人教版八年级数学下册教学设计19.2.3一次函数与方程、不等式
一次函数与方程、不等式详细教案
《19.2.3一次函数与方程、不等式》教学设计王萌（-3，0）,而-3正是方程2x+6=0的解。
一般的，一元一次方程kx+b=0的解就是一次函数 y=kx+b 中y=0时的x 的值。
从图象上看，就是一次函数y=kx+b 的图象与x 轴交点的横坐标的值。
练习：1.已知一次函数y=0.8x-2与x 轴交点为（2.5,0），你能说出0.8x-2=0的解么？2.已知一次函数y=kx-5与x 轴交点为（-3,0），那么你能说出kx-5=0的解么？3. 已知一次函数y=kx+b 与x 轴交点为（2,0），那么你能说出一次方程kx+b=0的解么？知识点二.一次函数与一元一次不等式（一）讨论、交流根据上面一次函数y=2x+6的图象，你能说出一元一次不等式2x+6>0和2x+6<0的解集吗？(二)归纳当2x+6>0,就是函数y=2x+6中函数值y>0，观察图象可知，当图象在x 轴上方时y>0；同样地，图象在x 轴下方时y<0。
因为函数y=2x+6的图象与x 轴交于点（-3，0）所以，要使y>0，即2x+6>0,应有x>-3；要使y<0,即2x+6<0,应有x<-3从图象上看kx+b>0的解集是使直线y=kx+b 位于x 轴上方相应x 的取值范围， kx+b<0的解集是使直线y=kx+b 位于x 轴下方相应x 的取值范围。
练习： 1.一次函数y=-x+2的图象如图，你能说出-x+2<0的解集么？ 2.一次函数y=kx+b 的图象如图，你能说出kx+b<0的解集么？应用拓展例题：画出函数y=-3x+6的图象，结合图象求： （1）求方程-3x+6=0的解;（2）求不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集; （3）当x 取何值时，y<3 ?知识点三.一次函数与二元一次方程（组）观察在同一直角坐标系中的y=2x-1与y= 的图像两条直线的交点坐标是＿＿方程组的解是_____学生分组讨论 教师巡视 启发学生学生代表发言，师生共同评价学生自主完成 教师巡视指导学生回答 师生评价教师组织学生根据自己所画图象思考，并分组讨论、交流，然后请学生代表发言，师生共同评价师生共同归纳学生回答师生点评4分钟3分钟4分钟3分钟 5853+-x归纳:从数的角度看：从形的角度看：练习： 1.已知一次函数y =3x +5与y =2x +b 的图象交点为(-1，2)， 则方程组 的解是_______. 活动三.随堂练习 1．直线y=kx+3与x 轴的交点是（1，0），则k 的值是 。
最新人教版八年级数学下册课件：19.2.3一次函数与方程、不等式
19.2.3一次函数与方程、不等式
1.解方程：2x+20=0
3x+y=8 2.解方程组：
2x-y=2
3.对于方程3x+5y =8，如何用x表示y?
对于函数中的两个变量x和y，我们可以从 哪些方面理解它们的含义呢？函数的表示方法 有哪些？
变量名称 平面直角坐标系 坐标系中的点
函数解析式
一次函数 y =x+5，y =0.5x+15 的函
数值相等，并求出函数值．
气球1 海拔高度：y =x+5
气球2 海拔高度：y =0.5x+15
拓展问题
从形的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么 关系？
y 30
二元一次方程 组的解就是相应的 两个一次函数图象 的交点坐标．
25 y =0.5x+15
y
20
y=2x+20
直线y=2x+20与x轴的交点 坐标为(-10，0）
-10 0
x
小练习
2
练习1：根据函数y=2x+20的图象，说出它与x轴 的交点坐标；说出方程2x+20＝0的解.
