √ax ，本题考查了根式的化简，属于基础题． 9.【答案】B【解析】【分析】本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了不等式的解法，是基础题.求解一元二次不等式和指数不等式化简集合M ，N ，然后直接利用补集和交集的运算求解.【解答】解：由题意，集合M ={x |x 2+x -6＜0}={x |-3＜x ＜2}， N ={x |(12)x ≥4}={x |x ≤-2}，全集为R ， 所以∁R N ={x |x ＞-2}，所以M ∩（∁R N ）={x |-2＜x ＜2}， 所以M ∩（∁R N ）=（-2，2）． 故选B ．10.【答案】A【解析】解：A 、原式=225+52=22910； B 、原式=(3−3)−13=3；C 、原式=√226=(22)16=√23；D 、原式=(−2−3)23=(−2)−2=14．故选：A根式与分数指数幂的互化公式是√x m n =x mn ，分数指数幂公式是x -n=1x n （x ≠0），按公式运算即可．本题考查了根式与分数指数幂的互化以及负分数指数幂的运算问题，是基础题． 11.【答案】C【解析】【分析】根据指数幂的运算性质计算即可．本题考查了分数指数幂和根式的互化，以及指数幂的运算性质，属于基础题． 【解答】解：√a √a √a =(a ·(a ·a 12)12)12=a 78， 故选C .12.【答案】C【解析】解：(a 23b 12)(−3a 12b 13)÷(13a 16b 56)=(−3)÷13×a 23+12−16b 12+13−56=-9a故选：C ．由指数幂的运算法则直接化简即可．13.【答案】D【解析】解：a =(13)−1.1=31.1,b =π0=1,c =30.9，∵指数函数y =3x 在R 上单调递增， ∴31.1>30.9>30=1, 即有a ＞c ＞b ， 即b ＜c ＜a ． 故选：D ．运用指数函数的单调性，可得31.1>30.9>1，即可得到a ，b ，c 的大小关系． 本题考查指数函数的单调性的运用：比较大小，考查运算能力，属于基础题． 14.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的定义域与值域，以及函数图象的判断，属于基础题.先求出函数的定义域，再分别讨论x ＞0，x ＜0时函数的范围，由此判断函数的图象即可． 【解答】解：函数f （x ）=e xx 的定义域为：(−∞,0)∪(0,+∞)，排除选项A ．当x ＞0时，函数f （x ）=e xx＞0，选项C 不满足题意．当x ＜0时，函数f （x ）=e xx＜0，选项D 不正确，故选B ．15.【答案】C【解析】【分析】本题考查识图问题，利用特值或转化为比较熟悉的函数，利用图象变换或利用函数的性质是识图问题常用的方法．f （x ）中含有|x |，故f （x ）是分段函数，根据x 的正负写出分段函数的解析式，对照图象选择即可． 【解答】解：f （x ）是分段函数，根据x 的正负写出分段函数的解析式，f （x ）={a x (x >0)−a x (x <0)，∴x ＞0时，图象与y =a x （a >1）在第一象限的图象一样，x ＜0时，图象与y =a x （a >1）的图象关于x 轴对称， 故选C ．16.【答案】B【解析】解：函数y =（2a -1）x 在R 上为单调减函数， ∴0＜2a -1＜1 解得12＜a ＜1故选：B ．本题主要考查了指数函数的单调性，通过底数判断指数函数单调性的方法，属基础题 17.【答案】C【解析】【分析】本题考查指数函数的图象过定点问题，即a 0=1的应用，属于基础题.由x +1=0得x =-1代入解析式后，再利用a 0=1求出f （-1）的值，即可求出答案. 【解答】解：由x +1=0得x =-1，则f （-1）=2-a 0=1， ∴函数f （x ）=2-a x +1的图象恒过定点（-1，1）. 故选C .18.【答案】A【解析】【分析】本题考查的知识点是函数的图象，其中根据函数的解析式分析出函数的性质及与坐标轴交点位置，是解答的关键．根据已知可分析出函数的奇偶性，进而分析出函数图象的对称性，将x =0代入函数解析式，可判断函数图象与y 轴交点的位置，利用排除法可得函数的图象． 【解答】解：∵函数f （x ）=-3|x |+1，∴f （-x ）=-3|-x |+1=-3|x |+1=f （x ），即函数为偶函数，其图象关于y 轴对称，故排除B 、D ， 当x =0时，f （0）=-30+1=0，即函数图象过原点，故排除C . 故选A .19.