y y=2x+20
X = - 10
函
20
数
直线y=2x+20与x轴的交点坐标为
和 方
(-10，0）
程
巩
-10 0
x
和
方
程
巩
固
X=3
练 习
探究一
1
一次函数 与一元一 次方程的 关系
求ax+b=c（a≠0）的解
（从“数”的角度）
x为何值时，y=ax+b的值为k
人教版八年级数学下册19章一次函数复习教学设计
（二）过程与方法
1.通过对一次函数图像的观察、分析，培养学生的观察能力和空间想象力。
2.引导学生运用数形结合的方法，将一次函数与实际问题相结合，提高学生解决问题的能力。
3.通过小组合作、讨论、交流等学习方式，培养学生的团队协作能力和表达能力。
b.斜率k和截距b对一次函数图像的影响；
c.一次函数在实际生活中的应用。
2.各小组汇报：每个小组选派一名代表汇报讨论成果，其他小组成员进行补充。
3.教师点评：针对各小组的讨论情况，给予积极评价和指导，强调重点，纠正错误。
（四）课堂练习
1.基础练习：设计一些基础题目，让学生独立完成，巩固一次函数的基本概念和性质。
8.情感教育，培养良好态度：关注学生的情感体验，营造轻松、愉快的学习氛围，引导学生树立正确的价值观，培养良好的学习态度。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.生活实例引入：以学生熟悉的手机话费套餐为例，展示不同套餐的价格与通话时长之间的关系。引导学生观察、分析并发现其中存在的数学规律，从而引出一次函数的概念。
（2）小组合作完成一份关于一次函数在生活中的应用报告，内容包括：问题背景、数学模型、解决方案、实际操作及Байду номын сангаас果分析。
5.自主学习任务：
（1）查阅资料，了解一次函数在其他学科领域的应用，如物理、经济等；
（2）总结一次函数学习过程中的心得体会，分析自己的学习方法，为下一阶段学习制定合理的学习计划。
2.突破重点，化解难点：针对斜率k和截距b的概念，采用直观的图像演示和实际案例分析，帮助学生理解其物理意义。同时，通过小组合作、讨论交流，让学生在互动中加深对一次函数性质的理解。
19.2.3一次函数与方程、不等式
思考
下面三个不等式有什么共同特点？你能从函 数的角度对解这三个不等式进行解释吗？能把你得到的 结论推广到一般情形吗？ （1）3x+2＞2；（2）3x+2＜0；（3）3x+2＜-1． 用函数图象的角度看： 3 不等式ax+b＞c的解集就是 2 使直线y =ax+b 在直线y=c上方时 对应的自变量的取值范围； 1 不等式ax+b＜c的解集就是 使直线y =ax+b 在直线y=c下方时-2 -1 O -1 对应的自变量的取值范围.
想一想
（1）在什么时候，1 号气球比2 号气球高？ （2）在什么时候，2 号气球比1 号气球高？
h1
h2
气球1 海拔高度：y =x+5
气球2 海拔高度：y =0.5x+15
想一想
（1）在什么时候，1 号气球比2 号气球高？ （2）在什么时候，2 号气球比1 号气球高？ y
30 25 20 15 10 5 O
分析问题
一次函数 用方程观点看 y =0.5x+15
用函数观点看
二元一次方程 y -0.5x =15
二元一次方程 y =0.5x+15
从式子（数）角度看：
一次函数
二元一次方程
分析问题
从形的角度看，二元一次方程与一次函数有什么关
系？ 在坐标系中画出以方程 y =0.5x+15 的解为坐标的 点组成的图形就是一次函 数y =0.5x+15 的图象. y y =0.5x+15
ax+b 与x轴的交点的横坐标的值”
b 2、当x a
时，一次函数y= ax+b( a≠0）的值0？
一元一次方程问题
初中数学八年级下册《一次函数与一元一次方程、不等式》优秀教学设计
19．2.3一次函数与方程、不等式第1课时一次函数与一元一次方程、不等式【学习目标】1．理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系，会根据一次函数的图象解决一元一次方程和一元一次不等式的求解问题．2．学习用函数的观点看待方程及不等式的方法，初步感受用全面的观点处理局部问题的思想．【学习重点】用一次函数解一元一次方程、一元一次不等式．【学习难点】理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系．情景导入生成问题1．已知直线经过点A(2，4)和点B(0，－2)，那么这条直线的解析式是( )A．y＝－2x＋3B．y＝3x－2C．y＝－3x＋2 D．y＝2x－32．一个y关于x的函数同时满足两个条件：①图象过点(2，1)；②当x>0时，y随x 的增大而减小，这个函数的解析式为(写出一个即可)自学互研生成能力一．阅读教材P96思考，完成下列内容：1．一元一次方程kx＋b＝0的解就是一次函数的图象与轴交点的坐标．2．已知一次函数y＝ax＋3与x轴的交点的横坐标为－4，则一元一次方程ax＋3＝0的解为．二．合作探究一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx＋b＝0的解为()A．x＝－1B．x＝2C．x＝0 D．x＝3归纳：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝kx＋b，确定它与x轴的交点的横坐标的值．三．自主探究阅读教材P96思考，完成下列问题：1．一次函数与一元一次不等式的关系：一元一次不等式kx＋b>0(或kx＋b<0)的解集，就是一次函数的图象在x轴方(或方)相应的自变量x的取值范围．2．已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象如图所示，则不等式kx＋b≤0的解集是．四．合作探究对照图象，请回答下列问题：(1)当x取何值时，2x－5＝－x＋1?(2)当x取何值时，2x－5>－x＋1?(3)当x取何值时，2x－5<－x＋1?解：(1)由图象可知，直线y＝2x－5与直线y＝－x＋1的交点的横坐标是，所以当x取时，2x－5＝－x＋1；(2)由图象可知，当时，直线y＝2x－5落在直线y＝－x＋1的上方，即2x－5>－x＋1；(3)由图象可知，当时，直线y＝2x－5落在直线y＝－x＋1的下方，即2x－5<－x＋1.五．合作探究A、B两城相距600 km，甲、乙两车同时从A城出发驶向B城，甲车到达B城后立即返回．如图是它们离A城的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象．(1)求甲车行驶过程中，y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)当它们行驶了7小时，两车相遇，求乙车车速．解：(1)(2)交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．检测反馈达成目标一．当堂检测1．一次函数y＝2x－4的图象与x轴的交点坐标为(2，0)，则一元一次不等式2x－4≤0的解集应是( )A．x≤2 B．x<2 C．x≥2 D．x>22．函数y＝kx＋b，当x>5时，y<0；当x<5时，y>0，则y＝kx＋b的图象必经过点( ) A．(0，5) B．(5，0) C．(－5，0) D．(0，－5)3．若直线y＝3x－1与y＝x－k的交点在第四象限，则k的取值范围为．二课后检测见《长江作业》课后反思查漏补缺1.我的收获：------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2.我的困惑：------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------。
19.2.3一次函数与方程不等式的关系(3个课时)
19.2.3一次函数与一元一次方程学习目标：1、理解一次函数与一元一次方程的关系，会根据图象解决一元一次方程求解问题。
2、学习用函数的观点看待方程的方法，经历方程与函数关系问题的探究过程，学习用联系的观点看待数学问题。
学习重点：利用一次函数知识求一元一次方程的解。
学习难点：一次函数与一元一次方程的关系发现、归纳和应用。
学习过程：活动一、课前小测1、一次函数12+=x y ，当=x 时，3=y ；当=x 时，0=y ；当=x 时，1-=y 。
2、一次函数，12+=x y ，x 轴交点坐标为________；与y 轴交点坐标_________；图像经过_______象限，y 随x 的增大而______，图像与坐标轴所围成的三角形的面积是 。
活动二：观察分析，探究新知 1、自主探究(1)解方程2x+20=0(2)当自变量x 为何值时，函数y=2x+20的值为0？解：(1) 2x+20=0(2) 当y=0时 ，即思考：上面两个问题实际上是______问题．（3）画出函数y=2x+20的图象，并确定它与x 轴的交点坐标.（思考：直线y=2x+20与x 轴交点坐标为（____,_____），这说明方程2χ＋20＝0的解是x=_____）2、合作交流(小组交流答成共识,然后展示交流成果 )从“函数值”看，“解方程ax+b=0(a ，b 为常数， a ≠0)”与“求自变量 x 为何值时，一次函数y=ax+b 的值为0”有什么关系？从图象上看呢？求一元一次方程ax +b =0(a ，b 是常数，a ≠0)的解，从“函数值”看就是某个一次函数b ax y +=求一元一次方程ax +b =0(a , b 是常数，a ≠0)的解，从“函数图象”看就是直线b ax y +=与x 轴的交点的活动三、师生互动，运用新知1、根据下列图像，你能说出哪些一元一次方程的解？并直接写出相应方程的解？1、直线3+=x y 与y 轴的交点是（ ）A 、（0，3）B 、（0，1）C 、（3，0）D 、（1，0） 2、直线3+=kx y 与x 轴的交点是（1，0 ），则k 的值是（ ） A 、3 B 、2 C 、-2 D 、-3y=x-13600 OBt(分)S(米) A 153、直线y=x+3与x 轴的交点坐标为（ ， ），所以相应的方程x+3=0的解是x=4、直线y=3x+6与x 轴的交点的横坐标x 的值是方程2x+a=0的解，则a•的值是______5、弹簧的长度与所挂物体的质量的关系是一次函数，如图所示，请判断不挂物体时弹簧的长度是多少？活动五、课堂小结，巩固新知同学们，本节课你学到了那些重要的知识点或内容呢？请试着自己总结一下吧!活动六、作业1、有一个一次函数的图象，可心和黄瑶分别说出了它的两个特征． 可心：图象与x 轴交于点（6，0）。
一次函数与方程、不等式教案