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了指数函数的图象的应用及函数图像的平移变换，属于基础题，由0＜a ＜1可得函数y =a x 的图象单调递减，且过第一、二象限，再利用图象的平移，可得结论. 【解答】解：由0＜a ＜1可得函数y =a x 的图象单调递减，且过第一、二象限， ∵0＜b ＜1， ∴-1＜b -1＜0， ∴0＜1-b ＜1，∵y =a x 的图象向下平移1-b 个单位即可得到y =a x +b -1的图象， ∴y =a x +b 的图象一定在第一、二、四象限，一定不经过第三象限. 故选C .20.【答案】A【解析】【分析】此题考查复合函数的单调性，属于基础题，利用二次函数及指数函数的单调性可得出函数的单调性. 【解答】 解：∵函数y =(13)x 2−9是由函数t =x 2−9与y =(13)t复合而成，又y =(13)t单调递减，所以函数y =(13)x 2−9的单调递增区间为(−∞,0).故选A .21.【答案】C【解析】【分析】本题考查指数型函数图象恒过定点问题，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题． 由指数式的指数等于0求解x 值，进一步求得y 值得答案． 【解答】解：由x -3=0，得x =3，此时y =a 0+1=2．∴函数y =a x -3+1（a ＞0且a ≠1）图象一定过点（3，2）． 故选：C ． 22.【答案】B【解析】【分析】本题考查了指数函数的单调性的应用，属于基础题． 根据指数函数的单调性判断数的大小即可． 【解答】解：y =1.7x 为增函数，2.5<3,∴1.72.5<1.73,故A 错误， y =0.6x 为减函数，-1<2,∴0.6-1＞0.62,故B 正确， 由于1.70.3＞1.70=1，0.93.1＜0.90=1，故C 错误，由于0.8-0.1=1.250.1，对于指数函数y =1.25x 为增函数，0.1<0.2， ∴0.8-0.1<1.252,故D 错误， 故选B .23.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查复合函数的单调性、指数函数的定义域和值域，属于基础题，令t =-x 2+2x ，则y =(12)t ，再根据t ≤1以及指数函数的单调性求得y 的值域. 【解答】解：令t =−x 2+2x =−(x −1)2+1≤1，则y =(12)t ， 由于t ≤1，∴y ≥(12)1=12，所以函数y =(12)−x 2+2x的值域是[12,+∞).故选B .24.【答案】D【解析】【分析】本题考查了利用指数函数、幂函数的单调性判断数的大小，属于基础题．解：∵y =(25)x 为减函数，且35>25， ∴b ＜c ，又∵y =x 25在（0，+∞）为增函数， ∴a ＞c ， ∴b ＜c ＜a ， 故选D ． 25.【答案】C【解析】【分析】本题考查描述法表示集合的定义及表示形式，指数式的运算，以及指数函数的单调性，交集的运算．可写出18=(12)3，1=(12)0，然后根据指数函数单调性即可求出集合B ={x |0＜x ＜3}，根据交集的定义运算即可得出A ∩B ． 【解答】解：18=(12)3，1=(12)0； ∴由18<(12)x <1得，0＜x ＜3； ∴B ={x |0＜x ＜3}，且A ={x |-1＜x ＜2}； ∴A ∩B =（0，2）． 故选C ． 26.【答案】A【解析】解：由图象可以看出，函数为减函数，故0＜a ＜1，因为函数y =a x 的图象过定点（0，1），函数y =a x +b 的图象过定点（0，b +1）， ∴-1＜b ＜0， 故选A .根据指数函数的图象和性质即可判断.本题主要考查函数图象的应用，利用函数过定点是解决本题的关键． 27.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查指数函数的图象和性质，比较函数值的大小即可，比较基础． 根据指数函数的图象和性质即可得到结论． 【解答】解：很显然a ，b 均大于1；且y =b x 函数图象比y =a x 变化趋势小， 故b ＜a ，综上所述：a ＞b ＞1． 故选：C ． 28.【答案】B【解析】【分析】本题考查对数函数的图象与性质，作出直线x =1，给出直线与四条曲线的交点坐标是正确解答本题的关键，本题的难点是意识到直线x =1与四条曲线交点的坐标的纵坐标恰好是四个函数的底数，此也是解本题的重点．可在图象中作出直线x =1，通过直线与四条曲线的交点的位置确定出a 、b 、c 、d 与1的大小关系，选出正确选项【解答】解：由图，直线x=1与四条曲线的交点坐标从下往上依次是（1，b），（1，a），（1，d），（1，c）故有b＜a＜1＜d＜c故选：B．29.【答案】C【解析】【分析】本题考查指数型函数的图象与性质，由函数的图象可以看出其变化趋势，由图象特征推测出参数的范围．观察到函数是一个指数型的函数，不妨作出其图象，从图象上看出其是一个减函数，并且是由某个指数函数向下平移而得到的，故可得出结论．【解答】解：如图所示，图象与y轴的交点在y轴的负半轴上（纵截距小于零），即a0+b-1＜0，且0＜a＜1，∴0＜a＜1，且b＜0．故选C．30.【答案】C【解析】【分析】令x-1=0，求出x的值，从而求出对应的y的值，从而求出定点的坐标．本题考查了指数函数的性质，是一道基础题．【解答】解：令x-1=0，解得：x=1，故x=1时，y=1，故函数过（1，1），故选C．31.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查复合函数求单调区间的问题，复合函数求单调区间时，一般分离成两个简单函数根据同增异减的特性来判断．)z，z=x2-6x+5，根据同增异减性可得答案．将原函数分离成两个简单函数y=(13【解答】解：令z=x2-6x+5是开口向上的二次函数，x∈（-∞，3]上单调递减，x∈[3，+∞）上单调递增．则原函数可以写为：y =(13)t ，t =x 2-6x +5, 因为y =(13)t 单调递减,故原函数的单调递减区间为：[3，+∞）. 故选D ． 32.【答案】C【解析】【分析】本题考查了指数函数的定义，属于容易题. 函数y =（a 2−5a +5）a x 是指数函数，所以必须满足{a 2−5a ＋5=1a >0,且a ≠1，解出即可．【解答】解：∵函数y =（a 2−5a +5）a x 是指数函数，∴{a 2−5a ＋5=1a >0,且a ≠1，解得a =4．故选C ．33.【答案】C【解析】【分析】本题考查指数函数的单调性的应用，考查计算能力．直接判断a ，b 的大小，然后求出结果． 【解答】解：由题意可知1＞a =0.60.6＞b =0.61.5，c =1.50.6＞1， 可知：c ＞a ＞b ． 故选C ． 34.【答案】5【解析】【分析】本题考查对数式、指数式化简求值，属于基础题. 利用指数，对数的性质、运算法则求解． 【解答】 解：=1+3×23+lg100 =1+2+2 =5.故答案为5. 35.【答案】7【解析】解：∵2x +2-x =3，∴4x +4-x =（2x +2-x ）2-2=32-2=7． 故答案为：7．直接把要求解的式子配方后代入已知条件得答案．本题考查了有理指数幂的化简求值，关键是完全平方式的应用，是基础题． 36.【答案】19【解析】【分析】本题考查有理指数幂的化简求值，考查计算能力，直接利用有理指数幂化简求值即可． 【解答】解：0.027−13-（-17）-2+25634-3-1+（√2-1）0 =103-49+64-13+1 =19．故答案为19． 37.【答案】-6b【解析】解：(−3a 13b 23)·(a 12b 12)÷(12a 56b 16)=−6a 13+12−56b 23+12−16 =−6a 0b 1=-6b故答案为-6b ．本题考查了指数的运算法则，与单项式相乘除的法则相同，系数相乘除作系数，同底数幂相乘除，底不变，指数相加减，即可得出． 38.【答案】x =1或x =2【解析】【分析】求解关于2x 的一元二次方程，然后进一步求解指数方程得答案．本题考查有理指数幂的化简与求值，考查了一元二次方程的解法，是基础题． 【解答】解：由4x -6×2x +8=0，得 （2x -2）（2x -4）=0， 即2x =2或2x =4． ∴x =1或x =2．故答案为：x =1或x =2． 39.【答案】3【解析】【分析】本题主要考查了根式的化简，属于基础题. 根据根式的特点化简即可.【解答】解：由4＜x ＜7，则式子√(x −4)44+√(x −7)44=|x -4|+|x -7|=x -4+7-x =3， 故答案为3.40.【答案】(−1,4)【解析】【分析】本题考查指数函数单调性的应用，一元二次不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．先利用指数函数单调性，得−x 2+2x >−x −4，解不等式即可. 【解答】解：原不等式可化为3−x 2+2x >3−x−4, ∵函数y =3x 为R 上的增函数， ∴−x 2+2x >−x −4, 解得−1<x <4 故答案为(−1,4).41.