《19.2 一次函数》教学设计19.2.3 一次函数与方程、不等式第1课时一次函数与一元一次方程、不等式教材分析本节内容是在学生已有对一元一次方程、一元一次不等式的认识之后，从变化和对应的角度，对一次函数进行更深入的讨论，是站在更高起点上的动态分析．通过讨论一次函数与一元一次方程及不等式的关系，用函数的观点加深对这些已经学习过的内容的认识，加强知识间的横向和纵向联系，发挥函数的统领作用．备课素材一、新知导入【复习导入】（1）按照“列表——描点——连线”的步骤画出一次函数y＝2x－3的图象；（2）观察一次函数y＝2x－3的图象与x轴的交点，指出当y＝0时，自变量x的取值是多少？它与方程2x－3＝0的解相同吗？它们之间有什么联系？（3）观察一次函数y＝2x－3的图象在x轴上方的部分，这些点的纵坐标的符号是怎样的？（4）观察一次函数y＝2x－3的图象在x轴下方的部分，这些点的纵坐标的符号是怎样的？【说明与建议】说明：复习一次函数图象的画法，把所列表格中的数据与函数图象中点的坐标结合起来，分析函数值的不同符号特征，与方程、不等式建立起联系．建议：用描点法画一次函数图象时，可以多列出几组数对，在x＝1的左右两侧分别列出3～4组对称的数对，再将其与函数图象对照，发挥数形结合思想的优势，使函数值的符号特征更加明显．二、命题热点命题角度1 利用一次函数图象求一元一次方程的解1.一次函数y＝ax＋b的图象如图所示，则方程ax＋b＝0的解为（A）A．x＝－2 B．y＝－2 C．x＝1 D．y＝1第1题图第2题图2.一次函数y＝kx＋b（k≠0，k，b是常数）的图象如图所示，则关于x的方程kx＋b＝4的解是x ＝3Ｗ．命题角度2 利用一次函数图象求一元一次不等式的解集3.如图，已知直线y ＝kx －2，根据图象可知不等式kx －2＜0的解集是（C ） A ．x ＞1 B ．x ＞－2 C ．x ＜1 D ．x ＜－2第3题图 第4题图4.一次函数y ＝kx ＋b 的图象如图所示，当0＜kx ＋b ＜3时，x 的取值范围为－4＜x ＜0．命题角度3 通过解一元一次方程确定一次函数的图象与坐标轴的交点坐标 5.已知直线经过点（1，2）和点（4，5）. （1）求这条直线的解析式；（2）求直线与坐标轴所围成的三角形面积． 解：（1）设直线解析式为y ＝kx ＋b ，把（1，2），（4，5）代入，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝2，4k ＋b ＝5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1.∴这条直线的解析式为y ＝x ＋1.（2）如图，对于直线y ＝x ＋1， 令x ＝0，则y ＝1； 令y ＝0，则x ＝－1. ∴A （0，1），B （－1，0）. ∴S △AOB ＝12 ×1×1＝12.∴直线与坐标轴所围成的三角形面积为12.教学设计课题 19.2.3 第1课时 一次函数与一元一次方程、不等式 授课人 素养目标1.会用图象法解一元一次方程、一元一次不等式．2.经历用函数图象表示方程、不等式解集的过程，进一步体会“以形表示数，以数解释形”的数形结合思想．3.通过对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式关系的探究，发展学生辩证思维能力．4.体会数学知识的融会贯通，从不同方面认识事物的本质．教学重点理解一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的联系．教学难点根据一次函数的图象求一元一次方程的解和一元一次不等式的解集．授课类型新授课课时教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.解方程4x＋1＝0；当自变量x为何值时，函数y＝4x＋1的值为0？2.解不等式3x＋6＞－2；当自变量x为何值时，函数y＝3x＋6的值大于－2？回顾旧知，更好地学习新知，为突破重难点做准备．活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】（1）观察下面的一元一次方程与一元一次不等式，它们有什么共同之处？2x－2>0，2x－2＝0，2x－2<0.（2）上面的一元一次方程与一元一次不等式的解或解集，与一次函数y＝2x－2的图象有关系吗？师生活动：教师引导学生观察一元一次方程与一元一次不等式的左边，并与一次函数y＝2x－2的右边进行比较，让学生初步感知它们之间有一定的联系．通过直观观察这三个式子与一次函数的区别，联合一次函数的意义，使学生产生深入探究的欲望，更好地进入新课．活动二：实践探究、交流新知【探究新知】1.一次函数的图象与一元一次方程的解下面三个方程有什么共同特点？你能从函数的角度对这三个方程进行解释吗？（1）2x＋1＝3；（2）2x＋1＝0；（3）2x＋1＝－1.观察、思考、分析、归纳，引导学生探索一元一次函数、一元一次不等式的关系，学生进一步体会数形结合思想，构建完整的知识体系．师生活动：教师引导学生从函数的角度看一元一次方程．学生小组讨论之后，派出代表汇报想法，教师帮助总结．归纳：解关于x的一元一次方程ax＋b＝k，就是求当y＝ax ＋b的函数值为k时对应的自变量的值．从数的角度看：求ax＋b＝0（a≠0）的解⇩x为何值时，y＝ax＋b的值为0？从形的角度看：求ax＋b＝0（a≠0）的解⇩确定直线y＝ax＋b与x轴交点的横坐标2.一次函数的图象与一元一次不等式的解集下面三个不等式有什么共同特点？你能从函数的角度对这三个不等式进行解释吗？你能把你得到的结论推广到一般情形吗？（1）3x＋2>2；（2）3x＋2<0；（3）3x＋2<－1.