【答案】（2，2）【解析】【分析】本题考查指数函数的图象过定点问题，属基础题，本题也可利用指数函数的图象变换求出．令x -2=0，则x =2，即为定点横坐标，代入函数式可得定点纵坐标． 【解答】解：令x =2，得y =a 0+1=2，所以函数y =1+a x−2的图象恒过定点坐标是（2，2）． 故答案为（2，2）． 42.【答案】（0，3]【解析】【分析】本题考查了指数函数的性质，复合函数的值域，利用换元法求函数的值域，属于基础题. 令t =x 2-1，将求函数y =(13)x2−1的值域的问题转化为求y =(13)t 在[-1，+∞）上的值域问题，再利用函数y =(13)t 的单调性求值域. 【解答】解：令t =x 2-1，t ∈[-1，+∞）， 即y =(13)t ，t ∈[-1，+∞），函数y =(13)t 在区间[-1，+∞）上是减函数， 故y ≤(13)−1=3 ， 故函数y =(13)x2−1的值域是（0，3].故答案为（0，3].43.【答案】（0，2）【解析】【分析】本题考查函数的零点个数，函数的图象的应用，属于中档题. 利用分段函数画出函数的图象，然后判断m 的范围即可. 【解答】解：画出函数f(x)={3x −1,x >0−2x 2−4x,x ⩽0的图象如下：由函数f（x）=m有3个不等实根，即函数f(x)与直线y=m有3个交点，结合图象得：0＜m＜2，即m∈（0，2）．故答案为（0，2）.44.【答案】0＜a＜12【解析】解：①当0＜a＜1时，作出函数y=|a x-1|图象：若直线y=2a与函数y=|a x-1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点由图象可知0＜2a＜1，∴0＜a＜1．2②当a＞1时，作出函数y=|a x-1|图象：若直线y=2a与函数y=|a x-1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点由图象可知0＜2a＜1，此时无解．．综上：a的取值范围是0＜a＜12故答案为：0＜a＜12先分：①0＜a＜1和a＞1时两种情况，作出函数y=|a x-1|图象，再由直线y=2a与函数y=|a x-1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，作出直线，移动直线，用数形结合求解．本题主要考查指数函数的图象和性质，主要涉及了函数的图象变换及函数的单调性，同时，还考查了数形结合的思想方法．45.【答案】[3，+∞)【解析】【分析】本题主要考查了函数的定义域问题，由根式内部的代数式大于等于0，然后求解指数不等式．【解答】解：由2x-8≥0，得2x≥8，则x≥3，∴函数y=y=√2x−8的定义域为[3，+∞)．故答案为[3，+∞)．46.【答案】（2，3）【解析】【分析】本题考查指数型函数的图象恒过定点问题，关键是掌握此类问题的求法，是基础题． 由指数式的指数等于0求得x 值，进一步求得y 值，则答案可求． 【解答】解：由x -2=0，得x =2，此时y =3．∴函数y =a x -2+2（a ＞0且a ≠1）一定过定点（2，3）． 故答案为（2，3）．47.【答案】−32【解析】【分析】本题考查指数函数的单调性的应用，以及分类讨论思想，属于中档题． 对a 进行分类讨论，结合指数函数的单调性列出方程组，解得答案． 【解答】解：当a ＞1时，函数f （x ）=a x +b 在定义域上是增函数， 所以{1+b =0a −1+b =−1，解得b =-1，1a =0不符合题意舍去；当0＜a ＜1时，函数f （x ）=a x +b 在定义域上是减函数， 所以{1+b =−1a −1+b =0，解得b =-2，a =12， 综上a +b =−32， 故答案为：−32 .48.【答案】（1）解：原式=log 322×8329-52log 53=2-32=-7.（2）解：原式=(32)2×12-1-(32)3×23+(32)2=32-1-94+94=12．【解析】本题考查了指数幂与对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题． （1）利用对数的运算性质即可得出． （2）利用指数的运算性质即可得出．49.【答案】解：（1）√(3−π)44+（0.008）13-（0.25）12×（√2）-4=π-3+0.2-0.5×4 =π-3+0.2-2 =π-4.8．（2）（√23×√3）6+（√2√2）43-4（1649）−12-√24×80.25-（-2009）0=4×27+（234）43-7-1614-1=108+2-7-2-1=100．【解析】本题主要考查指数式化简求值，是基础题.解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质、运算法则的合理运用． （1）利用有理数指数幂的性质、运算法则求解． （2）利用有理数指数幂的性质、运算法则求解．50.【答案】解：（1）原式=53−(23)3×13-1+2−2×(−12)=53−23-1+2=2． （2）原式=lg8×1252×512lg10×(−lg10)=lg102−12=-4．（3）∵a ，b ，c 为正实数，a x =b y =c z =k ＞0，k ≠1． ∴x =lgklga ，y =lgklgb ，z =lgklgc , ∵1x +1y +1z =0，∴lga+lgb+lgc lgk=lg(abc)lgk=0，∴abc =1.【解析】（1）本题考查了指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用指数幂的运算性质即可得出．（2）本题考查了对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用对数的运算性质即可得出．（3）本题考查了对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．设a x =b y =c z =k ＞0，可得x =lgk lga ，y =lgk lgb ，z =lgklgc ,再利用对数的运算性质即可得出．51.【答案】解：（1）(214)12−(−0.96)0−(338)−23+(1.5)−2 =32−1−[(32)3]−23+(32)−2=12−(32)−2+(32)−2 =12． （2）∵10x =3，10y =4， ∴102x -y =102x 10y =(10x )210y =94．【解析】本题考查有理数指数幂的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质、运算法则的合理运用．（1）利用有理数指数幂的性质、运算法则求解． （2）利用有理数指数幂的性质、运算法则求解．52.【答案】解：（1）原式=0．82×(−12)+33×23-1-23=54+9-1-8=54．（2）原式=log 3(102×0.81)=log 334=4．【解析】（1）利用指数的运算性质即可得出． （2）利用对数的运算性质即可得出．本题考查了指数与对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．53.【答案】解：（1）原式=(8116)0.5−1÷(43)2+(2764)23=94−916+916=94.（2）原式=log 3332+lg 1004+lg4+2+1=32+2−lg4+lg4+3=132.【解析】（1）本题考查指数式化简求值，是基础题.利用有理数指数幂的性质及运算法则求解，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质及运算法则的合理运用.（2）本题考查对数式和指数式的化简求值，是基础题.利用对数的运算性质化简即可.54.【答案】解：（1）（279）12-（2√3-π）0-（21027）−23+0.25−32，原式=√259-1-(6427)−23+(14)−32=53-1-(2764)23+432 =23-916+8=8548.（2）由题意：0＜x ＜1， ∴x 12−x −12＜0所以：（x 12−x −12）2=x +x -1-2． ∵x +x -1=3, ∴（x 12−x −12）2=1, 故得x 12−x −12=-1.【解析】本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题． （1）利用指数幂的运算性质即可得出． （2）由题意0＜x ＜1，且x +x -1=3，判断x 12-x−12的值为负，采用两边平方后，再开方可得答案．55.【答案】解（1）原式=(94)12−1−(278)−23+(110)−2=32-1-49+100=180118．（2）∵（x 12+x −12）2=x +x -1+2=5， ∴x 12+x −12=√5， ∴（x +x -1）2=x 2+x -2+2=9， ∴x 2+x -2=7， ∴x 12+x−12x 2+x −2+3=√510.【解析】本题考查了幂的运算性质，属于基础题. （1）根据幂的运算性质计算即可， （2）根据幂的运算性质计算即可．