师生活动：教师引导学生类比一元一次方程，自主探究从函数的角度看一元一次不等式．归纳：利用图象求ax＋b＞0（a≠0）或ax＋b＜0（a≠0）的解集，就是求一次函数y＝ax＋b的图象在x轴上方或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．活动三：开放训练、体现应【典型例题】例1 一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，根据图象信息可典型例题巩固新知，让学生进一步熟悉一用求得关于x的方程kx＋b＝3的解为（C）A.x＝－1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3例1题图例2题图例2 如图是一次函数y＝kx＋b的图象，当y＜2时，x的取值范围是（C）A.x＜1 B．x＞1 C．x＜3 D．x＞3【变式训练】1.若一次函数y＝ax＋b的图象过点A（2，1），则ax＋b＝1的解是x＝2Ｗ．2.已知关于x的方程ax＋b＝2的解为x＝－5，则一次函数y＝ax＋b－2的图象与x轴交点的坐标为（－5，0）Ｗ．3.如图，直线y＝kx＋3经过点（2，0），则关于x的不等式kx＋3>0的解集是（B）A.x>2B.x<2C.x≥2D.x≤2师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法．次函数与一元一次方程与一元一次不等式的关系，发展学生数形结合的思想，培养灵活地解决问题的能力．活动四：课堂检测【课堂检测】1.若关于x的方程4x－b＝0的解是x＝－2，则直线y＝4x－b一定经过点（C）A.（2，0） B．（0，－2） C．（－2，0） D．（0，2）2.若直线y＝2x＋b与x轴交于点A（－3，0），则方程2x＋b＝0的解是（A）A.x＝－3 B．x＝－2 C．x＝6 D．x＝－32通过设置当堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．3.直线y＝kx＋b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx＋b－1≥0的解集是（D）A.x≥2 B．x≥0 C．x≤2 D．x≤0第3题图第4题图4.如图，已知一次函数y＝kx＋b，观察图象回答下列问题：当x>2.5时，kx＋b>0；当x>3时，kx＋b>1.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．课堂小结1.课堂小结（1）本节课你学到了什么？有哪些体会与收获？（2）本节课你还有哪些疑惑？2.布置作业教材第99页第8题．注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会．教学反思反思，更进一步提升．19.2 一次函数19.2.3 一次函数与方程、不等式第2课时一次函数与二元一次方程组教材分析函数、方程和不等式都是人们刻画现实世界的重要数学模型．用函数的观点看方程（组）与不等式，不仅能帮助学生加深对方程（组）、不等式的理解，提高认识问题的水平，而且能从函数的角度将三者统一起来，感受数学的统一美．本节课是学生学习完一次函数、一元一次方程及一元一次不等式的联系后对一次函数和二元一次方程（组）关系的探究，学生在探索过程中体验数形结合的思想方法和数学模型的应用价值，这对今后的学习有着十分重要的意义．备课素材一、新知导入【置疑导入】小聪和小惠去某景区游览，约好在“飞瀑”见面．上午7：00小聪乘电动汽车从“古刹”出发：沿景区公路去“飞瀑”，车速为36 km/h ，小慧也于上午7：00从“塔林”出发，骑电动自行车沿景区公路去“飞瀑”，车速为26 km/h.（1）当小聪追上小慧时，他们是否已经过了“草甸”？ （2）当小聪到达“飞瀑”时，小慧离“飞瀑”还有多远？追问：当小聪追上小慧时，他们两个人的什么量是相同的？是否已经过了“草甸”？该用什么量来表示？你会选择用哪种方式来解决？图象法？还是解析式法？【说明与建议】 说明：通过问题串的精心设计，引导学生根据实际问题建立适当的函数模型，利用该函数图象的特征解决问题，在此过程中渗透数形结合的思想方法，发展学生的数学应用能力．建议：在这个环节的学习过程中，如果学生入手感到困难．可用以下问题串引导学生进行分析：（1）两个人是否同时起步？（2）在两个人到达之前所用时间是否相同？所行驶的路程是否相同？出发地点是否相同？两个人的速度各是多少？（3）这个问题中的两个变量是什么？它们之间是什么函数关系？（4）如果用s 表示路程，t 表示时间，那么他们各自的解析式分别是什么？【情景导入】在河道A ，B 两个码头之间有客轮和货轮通行．一天，客轮从A 码头匀速行驶到B 码头，同时货轮从B 码头出发，运送一批物资匀速行驶到A 码头，两船距B 码头的距离y （km ）与行驶时间x （min ）之间的函数关系如图所示，请根据图象解决下列问题：（1）A ，B 两个码头之间的距离是80km ；（2）已知货轮距B 码头的距离与行驶时间的函数解析式为y 1＝12 x ，求客轮距B 码头的距离y 2（km ）与时间x （min ）之间的函数解析式；（3）求出点P 的坐标，并指出点P 的横坐标与纵坐标所表示的实际意义．【说明与建议】 说明：通过学生熟悉的问题导入新课，培养学生的识图能力和探究能力，调动学生学习的自主意识及学习兴趣．建议：引导学生建立函数模型，结合图象利用“数形结合”解决问题．二、命题热点命题角度1 利用两个一次函数图象求二元一次方程组的解1.如图，已知函数y ＝ax ＋b 和y ＝kx 的图象交于点P ，则根据图象可得，关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b ，y ＝kx 的解是（C ）A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝－1C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝1D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝1第1题图 第3题图2.在平面直角坐标系中，直线y ＝－2x ＋11与直线y ＝13 x ＋53的交点坐标是（4，3），则方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝11，x －3y ＝－5 的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝3 ．命题角度2 利用两个一次函数图象求一元一次不等式的解集3.函数y ＝kx 与y ＝－x ＋3的图象如图所示，根据图象可知，不等式kx ＞－x ＋3的解集是x ＞1．命题角度3 利用一次函数与方程、不等式的联系解决实际问题4.某电信公司有两种上网费用的计算方式，方式A 以每分钟0.1元的价格按上网时间计费；方式B 除收月基本费20元外，再以每分钟0.05元的价格按上网时间计费．设上网时间为x 分钟，所需费用为y 元．用函数方法解答何时两种计费方式费用相等．解：y A ＝0.1x ，y B ＝0.05x ＋20.函数图象如图所示．∴当每月上网时间为400分钟时，两种计费方式费用相等．教学设计课题19.2.3第2课时 一次函数与二元一次方程组授课人素养目标 1.理解一次函数的图象与二元一次方程（组）的关系．2.经历用函数观点分析二元一次方程（组）的过程，进一步体会类比思想、分类讨论思想．3.利用一次函数图象的性质，解决实际问题．4.体会数学知识的融会贯通，发现数学的美，激发学生的学习兴趣．教学重点借助两个一次函数图象求二元一次方程（组）的解或一元一次不等式的解集．教学难点借助四个一次[一次函数、一元一次方程、二元一次方程（组）的解、一元一次不等式]之间的关系，解决实际问题．授课类型新授课课时教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾 1.解二元一次方程组2.一次函数y＝5x＋6与y＝3x＋10的交点坐标是多少？复习旧知，引发思考，为突破本节课重难点做铺垫．活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】1号探测气球从海拔5 m出发，以1 m/min的速度上升，与此同时，2号探测气球从海拔15 m处出发，以0.5 m/min的速度上升，两个气球都上升了1小时．用式子分别表示两个气球所在位置的海拔y（单位：m）关于上升时间t（单位：min）的函数关系；1号气球：y＝x＋5，2号气球：y＝0.5x＋15.从实际问题抽象出数学问题，一方面有助于发展学生抽象逻辑能力，另一方面可以激发学生的学习兴趣，更好地开展新课．活动二：实践探究、交流新知【探究新知】针对【课堂引入】的问题，继续思考在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多少时间？位于什么高度？问题1 从数的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么关系？问题2 从形的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么关系？师生活动：教师引导学生类比一次函数与一元一次方程的关系，结合两个一次函数的图象，探求与二元一次方程组之间的关系．最后，教师帮助学生总结．归纳：（2）图象法解方程组的步骤：①将方程组中各方程化为y＝ax＋b的形式；②画出各函数的图象；通过类比一次函数与一元一次方程，分别从数和形两个角度分析二元一次方程组与一次函数之间的关系，进一步开拓学生的思维，感受数形结合思想以及分类讨论思想，体会数学思想的应用价值．③由交点坐标得出方程组的解．自主探究：在什么时候，1号气球比2号气球高？在什么时候，2号气球比1号气球高？活动三：开放训练、体现应用【典型例题】例1 如图，一次函数y＝kx＋b与y＝x＋2的图象相交于点P（m，4），则关于x的方程kx＋b＝x＋2的解是（B）A.x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4例2 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－2x和y＝ax＋2相交于点A（m，1），则不等式－2x<ax＋2的解集为（D）A.x<12B．x<1 C．x>1 D．x>－12【变式训练】在同一平面直角坐标系内画一次函数y1＝－x＋4和y2＝2x－5的图象，解决下列问题：（1）求方程－x＋4＝2x－5的解；（2）求二元一次方程组的解；（3）当x取何值时，y1＞y2？当x取何值时，y1＞0且y2＜0？解：画函数图象如图所示．（1）∵一次函数y1＝－x＋4和y2＝2x－5的图象相交于点（3，1），通过典型例题和变式训练．