56.【答案】解：（1）（2a23b12）（-6a12b13）÷（-3a16b56）（a ＞0，b ＞0）=4a 23+12−16b 12+13−56 =4a ．（2）2(lg √2)2+lg √2×lg5+√(lg √2)2−lg2+1 =lg √2（lg2+lg5）+√(lg √2−1)2 =lg √2+1−lg √2 =1．【解析】本题考查指数、对数的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意指数式、对数式性质、运算法则的合理运用． （1）利用指数式性质、运算法则求解． （2）利用对数性质、运算法则求解．57.【答案】解：1612+(181)−0.25−(−12)0 =4+3-1 =6．(2a 14b −13)(−3a −12b 23)÷(−14a −14b −23) = 24a 14−12+14b −13+23+23 = 24b ．【解析】本题考查指数性质、运算法则的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意指数性质、运算法则的合理运用． 利用指数性质、运算法则直接求解．58.【答案】解：根据题意，函数的定义域显然为（-∞，+∞）． 令u =f （x ）=3+2x -x 2=4-（x -1）2≤4． ∴y =3u 是u 的增函数，当x =1时，u max =f （1）=4，而u ∈(−∞,4)． ∴0＜3u ≤34，即值域为（0，81]．（3）当x ≤1时，u =f （x ）为增函数，y =3u 是u 的增函数，根据同增异减原则.即原函数单调增区间为（-∞，1]，单调减区间为（1，+∞）； 其证明如下：任取x 1，x 2∈（-∞，1]且令x 1＜x 2,则f(x 1)f(x 2)=3−x 12+2x 1+3÷3−x 22+2x 2+3=3−x 12+2x 1+3+x 22−2x 2−3=3(x 22−x 12)+2(x 1−x 2)= 3(x 1−x 2)(2−x 1−x 2)∵x 1＜x 2，x 1，x 2∈（-∞，1] ∴x 1-x 2＜0，2-x 1-x 2＞0 ∴（x 1-x 2）（2-x 1-x 2）＜0 ∴3(x 1−x 2)(x 1+x 2+2)＜1∴f （x 1）＜f （x 2）∴原函数单调增区间为（-∞，1]同理可证，原函数单调减区间为[1，+∞）．即原函数单调增区间为（-∞，1]，单调减区间为（1，+∞）.【解析】根据题意，定义域的求解易知为（-∞，+∞），值域的求解通过换元法将3+2x -x 2换成u ，通过二次函数的知识求得u 的范围为（-∞，4]，再根据指数函数y =3u 的单调性即可求解利用复合函数的单调性的特点（根据同增异减口诀，先判断内层函数的单调性，再判断外层函数单调性，在同一定义域上，若两函数单调性相同，则此复合函数在此定义域上为增函数，反之则为减函数）判断出函数的单调区间，在根据定义：（就是定义域内的任意取x 1，x 2，且x 1＜x 2，比较f （x 1），f （x 2）的大小，或f （x 1）＜f （x 2）则是增函数；反之则为减函数）证明即可本题考查了以指数函数为依托，通过换元法进行求解函数值域，另外还有复合函数的单调性问题，属于基础题．59.【答案】解：（Ⅰ）因为f （x ）是奇函数，所以f （0）=0，即b−1a+2=0⇒b =1，∴f(x)=1−2x a+2x+1， 又由f （1）=-f （-1）知1−2a+4=−1−12a+1⇒a =2． 所以a =2，b =1．经检验a =2，b =1时，f(x)=−2x +12x+1+2是奇函数． （Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=1−2x 2+2x+1=−12+12x +1，易知f （x ）在（-∞，+∞）上为减函数．又因为f （x ）是奇函数，所以f （t 2-2t ）+f （2t 2-k ）＜0等价于f （t 2-2t ）＜-f （2t 2-k ）=f （k -2t 2），因为f （x ）为减函数，由上式可得：t 2-2t ＞k -2t 2．即对一切t ∈R 有：3t 2-2t -k ＞0，从而判别式Δ=4+12k <0⇒k <−13．所以k 的取值范围是(−∞,−13)．【解析】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用，同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略,属于中档题.