进一步感受两个一次函数与二元一次方程组的解之间的联系．由形判数，培养数形结合思想，体会数学知识的融会贯通．∴方程－x ＋4＝2x －5的解为x ＝3.（2）由图可知，二元一次方程组（3）由图可知，当x ＜3时，y 1＞y 2； 当x ＜52时，y 1＞0且y 2＜0.师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法． 活动四：课堂检测 【课堂检测】1.如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－2x 和y ＝ax ＋2相交于点A （m ，1），则关于x ，y 的二元一次方程组的解为（C ）第1题图 第2题图 第3题图2.如图，一次函数y 1＝k 1x ＋b 1与y 2＝k 2x ＋b 2的图象交于点A （3，2），它们与x 轴的交点横坐标分别为1和－1，则不等式k 2x ＋b 2>0>k 1x ＋b 1的解集为（D ）A.x>3 B ．x<－1 C ．x>1 D ．－1<x<13.一次函数y 1＝mx ＋n 与y 2＝－x ＋a 的图象如图所示，则不等式mx ＋n ＞－x ＋a 的解集为（A ）A.x ＞3 B ．x ＜3 C ．x ＜2 D ．x ＞24.如图，直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P （1，b ）.（1）求b 的值；（2）不解关于x ，y 的方程组请你直接写出它的解．学以致用，课堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，帮助每个学生有所收获、有所提高．解：（1）∵P（1，b）在直线l1上，∴b＝1＋1，即b＝2.（2）师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．课堂小结1.课堂小结1.如何用一次函数的图象解二元一次方程组？2.你是否从中体会到了某种数学思想？2.布置作业教材第98页练习题．注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会．教学反思反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质．。
人教版八年级数学下册 第十九章 19.2.3 一次函数与方程、不等式 第一课时 课件 (共26张PPT)
（1）途中乙发生了什么事，
P
（2）他们是相遇还是追击； 12
（3）他们几时相遇。
10
8
D E
AB
0
0.5
1 1.2
t
1.右图中的两直线l1 、l2 的交点坐标可以看作
y 2x 1
y 4
l1
3
2
l2 1
-1 0 -1
1 2 3 4x
x 2y 2 2.解方程组 2x y 2
问 经过多长时间两人相遇 ?
你明白他的想法吗？
设同时出发后t 时相遇, 则 20 t 30 t 150
用他的方法做一做，看 看和你的结果一致吗？
t=3
求出s与t之间的关系式，联立解方程组
A、B 两地相距150千米，甲、
对于乙，s 是t
乙两人骑自行车分别从A、B 两地相
的一次函数，
向而行。假设他们都保持匀速行驶， 则他们各自到A 地的距离s (千米) 都
120千米,即乙的
B 两地同时相向而行。假设他 小彬 速度是 30千米/时,
们都保持匀速行驶，则他们各
自到A地的距离s(千米)都是骑 车时间t(时)的一次函数.
1 时后乙距A地120千米, 2 时后甲距A地 40千米.
2 时后甲距A 地 40千米, 故甲的速度是 20千米/时,
由此可求出甲、乙两人的 速度, 以及 ……
2
4
6
所以方程
x 2 y 2 2x y 2
-6
的解是 x 2 。
y
2
一、二元一次方程的解与相应的一次函数图象上点 对应。
以方程 x+y=3 的解为坐标的所有点组成的图形
就是 一次函数 y=3－x 的图象.
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1
19.2.3一次函数与方程、不等式》
本课是在学习一次函数的基础上，讨论一次函数与二元一次方程的关系，用函数的观点
看一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组．从而建立它们之间的联系．
1．认识一次函数与一元（二元）一次方程（组）、一元一次不等式之间的联系．会用函
数观点解释方程和不等式及其解（解集）的意义；
2．经历用函数图象表示方程、不等式解的过程，进一步体会“以形表示数，以数解释
形”的数形结合思想．
理解一次函数与二元一次方程（组）的联系．
多媒体：PPT课件、电子白板
一、问题导入:
小聪和小慧去某风景区游览，约好在“飞瀑”见面．
上午7：00小聪乘电动汽车从“古刹”出发，沿景区公路去“飞瀑”，车速为36 km/h，
小慧也于上午7：00从“塔林”出发，骑电动自行车沿景区公路去“飞瀑”，车速为26 km/h.
请用列方程的方法解决下面两个问题：
(1)当小聪追上小慧时，他们是否已经过了“草甸”？
◆ 教材分析
◆ 教学目标
◆ 教学重难点
◆
◆ 课前准备
◆
◆ 教学过程
2
(2)当小聪到达“飞瀑”时，小慧离“飞瀑”还有多远？
在此题中，路程随时间的变化而变化，能否建立路程和时间的函数，用函数解析式或函
数的图象来解决此题呢？这节课我们就是学习一次函数与方程、不等式的关系.
二、深入探究：
【探究1】下面3个方程有什么共同点和不通电？你能从函数的角度对解这三个方程进
行解释吗？
（1）2x+1=3; （2）2x+1=0; （3）2x+1=-1.
教师引导学生发现：这3个方程的等号左边都是2x+1,等号右边分别是3，0，-1.
从函数解析式的角度看，解这3个方程相当于在一次函数y=2x+1的函数值分别为
3,0,-1时，求自变量x的值.
从函数图象的角度看，在直线y=2x+1上取纵坐标分别为3，0，-1的点，看它们的横坐
标分别为多少？
[归纳]任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0（a≠0）的形式，
所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为0时，求自变量x的值.
【探究2】下面3个不等式有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个不等
式进行解释吗？
（1）3x+2＞2； （2）3x+2＜0； （3）3x+2＜-1.
教师引导学生发现：这3个不等式的不等号左边都是3x+2，而不等号及不等号右边却
有不同.
从函数解析式的角度看，解这3个不等式相当于在一次函数y=3x+2的函数值分别大于
2、小于0、小于-1时，求自变量x的取值范围.
从函数的图象看，在直线y=3x+2上取纵坐标分别满足大于2、小于0、小于-1的点，
看它们的横坐标分别满足什么条件.
3
[归纳]因为任意一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b＞0或ax+b＜0
（a≠0）的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于
0时，求自变量x的取值范围.
三、典型问题：
问题1：1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升.与此同时，2号探测气
球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升.两个气球都上升了1h.
（1）用式子分别表示两个气球所在位置的海拔y（单位：m）关于上升时间x（单位：
min）的函数关系；
（2）在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于
什么高度？
分析：（1）气球上升的时间x满足0≤x≤60.
对于1号气球，y与x的函数关系式为y=x+5.
对于2号气球，y关于x的函数关系式为y=0.5x+15.
（2）在某时刻两个气球位于同一高度，就是说对于x的某个值（0≤x≤60），函数y=x+5
和y=0.5x+15有相同的值y.
从数的角度看：解方程组y＝x＋5，y＝0.5x＋15.
教师引导学生归纳：此问题就是求自变量为何值时，两个一次函数y＝x＋5，y＝0.5x
＋15的函数值相等，并求出函数值．
从形的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么关系？
教师引导学生归纳：二元一次方程组的解就是相应的两个一次函数图象的交点坐标．
4
问题2：小聪和小慧去某风景区游览，约好在“飞瀑”见面．
上午7：00小聪乘电动汽车从“古刹”出发，沿景区公路去“飞瀑”，车速为36 km/h，
小慧也于上午7：00从“塔林”出发，骑电动自行车沿景区公路去“飞瀑”，车速为26 km/h.
请用函数解析式或函数图象两种方法解决下面两个问题：
(1)当小聪追上小慧时，他们是否已经过了“草甸”？
(2)当小聪到达“飞瀑”时，小慧离“飞瀑”还有多远？
四、当堂训练：
1．若直线y＝x＋m与直线y＝－x－n的交点坐标是(1，－2)，则( C )
A．m＝3，n＝－1 B．m＝1，n＝－3
C．m＝－3，n＝1 D．m＝1，n＝3
2．若直线y＝3x＋6与y＝2x－4的交点坐标为(a，b)，则x＝ay＝b是方程组________的解
( B )
A.y－3x＝6，y＋2x＝－4 B.y－3x＝6，y－2x＝－4
C.3x－y＝6，2x－y＝4 D.3x－y＝－6，2x－y＝－4
3．若二元一次方程组2x－y＝1，－x＋y＝2的解是x＝3，y＝5，则直线y＝2x－1与直线y＝x＋2的交
5
点坐标是__(3，5)__．
图19－2－91
4.以方程3x－y＝2的解为坐标的所有点都在一次函数y＝__3x－2__的图象上．
5．如图19－2－91是函数y＝kx＋b与y＝mx＋n的图象，则方程组y＝kx＋b，y＝mx＋n的解为
x＝3，
y＝4
6．某单位需要用车，准备和一个个体车主或一家国有出租公司其中的一家签订合同，
设汽车每月行驶x km，应付给个体车主的月租费是y1元，付给出租车公司的月租费是y2元，
y1，y2与x之间的函数关系图象是如图19－2－92所示的两条直线，观察图象，回答下列问
题：
(1)每月行驶的路程等于__1500__时，租两家车的费用相同；
(2)如果这个单位估计每月行驶的路程为2300 km，租__个体车主__的车合算．
(3)当x__＞1500__时，选用个体车主的车较合算．
五、课堂小结：
略。
◆ 教学反思