（Ⅰ）利用奇函数的定义，在f （x ）=-f （-x ）中运用特殊值求a ，b 的值；（Ⅱ）首先确定函数f （x ）的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式f （t 2-2t ）+f （2t 2-k ）＜0转化为关于t 的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k 的取值范围． 60.【答案】解：（1）∵f （-x ）=-f （x ），∴a−2−x1+2−x =-a−2x 1+2x ，即a⋅2x −11+2x =2x −a1+2x， ∴a =1，∴f （x ）=1−2x1+2x ；（2）函数f（x）为R上的减函数. ∵f（x）的定义域为R，∴任取x1，x2∈R，且x2＞x1，∴f（x2）-f（x1）=1−2x21+2x2−1−2x11+2x1=2(2x1−2x2)(1+2x1)(1+2x2)，∵x2＞x1，∴2x2>2x1＞0，∴f(x2)−f(x1)<0即f（x2）＜f（x1），∴函数f（x）为R上的减函数；（3）由（2）知，函数f（x）在[0，2]上为减函数，∴f（2）≤f（x）≤f（0），即−35≤f（x）≤0，即函数的值域为[-35，0].【解析】本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性和值域的求解，利用定义法是解决本题的关键.（1）根据条件建立方程关系即可求a的值；（2）根据函数单调性的定义判断并证明函数f（x）的单调性；（3）结合函数的单调性即可求f（x）在[0，2]上的值域.61.【答案】解：（Ⅰ）∵t=2x在x∈[−12，12]上单调递增,∴t∈[√22，√2] ；（Ⅱ）函数可化为：f（x）=g（t）=t2-2t+3 ,∵g（t）在[√22，1]上单减，在[1，√2]上单增，比较得g（√22）＜g（√2），∴f（x）min=g（1）=2，f（x）max=g（√2）=5-2√2，∴函数的值域为[2，5-2√2].【解析】本题考查了指数函数的值域的求法，指数函数与一元二次函数组成的复合函数的值域的求法，属于基础题.解题的关键是熟练掌握指数函数的性质与二次函数的性质，本题的重点在第二小题，将求复合函数的值域转化为求两个基本函数的值域，先求内层函数的值域再求外层函数的值域，即可得到复合函数的值域，求复合函数的值域问题时要注意此技能使用.（Ⅰ）由题意，可先判断函数t=2x，x∈[−12，12]单调性，再由单调性求出函数值的取值范围，易得；（Ⅱ）由于函数f（x）=4x-2x+1+3是一个复合函数，可由t=2x，将此复合函数转化为二次函数g（t）=t2-2t+3，此时定义域为t∈[√22，√2]，求出二次函数在这个区间上的值域即可得到函数f（x）的值域．62.【答案】解：由a2x-7＞a4x-1知需要进行分类，具体情况如下：当a＞1时，∵y=a x在定义域上递增，∴2x-7＞4x-1，解得x＜-3；当0＜a＜1时，∵y=a x在定义域上递减，∴2x-7＜4x-1，解得x＞-3；综上得，当a＞1时，x的取值范围为（-∞，-3）；当0＜a＜1时，x的取值范围为（-3，+∞）．【解析】根据不等式需要对a进行分两类：a＞1时和0＜a＜1时，再分别利用指数函数的单调性列出不等式求解，最后要把结果分开表示．本题考查了利用指数函数的单调性求有关指数不等式的解，关键是根据底数判断函数的单调性，考查了分类讨论思想．63.【答案】解：（1）根据题意，f(x)=(12x−1+12)x，则有2x-1≠0，解可得x≠0，则函数的定义域为{x|x≠0}，（2）设任意x≠0，∵f(−x)=(12−x−1+12)(−x)=(2x1−2x+12)(−x)=(2x−1+11−2x+12)(−x)=(11−2x−12)(−x)=(1 2x−1+12)x=f(x)．∴f（x）为偶函数；（3）根据题意，f（x）为偶函数，f（-x）=f（x），当x＞0时，2x-1＞0，则f(x)=(12x−1+12)x＞0，又由f（x）为偶函数，则当x＜0时，f（x）＞0，综合可得：f（x）＞0．【解析】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，判定函数的奇偶性时要先分析函数的定义域．（1）根据题意，由函数的解析式可得2x-1≠0，解可得x的范围，即可得答案；（2）由（1）的结论，进而分析f（-x）=f（x），结合函数奇偶性的定义即可得答案；（3）根据题意，当x＞0时，分析易得f(x)=(12x−1+12)x＞0，结合函数的奇偶性分析可得答案．。